Неосесимметричные колебания полого неоднородного шара с пьезокерамическими слоями

Розглядається задача про власні неосесиметричні коливання неоднорідних за товщиною порожнистих куль з шарами, поляризованими у радіальному напрямі. Для розв'язання цієї задачі запропоновано ефективний чисельно-аналітичний метод. Початкова задача теорії електропружності в частинних похідних звод...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2011
Автор:	Лоза, И.А.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Видавничий дім "Академперіодика" НАН України 2011
Назва видання:	Доповіді НАН України
Теми:	Механіка
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/43828
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Неосесимметричные колебания полого неоднородного шара с пьезокерамическими слоями / И.А. Лоза // Доп. НАН України. — 2011. — № 11. — С. 76-83. — Бібліогр.: 15 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-43828
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-438282013-05-19T03:09:25Z Неосесимметричные колебания полого неоднородного шара с пьезокерамическими слоями Лоза, И.А. Механіка Розглядається задача про власні неосесиметричні коливання неоднорідних за товщиною порожнистих куль з шарами, поляризованими у радіальному напрямі. Для розв'язання цієї задачі запропоновано ефективний чисельно-аналітичний метод. Початкова задача теорії електропружності в частинних похідних зводиться до крайової задачі на власні значення у звичайних диференціальних рівняннях за допомогою розвинення компонент тензора напружень, векторів переміщень електричної індукції та електростатичного потенціалу у ряди за сферичними функціями. Отримана задача розв'язується стійким методом дискретної ортогоналізації у поєднанні з методом покрокового пошуку. Наведено результати чисельного аналізу частот власних коливань в широкому діапазоні зміни геометричних характеристик шаруватих куль з п'єзокерамічними шарами. The problem of nonaxisymmetric natural vibrations of a hollow multilayered sphere with piezoceramic layers polarized in the radial direction is considered. The numerical-analytical method is offered for solving this problem. The initial problem of electroelasticity theory with partial derivatives after expanding the components of the stress tensor, displacement vector, electric induction, and electrostatic potential in spherical functions is reduced to the boundary-value problem for the system of ordinary differential equations for the radial coordinate. The problem is solved by a stable numerical method of discrete orthogonalization coupled with the incremental search method. The numerical results are presented for natural frequencies of vibrations in a wide range of the geometric characteristics of multilayered spheres. 2011 Article Неосесимметричные колебания полого неоднородного шара с пьезокерамическими слоями / И.А. Лоза // Доп. НАН України. — 2011. — № 11. — С. 76-83. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/43828 539.3 ru Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Механіка Механіка
spellingShingle	Механіка Механіка Лоза, И.А. Неосесимметричные колебания полого неоднородного шара с пьезокерамическими слоями Доповіді НАН України
description	Розглядається задача про власні неосесиметричні коливання неоднорідних за товщиною порожнистих куль з шарами, поляризованими у радіальному напрямі. Для розв'язання цієї задачі запропоновано ефективний чисельно-аналітичний метод. Початкова задача теорії електропружності в частинних похідних зводиться до крайової задачі на власні значення у звичайних диференціальних рівняннях за допомогою розвинення компонент тензора напружень, векторів переміщень електричної індукції та електростатичного потенціалу у ряди за сферичними функціями. Отримана задача розв'язується стійким методом дискретної ортогоналізації у поєднанні з методом покрокового пошуку. Наведено результати чисельного аналізу частот власних коливань в широкому діапазоні зміни геометричних характеристик шаруватих куль з п'єзокерамічними шарами.
format	Article
author	Лоза, И.А.
author_facet	Лоза, И.А.
author_sort	Лоза, И.А.
title	Неосесимметричные колебания полого неоднородного шара с пьезокерамическими слоями
title_short	Неосесимметричные колебания полого неоднородного шара с пьезокерамическими слоями
title_full	Неосесимметричные колебания полого неоднородного шара с пьезокерамическими слоями
title_fullStr	Неосесимметричные колебания полого неоднородного шара с пьезокерамическими слоями
title_full_unstemmed	Неосесимметричные колебания полого неоднородного шара с пьезокерамическими слоями
title_sort	неосесимметричные колебания полого неоднородного шара с пьезокерамическими слоями
publisher	Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
publishDate	2011
topic_facet	Механіка
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/43828
citation_txt	Неосесимметричные колебания полого неоднородного шара с пьезокерамическими слоями / И.А. Лоза // Доп. НАН України. — 2011. — № 11. — С. 76-83. — Бібліогр.: 15 назв. — рос.
