Условия разрешимости для вариационно-подобных неравенств
Gespeichert in:
| Datum: | 2008 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2008
|
| Schriftenreihe: | Кибернетика и системный анализ |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/44272 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Условия разрешимости для вариационно-подобных неравенств / Н.Б. Шамрай // Кибернетика и системный анализ. — 2008. — № 6. — С. 33-38. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-44272 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-442722013-05-28T03:12:05Z Условия разрешимости для вариационно-подобных неравенств Шамрай, Н.Б. Кибернетика 2008 Article Условия разрешимости для вариационно-подобных неравенств / Н.Б. Шамрай // Кибернетика и системный анализ. — 2008. — № 6. — С. 33-38. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. 0023-1274 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/44272 519.853.3 ru Кибернетика и системный анализ Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Кибернетика Кибернетика |
| spellingShingle |
Кибернетика Кибернетика Шамрай, Н.Б. Условия разрешимости для вариационно-подобных неравенств Кибернетика и системный анализ |
| format |
Article |
| author |
Шамрай, Н.Б. |
| author_facet |
Шамрай, Н.Б. |
| author_sort |
Шамрай, Н.Б. |
| title |
Условия разрешимости для вариационно-подобных неравенств |
| title_short |
Условия разрешимости для вариационно-подобных неравенств |
| title_full |
Условия разрешимости для вариационно-подобных неравенств |
| title_fullStr |
Условия разрешимости для вариационно-подобных неравенств |
| title_full_unstemmed |
Условия разрешимости для вариационно-подобных неравенств |
| title_sort |
условия разрешимости для вариационно-подобных неравенств |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| publishDate |
2008 |
| topic_facet |
Кибернетика |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/44272 |
| citation_txt |
Условия разрешимости для вариационно-подобных неравенств / Н.Б. Шамрай // Кибернетика и системный анализ. — 2008. — № 6. — С. 33-38. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
| series |
Кибернетика и системный анализ |
| work_keys_str_mv |
AT šamrajnb usloviârazrešimostidlâvariacionnopodobnyhneravenstv |
| first_indexed |
2025-07-04T02:43:07Z |
| last_indexed |
2025-07-04T02:43:07Z |
| _version_ |
1836682563184230400 |
| fulltext |
ÓÄÊ 519.853.3
Í.Á. ØÀÌÐÀÉ
ÓÑËÎÂÈß ÐÀÇÐÅØÈÌÎÑÒÈ
ÄËß ÂÀÐÈÀÖÈÎÍÍÎ-ÏÎÄÎÁÍÛÕ ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂ
Êëþ÷åâûå ñëîâà: âàðèàöèîííî-ïîäîáíûå íåðàâåíñòâà, óñëîâèÿ ðàçðåøèìîñòè,
0-äèàãîíàëüíàÿ âûïóêëîñòü, F-ìîíîòîííîñòü.
ÏÎÑÒÀÍÎÂÊÀ ÇÀÄÀ×È
Ïóñòü X n� � — íåïóñòîå âûïóêëîå çàìêíóòîå ìíîæåñòâî è G F X m, : � � —
îäíîçíà÷íûå íåïðåðûâíûå îòîáðàæåíèÿ. Ðàññìîòðèì çàäà÷ó ðåøåíèÿ âàðèàöèîí-
íî-ïîäîáíîãî íåðàâåíñòâà, îáîçíà÷àåìóþ äàëåå êàê VLI G F X( , , ) , êîòîðàÿ ñîñòî-
èò â ïîèñêå òî÷êè x X*� òàêîé, ÷òî
G x F x F x x X( ), ( ) ( )* *� � � �0 . (1)
Ñâîéñòâà íåïóñòîòû, çàìêíóòîñòè è âûïóêëîñòè ìíîæåñòâà X , à òàêæå íåïðå-
ðûâíîñòè è îäíîçíà÷íîñòè îòîáðàæåíèé G F, ïðåäïîëàãàþòñÿ âûïîëíèìûìè
âñþäó â ðàìêàõ äàííîé ñòàòüè.
