Идентификация параметров квазистационарных задач термоупругости
Побудовано явні вирази градієнтів функціоналів-нев’язок для реалізації градієнтних методів ідентифікації параметрів задач термопружності. Градієнти явно виражаються через розв’язки задач стану та відповідних спряжених задач....
Збережено в:
| Дата: | 2010 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2010
|
| Назва видання: | Кибернетика и системный анализ |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/45144 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Идентификация параметров квазистационарных задач термоупругости / И.В. Сергиенко, В.С. Дейнека // Кибернетика и системный анализ. — 2010. — № 2. — С. 59-80. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-45144 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-451442013-06-09T03:08:27Z Идентификация параметров квазистационарных задач термоупругости Сергиенко, И.В. Дейнека, В.С. Системный анализ Побудовано явні вирази градієнтів функціоналів-нев’язок для реалізації градієнтних методів ідентифікації параметрів задач термопружності. Градієнти явно виражаються через розв’язки задач стану та відповідних спряжених задач. Explicit expressions for gradients of functional residuals are obtained to implement gradient methods of parameter identification in thermoelastic problems. 2010 Article Идентификация параметров квазистационарных задач термоупругости / И.В. Сергиенко, В.С. Дейнека // Кибернетика и системный анализ. — 2010. — № 2. — С. 59-80. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. 0023-1274 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/45144 539.3:519.6 ru Кибернетика и системный анализ Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Системный анализ Системный анализ |
| spellingShingle |
Системный анализ Системный анализ Сергиенко, И.В. Дейнека, В.С. Идентификация параметров квазистационарных задач термоупругости Кибернетика и системный анализ |
| description |
Побудовано явні вирази градієнтів функціоналів-нев’язок для реалізації градієнтних методів ідентифікації параметрів задач термопружності. Градієнти явно виражаються через розв’язки задач стану та відповідних спряжених задач. |
| format |
Article |
| author |
Сергиенко, И.В. Дейнека, В.С. |
| author_facet |
Сергиенко, И.В. Дейнека, В.С. |
| author_sort |
Сергиенко, И.В. |
| title |
Идентификация параметров квазистационарных задач термоупругости |
| title_short |
Идентификация параметров квазистационарных задач термоупругости |
| title_full |
Идентификация параметров квазистационарных задач термоупругости |
| title_fullStr |
Идентификация параметров квазистационарных задач термоупругости |
| title_full_unstemmed |
Идентификация параметров квазистационарных задач термоупругости |
| title_sort |
идентификация параметров квазистационарных задач термоупругости |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| publishDate |
2010 |
| topic_facet |
Системный анализ |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/45144 |
| citation_txt |
Идентификация параметров квазистационарных задач термоупругости / И.В. Сергиенко, В.С. Дейнека // Кибернетика и системный анализ. — 2010. — № 2. — С. 59-80. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
| series |
Кибернетика и системный анализ |
| work_keys_str_mv |
AT sergienkoiv identifikaciâparametrovkvazistacionarnyhzadačtermouprugosti AT dejnekavs identifikaciâparametrovkvazistacionarnyhzadačtermouprugosti |
| first_indexed |
2025-07-04T03:46:31Z |
| last_indexed |
2025-07-04T03:46:31Z |
| _version_ |
1836686552338530304 |
| fulltext |
ÓÄÊ 539.3: 519.6
È.Â. ÑÅÐÃÈÅÍÊÎ, Â.Ñ. ÄÅÉÍÅÊÀ
ÈÄÅÍÒÈÔÈÊÀÖÈß ÏÀÐÀÌÅÒÐΠÊÂÀÇÈÑÒÀÖÈÎÍÀÐÍÛÕ ÇÀÄÀ×
ÒÅÐÌÎÓÏÐÓÃÎÑÒÈ 1
Êëþ÷åâûå ñëîâà: ìíîãîêîìïîíåíòíûå òåëà, òåðìîíàïðÿæåííîå ñîñòîÿíèå,
èäåíòèôèêàöèÿ ïàðàìåòðîâ, ãðàäèåíòíûå ìåòîäû.
 ðàáîòàõ [1, 2] ðàññìîòðåíû âîïðîñû ïîñòðîåíèÿ íà îñíîâå ðåçóëüòàòîâ òåîðèè
îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ ñîñòîÿíèÿìè ìíîãîêîìïîíåíòíûõ ðàñïðåäåëåííûõ ñèñ-
òåì [3, 4] ÿâíûõ âûðàæåíèé ãðàäèåíòîâ ôóíêöèîíàëîâ-íåâÿçîê äëÿ èäåíòèôèêà-
öèè ðàçëè÷íûõ ïàðàìåòðîâ íà÷àëüíî-êðàåâûõ çàäà÷ äëÿ óðàâíåíèé ïàðàáîëè÷åñ-
êîãî òèïà ñ óñëîâèÿìè ñîïðÿæåíèÿ. Ôóíêöèîíàëû-íåâÿçêè ó÷èòûâàþò íàáëþäå-
íèÿ âî âíóòðåííèõ òî÷êàõ è íà âíóòðåííèõ ïîâåðõíîñòÿõ òåëà.
Àíàëîãè÷íûå âîïðîñû ïðè òàêèõ íàáëþäåíèÿõ èññëåäîâàíû â ðàáîòå [5] äëÿ
êâàçèñòàöèîíàðíûõ çàäà÷ òåðìîóïðóãîñòè.
 äàííîé ðàáîòå ðàññìîòðåíû âîïðîñû ïîñòðîåíèÿ ÿâíûõ âûðàæåíèé ãðàäèåíòîâ
ôóíêöèîíàëîâ-íåâÿçîê äëÿ èäåíòèôèêàöèè ãðàäèåíòíûìè ìåòîäàìè Î.Ì. Àëè-
ôàíîâà [6] ðàçëè÷íûõ ïàðàìåòðîâ è òåðìîóïðóãèõ ñîñòîÿíèé ñîñòàâíûõ òåë ïî ðåçóëü-
òàòàì íàáëþäåíèé íà ÷àñòÿõ ïîâåðõíîñòåé, îãðàíè÷èâàþùèõ èññëåäóåìîå òåëî.
1. ÈÄÅÍÒÈÔÈÊÀÖÈß ÒÅÌÏÅÐÀÒÓÐÍÎÃÎ È ÒÅÐÌÎÍÀÏÐßÆÅÍÍÎÃÎ
ÑÎÑÒÎßÍÈÉ ÒÅËÀ ÏÎ ÏÎÂÅÐÕÍÎÑÒÍÛÌ ÏÅÐÅÌÅÙÅÍÈßÌ
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî â îãðàíè÷åííîé ñâÿçíîé ñòðîãî ëèïøèöåâîé îáëàñòè ��R 3
îïðåäåëåíà ñèñòåìà [7, 8] óðàâíåíèé òåðìîóïðóãîãî ðàâíîâåñèÿ
�
�
�
� �
�
�
� ik
kk
i
T y
x
f x i
( ; ) ~
( ), ,
1
3
1 3 , (1)
ãäå x x x x� ( , , )1 2 3 , � � � � � �ki ik ik ik iklm lm
l m
T y x T y c y� � � � �
�
�( ; ) ( , , ; ) ( ( )
, 1
3
� �lm T0 ( , )) ,
� ik — êîìïîíåíòû òåíçîðà íàïðÿæåíèé, � lm — êîìïîíåíòû òåíçîðà äåôîðìàöèé,
� �lm lm
l
m
m
l
y
y
x
y
x
� �
�
�
�
�
�
��
�
��( )
1
2
, y y xl l� ( ) — ïðîåêöèÿ âåêòîðà ñìåùåíèé
y y x y x y x y x� �( ) ( ( ), ( ), ( ))
1 2 3 òî÷êè x�� íà îñü Oxl äåêàðòîâîé ñèñòåìû êîîðäè-
íàò; �
lm
0 — êîìïîíåíòû òåíçîðà äåôîðìàöèé, âûçâàííûõ èçìåíåíèåì T T T� �
0
òåì-
ïåðàòóðû T òî÷êè x�� îò åå íà÷àëüíîãî ñîñòîÿíèÿ T0 . Êîãäà ìàòåðèàë óïðóãî-
è òåïëîèçîòðîïíûé, òî ïîëàãàþò [7, 8] � � � �
lm lm lml T0 0� � , � — êîýôôèöèåíò
ëèíåéíîãî òåïëîâîãî ðàñøèðåíèÿ, � lm — ñèìâîë Êðîíåêåðà, ciklm — óïðóãèå ïî-
ñòîÿííûå ìàòåðèàëà îáëàñòè �, óäîâëåòâîðÿþùèå óñëîâèÿì: c c ciklm lmik k� � lim ,
ciklm ik lm
i k l m
ik
i k
� � � � � �� � � �
� �
� �0
1
3
2
1
3
0 0
, , , ,
, ,const ik R x� � �1 , �. ( �1)
Èçìåíåíèå òåìïåðàòóðû Ò ïî îáëàñòè � óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
x
k
T
x
f
i
ij
ji j, 1
3
, (2)
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 2 59
1 Ðàáîòà âûïîëíåíà ïðè ïîääåðæêå «ÄÔÔÄ–ÐÔÔÄ–2009», ïðîåêò ¹ Ô28.1/011; äîãîâîð
¹ Ô28/277–2009.
© È.Â. Ñåðãèåíêî, Â.Ñ. Äåéíåêà, 2010
ãäå k kij ji� ,
k x Rij i j
i j
i i
i
� � � � � �� � � � � � �
� �
� �0
1
3
2
0
1
1
3
0
,
, , ,const � . ( �2 )
Íà ãðàíèöå � �� � îáëàñòè � çàäàíû êðàåâûå óñëîâèÿ:
y x� ��, �
1
1, (3)
� ij
j
j iy n g i x
�
� � � �
1
3
2
11 3( ) , , , � , (4)
T x� ��0 1
2, � , (5)
k
T
x
n x g xij
j
i
i j
�
�
� �
�
� cos ( , ) ,
, 1
3
0 2
2� , (6)
T x� ��1 3
2, � . (7)
Ïðåäïîëàãàåì, ÷òî íà ó÷àñòêå � 0 2
1� � èçâåñòíû ñìåùåíèÿ
y f� 0 . (8)
Ïðè ýòîì ñ÷èòàåì, ÷òî íà ó÷àñòêå �
3
2 ÿâëÿåòñÿ íåèçâåñòíûì ðàñïðåäåëåíèå èç-
ìåíåíèÿ òåìïåðàòóðû Ò, ò.å. ôóíêöèÿ �1 óñëîâèÿ (7) íåèçâåñòíà.
Òàêèì îáðàçîì, ñôîðìóëèðîâàíà çàäà÷à (1)–(8), ñîñòîÿùàÿ â îïðåäåëåíèè
ôóíêöèè �1, ïðè êîòîðîé ïåðâàÿ êîìïîíåíòà ðåøåíèÿ ( , )ó Ò çàäà÷è (1)–(7) óäîâëåò-
âîðÿåò óñëîâèþ (8).
