Некоторые подходы к моделированию цен в эколого-экономической системе
Запропоновано нелінійні детерміновані та стохастичні двоїсті моделі міжгалузевого еколого-экономічного балансу відносно цін в екологічно збалансованій економіці. Для стохастичних моделей побудовано відповідні детерміновані еквіваленти....
Збережено в:
| Дата: | 2009 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2009
|
| Назва видання: | Кибернетика и системный анализ |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/44300 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Некоторые подходы к моделированию цен в эколого-экономической системе / В.С. Григоркив // Кибернетика и системный анализ. — 2009. — № 1. — С. 3-9. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-44300 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-443002013-05-29T03:08:52Z Некоторые подходы к моделированию цен в эколого-экономической системе Григоркив, В.С. Кибернетика Запропоновано нелінійні детерміновані та стохастичні двоїсті моделі міжгалузевого еколого-экономічного балансу відносно цін в екологічно збалансованій економіці. Для стохастичних моделей побудовано відповідні детерміновані еквіваленти. Nonlinear deterministic and stochastic dual models are proposed for intersectoral ecological-economic balance concerning prices in an ecologically balanced economy. Corresponding determined equivalents are constructed for stochastic models. 2009 Article Некоторые подходы к моделированию цен в эколого-экономической системе / В.С. Григоркив // Кибернетика и системный анализ. — 2009. — № 1. — С. 3-9. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. 0023-1274 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/44300 519.86: 330.115 ru Кибернетика и системный анализ Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Кибернетика Кибернетика |
| spellingShingle |
Кибернетика Кибернетика Григоркив, В.С. Некоторые подходы к моделированию цен в эколого-экономической системе Кибернетика и системный анализ |
| description |
Запропоновано нелінійні детерміновані та стохастичні двоїсті моделі міжгалузевого еколого-экономічного балансу відносно цін в екологічно збалансованій економіці. Для стохастичних моделей побудовано відповідні детерміновані еквіваленти. |
| format |
Article |
| author |
Григоркив, В.С. |
| author_facet |
Григоркив, В.С. |
| author_sort |
Григоркив, В.С. |
| title |
Некоторые подходы к моделированию цен в эколого-экономической системе |
| title_short |
Некоторые подходы к моделированию цен в эколого-экономической системе |
| title_full |
Некоторые подходы к моделированию цен в эколого-экономической системе |
| title_fullStr |
Некоторые подходы к моделированию цен в эколого-экономической системе |
| title_full_unstemmed |
Некоторые подходы к моделированию цен в эколого-экономической системе |
| title_sort |
некоторые подходы к моделированию цен в эколого-экономической системе |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| publishDate |
2009 |
| topic_facet |
Кибернетика |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/44300 |
| citation_txt |
Некоторые подходы к моделированию цен в эколого-экономической системе / В.С. Григоркив // Кибернетика и системный анализ. — 2009. — № 1. — С. 3-9. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
| series |
Кибернетика и системный анализ |
| work_keys_str_mv |
AT grigorkivvs nekotoryepodhodykmodelirovaniûcenvékologoékonomičeskojsisteme |
| first_indexed |
2025-07-04T02:44:05Z |
| last_indexed |
2025-07-04T02:44:05Z |
| _version_ |
1836682624539557888 |
| fulltext |
Â.Ñ. ÃÐÈÃÎÐÊÈÂ
ÓÄÊ 519.86:330.115 ÍÅÊÎÒÎÐÛÅ ÏÎÄÕÎÄÛ Ê ÌÎÄÅËÈÐÎÂÀÍÈÞ
ÖÅÍ Â ÝÊÎËÎÃÎ-ÝÊÎÍÎÌÈ×ÅÑÊÎÉ ÑÈÑÒÅÌÅ
Êëþ÷åâûå ñëîâà: ìîäåëü ýêîëîãî-ýêîíîìè÷åñêîãî áàëàíñà, äâîéñòâåííàÿ ìîäåëü
îòíîñèòåëüíî öåí, ñòîõàñòè÷åñêàÿ ìîäåëü, äåòåðìèíèðîâàííûé ýêâèâàëåíò .
 ñîâðåìåííîì ìèðå ýêîíîìè÷åñêèå ñèñòåìû ôóíêöèîíèðóþò â óñëîâèÿõ âñå áî-
ëåå çíà÷èòåëüíîãî âëèÿíèÿ âíåøíåé ñðåäû è îñîáåííî ýêîëîãè÷åñêèõ ôàêòîðîâ,
÷òî â áîëüøèíñòâå ñëó÷àåâ äàåò îñíîâàíèÿ èññëåäîâàòü èõ êàê ýêîëîãî-ýêîíîìè-
÷åñêèå ñèñòåìû.
 ñâÿçè ñ ýòèì èçó÷åíèå ìíîãèõ ïðîáëåì ýêîíîìèêè, â òîì ÷èñëå è ïðîáëåì
öåíîîáðàçîâàíèÿ, ñëåäóåò ïðîâîäèòü, ðàññìàòðèâàÿ ýêîíîìèêó êàê åäèíóþ ñëîæ-
íóþ ýêîëîãî-ýêîíîìè÷åñêóþ ñèñòåìó, ÷òî âïîëíå ñîîòâåòñòâóåò ïîëèòèêå óñòîé÷è-
âîãî ðàçâèòèÿ è åå âíåäðåíèÿ â ðåàëüíóþ æèçíü. Íàñòîÿùàÿ ðàáîòà ïîñâÿùåíà âîï-
ðîñàì ìîäåëèðîâàíèÿ ñáàëàíñèðîâàííûõ öåí â ýêîëîãî-ýêîíîìè÷åñêîé ñèñòåìå,
îëèöåòâîðåíèåì êîòîðîé ÿâëÿåòñÿ, íàïðèìåð, ýêîíîìèêà ñòðàíû èëè ðåãèîíà.
