Влияние поверхности на тензор модулей упругости
Розглянуто зміни незалежних компонент тензорів модулів пружності поблизу плоских поверхонь для всіх 32 кристалографічних об'ємних класів. Розрахунок проведено для тензорів четвертого рангу модулів пружності та податливості на основі теорії симетрії, що враховує вплив елементів симетрії групи на...
Збережено в:
| Дата: | 2011 |
|---|---|
| Автори: | , , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2011
|
| Назва видання: | Доповіді НАН України |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/44175 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Влияние поверхности на тензор модулей упругости / М.Д. Глинчук, В.В. Скороход, Е.А. Елисеев, В.В. Хист, В.Я. Зауличный // Доп. НАН України. — 2011. — № 12. — С. 72-78. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-44175 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-441752013-05-27T03:09:42Z Влияние поверхности на тензор модулей упругости Глинчук, М.Д. Скороход, В.В. Елисеев, Е.А. Хист, В.В. Зауличный, В.Я. Матеріалознавство Розглянуто зміни незалежних компонент тензорів модулів пружності поблизу плоских поверхонь для всіх 32 кристалографічних об'ємних класів. Розрахунок проведено для тензорів четвертого рангу модулів пружності та податливості на основі теорії симетрії, що враховує вплив елементів симетрії групи на компоненти тензорів. Встановлено збільшення числа ненульових компонент завдяки зниженню симетрії поблизу поверхні. Зокрема, до існуючих в об'ємі трьох незалежних пружних модулів (c11, c12, c44) слід додати c33, c13 та c66 для поверхні типу (100) та нові ненульові компоненти c14, c22=−c14, c56=−c14 для поверхні типу (111). Порівняльний аналіз величин тензорів пружності в об'ємі та поблизу поверхні показав, що співвідношення Коші не виконуються у наноструктурних матеріалах через втрату просторової інверсії атомів поблизу поверхні. На основі проведених раніше експериментальних досліджень та першопринципних розрахунків встановлено, що вплив поверхні є значним для розмірів, що не перевищують 100 нм. The consideration of a change of independent components of the tensors of elasticity moduli in a vicinity of flat surfaces for all 32 bulk crystallographic classes is carried out. The calculations are performed for the fourth rank tensors of elasticity moduli and compliances on the basis of the symmetry theory with respect to the transformation of tensor components under a symmetry group. The increase in the number of nonzero components is obtained due to the symmetry lowering in a vicinity of the surface. In particular, for the cubic symmetry, the moduli c33, c13, and c66 appear in addition to the known three nontrivial moduli (c11, c12, c44) for surfaces of the (100) type and new nonzero components c14, c22=−c14, c56=−c14 are obtained for those of the (111) type. Comparative analysis of elastic moduli in bulk and in a vicinity of the surface has shown that the Cauchy relations are not valid in a vicinity of the surface because of the inversion symmetry absence. Analysis of the experimental results and those f ab initio calculations for nanostructured materials allows us to conclude that the surface influence is essential for sizes up to 100 nm. 2011 Article Влияние поверхности на тензор модулей упругости / М.Д. Глинчук, В.В. Скороход, Е.А. Елисеев, В.В. Хист, В.Я. Зауличный // Доп. НАН України. — 2011. — № 12. — С. 72-78. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/44175 1:512.54 ru Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Матеріалознавство Матеріалознавство |
| spellingShingle |
Матеріалознавство Матеріалознавство Глинчук, М.Д. Скороход, В.В. Елисеев, Е.А. Хист, В.В. Зауличный, В.Я. Влияние поверхности на тензор модулей упругости Доповіді НАН України |
| description |