Âìåñòî êðàåâîãî óñëîâèÿ (7) çàäàäèì óñëîâèå Íåéìàíà
k
T
x
n x u xij
j
i
i j
�
�
� �
�
� cos ( , ) ,
, 1
3
3
2� , (9)
ò.å. áóäåì ðàññìàòðèâàòü çàäà÷ó (1)–(6), (8), (9), ñîñòîÿùóþ â îïðåäåëåíèè ôóíê-
öèè u u x C� � �( ) ( )� �
3
2 , ïðè êîòîðîé ïåðâàÿ êîìïîíåíòà ó ðåøåíèÿ Y ó Ò� ( , )
çàäà÷è (1)–(6), (9) óäîâëåòâîðÿåò ðàâåíñòâó (8), ãäå � �� �
�i
i
1
2
1, � �
1
1
2
1� ��,
� �� �
�i
i
1
3
2 , � �i j
2 2� �� ïðè i j� , i j, ,�1 3 , n n xj j�cos ( , ), n — âíåøíÿÿ íîðìàëü.
Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ïðè ñóùåñòâîâàíèè ðåøåíèÿ çàäà÷è (1)–(8) ýòà çàäà÷à è
çàäà÷à (1)–(6), (8), (9) ýêâèâàëåíòíû.
Ââåäåì â ðàññìîòðåíèå ôóíêöèîíàë-íåâÿçêó
J u Au f
L
( ) ( )
( )
� � �
1
2
0
2
2 0�
, (10)
ãäå Au y u x� ( ; ) |�
0
.
Âìåñòî êëàññè÷åñêîãî ðåøåíèÿ êðàåâîé çàäà÷è (1)–(6), (9) áóäåì ðàññìàòðè-
âàòü åå îáîáùåííîå ðåøåíèå.
Îïðåäåëåíèå 1. Ïðè êàæäîì ôèêñèðîâàííîì u�� îáîáùåííûì ðåøåíèåì
äèôôåðåíöèàëüíîé çàäà÷è (1)–(6), (9) íàçûâàåòñÿ âåêòîð-ôóíêöèÿ Y y T V� �( , ) , êî-
òîðàÿ � � �z z x z x V( ( ), ( ))1 2 0 óäîâëåòâîðÿåò ðàâåíñòâàì
a y z l T z( , ) ( ; )1 1� , (11)
a T z l u z1 2 1 2( , ) ( ; ),� (12)
ãäå
V v v x v x v W v W v� � � � �{ ( ( ), ( )): ( ( )) , ( ), | ,1 2 1 2
1 3
2 2
1
1
1� �
�
� v2 0
1
2|
�
� � },
V v v x v x v W v W v0 1 2 1 2
1 3
2 2
1
1
1 0� � � � �{ ( ( ), ( )): ( ( )) , ( ),
� �
� � , v
�1
2 0� },
60 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 2
a y z c y z dx a T ziklm lm ik
i k l m
( , ) ( ) ( ) , ( , )
, , ,
1 1
1
3
1 2�
�
�� � �
�
�
�
�
�
��
�� k
T
x
z
x
dxij
j ii j
2
1
3
,�
,
l T z f z g z c T z
L iklm lm ik( ; ) (
~
, ) ( , ) ( , ) (
( )1 1 1
0
1
2 2
1� � �
�
� � � )
, , ,
dx
i k l m�
��
1
3
�
,
l u z f z g z u z
L L1 2 2 0 2 2
2 2
2
2 3
2( ; ) ( , ) ( , ) ( , )
( ) ( )
� � �
� �
.
Òåîðåìà 1. Ïðè êàæäîì ôèêñèðîâàííîì u�� ðåøåíèå Y y T� ( , ) çàäà÷è (11),
(12) ñóùåñòâóåò è åäèíñòâåííî.
Ñïðàâåäëèâîñòü òåîðåìû óñòàíàâëèâàåòñÿ, ñëåäóÿ [9].
Çàäà÷ó (11), (12), (10) áóäåì ðåøàòü ïðèáëèæåííî ñ ïîìîùüþ ãðàäèåíòíûõ ìå-
òîäîâ [6].
Èòåðàöèîííàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü äëÿ íàõîæäåíèÿ ( )n �1 -ãî ïðèáëèæåíèÿ
un�1 ðåøåíèÿ u�� çàäà÷è (11), (12), (10) èìååò âèä
u u p n nn n n n� � � �1 0 1 , , , , *
� , (13)
è íà÷èíàåòñÿ ñ íåêîòîðîãî íà÷àëüíîãî ïðèáëèæåíèÿ u0 ��, ãäå íàïðàâëåíèå
ñïóñêà pn è êîýôôèöèåíò n îïðåäåëÿþòñÿ âûðàæåíèÿìè [6]:
� äëÿ ìåòîäà ìèíèìàëüíûõ îøèáîê
p J
e
J
n u n
n
u
n
n
� � �
�
,
2
2
; (14)
� äëÿ ìåòîäà ñêîðåéøåãî ñïóñêà
p J
J
AJ
n u n
u
u
n
n
n
� � �
�
�
,
2
2
;
(15)
� äëÿ ìåòîäà ñîïðÿæåííûõ ãðàäèåíòîâ
p J p
J
J
J p
Ap
n u n n n
u
u
n
u n
n
n
n
n� � � � �
�
�
�
�
�
�
� � � 1 0
2
2
0
1
, , ,
( , )
n
2
,
(16)
ãäå �J un
— ãðàäèåíò ôóíêöèîíàëà (10) â òî÷êå un .
Ââåäåì â ðàññìîòðåíèå îáîçíà÷åíèÿ
�( , ) ( ( )– ( ), ( )– ( )) ( )u v Y u Y Y v Y L� 0 0
2 0
,
L v f Y Y v Y L( ) ( ( ), ( )– ( )) ( )� �0 0 0
2 0� , (17)
ãäå � � �v Y v y v x� ( ) ( ; ) | �0
, ó v õ( ; ) — ïåðâàÿ êîìïîíåíòà ðåøåíèÿ Y y T� ( , ) çà-
äà÷è (11), (12) ïðè u v� .
Èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî
2 2 00
2
2 0
J v v v L v f Y
L
( ) ( , ) ( ) ( )
( )
� � � �
�
. (18)
Ïóñòü u v, ��. Ïðè � � � �� � � � � � � �( , ) ( ) ( )0 1 1z v u u v u �. Ñ ó÷åòîì (17),
(18) ïîëó÷àåì
lim
�
�
�
�
� � �
� � � � �
0
J u v u J u
u v u L v u
( ( )) ( )
( , ) ( )
� � � � � � � �( ( ) , ( ) ( )) ,( )Y u f Y v Y u J v uL u0 2 0� . (19)
Äëÿ êàæäîãî ïðèáëèæåíèÿ un ðåøåíèÿ u�� çàäà÷è (11), (12), (10), ñëåäóÿ
[1, 2, 5], ââåäåì â ðàññìîòðåíèå ñëåäóþùóþ ñîïðÿæåííóþ çàäà÷ó:
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 2 61
�
�
�
� �
�
�
� �ik
kk x
x
( )
,
1
3
0 �, �|
�1
1 0� ,
� � �ij
j
jn i x( ) , , , \
�
� � � �
1
3
2
1
00 1 3 � ,
� � �ij
j
j i n in y u f i x( ) ( ) , , ,
�
� � � � �
1
3
0 01 3 ,
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
x
k
p
x
c
i
ij
ji j
iklm lm ik
i k, ,
( ) ,
1
3
0�� � �
, ,l m
x
�
� �
1
3
�,
(20)
p x� �0
1
2, � , k
p
x
n xij
ji j
i
�
�
� � �
�
�
,
,
1
3
2
2
3
20 � � ,
ãäå � � � �ik iklm lm
l m
c( ) ( )
,
�
�
�
1
3
. Çäåñü ïðèíÿòî � � �
lm lmT0 � .
Âìåñòî êëàññè÷åñêîãî ðåøåíèÿ Y p* ( , )� � êðàåâîé çàäà÷è (20) áóäåì èñïîëü-
çîâàòü åå îáîáùåííîå ðåøåíèå.
Îïðåäåëåíèå 2. Îáîáùåííûì ðåøåíèåì êðàåâîé çàäà÷è (20) íàçûâàåòñÿ âåê-
òîð-ôóíêöèÿ Y p V* ( , )� �� 0 , êîòîðàÿ � �z V0 óäîâëåòâîðÿåò ðàâåíñòâàì
a z y u f zn L( , ) ( ( ) , ) ( )� �1 0 1 2 0
� � , (21)
a p z c z dxiklm lm ik
i k l m
1 2 2
1
3
0( , ) ( )
, , ,
� �
�
�� �� � �
�
.
(22)
Òåîðåìà 2. Ïðè êàæäîì ôèêñèðîâàííîì un çàäà÷à (21), (22) èìååò åäèíñòâåí-
íîå ðåøåíèå Y p* ( , )� � .
Çàìåíèâ â (21) z1 ðàçíîñòüþ y u y un n( ) ( )� �1 , à â (22) z2 — ðàçíîñòüþ
T u T un n( ) ( )� �1 , ñ ó÷åòîì (11), (12) ïîëó÷àåì
( ( ) , ( ) ( )) ( , ( ) ( ))( )y u f y u y u a y u y un n n L n n� � � � �� �0 1 12 0� �
� � � �� �a p T u T u c T u T un n iklm n n lm ik1 1 1( , ( ) ( )) ( ( ) ( )) (� � � � )
, , ,i k l m
dx
�
�� �
1
3
�
� � ��l u p l u p u pn n n L1 1 1
2 3
2( ; ) ( ; ) ( , )
( )
�
�
,
ò.å.
( ( ) , ( ) ( )) ( , )( ) ( )
y u f y u y u u pn n n L n L
� � ��0 1 2 0 2 3
2� �
�
. (23)
Ñëåäîâàòåëüíî, � �J u nn
~
� , ãäå
~
| ,
~
( )
� �n u n L
p J
n
� � �
� �3
2
2 3
2 .
Çàìå÷àíèå 1. Åñëè â çàäà÷å (11), (12), (10) âîññòàíàâëèâàåìûé ïîòîê
u R� � �const � , òî íà îñíîâàíèè (23) ãðàäèåíò � � �J pu n Ln
~
( , )
( )
� 1
2 3
2�
. Ñëåäîâà-
òåëüíî, � �J u nn
|
~
|� .
2. ÏÀÐÀÌÅÒÐÈ×ÅÑÊÀß ÈÄÅÍÒÈÔÈÊÀÖÈß ÒÅÏËÎÂÎÃÎ
È ÒÅÐÌÎÍÀÏÐßÆÅÍÍÎÃÎ ÑÎÑÒÎßÍÈÉ
Íà îñíîâàíèè ðàâåíñòâà (23) ìîæíî ïîëó÷èòü ÿâíûå âûðàæåíèÿ ãðàäèåíòà �J un
äëÿ ñëó÷àÿ,
êîãäà âîññòàíàâëèâàåìûé ïîòîê u u x� ( ) çàäà÷è (11), (12), (10) ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåí â
âèäå ëèíåéíîé êîìáèíàöèè ñèñòåìû ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ ôóíêöèé { }�i i
mx( )
�1
.
