Идентификация параметров системы конвективно-диффузионного переноса

Для ряду комплексних обернених задач відновлення параметрів багатокомпонентних параболічних розподілених систем запропоновано обчислювальні алгоритми реалізації градієнтних методів на основі розв’язання прямих і спряжених задач у слабких постановках. Запропонований підхід виключає необхідність явної...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2009
Автори:	Сергиенко, И.В., Дейнека, В.С.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2009
Назва видання:	Кибернетика и системный анализ
Теми:	Системный анализ
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/44304
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Идентификация параметров системы конвективно-диффузионного переноса / И.В. Сергиенко, В.С. Дейнека // Кибернетика и системный анализ. — 2009. — № 1. — С. 42-63. — Бібліогр.: 8 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-44304
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-443042013-05-29T03:08:46Z Идентификация параметров системы конвективно-диффузионного переноса Сергиенко, И.В. Дейнека, В.С. Системный анализ Для ряду комплексних обернених задач відновлення параметрів багатокомпонентних параболічних розподілених систем запропоновано обчислювальні алгоритми реалізації градієнтних методів на основі розв’язання прямих і спряжених задач у слабких постановках. Запропонований підхід виключає необхідність явної побудови функціоналів Лагранжа та використання функцій Гріна. Computational algorithms are proposed for realization of gradient methods based on the solution of direct and conjugate problems in weak formulations for some inverse problems of restoration of parameters of multicomponent parabolic distributed systems. The proposed approach obviates the necessity for construction of Lagrange functionals in an explicit form and for the use of the Green function. Refs: 8 titles. 2009 Article Идентификация параметров системы конвективно-диффузионного переноса / И.В. Сергиенко, В.С. Дейнека // Кибернетика и системный анализ. — 2009. — № 1. — С. 42-63. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. 0023-1274 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/44304 519.6 ru Кибернетика и системный анализ Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Системный анализ Системный анализ
spellingShingle	Системный анализ Системный анализ Сергиенко, И.В. Дейнека, В.С. Идентификация параметров системы конвективно-диффузионного переноса Кибернетика и системный анализ
description	Для ряду комплексних обернених задач відновлення параметрів багатокомпонентних параболічних розподілених систем запропоновано обчислювальні алгоритми реалізації градієнтних методів на основі розв’язання прямих і спряжених задач у слабких постановках. Запропонований підхід виключає необхідність явної побудови функціоналів Лагранжа та використання функцій Гріна.
format	Article
author	Сергиенко, И.В. Дейнека, В.С.
author_facet	Сергиенко, И.В. Дейнека, В.С.
author_sort	Сергиенко, И.В.
title	Идентификация параметров системы конвективно-диффузионного переноса
title_short	Идентификация параметров системы конвективно-диффузионного переноса
title_full	Идентификация параметров системы конвективно-диффузионного переноса
title_fullStr	Идентификация параметров системы конвективно-диффузионного переноса
title_full_unstemmed	Идентификация параметров системы конвективно-диффузионного переноса
title_sort	идентификация параметров системы конвективно-диффузионного переноса
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2009
topic_facet	Системный анализ
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/44304
citation_txt	Идентификация параметров системы конвективно-диффузионного переноса / И.В. Сергиенко, В.С. Дейнека // Кибернетика и системный анализ. — 2009. — № 1. — С. 42-63. — Бібліогр.: 8 назв. — рос.
series	Кибернетика и системный анализ
work_keys_str_mv	AT sergienkoiv identifikaciâparametrovsistemykonvektivnodiffuzionnogoperenosa AT dejnekavs identifikaciâparametrovsistemykonvektivnodiffuzionnogoperenosa
first_indexed	2025-07-04T02:44:20Z
last_indexed	2025-07-04T02:44:20Z
_version_	1836682639905390592
fulltext	È.Â. ÑÅÐÃÈÅÍÊÎ, Â.Ñ. ÄÅÉÍÅÊÀ ÓÄÊ 519.6 ÈÄÅÍÒÈÔÈÊÀÖÈß ÏÀÐÀÌÅÒÐÎÂ ÑÈÑÒÅÌÛ ÊÎÍÂÅÊÒÈÂÍÎ-ÄÈÔÔÓÇÈÎÍÍÎÃÎ ÏÅÐÅÍÎÑÀ Êëþ÷åâûå ñëîâà: êîíâåêòèâíî-äèôôóçèîííûé ïåðåíîñ, èäåíòèôèêàöèÿ ïàðà- ìåòðîâ, ãðàäèåíòíûå ìåòîäû. Â ðàáîòàõ [1, 2] ðàññìîòðåíû âîïðîñû ïîñòðîåíèÿ ÿâíûõ âûðàæåíèé ãðàäèåí- òîâ êâàäðàòè÷íûõ ôóíêöèîíàëîâ-íåâÿçîê äëÿ ðåàëèçàöèè ãðàäèåíòíûõ ìåòîäîâ èäåíòèôèêàöèè ðàçëè÷íûõ ïàðàìåòðîâ ìíîãîêîìïîíåíòíûõ ðàñïðåäåëåííûõ ñèñòåì. Àíàëîãè÷íûå âîïðîñû äëÿ ïñåâäîïàðàáîëè÷åñêèõ, ãèïåðáîëè÷åñêèõ, ïñåâäîãèïåðáîëè÷åñêèõ ìíîãîêîìïîíåíòíûõ ðàñïðåäåëåííûõ ñèñòåì ðàññìîò- ðåíû ñîîòâåòñòâåííî â ðàáîòàõ [3–5]. Â äàííîé ñòàòüå ïîëó÷åíû ÿâíûå âûðà- æåíèÿ ïðåäñòàâëåíèÿ ãðàäèåíòîâ êâàäðàòè÷íûõ ôóíêöèîíàëîâ-íåâÿçîê ÷åðåç ðåøåíèÿ ïðÿìûõ è ñîîòâåòñòâóþùèõ ñîïðÿæåííûõ çàäà÷ äëÿ èäåíòèôèêàöèè ïàðàìåòðîâ êðàåâûõ óñëîâèé, êîýôôèöèåíòîâ äèôôóçèè, ñêîðîñòè êîíâåêòèâ- íîãî ïåðåíîñà, ïàðàìåòðà ñëàáîïðîíèöàåìîé òîíêîé ñîñòàâëÿþùåé ñðåäû ðàñïðåäåëåííîé ñèñòåìû êîíâåêòèâíî-äèôôóçèîííîãî ïåðåíîñà. Ðàññìîòðåí âîïðîñ ïðèìåíåíèÿ ïàðàìåòðè÷åñêîé èäåíòèôèêàöèè ïàðàìåòðîâ. 1. ÈÄÅÍÒÈÔÈÊÀÖÈß ÏÀÐÀÌÅÒÐÎÂ ÊÐÀÅÂÛÕ ÓÑËÎÂÈÉ ÍÀ ÏÐÎÒÈÂÎÏÎËÎÆÍÛÕ ÊÎÍÖÀÕ ÎÒÐÅÇÊÀ Ïóñòü íà îáëàñòè � �T T� � ( , )0 (� � �� 1 2 , � 1 0� ( , )� , � 2 � ( , )� l , 0� � � �� l ) îïðåäåëåíî ïàðàáîëè÷åñêîå óðàâíåíèå � � � � � � � � � � � � y t x k y x vy f ~ . ( )1 Íà êîíöàõ îòðåçêà [ , ]0 l çàäàíû êðàåâûå óñëîâèÿ � � � � � � � � �k y x vy u x t T1 0 0, , ( , ), ( )2 k y x vy u y u x l t T � � � � � �2 3 0, , ( , ). ( )3 Â òî÷êå x � � çàäàäèì ñëåäóþùèå óñëîâèÿ íåèäåàëüíîãî êîíòàêòà: k y x vy t T � � � �� 0 0, ( , ), ( )4 k y x vy r y t T � � � � � � � � � � � [ ], ( , )0 . ( )5 Çäåñü [ ] , ( , ),� � � � � � �� { } const0 0t r . 42 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2009, ¹ 1 © È.