Çàìåòèì, ÷òî, ñ îäíîé ñòîðîíû, VLI G F X( , , ) ÿâëÿåòñÿ îäíèì èç ìíîãî÷èñëåí-
íûõ îáîáùåíèé çàäà÷è ðåøåíèÿ âàðèàöèîííîãî íåðàâåíñòâà (íàïðèìåð, [1, 2]):
íàéòè òî÷êó x X* � òàêóþ, ÷òî
G x x x x X X G Xn n( ), , , :* *� � � � � �0 � � , (2)
ñ äðóãîé — ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ÷àñòíûé ñëó÷àé çàäà÷è ðàâíîâåñèÿ (íàïðèìåð,
[3, 4]): íàéòè òî÷êó x X* � òàêóþ, ÷òî
� �( , ) , , :*x x x X X X Xn� � � � �0 � � . (3)
Òåðìèí «âàðèàöèîííî-ïîäîáíîå íåðàâåíñòâî» (variational-like inequality) âïåð-
âûå ïîÿâèëñÿ â ðàáîòå [5] ïðèìåíèòåëüíî ê çàäà÷å íàõîæäåíèÿ òî÷êè x X* � òàêîé,
÷òî
G x x x x X X G X X Xn n n( ), ( , ) , , : , :* *� �� � � � � �0 � � � . (4)
Íåñìîòðÿ íà òî ÷òî âàðèàöèîííî-ïîäîáíîå íåðàâåíñòâî (1) èìååò òåñíóþ ñâÿçü
ñ çàäà÷àìè (2)–(4), îíî îáëàäàåò îïðåäåëåííîé ñïåöèôèêîé è ìîæåò ñëóæèòü ñà-
ìîñòîÿòåëüíûì îáúåêòîì äëÿ èññëåäîâàíèé.
Ïîáóäèòåëüíûì ìîòèâîì ê èçó÷åíèþ VLI G F X( , , ), â ÷àñòíîñòè, ñëóæèò âîç-
ìîæíîñòü ïðåîáðàçîâàíèÿ èñõîäíîãî âàðèàöèîííîãî íåðàâåíñòâà (2) â âàðèàöèîí-
íî-ïîäîáíîå íåðàâåíñòâî (1) ñ öåëüþ ñîêðàùåíèÿ ðàçìåðíîñòè, óïðîùåíèÿ äîïóñ-
òèìîé îáëàñòè èëè óëó÷øåíèÿ äðóãèõ âû÷èñëèòåëüíûõ ñâîéñòâ èñõîäíîé çàäà÷è
[6]. Êðîìå òîãî, ñ ïîìîùüþ âàðèàöèîííî-ïîäîáíûõ íåðàâåíñòâ (1) ìîæíî ïðîâî-
äèòü ïîëíóþ èëè ÷àñòè÷íóþ ïàðàìåòðè÷åñêóþ êîððåêöèþ íåñîâìåñòíûõ ñèñòåì
íåðàâåíñòâ, ÷òî ïîçâîëÿåò ïîëó÷èòü îáîáùåííûå ðåøåíèÿ ðàññìàòðèâàåìûõ íåêîð-
ðåêòíûõ ñèñòåì [7, 8]. Òàêæå â òåðìèíàõ VLI G F X( , , ) åñòåñòâåííûì îáðàçîì
çàïèñûâàþòñÿ óñëîâèÿ ðàâíîâåñèÿ ýêîíîìè÷åñêèõ ñèñòåì [9].
ÓÑËÎÂÈß ÑÓÙÅÑÒÂÎÂÀÍÈß ÐÅØÅÍÈß ÂÀÐÈÀÖÈÎÍÍÎ-ÏÎÄÎÁÍÛÕ ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂ
Òðàäèöèîííî ïðè èññëåäîâàíèè âîïðîñà î ñóùåñòâîâàíèè ðåøåíèÿ ó çàäà÷ ðàâ-
íîâåñèÿ è âàðèàöèîííûõ íåðàâåíñòâ ðàññìàòðèâàþò ñëó÷àè îãðàíè÷åííîãî è íå-
îãðàíè÷åííîãî äîïóñòèìîãî ìíîæåñòâà.
Êàê íàèáîëåå îáùèé ñëó÷àé àäàïòèðóåì òåîðèþ ñóùåñòâîâàíèÿ ðåøåíèé äëÿ
çàäà÷ ðàâíîâåñèÿ (3) ê ïîñòðîåíèþ òîé æå òåîðèè äëÿ VLI G F X( , , ) .
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 6 33
Í.Á. Øàìðàé, 2008
Òåîðåìà 1 [3, 4]. Ïóñòü áèôóíêöèÿ �: (X X � � �
� } òàêàÿ, ÷òî íà ìíî-
æåñòâå X äëÿ ëþáîãî ôèêñèðîâàííîãî y X� ôóíêöèÿ �( , )� y ïîëóíåïðåðûâíà
ñâåðõó è äëÿ ëþáîãî ôèêñèðîâàííîãî x X� ôóíêöèÿ �( , )x � êâàçèâûïóêëà. Çàäà÷à
ðàâíîâåñèÿ (3) èìååò ðåøåíèå, åñëè âûïîëíåíî îäíî èç ñëåäóþùèõ óñëîâèé:
a) ìíîæåñòâî X îãðàíè÷åíî;
á) íàéäåòñÿ íåïóñòîå îãðàíè÷åííîå ïîäìíîæåñòâî Y X� òàêîå, ÷òî äëÿ êàæäî-
ãî x X Y� \ ñóùåñòâóåò y Y� , ïðè êîòîðîì �( , )x y � 0 .