Розглянуто зміни незалежних компонент тензорів модулів пружності поблизу плоских поверхонь для всіх 32 кристалографічних об'ємних класів. Розрахунок проведено для тензорів четвертого рангу модулів пружності та податливості на основі теорії симетрії, що враховує вплив елементів симетрії групи на компоненти тензорів. Встановлено збільшення числа ненульових компонент завдяки зниженню симетрії поблизу поверхні. Зокрема, до існуючих в об'ємі трьох незалежних пружних модулів (c11, c12, c44) слід додати c33, c13 та c66 для поверхні типу (100) та нові ненульові компоненти c14, c22=−c14, c56=−c14 для поверхні типу (111). Порівняльний аналіз величин тензорів пружності в об'ємі та поблизу поверхні показав, що співвідношення Коші не виконуються у наноструктурних матеріалах через втрату просторової інверсії атомів поблизу поверхні. На основі проведених раніше експериментальних досліджень та першопринципних розрахунків встановлено, що вплив поверхні є значним для розмірів, що не перевищують 100 нм. |
| format |
Article |
| author |
Глинчук, М.Д. Скороход, В.В. Елисеев, Е.А. Хист, В.В. Зауличный, В.Я. |
| author_facet |
Глинчук, М.Д. Скороход, В.В. Елисеев, Е.А. Хист, В.В. Зауличный, В.Я. |
| author_sort |
Глинчук, М.Д. |
| title |
Влияние поверхности на тензор модулей упругости |
| title_short |
Влияние поверхности на тензор модулей упругости |
| title_full |
Влияние поверхности на тензор модулей упругости |
| title_fullStr |
Влияние поверхности на тензор модулей упругости |
| title_full_unstemmed |
Влияние поверхности на тензор модулей упругости |
| title_sort |
влияние поверхности на тензор модулей упругости |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2011 |
| topic_facet |
Матеріалознавство |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/44175 |
| citation_txt |
Влияние поверхности на тензор модулей упругости / М.Д. Глинчук, В.В. Скороход, Е.А. Елисеев, В.В. Хист, В.Я. Зауличный // Доп. НАН України. — 2011. — № 12. — С. 72-78. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
| series |
Доповіді НАН України |
| work_keys_str_mv |
AT glinčukmd vliâniepoverhnostinatenzormodulejuprugosti AT skorohodvv vliâniepoverhnostinatenzormodulejuprugosti AT eliseevea vliâniepoverhnostinatenzormodulejuprugosti AT histvv vliâniepoverhnostinatenzormodulejuprugosti AT zauličnyjvâ vliâniepoverhnostinatenzormodulejuprugosti |
| first_indexed |
2025-07-04T02:34:48Z |
| last_indexed |
2025-07-04T02:34:48Z |
| _version_ |
1836682040274059264 |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
12 • 2011
МАТЕРIАЛОЗНАВСТВО
УДК 1:512.54
© 2011
Член-корреспондент НАН Украины М. Д. Глинчук,
академик НАН Украины В.В. Скороход, Е.А. Елисеев, В. В. Хист,
В.Я. Зауличный
Влияние поверхности на тензор модулей упругости
Розглянуто змiни незалежних компонент тензорiв модулiв пружностi поблизу плос-
ких поверхонь для всiх 32 кристалографiчних об’ємних класiв. Розрахунок проведено для
тензорiв четвертого рангу модулiв пружностi та податливостi на основi теорiї си-
метрiї, що враховує вплив елементiв симетрiї групи на компоненти тензорiв. Вста-
новлено збiльшення числа ненульових компонент завдяки зниженню симетрiї поблизу
поверхнi. Зокрема, до iснуючих в об’ємi трьох незалежних пружних модулiв (c11, c12,
c44) слiд додати c33, c13 та c66 для поверхнi типу (100) та новi ненульовi компонен-
ти c14, c22 = −c14, c56 = −c14 для поверхнi типу (111). Порiвняльний аналiз величин
тензорiв пружностi в об’ємi та поблизу поверхнi показав, що спiввiдношення Кошi не
виконуються у наноструктурних матерiалах через втрату просторової iнверсiї ато-
мiв поблизу поверхнi. На основi проведених ранiше експериментальних дослiджень та
першопринципних розрахункiв встановлено, що вплив поверхнi є значним для розмiрiв,
що не перевищують 100 нм.
Модули упругости играют важную роль в физике упругих сред для описания искажений
структуры, мало изменяющихся на расстояниях порядка межатомных и являющихся пол-
ностью обратимыми. Сегодня теория упругости служит основой континуальной теории дис-
локаций, границ зерен, трещин, пор, точечных дефектов, теории пластичности, прочности,
разрушения и акустических явлений.
Исходными понятиями в теории упругости являются внутренние напряжения и дефор-
мации, описываемые, соответственно, тензором напряжений σij и деформаций uij, связан-
ные в линейной теории упругости законом Гука
σij = cijkluij, (1)
где cijkl — тензор модулей упругости.