Ïðåæäå ÷åì ïðèñòóïèòü ê èçëîæåíèþ îñíîâíûõ ðåçóëüòàòîâ, çàìåòèì, ÷òî ïðåä-
ïîñûëêîé äëÿ ïîñòðîåíèÿ òàêèõ ìîäåëåé, î÷åâèäíî, ìîãóò áûòü áàëàíñîâûå ìîäåëè
ýêîëîãî-ýêîíîìè÷åñêèõ ñèñòåì, êîòîðûå àïðîáèðîâàíû êàê â íàó÷íîì, òàê è ïðàê-
òè÷åñêîì ñìûñëå.
Íåñìîòðÿ íà îïðåäåëåííûå äîñòèæåíèÿ ýêîíîìèêî-ìàòåìàòè÷åñêîãî ìîäåëè-
ðîâàíèÿ, òàêèõ ìîäåëåé ñîâñåì íåìíîãî, õîòÿ, êàê ïðàâèëî, äëÿ äîñòèæåíèÿ ñîîòâå-
òñòâóþùèõ öåëåé èññëåäîâàíèÿ îíè íóæäàþòñÿ â îïðåäåëåííîé ìîäèôèêàöèè.
Ñðåäè ýòîãî äîâîëüíî óçêîãî ìíîæåñòâà ìîäåëåé âçàèìîäåéñòâèÿ ýêîíîìè÷åñ-
êèõ è ýêîëîãè÷åñêèõ ñèñòåì (ò.å. ìîäåëåé ýêîëîãî-ýêîíîìè÷åñêèõ ñèñòåì) áàëàíñîâî-
ãî òèïà âàæíîå ìåñòî çàíèìàþò òàê íàçûâàåìûå ìîäåëè Ëåîíòüåâà–Ôîðäà [1, 3],
îòîáðàæàþùèå ìåæîòðàñëåâîé ýêîëîãî-ýêîíîìè÷åñêèé áàëàíñ è ïîçâîëÿþùèå
èçó÷èòü ðÿä âàæíûõ âîïðîñîâ ôóíêöèîíèðîâàíèÿ ýêîíîìèêè â óñëîâèÿõ îïðåäå-
ëåííîãî ýêîëîãî-ýêîíîìè÷åñêîãî ðàâíîâåñèÿ.
Íèæå ïðåäëàãàåòñÿ âàðèàíò ìîäåëè Ëåîíòüåâà–Ôîðäà, ïðåäñòàâëåííûé ñèñòå-
ìîé íåðàâåíñòâ
x x A x
i ij j ij
j
n
s
m
is s
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (( , ) (1 11 1 11
1 1
12� �
� �
� �� � 2 12 1
2 21 1 21
1) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) (
, ) , , ,
( ,
A y i n
x x A
is i
l lj j lj
� �
� � ) ( ) ( ) ( ) ( )) ( , ) , , .
j
n
s
m
is s is l
x A y l m
� �
� �� � �
�
�
1 1
22 2 22 1 1�
(1)
Çäåñü x n( )1 � �� — âåêòîð âàëîâîãî âûïóñêà îñíîâíîãî ïðîèçâîäñòâà (��
l — íåîò-
ðèöàòåëüíûé îðòàíò n-ìåðíîãî âåêòîðíîãî ïðîñòðàíñòâà); x m( )2 � �� — âåêòîð óíè÷-
òîæåííûõ çàãðÿçíèòåëåé (ò.å. âåêòîð äîïîëíèòåëüíîãî ïðîèçâîäñòâà); y n( )1 � �� —
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2009, ¹ 1 3
© Â.Ñ. Ãðèãîðêèâ, 2009
âåêòîð êîíå÷íîé ïðîäóêöèè; y m( )2 � �� — âåêòîð íåóíè÷òîæåííûõ çàãðÿçíèòå-
ëåé; �
ij j ij
x A( ) ( ) ( )( , )11 1 11 — ôóíêöèÿ çàòðàò ïðîäóêöèè i íà âûïóñê x
j
( )1 åäèíèö ïðî-
äóêöèè j; �
is s is
x A( ) ( ) ( )( , )12 1 12 — ôóíêöèÿ çàòðàò ïðîäóêöèè i íà óíè÷òîæåíèå xs
( )2
åäèíèö çàãðÿçíèòåëÿ s; �
lj j lj
x A( ) ( ) ( )( , )21 1 21 — ôóíêöèÿ âûïóñêà çàãðÿçíèòåëÿ l ïðè
âûïóñêå x
j
( )1 åäèíèö ïðîäóêöèè j; �
ls s ls
x A( ) ( ) ( )( , )22 2 22 — ôóíêöèÿ âûïóñêà çàãðÿçíè-
òåëÿ l ïðè óíè÷òîæåíèè xs
( )2 åäèíèö çàãðÿçíèòåëÿ s; A
ij
( ),11 A
is
( ),12 A
lj
( ),21 A
is
( )22 —
êîíå÷íûå ìíîæåñòâà ïàðàìåòðîâ. Âñå ôóíêöèè ñîîòâåòñòâóþùèõ çàòðàò è âû-
ïóñêîâ â îáùåì ñëó÷àå ñ÷èòàþòñÿ íåëèíåéíûìè.
Ìîäåëü (1) íàçîâåì ïðÿìîé ìîäåëüþ Ëåîíòüåâà–Ôîðäà. Çàìåòèì, ÷òî îáû÷íî
ñîîòíîøåíèÿ ìîäåëè ìåæîòðàñëåâîãî ýêîëîãî-ýêîíîìè÷åñêîãî áàëàíñà çàïèñûâà-
þòñÿ â âèäå ðàâåíñòâ [1–4]. Ñîîòíîøåíèÿ (1) ÿâëÿþòñÿ îïðåäåëåííûì îáîáùåíèåì.
 ñîäåðæàòåëüíîì ñìûñëå ïåðâûå n íåðàâåíñòâ (1) ïîêàçûâàþò, ÷òî âûïóñê îñíîâíîé
ïðîäóêöèè äîëæåí áûòü íå ìåíüøèì, ÷åì òðåáóåòñÿ íà ïîêðûòèå âñåõ ïðîèçâîäñòâåí-
íûõ çàòðàò è íà âûïîëíåíèå ïëàíà âûïóñêà êîíå÷íîé ïðîäóêöèè. ×òî êàñàåòñÿ ïîñëåä-
íèõ m íåðàâåíñòâ (1), òî èõ ñìûñë òàêæå î÷åâèäåí — îñòàòî÷íûé (íåóíè÷òîæåííûé)
îáúåì çàãðÿçíåíèÿ (ðàçíèöà ìåæäó ïðîèçâåäåííûì è óíè÷òîæåííûì çàãðÿçíåíèåì)
íå ìîæåò ïðåâûøàòü íåêîòîðîé óñòàíîâëåííîé ãðàíè y
l
( ),2 l m�1, .