Ïðèìåíÿÿ òåîðåìó 1 ê âàðèàöèîííî-ïîäîáíûì íåðàâåíñòâàì (1), ïîëó÷àåì
ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå.
Óòâåðæäåíèå 1. Ïóñòü äëÿ ëþáîãî ôèêñèðîâàííîãî x X� ôóíêöèÿ G x FT ( ) ( )�
êâàçèâûïóêëà íà X . Çàäà÷à VLI G F X( , , ) èìååò ðåøåíèå, åñëè âûïîëíåíî îäíî èç
ñëåäóþùèõ óñëîâèé:
a) ìíîæåñòâî X îãðàíè÷åíî;
á) íàéäåòñÿ íåïóñòîå îãðàíè÷åííîå ïîäìíîæåñòâî Y X� òàêîå, ÷òî äëÿ ëþáî-
ãî x X Y� \ ñóùåñòâóåò y Y� , ïðè êîòîðîì G x F y F x( ), ( ) ( )� � 0 .
Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðèì çàäà÷ó ðàâíîâåñèÿ (3), ãäå �( , )*x x �
� �G x F x F x( ), ( ) ( )* * . Ïîñêîëüêó G è F — íåïðåðûâíûå îòîáðàæåíèÿ, òî ôóíê-
öèÿ �( , )� y íåïðåðûâíà. Òàê êàê G x FT ( ) ( )� — êâàçèâûïóêëà, òî �( , )x � òàêæå êâà-
çèâûïóêëà. Òîãäà â ñèëó òåîðåìû 1 âàðèàöèîííî-ïîäîáíîå íåðàâåíñòâî (1) èìååò
ðåøåíèå. Óòâåðæäåíèå äîêàçàíî.
Ïîìèìî ïðåäïîëîæåíèé îá îãðàíè÷åííîñòè èëè íåîãðàíè÷åííîñòè äîïóñòè-
ìîãî ìíîæåñòâà X ïðåäñòàâëÿåò èíòåðåñ èññëåäîâàíèå VLI G F X( , , ) íà ïðåäìåò ñó-
ùåñòâîâàíèÿ ðåøåíèé â ïðåäïîëîæåíèÿõ ðàçíûõ ôîðì âûïóêëîñòè îòîáðàæåíèé
G è F.  êà÷åñòâå îäíîé èç òàêèõ ôîðì ìîæåò áûòü ðàññìîòðåíà òàê íàçûâàåìàÿ äè-
àãîíàëüíàÿ âûïóêëîñòü, îïðåäåëåíèå è ñâîéñòâà êîòîðîé âïåðâûå áûëè èçó÷åíû
â ðàáîòå [10] ïðèìåíèòåëüíî ê áèôóíêöèÿì.
Îáîçíà÷èì �k k
i
k
i� � �
�
�
�
��
�
�
�
��
�
�
�� �� :
1
1 k-ìåðíûé ñèìïëåêñ.
Îïðåäåëåíèå 1. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî VLI G F X( , , ) îáëàäàåò ñâîéñòâîì 0-äèàãî-
íàëüíîé âûïóêëîñòè íà X , åñëè äëÿ êàæäîãî êîíå÷íîãî ìíîæåñòâà òî÷åê
{ }y y Xk1 , . . . , � è ëþáîé âûïóêëîé êîìáèíàöèè y y
i
k
i
i
� ��
�
�
1
, ãäå
� � �� �( , . . . , )1 k
k� , âûïîëíåíî
G y F y F y
i
k
i
i( ), ( ) ( )� ��
�
� � �
1
0.
Äëÿ âàðèàöèîííî-ïîäîáíîãî íåðàâåíñòâà (1) èìåþò ìåñòî ñëåäóþùèå óñëîâèÿ
ðàçðåøèìîñòè.
Òåîðåìà 2. Ïóñòü VLI G F X( , , ) îáëàäàåò ñâîéñòâîì 0-äèàãîíàëüíîé âûïóêëîñ-
òè íà X è ìíîæåñòâî X îãðàíè÷åíî. Òîãäà âàðèàöèîííî-ïîäîáíîå íåðàâåíñòâî (1)
èìååò ðåøåíèå.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü y y
i
k
i
i
� ��
�
�
1
, ãäå � � �� �( , . . . , )1 k
k� . Ïîëîæèì
� � � �� �( , ) ( ), ( ) ( )� �
�
�G y F y F y
i
k
i
i
1
.
Äëÿ êàæäîãî ���k ïîñòðîèì ìíîæåñòâî V k
k
( ) : ( , ) min ( , )� � � � � � � �
�
� � ��
�
�
�
�
��
�
�
.
Ïîñêîëüêó �k — êîìïàêòíîå ìíîæåñòâî è � � �( , ) — ëèíåéíàÿ ïî � ôóíêöèÿ,
òî V ( )� — íåïóñòîå âûïóêëîå ïîäìíîæåñòâî �k äëÿ ëþáîãî ���k . Ïîêàæåì, ÷òî
îòîáðàæåíèå V k k
: � �� 2 çàìêíóòî.