Данный тензор обладает следующими свойствами симметрии относительно перестано-
вок индексов: cijkl = cjikl = cijlk = cklij. Это приводит к тому, что число линейно независи-
мых компонент тензора модулей упругости (упругих жесткостей) не может превышать 21
72 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №12
для объемных кристаллов и в общем случае определяется сингонией, к которой принадле-
жит кристалл (см. табл. 1, где просуммированы классические результаты [1]). В обозна-
чениях Фойгта, использованных в таблице, вместо тензора 4-го ранга cijkl вводится мат-
рица cik, i, k = 1, 2, 3, . . . , 6, число независимых элементов которой такое же, как у тен-
зора cijkl. Вводится также тензор sijkl, обратный тензору cijkl, называемый тензором по-
датливостей uij = sijklσkl. Тензор cijkl является важным не только в статической, но и
в динамической теории упругости, так как входит в волновое уравнение, описывающее ра-
спространение упругих волн ρ
∂2uj
∂t2
= cijkl
∂2ul
∂xi∂xk
, ρ — плотность кристалла.
До последнего времени оставалось мало исследованным изменение количества независи-
мых компонент тензора модулей упругости, обусловленное понижением симметрии, вызван-
ным разной геометрией ограничивающей наноструктуры поверхности. Настоящая работа
посвящена этому вопросу.
Изменения тензоров упругих модулей вблизи избранных плоских поверхнос-
тей. Рассмотрим ненулевые компоненты тензоров упругих модулей для всех 32 кристал-
лографических объемных классов для ряда наиболее широко распространенных геометрий
плоских поверхностей. Например, поверхностей типа (100), включающих (100), (100), (010),
(010), (001), (001), типа (110) [(110), (110), (110), (011), . . . ] и типа (111) [(111), (111), (111),
(111), . . . ]. Очевидно, что возникающие в результате классы имеют более низкую симме-
трию и, таким образом, большее число ненулевых компонент тензоров упругих модулей.
Расчет проводился по обычной методике (см., например, [2]) на основе теории симметрии.
Для выяснения ненулевых компонент тензора 4-го ранга мы использовали систему ли-
нейных уравнений, полученных с учетом законов их преобразования под влиянием элемен-
тов симметрии группы. Для тензора четвертого ранга запишем
c̃ijkl = AilAjpAkmAlncijkl. (2)
Здесь суммирование ведется по всем повторяющимся индексам, A — матрица преобразо-
вания с компонентами Aij (i, j — 1, 2, 3), учитывающая все элементы точечной группы
симметрии материала. Ненулевые компоненты тензора упругих модулей определяются из
условия
c̃ijkl ≡ cijkl. (3)
Таблица 1. Независимые компоненты тензоров упругости для классов симметрии объемных материалов [1]
Класс Независимые элементы
23, m3, 432, 43m, m3m c11 = c22 = c33, c12 = c13 = c23, c44 = c55 = c66
6, 6, 6/m, 622, 6mm, 6m2, 6/mmm c11 = c22, c33, c12, c13 = c23, c44 = c55, c66 = (c11 − c12)/2
32, 3m, 3m c11 = c22, c33, c12, c13 = c23, c44 = c55, c66 = (c11 − c12)/2,
c56 = c14 = −c24,
3, 3 c11 = c22, c33, c12, c13 = c23, c44 = c55, c66 = (c11 − c12)/2,
c56 = c14 = −c24, c46 = c25 = −c15
4, 4, 4/m c11 = c22, c33, c12, c13 = c23, c44 = c55, c66 c16=-c26