62 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 2
Ïóñòü u u x xm i i
i
m
� �
�
�( ) ( )� �
1
, ãäå � i R i m� �1 1, , . Íà îñíîâàíèè (23) ïîëó÷àåì
( ( ) , ( ) ( )) ( , )( ) (y u f y u y u pn n n L i
i
m
i L� � ��
�
�0 1
1
2 0 2 0� �� �� ) .
Ñëåäîâàòåëüíî, � �J u nn
~
� , ãäå
~ ~
� �n ni i
m�
�
{ }
1
,
~
( , ) ( )� � �ni i Lp�
2 0
, � �J un
2 ~
�ni
i
m
2
1�
� .
Âñå ïðîâåäåííûå ðàññóæäåíèÿ îñòàþòñÿ â ñèëå òàêæå äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà òåëî
� — èçîòðîïíîå. Òîãäà êîìïîíåíòû � ij T y( ; ) òåíçîðà íàïðÿæåíèé ïðèíèìàþò âèä
�
� �� �
� �ij ij kk ijT� � � �2 3 2( ( ) ) , (24)
ãäå â (24) ïî ïîâòîðÿþùèìñÿ èíäåêñàì ïðåäïîëàãàåòñÿ ñóììèðîâàíèå (�kk �
� � �� � �11 22 33 ) , �
�
� �
�
� �
E
( )( )1 1 2
,
�
�
�
E
2 1( )
— ïîñòîÿííûå Ëÿìå; Å,� — ìî-
äóëü óïðóãîñòè è êîýôôèöèåíò Ïóàññîíà ñîîòâåòñòâåííî [8].
Ñ ó÷åòîì (24) áèëèíåéíàÿ ôîðìà à( , )� � è ôîðìà l T( ; )� ïðèíèìàþò âèä
a y z y z y zij ij
i j
( , ) ( ) ( )
,
1 1 1
1
3
2� �
!
"
#"
$
%
"
�
��
� �div div }
&"
�
�
dx,
l T z f z g z T z dx
L ii
i
( ; ) (
~
, ) ( , ) ( ) ( )
( )1 1 1 1
2 2
1 3 2� � � �
�
�
�
� �
1
3
��
�
.
3. ÈÄÅÍÒÈÔÈÊÀÖÈß ÒÅÏËÎÂÎÃÎ È ÒÅÐÌÎÍÀÏÐßÆÅÍÍÎÃÎ ÑÎÑÒÎßÍÈÉ
ÏÎ ÍÎÐÌÀËÜÍÛÌ ÑÌÅÙÅÍÈßÌ ×ÀÑÒÈ ÅÃÎ ÏÎÂÅÐÕÍÎÑÒÈ
Ïóñòü óðàâíåíèÿ ðàâíîâåñèÿ èìåþò âèä (1), à èçìåíåíèå òåìïåðàòóðû Ò ïî îá-
ëàñòè � óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ (2). Íà ãðàíèöå Ã îáëàñòè � çàäàíû êðàåâûå
óñëîâèÿ (3)–(6) è îãðàíè÷åíèå
k
T
x
n uij
j
i
i j
�
�
�
�
�
, 1
3
, x��
3
2 , (25)
ãäå u u x� ( ) — íåèçâåñòíàÿ ôóíêöèÿ èç � �C ( )�
3
2 .
Ïðåäïîëàãàåì, ÷òî íà ó÷àñòêå � 0 2
1� � èçâåñòíû íîðìàëüíûå ñîñòàâëÿþùèå
yN ñìåùåíèÿ y, çàäàííûå ðàâåíñòâîì
y fN � 0 . (26)
Ïîëó÷åíà çàäà÷à (1)–(6), (25), (26), ñîñòîÿùàÿ â íàõîæäåíèè ýëåìåíòà u��,
ïðè êîòîðîì ïåðâàÿ êîìïîíåíòà ðåøåíèÿ Y ó Ò� ( , ) êðàåâîé çàäà÷è (1)–(6), (25)
óäîâëåòâîðÿåò ðàâåíñòâó (26).
 ýòîì ñëó÷àå ôóíêöèîíàë-íåâÿçêà ìååò âèä
J u y u fN L
( ) ( )
( )
� �
1
2
0
2
2 0�
.
(27)
Ïðè êàæäîì ôèêñèðîâàííîì u�� âìåñòî êëàññè÷åñêîãî ðåøåíèÿ Y ó Ò� ( , )
çàäà÷è (1)–(6), (25) áóäåì èñïîëüçîâàòü åå îáîáùåííîå ðåøåíèå, ò.å. âåêòîð-ôóíê-
öèþ Y ó Ò� ( , ), ÿâëÿþùóþñÿ ðåøåíèåì çàäà÷è (11), (12).
Òåì ñàìûì ïîëó÷åíà çàäà÷à (11), (12), (27), ñîñòîÿùàÿ â íàõîæäåíèè ýëåìåíòà
u , ìèíèìèçèðóþùåãî íà � ôóíêöèîíàë (27) ïðè îãðàíè÷åíèÿõ (11), (12). Ýòó çàäà-
÷ó áóäåì ðåøàòü ñ ïîìîùüþ ãðàäèåíòíûõ ìåòîäîâ (13).
Èìåþò ìåñòî âûðàæåíèÿ âèäà (17)–(19), ãäå � � �v Y v y v x
N
� ( ) ( ; )|
�
0
,
yN — íîðìàëüíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ ïåðâîé êîìïîíåíòû y v x( ; ) ðåøåíèÿ Y y T� ( , )
çàäà÷è (11), (12) ïðè u v� .
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 2 63
Äëÿ êàæäîãî ïðèáëèæåíèÿ un ðåøåíèÿ u�� çàäà÷è (11), (12), (27) ñîïðÿæåí-
íàÿ çàäà÷à èìååò âèä
�
�
�
� �
�
�
� �ik
kk x
x
( )
,
1
3
0 �,
� � � �
�
�
1
1 0 0 1 3
1
3
2
1
0� � � �
�
�, ( ) , , , \ij j
j
n i x ,
� � �N N ny u f x( ) ( ) ,� � �
0 0 ,
� � �s x( ) ,� �0 0 , (28)
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
� �
x
k
p
x
c
ii j
ij
j
iklm
i k l m
lm
, , , ,1
3
1
3
�� � ik x( ) ,� � �0 � ,
p x� �0
1
2, � ,
k
p
x
n xij
i j j
i
,
,
�
�
�
�
� � �
1
3
2
2
3
20 � � ,
ãäå � � � �ij ijlm lm
l m
c( ) ( )
,
�
�
�
1
3
.
Îïðåäåëåíèå 3. Îáîáùåííûì ðåøåíèåì çàäà÷è (28) íàçûâàåòñÿ âåêòîð-ôóíê-
öèÿ Y p V* ( , )� �� 0 , êîòîðàÿ � � �z z z V( , )1 2 0 óäîâëåòâîðÿåò ðàâåíñòâàì
a z y u f zN n N L( , ) ( ( ) , ) ( )� �1 0 1 2 0
� � , (29)
a p z c z dxiklm lm ik
i k l m
0 2 2
1
3
0( , ) ( )
, , ,
� �
�
�� �� � �
�
. (30)
Èìååò ìåñòî òåîðåìà, àíàëîãè÷íàÿ òåîðåìå 2.
Çàìåíèâ â (29) z1 ðàçíîñòüþ y u y un n( ) ( )� �1 , à â (30) z2 — ðàçíîñòüþ
T u T un n( )– ( )�1 , ñ ó÷åòîì (11), (12) ïîëó÷àåì
� � � � � � ��J u y u f y u y u uu n N n N n N n L nn
, ( ( ) , ( ) ( )) ( ,( )� �0 1 2 0� p
L
)
( )2 3
2�
. (31)
Ñëåäîâàòåëüíî, � �J u nn
~
� , ãäå
~
�n p�
�3
2 .
Òàêèì îáðàçîì, äëÿ ðåàëèçàöèè ìåòîäà ìèíèìàëüíûõ îøèáîê (13), (14) îïðå-
äåëåíèÿ ( )ï �1 -ãî ïðèáëèæåíèÿ ðåøåíèÿ u�� çàäà÷è (11), (12), (27) íàïðàâëåíèå
ñïóñêà pn è êîýôôèöèåíò n ìîæåì îïðåäåëèòü ñ ïîìîùüþ âûðàæåíèé (14).
Ðåøèâ çàäà÷ó îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè z x z z Vn(
~
; ) ( , )� � �1 2 , êîòîðàÿ � �w
� �( ( ), ( ))w x w x V1 2 0 óäîâëåòâîðÿåò ðàâåíñòâàì
a z w l z w( , ) ( ; ),1
1
2
1� (32)
a z w l J wun1
2
2 1 2( , ) ( ; )� � , (33)
ïîëó÷èì ýëåìåíò AJ un
� , ÷òî ïîçâîëèò ðåàëèçîâàòü ìåòîä ñêîðåéøåãî ñïóñêà (13),
(15) äëÿ îïðåäåëåíèÿ ( )n �1 -ãî ïðèáëèæåíèÿ un�1 ðåøåíèÿ u�� çàäà÷è (11),
(12), (27).
Îïðåäåëèâ íàïðàâëåíèå ñïóñêà pn ñ ïîìîùüþ ôîðìóë (16) è ðåøèâ çàäà÷ó
âèäà (32), (33), ãäå â (33) âìåñòî �J un
èñïîëüçóåì pn , ïîëó÷èì Apn , ÷òî ïîçâîëèò
ðåàëèçîâàòü ìåòîä ñîïðÿæåííûõ ãðàäèåíòîâ (13), (16) äëÿ îïðåäåëåíèÿ ( )n �1 -ãî
ïðèáëèæåíèÿ un�1 ðåøåíèÿ u�� çàäà÷è (11), (12), (27).
64 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 2
4. ÂÎÑÑÒÀÍÎÂËÅÍÈÅ ÊÎÝÔÔÈÖÈÅÍÒÀ ËÈÍÅÉÍÎÃÎ ÐÀÑØÈÐÅÍÈß
ÏÎ ÏÎÂÅÐÕÍÎÑÒÍÛÌ ÏÅÐÅÌÅÙÅÍÈßÌ
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî òåëî ��R 3 — èçîòðîïíîå. Êîìïîíåíòû òåíçîðà íàïðÿæåíèé
èìåþò âèä (24), ãäå êîýôôèöèåíò ëèíåéíîãî ðàñøèðåíèÿ � � � � � �'�u R� ( , )0
ñ÷èòàåì íåèçâåñòíûì. Óðàâíåíèÿ ðàâíîâåñèÿ èìåþò âèä
� � �
�
�
� �
�
�
� �
�
�
�� y
x
y
T
x
f ii
i i
i( ) ( )
~
, ,div 3 2 1 3 , (34)
ãäå � �
�
��
�
2
2
1
3
xii
.
Èçìåíåíèå òåìïåðàòóðû Ò óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ
�
�
�
�
�
��
�
�� � �
�
�
x
k
T
x
f x
i ii 1
3
, � .