34 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 6
Âîçüìåì ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó ~���k . Ïóñòü lim ~,
l
l l k
�
� �� � � � è
lim
~
, ( )
l
l l lV
�
� �� � � � . Ïîñêîëüêó G è F — íåïðåðûâíûå îòîáðàæåíèÿ, òî ôóíê-
öèÿ � � �( , ) íåïðåðûâíà ïî �, à òàê êàê � �� �( ) ëèíåéíà ïî �, òî îíà òàêæå íåïðå-
ðûâíà ïî �. Îòñþäà
� � �(~,
~
) � lim ( , ) lim min ( , )
l
l l
l
l
k�
�
�
� �� � � � � �
� �
� �
� �
�
min lim ( , ) min (~ )
� �
� � � � �� �
� �k kl
l .
Ñëåäîâàòåëüíî,
~
(~ )� ��V , ò.å. V — çàìêíóòîå îòîáðàæåíèå.
Ïî òåîðåìå Êàêóòàíè îòîáðàæåíèå V k k
: � �� 2 èìååò íåïîäâèæíóþ òî÷êó �
òàêóþ, ÷òî
0 � �� � �( , ) min ( ) min ( ), ( ) ( )
� �
� �� �� � �
� � �
� � ��
� �k k
i
i
k
iG y F y F y
1
� �
�
min ( ), ( ) ( )
{ ,... , }i k
iG y F y F y
1
� � ,
ãäå y y
i
k
i
i
� ��
�
�
1
. Òàêèì îáðàçîì, äëÿ ëþáîãî êîíå÷íîãî ìíîæåñòâà òî÷åê
� � �{ }y y Xk1 , . . . , ñóùåñòâóåò òî÷êà � �� �( )� �k è ñîîòâåòñòâåííî âåêòîð
y y
i
k
i
i
� ��
�
�
1
òàêèå, ÷òî
G y F y F y y( ), ( ) ( )� �� � � �0 �.
Ïóñòü � — ìíîæåñòâî âñåõ êîíå÷íûõ ïîäìíîæåñòâ ìíîæåñòâà X . Äëÿ ëþáî-
ãî � �� ïîñòðîèì ìíîæåñòâî � � �( ) { : ( ), ( ) ( )� � � � � �x X G x F y F x y0 }.
 ñèëó ñêàçàííîãî âûøå � �( ) � �. Ïóñòü x0 — ïðåäåëüíàÿ òî÷êà � �( ) , òîãäà
åå ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ïðåäåëà íåêîòîðîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè { } ( )xl � � � ,
ñõîäÿùåéñÿ ê x x x
l
l0 0: lim
�
� . Ïîñêîëüêó G è F íåïðåðûâíû,
0 0 0� � � � � �
�
lim ( ), ( ) ( ) ( ), ( ) ( )
l
l lG x F y F x G x F y F x y �
è, ñëåäîâàòåëüíî, x0 � � �( ) . Òàêèì îáðàçîì, äëÿ êàæäîãî � �� ìíîæåñòâî
� �( ) çàìêíóòî. Ïîêàæåì, ÷òî
� �
� �
�
� �� ( ) .
Çàìåòèì, ÷òî ìíîæåñòâî � ÿâëÿåòñÿ öåíòðèðîâàííîé ñèñòåìîé â X [11]. Â ñà-
ìîì äåëå, ïóñòü � � �1 2, � è � � � �3 1 2� � � . Òîãäà � � �� �( )3
� �� � � �( ) ( )1 2 . Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ëþáîå êîíå÷íîå ïåðåñå÷åíèå ýëåìåíòîâ
ìíîæåñòâà � íåïóñòî, ò.å. � — öåíòðèðîâàííàÿ ñèñòåìà â X .
Òàê êàê X — êîìïàêòíîå ìíîæåñòâî, òî âñÿêàÿ öåíòðèðîâàííàÿ ñèñòåìà åãî çà-
ìêíóòûõ ïîäìíîæåñòâ èìååò íåïóñòîå ïåðåñå÷åíèå [11], ò.å.
� �
� �
�
� �� ( ) .
Ïîñêîëüêó X �
�� �
�� è
� �
� �
�
� �� ( ) , òî ñóùåñòâóåò òî÷êà x* �
�� �
��� òàêàÿ,
÷òî G x F y F x y X( ), ( ) ( )* *� � � �0 .
Òåîðåìà äîêàçàíà.
Äëÿ íåîãðàíè÷åííîãî äîïóñòèìîãî ìíîæåñòâà X ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ òåîðåìà.