4mm, 422, 42m, 4/mmm c11 = c22, c33, c12, c13 = c23, c44 = c55, c66
222, mm2, mmm c11, c22, c33, c12, c13, c23, c44, c55, c66
2, m, 2/m (2‖ OX2, m⊥OX2) c11, c22, c33, c12, c13, c23, c44, c55, c66, c15, c25, c35, c46
1, 1 c11, c22, c33, c12, c13, c23, c44, c55, c66, c14, c24, c34, c15, c25, c35,
c16, c26, c36, c45, c46, c56
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №12 73
Таблица 2. Изменения компонент тензора упругости вблизи избранных поверхностей
Объемный
класс
Поверх-
ность
Поверх-
ностный
класс
Новые элементы
Соотношения, связанные
с изменением симметрии
1 2 3 4 5
m3m (100) 4mm — c12 6= c13, c11 6= c33, c66 6= c44
(110) mm2 — c11 6= c22, c11 6= c33, c12 6= c13,
c12 6= c23, c44 6= c55, c66 6= c44
(111) 3m c14, c24 = −c14, c56 = c14, c12 6= c13, c11 6= c33, c66 6= c44,
c66 = (c11 − c12)/2
432 (100) 4 c16, c26 = −c16 c12 6= c13, c11 6= c33, c66 6= c44
(110) 2 c15, c25,c35, c46 c11 6= c22, c11 6= c33, c12 6= c23,
c12 6= c13, c44 6= c55, c66 6= c44
(111) 3 c14, c15, c25 = −c15, c24 = −c14,
c46 = c25, c56 = c14
c12 6= c13, c11 6= c33, c66 6= c44,
c66 = (c11 − c12)/2
23 (100) 2 c15, c25, c35, c46 c11 6= c22, c11 6= c33, c12 6= c23,
c12 6= c13, c44 6= c55, c66 6= c44
(111) 3 c14, c15, c25 = −c15, c24 = −c14,
c46 = c25, c56 = c14
c12 6= c13, c11 6= c33, c66 6= c44,
c66 = (c11 − c12)/2
m3 (001) mm2 — c12 6= c13, c11 6= c22, c12 6= c23,
c11 6= c33, c44 6= c55, c66 6= c44
(110) m c15, c25, c35, c46 c12 6= c13, c11 6= c22, c12 6= c23,
c11 6= c33, c44 6= c55, c66 6= c44
(111) 3 c14, c15, c25 = −c15, c24 = −c14,
c46 = c25, c56 = c14
c12 6= c13, c66 6= c44, c33 6= c11,
c66 = (c11 − c12)/2
43m (001) mm2 — c12 6= c13, c11 6= c22, c12 6= c23,
c11 6= c33, c44 6= c55, c66 6= c44
(110) m c15, c25, c35, c46 c12 6= c13, c11 6= c22, c12 6= c23,
c11 6= c33, c44 6= c55, c66 6= c44
(111) 3m c14, c14 = −c24, c56 = c44,
c65 = c14
c12 6= c13, c11 6= c33, c66 6= c44,
c66 = (c11 − c12)/2
6/mmm (1120) 2mm — c11 6= c22, c13 6= c23, c44 6= c55,
c66 6= (c11 − c12)/2
(0110) m2m —
(0001) 6mm — —
6/m (1120)
(0110)
m c16, c26, c36, c45 c11 6= c22, c13 6= c23, c44 6= c55,
c66 6= (c11 − c12)/2
(0001) 6 — —
6mm (1120) m c15, c25, c35, c46 c11 6= c22, c13 6= c23, c44 6= c55,
c66 6= (c11 − c12)/2
(0110) m c14, c24, c34, c56
(0001) 6mm — – — –
622 (1120) 2 c14, c24, c34, c56 c11 6= c22, c13 6= c23, c55 6= c44,
c66 6= (c11 − c12)/2
(0110) 2 c15, c25, c35, c46
(0001) 6 — —
6 (0110)
(1120)
1 c14, c15, c16, c24, c25, c26, c34,
c35, c36, c45, c46
c11 6= c22, c13 6= c23, c55 6= c44,
c66 6= (c11 − c12)/2
(0001) 6 — —
6m2 (1120) m c16, c26, c36, c45 c11 6= c22, c13 6= c23, c55 6= c44,
c66 6= (c11 − c12)/2
(0110) mm2 — c11 6= c22, c13 6= c23, c44 6= c55,
c66 6= (c11 − c12)/2
(0001) 3m c14, c14 = −c24, c56 = c14, —
74 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №12
Таблица 2. Продолжение
1 2 3 4 5
6 (0110)
(1120)
1 c14, c15, c16, c24, c25, c26, c34,
c35, c36, c45, c46
c11 6= c22, c13 6= c23, c55 6= c44,
c66 6= (c11 − c12)/2
(0001) 3 c14, c15, c25 = −c15, c24 = −c14,
c46 = c25, c56 = c14
4/mmm (010)
(100)
mm2 c11 6= c22, c13 6= c23, c44 6= c55,