Äëÿ ïîëó÷åíèÿ äâîéñòâåííîãî âàðèàíòà ìîäåëè îòíîñèòåëüíî öåí îáîçíà÷èì
~( )x
j
1 è ~( )x
j
2 ñîîòâåòñòâåííî ñòîèìîñòü îñíîâíîé ïðîäóêöèè îòðàñëè j è óíè÷òîæåí-
íîãî çàãðÿçíèòåëÿ s, ~( )z
j
1 è ~( )zs
2 — ñîîòâåòñòâåííî ñòîèìîñòü óñëîâíî-÷èñòîé ïðî-
äóêöèè îòðàñëè j îñíîâíîãî ïðîèçâîäñòâà è îòðàñëè s âñïîìîãàòåëüíîãî ïðîèçâîä-
ñòâà, ~ ( , )( ) ( ) ( )�
ij j ij
x A11 1 11 , ~ ( , )( ) ( ) ( )�
is s is
x A12 2 12 è ~ ( , )( ) ( ) ( )�
lj j lj
x A21 1 21 , ~ ( , )( ) ( ) ( )�
is s is
x A22 2 22 —
ñîîòâåòñòâåííî ñòîèìîñòíûå àíàëîãè ðàññìîòðåííûõ âûøå çàòðàò �
ij j ij
x A( ) ( ) ( )( , )11 1 11 ,
�
is s is
x A( ) ( ) ( )( , )12 2 12 è âûïóñêîâ �
lj j lj
x A( ) ( ) ( )( , )21 1 21 , �
ls s ls
x A( ) ( ) ( )( , )22 2 22 .
Òîãäà, îòîáðàæàÿ â îïðåäåëåííîì ñìûñëå êëàññè÷åñêóþ ñõåìó ìåæîòðàñëåâî-
ãî áàëàíñà â ñòîèìîñòíîé ôîðìå «ïî ñòîëáöàì» [4] äëÿ ïåðâîãî è òðåòüåãî êâàäðàí-
òîâ, ïîñòðîèì ñèñòåìó ñîîòíîøåíèé
~ ~ ( , ) ~ (( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x x A x
j ij j ij
i
n
lj j
1 11 1 11
1
21 1� �
�
� � � , ) ~ , , ,
~ ~ ( ,
( ) ( )
( ) ( ) ( )
A z j n
x x
lj
l
m
j
s is s
21
1
1
2 12 2
1� �
�
�
�
� A x A z
is
i
n
ls s ls
l
m
s
( ) ( ) ( ) ( ) ( )) ~ ( , ) ~ ,12
1
22 2 22
1
2
� �
� �� �� s m�
�
�
1, .
(2)
Èíòåðïðåòàöèÿ íåðàâåíñòâ (2) òàêæå î÷åâèäíà. Ïåðâûå n íåðàâåíñòâ ïîêàçûâà-
þò, ÷òî êîëè÷åñòâî ïðîèçâåäåííîé îñíîâíîé ïðîäóêöèè â ñòîèìîñòíîì âûðàæåíèè
íå ìîæåò áûòü ìåíüøèì îò ñòîèìîñòíûõ çàòðàò íà çàêóïêó íóæíûõ îáúåìîâ âñåõ
âèäîâ îñíîâíîé ïðîäóêöèè, íà óíè÷òîæåíèå âñåõ âèäîâ çàãðÿçíèòåëåé, êîòîðûå ÿâ-
ëÿþòñÿ ñëåäñòâèåì ôóíêöèîíèðîâàíèÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ îòðàñëåé îñíîâíîãî ïðî-
èçâîäñòâà, è íà óñëîâíî-÷èñòóþ ïðîäóêöèþ îñíîâíîãî ïðîèçâîäñòâà. Ñëåäóþùåå m
íåðàâåíñòâ îáîçíà÷àþò, ÷òî ñòîèìîñòü îáúåìà êàæäîãî èç óíè÷òîæåííûõ çàãðÿçíè-
òåëåé (óíè÷òîæåíèå çàãðÿçíèòåëÿ s îñóùåñòâëÿåòñÿ îòðàñëüþ s âñïîìîãàòåëüíîãî
ïðîèçâîäñòâà) íå ìîæåò áûòü ìåíüøå ñòîèìîñòè åãî ñîñòàâíûõ ÷àñòåé, ïðîèçâåäåí-
íûõ â îñíîâíîì è äîïîëíèòåëüíîì ïðîèçâîäñòâàõ, à òàêæå ñòîèìîñòè, êîòîðàÿ âû-
äåëÿåòñÿ êàê óñëîâíî-÷èñòàÿ ïðîäóêöèÿ âñïîìîãàòåëüíîãî ïðîèçâîäñòâà.