Òåîðåìà 3. Ïóñòü VLI G F X( , , ) îáëàäàåò ñâîéñòâîì 0-äèàãîíàëüíîé âûïóêëîñ-
òè íà X è ñóùåñòâóåò íåïóñòîå îãðàíè÷åííîå ïîäìíîæåñòâî Y X� òàêîå, ÷òî äëÿ
ëþáîãî x X Y� \ íàéäåòñÿ y Y� , ïðè êîòîðîì
G x F y F x( ), ( ) ( )� � 0 . (5)
Òîãäà âàðèàöèîííî-ïîäîáíîå íåðàâåíñòâî (1) èìååò ðåøåíèå.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 6 35
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîñòðîèì øàð B R x x Rn( ) : | | | |� � �{ }� ñ ðàäèóñîì R � 0 òà-
êèì, ÷òî Y X B R X R� � �( , )0 . Ïî òåîðåìå 2 ñóùåñòâóåò òî÷êà x XR R� , óäîâëåò-
âîðÿþùàÿ
G x F z F x z XR R R( ), ( ) ( )� � � �0 .
 ñèëó óñëîâèÿ (5) äëÿ ëþáîãî R ðåøåíèå x YR � , çíà÷èò, ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
{ }xR îãðàíè÷åíà è ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî ñóùåñòâóåò òî÷êà x Y*� òàêàÿ, ÷òî
lim *
R
Rx x
�
� .
Âûáåðåì ïðîèçâîëüíî òî÷êó y X� . Î÷åâèäíî, ÷òî íàéäåòñÿ ðàäèóñ r � 0, ïðè
êîòîðîì y x X R, * � , ãäå R r� . Îòñþäà äëÿ ëþáîãî R r� âûïîëíåíî
G x F y F xR R( ), ( ) ( )� � 0 . (6)
Ïîñêîëüêó îòîáðàæåíèÿ G è F íåïðåðûâíû è lim *
R
Rx x
�
� , ïåðåõîäÿ ê ïðåäå-
ëó â (6) ïðè R �
, äëÿ ëþáîãî y X� ïîëó÷àåì G x F y F x( ), ( ) ( )* *� � 0 .
Òåîðåìà äîêàçàíà.
ÓÑËÎÂÈß ÅÄÈÍÑÒÂÅÍÍÎÑÒÈ ÐÅØÅÍÈß ÂÀÐÈÀÖÈÎÍÍÎ-ÏÎÄÎÁÍÛÕ ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂ
Ãàðàíòèðîâàòü åäèíñòâåííîñòü ðåøåíèÿ VLI G F X( , , ) ïîçâîëÿþò ñâîéñòâà ìîíî-
òîííîñòè. Áóäåì èñïîëüçîâàòü ñëåäóþùåå îïðåäåëåíèå.
Îïðåäåëåíèå 2. Ïóñòü G X m: � � è F X m: � � . Îòîáðàæåíèå G íàçûâàåòñÿ:
— ñòðîãî F-ïñåâäîìîíîòîííûì íà X , åñëè äëÿ ëþáûõ x y X, � òàêèõ, ÷òî x y� ,
èç G x F y F x( ), ( ) ( )� � 0 ñëåäóåò G y F y F x( ), ( ) ( )� � 0 ;
— ñèëüíî F-ìîíîòîííûì íà X c êîíñòàíòîé � � 0, åñëè äëÿ ëþáûõ x y X, � âû-
ïîëíåíî G x G y F x F y x y( ) ( ), ( ) ( ) | | | |� � � �� 2 .
Òåîðåìà 4. Åñëè âVLI G F X( , , ) îòîáðàæåíèå G ñòðîãî F-ïñåâäîìîíîòîííî, òî ìî-
æåò ñóùåñòâîâàòü íå áîëåå îäíîãî ðåøåíèÿ âàðèàöèîííî-ïîäîáíîãî íåðàâåíñòâà (1).
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî òî÷êè x x X x x1 2 1 2, ,� � , ÿâëÿþòñÿ ðå-
øåíèÿìè VLI G F X( , , ) , ò.å. âûïîëíåíî
G x F x F x x X( ), ( ) ( )1 1 0� � � � , (7)
G x F x F x x X( ), ( ) ( )2 2 0� � � � . (8)
Ïîëîæèì x x� 2 â íåðàâåíñòâå (7) è x x� 1 â (8). Òîãäà
G x F x F x( ), ( ) ( )1 2 1 0� � , G x F x F x( ), ( ) ( )2 2 1 0� � ,
÷òî ïðîòèâîðå÷èò ïðåäïîëîæåíèþ î ñòðîãîé F-ïñåâäîìîíîòîííîñòè îòîáðàæåíèÿ G.
Òåîðåìà äîêàçàíà.
