Об одном классе модулей над групповыми кольцами локально разрешимых групп с условием min−nnd

Досліджено RG-модуль A такий, що R — цілісне кільце, група G локально розв'язна, CG(A)=1, фактормодуль A/CA(G) не є нетеровим R-модулем та система всіх підгруп H≤G, для яких фактормодулі A/CA(H) не є нетеровими R-модулями, задовольняє умову мінімальності. Ця умова називається умовою min−nnd. От...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2011
Автор:	Дашкова, О.Ю.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Видавничий дім "Академперіодика" НАН України 2011
Назва видання:	Доповіді НАН України
Теми:	Математика
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/44165
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Об одном классе модулей над групповыми кольцами локально разрешимых групп с условием min−nnd / О.Ю. Дашкова // Доп. НАН України. — 2011. — № 12. — С. 13-17. — Бібліогр.: 7 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-44165
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-441652013-05-27T03:09:32Z Об одном классе модулей над групповыми кольцами локально разрешимых групп с условием min−nnd Дашкова, О.Ю. Математика Досліджено RG-модуль A такий, що R — цілісне кільце, група G локально розв'язна, CG(A)=1, фактормодуль A/CA(G) не є нетеровим R-модулем та система всіх підгруп H≤G, для яких фактормодулі A/CA(H) не є нетеровими R-модулями, задовольняє умову мінімальності. Ця умова називається умовою min−nnd. Отримано деякі властивості групи G. An RG-module A such that R is an integral ring, a group G is locally soluble, CG(A)=1, the quotient module A/CA(G) is not a Noetherian R-module, and the system of all subgroups H≤G for which the quotient modules A/CA(H) are not Noetherian R-modules satisfies the minimal condition on subgroups is studied. This condition is called the condition min−nnd. Some properties of the group G are obtained. 2011 Article Об одном классе модулей над групповыми кольцами локально разрешимых групп с условием min−nnd / О.Ю. Дашкова // Доп. НАН України. — 2011. — № 12. — С. 13-17. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/44165 512.544 ru Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Математика Математика
spellingShingle	Математика Математика Дашкова, О.Ю. Об одном классе модулей над групповыми кольцами локально разрешимых групп с условием min−nnd Доповіді НАН України
description	Досліджено RG-модуль A такий, що R — цілісне кільце, група G локально розв'язна, CG(A)=1, фактормодуль A/CA(G) не є нетеровим R-модулем та система всіх підгруп H≤G, для яких фактормодулі A/CA(H) не є нетеровими R-модулями, задовольняє умову мінімальності. Ця умова називається умовою min−nnd. Отримано деякі властивості групи G.
format	Article
author	Дашкова, О.Ю.
author_facet	Дашкова, О.Ю.
author_sort	Дашкова, О.Ю.
title	Об одном классе модулей над групповыми кольцами локально разрешимых групп с условием min−nnd
title_short	Об одном классе модулей над групповыми кольцами локально разрешимых групп с условием min−nnd
title_full	Об одном классе модулей над групповыми кольцами локально разрешимых групп с условием min−nnd
title_fullStr	Об одном классе модулей над групповыми кольцами локально разрешимых групп с условием min−nnd
title_full_unstemmed	Об одном классе модулей над групповыми кольцами локально разрешимых групп с условием min−nnd
title_sort	об одном классе модулей над групповыми кольцами локально разрешимых групп с условием min−nnd
publisher	Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
publishDate	2011
topic_facet	Математика
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/44165
citation_txt	Об одном классе модулей над групповыми кольцами локально разрешимых групп с условием min−nnd / О.Ю. Дашкова // Доп. НАН України. — 2011. — № 12. — С. 13-17. — Бібліогр.: 7 назв. — рос.