series	Доповіді НАН України
work_keys_str_mv	AT lozaia neosesimmetričnyekolebaniâpologoneodnorodnogošaraspʹezokeramičeskimisloâmi
first_indexed	2025-07-04T02:14:50Z
last_indexed	2025-07-04T02:14:50Z
_version_	1836680783883927552
fulltext	УДК 539.3 © 2011 И.А. Лоза Неосесимметричные колебания полого неоднородного шара с пьезокерамическими слоями (Представлено академиком НАН Украины Я.М. Григоренко) Розглядається задача про власнi неосесиметричнi коливання неоднорiдних за товщиною порожнистих куль з шарами, поляризованими у радiальному напрямi. Для розв’язання цiєї задачi запропоновано ефективний чисельно-аналiтичний метод. Початкова задача теорiї електропружностi в частинних похiдних зводиться до крайової задачi на власнi значення у звичайних диференцiальних рiвняннях за допомогою розвинення компонент тензора напружень, векторiв перемiщень електричної iндукцiї та електростатичного потенцiалу у ряди за сферичними функцiями. Отримана задача розв’язується стiйким методом дискретної ортогоналiзацiї у поєднаннi з методом покрокового пошуку. На- ведено результати чисельного аналiзу частот власних коливань в широкому дiапазонi змiни геометричних характеристик шаруватих куль з п’єзокерамiчними шарами. Пьезокерамические элементы сферической формы имеют широкое распространение в тех- нике, например, в гидроакустике. Поэтому понятен интерес к исследованию динамических процессов, происходящих в пьезокерамических телах сферической формы. Решение задачи о собственных электроупругих колебаниях толстостенного пьезокерамического шара свя- зано со значительными математическими трудностями. В основном рассматривались одно- мерные задачи [1–5]. Для решения задач об осесимметричных вынужденных колебаниях при механическом способе возбуждения колебаний в работе [6] использовался метод обоб- щенных степенных рядов. В работах [7, 8] для решения задачи о собственных осесиммет- ричных колебаниях и радиальных колебаниях, соответственно, применялся метод степен- ных рядов. В работе [9], с применением этого же метода, решена задача о вынужденных осесимметричных колебаниях полого пьезокерамического шара при электрическом способе возбуждения его поверхностей. Для слоистых шаров, кроме удовлетворения решений на ограничивающих тело поверхностях, необходимо также удовлетворять условиям сопряже- ния, что приводит к повышению порядка систем уравнений. В работе [10] рассмотрена ста- тическая неосесимметричная задача о напряженно-деформированном состоянии слоистой сферы из пьезокерамических слоев при механическом способе возбуждения. Для упрощения решения задачи был разработан метод разделения переменных сначала для упругих транс- версально изотропных шаров [11–13], а затем и для пьезокерамических [14]. Для решения задачи, рассматриваемой ниже, предлагается использовать эффективный численно-анали- тический подход, с успехом применявшийся для решения аналогичных задач для упругих тел [11, 12]. Материальные соотношения для радиально поляризованной пьезокерамической среды в сферической системе координат (r, θ, ϕ) запишем виде [10, 15]: Σθθ = rσθθ = c11Sθθ + c12Sϕϕ + c13Srr + e31∇2Φ, Σϕϕ = rσϕϕ = c12Sθθ + c11Sϕϕ + c13Srr + e31∇2Φ, 76 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №11 Σrr = rσrr = c13Sθθ + c13Sϕϕ + c33Srr + e33∇2Φ, Σrθ = rσrθ = 2c44Srθ + e15 ∂Φ ∂θ , Σrϕ = rσrϕ = 2c44Srϕ + e15 sin θ ∂Φ ∂ϕ , (1) Σθϕ = rσθϕ = 2c66Sθϕ, ∆θ = rDθ = 2e15Srθ − ε11 ∂Φ ∂θ , ∆ϕ = rDϕ = 2e15Srϕ − ε11 sin θ ∂Φ ∂ϕ , ∆r = rDr = e31Sθθ + e31Sϕϕ + e33Srr − ε33∇2Φ, где ∇2 = r∂/∂r; σij — компоненты тензора напряжений; Φ и Di — электростатический потенциал и компоненты вектора электрической индукции, соответственно; cij — упругие постоянные при постоянной электрической напряженности; eij — пьезомодули; εij — ди- электрические постоянные при постоянной деформации. Sij определены как Srr = rsrr = ∇2ur, Sθθ = rsθθ = ∂uθ ∂θ + ur, Sϕϕ = rsϕϕ = 1 sin θ ∂uϕ ∂ϕ + ur + uθ ctg θ, 2Srθ = 2rsrθ = ∂ur ∂θ +∇2uθ − uθ, 2Srϕ = 2rsrϕ = 1 sin θ ∂ur ∂ϕ +∇2uϕ − uϕ, 2Sθϕ = 2rsθϕ = 1 sin θ ∂uθ ∂ϕ + ∂uϕ ∂θ − uϕ ctg θ. (2) Здесь sij — компоненты тензора деформаций; ui (i = r, θ, ϕ) — компоненты вектора пере- мещений. При введенных обозначениях уравнения движения могут быть записаны таким образом: ∇2Σrθ + csc θ ∂Σθϕ ∂ϕ + ∂Σθθ ∂θ + 2Σrθ + (Σθθ − Σϕϕ) ctg θ = ρr2 ∂2uθ ∂t2 , ∇2Σrϕ + csc θ ∂Σϕϕ ∂ϕ + ∂Σθϕ ∂θ + 2Σrϕ + 2Σθϕ ctg θ = ρr2 ∂2uϕ ∂t2 , ∇2Σrr + csc θ ∂Σrϕ ∂ϕ + ∂Σrθ ∂θ +Σrr − Σθθ − Σϕϕ +Σrθ ctg θ = ρr2 ∂2ur ∂t2 . (3) Уравнение электростатики запишется в виде: ∇2∆r +∆r + 1 sin θ ∂ ∂θ (∆θ sin θ) + 1 sin θ ∂∆ϕ ∂θ = 0. (4) Следуя работам [10, 14], выражаем тангенциальные перемещения uθ и uϕ через новые неизвестные функции u1 u2 uθ = − 1 sin θ ∂u1 ∂ϕ − ∂u2 ∂θ , uϕ = ∂u1 ∂θ − 1 sin θ ∂u2 ∂ϕ , ur = w. (5) Тогда из соотношений (1) и (2) для Σrθ, Σrϕ получим соотношения, аналогичные (5): Σrθ = − 1 sin θ ∂Σ1 ∂ϕ − ∂Σ2 ∂θ , Σrϕ = ∂Σ1 ∂θ − 1 sin θ ∂Σ2 ∂ϕ , (6) где Σ1 и Σ2 — новые неизвестные функции напряжения. ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №11 77 Учитывая соотношения (5) и (6), а также тот факт, что рассматриваются гармонические колебания, два первых уравнения системы (3) можно переписать в виде ∂ ∂θ [∇2Σ2 + 2Σ2 + (c11∇2 1 + 2c66 − ρr2ω2)u2 − (c11 + c12)w − c13∇2w − e13∇2Φ] + + 1 sin θ ∂ ∂ϕ [∇2Σ1 + 2Σ1 + (c66(∇2 1 + 2)− ρr2ω2)u1] = 0, 1 sin θ ∂ ∂ϕ [∇2Σ2+2Σ2+(c11∇2 1+2c66−ρr2ω2)u2−(c11+c12)w−c13∇2w−e13∇2Φ]− − ∂ ∂θ [∇2Σ1 + 2Σ1 + (c66(∇2 1 + 2)− ρr2ω2)u1] = 0. (7) Здесь ∇2 1 = ∂2/∂θ2 + ctg(∂/∂θ) + ∂2/∂ϕ2, ω — круговая частота. Из уравнений (7) получаем: ∇2Σ2 + 2Σ2 + (c11∇2 1 + 2c66 − ρr2ω2)u2 − (c11 + c12)w − c13∇2w − e13∇2Φ = 0, ∇2Σ1 + 2Σ1 + (c66(∇2 1 + 2)− ρr2ω2)u1 = 0. (8) Третье уравнение из (3) и уравнение (4) дают ∇2Σrr +Σrr −∇2 1Σ2 + (c11 + c12)∇2 1u2 − (2(c11 + c12) + 2c13∇2 + ρr2ω2)w − − 2e13∇2Φ = 0, ∇2∆r +∆r + e15∇2 1w − ε11∇2 1Φ+ e15∇2 1(1−∇2)u2 = 0. (9) Используя четвертое и пятое уравнения из (1) и соотношения (2), запишем ∂ ∂θ [Σ2 + c44(1−∇2)u2 + c44w + e15Φ] + 1 sin θ ∂ ∂ϕ [c44(1−∇2)u1 +Σ1] = 0, (10) 1 sin θ ∂ ∂ϕ [Σ2 + c44(1−∇2)u2 + c44w + e15Φ]− ∂ ∂θ [c44(1−∇2)u1 +Σ1] = 0. (11) Из уравнений (10) и (11) вытекает Σ2 + c44(1−∇2)u2 + c44w + e15Φ = 0, (12) c44(1−∇2)u1 +Σ1 = 0. (13) Из третьего и девятого уравнений (1) с использованием (2) получаем: Σrr = −c13∇2 1u2 + c13(2 +∇2)w + e33∇2Φ, (14) ∆r = −e31∇2 1u2 + e13(2 +∇2)w − ε33∇2Φ. (15) Граничные условия на боковых поверхностях шара (при r = R0 ± h) задаются следую- щие. Поверхности свободны от внешних усилий σ1 rr = σ1 rθ = σ1 rϕ = σN rr = σN rθ = σN rϕ = 0 и покрыты электродами, которые закорочены, Φ1 = ΦN = 0. На поверхностях контакта 78 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №11 r = ri имеют место условия совместной работы i-го и (i + 1)-го слоев без скольжения и отрыва и непрерывности электрического поля: σi rr = σi+1 rr ; σi rθ = σi+1 rθ ; σi rϕ = σi+1 rϕ ; Φi = Φi+1;uir = ui+1 r ; uiθ = ui+1 θ ; uiϕ = ui+1 ϕ ; Di r = Di+1 r . (16) Здесь h — половина толщины шара; R0 — радиус срединной поверхности; r1 — внутренний радиус сферы; rN — внешний радиус сферы. В дальнейшем верхний индекс i будем опускать. Выбираем в качестве основных неиз- вестных функции, через которые формулируются условия контакта смежных слоев и усло- вия на ограничивающих тело поверхностях. Перейдем к переменным σrr = Σrr/r, σ1 = Σ1/r, σ2 = Σ2/r, Dr = ∆r/r и будем искать решение в виде: σrr = λ n∑ m=0 ∞∑ n=1 U1(r)S m n (θ, ϕ); σ1 = λ n∑ m=0 ∞∑ n=1 U2(r)S m n (θ, ϕ), σ2 = λ n∑ m=0 ∞∑ n=1 U3(r)S m n (θ, ϕ); Φ = h √ λ ε0 n∑ m=0 ∞∑ n=1 U4(r)S m n (θ, ϕ), w = h n∑ m=0 ∞∑ n=1 U5(r)S m n (θ, ϕ); u1 = h n∑ m=0 ∞∑ n=1 U6(r)S m n (θ, ϕ), u2 = h n∑ m=0 ∞∑ n=1 U7(r)S m n (θ, ϕ); Dr = √ ε0λ n∑ m=0 ∞∑ n=1 U8(r)S m n (θ, ϕ). (17) Здесь Sm n = Pm n (cos θ)eimϕ — сферические гармонические функции; Pm n (x) — присоединен- ные полиномы Лежандра; λ = 1010 H/м2; ε0 — диэлектрическая проницаемость вакуума. Выбор решения в виде (17) позволяет от исходной трехмерной задачи электроупругости в частных производных прийти к краевой задаче на собственные значения в обыкновенных дифференциальных уравнениях: dU dx = BU, CU = 0, DU = 0, (18) где матрицы B, C и D, соответственно, равны: B= ∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥ 2ε̃(β−1) 0 −ε̃l 0 −2ε̃2δ̃1−Ω2 0 −ε̃ 2 δ̃1l 2ε̃γ̃ 0 −3ε̃ 0 0 0 −ε̃ 2 c̃66(2+l) − Ω2 0 0 ε̃β 0 −3ε̃ 0 −ε̃ 2 δ̃1 0 −ε̃ 2(δ̃2l+c̃66)−Ω2 ε̃γ̃ ẽ33 α̃ 0 0 0 −2ε̃γ̃ 0 −ε̃γ̃l − c̃33 α̃ ε̃33 α̃ 0 0 0 −2ε̃β 0 −ε̃βl ẽ33 α̃ 0 1 c̃44 0 0 0 ε̃ 0 0 0 0 1 c̃44 ε̃ẽ15 c̃44 ε̃ 0 ε̃ 0 0 0 − ε̃ẽ15l c̃44 −ε̃ 2 δ̃3l 0 0 0 −2ε̃ ∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥ , ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №11 79 Рис. 1 C = D = ∥∥∥∥∥∥∥∥ 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ∥∥∥∥∥∥∥∥ . Здесь введены величины: α = c33ε33 + e233, β = c13ε33 + e31e33 α , γ = c13e33 − c33e31 α , δ1 = 2(c13β + e31γ)− (c11 + c12), δ2 = δ1 2 − c66, δ3 = ε11 + e215 c44 , x = r −R0 h , ε = h R0 , l = n(n+ 1), ε̃ = ε 1 + εx , Ω = ωh √ ρ λ , c̃ij = cij λ , ẽij = eij√ ε0λ , ε̃ij = εij ε0 ; безразмерные величины α̃, γ̃ и δ̃i получаются из α, γ и δi путем замены входящих в них констант на безразмерные. Ниже приведены результаты численного анализа краевой задачи (18). На рис. 1 пред- ставлена зависимость первых шести частот собственных колебаний от числа n. При этом ε = 0,25. Шар состоит из трех слоев. Толщина внешних слоев равна по h/2, толщина внут- реннего слоя — h. Внешние слои — стальные с такими характеристиками: E = 21 · 1010 H м2 ; ν = 0,28; ρм = 7,85 · 103 кг м3 . Внутренний слой — пьезокерамика PZT 4 со следующими характеристиками: c11 = 13,9 · 1010 H м2 ; c12 = 7,78 · 1010 H м2 ; c13 = 7,43 · 1010 H м2 ; c33 = 11,5 · 1010 H м2 ; 80 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №11 Рис. 2 c44 = 2,56 · 1010 H м2 ; e11 = 15,1 K м2 ; e31 = −5,2 K м2 ; e15 = 12,7 K м2 ; ε11 = 730; ε33 = 635; ρn = 7,5 · 103 кг м3 . Для кривых введены обозначения, принятые в работе [7]. Поскольку собственная частота колебаний слоистого шара ограничена сверху соответст- вующей собственной частотой колебаний сплошного металлического шара, а снизу — соб- ственной частотой колебаний сплошного пьезокерамического шара, для слоистого шара будем использовать аналогичные обозначения. Сплошными линиями изображены значения собственных частот колебаний для слоис- того шара, штриховыми — значения собственных частот колебаний однородного шара та- кой же толщины из пьезокерамики PZT 4. Из приведенного рисунка видно, что влияние наличия металлических слоев приводит к “ужесточению” материала, т. е. повышению зна- чения собственных частот. При этом различие в первой собственной частоте для слоистого и однослойного шара незначительно. На рис. 2 представлены результаты численного анализа задачи (18) для случая, анало- гичного описанному выше, только теперь сплошными линиями также обозначены собствен- ные частоты колебаний слоистого шара, а штриховой — собственные частоты колебаний однослойного стального шара. Как видно из рис. 2, в этом случае значения собственных час- тот колебаний слоистого шара меньше соответствующих частот колебаний стального шара. Следовательно, частота собственных колебаний слоистого шара лежит в некоем “коридоре” между собственной частотой колебаний однослойного шара из пьезокерамики и собственной частотой колебаний однослойного шара из стали. Это иллюстрирует рис. 3, где сплошной линией обозначены собственные частоты колебаний слоистого шара, штриховой — собствен- ные частоты колебаний шара из пьезокерамики, штрихпунктирной — собственные частоты колебаний шара из стали. Материал и геометрия шара те же. Учитывая тот факт, что толщина пьезокерамического слоя и суммарная толщина метал- лических слоев одинаковы, а собственные частоты для слоистого шара лежат в “коридоре” ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №11 81 Рис. 3 Рис. 4 из соответствующих однородных слоев, естественно предположить, что значения собствен- ных частот колебаний слоистого шара можно приближенно определить как среднее арифме- тическое собственных частот колебаний соответствующих однородных. Это иллюстрирует рис. 4. Здесь сплошными линиями представлены значения собственных частот слоистого шара, а штриховой — среднее арифметическое значение для однородных шаров. Как видно из приведенного рисунка, в низкочастотной области (а именно там будут лежать первые собственные частоты) расхождение в частотах, полученных на основании такого предполо- жения, будут небольшие. С ростом же частоты и увеличением числа n эти расхождения становятся весьма существенными. 1. Борисейко В.А., Улитко А.Ф. Связанные электроупругие колебания толстостенной пьезокерамичес- кой сферы // Тепл. напряжения в элементах конструкций. – 1971. – Вып. 11. – С. 86–89. 2. Борисейко В.А. Связанные электроупругие колебания толстостенной пьезокерамической сферы в сжимаемой жидкости // Там же. – 1972. – Вып. 12. – С. 111–114. 3. Лазуткин В.Н. Колебания полого пьезокерамического шара // Акуст. журн. – 1976. – 22, № 3. – С. 393–396. 