Îòìåòèì, ÷òî ëþáîå ñèëüíî F-ìîíîòîííîå îòîáðàæåíèå îäíîâðåìåííî ÿâëÿåò-
ñÿ è ñòðîãî F-ïñåâäîìîíîòîííûì. Â ñàìîì äåëå, ïóñòü îòîáðàæåíèå G ñèëüíî
F-ìîíîòîííî ñ êîíñòàíòîé � � 0. Òîãäà, åñëè äëÿ ëþáûõ x y X, � , òàêèõ, ÷òî x y� ,
âûïîëíåíî G x F y F x( ), ( ) ( )� � 0, èìååò ìåñòî íåðàâåíñòâî
G y F y F x G x F y F x x y( ), ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) | | | |� � � � � �� 2 0 .
Ñòðîãîé F-ïñåâäîìîíîòîííîñòè íåäîñòàòî÷íî, ÷òîáû îáåñïå÷èòü ðàçðåøè-
ìîñòü âàðèàöèîííî-ïîäîáíîãî íåðàâåíñòâà (1). Ñóùåñòâîâàíèå è åäèíñòâåííîñòü
ðåøåíèÿ VLI G F X( , , ) ãàðàíòèðóåò ñëåäóþùàÿ òåîðåìà.
Òåîðåìà 5. Åñëè â VLI G F X( , , ) íà ìíîæåñòâå X äëÿ ëþáîãî ôèêñèðîâàííîãî
x X� ôóíêöèÿ G x FT ( ) ( )� âûïóêëà è îòîáðàæåíèå G ÿâëÿåòñÿ ñèëüíî F-ìîíîòîí-
íûì, òî âàðèàöèîííî-ïîäîáíîå íåðàâåíñòâî (1) èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå.
36 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 6
Äîêàçàòåëüñòâî. Åñëè ìíîæåñòâî X îãðàíè÷åíî, òî â ñèëó óòâåðæäåíèÿ 1 çà-
äà÷à VLI G F X( , , ) ðàçðåøèìà, à â ñèëó òåîðåìû 4 åå ðåøåíèå åäèíñòâåííî.
Ïóñòü X íåîãðàíè÷åíî. Âûáåðåì ïðîèçâîëüíî òî÷êó x X� è øàð
B x R u n( , ) { :� �� | | | | }u x R� � ñ öåíòðîì â x è ðàäèóñîì R � 0 . Îïðåäåëèì ìíîæåñòâî
X X B x RR � � ( , ) . Ïîñêîëüêó áèôóíêöèÿ G x F uT ( ) ( ) íåïðåðûâíà ïî u, íà êîìïàêò-
íîì ìíîæåñòâå X R îíà äîñòèãàåò ñâîåãî íàèìåíüøåãî çíà÷åíèÿ, ñëåäîâàòåëüíî,
ñóùåñòâóåò �
� � �
�R òàêîå, ÷òî
G x F u F x u XR R( ), ( ) ( )� � � �� .
Ïðè ýòîì, òàê êàê x X R� , òî �R � 0. Âûáåðåì ïðîèçâîëüíî òî÷êó y X XR� \ .
Ïîëîæèì � �
�
�
R
x y| | | |
( , ]0 1 . Òî÷êà âèäà � � �� � �y x( )1 ïðèíàäëåæèò ìíîæåñòâó XR .
Ïî ïðåäïîëîæåíèþ òåîðåìû áèôóíêöèÿ G x F yT ( ) ( ) âûïóêëà ïî y, ñëåäîâàòåëüíî,
èìååò ìåñòî îöåíêà
� � �R G x F F x G x F y F x� � � �( ), ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) .
Îòñþäà G x F x F y( ), ( ) ( )� � � �
�R
R
x y| | | | .
Èñïîëüçóÿ ñèëüíóþ F-ìîíîòîííîñòü îòîáðàæåíèÿ G c êîíñòàíòîé � � 0, ïîëó-
÷àåì
G y F x F y G x F x F y x y( ), ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) | | | |� � � � � �� 2
�� � � � � � � � �
!
"
#
$
% �
�
�
�
�R R
R
x y x y x y
R
x y| | | | | | | | | | | | | | | |2 0 ,
åñëè | | | |x y
R
R� � �
�
�
. Òàêèì îáðàçîì, ìîæíî ïîñòðîèòü íåïóñòîå êîìïàêòíîå
ìíîæåñòâî X X B x R
R
� � ( , ), ãäå R R
R
R� �
�
�
�
�
�
�
max ,
�
�
, âíå êîòîðîãî íè îäíà òî÷-
êà íå ìîæåò áûòü ðåøåíèåì VLI G F X( , , ) . Îòñþäà, òàê êàê ëþáàÿ âûïóêëàÿ
ôóíêöèÿ îäíîâðåìåííî ÿâëÿåòñÿ è êâàçèâûïóêëîé è 0-äèàãîíàëüíî âûïóêëîé, òî
ïî òåîðåìå 3 âàðèàöèîííî-ïîäîáíîå íåðàâåíñòâî èìååò ðåøåíèå. Ïîñêîëüêó ëþ-
áîå ñèëüíî F-ìîíîòîííîå îòîáðàæåíèå ÿâëÿåòñÿ è ñòðîãî F-ìîíîòîííûì, ýòî ðå-
øåíèå åäèíñòâåííî.