(001) 4mm
4mm (100) m c15, c25, c35, c46 c11 6= c22, c13 6= c23, c44 6= c55
(010) m c14, c24, c34, c56
(001) 4mm — —
42m (100) m c15, c25, c35, c46
(010) m c14, c24, c34, c56 c11 6= c22, c13 6= c23, c44 6= c55,
(110) 2 c15, c25, c35, c46
(001) mm2 —
422 (100) 2 c14, c24, c34, c56 c11 6= c22, c13 6= c23, c44 6= c55
(010) 2 c15, c25, c35, c46 c11 6= c22, c13 6= c23, c44 6= c55
(001) 4 c16, c26 = −c16 —
3m (1120) m c15, c25, c35, c46 c11 6= c22, c13 6= c23, c44 6= c55,
c14 = 0, c24 = 0, c56 = 0, c66 6=
6= (c11 − c12)/2
(0110) 2 c15, c25, c35, c46
(0001) 3m — —
32 (1120) 1 c15, c16, c25, c26, c34, c35, c36,
c45, c46
c11 6= c22, c13 6= c23, c55 6= c44,
c66 6= (c11 − c12)/2, c14 6= −c24,
c14 6= c56
(0110) 2 c15, c25, c35, c46 c11 6= c22, c13 6= c23, c44 6= c55,
c14 = 0, c24 = 0, c56 = 0, c66 6=
6= (c11 − c12)/2
(0001) 3 c25, c15 = −c25, c46 = c25 —
3m (1120) m c15, c25, c35, c46 c11 6= c22, c13 6= c23, c44 6= c55,
c14 = 0, c24 = 0, c56 = 0, c66 6=
6= (c11 − c12)/2
(0110) 1 c15, c16, c25, c26, c34, c35, c36,
c45, c46
c11 6= c22, c13 6= c23, c55 6= c44,
c66 6= (c11 − c12)/2, c14 6= −c24,
c14 6= c56
(0001) 3m — —
4 (100)
(010)
1 c14, c15, c24, c25, c34, c35, c36,
c45, c46
c11 6= c22, c13 6= c23, c55 6= c44, c26 6=
6= −c16
(001) 4 — —
4/m (100)
(010)
m c16, c26, c36, c45 c11 6= c22, c13 6= c23, c44 6= c55, c26 6=
6= −c16
(001) 4 — —
4 (100)
(010)
1 c14, c15, c24, c25, c34, c35, c36,
c45, c46
c11 6= c22, c13 6= c23, c55 6= c44, c26 6=
6= −c16
(001) 2 c15, c25, c35, c46 c11 6= c22, c13 6= c23, c55 6= c44,
c26 = 0, c16 = 0
33 (0110)
(1120)
1 c14, c15, c16, c24, c25, c26, c34,
c35, c36, c45, c46
c11 6= c22, c12 6= c23, c55 6= c44,,
c66 6= 1/2(c11 − c12), c15 6= −c25,
c24 6= −c14, c46 6= c25, c56 6= c14,
(0001) 3 — —
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №12 75
Результаты расчетов приведены в табл. 2, тогда как в табл. 1 представлены ненулевые
компоненты упругих модулей для 32 объемных классов.
На примере объемного кубического класса m3m обсудим влияние поверхности на упру-
гие тензоры. Из сравнения табл. 1 и 2 видно, что ненулевые компоненты тензоров посто-
янных упругости cijkl наноструктурных объектов определяются поверхностными класса-
ми, зависящими от геометрии поверхности (см., например, колонки 2 и 3 в табл. 2), а не
симметрии объемного класса, данной в колонке 1 табл. 2. Действительно, все ненулевые
компоненты тензоров поверхностного и объемного классов 4mm совпадают друг с другом,
то же справедливо для поверхностного и объемного классов mm2 и 3m, как легко видеть
из сравнения табл. 1 и 2. Вместе с тем количество ненулевых компонент тензоров и соотно-
шения между ними для поверхностных классов оказалось существенно иным по сравнению
с исходным объемным классом. Легко видеть, что, поскольку нормаль к поверхности всюду
в табл. 2 совмещена с осью z (т. е. zz = 3), c11 6= c33, c12 6= c13, c66 6= c44, то вместо трех
независимых упругих модулей c11, c12, c44 для кубической симметрии (см. (4)) необходимо
учитывать еще c33, c13 и c66 для поверхностей типа (100), заменив ими, соответственно, c11,
c12 и c44 в (4).