Â. Ñåðãèåíêî, Â.Ñ. Äåéíåêà Íà÷àëüíîå óñëîâèå èìååò âèä y y xt� � � �0 0 1 2, � � . (6) Ïðåäïîëàãàåì, ÷òî â N òî÷êàõ di �� èçâåñòíû çíà÷åíèÿ ðåøåíèÿ íà÷àëü- íî-êðàåâîé çàäà÷è (1)–(6): y d t f t t T i Ni i( , ) ( ), ( , ), ,� � �0 1 . (7) Çàäà÷à (1)–(7) ñîñòîèò â íàõîæäåíèè âåêòîðà u ui i � ��{ } U 1 3 , ïðè êîòîðîì ðåøåíèå y y u y u x t� �( ) ( ; , ) íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷è (1)–(6) óäîâëåòâîðÿåò ðàâåíñòâàì (7) , ãäå U � � ��C T C T C T( , ) ( , ) ( , )0 0 0 , C T v t� � �( , ) ( )0 { � ! �C T v t T( , ) : , [ , ]0 0 0 }.Ïðè êàæäîì ôèêñèðîâàííîì u �U âìåñòî êëàññè÷åñêî- ãî ðåøåíèÿ íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷è (1)–(6) áóäåì èñïîëüçîâàòü åå îáîáùåííîå ðåøåíèå. Îïðåäåëåíèå 1. Ïðè êàæäîì ôèêñèðîâàííîì u �U îáîáùåííûì ðåøåíèåì íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷è (1)–(6) íàçûâàåòñÿ ôóíêöèÿ y y u� �( ) � �y u x t W T( ; , ) ( , )0 , êîòîðàÿ " �w x V( ) 0 óäîâëåòâîðÿåò òîæäåñòâàì � � � � � � � � � y t w a u y w l u w t T, ( ; , ) ( ; ), ( , )0 , ( )8 ( , )( ) ( , )y w y w0 0� , (9) ãäå ( , )� � �� # 0 l dx, a u y w k y x w x vy w x dx r y w u y l x( ; , ) [ ][ ]� � � � � � � � � � � � �# � 0 2 l w l( ), l u w f w u w u w l( ; ) ( ~ , ) ( ) ( )� � �1 30 , W T v x t L T V v t L T L( , ) ( , ) ( , ; ) : ( , ; ( ))0 0 02 2 2� � � � �{ }� , V V� , V v x t v W i t T i i� � � �{ }( , ) : ( ), , , ( , )� � 2 1 1 2 0 , V V V v x v W i i i0 0 0 2 1 1 2� � � �, ( ) : ( ), ,{ }� � . Ïóñòü âåêòîð u ïîëó÷àåò ïðèðàùåíèå $ $u u u( )� �U . Íà îñíîâàíèè çàäà÷è (1)–(6), ïðåíåáðåãàÿ ÷ëåíàìè âòîðîãî ïîðÿäêà ìàëîñòè, äëÿ ïðèðàùåíèÿ � � $y ðåøåíèÿ y y u� ( ) ïîëó÷àåì ñëåäóþùóþ íà÷àëüíî-êðàåâóþ çàäà÷ó: � � � � � � � � � � � �� t x k x v x t T, ( , ) � , � � � � � � � � �k x v u x t T � � $ 1 0 0, , ( , ), k x v u u y u x l t T � � � � � �� 2 2 3 0$ $ , , ( , ), ( )10 k x v x t T � � � �� 0 0, , ( , ), ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2009, ¹ 1 43 k x v r x t T � � � � � � � � � � � � � � � �[ ], , ( , )0 , � t x� � �0 0, �. Îïðåäåëåíèå 2. Îáîáùåííûì ðåøåíèåì íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷è (10) íà- çûâàåòñÿ ôóíêöèÿ � ( , ) ( , )x t W T� 0 , êîòîðàÿ " �w x V( ) 0 óäîâëåòâîðÿåò ñèñòåìå òîæäåñòâ � � � � � � � � �� t w a u w l u w t T, ( ; , ) ( ; ), ( , )$ 0 , (11) ( , )( )� w 0 0� , (12) ãäå l u w u w u y w l u w lx l� ( ; ) ( ) ( ) ( )$ $ $ $� ��1 2 30 . Ñîñòàâèì ôóíêöèîíàë-íåâÿçêó J u t A u f dt i N T i i i( ) ( )( )� � % # 1 2 1 0 2� , (13) ãäå � i t( ) — âåñîâûå êîýôôèöèåíòû, A u y u d ti i� ( ; , ), Au A ui i N� �{ } 1 . Âìåñòî çàäà÷è (1)–(7) áóäåì ðàññìàòðèâàòü çàäà÷ó (11)–(13), ñîñòîÿùóþ â íàõîæäåíèè âåêòîðà u �U, ìèíèìèçèðóþùåãî íà U ôóíêöèîíàë (13) ïðè îãðàíè÷åíèÿõ (11), (12). Ïðèáëèæåíèå un � 1 ðåøåíèÿ u �U çàäà÷è (11)–(13) íàõîäèì ñ ïîìîùüþ èòå- ðàöèîííîãî ïðîöåññà u u p n nn n n n� � �1 0 1� , , , . . . , * , (14) íà÷èíàÿ ñ íåêîòîðîãî íà÷àëüíîãî ïðèáëèæåíèÿ u0 �U, ãäå íàïðàâëåíèå ñïóñêà pn è êîýôôèöèåíò � n îïðåäåëÿþòñÿ ñëåäóþùèìè âûðàæåíèÿìè [6]: — äëÿ ìåòîäà ìèíèìàëüíûõ îøèáîê p J e J n u n n u n n � & � & , \| \| \| \| \| \| \| \| ,� 2 2 (15) — äëÿ ìåòîäà ñêîðåéøåãî ñïóñêà p J J A J n u n u u n n n � & � & & , \| \| \| \| \| \| \| \| � 2 2 , (16) — äëÿ ìåòîäà ñîïðÿæåííûõ ãðàäèåíòîâ p J p J J J n u n n n u u n u n n n � & � � � & & � & � � � �1 0 2 2 0 1 , , \| \| \| \| \| \| \| \| , ' (n p Ap n n , \| \| \| \| , 2 (17) ãäå e Au fn n� , Au y u d tn n i i N� �{ }( ; , ) 1 , f f i i N� �{ } 1 . Äëÿ êàæäîãî ïðèáëèæåíèÿ un ðåøåíèÿ u �U çàäà÷è (11)–(13), ñëåäóÿ [1–5], ñ ó÷åòîì [7, 8] ââåäåì â ðàññìîòðåíèå ñëåäóþùóþ ñîïðÿæåííóþ íà÷àëüíî-êðàå- âóþ çàäà÷ó: � � � � � � � � � � � � � � � � � � � t x k x v x x t T d, ( , ) \� , � � � � �k x x t T � 0 0 0, , ( , ), 44 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2009, ¹ 1 k x u x l t T � � � � � � �2 0, , ( , ), k x x t T � � � �� 0 0, , ( , ), (18) k x r x t T � � � � � � � � � � � � � � �[ ], , ( , )0 , [ ] , ( ( ) ), , ( , ), ,� � �� 0 0 1k x y u f x d t T i Ni n i i , � t T x� � �0, �, ãäå � d i i Nd T� ��{ } 1 0( , ) . Îïðåäåëåíèå 3. Îáîáùåííûì ðåøåíèåì íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷è (18) íà- çûâàåòñÿ ôóíêöèÿ � ( , ) ( , )x t W Td� 0 , êîòîðàÿ " �w x Vd( ) 0 óäîâëåòâîðÿåò ñèñòåìå òîæäåñòâ � � � � � � � � � � �� x w a u w l w t T, ( ; , ) ( ), ( , )0 , ( )19 ( , )( )� w T � 0, (20) ãäå a u w k x w x v x w dx r w u l � � � � � �( ; , ) [ ][ ] (� � � � � � � � � � � � �# 0 2 l t w l, ) ( ), l w y u f w d i N i n i i� �( ) ( ( ) ) ( )� � % 1 , W T v L T V v t L T Ld d( , ) ( , ; ) : ( , ; ( ))0 0 02 2 2� � � � �{ }� , (21) V v x t V i Nd d di � � � �{ }( , ) :[ ] , ,� 0 1 , V v x t v W i Nd i i � � � �{ }( , ) : ( ), , � � 2 1 0 1 , � �0 1 10� ��( , ), . . . , ( , )d d lN N . Ïðåíåáðåãàÿ ÷ëåíàìè âòîðîãî ïîðÿäêà ìàëîñòè, íà êàæäîì øàãå èòåðàöèîí- íîãî ïðîöåññà îïðåäåëåíèÿ (n �1)-ãî ïðèáëèæåíèÿ un � 1 ðåøåíèÿ u �U çàäà÷è (11)–(13) âìåñòî ôóíêöèè y u x tn( ; , )� 1 áóäåì èñïîëüçîâàòü ôóíêöèþ ~y êàê îáîá- ùåííîå ðåøåíèå íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷è � � � � � � � � � � � � � ~ ~ ~ ~ , ( , ) y t x k y x v y f x t T� , � � � � � � � � � �k y x vy u u x t Tn n ~ ~ , , ( , )1 1 0 0$ , k y x vy u y u y u u x l t Tn n n n n � � � � � � � ~ ~ ~ , , ( , )2 2 3 3 0$ $ , (22) k y x vy x t T � � � �� ~ ~ , , ( , )0 0� , ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2009, ¹ 1 45 k y x vy r y x t T � � � � � � � � � � � �~ ~ [~], , ( , )� 0 , ~ ,y y xt � � � �0 0 1 2� � , ãäå u un in i � �{ } 1 3 , y y u x tn n� ( ; , ) . Îïðåäåëåíèå 4. Îáîáùåííûì ðåøåíèåì íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷è (22) íà- çûâàåòñÿ ôóíêöèÿ ~ ( , )y W T� 0 , êîòîðàÿ " �w x V( ) 0 óäîâëåòâîðÿåò ñèñòåìå òîæäåñòâ � � � � � � � � � ~ , ( ; ~, ) ( , ; ), ( , ) y t w a u y w l y u w t Tn n n$ 0 , (23) (~, )( ) ( , )y w y w0 0� , (24) ãäå l y u w f w u u w u u w ln n n n n n( , ; ) ( ~ , ) ( ) ( ) ( ) ( )$ $ $ $� � � � � 1 1 3 30 u y w ln n x l2 � ( ). Íà êàæäîì øàãå óêàçàííîãî èòåðàöèîííîãî ïðîöåññà " �u v, U îáîçíà÷èì �( , ) ( ( ) ( ), ( ) ( ))u v Y u Y u Y v Y un n� , L v f Y u Y v Y un n( ) ( ( ), ( ) ( ))� � , (25) ãäå Y v y v d ti i N( ) ( ; , )� �{ } 1 , ( , )� � � � �� # % �0 1 T i N i i i dt, � �� { }i i N 1 , � �� { }i i N 1 . Ïóñòü u un n� �$ U. Òîãäà " � ( , )0 1 u un n� � $ U. Íà îñíîâàíèè íà÷àëü- íî-êðàåâîé çàäà÷è (22) ïîëó÷àåì y u u y u y un n n n( ) ( ) ~ ( )� ) � $ $0 , (26) ãäå ~ ( )y un0 $ — ðåøåíèå íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷è � � � � � � � � � � � � ~ ~ ~ , ( , ) y t x k y x vy x t T 0 0 0 � , � � � � � � � � �k y x vy u x t Tn ~ ~ , , ( , )0 0 1 0 0$ , k y x vy u y u y u x l t Tn n n n � � � � � � ~ ~ ~ , , ( , )0 0 2 0 2 3 0$ $ , k y x vy x t T � � � �� ~ ~ , , ( , )0 0 0 0� , ( )27 k y x vy r y x t T � � � � � � � � � � � �~ ~ [~ ], , ( , )0 0 0 0� , ~ ,y x t0 0 1 20 � � � �� , ò.å. çàäà÷è, ñîñòîÿùåé â íàõîæäåíèè ôóíêöèè ~ ( , )y W T0 0� , êîòîðàÿ " �w x V( ) 0 óäîâëåòâîðÿåò ñèñòåìå òîæäåñòâ � � � � � � � � � ~ , ( ; ~ , ) ( ; ), ( , ) y t w a u y w l u w t Tn n 0 0 0� $ , ( )28 (~ , )( )y w0 0 0� , (29) ãäå ~ ~ ( )y y un0 0� $ , l u w u w u y w l u w ln n n n x l n� ( ; ) ( ) ( ) ( )$ $ $ $� � �1 2 30 . Ïîñêîëüêó ~ ( ) (~ ( ) ( ))y u y u y un n n0 1$ � � , (30) ãäå ~ ( ) ~y u yn � �1 — ðåøåíèå çàäà÷è (23), (24), òî ñ ó÷åòîì (26) èìååì 46 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2009, ¹ 1 Y u u Y u Y u Y un n n n n( ) ( ) ( ~ ( ) ( ))� ) � $ 1 . (31) Ôóíêöèîíàë (13) " �v U ìîæåì ïðåäñòàâèòü â âèäå 2 2 2J v v v L v f Y un( ) ( , ) ( ) \| \| ( )\| \|� � � . (32) Ñ ó÷åòîì (32), (25), (31) èìååì \| , lim ( ) ( ) ( ( ) , ~ (& � � � ) * � J u J u u J u Y u f Y uu n n n n n nn $ $ 0 � 1 ) ( )) .Y un � ( )33 Âûáèðàÿ â òîæäåñòâàõ (19), (20) âìåñòî ôóíêöèè w ðàçíîñòü ~ ( ) ( )y u y un n� 1 , ñ ó÷åòîì (11), (12) ïîëó÷àåì 0 1 1 T i N i n i i n i n iy u d t f t y u d t y u d# % � � � ( ( ; , ) ( ))(~ ( ; , ) ( ; , ))t dt � � � � � � � � � � �# # � � 0 1 0 1 T n n T n n y u y u t dt a u y u ~ ( ) ( ) , ( ; ~ ( )� �y u dtn( ), )� ( )33& � � �# # � 0 0 1 2 30 T n T x ll u dt u t u y l t u� � � � �( ; ) ( ( , ) \| ( , ) ($ $ $ $ l t dt, )) . Íà îñíîâàíèè (33), (33&) ìîæåì çàïèñàòü & )Ju nn ~� , (34) ãäå ~ ~ , ~ ( , ), ~ \| ( , )� � � � � �n n i i n n x lt y l t� � � � �{ } 1 3 1 20 , ~ ( , ), \| \| \| \| ( ~ )� � �n u i T n il t J dt n 3 2 1 3 0 2� & � � % # . (34&) Çàìå÷àíèå 1. Åñëè â çàäà÷å (1)–(7) âîññòàíàâëèâàåìûå ïàðàìåòðû u ii , ,�1 3, — ïîñòîÿííûå, òî ~� n i � const, i �1 3, , ~ ( , )� �n T t dt1 0 0� # , ~� n 2 � # � 0 T x ly l t dt\| ( , )� , ~ ( , )� �n T l t dt3 0 � # , \| \| \| \| ( ~ )& � � %Ju i n i n 2 1 3 2� . Çàìå÷àíèå 2. Åñëè â çàäà÷å (1)–(7), íàïðèìåð, âîññòàíàâëèâàåìûé ïàðàìåòð u2 � const, òî ~ ( , )� �n T x ly l t dt2 0 � # � , à îñòàëüíûå ñîñòàâëÿþùèå ~ , ~� �n n 1 2 îïðå- äåëÿþòñÿ ïî ñîîòâåòñòâóþùèì ôîðìóëàì (34&) è \| \| & �Jun 2 � � �# 0 1 2 3 2 2 2 T n n ndt(( ~ ) ( ~ ) ) ( ~ )� � � . Òàêèì îáðàçîì, äëÿ ðåàëèçàöèè ìåòîäà ìèíèìàëüíûõ îøèáîê (14), (15) îïðåäåëåíèÿ (n �1)-ãî ïðèáëèæåíèÿ un � 1 ðåøåíèÿ u �U çàäà÷è (11)–(13) íàïðàâ- ëåíèå ñïóñêà pn è êîýôôèöèåíò � n ìîæåì îïðåäåëèòü ñ ïîìîùüþ âûðàæåíèé (15), (34). Ðåøèâ çàäà÷ó îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè z x t W Tn( ~ ; , ) ( , )� � 0 , êîòîðàÿ ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2009, ¹ 1 47 " �w x V( ) 0 óäîâëåòâîðÿåò ñèñòåìå òîæäåñòâ � � � � � � � � �z t w a z w l w t Tn n, ( ~ ; , ) ( ~ ; ), ( , )� � 0 , ( , )( ) ( , )z w y w0 0� , (35) ïîëó÷èì âåêòîð AJ A zu n i n i N n & ) � � ~ ( ~ )� �{ } 1 , ÷òî ïîçâîëèò ðåàëèçîâàòü ìåòîä ñêîðåéøåãî ñïóñêà (14), (16) äëÿ îïðåäåëåíèÿ (n �1)-ãî ïðèáëèæåíèÿ un � 1 ðå- øåíèÿ u �U çàäà÷è (8),(9), (13), ãäå z z d ti n n i( ~ ) ( ~ ; , )� �� . Îïðåäåëèâ íàïðàâëåíèå ñïóñêà pn ñ ïîìîùüþ ôîðìóë (17) è ðåøèâ çàäà÷ó îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè z p W Tn( ) ( , )� 0 , êîòîðàÿ " �w x V( ) 0 óäîâëåòâîðÿåò ñèñòåìå òîæäåñòâ � � � � � � � � �z t w a p z w l p w t Tn n, ( ; , ) ( ; ), ( , )0 , ( , )( ) ( , )z w y w0 0� , (36) ïîëó÷èì âåêòîð Ap z pn i n i N� �{ }( ) 1 , ÷òî ïîçâîëèò ðåàëèçîâàòü ìåòîä ñîïðÿæåí- íûõ ãðàäèåíòîâ (14), (17) äëÿ îïðåäåëåíèÿ (n �1)-ãî ïðèáëèæåíèÿ un � 1 ðåøå- íèÿ u �U çàäà÷è (8), (9), (13), ãäå z p z p d ti n n i( ) ( ; , )� , i N�1, . 2.ÈÄÅÍÒÈÔÈÊÀÖÈß ÊÎÝÔÔÈÖÈÅÍÒÎÂ ÄÈÔÔÓÇÈÈ Ïóñòü íà îáëàñòè � T îïðåäåëåíî ïàðàáîëè÷åñêîå óðàâíåíèå � � � � � � � � � � � � y t x u y x vy f ~ . ( )37 Íà êîíöàõ îòðåçêà [ , ]0 l çàäàíû êðàåâûå óñëîâèÿ � � � � � � � � �u y x vy x t T�1 0 0, , ( , ), u y x vy y x l t T � � � � � �� , , ( , )0 . ( )38 Â òî÷êå x � � çàäàíû óñëîâèÿ ñîïðÿæåíèÿ íåèäåàëüíîãî êîíòàêòà u y x vy t T � � � �� 0 0, ( , ), u y x vy r y t T � � � � � � � � � � � [ ], ( , )0 . ( )39 Ïðè t � 0 èìååì íà÷àëüíîå óñëîâèå y y x� � �0 1 2, � � . (40) Ïðåäïîëàãàåì, ÷òî â N òî÷êàõ di �� èçâåñòíû çíà÷åíèÿ ðåøåíèÿ íà÷àëü- íî-êðàåâîé çàäà÷è (37)–(40), çàäàííûå ðàâåíñòâàìè (7). Çàäà÷à (37)–(40), (7) ñîñòîèò â íàõîæäåíèè âåêòîðà u u u� ( , )1 2 ñ ïîëîæè- òåëüíûìè âåùåñòâåííûìè êîìïîíåíòàìè u R� � � � � ��U 2 0( , ) ( , )0 � � , ïðè êî- òîðîì ðåøåíèå y y u y u x t� �( ) ( ; , ) íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷è (37)–(40) óäîâëåòâîðÿåò ðàâåíñòâàì (7). Ïðè êàæäîì ôèêñèðîâàííîì u �U, íàðÿäó ñ êëàññè÷åñêèì ðåøåíèåì íà÷àëü- íî-êðàåâîé çàäà÷è (37)–(40), áóäåì èñïîëüçîâàòü åå îáîáùåííîå ðåøåíèå. 