Òåîðåìà äîêàçàíà.
Ó÷èòûâàÿ ñïåöèôèêóVLI G F X( , , ) , ìîæíî ïîëó÷èòü è äðóãèå óñëîâèÿ ñóùåñò-
âîâàíèÿ è åäèíñòâåííîñòè ðåøåíèÿ. Êàê ïîêàçûâàåò ñëåäóþùèé ðåçóëüòàò, ñâîé-
ñòâî âûïóêëîñòè ôóíêöèè G x FT ( ) ( )� â òåîðåìå 5 ìîæíî îñëàáèòü, åñëè ïðåäïîëî-
æèòü, ÷òî F — ëèïøèöåâî îòîáðàæåíèå.
Òåîðåìà 6. Ïóñòü VLI G F X( , , ) íà ìíîæåñòâå X ëèáî óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ
0-äèàãîíàëüíîé âûïóêëîñòè, ëèáî äëÿ ëþáîãî ôèêñèðîâàííîãî x X� ôóíêöèÿ
G x FT ( ) ( )� ÿâëÿåòñÿ êâàçèâûïóêëîé. Åñëè íà ìíîæåñòâå X îòîáðàæåíèå F óäîâëåò-
âîðÿåò óñëîâèþ Ëèïøèöà è îòîáðàæåíèå G ÿâëÿåòñÿ ñèëüíî F-ìîíîòîííûì, òî âà-
ðèàöèîííî-ïîäîáíîå íåðàâåíñòâî (1) èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå.
Äîêàçàòåëüñòâî. Åñëè ìíîæåñòâî X îãðàíè÷åíî, òî â ñèëó ðåçóëüòàòîâ, ïîëó-
÷åííûõ âûøå, VLI G F X( , , ) èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå.
Ïóñòü X íåîãðàíè÷åíî. Êàê è ïðè äîêàçàòåëüñòâå ïðåäûäóùåé òåîðåìû, âûáå-
ðåì ïðîèçâîëüíî òî÷êó x X� , ïîñòðîèì øàð B x R( , ) è îïðåäåëèì ìíîæåñòâî
X X B x RR � � ( , ) . Ïóñòü �R �
òàêîå, ÷òî | | ( )| |G u R� � äëÿ ëþáîãî u X R� .
Âûáåðåì ïðîèçâîëüíî òî÷êó y X X R� \ .  ñèëó ïðåäïîëîæåíèé òåîðåìû ïîëó-
÷àåì ñëåäóþùóþ îöåíêó:
G y F x F y G x F x F y x y( ), ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) | | | |� � � � � �� 2
� � � � � � � � �L G x x y x y x y x y L R| | ( )| | | | | | | | | | | | | | ( | | | | )� � �2 � 0
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 6 37
ïðè | | | |x y
L R� �
�
�
, ãäå L � 0 — êîíñòàíòà Ëèïøèöà äëÿ îòîáðàæåíèÿ F, � � 0 —
êîíñòàíòà ñèëüíîé F-ìîíîòîííîñòè äëÿ îòîáðàæåíèÿ G.
Òàêèì îáðàçîì, ñóùåñòâóåò íåïóñòîå êîìïàêòíîå ìíîæåñòâî X X B x R
R
� � ( , ) ,
ãäå R R
L R�
�
�
�
�
�
�
max ,
�
�
, âíå êîòîðîãî íè îäíà òî÷êà íå ìîæåò áûòü ðåøåíèåì
VLI G F X( , , ) . Ñëåäîâàòåëüíî, ïî òåîðåìå 3 (åñëè VLI G V X( , , ) óäîâëåòâîðÿåò 0-äèà-
ãîíàëüíîé âûïóêëîñòè) èëè ïî óòâåðæäåíèþ 1 (åñëè G x FT ( ) ( )� êâàçèâûïóêëà) ñó-
ùåñòâóåò ðåøåíèå âàðèàöèîííî-ïîäîáíîãî íåðàâåíñòâà (1). Ïîñêîëüêó G ñèëüíî
F-ìîíîòîííî, ïî òåîðåìå 4 ýòî ðåøåíèå åäèíñòâåííî.
Òåîðåìà äîêàçàíà.
ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ
Ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû ïîçâîëÿþò ðàçâèòü îáùóþ òåîðèþ âàðèàöèîííûõ íåðà-
âåíñòâ ñ òî÷êè çðåíèÿ óñëîâèé ñóùåñòâîâàíèÿ è åäèíñòâåííîñòè èõ ðåøåíèÿ.