Важно отметить, что для более сложного типа поверхности, например типа (111) появ-
ляются новые ненулевые компоненты тензора, отсутствовавшие в кубической группе объем-
ного тензора (см. 3-ю строчку в табл. 2). Наведенное поверхностью понижение симметрии,
приводящее к увеличению числа ненулевые компонент упругих тензоров, может приводить
в наноструктурных материалах к новым явлениям в физике упругих свойств по сравнению
с объемными материалами [3].
Явный вид матриц модулей упругости для триклинной (наименее симметричной) и ку-
бической (наиболее симметричной) сингоний следующий:
c11 c12 c13 c14 c15 c16
c12 c22 c23 c24 c25 c26
c13 c23 c33 c34 c35 c36
c14 c24 c34 c44 c45 c46
c15 c25 c35 c45 c55 c56
c16 c26 c36 c46 c56 c66
c11 c12 c12 0 0 0
c12 c11 c12 0 0 0
c12 c12 c11 0 0 0
0 0 0 c44 0 0
0 0 0 0 c44 0
0 0 0 0 0 c44
. (4)
Система координат и возможные ориентации поверхности представлены на рис. 1.
Обсуждение результатов. Начнем с обсуждения выполнимости вблизи поверхности
соотношений Коши [2]
c23 = c44, c56 = c14, c64 = c25, c31 = c55, c12 = c66, c45 = c36 (5)
между модулями упругости в объемных материалах, удовлетворяющих определенным усло-
виям. Эти условия сводятся к требованию, чтобы межатомные силы были центральными,
каждый атом в решетке был центром симметрии и до деформирования напряжения в крис-
талле отсутствовали. В случае кубических кристаллов соотношения Коши (5) сводятся к ра-
венству c12 = c44, которое не следует из соображений симметрии (см. строчку 1 в табл. 1).
Указанные условия хорошо выполняются лишь в объемных щелочно-галоидных кристал-
лах. В наноразмерных материалах, для которых отношение поверхности к объему достаточ-
но велико, соотношения Коши не могут выполняться даже для щелочно-галоидных крис-
таллов, поскольку атомы вблизи поверхности не могут быть центрами симметрии.
76 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №12
Рис. 1. Поверхности (заштрихованные плоскости S) и нормали к ним (n) в кубической системе координат
для поверхностей (010) (a), (110) (b), (111) (c)
Для объемных кристаллов значения компонент тензора упругости обычно лежат в ин-
тервале 1010–1011 Н/м2. Можно ожидать, что величины этих компонент вблизи поверхности
будут иными, поскольку энергии связи атомов решетки вблизи поверхности отличаются от
связей в объеме, например, из-за уменьшения числа ближайших соседей.
Для получения количественных данных необходимо провести расчет упругих модулей,
например, тонкой пленки на основе первых принципов, а также экспериментально измерить
их значения.
Например, упругие свойства (модуль Юнга и коэффициенты Пуассона) рассчитыва-
лись для нанопластинок металлов [4] и оксидов [5, 6], нанопроводов [7] и нанотрубок [8]
на основе теории функционала плотности. Укажем, что в [7] модуль Юнга был также
измерен экспериментально. Модуль Юнга нанопроводов и нанотрубок (∼0,2–1 ТПа) мо-
жет превышать модуль Юнга соответствующего объемного материала (менее 0,1 ГПа)
и растет с уменьшением их диаметра. В частности, расчеты из первых принципов и эк-
спериментальные исследования, проведенные для нанопроводов ZnO, показали [7], что
при уменьшении диаметра от 80 до 20 нм модуль Юнга растет от ∼140 до 160 ГПа, где
140 ГПа соответствует модулю Юнга объемного ZnO. Качественно подобные результаты
получены и для нанопластинок ZnO [5], а именно, расчеты из первых принципов показа-
ли, что модуль Юнга возрастает с уменьшением размеров. Авторы [5, 7] связывают это
с влиянием поверхности. Для расчетов в работе [7] применялась модель оболочки и ядра,
в которой свойства оболочки соответствуют поверхности, а ядра — объему. Такая мо-
дель была впервые предложена ранее в [9] для объяснения особенностей формы линий
радиоспектроскопии. Из приведенных выше данных видно, что в нанопроводах ZnO тол-
щина оболочки, где влияние поверхности является доминирующим, достаточно велика —
80 нм.