Ñèñòåìó (2) ïðåîáðàçóåì, ââåäÿ â ðàññìîòðåíèå ïîíÿòèå öåí. Ïóñòü p
j
( )1 — öåíà
åäèíèöû îñíîâíîé ïðîäóêöèè j, ps
( )2 — ñòîèìîñòü óíè÷òîæåíèÿ åäèíèöû çàãðÿçíè-
4 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2009, ¹ 1
òåëÿ s, k
j
( )1 — êîýôôèöèåíò óñëîâíî-÷èñòîé ïðîäóêöèè íà åäèíèöó ïðîèçâåäåííîé
îñíîâíîé ïðîäóêöèè j (~ )( ) ( ) ( )z k x
j j j
1 1 1� èëè îòíîñèòåëüíàÿ öåíà åäèíèöû îñíîâíîé
ïðîäóêöèè, âõîäÿùåé â óñëîâíî-÷èñòóþ ïðîäóêöèþ j-é îòðàñëè îñíîâíîãî ïðîèç-
âîäñòâà (åñëè �
( )k
j
1 — äîëÿ ïðîäóêöèè j, âõîäÿùàÿ â óñëîâíî-÷èñòóþ ïðîäóêöèþ, òî
k k p
j j j
( ) ( ) ( )
�
1 1 1� , òàê êàê ~ ( � )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )z k x p k x
j j j j j j
1 1 1 1 1 1� � ), ks
( )2 — êîýôôèöèåíò óñëîâ-
íî-÷èñòîé ïðîäóêöèè îòðàñëè s âñïîìîãàòåëüíîãî ïðîèçâîäñòâà (~ )( ) ( ) ( )z k xs s s
2 2 2� èëè
îòíîñèòåëüíàÿ ñòîèìîñòü óíè÷òîæåíèÿ åäèíèöû çàãðÿçíèòåëÿ s, âõîäÿùàÿ â óñëîâ-
íî-÷èñòóþ ïðîäóêöèþ îòðàñëè s âñïîìîãàòåëüíîãî ïðîèçâîäñòâà (åñëè �
( )ks
2 — äîëÿ
óíè÷òîæåííîãî çàãðÿçíèòåëÿ s, âõîäÿùåãî â ñòîèìîñòíîì ñìûñëå â óñëîâíî-÷èñòóþ
ïðîäóêöèþ, òî k k ps s s
( ) ( ) ( )
�
2 2 2� , òàê êàê ~ ( � )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )z k x p k xs s s s s s
2 2 2 2 2 2� � ).
Ñ ó÷åòîì ýòèõ îáîçíà÷åíèé ñèñòåìó (2) çàïèøåì òàê:
p x p x A
p
j j i ij j ij
i
n
l
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( , )1 1 1 11 1 11
1
2
� �
�
�
� �
�
lj j lj j
l
m
j
s
x A k x j n
p
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( , ) , , ,21 1 21 1
1
1
2
1� �
�
�
x p x A
p
s i is s is
i
n
l ls
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) (
( , )2 1 12 2 12
1
2 2
� �
�
�
� �
� 2 2 22
1
2 2 1) ( ) ( ) ( ) ( )( , ) , , .x A k x s ms ls
l
m
s s
�
� � �
�
�
(3)
Òåïåðü ðàçäåëèì ïåðâûå n íåðàâåíñòâ ñèñòåìû (3) ñîîòâåòñòâåííî íà x
j
( )1 0� ,
à ñëåäóþùèå m íåðàâåíñòâ — íà xs
( )2 0� , ïîñëå ýòîãî ïîëó÷èì ñèñòåìó
p p x A x
p
j i ij j ij j
i
n
l
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ( , ) / ]1 1 11 1 11 1
1
� �
�
�
� �
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ( , ) / ] , ,2 21 1 21 1
1
1 1�
lj j lj j
l
m
j
x A x k j n
�
� � � ,
[ ( , ) / ]( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )p p x A x
p
s i is s is s
i
n
2 1 12 2 12 2
1
� �
�
�
� �
l ls s ls s
l
m
sx A x k s( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ( , ) / ] , ,2 22 2 22 2
1
2 1�
�
� � � m.
�
�
(4)
 ìàòðè÷íî-âåêòîðíîé ôîðìå ñèñòåìà (4) ïðèîáðåòàåò âèä
p F x A p F x A( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ( , )) ( ( , ))1 11 1 11 1 21 1 21� �T T p k
p F x A p F x
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (
,
( ( , )) ( (
2 1
2 12 2 12 1 22 2
�
� �T ) ( ) ( ) ( ), )) ,A p k22 2 2T �
�
�
(5)
ãäå
F x A x A x
ij j ij j i
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
,
( , ) ( ( , ) / )11 1 11 11 1 11 1� �
j
n
�1
,
F x A x A x
is s s i s
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
,
( , ) ( ( , ) / )12 2 12 12 2 12 2�
�
�
1
n m,
,
F x A x A x
lj j j l j
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
,
( , ) ( ( , ) / )21 1 21 21 1 21 1�
�
�
1
m n,
,
F x A x A x
ls s s l s
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
,
( , ) ( ( , ) / )22 2 22 22 2 22 2�
�
�
1
m ,
A ( ),11 A ( ),12 A ( ),21 A ( )22 — îáúåäèíåííûå ìíîæåñòâà ñîîòâåòñòâóþùèõ ìíîæåñòâ
ïàðàìåòðîâ ôóíêöèé çàòðàò îñíîâíîé ïðîäóêöèè è âûïóñêîâ çàãðÿçíèòåëåé.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2009, ¹ 1 5
Ñèñòåìó ñîîòíîøåíèé (5) (èëè (4)) íàçîâåì äâîéñòâåííîé ìîäåëüþ ñîãëàñíî
öåí ïî îòíîøåíèþ ê ñèñòåìå (1).  îáùåì ñëó÷àå îíà ÿâëÿåòñÿ ñèñòåìîé íåëèíåé-
íûõ íåðàâåíñòâ, ïîñêîëüêó ýëåìåíòû ìàòðèö F x A( ) ( ) ( )( , )11 1 11 , F x A( ) ( ) ( )( , )12 2 12 ,
F x A( ) ( ) ( )( , )21 1 21 , F x A( ) ( ) ( )( , )22 2 22 — ìàòðèöû íåëèíåéíûõ ïî x ( )1 è x ( )2 ôóíêöèé.