series	Доповіді НАН України
work_keys_str_mv	AT daškovaoû obodnomklassemodulejnadgruppovymikolʹcamilokalʹnorazrešimyhgruppsusloviemminnnd
first_indexed	2025-07-04T02:34:12Z
last_indexed	2025-07-04T02:34:12Z
_version_	1836682002252693504
fulltext	УДК 512.544 © 2011 О.Ю. Дашкова Об одном классе модулей над групповыми кольцами локально разрешимых групп с условием min−nnd (Представлено членом-корреспондентом НАН Украины В.П. Моторным) Дослiджено RG-модуль A такий, що R — цiлiсне кiльце, група G локально розв’язна, CG(A) = 1, фактормодуль A/CA(G) не є нетеровим R-модулем та система всiх пiдгруп H 6 G, для яких фактормодулi A/CA(H) не є нетеровими R-модулями, задовольняє умову мiнiмальностi. Ця умова називається умовою min−nnd. Отримано деякi влас- тивостi групи G. Пусть A — векторное пространство над полем F . Подгруппы группы GL(F,A) всех автомор- физмов пространства A называются линейными группами. Если A имеет конечную размер- ность над полем F , то группа GL(F,A) может быть отождествлена с группой невырожден- ных квадратных матриц размерности n× n над полем F , где n = dimF A. Конечномерные линейные группы играют особую роль в различных областях науки и достаточно исследова- ны. В случае, когда пространство A имеет бесконечную размерность над полем F , ситуация кардинально меняется. Изучение бесконечномерных линейных групп возможно лишь при наложении на них дополнительных ограничений. К таким ограничениям относятся различ- ные условия конечности. В [1] введено понятие центральной размерности бесконечномерной линейной группы. Пусть H — подгруппа группы GL(F,A). H действует на факторпро- странстве A/CA(H) естественным образом. Авторы полагают dimF H = dimF (A/CA(H)). Говорят, что подгруппа H имеет конечную центральную размерность, если dimF H конечна. В противном случае полагают, что центральная размерность подгруппы H бесконечна. Как выяснилось, линейные группы конечной центральной размерности по своей структуре до- статочно близки к обычным конечномерным линейным группам. В связи с этим естественно возникает вопрос об исследовании линейных групп бесконечной центральной размерности. Пусть G 6 GL(F,A). В [1] введена в рассмотрение система подгрупп Lid(G), состоящая из всех подгрупп группы G, имеющих бесконечную центральную размерность. При иссле- довании линейных групп бесконечной центральной размерности естественно рассмотреть случаи, когда система Lid(G) “достаточно мала”. В [1] изучались локально разрешимые бесконечномерные линейные группы, у которых Lid(G) удовлетворяет условию минималь- ности. В [2] исследовались разрешимые бесконечномерные линейные группы, у которых система Lid(G) удовлетворяет условию максимальности. Если G 6 GL(F,A), то A можно рассматривать как FG-модуль. Естественным обоб- щением данного случая является рассмотрение RG-модуля A, где R — кольцо, структура которого достаточно близка к структуре поля. При этом обобщением понятия центральной размерности линейной группы является понятие коцентрализатора подгруппы, введенное в [3]. Пусть A — RG-модуль, где R — кольцо, G — группа. Если H 6 G, то фактормодуль A/CA(H), рассматриваемый как R-модуль, называется коцентрализатором подгруппы H в модуле A. Следует отметить, что в теории модулей существует ряд обобщений понятия конеч- номерного векторного пространства. Это модули, обладающие конечными композицион- ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №12 13 ными рядами, конечно порожденные модули, артиновы модули, нетеровы модули. Доста- точно