48 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2009, ¹ 1 Îïðåäåëåíèå 5. Ïðè êàæäîì ôèêñèðîâàííîì u �U îáîáùåííûì ðåøåíèåì íà- ÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷è (37)–(40) íàçûâàåòñÿ ôóíêöèÿ y y u� �( ) � �y u x t W T( ; , ) ( , )0 , êîòîðàÿ " �w x V( ) 0 óäîâëåòâîðÿåò òîæäåñòâàì � � � � � � � � � y t w a u y w l w t T, ( ; , ) ( ), ( , )0 , ( , )( ) ( , )y w y w0 0� , (41) ãäå ïðîñòðàíñòâà W T V( , ),0 0 îïðåäåëåíû â ðàçä. 1, a u y w u y x w x vy w x dx r y w y l x l ( ; , ) [ ][ ]� � � � � � � � � � � � �# � 0 � w l( ), l w f w w w l( ) ( ~ , ) ( ) ( )� � �� 1 0 . Íà îñíîâàíèè çàäà÷è (37)–(40), ïðåíåáðåãàÿ ÷ëåíàìè âòîðîãî ïîðÿäêà ìàëîñ- òè, äëÿ ïðèðàùåíèÿ � � $y ðåøåíèÿ çàäà÷è (37)–(40), ñîîòâåòñòâóþùåãî ïðèðà- ùåíèþ $u êîýôôèöèåíòà u, ïîëó÷àåì ñëåäóþùóþ íà÷àëüíî-êðàåâóþ çàäà÷ó: � � � � � � � � � � � � � � �� t x u x v u y x x t T$ � 2 2 , ( , ) , � � � � � � � � � � �u x v u y x x t T � � $ , , ( , )0 0 , u x v u y x x l t T � � � � � � �� $ , , ( , )0 , u x v u y x x t T � � � �� $ , , ( , )0 , ( )42 u x v r u y x x t T � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �[ ] , , ( , )$ 0 , ��t x� � �0 0, �. Îïðåäåëåíèå 6.Îáîáùåííûì ðåøåíèåì íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷è (42) íàçû- âàåòñÿ ôóíêöèÿ � ( , ) ( , )x t W T� 0 , êîòîðàÿ " �w x V( ) 0 óäîâëåòâîðÿåò ñèñòåìå òîæäåñòâ � � � � � � � � �� t w a u w l u w t T, ( ; , ) ( ; ), ( , )$ 0 , ( , )( )� w 0 0� , (43) ãäå l u w l u w l u w u y x wdx u y x l � � � ( ; ) ( ; ); ( ; )$ $ $ $ $� � � � � � �#1 1 0 2 2 + + + �x w 0 0( ) � � + + + � � � � � � � � � � � � � � � � �� $ $ $u y x w l u y x w u y x w x l ( ) . Çàìå÷àíèå 3.Çàäà÷ó âèäà (43) äëÿ ïðèðàùåíèÿ � ðåøåíèÿ y y u� ( ), ñîîòâå- òñòâóþùåãî ïðèðàùåíèþ $u, ìîæåì ïîëó÷èòü íà îñíîâàíèè îáîáùåííîé çàäà÷è (41), ãäå l u w l u w l u w u y x w x dx l � � � ( ; ) ( ; ), ( ; )$ $ $ $� � � � � �#2 2 0 . (44) ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2009, ¹ 1 49 Äëÿ êàæäîãî ïðèáëèæåíèÿ un ðåøåíèÿ u �U çàäà÷è (41), (13) ââåäåì â ðàñ- ñìîòðåíèå ñëåäóþùóþ ñîïðÿæåííóþ íà÷àëüíî-êðàåâóþ çàäà÷ó: � � � � � � � � � � � � � � � � � � � t x u x v x x t T d, ( , ) \� , � � � � �u x x t T � 0 0 0, , ( , ), u x x l t T � � � � � � ��, , ( , )0 , u x x t T � � � �� 0 0, , ( , ), (45) u x r x t T � � � � � � � � � � � � � � �[ ], , ( , )0 , [ ] , ( ( ) ), , ( , ), ,� � �� 0 0 1u x y u f x d t T i Ni n i i , � t T x � � �0, �, ãäå u un� . Îïðåäåëåíèå 7. Îáîáùåííûì ðåøåíèåì íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷è (45) íà- çûâàåòñÿ ôóíêöèÿ � ( , ) ( , )x t W Td� 0 , êîòîðàÿ " �w x Vd( ) 0 óäîâëåòâîðÿåò ñèñòåìå òîæäåñòâ � � � � � � � � � � �� t w a u w l w t T, ( ; , ) ( ), ( , )0 , ( , )( )� w T � 0, (46) ãäå ôîðìà l w� ( ) îïðåäåëåíà ñîîòâåòñòâóþùèì âûðàæåíèåì (21), a u w u x w x v x w dx r w l l � � � � � ��( ; , ) [ ][ ] (� � � � � � � � � � � � �# 0 , ) ( )t w l . Ïðåíåáðåãàÿ ÷ëåíàìè âòîðîãî ïîðÿäêà ìàëîñòè, íà êàæäîì øàãå èòåðàöèîí- íîãî ïðîöåññà îïðåäåëåíèÿ (n �1)-ãî ïðèáëèæåíèÿ un � 1 ðåøåíèÿ u �U çàäà÷è (41), (13) âìåñòî ôóíêöèè y u x tn( ; , )� 1 èñïîëüçóåì ôóíêöèþ ~y êàê îáîáùåííîå ðåøåíèå ñëåäóþùåé íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷è: � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ~ ~ ~ ~ ( )y t x u y x v y f x u y u x n n n$ , ( , )x t T�� , � � � � � � � � � � � �u y x v y u y u x x t Tn n n ~ ~ ( ) , , ( , )�1 0 0$ , u y x v y y u y u x x l t Tn n n� � � � � � � � ~ ~ ~ ( ) , , ( , )� � $ 0 , u y x v y u y u x x t Tn n n� � � �� ~ ~ ( ) , , ( , )$ � 0 , (47) u y x v y r y u y u x x tn n n� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �~ ~ [~] ( ) , ,$ � ( , )0 T , 50 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2009, ¹ 1 ~ ,y y xt� � � �0 0 1 2� � . Îïðåäåëåíèå 8. Îáîáùåííûì ðåøåíèåì íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷è (47) íà- çûâàåòñÿ ôóíêöèÿ ~ ( , )y W T� 0 , êîòîðàÿ " �w x V( ) 0 óäîâëåòâîðÿåò ñèñòåìå òîæ- äåñòâ � � � � � � � � � ~ , ( ; ~, ) ( , ; ), ( , ) y t w a u y w l y u w t Tn n n$ 0 , (~, )( ) ( , )y w y w0 0� , (48) ãäå l y u w f w u y u x w wn n n n( , ; ) ( ~ , ) ( ) , ( )$ $� � � � � � � � � � � � 2 2 1 0� $u y u x wn n x � � + + + � � ( ) ( ) 0 0 � � � + + + � � � � � � � � � � � ��w l u y u x w l u y u x wn n x l n n( ) ( ) ( ) ( ) $ $ $u y u x wn n� � � � � � � � ( ) . Ïóñòü u un n� �$ U. Òîãäà " � ( , )0 1 u un n� � $ U. Íà îñíîâàíèè íà÷àëü- íî-êðàåâîé çàäà÷è (37)–(40) ïîëó÷àåì y u u y u y un n n n( ) ( ) ~ ( )� ) � $ $0 , (49) ãäå ~ ( )y un0 $ � � — ðåøåíèå íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷è (42) ïðè u un� . Ïîñêîëüêó ~ ( ) (~ ( ) ( ))y u y u y un n n0 1$ � � , (50) ãäå ~ ( ) ~y u yn � �1 — ðåøåíèå çàäà÷è (48), âûáèðàÿ â òîæäåñòâàõ (46) âìåñòî ôóíêöèè w ðàçíîñòü ~ ( ) ( )y u y un n� 1 , ñ ó÷åòîì (43) ïîëó÷àåì 0 1 1 T i N i n i i n i n iy u d t f y u d t y u d t# % � � � ( ( ; , ) )(~ ( ; , ) ( ; , ))dt � � � � � � � � � � �# # � 0 1 0 T n n T n y u y u t dt a u y (~ ( ) ( )) , ( ; , ~ (� �� u y u dtn n� �1 ) ( )) � � � � � � � � � �# # � � 0 1 0 T n n T n n y u y u t dt a u y u (~ ( ) ( )) , ( ; ~ (� 1 ) ( ), ) �y u dtn � � # 0 T nl u dt� �( ; )$ , (51) ò.å. ( ( ) , ~ ( ) ( )) ( ; )Y u f Y u Y u l u dtn n n T n �� #1 0 � � �$ . (52) Ñëåäîâàòåëüíî, \| , \| ~ ,& � ) �J u uu n n nn $ $� , ò.å. Ju nn & ) ~� , (53) ãäå ~ ~ , ~ ( ) � � � � � n n i i n T ny u x dxdt� � � � �� # #{ } 1 2 1 0 0 2 2 � � � + + + � � � � � � � � # # � 0 0 0 0 T n x T ny u x t dt y u x dt ( ) ( , ) ( ) � � , (54) ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2009, ¹ 1 51 ~ ( ) ( ) ( , )� � � � n T l n T n x l y u x dxdt y u x l t2 0 2 2 0 � � � � � + + +# # # � dt y u x dt T n� � � � � � � � � # � � 0 ( ) .� Çàìå÷àíèå 4. Åñëè â ïåðâîì òîæäåñòâå ñèñòåìû (43) l u w� ( ; )$ � l u w � 2 ( ; )$ , òî ~ ~� �n n i i � �{ } 1 2 , ~ ( ) � � � n T ny u x x dxdt1 0 0 � � � � �# # , ~� n 2 � � � � �# # 0 T l ny u x x dxdt � �( ) . Çàìå÷àíèå 5. Åñëè â çàäà÷å (37)–(40) âìåñòî êðàåâûõ óñëîâèé (38) çàäàíû óñëîâèÿ Äèðèõëå, òî â âûðàæåíèÿõ (54), îïðåäåëÿþùèõ ñîñòàâëÿþùèå ~� n i ãðàäè- åíòà &Jun , îòñóòñòâóþò âòîðûå ñëàãàåìûå. Åñëè ðàññìàòðèâàåòñÿ îäíîðîäíàÿ ñðåäà, ò.