Ïðîáëåìà ñóùåñòâîâàíèÿ íåîòðèöàòåëüíûõ öåí p ( )1 è p ( )2 , ÿâëÿþùèõñÿ ðåøå-
íèåì ñèñòåìû (5) ïðè ïðîèçâîëüíûõ íåîòðèöàòåëüíûõ âåêòîðàõ k ( ),1 k ( )2 è êîí-
êðåòíî çàäàííûõ ìàòðèöàõ F x A( ) ( ) ( )( , )11 1 11 , F x A( ) ( ) ( )( , )12 2 12 , F x A( ) ( ) ( )( , )21 1 21 ,
F x A( ) ( ) ( )( , )22 2 22 , î÷åâèäíî ÿâëÿåòñÿ ïðîáëåìîé ïðîäóêòèâíîñòè äâîéñòâåííîé
ìîäåëè è çàñëóæèâàåò îòäåëüíîãî ðàññìîòðåíèÿ, õîòÿ íèæå îñòàíàâëèâàòüñÿ íà íåé
íå áóäåì. Çàìåòèì òîëüêî, ÷òî ðåøåíèå ñèñòåìû (5) çàâèñèò îò A ( )11 , A ( )12 , A ( )21 ,
A ( )22 (êîòîðûå îáðàçóþò îáúåäèíåííîå ìíîæåñòâî A), x ( )1 è x ( )2 , ò.å. p ( )1 �
� p x x A( ) ( ) ( )( , , )1 1 2 , p p x x A( ) ( ) ( ) ( )( , , )2 2 1 2� . Åñëè ôóíêöèè çàòðàò îñíîâíîé ïðî-
äóêöèè è âûïóñêîâ çàãðÿçíèòåëåé êîíêðåòíî îïðåäåëåíû (çàäàíû ÷èñëåííûå çíà-
÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ âõîäÿùèõ â ìíîæåñòâà A ( )11 , A ( )12 , A ( )21 , A ( )22 ), òî öåíû çàâè-
ñÿò òîëüêî îò x ( )1 è x ( ),2 ò.å. p p x x( ) ( ) ( ) ( )( , )1 1 1 2� , p p x x( ) ( ) ( ) ( )( , )2 2 1 2� . Â ñâÿçè
ñ ýòèì äëÿ íàõîæäåíèÿ ÷èñëåííûõ çíà÷åíèé èñêîìûõ öåí â ýêîëîãè÷åñêè ñáàëàí-
ñèðîâàííîé ýêîíîìèêå ñíà÷àëà íóæíî íàéòè ðåøåíèå x ( )*1 è x ( )*2 ñèñòåìû (1),
ïîäñòàâèòü åãî â ñèñòåìó (5), çàòåì, ðåøàÿ ýòó ñèñòåìó, ïîëó÷èòü p ( )*1 �
� p x x( ) ( )* ( )*( , )1 1 2 , p p x x( )* ( ) ( )* ( )*( , )2 2 1 2� .
Äëÿ äàëüíåéøèõ èçëîæåíèé ïåðåïèøåì ìîäåëü (5) â âèäå
p F x A p k� �T ( , ) , (6)
ãäå p p p k k k x x x� � �( , ) , ( , ) , ( , ) ,( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2T T T
A A A A A�
( ) ( ) ( ) ( ) ,11 12 21 22
F x A
F x A F x A
F
T
T T
( , )
( ( , )) ( ( , ))
(
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
�
11 1 11 21 1 21
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( , )) ( ( , ))12 2 12 22 2 22x A F x AT T
�
�
�
�
�
�
�
�
.
Îáîçíà÷èâ d k� � , B x A F x A I n m( , ) ( , )� � �
T , ãäå I n m� — äèàãîíàëüíàÿ åäè-
íè÷íàÿ ìàòðèöà ðàçìåðíîñòè ( ) ( )n m n m� � � , ïîëó÷èì åùå îäíó çàïèñü ìîäåëè (5)
(èëè (6)):
B x A p d( , ) � . (7)
Èñïîëüçóåì (7) äëÿ ôîðìàëèçàöèè îäíîãî èç âàðèàíòîâ ñòîõàñòè÷åñêîé äâîé-
ñòâåííîé ìîäåëè îòíîñèòåëüíî öåí, ñ÷èòàÿ êîìïîíåíòû âåêòîðà d è ïàðàìåòðû ìî-
äåëè, âõîäÿùèå âo ìíîæåñòâî A , çàâèñÿùèìè îò ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé íåêîòîðî-
ãî âåðîÿòíîñòíîãî ïðîñòðàíñòâà ( , , )� S P , ãäå � — ïðîñòðàíñòâî âñåõ ýëåìåíòàð-
íûõ ñîáûòèé, S — àëãåáðà ñîáûòèé, P — âåðîÿòíîñòü èëè ÷èñëîâàÿ ôóíêöèÿ,
îïðåäåëåííàÿ íà àëãåáðå S .
Ýòî îáñòîÿòåëüñòâî ïðèíöèïèàëüíî â ñìûñëå ôîðìàëèçàöèè ìîäåëè, ïîñêîëü-
êó íàëè÷èå ñëó÷àéíûõ âëèÿíèé íà ïàðàìåòðû ìîäåëè (7) ìîæåò íàðóøèòü åå óñëî-
âèÿ.  ñâÿçè ñ ýòèì îò ìîäåëè (7) ïåðåõîäèì ê åå ñòîõàñòè÷åñêîìó àíàëîãó
P B x A p d{ ( , ( )) ( )} ,
.
� � �
�
� �
�
�
�
�
(8)
Çäåñü P{}� — âåðîÿòíîñòü ñîîòâåòñòâóþùåãî ñîáûòèÿ, � — çàäàííîå ìèíèìàëü-
íîå çíà÷åíèå âåðîÿòíîñòè (óðîâåíü çíà÷èìîñòè è äîâåðèòåëüíîñòè ñîáûòèÿ). Êàê
ïðàâèëî, òðåáóåòñÿ, ÷òîáû âåëè÷èíà � áûëà áëèçêîé ê åäèíèöå.
6 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2009, ¹ 1
Ôîðìàëèçàöèÿ ìîäåëè (8) òàêîâà, ÷òî îíà íå ìîæåò áûòü íåïîñðåäñòâåííî ðå-
øåíà, ïîýòîìó òðàäèöèîííàÿ ñõåìà èññëåäîâàíèÿ òàêèõ ìîäåëåé áàçèðóåòñÿ íà ïî-
ñòðîåíèè ñîîòâåòñòâóþùèõ èì äåòåðìèíèðîâàííûõ ýêâèâàëåíòîâ [2, 5].