широкими классами модулей над групповыми кольцами являются артиновы моду- ли над групповыми кольцами и нетеровы модули над групповыми кольцами. Напомним, что модуль называется артиновым, если частично упорядоченное множество его подмоду- лей удовлетворяет условию минимальности. Модуль называется нетеровым, если частично упорядоченное множество его подмодулей удовлетворяет условию максимальности. Многие проблемы алгебры нуждаются в исследовании некоторых специфических артиновых и не- теровых модулей над групповыми кольцами, а также модулей над групповыми кольцами, которые не являются артиновыми или нетеровыми, но в некотором смысле близки к ним. В [4] изучался RG-модуль A такой, что R — дедекиндово кольцо, и коцентрализатор группы G в модуле A не является артиновым R-модулем. Введена в рассмотрение систе- ма Lnad(G) всех подгрупп группы G, коцентрализаторы которых в модуле A не являются артиновыми R-модулями. На Lnad(G) введен порядок относительно обычного включения подгрупп. Если Lnad(G) удовлетворяет условию минимальности как упорядоченное множе- ство, говорят, что группа G удовлетворяет условию минимальности для подгрупп, коцен- трализаторы которых в модуле A не являются артиновыми R-модулями, или, просто, что группа G удовлетворяет условию min−nad. В [4] описана структура локально разрешимой группы с условием min−nad. В данной работе изучается RG-модуль A такой, что коцентрализатор группы G в моду- ле A не является нетеровым R-модулем. Пусть Lnnd(G) — система всех подгрупп группы G, коцентрализаторы которых в модуле A не являются нетеровыми R-модулями. Введем на Lnnd(G) порядок относительно обычного включения подгрупп. Если Lnnd(G) удовлетворя- ет условию минимальности как упорядоченное множество, будем говорить, что группа G удовлетворяет условию минимальности для подгрупп, коцентрализаторы которых в моду- ле A не являются нетеровыми R-модулями, или, просто, что группа G удовлетворяет усло- вию min−nnd. В работе изучаются локально разрешимые группы с условием min−nnd и обобщаются некоторые результаты работы [1]. Рассматривается случай, когда R — про- извольное целостное кольцо. Аналогичная проблема для RG-модуля A, когда R является кольцом целых чисел, исследовалась в [5]. Далее всюду рассматривается RG-модуль A такой, что CG(A) = 1, R — целостное кольцо. Приведем некоторые элементарные факты о RG-модулях. Так, если K 6 H 6 G и коцен- трализатор подгруппы H в модуле A является нетеровым R-модулем, то коцентрализатор подгруппы K в модуле A также является нетеровым R-модулем. Если U , V — подгруппы группы G такие, что их коцентрализаторы в модуле A — нетеровы R-модули, то фактормо- дуль A/(CA(U) ⋂ CA(V )) также является нетеровым R-модулем. Поэтому коцентрализатор подгруппы 〈U, V 〉 в модуле A — нетеров R-модуль. Предположим, что группа G удовлетворяет условию min−nnd. Если H1 > H2 > H3 > > · · · — бесконечный строго убывающий ряд подгрупп группы G, то существует такое натуральное число n, что коцентрализатор подгруппы Hn в модуле A является нетеровым R-модулем. Кроме того, если N — нормальная подгруппа группы G и коцентрализатор подгруппы N в модуле A не является нетеровым R-модулем, то факторгруппа G/N удов- летворяет условию минимальности для подгрупп. Лемма. Пусть A — RG-модуль, и предположим, что группа G удовлетворяет усло- вию min−nnd. Пусть X, H — подгруппы группы G, Λ — бесконечное множество и выпол- нены следующие условия: 14 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №12 (i) X = Drλ∈ΛXλ, где 1 6= Xλ — H-инвариантная подгруппа группы X для каждого λ ∈ Λ; (ii) H ⋂ X 6 Drλ∈ΓXλ для некоторого подмножества Γ множества Λ. Если множество Ω = Λ\Γ бесконечно, то коцентрализатор подгруппы H в модуле A — нетеров R-модуль. Доказательство данной леммы аналогично доказательству леммы 2.1 из [1]. Следующий результат дает важную информацию о структуре факторгруппы G/G′. Предложение. Пусть A — RG-модуль. Предположим, что группа G удовлетворяет условию min−nnd и коцентрализатор группы G в модуле A не является нетеровым R-мо- дулем. Тогда факторгруппа G/G′ является черниковской группой. Доказательство. Предположим противное. Пусть факторгруппа G/G′ не является чер- никовской группой. Пусть S — множество всех подгрупп H 6 G таких, что факторгруппа H/H ′ не является черниковской группой, и коцентрализатор подгруппы H в модуле A не является нетеровым R-модулем. Поскольку G ∈ S, то S 6= ∅. Так как S удовлетворяет условию минимальности, то S имеет минимальный элемент. Обозначим его через D. Если U , V — собственные подгруппы группы D такие, что D = UV и U ⋂ V = D′, то по крайней мере одна из этих подгрупп, скажем U , такова, что коцентрализатор U в модуле A не яв- ляется нетеровым R-модулем. Из выбора подгруппы D вытекает, что факторгруппа U/U ′ является черниковской группой. Следовательно, факторгруппа U/D′ ≃ (U/U ′)/(D′/U ′) черниковская. Поскольку коцентрализатор подгруппы U в модуле A не является нетеро- вым R-модулем, то абелева факторгруппа D/U также является черниковской, и поэтому факторгруппа D/D′ черниковская. Противоречие с выбором подгруппы D. Следовательно, факторгруппа D/D′ неразложима. Отсюда вытекает, что факторгруппа D/D′ изоморфна подгруппе квазициклической группы Cq∞ для некоторого простого числа q. Противоречие. Лемма доказана. Пусть A — RG-модуль и группа G удовлетворяет условию min−nnd. Обозначим через ND(G) множество всех элементов x ∈ G таких, что коцентрализатор подгруппы 〈x〉 в мо- дуле A является нетеровым R-модулем. Поскольку CA(x g) = CA(x)g для всех x, g ∈ G, то ND(G) — нормальная подгруппа группы G. Теорема 1. Пусть A — RG-модуль, G — периодическая локально разрешимая группа, удовлетворяющая условию min−nnd, и коцентрализатор группы G в модуле A не являет- ся нетеровым R-модулем. Тогда либо группа G удовлетворяет условию минимальности для подгрупп, либо G = ND(G). Доказательство. Предположим противное. Пусть группа G не удовлетворяет условию минимальности для подгрупп, G 6= ND(G), и пусть S — множество таких подгрупп H 6 G, что H не удовлетворяет условию минимальности для подгрупп, H 6= ND(H). Тогда S 6= ∅. Покажем, что S удовлетворяет условию минимальности. Пусть {Hσ \| σ ∈ Σ} — некоторое непустое подмножество множества S. Поскольку Hσ 6= ND(Hσ) для любого σ ∈ Σ, то для любого σ ∈ Σ существует элемент hσ ∈ Hσ такой, что его коцентрализатор в модуле A не является нетеровым R-модулем. Так как CA(Hσ) 6 CA(〈hσ〉), то коцентрализатор подгруп- пы Hσ в модуле A не является нетеровым R-модулем. Поскольку группа G удовлетворяет условию min−nnd, то множество S удовлетворяет условию минимальности. Пусть M — минимальный элемент S, L = ND(M). Существует строго убывающий ряд подгрупп груп- пы M : V1 > V2 > V3 > · · · . Поскольку группа M удовлетворяет условию min−nnd, найдется такое натуральное число k, что коцентрализатор подгруппы Vk в модуле A — нетеров R-модуль. Следователь- ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №12 15 но, Vk 6 L, и поэтому подгруппа L не удовлетворяет условию минимальности. Из выбора подгруппы M вытекает, что если x ∈ M \ L, то 〈x,L〉 = M . Следовательно, факторгруп- па M/L имеет простой порядок q. Заменяя x, если это необходимо, подходящей степенью, можно считать, что элемент x имеет порядок qr для некоторого натурального числа r. Так как подгруппа M не является черниковской, по теореме Д.