(35)
Íà ãðàíèöå � çàäàíû êðàåâûå óñëîâèÿ:
y x� ��, �
1
1,
� ij
j
j iy n g i x
�
� � � �
1
3
2
11 3( ) , , , � ,
T x� ��0 1
2, � ,
k
T
x
n x g x
i
i
i
�
�
� � � �
�
� cos ( , ) , ,
1
3
0 2
2
1
2
2
2� � � � . (36)
Ñ÷èòàåì, ÷òî íà ó÷àñòêå � 0 2
1� � èçâåñòíû ñìåùåíèÿ, çàäàííûå ðàâåíñòâîì (8).
Êâàäðàòè÷íûé ôóíêöèîíàë-íåâÿçêà èìååò âèä (10).
Ïîëó÷åíà çàäà÷à (34)–(36), (10), ñîñòîÿùàÿ â íàõîæäåíèè ýëåìåíòà u � �, ìè-
íèìèçèðóþùåãî íà � ôóíêöèîíàë (10) ïðè îãðàíè÷åíèÿõ (34)–(36). Ðåøèâ ýòó çà-
äà÷ó, ïîëó÷èì çíà÷åíèå êîýôôèöèåíòà � ëèíåéíîãî ðàñøèðåíèÿ, ðàñïðåäåëåíèå
òåìïåðàòóðíîãî ïîëÿ Ò è ñìåùåíèé y òî÷åê òåëà �.
Ïðè êàæäîì ôèêñèðîâàííîì u�� âìåñòî êëàññè÷åñêîãî ðåøåíèÿ Y ó Ò� ( , )
çàäà÷è (34)–(36) áóäåì èñïîëüçîâàòü åå îáîáùåííîå ðåøåíèå.
Îïðåäåëåíèå 4. Ïðè êàæäîì ôèêñèðîâàííîì u�� îáîáùåííûì ðåøåíèåì
êðàåâîé çàäà÷è (34)–(36) íàçûâàåòñÿ âåêòîð-ôóíêöèÿ Y y T V� �( , ) , êîòîðàÿ
� � �z z z V( , )1 2 0 óäîâëåòâîðÿåò ñèñòåìå òîæäåñòâ
a y z l u T z( , ) ( , ; )1 1� , (37)
a T z l z1 2 1 2( , ) ( )� , (38)
ãäå
a y z y z y zij ij
i j
( , ) ( ) ( )
,
1 1 1
1
3
2� �
!
"
#"
$
%
"
&�
��
� �div div
"
�
�
dx ,
l u T z f z g z uT z dx
L ii( , ; ) (
~
, ) ( , ) ( ) ( )
( )1 1 1 1
2 2
1 3 2� � � �
�
�
�
i�
��
1
3
�
,
a T z k
T
x
z
x
dx l z f z g z
i ii
1 2
2
1
3
1 2 2 0( , ) , ( ) ( , ) ( ,�
�
�
�
�
� �
�
��
�
2
2 2
2)
( )L �
.
Çàäà÷ó (37), (38), (10) áóäåì ðåøàòü ñ ïîìîùüþ ãðàäèåíòíûõ ìåòîäîâ (13).
Äëÿ êàæäîãî ïðèáëèæåíèÿ un ââåäåì â ðàññìîòðåíèå ñîïðÿæåííóþ çàäà÷ó
�
�
�
� �
�
�
� �ik
kk x
x
( )
,
1
3
0 �,
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 2 65
� � � �
�
�
1
1 0 0 1 3
1
3
2
1
0� � � �
�
�, ( ) , , , \ij j
j
n i x ,
� � �ij j
j
i n in y u f i x( ) ( ) , , ,
�
� � � � �
1
3
0 01 3 , (39)
ãäå � � � �ik
l m
iklm lmc( ) ( )
,
�
�
�
1
3
.
Îïðåäåëåíèå 5. Îáîáùåííûì ðåøåíèåì êðàåâîé çàäà÷è (39) íàçûâàåòñÿ ôóíê-
öèÿ � �� � � �V v x W
1
0
2
1 3
1
1 0{ }( ) ( ( )) :�
�
, êîòîðàÿ � �z V1 1
0 óäîâëåòâîðÿåò òîæäåñòâó
a z y u f zn L( , ) ( ( ) , ) ( )� �1 0 1 2 0
� � . (40)
Çàìåíèâ â (40) ôóíêöèþ z1 ðàçíîñòüþ y u y un n( ) ( )� �1 , ñ ó÷åòîì (37), (38) ïî-
ëó÷àåì
( ( ) , ( ) ( )) ( , ( ) ( ))( )y u f y u y u a y u y un n n L n n� � � � �� �0 1 12 0� �
� � � ��
�
��l u T l u T u T dxn n n ii
i
( , ; ) ( , ; ) ( ) ( )1
1
3
3 2� � �
� ��
�
,
ò.å.
( ( ) , ( ) ( )) ( ) ( )( )y u f y u y u u T dxn n n L n ii� � � ��0 1 2 0
3 2� �
� ��
i�
��
1
3
�
,
ãäå T — ðåøåíèå çàäà÷è (38).
Ñëåäîâàòåëüíî,
� �J u nn
~
� , (41)
ãäå
~
( ) ( ) , |
~
|� �
� � �n ii
i
u nT dx J
n
� � � �
�
�� 3 2
1
3
�
.
5. ÈÄÅÍÒÈÔÈÊÀÖÈß ÒÅÐÌÎÍÀÏÐßÆÅÍÍÎÃÎ ÑÎÑÒÎßÍÈß
ÍÀ ÎÑÍÎÂÅ ÇÀÄÀ×È ÓÏÐÓÃÎÃÎ ÐÀÂÍÎÂÅÑÈß
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî òåëî ��R 3 — èçîòðîïíîå. Êîìïîíåíòû òåíçîðà íàïðÿæåíèé
èìåþò âèä (24), ãäå èçìåíåíèÿ òåìïåðàòóðû Ò ñ÷èòàåì íåèçâåñòíûìè.
Óðàâíåíèÿ ðàâíîâåñèÿ èìåþò âèä
� � �
�
�
� �
�
�
� � �
�
�
�� �y
x
y
T
x
f i xi
i i
i( ) ( )
~
, , ,div 3 2 1 3 . (42)
Íà ãðàíèöå � çàäàíû êðàåâûå óñëîâèÿ
y x� ��, �
1
1, (43)
� ij j
j
iy n g i x( ) , , ,
�
� � � �
1
3
2
11 3 � . (44)
Ñ÷èòàåì, ÷òî íà ó÷àñòêå � 0 2
1� � èçâåñòíû ñìåùåíèÿ, çàäàííûå ðàâåíñò-
âîì (8). Êâàäðàòè÷íûé ôóíêöèîíàë-íåâÿçêà èìååò âèä (10).
Ïîëó÷åíà çàäà÷à (42)–(44), (8), ñîñòîÿùàÿ â îïðåäåëåíèè èçìåíåíèÿ òåìïåðà-
òóðû T u x C� � �( ) ( )�
1 � , ïðè êîòîðîé ðåøåíèå y y u� ( ) çàäà÷è (42)–(44) óäîâëåò-
âîðÿåò ðàâåíñòâàì (8). Âìåñòî êëàññè÷åñêîãî ðåøåíèÿ y êðàåâîé çàäà÷è (42)–(44)
áóäåì èñïîëüçîâàòü åå îáîáùåííîå ðåøåíèå.
Îïðåäåëåíèå 6. Ïðè êàæäîì ôèêñèðîâàííîì u�� îáîáùåííûì ðåøåíèåì
êðàåâîé çàäà÷è (42)–(44) íàçûâàåòñÿ ôóíêöèÿ y y u V� �( ) 1, êîòîðàÿ � �z V1 1
0 óäîâ-
ëåòâîðÿåò òîæäåñòâó
a y z l u z( , ) ( ; )1 1� , (45)
ãäå ìíîæåñòâî V
1
0 è áèëèíåéíàÿ ôîðìà a( , )� � îïðåäåëåíû â ðàçä. 4,
66 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 2
V v x W v1 2
1 3
1
1� � �{ }( ) ( ( )) :�
�
� ,
l u z f z g z u z dx
L ii
i
( ; ) (
~
, ) ( , ) ( ) ( )
( )1 1 1 1
2 2
1 3 2� � � �
�
�
�
� �
1
3
��
�
.
Âìåñòî çàäà÷è (42)–(44), (8) áóäåì ðàññìàòðèâàòü çàäà÷ó (45), (10), ñîñòîÿùóþ
â íàõîæäåíèè ýëåìåíòà u, ìèíèìèçèðóþùåãî íà � ôóíêöèîíàë (10) ïðè îãðàíè÷å-
íèè (45). Çàìåòèì, ÷òî â ýòîì ñëó÷àå ìîæíî ïðåäïîëîæèòü � �C( )� .  ðåçóëüòàòå
ðåøåíèÿ çàäà÷è (45), (10) ïîëó÷èì âåêòîð ñìåùåíèé y y x� ( ) òî÷åê îáëàñòè � è
ðàñïðåäåëåíèå ïî � èçìåíåíèÿ òåìïåðàòóðû Ò.
Èìåþò ìåñòî âûðàæåíèÿ (17)–(19). Äëÿ êàæäîãî ïðèáëèæåíèÿ un ðåøåíèÿ
u�� çàäà÷è (45), (10) ñîïðÿæåííàÿ çàäà÷à èìååò âèä
� � �
�
�
� �
� �
�� �i
ix
x( ) ,div 0 ,
�
�1
1 0� , (46)
� � �ij j
j
n i x( ) , , , \
�
� � � �
1
3
2
1
00 1 3 � ,
� � �ij j
j
i n in y u f i x( ) ( ) , , , ,
�
� � � � �
1
3
0 01 3
ãäå � � � � � �
� �ij kk
k
ij ij i j( ) ( ) ( ), , ,� � �
�
�
1
3
2 1 3.
Îïðåäåëåíèå 7. Îáîáùåííûì ðåøåíèåì êðàåâîé çàäà÷è (46) íàçûâàåòñÿ ôóíê-
öèÿ ��V
1
0 , êîòîðàÿ � �z V1 1
0 óäîâëåòâîðÿåò òîæäåñòâó
a z y u f zn L( , ) ( ( ) , ) ( )� �1 0 1 2 0
� � . (47)
Âûáèðàÿ â òîæäåñòâå (47) âìåñòî z1 ðàçíîñòü y u y un n( ) ( )� �1 , ñ ó÷åòîì (45)
ïîëó÷àåì
( ( ) , ( ) ( )) ( , ( ) ( ))( )y u f y u y u a y u y un n n L n n� � � � �� �0 1 12 0� �
� � � ��
�
��l u l u u dxn n n ii
i
( ; ) ( ; ) ( ) ( )1
1
3
3 2� � �
� � ��
�
èëè
( ( ) , ( ) ( )) ( ) ( )( )y u f y u y u u dxn n n L n ii� � � ��0 1 2 0
3 2� �
� � ��
i�
��
1
3
�
.
Ñëåäîâàòåëüíî,
� �J u nn
~
� , (48)
ãäå
~
( ) ( ),
~
� �
� � � �n ii
i
u nJ dx
n
� � � �
�
� �3 2
1
3 2 2
�
.
6. ÈÄÅÍÒÈÔÈÊÀÖÈß ÊÎÝÔÔÈÖÈÅÍÒÀ ËÈÍÅÉÍÎÃÎ ÐÀÑØÈÐÅÍÈß ÏÎ ÇÀÄÀÍÍÛÌ
ÍÎÐÌÀËÜÍÛÌ ÑÌÅÙÅÍÈßÌ ÍÀ ÎÑÍÎÂÅ ÇÀÄÀ×È ÒÅÐÌÎÓÏÐÓÃÎÑÒÈ
Ïóñòü äëÿ èçîòðîïíîãî òåëà � óðàâíåíèÿ ðàâíîâåñèÿ èìåþò âèä (42), ãäå êîýô-
ôèöèåíò ëèíåéíîãî ðàñøèðåíèÿ � � � � �u R� ñ÷èòàåì íåèçâåñòíûì. Êðàåâûå
óñëîâèÿ çàäàíû âûðàæåíèÿìè
y x� ��, �
1
1,
� ij j
j
iy n g i x( ) , , ,
�
� � � �
1
3
2
11 3 � , (49)
y f xN � � �0 0 2
1, � � .
Èçìåíåíèå òåìïåðàòóðû Ò óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ (35). Íà ãðàíèöå � çàäàíû
êðàåâûå óñëîâèÿ
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 2 67
T x� ��0 1
2, � ,
k
T
x
n x g x
i i
i
�
�
�
�
� � � �
1
3
0 2
2
1
2
2
2cos ( , ) , ,� � � � .
(50)
Ôóíêöèîíàë-íåâÿçêà èìååò âèä (27). Ïðè êàæäîì ôèêñèðîâàííîì u�� âìåñòî
êëàññè÷åñêîãî ðåøåíèÿ Y y T� ( , ) êðàåâîé çàäà÷è (42), (49), (35), (50) áóäåì èñïîëü-
çîâàòü åå îáîáùåííîå ðåøåíèå.
Îïðåäåëåíèå 8. Ïðè êàæäîì ôèêñèðîâàííîì u�� îáîáùåííûì ðåøåíèåì
êðàåâîé çàäà÷è (42), (49), (35), (50) íàçûâàåòñÿ âåêòîð-ôóíêöèÿ Y y T V� �( , ) , êîòî-
ðàÿ � � �z z z V( , )1 2 0 óäîâëåòâîðÿåò òîæäåñòâàì
a y z l u z( , ) ( ; )1 1� , (51)
a T z l z1 2 1 2( , ) ( )� , (52)
ãäå áèëèíåéíûå ôîðìû a( , )� � , a1 ( , )� � è ôîðìû l l( ; ), ( )� � � îïðåäåëåíû â ðàçä. 4.
Çàäà÷ó (51), (52), (27) áóäåì ðåøàòü ñ ïîìîùüþ ãðàäèåíòíûõ ìåòîäîâ (13).
Äëÿ êàæäîãî ïðèáëèæåíèÿ un ðåøåíèÿ u�� çàäà÷è (51), (52), (27) ñîïðÿæåííàÿ
çàäà÷à èìååò âèä
� � �
�
�
� �
� �
�� �i
ix
x( ) ,div 0 ,
�
�1
1 0� ,
� � �ij j
j
n i x( ) , , , \
�
� � � �
1
3
2
1
00 1 3 � ,
(53)
� � �N N ny u f x( ) ( ) ,� � �0 0 , � � �s x( ) ,� �0 0 ,
ãäå � �
� � � � � �ij ij kk
k
ij( ) ( ) ( )� �
�
�2
1
3
.
Îïðåäåëåíèå 9. Îáîáùåííûì ðåøåíèåì êðàåâîé çàäà÷è (53) íàçûâàåòñÿ ôóíê-
öèÿ ��V
1
0 , êîòîðàÿ � �z V1 1
0 óäîâëåòâîðÿåò òîæäåñòâó
a z y u f zN n L( , ) ( ( ) , ) ( )� �1 0 1 2 0
� � . (54)
Âûáèðàÿ â òîæäåñòâå (54) âìåñòî ôóíêöèè z1 ðàçíîñòü y u y uN n N n( ) ( )� �1 ,
ñ ó÷åòîì òîæäåñòâà (51) ïîëó÷àåì
( ( ) , ( ) ( )) ( )y u f y u y uN n N n N n L� � ��0 1 2 0�
� � � ��
�
��l u l u u T dxn n n ii
i
( ; ) ( ; ) ( ) ( )1
1
3
3 2� � �
� ��
�
.
Ñëåäîâàòåëüíî, � �J u nn
~
� , ãäå
~
( ) ( ) ,
~
� �
� � �n ii
i
u nT dx J
n
� � � �� �
�
3 2
1
3
�
.
7. ÈÄÅÍÒÈÔÈÊÀÖÈß ÏÎ ÇÀÄÀÍÍÛÌ ÑÌÅÙÅÍÈßÌ ÒÅÐÌÎÍÀÏÐßÆÅÍÍÎÃÎ
ÑÎÑÒÎßÍÈß ÒÅËÀ, ÎÑËÀÁËÅÍÍÎÃÎ ÑËÀÁÎÏÐÎ×ÍÛÌ ÂÊËÞ×ÅÍÈÅÌ
Ïóñòü íà îãðàíè÷åííûõ ñâÿçíûõ ñòðîãî ëèïøèöåâûõ îáëàñòÿõ � �1 2
3, �R
( )� �1 2� �� îïðåäåëåíà ñèñòåìà óðàâíåíèé òåðìîóïðóãîãî ðàâíîâåñèÿ
�
�
�
� �
�
�
� ik
kk
i
y
x
f i
( ) ~
, ,
1
3
1 3 , (55)
ãäå � � � � � �ik ik iklm
l m
lm lm lm lm
y T y c y( ) ( ; ) ( ( ) ),
,
� � � �
�
�
1
3
0 0 0 ( )T — êîìïîíåíòû òåí-
çîðà òåìïåðàòóðíûõ äåôîðìàöèé.
68 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 2
Èçìåíåíèå òåìïåðàòóðû Ò óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� � � �
�
�
x
k
T
x
f x
i
ij
ji j,
,
1
3
1 2� � � .
(56)
Íà ãðàíèöå � � � � �� � �� � � �� ��( ) \ ( )1 2 1 2� � çàäàíû êðàåâûå óñëîâèÿ
y x� ��, �
1
1,
� ij j
j
iy n g i x( ) , , ,
�
� � � �
1
3
2
11 3 � ,
T x� ��0 1
2, � , (57)
k
T
x
n x g xij
i j j
i
,
cos ( , ) ,
�
�
�
�
� �
1
3
0 2
2� ,
k
T
x
n x u xij
i j j
i
,
cos ( , ) ,
�
�
�
�
� �
1
3
3
2� .
Çäåñü � � � � � � � �� � � �� � � � ��
� �i
i
i
i i j
1
2
1
1
1
2
1
1
3
2 2 2, , , ïðè i j i j� �; , ,1 3.
Ñ÷èòàåì, ÷òî íà ó÷àñòêå � 0 2
1� � èçâåñòíû ñìåùåíèÿ, çàäàííûå ðàâåíñòâîì (8).
Íà ó÷àñòêå �, ðàçäåëÿþùåì òåëî � íà äâå ñîñòàâëÿþùèå — � �1 2, , óñëîâèÿ
ñîïðÿæåíèÿ ñëàáîïðî÷íîãî âêëþ÷åíèÿ èìåþò âèä
[ ] , [ ( )]y yN N� �0 0� ,
[ ( )] , ( ) [ ]� �s s sy y r y� �(0 . (58)
Ýòè óñëîâèÿ îòðàæàþò íåïðåðûâíîñòü íîðìàëüíûõ ñîñòàâëÿþùèõ âåêòîðîâ ñìå-
ùåíèé è íàïðÿæåíèé, íåïðåðûâíîñòü êàñàòåëüíûõ ñîñòàâëÿþùèõ âåêòîðà íàïðÿ-
æåíèé è ïðîïîðöèîíàëüíîñòü êàñàòåëüíûõ ñîñòàâëÿþùèõ âåêòîðà íàïðÿæåíèé
ñêà÷êó êàñàòåëüíûõ ñîñòàâëÿþùèõ âåêòîðà ñìåùåíèé. Çäåñü [ ]� � �� �� � , �� �
� ��{ }� �( )x ïðè x�� �� 2 �, � � �� �� �{ } ( )x ïðè x�� ��1 �.
Âëèÿíèå ñëàáîòåïëîïðîíèöàåìîãî âêëþ÷åíèÿ � íà òåìïåðàòóðíîå ñîñòîÿíèå
òåëà � ó÷èòûâàåòñÿ óñëîâèÿìè
[ ] , [ ]q q r TT T
� �(0 1 , (59)
ãäå
q k
T
x
n xT ij
i j j
i�
�
��
�
,
cos ( , )
1
3
. (60)
Çäåñü n — íîðìàëü ê ó÷àñòêó �, íàïðàâëåííàÿ â îáëàñòü � 2 .
Ïîëó÷åíà çàäà÷à (55)–(59), (8), ñîñòîÿùàÿ â íàõîæäåíèè ôóíêöèè
u C� �� ( )�
3
2 , ïðè êîòîðîé ïåðâàÿ êîìïîíåíòà y êëàññè÷åñêîãî ðåøåíèÿ Y y T� ( , )
êðàåâîé çàäà÷è (55)–(59) óäîâëåòâîðÿåò ðàâåíñòâó (8). Ëåãêî âèäåòü, ÷òî â ðåçóëüòà-
òå ðåøåíèÿ çàäà÷è (55)–(59), (8) îïðåäåëÿåì íå òîëüêî ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ
òåïëîâîãî ïîòîêà íà ó÷àñòêå �
3
2 ãðàíèöû � òåëà �, à è ðàñïðåäåëåíèå òåìïåðàòóðû,
ñìåùåíèé, íàïðÿæåíèé, äåôîðìàöèé ïî ñîñòàâëÿþùèì � �1 2, òåëà �.
Ôóíêöèîíàë-íåâÿçêà èìååò âèä (10). Âìåñòî êëàññè÷åñêîãî ðåøåíèÿ Y y T� ( , )
êðàåâîé çàäà÷è (55)–(59) áóäåì èñïîëüçîâàòü åå îáîáùåííîå ðåøåíèå.
Îïðåäåëåíèå 10. Ïðè êàæäîì ôèêñèðîâàííîì u�� îáîáùåííûì ðåøåíèåì
êðàåâîé çàäà÷è (55)–(59) íàçûâàåòñÿ âåêòîð-ôóíêöèÿ Y y T V� �( , ) , êîòîðàÿ
� � �z z z V( , )1 2 0 óäîâëåòâîðÿåò òîæäåñòâàì
a y z l T z( , ) ( ; )1 1� , (61)
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 2 69
a T z l u z1 2 1 2( , ) ( ; )� , (62)
ãäå
V v x v x v x v W
i
i� � �{ ( ) ( ( ), ( )) : ( ( ))1 2 1 2
1 3
�
� , v W i
i
i2 2
1 1 2
�
�� �( ), , , v1
1
1�
� �,
[ ]v N1 0
�
� , v2 0
1
2�
� � }, V v x v x v x v W
i
i0 1 2 1 2
1 3� � �{ ( ) ( ( ), ( )): ( ( ))
�
� ,
v W
i
i2 2
1
�
�� ( ) , i �1 2, , v v vN1 1 2
1
1
1
20 0 0
� �
� � �, [ ] ,
�
},
a y z c y z dx r y ziklm
i k l m
lm ik s( , ) ( ) ( ) [ ][
, , ,
1
1
3
1 1� �
�
�� � �
�
s d] �
�
� ,
a T z k
T
x
z
x
dx r T z dij
i j j i
1 2
1
3
2
1 2( , ) [ ][ ]
,
�
�
�
�
�
�
�
�� �
� �
�,
l T z f z g z c T
L iklm
i k l m
lm( ; ) ( , ) ( , )
( )
, , ,
1 1 1
1
3
2 2
1� � �
�
��
� � � ik z dx( )1
�
� ,
l u z f z g z u z
L L1 2 2 0 2 2
2 2
2
2 3
2( ; ) (
~
, ) ( , ) ( , )
( ) ( )
� � �
� �
.