å. â ñëó÷àå îòñóòñòâèÿ òî÷êè x � � ðàçðûâà ïî ïðîñòðàíñòâåííîé ïåðåìåííîé ðåøåíèÿ y y u x t� ( ; , ) çàäà÷è (37)–(40), òî U � �R , & � � � � �# #J y u x dxdtu n n T l n n ~ , ~ ( ) � � � 0 0 2 2 (55) � � � + + + � � + + +# # � �0 0 0 0 T n x T n x l y u x t dt y u x l t ( ) ( , ) ( ) ( , )� � dt. Çàìå÷àíèå 6. Åñëè â çàäà÷å (37)–(40) îòñóòñòâóåò òî÷êà x � � ðàçðûâà ðåøå- íèÿ è âìåñòî åñòåñòâåííûõ óñëîâèé (38) çàäàíû êðàåâûå óñëîâèÿ Äèðèõëå, òî âìåñòî (55) èìååì ~ ( ) � �n T l ny u x dxdt� � � # # 0 0 2 2 . Çàìå÷àíèå 7. Åñëè â çàäà÷å (37)–(40), (13) êîýôôèöèåíò äèôôóçèè u íåèçâåñ- òåí ëèøü íà îäíîé èç îáëàñòåé � i , i �1 2, , � 1 0� ( , )� , � 2 � ( , )� l , òî ãðàäèåíò & �Ju n i n ~� , ãäå ~� n i îïðåäåëÿåòñÿ ñîîòâåòñòâóþùèì âûðàæåíèåì (54) äëÿ êîíêðåòíîãî çíà÷åíèÿ i. Òàêèì îáðàçîì, äëÿ ðåàëèçàöèè ìåòîäà ìèíèìàëüíûõ îøèáîê (14), (15) îïðå- äåëåíèÿ (n �1)-ãî ïðèáëèæåíèÿ un � 1 ðåøåíèÿ u �U çàäà÷è (41), (13) íàïðàâëåíèå ñïóñêà pn è êîýôôèöèåíò � n ìîæåì îïðåäåëèòü ñ ïîìîùüþ âûðàæåíèé (15). Ðåøèâ çàäà÷ó îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè z x t W Tn( ~ ; , ) ( , )� � 0 , êîòîðàÿ " �w x V( ) 0 óäîâëåòâîðÿåò ñèñòåìå òîæäåñòâ � � � � � � � � �z t w a z w l w t Tn, ( ~ ; , ) ( ), ( , )� 0 , ( , )( ) ( , )z w y w0 0� , (56) ïîëó÷èì âåêòîð AJun & , ÷òî ïîçâîëèò ðåàëèçîâàòü ìåòîä ñêîðåéøåãî ñïóñêà (14), (16) äëÿ îïðåäåëåíèÿ (n �1)-ãî ïðèáëèæåíèÿ un � 1 ðåøåíèÿ u �U çàäà÷è (41), (13). Îïðåäåëèâ íàïðàâëåíèå ñïóñêà pn ñ ïîìîùüþ ôîðìóë (17) è ðåøèâ çàäà÷ó îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè z W T� ( , )0 , êîòîðàÿ " �w x V( ) 0 óäîâëåòâîðÿåò ñèñòåìå òîæäåñòâ âèäà (56), ãäå âìåñòî ~� n èñïîëüçóåì pn , ïîëó÷èì âåêòîð Ap z p z p d tn i n i N n i i N� �� { } { }( ) ( ; , ) 1 1 . Ýòî ïîçâîëèò ðåàëèçîâàòü ìåòîä ñîïðÿ- æåííûõ ãðàäèåíòîâ (14), (17) äëÿ îïðåäåëåíèÿ (n �1)-ãî ïðèáëèæåíèÿ un � 1 ðå- øåíèÿ u �U çàäà÷è (41), (13). 52 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2009, ¹ 1 3. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×È ÈÄÅÍÒÈÔÈÊÀÖÈÈ ÑÊÎÐÎÑÒÈ ÊÎÍÂÅÊÒÈÂÍÎÃÎ ÏÅÐÅÍÎÑÀ Ïóñòü íà îáëàñòè � T îïðåäåëåíî ïàðàáîëè÷åñêîå óðàâíåíèå � � � � � � � � � � � � y t x k y x uy f ~ . (57) Íà êîíöàõ îòðåçêà [ , ]0 l çàäàíû êðàåâûå óñëîâèÿ � � � � � � � � �k y x uy x t T�1 0 0, , ( , ), k y x uy y x l t T � � � � � �� , , ( , )0 , (58) ãäå � � �, ,1 èçâåñòíû, � � !const 0. Â òî÷êå x � � çàäàíû óñëîâèÿ íåèäåàëüíîãî êîíòàêòà k y x uy t T � � � �� 0 0, ( , ), k y x uy r y t T � � � � � � � � � � � [ ], ( , )0 . (59) Ïðè t � 0 èìååì íà÷àëüíîå óñëîâèå y y x� � �0 1 2, � � . (60) Ïðåäïîëàãàåì, ÷òî â N òî÷êàõ di �� èçâåñòíû çíà÷åíèÿ ðåøåíèÿ íà÷àëü- íî-êðàåâîé çàäà÷è (57)–(60), çàäàííûå ðàâåíñòâàìè (7). Çàäà÷à (57)–(60), (7) ñîñòîèò â íàõîæäåíèè âåêòîðà u u u� �( , )1 2 U � R 2 , ïðè êîòîðîì ðåøåíèå y y u y u x t� �( ) ( ; , ) íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷è (57)–(60) óäîâëåòâîðÿåò ðàâåíñòâàì (7). Îïðåäåëåíèå 9. Îáîáùåííûì ðåøåíèåì íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷è (57)–(60) íàçûâàåòñÿ ôóíêöèÿ y y u y u x t W T� � �( ) ( ; , ) ( , )0 , êîòîðàÿ " �w x V( ) 0 óäîâëåò- âîðÿåò ñèñòåìå òîæäåñòâ � � � � � � � � � y t w a u y w l w t T, ( ; , ) ( ), ( , )0 , ( )61 ( , )( ) ( , )y w y w0 0� , (62) ãäå ïðîñòðàíñòâà W T( , )0 , V0 îïðåäåëåíû â ðàçä. 1, à ôîðìà l w( ) — â ðàçä. 2, a u y w k y x w x uy w x dx r y w y l x l( ; , ) [ ][ ]� � � � � � � � � � � � �# � 0 � w l( ). Íà îñíîâàíèè çàäà÷è (57)–(60), ïðåíåáðåãàÿ ÷ëåíàìè âòîðîãî ïîðÿäêà ìàëîñ- òè, äëÿ ïðèðàùåíèÿ � � $y ðåøåíèÿ y y u� ( ) çàäà÷è (57)–(60), ñîîòâåòñòâóþùåãî ïðèðàùåíèþ $u, ïîëó÷àåì ñëåäóþùóþ íà÷àëüíî-êðàåâóþ çàäà÷ó: � � � � � � � � � � � � � �� t x k x u u y u x x t T$ � ( ) , ( , ) , � � � � � � � � �k x u u y u x t T � � $ ( ), , ( , )0 0 , k x u u y u x l t T � � � � � �� $ ( ), , ( , )0 , ( )63 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2009, ¹ 1 53 k x u u y x t T � � � �� [ ], , ( , )$ 0 , k x u r u y x t T � � � � � � � � � � � � � �� [ ] , , ( , ){ }$ 0 , � \| ,t x� � �0 0 �. Îïðåäåëåíèå 10. Îáîáùåííûì ðåøåíèåì íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷è (63) íà- çûâàåòñÿ ôóíêöèÿ � ( , ) ( , )x t W T� 0 , êîòîðàÿ " �w x V( ) 0 óäîâëåòâîðÿåò ñèñòåìå òîæäåñòâ � � � � � � � � �� t w a u w l u w t T, ( ; , ) ( ; ), ( , )$ 0 , ( , )( )� w 0 0� , (64) ãäå l u w l u w� � ( ; ) ( ; )$ $� 1 ; l u w u y u x w u y u w � 1 ( ; ) ( ) , ( )$ $ $� � � � � � � �� { } � � � �{ }$ $ $u y u w u y u w u y u w lx x l( ) ( )\| ( ) ( )\| ( )0 0 . Çàìå÷àíèå 8. Çàäà÷ó âèäà (64) äëÿ ïðèðàùåíèÿ � ðåøåíèÿ y y u� ( ), ñîîòâå- òñòâóþùåãî ïðèðàùåíèþ $u, ìîæåì ïîëó÷èòü íà îñíîâàíèè îáîáùåííîé çàäà÷è (61), (62), ãäå l u w l u w l u w u y u w x dx l � � � ( ; ) ( ; ), ( ; ) ( )$ $ $ $� � � �#2 2 0 . Äëÿ êàæäîãî ïðèáëèæåíèÿ un ðåøåíèÿ u �U çàäà÷è (61), (62), (13) ââåäåì â ðàññìîòðåíèå ñîïðÿæåííóþ íà÷àëüíî-êðàåâóþ çàäà÷ó � � � � � � � � � � � � � � � � � � � t x k x u x x t T d, ( , ) \� , � � � � �k x x t T � 0 0 0, , ( , ), k x x l t T � � � � � � ��, , ( , )0 , k x x t T � � � �� 0 0, , ( , ), (65) k x r x t T � � � � � � � � � � � � � � �[ ], , ( , )0 , [ ] , ( ( ) ), , ( , ), ,� � �� 0 0 1k x y u f x d t T i Ni n i i , ��t T x� � �0, �, ãäå u un� . Îïðåäåëåíèå 11. Îáîáùåííûì ðåøåíèåì íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷è (65) íà- çûâàåòñÿ ôóíêöèÿ � ( , ) ( , )x t W Td� 0 , êîòîðàÿ , �w x Vd( ) 0 óäîâëåòâîðÿåò ñèñòåìå òîæäåñòâ � � � � � � � � � � �� t w a u w l w t T, ( ; , ) ( ), ( , )0 , ( )66 ( , )( )� w T � 0, (67) ãäå ôîðìà l w� ( ) îïðåäåëåíà ñîîòâåòñòâóþùèì âûðàæåíèåì (21), a u w k x w x u x w dx r w l l � � � � � ��( ; , ) [ ][ ] (� � � � � � � � � � � � �# 0 , ) ( )t w l . 54 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2009, ¹ 1 Âûáèðàÿ â òîæäåñòâàõ (66), (67) âìåñòî ôóíêöèè w ðàçíîñòü ~( ) ( )y u y un n� 1 , ñ ó÷åòîì (64) ïîëó÷àåì ( ( ) , ~ ( ) ( )) (~ ( ) ( )) ,Y u f Y u Y u y u y u t n n n T n n � � �� #1 0 1 � � � � � � � � �dt � �# #� 0 1 0 T n n n T na u y u y u dt l u dt� �� ( ; , ~ ( ) ( )) ( ; )$ , (68) ò.