Учитывая, что модули Юнга приближенно обратно пропорциональны некоторым ком-
понентам тензора упругих податливостей sik и, таким образом, прямо пропорциональны
упругим модулям cik, можно думать, что модули упругости растут, а упругие податливо-
сти уменьшаются вблизи поверхности ZnO. Следует указать, однако, что в ряде случаев
наблюдалось уменьшение модуля Юнга с уменьшением размеров (см. [5] и ссылки там). По
мнению авторов [5], уменьшение модуля Юнга связано с обрывом связей вблизи поверхно-
сти, что существенно для наноструктур с большим отношением поверхность/объем, тогда
как возрастание модуля обусловлено насыщением поверхностных связей.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №12 77
Таким образом, проведенное в работе исследование, показавшее появление новых нену-
левых компонент упругих модулей вблизи поверхности, справедливо в областях порядка
100 нм и , следовательно, в наноструктурах таких размеров.
1. Nye J. F. Physical properties of crystals: their representation by tensors and matrices – Oxford: Clarendon
Press, 1985. – 372 p.
2. Современная кристаллография. Т. 4 / Под ред. Б. К. Вайнштейна, А.А. Чернова, Л.А. Шувалова. –
Москва: Наука, 1981. – 496 с.
3. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория упругости. – Москва: Наука, 1987. – 248 с.
4. Streitz F.H., Cammarata R. C., Sieradzki K. Surface-stress effects on elastic properties. I. Thin metal films.
II. Metallic multilayers // Phys. Rev. B. – 1994. – 49. – P. 10699–10716.
5. Zhang L., Huang H. Young’s moduli of ZnO nanoplates: Ab initio determinations // Appl. Phys. Lett. –
2006. – 89. – P. 183111.
6. Hu J., Pan B.C. Surface effect on the size- and orientation-dependent elastic properties of single-crystal
ZnO nanostructures // J. Appl. Phys. – 2009. – 105. – P. 034302.
7. Agrawal R., Peng B., Gdoutos E. E., Espinosa H.D. Elasticity Size Effects in ZnO Nanowires-A Combined
Experimental-Computational Approach // Nano Lett. – 2008. – 8, No 11. – P. 3668–3674.
8. Grobert N. Carbon nanotubes – becoming clean // Materials Today. – 2007. – 10, No 1–2. – P. 28–35.
9. Glinchuk M.D., Morozovskaya A.N., Slipenyuk A.M., Bykov I.P. Peculiarities of the radiospectroscopy
line shape in nanomaterials // Appl. Magn. Res. – 2003. – 24. – P. 333–342.
Поступило в редакцию 22.04.2011Институт проблем материаловедения
им. И.Н. Францевича НАН Украины, Киев
Corresponding Member of the NAS of Ukraine M. D. Glinchuk,
Academician of the NAS of Ukraine V.V. Skorokhod, E. A. Eliseev, V.V. Khist,
V.Ya. Zaulychny
Surface influence on the tensor of elasticity moduli
The consideration of a change of independent components of the tensors of elasticity moduli in
a vicinity of flat surfaces for all 32 bulk crystallographic classes is carried out. The calculations
are performed for the fourth rank tensors of elasticity moduli and compliances on the basis of the
symmetry theory with respect to the transformation of tensor components under a symmetry group.
The increase in the number of nonzero components is obtained due to the symmetry lowering in a
vicinity of the surface. In particular, for the cubic symmetry, the moduli c33, c13, and c66 appear
in addition to the known three nontrivial moduli (c11, c12, c44) for surfaces of the (100) type and
new nonzero components c14, c22 = −c14, c56 = −c14 are obtained for those of the (111) type.
Comparative analysis of elastic moduli in bulk and in a vicinity of the surface has shown that
the Cauchy relations are not valid in a vicinity of the surface because of the inversion symmetry
absence. Analysis of the experimental results and those of ab initio calculations for nanostructured
materials allows us to conclude that the surface influence is essential for sizes up to 100 nm.
78 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №12
|