4. Chen W.Q., Ding H. J. Exact static analysis of rotating piezoelectric spherical shell // Acta Mechanica Sinica. – 1998. – 14. – P. 257–265. 5. Kirichok I. F. Numerical solution of problem of the electrostatic oscillation of a cylinder and sphere // Soviet Appl. Mech. – 1980. – 16, P. 117–121. 6. Борисейко В.А., Улитко А.Ф. Электроупругие колебания толстостенной пьезокерамической сфе- ры // Тепл. напряжения в элементах конструкций. – 1974. – Вып. 14. – С. 121–126. 7. Лоза И.А., Шульга Н.А. Осесимметричные колебания пьезокерамического полого шара при ради- альной поляризации // Акуст. журн. – 1984. – 20, № 2. – С. 3–8. 8. Шульга Н.А. Радиальные электроупругие колебания пьезокерамического полого шара // Прикл. механика. – 1990. – 26, № 8. – С. 20–25. 9. Лоза И.А., Шульга Н.А. Вынужденные осесимметричные колебания пьезокерамического полого ша- ра при электрическом способе возбуждения // Акуст. журн. – 1990. – 26, № 6. – С. 16–21. 10. Chen W.Q., Ding H. J., Xu R.Q. Three-dimensional static analysis of multi-layered piezoelectric hollow sphere via the state space method // Int. J. Solids and Structures. – 2001. – 38, P. 4921–4936. 11. Григоренко Я.М., Влайков Г. Г., Григоренко А.Я. Численно-аналитическое решение задач механики оболочек на основе различных моделей. – Киев: Академпериодика, 2006. – 472 с. 82 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №11 12. Grigorenko Ya.M., Grigorenko A.Ya., Vlaikov G.G. Problems of mechanics for anisotropic inhomogeneous shells on basis of different models. – Київ: Академперiодика, 2009. – 549 с. 13. Shul’ga N.A., Grigorenko A.Ya., Efimova T.L. Free non-axisymmetric oscillations of thick-walled, non- homogeneous transversely isotropic hollow sphere // Soviet Appl. Mech. – 1988. – 24. – P. 439–444. 14. Шульга Н.А. Об электроупругих колебаниях пьезокерамического шара с радиальной поляриза- цией // Прикл. механика. – 1986. – 22, № 6. – С. 3–7. 15. Chen W.Q. Problems of radiallly polarized piezoelectric bodies // Int. J. Solids and Structures. – 1999. – 36. – P. 4317–4332. Поступило в редакцию 26.01.2011Национальный транспортный университет, Киев I. А. Loza Non-axisymmetric natural vibrations of a hollow inhomogeneous sphere with piezoceramic layers The problem of nonaxisymmetric natural vibrations of a hollow multilayered sphere with piezo- ceramic layers polarized in the radial direction is considered. The numerical-analytical method is offered for solving this problem. The initial problem of electroelasticity theory with partial derivati- ves after expanding the components of the stress tensor, displacement vector, electric induction, and electrostatic potential in spherical functions is reduced to the boundary-value problem for the system of ordinary differential equations for the radial coordinate. The problem is solved by a stable numerical method of discrete orthogonalization coupled with the incremental search method. The numerical results are presented for natural frequencies of vibrations in a wide range of the geometric characteristics of multilayered spheres. ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №11 83

Неосесимметричные колебания полого неоднородного шара с пьезокерамическими слоями

Репозитарії

Схожі ресурси