å. ( ( ) , ~ ( ) ( )) ( ; )Y u f Y u Y u l u dtn n n T n �� #1 0 � � �$ , ãäå ~ ( )y un � 1 — ðåøåíèå ñëåäóþùåé íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷è: � � � � � � � � � � � � � � � ~ ~ ~ ~ ( ) , y t x k y x u y f u y u x x T$ � , � � � � � � � � �k y x u y u y u x t T ~ ~ ( ), , ( , )�1 0 0$ , k y x u y y u y u x l t T � � � � � � � ~ ~ ~ ( ), , ( , )� � $ 0 , (69) k y x u y u y u x t T � � � �� ~ ~ [ ( )], , ( , )$ � 0 , k y x u y r y u y u x t T � � � � � � � � � � � � � � ~ ~ [~] ( ) , , ( , ){ }$ � 0 , ~ , ,y y x t� � � �0 1 2 0� � . Îïðåäåëåíèå 12. Îáîáùåííûì ðåøåíèåì íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷è (69) íà- çûâàåòñÿ ôóíêöèÿ ~ ~ ( ) ~ ( ; , ) ( , )y y u y u x t W Tn n� � �� 1 1 0 , êîòîðàÿ " �w x V( ) 0 óäîâëåòâîðÿåò ñèñòåìå òîæäåñòâ � � � � � � � � � � � � � � ~ , ( ; ~, ) ( ) ( ) , y t w a u y w l w u y u x w u y$ $ ( )\| ( )u wx� �0 0 � � �� $ $ $u y u w l u y u w u y u w t Tx l( )\| ( ) ( ) ( ) , ( , ),{ } { } 0 ( )70 (~, )( ) ( , )y w y w0 0� , ãäå u un� . Ñëåäîâàòåëüíî, åñëè l u w l u wn n� � ( ; ) ( ; )$ $� 1 , òî & )Ju nn ~� , (71) ãäå ~ ( ~ , ~ ), ~ ( ) � � � � � � n n n n T ny u x dxdt� � � � # #1 2 1 0 0 �# #� 0 0 0 0 T n x T ny u t dt y u dt( )\| ( , ) ( )� �{ } , ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2009, ¹ 1 55 ~ ( ) ( )\| ( , )� � � � n T l n T n x l T y u x dxdt y u l t dt2 0 0 0 � � � � # # # #� { }y u dtn( ) � �� . Åñëè l u w l u wn n� � ( ; ) ( ; )$ $� 2 , òî ~ ( ) , ~ ( )� � � � � � n T n n T l ny u x dxdt y u x dxdt1 0 0 2 0 � � � � � �# # # # . Òàêèì îáðàçîì, äëÿ ðåàëèçàöèè ìåòîäà ìèíèìàëüíûõ îøèáîê (14), (15) îïðåäåëåíèÿ (n �1)-ãî ïðèáëèæåíèÿ un � 1 ðåøåíèÿ u �U çàäà÷è (61), (62), (13) íà- ïðàâëåíèå ñïóñêà pn è êîýôôèöèåíò � n ìîæåì îïðåäåëèòü ñ ïîìîùüþ âûðàæåíèé (71). Ðåøèâ çàäà÷ó îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè z x t W Tn( ~ ; , ) ( , )� � 0 , êîòîðàÿ " �w x V( ) 0 óäîâëåòâîðÿåò ñèñòåìå òîæäåñòâ � � � � � � � � �z t w a z w l w t Tn, ( ~ ; , ) ( ), ( , )� 0 , ( , )( ) ( , )z w y w0 0� , (72) ïîëó÷èì âåêòîð AJun & , ÷òî ïîçâîëèò ðåàëèçîâàòü ìåòîä ñêîðåéøåãî ñïóñêà (14), (16) äëÿ îïðåäåëåíèÿ (n �1)-ãî ïðèáëèæåíèÿ un � 1 ðåøåíèÿ u �U çàäà÷è (61), (62), (13). Îïðåäåëèâ íàïðàâëåíèå ñïóñêà pn ñ ïîìîùüþ ôîðìóë (17) è ðåøèâ çàäà÷ó îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè z W T� ( , )0 , êîòîðàÿ " �w x V( ) 0 óäîâëåòâîðÿåò ñèñòåìå òîæäåñòâ âèäà (72), ãäå âìåñòî âåêòîðà ~� n èñïîëüçîâàí âåêòîð pn , ïîëó÷èì âåê- òîð Ap z p z p d tn i n i N n i i N� �� { } { }( ) ( ; , ) 1 1 . Ýòî ïîçâîëèò ðåàëèçîâàòü ìåòîä ñî- ïðÿæåííûõ ãðàäèåíòîâ (14), (17) äëÿ îïðåäåëåíèÿ (n �1)-ãî ïðèáëèæåíèÿ un � 1 ðåøåíèÿ u �U çàäà÷è (61), (62), (13). 4. ÈÄÅÍÒÈÔÈÊÀÖÈß ÏÀÐÀÌÅÒÐÀ ÑËÀÁÎÏÐÎÍÈÖÀÅÌÎÉ ÑÎÑÒÀÂËßÞÙÅÉ Ïóñòü íà îáëàñòè � T îïðåäåëåíî ïàðàáîëè÷åñêîå óðàâíåíèå � � � � � � � � � � � � y t x k y x vy f ~ . ( )73 Íà êîíöàõ îòðåçêà [ , ]0 l çàäàíû êðàåâûå óñëîâèÿ � � � � � � � � �k y x vy x t T�1 0 0, , ( , ), k y x vy y x l t T � � � � � �� , , ( , )0 . ( )74 Â òî÷êå x � � óñëîâèÿ ñîïðÿæåíèÿ èìåþò âèä k y x vy � � � �� 0, k y x vy u y � � � � � � � � � � [ ]. (75) Ïðè t � 0 çàäàíî íà÷àëüíîå óñëîâèå y y xt\| ,� � � �0 0 1 2� � . (76) Ïðåäïîëàãàåì, ÷òî â N òî÷êàõ di �� èçâåñòíû çíà÷åíèÿ ðåøåíèÿ íà÷àëü- íî-êðàåâîé çàäà÷è (73)–(76), çàäàííûå ðàâåíñòâàìè (7). Çàäà÷à (73)–(76), (7) ñîñòîèò â îïðåäåëåíèè ïàðàìåòðà u C T� � ��U ([ , ])0 56 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2009, ¹ 1 = { }v t C T v( ) ([ , ]) :� !0 0 , ïðè êîòîðîì ðåøåíèå y y u y u x t� �( ) ( ; , ) íà÷àëüíî-êðà- åâîé çàäà÷è (73)–(76) óäîâëåòâîðÿåò ðàâåíñòâàì (7). Îïðåäåëåíèå 13. Ïðè êàæäîì ôèêñèðîâàííîì u �U îáîáùåííûì ðåøåíèåì íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷è (73)–(76) íàçûâàåòñÿ ôóíêöèÿ y y u y u x t W T� � �( ) ( ; , ) ( , )0 , êîòîðàÿ " �w x V( ) 0 óäîâëåòâîðÿåò òîæäåñòâàì � � � � � � � � � y t w a u y w l w t T, ( ; , ) ( ), ( , )0 , ( , )( ) ( , )y w y w0 0� , (77) ãäå ôîðìà l w( ) îïðåäåëåíà â ðàçä. 3, a u y w k y x w x vy w x dx u y w y l x( ; , ) [ ][ ] \|� � � � � � � � � � � � �# � 0 � l w l( ). Íà îñíîâàíèè çàäà÷è (73)–(76), ïðåíåáðåãàÿ ÷ëåíàìè âòîðîãî ïîðÿäêà ìàëîñ- òè, äëÿ ïðèùåíèÿ � � $y ðåøåíèÿ ýòîé çàäà÷è, ñîîòâåòñòâóþùåãî ïðèðàùåíèþ $u, ïîëó÷àåì ñëåäóþùóþ íà÷àëüíî-êðàåâóþ çàäà÷ó: � � � � � � � � � � � �� t x k x v x t T, ( , ) � , � � � � � � � � �k x v x t T � � 0 0 0, , ( , ), k x v x l t T � � � � �� , , ( , )0 , (78) k x v x t T � � � �� 0 0, , ( , ), k x v u u y x t T � � � � � � � � � � � � � � � � �[ ] [ ], , ( , )$ 0 , ��t x� � �0 0, �. Îïðåäåëåíèå 14. Îáîáùåííûì ðåøåíèåì íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷è (78) íà- çûâàåòñÿ ôóíêöèÿ � ( , ) ( , )x t W T� 0 , êîòîðàÿ " �w x V( ) 0 óäîâëåòâîðÿåò òîæäåñòâàì � � � � � � � � �� t w a u w l u w t T, ( ; , ) ( ; ), ( , )$ 0 , ( , )( )� w 0 0� , (79) ãäå l u w u y w� ( ; ) [ ][ ]$ $� . Äëÿ êàæäîãî ïðèáëèæåíèÿ un ðåøåíèÿ u �U çàäà÷è (77), (13) ââåäåì â ðàñ- ñìîòðåíèå ñîïðÿæåííóþ íà÷àëüíî-êðàåâóþ çàäà÷ó � � � � � � � � � � � � � � � � � � � t x k x v x x t T d, ( , ) \� , � � � � �k x x t T � 0 0 0, , ( , ), k x x l t T � � � � � � ��, , ( , )0 , k x x t T � � � �� 0 0, , ( , ), (80) k x u x t T � � � � � � � � � � � � � � �[ ], , ( , )0 , ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2009, ¹ 1 57 [ ] , ( ( ) ), , , , ( , )� � �� 0 1 0k x y u f x d i N t Ti n i i , ��t T x� � �0, �, ãäå u un� . Îïðåäåëåíèå 15. Îáîáùåííûì ðåøåíèåì íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷è (80) íà- çûâàåòñÿ ôóíêöèÿ � ( , ) ( , )x t W Td� 0 , êîòîðàÿ , �w x Vd( ) 0 óäîâëåòâîðÿåò ñèñòåìå òîæäåñòâ � � � � � � � � � � �� t w a u w l w t T, ( ; , ) ( ), ( , )0 , ( , )( )� w T � 0, (81) ãäå ôîðìà l w� ( ) îïðåäåëåíà ñîîòâåòñòâóþùèì âûðàæåíèåì (21), a u w k x w x v x w dx u w l l � � � � � ��( ; , ) [ ][ ] (� � � � � � � � � � � � �# 0 , ) ( )t w l . (82) Âûáèðàÿ â òîæäåñòâàõ (81) âìåñòî ôóíêöèè w ðàçíîñòü ~ ( ) ( )y u y un n� 1 , ñ ó÷åòîì (79) ïîëó÷àåì ( ( ) , ~ ( ) ( )) ( ; )Y u f Y u Y u l u dtn n n T �� #1 0 � � �$ , (83) ãäå ôóíêöèÿ ~ ( )y un � 1 îïðåäåëÿåòñÿ êàê ðåøåíèå ñëåäóþùåé íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷è: � � � � � � � � � � � � � ~ ~ ~ ~ , y t x k y x v y f x T� , � � � � � � � � �k y x v y x t T ~ ~ , , ( , )�1 0 0 , k y x v y y x l t T � � � � � � ~ ~ ~ , , ( , )� � 0 , k y x v y x t T � � � �� ~ ~ , , ( , )0 0� , (84) k y x v y u y u y u x t T � � � � � � � � � � � � �~ ~ [~] [ ( )], , ( , )$ � 0 , ~\| ,y y xt � � � �0 0 1 2� � . Îïðåäåëåíèå 16. Îáîáùåííûì ðåøåíèåì íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷è (84) íà- çûâàåòñÿ ôóíêöèÿ ~ ( , )y W T� 0 , êîòîðàÿ " �w x V( ) 0 óäîâëåòâîðÿåò ñèñòåìå òîæäåñòâ � � � � � � � � � ~ , ( ; ~, ) ( ) [ ( )][ ], ( , y t w a u y w l w u y u w t Tn n n$ 0 ), (~, )( ) ( , )y w y w0 0� . (85) Ñëåäîâàòåëüíî, Ju nn & ) ~� , (86) ãäå ~ [ ( )][ ], ~� � �n n u T ny u J dt n � � & � - #2 0 2 . 