И. Зайцева [7] получаем, что M содержит 〈x〉-инвариантную подгруппу B = Drn∈N〈bn〉, и можно считать, что каждый элемент bn имеет простой порядок для каждого n ∈ N. Пусть 1 6= c1 ∈ B и C1 = 〈c1〉〈x〉. Тогда подгруппа C1 конечна и существует подгруппа E1 такая, что B = C1 × E1. Поло- жим U1 = core〈x〉E1. Тогда подгруппа U1 имеет конечный индекс в B. Если 1 6= c2 ∈ U1 и C2 = 〈c2〉〈x〉, то C2 является конечной 〈x〉-инвариантной подгруппой и 〈C1, C2〉 = C1 ×C2. Продолжив построение, мы получим семейство {Cn \| n ∈ N} конечных 〈x〉-инвариантных подгрупп группы B таких, что {Cn \| n ∈ N}= Drn∈NCn. Согласно лемме, x ∈ L. Проти- воречие. Теорема доказана. Теорема 2. Пусть A — RG-модуль, G — локально разрешимая группа и в случае, ко- гда коцентрализатор группы G в модуле A не является нетеровым R-модулем, группа G удовлетворяет условию min−nnd. Тогда либо группа G разрешима, либо G обладает возра- стающим рядом нормальных подгрупп 1 = W0 6 W1 6 · · · 6 Wn 6 · · · 6 Wω = ⋃ n∈N Wn 6 G таким, что коцентрализатор каждой подгруппы Wn в модуле A является нетеровым R-модулем, факторы Wn+1/Wn абелевы для n = 1, 2, . . ., и факторгруппа G/Wω является черниковской группой. Доказательство. Рассмотрим сначала случай, когда коцентрализатор группы G в мо- дуле A является нетеровым R-модулем. Тогда A/CA(G) — конечно порожденный R-модуль. Поскольку R является целостным кольцом, то R можно вложить в некоторое поле F . По- этому факторгруппа G/CG(A/CA(G)) изоморфна локально разрешимой подгруппе группы GL(r, F ). С учетом следствия 3.8 [6] получаем, что факторгруппа G/CG(A/CA(G)) разре- шима. Поскольку подгруппа CG(A/CA(G)) абелева, группа G разрешима. Перейдем теперь к рассмотрению случая, когда коцентрализатор группы G в моду- ле A не является нетеровым R-модулем. Докажем сначала, что группа G гиперабелева. Для этого покажем, что каждый нетривиальный образ группы G содержит нетривиальную нормальную абелеву подгруппу. Пусть H — собственная нормальная подгруппа группы G. Предположим сначала, что коцентрализатор подгруппы H в модуле A не является нетеровым R-модулем. Тогда фак- торгруппа G/H удовлетворяет условию минимальности для подгрупп. Следовательно, G/H является черниковской группой и содержит нетривиальную нормальную абелеву подгруппу. Теперь предположим, что коцентрализатор подгруппы H в модуле A является нетеровым R-модулем. Пусть S = {Mσ/H\|σ ∈ Σ} — семейство всех нетривиальных нормальных под- групп факторгруппы G/H. Рассмотрим сначала случай, когда для каждого σ ∈ Σ коцен- трализатор подгруппы Mσ в модуле A не является нетеровым R-модулем. Покажем, что в этом случае факторгруппа G/H удовлетворяет условию минимальности для нормальных подгрупп. Пусть {Mδ/H} — непустое подмножество S. Для каждого δ коцентрализатор по- дгруппы Mδ в модуле A не является нетеровым R-модулем. Согласно условию min−nnd, множество {Mδ} имеет минимальный элемент M . Следовательно, M/H — минимальный элемент подмножества {Mδ/H}. Поэтому факторгруппа G/H удовлетворяет условию ми- нимальности для нормальных подгрупп. Следовательно, факторгруппа G/H гиперабелева и содержит нетривиальную нормальную абелеву подгруппу. В случае, когда для некото- 16 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №12 