Çàäà÷ó (61), (62), (10) áóäåì ðåøàòü ñ ïîìîùüþ ãðàäèåíòíûõ ìåòîäîâ (13).
Äëÿ êàæäîãî ïðèáëèæåíèÿ un ðåøåíèÿ u�� çàäà÷è (61), (62), (10) ââåäåì â ðàñ-
ñìîòðåíèå ñîïðÿæåííóþ çàäà÷ó
�
�
�
� �
�
�
� �ik
kk x
x
( )
,
1
3
0 � , � � � �
�
�
1
1 0 0 1 3
1
3
2
1
0� � � �
�
�, ( ) , , , \ik
k
kn i x ,
� � �ij j
j
i n in y u f i x( ) ( ) , , ,
�
� � � � �
1
3
0 01 3 ,
[ ]| , [ ( )] ,� � � ��N N x� � �0 0 ,
[ ( )] , ( ) [ ],� � � � � �s s sr x� � �(0 , (63)
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
� �
x
k
p
x
c
ii j
ij
j
iklm
i k l m
lm
, , , ,1
3
1
3
�� � ik x( ) ,� � �0 �,
p x� �0
1
2, � ,
k
p
x
n x xij
i j j
i
,
cos ( , ) ,
�
�
�
�
�
)
*
+
+
,
-
.
.
�
1
3
0 �,
k
p
x
n x r p xij
i j j
i
,
cos ( , ) [ ],
�
(
�
�
�
!
"
#"
$
%
"
&"
� �
1
3
1
�,
k
p
x
n xij
i j j
i
,
,
�
�
�
�
� � �
1
3
2
2
3
20 � � ,
ãäå � � � �ij ijlm
l m
lmc( ) ( )
,
�
�
�
1
3
.
Îïðåäåëåíèå 11. Îáîáùåííûì ðåøåíèåì êðàåâîé çàäà÷è (63) íàçûâàåòñÿ âåê-
òîð-ôóíêöèÿ Y p V* ( , )� �� 0 , êîòîðàÿ � � �z z z V( , )1 2 0 óäîâëåòâîðÿåò ñèñòåìå
70 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 2
òîæäåñòâ
a z y u f zn L( , ) ( ( ) , ) ( )� �1 0 1 2 0
� � , (64)
a p z c z dxiklm
i k l m
lm ik1 2
1
3
2 0( , ) ( )
, , ,
� �
�
�� �� � �
�
. (65)
Ðåøåíèå Y * çàäà÷è (64), (65) ñóùåñòâóåò è åäèíñòâåííî.
Çàìåíèâ â (64) ôóíêöèþ z1 ðàçíîñòüþ y u y un n( ) ( )� �1 , à â (65) z2 — ðàçíîñ-
òüþ T u T un n( ) ( )� �1 , ñ ó÷åòîì (61), (62) ïîëó÷èì
� � � � � � ��J u y u f y u y u u pu n n n n L n Ln
, ( ( ) , ( ) ( )) ( , )( )� �0 1 2 0�
2 3
2( )�
. (65�)
Ñëåäîâàòåëüíî, � �J u nn
~
� , ãäå
~
,
~
� �n u np J d
n
� � � ��
�
�
3
2
3
2
2 2
3
2 .
Çàìå÷àíèå 2. Åñëè � � �
3
2
3
21
3
22� � , ãäå � � � � �
3
21
3
22
3
2
3
2� �� � � �, i
i , i �1 2, ,
òî ìîæåì ïðåäïîëîæèòü � � /C C( ) ( )� �
3
21
3
22 . Íà îñíîâàíèè (65�) ïîëó÷àåì
� �J u nn
~
� , ãäå
~ ~
� ��
�
{ }n
i
i 1
2 ,
~
|�n
i p i�
�3
2 , i �1 2, , � � ��
�
J du n
i i
i
n
i
2 2
3
2
1
3
3
2
(
~
)�
�
� .
Çàìå÷àíèå 3. Åñëè u u xi
i
m
i
j
i
j
i
j
m
| ( )
�3
2
1
� �
�
� � � , ãäå { }� j
i
j
mi
�1
— ñèñòåìà ëèíåéíî
íåçàâèñèìûõ ôóíêöèé, òî � �J u nn
~
� , ãäå
~ ~
� �n n
i
i
�
�
{ }
1
2 ,
~ ~
� �n
i
n
i
j
m
j
i�
�
{ }
1
,
~
�
n
i
j
�
� � � j
i ipd
i�
�
3
2
3
2 , � �
��
��J u n
i
j
m
i
n j
i2 2
11
2
(
~
)� .
8. ÎÄÍÎÂÐÅÌÅÍÍÀß ÈÄÅÍÒÈÔÈÊÀÖÈß ÏËÎÒÍÎÑÒÈ ÒÅÏËÎÂÎÃÎ ÏÎÒÎÊÀ,
ÏÀÐÀÌÅÒÐÀ ÆÅÑÒÊÎÑÒÈ ÍÀ ÑÄÂÈà ÏÐÎÑËÎß, ÅÃÎ ÒÅÐÌÈ×ÅÑÊÎÃÎ
ÑÎÏÐÎÒÈÂËÅÍÈß
Ïóñòü íà îáëàñòè � � �� �1 2 îïðåäåëåíà ñèñòåìà òåðìîóïðóãîãî ðàâíîâåñèÿ
(55) è äèôôóçèè òåïëà (56). Íà ãðàíèöå � çàäàíû êðàåâûå óñëîâèÿ
y x� ��, �
1
1,
� ij j
j
iy n g i x( ) , , , ,
�
� � � �
1
3
2
11 3 �
T x� ��0 1
2, � , (66)
k
T
x
n x g xij
i j j
i
,
cos ( , ) ,
�
�
�
�
� �
1
3
0 2
2� ,
k
T
x
n x u x xij
i j j
i
,
cos ( , ) ( ),
�
�
�
�
� �
1
3
1 3
2� .
Ñ÷èòàåì, ÷òî íà ó÷àñòêå � 0 2
1� � èçâåñòíû ñìåùåíèÿ, çàäàííûå ðàâåíñòâîì (8).
Íà ó÷àñòêå � óñëîâèÿ ñîïðÿæåíèÿ èìåþò âèä
[ ] , [ ( )]y yN N� �0 0� , [ ( )] , [ ]� �s s sy u y� �(0 2 , (67)
[ ] , [ ]q q u TT T
� �(0 3 ,
ãäå u u2 3 0, � �const .
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 2 71
Ïîëó÷åíà çàäà÷à (55), (56), (66), (67), (8), ñîñòîÿùàÿ â íàõîæäåíèè âåêòîðà
u u u u C� � � / ' / '( , , ) ( ) [ , ) [ , )1 2 3 3
2 0 0� � , ïðè êîòîðîì ïåðâàÿ êîìïîíåíòà êëàññè-
÷åñêîãî ðåøåíèÿ Y y T� ( , ) êðàåâîé çàäà÷è (55), (56), (66), (67) óäîâëåòâîðÿåò ðàâåíñòâó
(8). Ïðè êàæäîì ôèêñèðîâàííîì u�� âìåñòî êëàññè÷åñêîãî ðåøåíèÿ Y y T� ( , ) êðàå-
âîé çàäà÷è (55), (56), (66), (67) áóäåì èñïîëüçîâàòü åå îáîáùåííîå ðåøåíèå.
Îïðåäåëåíèå 12. Ïðè êàæäîì ôèêñèðîâàííîì u�� îáîáùåííûì ðåøåíèåì
êðàåâîé çàäà÷è (55), (56), (66), (67) íàçûâàåòñÿ âåêòîð-ôóíêöèÿ Y y T V� �( , ) , êîòî-
ðàÿ � � �z z z V( , )1 2 0 óäîâëåòâîðÿåò ñèñòåìå òîæäåñòâ
a u y z l T z( ; , ) ( ; )1 1� , (68)
a u T z l u z1 2 1 2( ; , ) ( ; )� , (69)
ãäå ìíîæåñòâà V V, 0 îïðåäåëåíû â ðàçä. 7,
a u y z c y z dx u y
i k l m
iklm lm ik s( ; , ) ( ) ( ) [ ]
, , ,
1
1
3
1 2� �
�
�� � �
�
[ ]z ds1 �
�
� ,
a u T z k
T
x
z
x
dx u T z dij
i j j i
1 2
1
3
2
3 2( ; , ) [ ][ ]
,
�
�
�
�
�
�
�
�� �
� �
�,
l T z f z g z c T
L
i k l m
iklm l( ; ) (
~
, ) ( , )
( )
, , ,
1 1 1
1
3
2 2
1� � �
�
��
� � m ik z dx� ( ) ,1
�
�
l u z f z g z u z
L L1 2 2 0 2 1 2
2 2
2
2 3
2( ; ) ( , ) ( , ) ( , )
( ) ( )
� � �
� �
.
Ïðè êàæäîì ôèêñèðîâàííîì u�� ðåøåíèe Y y T� ( , ) çàäà÷è (68), (69) ñóùåñ-
òâóåò è åäèíñòâåííî. Çàäà÷ó (68), (69), (10), ñîñòîÿùóþ â íàõîæäåíèè ýëåìåíòà u,
ìèíèìèçèðóþùåãî íà � ôóíêöèîíàë (10) ïðè îãðàíè÷åíèÿõ (68), (69), áóäåì ðå-
øàòü ñ ïîìîùüþ ãðàäèåíòíûõ ìåòîäîâ (13). Ïðè îïðåäåëåíèè ( )n �1 -ãî ïðèáëèæå-
íèÿ un�1 ðåøåíèÿ u�� çàäà÷è (68), (69), (10) îïðåäåëèì âåêòîð
~
( ~,
~
)Y y T� êàê ýëå-
ìåíò ìíîæåñòâà V, êîòîðûé � � �z z z V( , )1 2 0 óäîâëåòâîðÿåò ñèñòåìå òîæäåñòâ
a u y z l T z u y u z dn n s n s( ; ~, ) (
~
; ) [ ( )][ ]1 1 2 1� �� � �
�
, (70)
a u T z l u z u T u z d u zn n n n n1 2 1 2 3 2 1( ;
~
, ) ( ; ) [ ( )][ ] ( ,� � �� � ��
�
2
2 3
2)
( )L �
. (71)
Ðåøåíèe
~
( ~,
~
)Y y T� çàäà÷è (70), (71) äëÿ ôèêñèðîâàííûõ u un n, � �
� ( , , )� � �u u un n n1 2 3 ñóùåñòâóåò è åäèíñòâåííî.