58 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2009, ¹ 1 Çàìå÷àíèå 9. Åñëè U � �R , òî ~ [ ( )][ ] , \| \| \| \| ~� � �n T n u ny u dt J n � & -# 0 2 2 . Òàêèì îáðàçîì, íàëè÷èå ãðàäèåíòà &Jun (86) ïîçâîëÿåò ðåàëèçîâàòü óêàçàí- íûå ðàíåå ãðàäèåíòíûå ìåòîäû äëÿ îïðåäåëåíèÿ (n �1)-ãî ïðèáëèæåíèÿ un � 1 ðå- øåíèÿ u �U çàäà÷è (77), (13). 5. ÈÄÅÍÒÈÔÈÊÀÖÈß ÏÅÐÅÌÅÍÍÛÕ ÏÀÐÀÌÅÒÐÎÂ ÓÐÀÂÍÅÍÈß ÑÎÑÒÎßÍÈß Ïóñòü íà îáëàñòè � � �T T l� � �( , ) ( ( , ))0 0 îïðåäåëåíî óðàâíåíèå u x y t x u x t y x u x t y u x t1 2 3 4( ) ( , ) ( , ) ( , ) � � � � � � � � � � � � . ( )87 Íà êîíöàõ îòðåçêà [ , ]0 l çàäàíû êðàåâûå óñëîâèÿ Äèðèõëå y t t y l t t t T( , ) ( ), ( , ) ( ), ( , )0 01 2� � �� , (88) à ïðè t � 0 — íà÷àëüíîå óñëîâèå y x y x x( , ) ( ),0 0� ��. (89) Ïîëàãàåì, ÷òî â N òî÷êàõ di �� èçâåñòíû çíà÷åíèÿ ðåøåíèÿ íà÷àëüíî-êðàå- âîé çàäà÷è (87)–(89), çàäàííûå ðàâåíñòâàìè (7). Çàäà÷à (87)–(89), (7) ñîñòîèò â íàõîæäåíèè âåêòîðà u ui i � � ��{ } U 1 4 � � � � � �� C C C C C CT T T T T( ) ( ( ) ( )) ( ( ) ( )) ( ), ,� � � � � �1 0 1 0 , ïðè êîòîðîì ðåøåíèå y y u y u x t� �( ) ( ; , ) íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷è (87)–(89) óäîâëåòâîðÿåò ðàâåíñòâàì (7). Âìåñòî êëàññè÷åñêîãî ðåøåíèÿ íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷è (87)–(89) áóäåì èñ- ïîëüçîâàòü åå îáîáùåííîå ðåøåíèå. Îïðåäåëåíèå 17. Ïðè êàæäîì ôèêñèðîâàííîì u �U îáîáùåííûì ðåøåíèåì íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷è (87)–(89) íàçûâàåòñÿ ôóíêöèÿ y y u� �( ) � �y u x t W T( ; , ) ( , )0 , êîòîðàÿ " �w x V( ) 0 óäîâëåòâîðÿåò òîæäåñòâàì u y t w a u y w l u w t T1 0 � � � � � � � � �, ( ; , ) ( ; ), ( , ), y y xt\| ,� � �0 0 �, (90) ãäå W T v x t L T V v t L T L( , ) ( , ) ( , ; ) : ( , ; ( ))0 0 02 2 2� � � � �� , V v V v t v l t t T� � � � �{ }: ( , ) , ( , ) , ( , )0 01 2� � , V v x t v W t T� � �{ }( , ) : ( ), ( , ) 2 1 0� , V v x W v v l0 2 1 0 0� � � �{ }( ) ( ) : ( ) ( )� , a u y w u y x w x u y w x dx l ( ; , ) � � � � � � � � � � �# 0 2 3 , l u w u w( ; ) ( , )� 4 . Íà îñíîâàíèè çàäà÷è (90), ïðåíåáðåãàÿ ÷ëåíàìè âòîðîãî ïîðÿäêà ìàëîñòè, äëÿ ïðèðàùåíèÿ � � $y ðåøåíèÿ y u( ) çàäà÷è (90), ñîîòâåòñòâóþùåãî ïðèðàùå- íèþ $u âåêòîðà u, ïîëó÷àåì ñëåäóþùóþ çàäà÷ó â ñëàáîé ïîñòàíîâêå: íàéòè ôóíêöèþ � �W T0 0( , ), êîòîðàÿ " �w x V( ) 0 óäîâëåòâîðÿåò ðàâåíñòâàì u t w a u w l u w t T1 0 � � � � � � � � �� , ( ; , ) ( ; ), ( , )$ , ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2009, ¹ 1 59 ��t x� � �0 0, �, (91) ãäå l u w l u w W T v x t L T V� � ( ; ) ( ; ), ( , ) ( , ) ( , ; ) :$ $� � �1 0 2 00 0{ � � � � � � � �v t L T L V v V v t v l t t T2 2 00 0 0 0( , ; ( )) , : ( , ) ( , ) , ( ,� } { )}, l u w u y u t w a u y u w u w � 1 1 4( ; ) ( ) , ( ; ( ), ) ( , )$ $ $ $� � � � � � � � . ( )92 Çàìå÷àíèå 10. Åñëè u u2 3, � const, òî íà îñíîâàíèè íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷è (87)–(89) äëÿ ïðèðàùåíèÿ � � $y ìîæåì ïîëó÷èòü çàäà÷ó (91), ãäå l u w l u w� � ( ; ) ( ; )$ $� 2 , l u w u y x w u y x w u � 2 2 2 2 3 1( ; ) , ,$ $ $ $� � � � � � � � � � � � � � � �y t w � � � � � �, � ( , )$u w4 . Äëÿ êàæäîãî ïðèáëèæåíèÿ un ðåøåíèÿ u �U çàäà÷è (90), (13) ââåäåì â ðàñ- ñìîòðåíèå ñîïðÿæåííóþ íà÷àëüíî-êðàåâóþ çàäà÷ó � � � � � � � � � � � � � � �u t x u x u x x t T d1 2 3 � � � �, ( , ) \� , � �( , ) ( , ) , ( , )0 0 0t l t t T� � � , (93) [ ] , ( ( ) ), , , , ( ,� � �� 0 1 02u x y u f x d i N t Ti n i i ), ��t T x� � �0, �, ãäå u u un in i � � �{ } 1 3 . Îïðåäåëåíèå 18. Îáîáùåííûì ðåøåíèåì íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷è (93) íà- çûâàåòñÿ ôóíêöèÿ � ( , ) ( , )x t W Td� 0 , êîòîðàÿ " �w x Vd( ) 0 óäîâëåòâîðÿåò ðàâåíñòâàì � � � � � � � � �u t w a u w l w t T1 0 � �� , ( ; , ) ( ), ( , ), ��t T x� � �0, �, (94) ãäå ôîðìà l w� ( ) îïðåäåëåíà ñîîòâåòñòâóþùèì âûðàæåíèåì (21), a u w u x w x u x w dx l � � � � ( ; , ) � � � � � � � � � � �# 0 2 3 . Âûáèðàÿ â ðàâåíñòâàõ (94) âìåñòî ôóíêöèè w ðàçíîñòü ~ ( ) ( )y u y un n� 1 , ñ ó÷å- òîì (91) ïîëó÷àåì ( ( ) , ~ ( ) ( )) (~ ( ) ( )) Y u f Y u Y u u y u y u t n n n T n n � � �� #1 0 1 1 � , � � � � � � � �dt � � � # #� � 0 1 0 1 1 T n n T n n a u y u y u dt u y u y u � �( ; , ~ ( ) ( )) (~ ( ) ( )) , � � � � � � � � t dt� � � � � � # # � � 0 0 2 1 3 1 T l n n n nu y u y u x x u y u y u (~ ( ) ( )) (~ ( ) ( ) � ) � � � � � � � � � � x dxdt 60 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2009, ¹ 1 � # 0 T nl u dt� �( ; )$ , (95) ãäå íà êàæäîì øàãå èòåðàöèîííîãî ïðîöåññà îïðåäåëåíèÿ (n �1)-ãî ïðèáëèæå- íèÿ un � 1 ðåøåíèÿ u �U çàäà÷è (90), (13) â ðàâåíñòâàõ (95) èñïîëüçóåì ôóíê- öèþ ~ ( , )y W T� 0 , êîòîðàÿ " �w x V( ) 0 óäîâëåòâîðÿåò ðàâåíñòâàì u y t w a u y w l y u w t Tn n n n1 0 � � � � � � � � � ~ , ( ; ~, ) ( , ; ), ( , )$ , (96) ~\| ,y y xt � � �0 0 �. (97) Çäåñü ~ ~ ( ), , ( )y y u u u u y y un n in i n n� � � �� 1 1 4{ } , l y u w u y t w a u y w u wn n n n n n n( , ; ) , ( ; , ) ( , )$ $ $� � � � � � � �1 4 � ( , ).