Äëÿ ïîñòðîåíèÿ äåòåðìèíèðîâàííîãî ýêâèâàëåíòà ìîäåëè (8) äîïîëíèòåëüíî
ïðåäïîëîæèì, ÷òî âñå ýëåìåíòû ìíîæåñòâà A( )� (à òàêæå ñîîòâåòñòâóþùèå ýëåìåíòû
ìàòðèöû B x A( , ( ))� è âåêòîðà d ( )� ) âçàèìíî íåçàâèñèìû è íîðìàëüíî ðàñïðåäåëåíû
ñëó÷àéíûìè âåëè÷èíàìè ñ ìàòåìàòè÷åñêèìè îæèäàíèÿìè M b x A b xij ij( ( , ( )) ( )� � ,
M d di i( ( ))� � è äèñïåðñèÿìè � � �2 2( ( , ( )) ( )b x A xij ij� , � � �2 2( ( ))di i� .
 ýòîì ñëó÷àå ðàçíîñòü b x A p dij j i
j
n m
( , ( )) ( )� ��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1
òàêæå áóäåò èìåòü íîð-
ìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå è
M b x A p d b x pij j i
j
n m
j
n m
ij( , ( )) ( ) ( )� ��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
1 1
j id� ,
� � � �2
1 1
2b x A p d xij j i
j
n m
j
n m
ij( , ( )) ( ) (�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� � )p j i� �2 .
Ñ ó÷åòîì ýòîãî ïîëó÷èì
P b x A p d P b x Aij j i
j
n m
ij( , ( )) ( ) ( , ( ))� � ��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1
p dj i
j
n m
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
� ( )� 0
1
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �P b x A p d b xij j i
j
n m
j
n m
ij( , ( )) ( ) ( )� �
1 1
p d b x p dj i
j
n m
ij j i�
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1
0( )
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
P
b x A p d b xij j i
j
n m
j
n m
ij( , ( )) ( ) ( )� �
1 1
p d
x p
dj i
j
n m
ij j i
i
j
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1
2 2 2
1 2
� �( )
/
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1
1
2 2 2
n m
ij j
j
n m
ij j i
b x p
x p
( )
( )� �
�
�
�
�
�
�
!
1 2/
! � � � � �P x t x F t x i n mi i i{ ( ) ( )}
~
( ( )) , , .� � 1 (9)
 ñîîòíîøåíèè (9)
~
( ( ))F t xi — çàâèñÿùàÿ îò âåêòîðà-ïàðàìåòðà x ôóíêöèÿ íîð-
ìèðîâàííîãî íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ, ïðè÷åì
~
( ) , ( )F � �� �0 5 " , ãäå "( )� —
ôóíêöèÿ Ëàïëàñà [5].
Ïîñêîëüêó ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ íåóáûâàþùàÿ, òî íåðàâåíñòâî
~
( ( ))F t xi � �
âûïîëíÿåòñÿ òîãäà, êîãäà t x ti i
( ) ( )� � , ãäå t F
i
( ) ~
( ) ( , )� � �� � �� �1 1 0 5" , i n m� �1, .
Ìîæíî ðàññìîòðåòü òàêæå è áîëåå îáùèé ñëó÷àé, êîãäà ýëåìåíòû ìíîæåñòâà A( )�
è âåêòîðà d ( )� èìåþò íå îáÿçàòåëüíî íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå. Çäåñü âàæíî
òîëüêî, ÷òîáû âñå ýòè ýëåìåíòû áûëè âçàèìíî íåçàâèñèìûìè. Êðîìå òîãî, óðîâåíü
çíà÷èìîñòè íå îáÿçàòåëüíî äîëæåí áûòü îäèíàêîâûì äëÿ âñåõ íåðàâåíñòâ ñèñòåìû.
Îäíàêî âñå ýòè äîïóùåíèÿ íå ïðèíöèïèàëüíû.
Íà îñíîâàíèè àíàëèçà íåðàâåíñòâà t x ti i
( ) ( )� � è (9) ïîëó÷èì äåòåðìèíèðîâàí-
íûé ýêâèâàëåíò ñòîõàñòè÷åñêîé ìîäåëè (8), êîòîðûé ôîðìàëèçèðóåòñÿ ñèñòåìîé
íåðàâåíñòâ
b x p x p dij j
j
n m
j
n m
ij j i
( ) ( )
/
�
�
�
�
� �� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1 1
2 2 2
1 2
� � i i n m, ,� �1 . (10)
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2009, ¹ 1 7
Ñèñòåìà (10) — íåëèíåéíàÿ ñèñòåìà, çàâèñÿùàÿ îò ïàðàìåòðîâ, ïîýòîìó íàéòè
åå ðåøåíèå â ÿâíîì àíàëèòè÷åñêîì âèäå î÷åíü ñëîæíî. Åñëè çàôèêñèðîâàòü âåêòîð x,
òî ïîëó÷èì ñèñòåìó áåç ïàðàìåòðîâ, äëÿ ðåøåíèÿ êîòîðîé ìîæíî ïðèìåíèòü îáùå-
èçâåñòíûå ìåòîäû ðåøåíèÿ íåëèíåéíûõ ñèñòåì, â ÷àñòíîñòè ñâåñòè åå ê îïðåäåëåí-
íîé ñèñòåìå ðàâåíñòâ, à ïîñëåäíþþ ðåøèòü ÷èñëåííûìè ìåòîäàìè [6, 7].
 ÷àñòíîñòè, íàõîæäåíèå ðåøåíèÿ ñèñòåìû íåðàâåíñòâ (10) ìîæíî ñâåñòè ê çà-
äà÷å ìàòåìàòè÷åñêîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ
�
�
#
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
j
j
n m
ij j
j
n m
i
j
n m
b x p t
min,
( ) ( )
1
1 1
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
� � � � �
�
� �
ij j i i j ix p w d i n m
x w
2 2 2
1 2
1( ) , , ,
, ,
/
��
�n m ,
(11)
ãäå w — âåêòîð âñïîìîãàòåëüíûõ ïåðåìåííûõ, — âåêòîð èññêóñòâåííûõ ïåðå-
ìåííûõ. Êîíêðåòèçèðóÿ âåêòîð ïàðàìåòðîâ x è ðåøàÿ çàäà÷ó (11), ïîëó÷èì ðå-
øåíèå ñèñòåìû (10) (ò.å. èñêîìûé âåêòîð öåí p$ ), êîòîðîå ñîîòâåòñòâóåò íóëå-
âîìó çíà÷åíèþ öåëåâîé ôóíêöèè.