рого γ ∈ Σ коцентрализатор подгруппы Mγ в модуле A является нетеровым R-модулем, подгруппа Mγ разрешима. Поэтому Mγ/H — нетривиальная нормальная разрешимая под- группа факторгруппы G/H. Следовательно, факторгруппа G/H содержит нетривиальную нормальную абелеву подгруппу, и поэтому группа G гиперабелева. Пусть 1 = H0 6 H1 6 · · · 6 Hα 6 · · · 6 G — возрастающий ряд нормальных подгрупп с абелевыми факторами и пусть α — наименьшее порядковое число такое, что коцентра- лизатор подгруппы Hα в модуле A не является нетеровым R-модулем. Тогда, как и ранее, подгруппа Hβ разрешима для всех β < α. Кроме того, факторгруппа G/Hα удовлетво- ряет условию минимальности для подгрупп, и поэтому является разрешимой черниковской группой. Предположим сначала, что α не является предельным порядковым числом. Следова- тельно, подгруппа Hα разрешима, и поэтому группа G также разрешима. Рассмотрим те- перь случай, когда α — предельное порядковое число и группа G не является разрешимой. Для каждого натурального числа k существует такое порядковое число βk, что βk < α, Hβk имеет ступень разрешимости, не превосходящую числа k. Кроме того, можно положить, что βi < βi+1 для каждого натурального числа i. Пусть Ti = Hβi для каждого натурального числа i. Следовательно, 1 = T0 6 T1 6 · · · 6 · · · — возрастающий ряд нормальных подгрупп группы G. Тогда подгруппа Tω = ⋃ n∈N Tn не является разрешимой, и поэтому Tω = Hα. Тре- буемый ряд 1 = W0 6 W1 6 · · · 6 Wn 6 · · · 6 Wω = ⋃ n∈N Wn 6 G может быть получен из ряда 1 = T0 6 T1 6 · · · 6 Tω 6 G. Теорема доказана. 1. Dixon M.R., Evans M. J., Kurdachenko L.A. Linear groups with the minimal condition on subgroups of infinite central dimension // J. Algebra. – 2004. – 277, No 1. – P. 172–186. 2. Kurdachenko L.A., Subbotin I. Ya. Linear groups with the maximal condition on subgroups of infinite central dimension // Publ. Math. – 2006. – 50. – P. 103–131. 3. Курдаченко Л.А. О группах с минимаксными классами сопряженных элементов // Бесконечные группы и примыкающие алгебраические структуры. – Киев. – 1993. – С. 160–177. 4. Dashkova O.Yu. On modules over group rings of locally soluble groups with rank restrictions on some systems of subgroups // Asian-Eur. J. Math. – 2010. – 3, No 1. – P. 45–55. 5. Дашкова О.Ю. Модули над целочисленными групповыми кольцами локально разрешимых групп с ограничениями на некоторые системы подгрупп // Доп. НАН України. – 2009. – № 2. – С. 14–19. 6. Wehrfritz B. A.F. Infinite linear groups // Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. – New York; Heidelberg; Berlin: Springer, 1973. – 229 p. 7. Зайцев Д.И. О разрешимых подгруппах локально разрешимых групп // Докл. АН СССР. – 1974. – 214, № 6. – С. 1250–1253. Поступило в редакцию 01.02.2011Днепропетровский национальный университет O.Yu. Dashkova On a class of modules over the group rings of locally soluble groups under the condition min−nnd An RG-module A such that R is an integral ring, a group G is locally soluble, CG(A) = 1, the quotient module A/CA(G) is not a Noetherian R-module, and the system of all subgroups H 6 G for which the quotient modules A/CA(H) are not Noetherian R-modules satisfies the minimal condition on subgroups is studied. This condition is called the condition min−nnd. Some properties of the group G are obtained. ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №12 17

Об одном классе модулей над групповыми кольцами локально разрешимых групп с условием min−nnd

Репозитарії

Схожі ресурси