$u wn4 ( )98 Çàìå÷àíèå 11. Åñëè â çàäà÷å (90), (13) u u1 2, � const, ïðàâóþ ÷àñòü ðàâåíñòâà (96) íà îñíîâàíèè íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷è (87)–(89) ìîæåì ïðåäñòàâèòü ñëåäó- þùèì îáðàçîì: l y u w u y t w u y x wn n n n n n( , ; ) , ,$ $ $� � � � � � � � � � � � � � 1 2 2 2 � � � � � � � � � �$ $u y x w u w u wn n n n3 4 4, ( , ) ( , ). (98&) Ïóñòü u un n� �$ U. Òîãäà " � � � ( , )0 1 u un n$ U. Íà îñíîâàíèè çàäà÷ (90), (96), (97) ïîëó÷àåì y u u y u y un n n n( ) ( ) ~ ( )� � ) �1 0 $ $ , (99) ãäå ~ ( )y un0 $ — ðåøåíèå çàäà÷è, ñîñòîÿùåé â íàõîæäåíèè ôóíêöèè ~ ( ) ~ ( , )y u y W Tn0 0 0 0$ � � , êîòîðàÿ " �w x V( ) 0 óäîâëåòâîðÿåò ðàâåíñòâàì u y t w a u y w l u w t Tn n n1 0 0 0 � � � � � � � � � ~ , ( ; ~ , ) ( ; ), ( , )� $ , ~ \| ,y xt0 0 0� � ��. (100) Ñëåäîâàòåëüíî, Y u u Y u y u y un n n n n( ) ( ) (~ ( ) ( ))� ) � $ 1 . (101) Òîãäà \| , ( ( ) , ~ ( ) ( ))& � ) �J u Y u f Y u Y uu n n n nn $ 1 � . (102) Ó÷èòûâàÿ (95), (99), (101), íà îñíîâàíèè (102) ïîëó÷àåì & )Ju nn ~� , (103) ãäå ~ ~� �n n i i � �{ } 1 3 , ~ \|� �n T ny t dt1 0 � � �# � , ~� � n ny x x T 2 � � � � � � , ~� � n ny x T 3 � � � + + + � , ~� ��n T 4 � � , \| \| \| \| ( ~ ) ( ~ )& � �# % # # � J dx dxdtu l n i T l n i n 2 0 1 2 2 4 0 0 2� � . ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2009, ¹ 1 61 Çàìå÷àíèå 12. Åñëè u u2 3, � const, òî ~� � n T l ny x x dxdt2 0 0 � � � � �# # , ~� n 3 � � � �# # 0 0 T l ny x dxdt � , � & � � � �# # # % � J dx dxdtu l n T l i n i n 2 0 1 2 0 0 2 2 3 2( ~ ) ( ) ( ~ )� � � èëè, ñ ó÷å- òîì (98&), èìååì ~ , , ~ ,� � � �n T n n T n y x dt x y2 0 2 2 3 0 � � � � � � � � � � � � � � � �# # dt, ãäå y y un n� �( ) y u x tn( ; , ). 6. ÏÀÐÀÌÅÒÐÈ×ÅÑÊÈÉ ÑÏÎÑÎÁ ÈÄÅÍÒÈÔÈÊÀÖÈÈ ÏÅÐÅÌÅÍÍÛÕ ÏÀÐÀÌÅÒÐÎÂ Ðàññìîòðèì çàäà÷ó èäåíòèôèêàöèè ïàðàìåòðîâ (87)–(89), (13). Ïðåäïîëîæèì, ÷òî u H H H H Hm m m m m� � � � �1 2 3 4 , ãäå { }� i j i m x t j( , ) � 1 — ñèñòåìû ëèíåéíî íå- çàâèñèìûõ ôóíêöèé ìíîæåñòâ H m mm j j j, � � % 1 4 . Ôóíêöèè ìíîæåñòâ H m j ïðåä- ñòàâëÿþòñÿ â âèäå u jm i m i j i j j � � % 1 � � , (104) ãäå u R R R R m m m m� � � � �� U 1 2 3 4 ; u um m1 2 0, ! . Ñ ó÷åòîì (104) ñèñòåìà (87)–(89) ïðèíèìàåò âèä i m i i i m i ix y t x x t y x� � % %� � � � � � � � � � � 1 1 1 1 2 2 1 2 � � � �( ) ( , ) � � � � � % % i m i i i m i i x x t y x t 1 3 3 1 4 4 3 4 � � � �( ( , ) ) ( , ), y t t y l t t t T( , ) ( ), ( , ) ( ), ( , )0 01 2� � �� , y x y x x( , ) ( ),0 0� ��. (105) Ó÷èòûâàÿ (104), (105), ñëàãàåìûå ïåðâîãî ðàâåíñòâà ñèñòåìû (91) çàïèøåì ñëåäóþùèì îáðàçîì: u t w t w i m in i1 1 1 1 1� � � � � � � � � � � � � � %� � � � , , , a u w x t y x w x l i m in i i m in( , ; ) ( , )� � � � �� # % % � �0 1 2 2 1 3 2 3 i x t y w x dx3 ( , ) � � � � � � � � , l u w l u w� � ( ; ) ( ; )$ $� 1 , l u w y u t w i m in i i m i� � � �1 1 1 1 1 1 2 ( ; ) ( ) ,$ $ $� � � � � � � � � % % n l i y x w x dx2 0 2# � � � � �� % # % i m in l i i m in iy w x dx w 1 3 0 3 1 4 4 3 4 $ $� � � �( , ). (106) 62 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2009, ¹ 1 Ñ ó÷åòîì (106) âåêòîð ~� n (103) ïðèíèìàåò âèä ~ ~ , ~ ~ , , , ~� � � � � �n n j j n j in j i m in T j j� � � � � � #{ } { } 1 4 1 1 0 1 4 i ny u t dt1 � � � � � � ( ) , � , ~ ( ) , , ~ (� � � � �in T i n in T i y u x x dt y u2 0 2 3 0 3� � � � � � � � � �# # n x dt), � � � � � � � , ~ ( , )� �in T i w dt4 0 4� # . (107) Â ýòîì ñëó÷àå \| \| \| \| ( ~ )& � � � % %Ju j i m in j n j 2 1 4 1 2� . Çàìå÷àíèå 13. Ñ ó÷åòîì (98&), (105) äëÿ ïðàâîé ÷àñòè ïåðâîãî ðàâåíñòâà ñèñ- òåìû (91) ïîëó÷àåì l u w l u w� � ( ; ) ( ; )$ $� 2 , ãäå l u w y t w i m in i n i m in� � � �2 1 1 1 1 2 1 2 ( ; ) ,$ $ $� � � � � � � � � � % % � � � � � � � � � �� x y x wi n�2 , � � � � � � � � � % % i m in i n i m in i x y w w 1 3 3 1 4 4 3 4 $ $� � � �( ), ( , ). (108) Ó÷èòûâàÿ (108), âìåñòî (107) ãðàäèåíò & )Ju nn ~� ìîæåì çàïèñàòü â âèäå ~ ~ , ~ ~ , , ; ~� � � � � �n n j j n j in j i m in T j j� � � � � � #{ } { } 1 4 1 1 0 1 4 i ny t dt1 � � � � � �, � , ~ , , ~� � � �in T i n in T x y x dt2 0 2 3 0 � � � � � � � � � � �� # # � � � � � x y dti n( ),� �3 , ~ ( , ) , ( ~ )� � � �in T i u j i m in jdt J n j 4 0 4 2 1 4 1 2� � & � �# % % � � . Íàëè÷èå ãðàäèåíòà & )Ju nn ~� ïîçâîëÿåò ðåàëèçîâàòü èñïîëüçóåìûå ãðàäèåí- òíûå ìåòîäû èäåíòèôèêàöèè ïàðàìåòðîâ çàäà÷è (87)–(89), (13). ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ 1. Ñ å ð ã è å í ê î È . B . , Ä å é í å ê à Â . Ñ . Ðåøåíèå ãðàíè÷íûõ îáðàòíûõ çàäà÷ äëÿ ïàðàáîëè÷åñêèõ ìíîãîêîìïîíåíòíûõ ðàñïðåäåëåííûõ ñèñòåì // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. — 2007. — ¹ 4. — Ñ. 49–73. 2. Ñ å ð ã è å í ê î È . B . , Ä å é í å ê à Â . Ñ . Ðåøåíèå êîìáèíèðîâàííûõ îáðàòíûõ çàäà÷ äëÿ ïàðàáîëè÷åñêèõ ìíîãîêîìïîíåíòíûõ ðàñïðåäåëåííûõ ñèñòåì // Òàì æå. — 2007. — ¹ 5. — Ñ. 48–71. 3. Ñ å ð ã è å í ê î È . B . , Ä å é í å ê à Â . Ñ . Ðåøåíèå êîìïëåêñíûõ îáðàòíûõ çàäà÷ äëÿ ïñåâäîïàðàáîëè÷åñêèõ ìíîãîêîìïîíåíòíûõ ðàñïðåäåëåííûõ ñèñòåì // Ïðîáë. óïðàâëåíèÿ è èíôîðìàòèêè. — 2007. — ¹ 4. — Ñ. 33–58. 4. Ñ å ð ã è å í ê î È . B . , Ä å é í å ê à Â . Ñ . Ðåøåíèå êîìïëåêñíûõ îáðàòíûõ çàäà÷ äëÿ ãèïåðáîëè÷åñêèõ ìíîãîêîìïîíåíòíûõ ðàñïðåäåëåííûõ ñèñòåì // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. — 2008. — ¹ 2. — Ñ. 55–80. 5. Ñ å ð ã è å í ê î È . B . , Ä å é í å ê à Â . Ñ . Ðåøåíèå êîìïëåêñíûõ îáðàòíûõ çàäà÷ äëÿ ïñåâäîãèïåðáîëè÷åñêèõ ìíîãîêîìïîíåíòíûõ ðàñïðåäåëåííûõ ñèñòåì // Ïðîáë. óïðàâëåíèÿ è èíôîðìàòèêè. — 2008. — ¹ 1. — Ñ. 54–78. ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2009, ¹ 1 63 6. À ë è ô à í î â Î . Ì . , À ð ò þ õ è í Å . À . , Ð ó ì ÿ í ö å â Ñ . Â . Ýêñòðåìàëüíûå ìåòîäû ðåøåíèÿ íåêîððåêòíûõ çàäà÷. — Ì.: Íàóêà, 1988. — 288 ñ. 7. S e r g i e n k o I . V . , D e i n e k a V . S . Optimal control of distributed systems with conjugation condi- tions. — New York: Kluwer Añad. Publ., 2005. — 400 p. 8. Ä å é í å ê à Â . Ñ . Îïòèìàëüíîå óïðàâëåíèå ýëëèïòè÷åñêèìè ìíîãîêîìïîíåíòíûìè ðàñïðåäåëåííûìè ñèñòåìàìè. — Êèåâ: Íàóê. äóìêà, 2005. — 364 ñ. Ïîñòóïèëà 18.09.2008 64 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2009, ¹ 1

Идентификация параметров системы конвективно-диффузионного переноса

Репозитарії

Схожі ресурси