Åñëè çíà÷åíèå öåëåâîé ôóíêöèè íåíóëåâîå (ïîëîæèòåëüíîå), ìíîæåñòâî äîïóñòè-
ìûõ ðåøåíèé áóäåò íåñîâìåñòíûì, ÷òî, êàê ïðàâèëî, ìîæåò áûòü ñëåäñòâèåì îïðåäå-
ëåííûõ îøèáîê èíôîðìàöèîííîãî îáåñïå÷åíèÿ. Çàìåòèì òàêæå, ÷òî çàäà÷ó (11) ëåãêî
ñâåñòè ê ñåïàðàáåëüíîé çàäà÷å, ââåäÿ îáîçíà÷åíèÿ
� �i
j
n m
ij j ix x p( ) ( )
/
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1
2 2 2
1 2
,
i n m� �1, , à òàêæå îãðàíè÷åíèÿ p p p
j j j� � ,
i i ix x x( ) ( ) ( )� � , i j n m, ,� �1 ,
ãäå
� �
i
j
n m
ij j ix x p( ) ( )
/
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1
2 2 2
1 2
,
� �i
j
n m
ij j ix x p( ) ( )
/
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1
2 2 2
1 2
.
Êàê èçâåñòíî, ñåïàðàáåëüíàÿ çàäà÷à ñâîäèòñÿ ê çàäà÷å êóñî÷íî-ëèíåéíîãî ïðî-
ãðàììèðîâàíèÿ, äëÿ ðåøåíèÿ êîòîðîé èìååòñÿ ýôôåêòèâíîå àëãîðèòìè÷åñêîå è
ïðîãðàììíîå îáåñïå÷åíèå.
Êðîìå ðàññìîòðåííûõ âûøå ïîäõîäîâ ê ìîäåëèðîâàíèþ öåí â ýêîëîãî-ýêî-
íîìè÷åñêîé ñèñòåìå, êîòîðûå áàçèðóþòñÿ íà èñïîëüçîâàíèè äåòåðìèíèðîâàííûõ
îáîáùåííûõ ìîäåëåé áàëàíñîâîãî òèïà è èõ ñòîõàñòè÷åñêèõ ìîäèôèêàöèé, ìîæíî
òàêæå ïðåäëîæèòü ïîäõîäû, êîòîðûå èñïîëüçóþò áàëàíñîâûå ñîîòíîøåíèÿ-ðàâåí-
ñòâà èëè ñîîòíîøåíèÿ-íåðàâåíñòâà ðàçíûõ âèäîâ, à òàêæå ïîäõîäû, èñïîëüçóþùèå
îïòèìèçàöèîííûå ìîäåëè.
 ÷àñòíîñòè, äîïóñòèìûìè ìíîæåñòâàìè äåòåðìèíèðîâàííûõ è ñòîõàñòè÷åñ-
êèõ îïòèìèçàöèîííûõ ìîäåëåé ìîãóò áûòü ñîîòâåòñòâåííî ìíîæåñòâà öåí, îïèñû-
âàåìûå â âèäå (7) è (8), âîçìîæíî, ñ íåêîòîðûìè äîïîëíèòåëüíûìè îãðàíè÷åíèÿìè.
Äëÿ ôîðìàëèçàöèè òàêèõ ìîäåëåé òðåáóåòñÿ çàäàòü îïðåäåëåííóþ íà äîïóñòèìûõ
ìíîæåñòâàõ ôóíêöèþ ïîëåçíîñòè, ñëóæàùóþ êðèòåðèåì ðàçâèòèÿ ýêîëîãî-ýêîíî-
ìè÷åñêîé ñèñòåìû. Çàìåòèì, ÷òî òàêîé êðèòåðèé ìîæåò áûòü íå åäèíñòâåííûì, ò. å.
îïòèìèçàöèîííàÿ ìîäåëü ìîæåò áûòü ìíîãîêðèòåðèàëüíîé, õîòÿ â áîëüøèíñòâå
ñëó÷àåâ íà îñíîâàíèè íåñêîëüêèõ êðèòåðèåâ óäàåòñÿ ïîñòðîèòü äîñòàòî÷íî
îáîñíîâàííûé â ýêîíîìè÷åñêîì ñìûñëå îäèí èíòåãðàëüíûé êðèòåðèé è ñâåñòè
ìíîãîêðèòåðèàëüíóþ ìîäåëü ê îäíîêðèòåðèàëüíîé.
 öåëîì ïðîáëåìà ïîñòðîåíèÿ ôóíêöèè ïîëåçíîñòè ÿâëÿåòñÿ ñëîæíîé ïðîáëå-
ìîé è çàñëóæèâàåò îòäåëüíîãî âíèìàíèÿ, ïîñêîëüêó äîëæíû ó÷èòûâàòüñÿ íå òîëüêî
ýêîíîìè÷åñêèå è ýêîëîãè÷åñêèå èíòåðåñû èññëåäóåìîé ñèñòåìû, íî è âîçìîæíîñòè
ìàòåìàòè÷åñêîãî èíñòðóìåíòàðèÿ, ñïîñîáíîãî â êîíå÷íîì èòîãå ðåøèòü ïîñòàâëåí-
8 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2009, ¹ 1
íóþ çàäà÷ó, ñäåëàòü ïîëíûé ýêîíîìèêî-ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç ìîäåëèðóåìîé ñè-
òóàöèè è ñîçäàòü ýôôåêòèâíîå àëãîðèòìè÷åñêîå è ïðîãðàììíîå îáåñïå÷åíèå (åñëè
òàêîãî íåò) äëÿ àïðîáàöèè è ïðàêòè÷åñêîãî èñïîëüçîâàíèÿ ïîñòðîåííûõ ìîäåëåé.