Ãàðàíòîì ðàçðåøèìîñòè îäíîé èç ôîðì îáîáùåíèÿ âàðèàöèîííûõ íåðàâåíñòâ,
òàê íàçûâàåìûõ âàðèàöèîííî-ïîäîáíûõ íåðàâåíñòâ, âûñòóïàþò ñâîéñòâà îáîáùåííîé
âûïóêëîñòè îòîáðàæåíèé è îãðàíè÷åííîñòü äîïóñòèìîãî ìíîæåñòâà èëè äîïîëíèòåëü-
íûå ïðåäïîëîæåíèÿ î åãî ñòðóêòóðå. Ñóùåñòâîâàíèå ðåøåíèé ó âàðèàöèîííî-ïîäîá-
íûõ íåðàâåíñòâ äîêàçàíî ïðè äâóõ ôîðìàõ îáîáùåííîé âûïóêëîñòè — êâàçèâûïóê-
ëîñòè è 0-äèàãîíàëüíîé âûïóêëîñòè. Åäèíñòâåííîñòü ðåøåíèÿ îáåñïå÷èâàåòñÿ ñâîé-
ñòâîì ñòðîãîé F-ïñåâäîìîíîòîííîñòè. Óñëîâèÿìè ñóùåñòâîâàíèÿ è åäèíñòâåííîñòè
ðåøåíèÿ ÿâëÿþòñÿ ñèëüíàÿ F-ìîíîòîííîñòü îòîáðàæåíèé, à òàêæå ëèáî óñëîâèÿ âû-
ïóêëîñòè, ëèáî óñëîâèÿ îáîáùåííîé âûïóêëîñòè (êâàçèâûïóêëîñòè èëè 0-äèàãîíàëü-
íîé âûïóêëîñòè) äîïîëíèòåëüíî ñ ïðåäïîëîæåíèåì ëèïøèöåâîñòè îòîáðàæåíèé.
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. Ê è í ä å ð ë å ð å ð Ä . , Ñ ò à ì ï à ê ê ü ÿ Ã . Ââåäåíèå â âàðèàöèîííûå íåðàâåíñòâà è èõ ïðèëîæåíèÿ.
— Ì.: Ìèð, 1983. — 256 ñ.
2. H a r k e r P . T . , P a n g J . - S . Finite-dimensional variational inequalities and nonlinear complementarity
problems: a survey of theory, algorithms and applications // Math. Program. Series B. — 1990. — 48, N 2.
— P. 161–220.
3. K o n n o v I . Combined relaxation methods for variational inequalities. — Berlin: Springer, 2001. —
184 p.
4. B i a n c h i M . , S c h a i b l e S . Generalized monotone bifunctions and equilibrium problems // J. Opt.
Theory and Appl. — 1996. — 90, N 1. — P. 31–43.
5. P a r i d a J . , S a h o o M . , K u m a r A . A variational-like inequality problem // Bull. Austral. Math.
Soc. — 1989. — 39. — P. 225–231.
6. Í ó ð ì è í ñ ê è é Å . À . , Ø à ì ð à é Í . Á . Ìåòîä ëîêàëüíûõ âûïóêëûõ ìàæîðàíò äëÿ
âàðèàöèîííî-ïîäîáíûõ íåðàâåíñòâ // Æóðí. âû÷èñë. ìàòåìàòèêè è ìàò. ôèçèêè. — 2007. — 47, ¹ 3.
— C. 355–363.
7. Ø à ì ð à é Í . Á . Î äâóõ ïîäõîäàõ ê ðåøåíèþ ñèñòåì íåðàâåíñòâ // Îìñê. íàó÷. âåñòí. — 2003. —
¹ 3 (24). — Ñ. 55–57.
8. Ç û ê è í à À . Â . , Ø à ì ð à é Í . Á . Ïðîåêòèâíûé ìåòîä äëÿ ñèñòåì íåðàâåíñòâ // Äîêë. àêàä.
íàóê âûñø. øê. Ðîññèè. Íîâîñèá. îòä-íèå ÀÍ ÂØ. — 2005. — ¹ 1(4). — Ñ. 36–43.
9. Ø à ì ð à é Í . Á . Ïðèìåíåíèå âàðèàöèîííî-ïîäîáíûõ íåðàâåíñòâ äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷
òðàíñïîðòíîãî öåíîâîãî ðàâíîâåñèÿ // Èíôîðìàòèêà è ñèñòåìû óïðàâëåíèÿ. — 2006. — ¹ 1(11). —
Ñ. 62–72.
10. Z h o u J . X . , G o o n g C . On diagonal convexity conditions for problems in convex analysis and
quasi-variational inequalities // J. Math. Analysis and Appl. — 1988. — 132, N 1. — P. 213–225.
11. Ê î ë ì î ã î ð î â À . Í . , Ô î ì è í Ñ . Â . Ýëåìåíòû òåîðèè ôóíêöèé è ôóíêöèîíàëüíîãî àíàëèçà. —
Ì.: Íàóêà, 1976. — 544 ñ.
Ïîñòóïèëà 05.10.2007
38 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 6
|