Äëÿ êàæäîãî ïðèáëèæåíèÿ un ðåøåíèÿ u�� çàäà÷è (68), (69), (10) ââåäåì
â ðàññìîòðåíèå ñîïðÿæåííóþ çàäà÷ó, ñîñòîÿùóþ â íàõîæäåíèè âåêòîð-ôóíêöèè
Y p V* ( , )� �� 0 , êîòîðàÿ � � �z z z V( , )1 2 0 óäîâëåòâîðÿåò òîæäåñòâàì
a u z y u f zn n L( ; , ) ( ( ) , ) ( )� �1 0 1 2 0
� � , (72)
a u p z c z dxn iklm lm ik
i k l m
1 2 2
1
3
0( ; , ) ( )
, , ,
� �
�
�� � � � �
�
. (73)
Çàìåíèâ â (72) ôóíêöèþ z1 ðàçíîñòüþ ~ ( )y y un� , à â (73) z2 — ðàçíîñòüþ
~
( )T T un� , ñ ó÷åòîì (70), (71) ïîëó÷èì
( ( ) , ~ ( )) ( ; ~ ( ), ) ( ;
~
( )y u f y y u a u y y u a un n L n n n� � � � �0 12 0� � T T u pn� �( ), )
� � � �
�
��
i k l m
iklm n lm ik nc T T u dx u
, , ,
((
~
( )) ( )) [
1
3
2� � � �
�
� y u ds n s( )][ ]� �
�
� �
� �� � �
�
u T u p d u pn n n L3 1
2 3
2[ ( )][ ] ( , )
( )
�
�
72 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 2
èëè
� 0 � � � �J u y u f y y u u y uu n n n L n s nn
, ( ( ) , ~ ( )) [ ( )][( )� �0 22 0� � s d] �
�
� �
� �� � �
�
u T u p d u pn n n L3 1
2 3
2[ ( )][ ] ( , )
( )
�
�
. (74)
Ñëåäîâàòåëüíî, � 0J u nn
~
� , ãäå
~ ~
� �n n
i
i
�{ }
=1
3 ,
~
�n p1 �
�3
2 ,
~
[ ( )][ ] ,� � �
�
n s n sy u d2 � ��
~
[ ( )][ ]� �
�
n nT u p d3 � �� , � 0 � ��J du n n nn
2 1 2
3
2 2 2 3 2
3
2
(
~
) (
~
) (
~
)� � �
�
� .
Çàìå÷àíèå 4. Åñëè â çàäà÷å (68), (69), (10) u1 — èçâåñòíàÿ ôóíêöèÿ, òî
� � ' / '[ , ) [ , )0 0 .
Íà îñíîâàíèè (74) ïîëó÷àåì � 0J u nn
~
� , ãäå
~
(
~
,
~
),
~
[ ( )][ ] ,
~
[ (� � � � � � �
�
n n n n s n s n ny u d T u� � � � ��2 3 2 3 )][ ] , (
~
)p d J u n
i
i
n
� �
�
� �� 0
�
2 2
1
2
.
9. ÎÄÍÎÂÐÅÌÅÍÍÀß ÈÄÅÍÒÈÔÈÊÀÖÈß ÊÎÝÔÔÈÖÈÅÍÒÎÂ ËÈÍÅÉÍÎÃÎ
ÐÀÑØÈÐÅÍÈß È ÊÎÝÔÔÈÖÈÅÍÒÀ ÆÅÑÒÊÎÑÒÈ ÍÀ ÑÄÂÈÃ ÏÐÎÑËÎß
Ïóñòü íà îáëàñòÿõ � �1 2, îïðåäåëåíà ñèñòåìà òåðìîóïðóãîãî ðàâíîâåñèÿ (55) è
äèôôóçèè òåïëà (56), ãäå � � �ik iklm
l m
lm
j
lmT y c y u T
j
( ; ) ( ( ) )
,
�
� �
�
�
1
3
1
, u j
1
— êîýô-
ôèöèåíò ëèíåéíîãî ðàñøèðåíèÿ ìàòåðèàëà òåëà � j , u u u1 1
1
1
2� ( , ) .
Íà ãðàíèöå � çàäàíû êðàåâûå óñëîâèÿ
y x� ��, �
1
1,
� ij j
j
iy n g( )
�
� �
1
3
, i x� �1 3
2
1, , ,�
T x� ��0 1
2, � , (75)
k
T
x
n x gij
i j j
i
,
cos ( , )
�
�
�
�
�
1
3
0 , x��
2
2 ,
ãäå � � � � �� � � ��
1
2
2
2
1
2
2
2, .
Ñ÷èòàåì, ÷òî íà ó÷àñòêå � 0 2
1� � èçâåñòíû ñìåùåíèÿ, çàäàííûå ðàâåíñòâîì (8).
Íà ó÷àñòêå � óñëîâèÿ ñîïðÿæåíèÿ èìåþò âèä
[ ] , [ ( )]y yN N� �0 0� ,
[ ( )] , ( ) [ ]� �s s sy y u y� �(0 2 ,
[ ] , [ ],q q r TT T
� �(0
1
(76)
ãäå u2 0� �const íåèçâåñòåí.
Ïîëó÷åíà çàäà÷à (55), (56), (75), (76), (8), ñîñòîÿùàÿ â íàõîæäåíèè ýëåìåíòà
u R R� � / / '� �� ( ) [ , )0 , ïðè êîòîðîì ïåðâàÿ êîìïîíåíòà êëàññè÷åñêîãî ðåøåíèÿ
Y y T� ( , ) êðàåâîé çàäà÷è (55), (56), (75), (76) óäîâëåòâîðÿåò ðàâåíñòâó (8).
Îïðåäåëåíèå 13. Ïðè êàæäîì ôèêñèðîâàííîì u�� îáîáùåííûì ðåøåíèåì
êðàåâîé çàäà÷è (55), (56), (75), (76) íàçûâàåòñÿ âåêòîð-ôóíêöèÿ Y y T V� �( , ) , êîòî-
ðàÿ � � �z z z V( , )1 2 0 óäîâëåòâîðÿåò òîæäåñòâàì
a u y z l T z( ; , ) ( ; )1 1� , (77)
a T z l z1 2 1 2( , ) ( )� , (78)
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 2 73
ãäå
a u y z c y z dx u yiklm
i k l m
lm ik s( ; , ) ( ) ( ) [ ]
, , ,
1
1
3
1 2� �
�
�� � �
�
[ ]z ds1 �
�
� ,
a T z k
T
x
z
x
dx r T z dij
i j j i
1 2
1
3
2
1 2( , ) [ ][ ]
,
�
�
�
�
�
�
�
�� �
� �
�,
l u T z f z g z c u
L iklm
i k l m
( , ; ) (
~
, ) ( , )
( )
, , ,
1 1 1
1
3
1
2 2
1� � �
�
��
T z dxlm ik� � ( )1
�
� ,
l z f z g z
L1 2 2 0 2
2 2
2( ) ( , ) ( , )
( )
� �
�
.
Çàäà÷ó (77), (78), (10) áóäåì ðåøàòü ñ ïîìîùüþ ãðàäèåíòíûõ ìåòîäîâ (13).
Ïðè îïðåäåëåíèè ( )n �1 -ãî ïðèáëèæåíèÿ u
n�1
ðåøåíèÿ u�� çàäà÷è (77), (78),
(10) îïðåäåëèì âåêòîð
~
( ~, )Y y T� êàê ýëåìåíò ìíîæåñòâàV, êîòîðûé � � �z z z( , )1 2
�V0 óäîâëåòâîðÿåò ñèñòåìå òîæäåñòâ
a u y z l u T z u y u z dn n n s n s( ; ~, ) ( , ; ) [ ( )][ ]1 1 2 1� � �� � �
�
�
�
�� c u T z dxiklm
i k l m
n lm ik
, , ,
( )
1
3
1 1�
�
� � , (79)
a T z l z1 2 1 2( , ) ( )� . (80)
Äëÿ êàæäîãî ïðèáëèæåíèÿ un ðåøåíèÿ u�� çàäà÷è (77), (78), (10) ââåäåì
â ðàññìîòðåíèå ñîïðÿæåííóþ çàäà÷ó, ñîñòîÿùóþ â íàõîæäåíèè ôóíêöèè
�� � �V v x v W
i
i1
0
2
1 3{ ( ): ( ( ))
�
� , i v vN� � �1 2 0 0
1
1, , , [ ]
� �
}, êîòîðàÿ � �z V1 1
0
óäîâëåòâîðÿåò òîæäåñòâó
a u z y u f zn n L( ; , ) ( ( ) , ) ( )� �1 0 1 2 0
� � . (81)
Âûáèðàÿ â òîæäåñòâå (81) âìåñòî z1 ðàçíîñòü ~ ( )y y un� , ñ ó÷åòîì (79), (77) ïî-
ëó÷àåì
( ( ) , ~ ( )) [ ( )][ ]( )y u f y y u u y u dn n L n s n s� � � � ��0 22 0�
�
� ��
�
�
�� c u T dxiklm
i k l m
n lm ik
, , ,
( )
1
3
1�
�
� � � . (81�)
Ñëåäîâàòåëüíî,
� 0J u nn
~
� , (82)
ãäå
~ ~
� �n n
i
i
�
�
{ }
1
2 ,
~ ~
,
~
( )
, , ,
� � � � � �n ni i nj iklm
i k l m
em ikc T1 1
1
2 1
1
3
� �
�
�
�{ }
� j
d j� � , j �1 2, ;
~
[ ( )][ ]� � �
�
n s n sy u d2 � �� , � � �
�
�J u nj n
j
n
2 1 2 2 2
1
2
(
~
) (
~
)� � .
Çàìå÷àíèå 5. Òîæäåñòâî (81�) òàêæå ïîçâîëÿåò îïðåäåëèòü �J un
äëÿ ñëó÷àÿ ïåðå-
ìåííîãî ïàðàìåòðà u u x2 2� ( )
�
, ïåðåìåííûõ u j
1
íà � j , j �1 2, , à òàêæå äëÿ ñëó÷àåâ
ïàðàìåòðè÷åñêîãî èõ îïðåäåëåíèÿ, íàïðèìåð, åñëè u u x xi i
i
m
2 2
1
� �
�
�( ) ( )� � , ãäå
{ }�i i
mx( )
�1
— ñèñòåìà ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ ôóíêöèé, òî
~ ~
� �n n
i
i
�
�
{ }
1
2 ,
~ ~
� �n ni i
1 1
1
2�
�
{ } ,
~ ~
,� �n nj j
m2 2
1
�
�
{ }
~
[ ( )][ ]� � � �
�
nj j s n sy u d2 � �� ,
~
( )
, , ,
� � � �nj iklm
i k l m
lm ik jc T d
k
1
1
3
�
�
��
�
� ,
j �1 2, .