Ñðàâíèâàÿ ñîîòíîøåíèÿ (1) è (7), ìîæíî ïðåäëîæèòü îäèí èç êðèòåðèåâ è ñî-
îòâåòñòâóþùóþ åìó ôóíêöèþ ïîëåçíîñòè. Ïîñêîëüêó âåêòîð êîíå÷íîé ïðîäóêöèè
y ( )1 ñëóæèò ãëàâíîé öåëüþ îòðàñëåé îñíîâíîãî ïðîèçâîäñòâà è â çàäà÷àõ ïðîãíîçè-
ðîâàíèÿ ÿâëÿåòñÿ ïëàíîâûì (ò.å. åãî êîìïîíåíòû èçâåñòíû), òî ìàêñèìèçàöèÿ åãî
ñòîèìîñòè, î÷åâèäíî, — åñòåñòâåííûé ýêîíîìè÷åñêèé êðèòåðèé ( ( ( , ))( )f p x A1 �
� #y p x A( ) ( ), ( , ) max1 1 , ãäå � — ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå).
Äðóãîé êðèòåðèé, îòîáðàæàþùèé öåëü îòðàñëåé âñïîìîãàòåëüíîãî ïðîèçâîäñò-
âà, — ìèíèìèçàöèÿ ñòîèìîñòè çàòðàò íà óíè÷òîæåíèå çàãðÿçíèòåëåé ( ( ( , ))( )f p x A2 �
� #x p x A( ) ( ), ( , ) min)2 2 .
Îäíîâðåìåííàÿ ìàêñèìèçàöèÿ ôóíêöèè f p x A( ) ( ( , ))1 è ìèíèìèçàöèÿ ôóíêöèè
f p x A( ) ( ( , ))2 ôàêòè÷åñêè ïðèâîäèò ê îäíîêðèòåðèàëüíîé ìàêñèìèçàöèè ôóíêöèè
f p x A f p x A f p x A( ( , )) ( ( , )) ( ( , ))( ) ( )� �1 2 . (12)
Åñëè ê ñîîòíîøåíèÿì (7) äîáàâèòü óñëîâèÿ íåîòðèöàòåëüíîñòè öåí
p x A p x A( ) ( )( , ) , ( , )1 20 0� � , (13)
ãäå â íåðàâåíñòâàõ (13) íóëÿìè îáîçíà÷åíû íóëåâûå âåêòîðû ñîîòâåòñòâóþùèõ
ðàçìåðíîñòåé, òî ïîëó÷èì îäíó èç äåòåðìèíèðîâàííûõ îïòèìèçàöèîííûõ ìîäå-
ëåé íàõîæäåíèÿ öåí, êîòîðàÿ çàêëþ÷àåòñÿ â ìàêñèìèçàöèè ôóíêöèè ïîëåçíîñòè
(12) ïðè îãðàíè÷åíèÿõ (7), (13). Ýòó ìîäåëü ìîæíî ìîäèôèöèðîâàòü, ââåäÿ ðÿä
äîïîëíèòåëüíûõ îãðàíè÷åíèé.  ìàòåìàòè÷åñêîì ïëàíå ïðåäëîæåííàÿ ìîäåëü çà-
âèñèò îò ïàðàìåòðîâ çàäà÷ ìàòåìàòè÷åñêîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ. Êîíêðåòèçàöèÿ
ïàðàìåòðîâ ïðèâîäèò ê îáûêíîâåííîé çàäà÷å ìàòåìàòè÷åñêîãî ïðîãðàììèðîâà-
íèÿ, à â ñëó÷àå ëèíåéíûõ ôóíêöèé çàòðàò è âûïóñêîâ — ê çàäà÷å ëèíåéíîãî
ïðîãðàììèðîâàíèÿ. Ïîñòðîåíèå ñòîõàñòè÷åñêèõ àíàëîãîâ òàêèõ çàäà÷, à òàêæå
ñîîòâåòñòâóþùèõ äåòåðìèíèðîâàííûõ ýêâèâàëåíòîâ ìîæíî ëåãêî ðåàëèçîâàòü ñ
ïîìîùüþ ïðåäëîæåííûõ ïðåîáðàçîâàíèé.
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. Ë ÿ ø å í ê î ² . Ì . Åêîíîì³êî-ìàòåìàòè÷í³ ìåòîäè òà ìîäåë³ ñòàëîãî ðîçâèòêó. — Êè¿â: Âèùà øê.,
1999. — 236 ñ.
2. à ð è ã î ð ê è â  . Ñ . , Á å ë î ñ ê ó ð ñ ê è é Ð . Ð . Íåêîòîðûå ñòîõàñòè÷åñêèå ìîäåëè Ëåîíòüåâà–Ôîð-
äà è èõ äåòåðìèíèðîâàííûå ýêâèâàëåíòû // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. — 2007. — ¹ 3. —
Ñ. 3–10.
3. à ð è ã î ð ê ³ â  . Ñ . Ìîäåëþâàííÿ åêîëîãî-åêîíîì³÷íî¿ âçàºìî䳿: Íàâ÷. ïîñ³áíèê. — ×åðí³âö³: Ðóòà,
2007. — 84 ñ.
4. à ð è ã î ð ê ³ â  . Ñ . ,  å ð ñ ò ÿ ê À .  . Ïðîãíîçóâàííÿ ñèñòåìè çáàëàíñîâàíèõ ö³í íà îñíîâ³ ìîäåë³
Ëåîíòüºâà–Ôîðäà // Íàóê. â³ñí. Ëüâ³â. íàö. óí-òó ³ìåí³ ²âàíà Ôðàíêà: Ïðîáëåìè åêîíîì³÷íî¿
ê³áåðíåòèêè. — Ëüâ³â, 2007. — Ñïåöâèïóñê 16. — Ñ. 61–68.
5. à ë ó õ î â  .  . , Ì å ä í è ê î â Ì . Ä . , Ê î ð î á ê î Ñ . Á . Ìàòåìàòè÷åñêèå ìåòîäû è ìîäåëè äëÿ
ìåíåäæìåíòà. — ÑÏá.: Ëàíü, 2000. — 480 ñ.
6. Á à õ â à ë î â Í . Ñ . ×èñëåííûå ìåòîäû. — Ì.: Íàóêà, 1975. — 632 ñ.
7. Ñ à ì à ð ñ ê è é À . À . , à ó ë è í À .  . ×èñëåííûå ìåòîäû. — Ì.: Íàóêà, 1989. — 432 ñ.
Ïîñòóïèëà 18.09.2008
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2009, ¹ 1 9
|