74 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 2
10. ÈÄÅÍÒÈÔÈÊÀÖÈß ÒÅÐÌÎÍÀÏÐßÆÅÍÍÎÃÎ ÑÎÑÒÎßÍÈß ÏÎ ÇÀÄÀÍÍÛÌ
ÑÌÅÙÅÍÈßÌ (ÍÅÎÄÍÎÐÎÄÍÛÅ ÑÌÅØÀÍÍÛÅ ÓÑËÎÂÈß ÑÎÏÐßÆÅÍÈß)
Ïóñòü íà îãðàíè÷åííûõ ñâÿçíûõ ñòðîãî ëèïøèöåâûõ îáëàñòÿõ � �1 2
3, �R îïðå-
äåëåíà ñèñòåìà óðàâíåíèé òåðìîóïðóãîãî ðàâíîâåñèÿ
�
�
�
� �
�
�
� ik
kk
i
y
x
f i
( ) ~
, ,
1
3
13 , (83)
ãäå � � � �ik ik iklm
l m
lm lm
y T y c y( ) ( ; ) ( ( ) )
,
� � �
�
�
1
3
0 .
Èçìåíåíèå òåìïåðàòóðû Ò óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� � � �
�
�
x
k
T
x
f x
i
ij
ji j,
,
1
3
1 2� � � . (84)
Íà ãðàíèöå � � � � �� � �� � � ��( ) \ ( )1 2 1 2� � çàäàíû êðàåâûå óñëîâèÿ
y x� ��, �
1
1,
� ij j
j
iy n g i x( ) , , , ,
�
� � � �
1
3
2
11 3 �
T x� ��0 1
2, � , (85)
k
T
x
n x T xij
i j j
i
,
cos ( , ) , ,
�
�
�
�
� � � �
1
3
2
2� �
k
T
x
n x u x xij
i j j
i
,
cos ( , ) ( ),
�
�
�
�
� �
1
3
3
2� ,
ãäå � � � � � � � �C C( ), , ( )� �
2
2
0 2
20const .
Ñ÷èòàåì, ÷òî íà ó÷àñòêå � 0 2
1� � èçâåñòíû ñìåùåíèÿ, çàäàííûå ðàâåíñòâîì (8).
Íà ó÷àñòêå �, ðàçäåëÿþùåì òåëî � íà äâå ñîñòàâëÿþùèå — � �1 2, , óñëîâèÿ
ñîïðÿæåíèÿ ðàñêëèíèâàþùåãî äàâëåíèÿ èìåþò ñëåäóþùèé âèä [10]:
[ ] , ( ) , , ,y y p x xN N� � � � �� �� � � �
0
[ ( )] , ( ) [ ],� � �s s sy y r y x� � �(0 . (86)
Çäåñü N 0 — âíåøíÿÿ íîðìàëü ê �� i , i �1 2, , � �� � � ��1 , � �� � � �� 2 ,
� � �� �( ) ( )x C — çàäàííàÿ ôóíêöèÿ, íàïðèìåð, ó÷èòûâàþùàÿ øåðîõîâàòîñòü ïî-
âåðõíîñòåé �� i , i �1 2, , íà ó÷àñòêå � è äàâëåíèå p.
Âëèÿíèå ñîñòàâíîãî ñëàáîïðîíèöàåìîãî âêëþ÷åíèÿ � íà òåìïåðàòóðíîå ñîñòî-
ÿíèå òåëà � ó÷èòûâàåòñÿ óñëîâèÿìè
R q R q T xT T1 2
� �� � �[ ], �,
[ ] ,q xT � �� � . (87)
Ïîëó÷åíà çàäà÷à (83)–(87), (8), ñîñòîÿùàÿ â íàõîæäåíèè ôóíêöèè
u C� �� ( )�
3
2 , ïðè êîòîðîé ïåðâàÿ êîìïîíåíòà y êëàññè÷åñêîãî ðåøåíèÿ Y y T� ( , )
êðàåâîé çàäà÷è (83)–(87) óäîâëåòâîðÿåò ðàâåíñòâó (8).
Ôóíêöèîíàë-íåâÿçêà èìååò âèä (10). Âìåñòî êëàññè÷åñêîãî ðåøåíèÿ Y y T� ( , )
êðàåâîé çàäà÷è (83)–(87) áóäåì èñïîëüçîâàòü åå îáîáùåííîå ðåøåíèå.
Îïðåäåëåíèå 14. Ïðè êàæäîì ôèêñèðîâàííîì u�� îáîáùåííûì ðåøåíèåì
êðàåâîé çàäà÷è (83)–(87) íàçûâàåòñÿ âåêòîð-ôóíêöèÿ Y y T V� �( , ) , êîòîðàÿ
� � �z z z V( , )1 2 0 óäîâëåòâîðÿåò òîæäåñòâàì
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 2 75
a y z l T z( , ) ( ; )1 1� , (88)
a T z l u z1 2 1 2( , ) ( ; )� , (89)
ãäå V v v v v W
i i� � �{ ( , ): | ( ( ))1 2 1 2
1 3
� � , [ ] , , ( ),v v v WN i
i
1 1 2 2
1
1
1� � �� �
� �
� i �1 2, ;
v2 0
2
1�
� � }, V z z z z W z W i
i i
i i0 1 2 1 2
1 3
2 2
1 1 2� � � � �{ ( , ) : ( ( )) , ( ), ,
� �
� � ; [ ]z N1 �
� 0 , z z1 2
1
1
1
20 0
� �
� �, },
a y z c y z dx r y ziklm
i k l m
lm ik s( , ) ( ) ( ) [ ][
, , ,
1
1
3
1 1� �
�
�� � �
�
s d] �
�
� ,
a T z k
T
x
z
x
dx
R R
T zij
i j j i
1 2
1
3
2
1 2
2
1
( , ) [ ][ ]
,
�
�
�
�
�
�
��
�� �
� �
d Tz d� �� � 2 2
2
2
2�
� ,
l T z f z g z c T
L iklm
i k l m
l( ; ) (
~
, ) ( , )
( )
, , ,
1 1 1
1
3
2 2
1� � �
�
��
� � m ik Nz dx pz d� �
�
( )1 12
�
� �� ,
l u z f z z u z
R
RL L1 2 2 2 2
2
1
2 2
2
2 3
2( ; ) ( , ) ( , ) ( , )
( ) ( )
� � � �
�
�
� � R
z d z d
2
2 2
� �
� � �� �� �[ ] .
Çàäà÷ó (88), (89), (10) áóäåì ðåøàòü ñ ïîìîùüþ ãðàäèåíòíûõ ìåòîäîâ (13).
Äëÿ êàæäîãî ïðèáëèæåíèÿ un ðåøåíèÿ u�� çàäà÷è (88), (89), (10) ââåäåì â ðàñ-
ñìîòðåíèå ñëåäóþùóþ ñîïðÿæåííóþ çàäà÷ó:
�
�
�
� �
�
�
� �ik
kk x
x
( )
,
1
3
0 � ,
� � � �| , ( ) , , , \
�
�
1
1 0 0 1 3
1
3
2
1
0� � � �
�
� ij j
j
n i x ,
� � �ij j
j
i n in y u f i x( ) ( ) , , ,
�
� � � � �
1
3
0 01 3 ,
[ ] , , [ ( )] , ( ) [ ],� � � � � � �N N s s sy r x� � � � �(0 0 0
0
,
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
� �
x
k
p
x
c
ii j
ij
j
iklm
i k l m
lm
, , , ,1
3
1
3
�� � ik x( ) ,� � �0 � , (90)
p k
p
x
n xij
i j j
i�1
2 0 0
1
3
�
�
�
)
*
+
+
,
-
.
.
�
�
�, cos ( , )
, �
,
k
p
x
n x
R R
p xij
i j j
i
,
cos ( , ) [ ],
�
(
�
�
�
!
"
#"
$
%
"
&"
�
�
�
1
3
1 2
1
�,
k
p
x
n x p xij
i j j
i
,
cos ( , ) ,
�
�
�
�
� � �
1
3
2
2� � , k
p
x
n x xij
i j j
i
,
cos ( , ) ,
�
�
�
�
� �
1
3
3
20 � ,
ãäå � � � �ij ijlm
l m
lmc( ) ( )
,
�
�
�
1
3
.
Îïðåäåëåíèå 15. Îáîáùåííûì ðåøåíèåì êðàåâîé çàäà÷è (90) íàçûâàåòñÿ
ôóíêöèÿ Y p V* ( , )� �� 0 , êîòîðàÿ � � �z z z V( , )1 2 0 óäîâëåòâîðÿåò ñèñòåìå òîæ-
76 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 2
äåñòâ
a z y u f zn L( , ) ( ( ) , ) ( )� �1 0 1 2 0
� � , (91)
a p z c z dxiklm
i k l m
lm ik1 2
1
3
2 0( , ) ( )
, , ,
� �
�
�� �� � �
�
.
(92)
Ðåøåíèå Y * çàäà÷è (91), (92) ñóùåñòâóåò è åäèíñòâåííî.
Çàìåíèâ â (91) ôóíêöèþ z1 ðàçíîñòüþ y u y un n( ) ( )� �1 , à â (92) z2 — ðàçíîñ-
òüþ T u T un n( ) ( )� �1 , ñ ó÷åòîì (88), (89) ïîëó÷èì
� � � � ��J u y u f y u y u u pu n n n n L n Ln
, ( ( ) , ( ) ( )) ( , )( ) (
� �0 1 2 0 2
� �3
2)
.
Ñëåäîâàòåëüíî, � �J u nn
~
� , ãäå
~
| ,
~
� �n u np J d
n
� � � ��
�
�
3
2
2
2
2 2
3
2 .
11. ÎÄÍÎÂÐÅÌÅÍÍÀß ÈÄÅÍÒÈÔÈÊÀÖÈß ÏËÎÒÍÎÑÒÈ
ÒÅÏËÎÂÎÃÎ ÏÎÒÎÊÀ È ÌÎÙÍÎÑÒÈ ÏÎÒÎÊÀ ÒÅÏËÀ ÍÀ �
Ïóñòü íà îáëàñòè � � �� �1 2 îïðåäåëåíà ñèñòåìà òåðìîóïðóãîãî ðàâíîâåñèÿ
(83) è äèôôóçèè òåïëà (84). Íà ãðàíèöå � çàäàíû êðàåâûå óñëîâèÿ
y x� ��, �
1
1,
� ij j
j
iy n g i x( ) , , , ,
�
� � � �
1
3
2
11 3 �
T x� ��0 1
2, � , (93)
i j
ij
j
ik
T
x
n x T x
,
cos ( , ) ,
�
�
�
�
� � � �
1
3
2
2� � ,
i j
ij
j
ik
T
x
n x u x x
,
cos ( , ) ( ), .
�
�
�
�
� �
1
3
1 3
2� .
Ñ÷èòàåì, ÷òî íà ó÷àñòêå � 0 2
1� � èçâåñòíû ñìåùåíèÿ, çàäàííûå ðàâåíñòâîì (8).
Íà ó÷àñòêå �, ðàçäåëÿþùåì òåëî � íà äâå ñîñòàâëÿþùèå —� �1 2, , óñëîâèÿ ñîïðÿ-
æåíèÿ çàäàíû âûðàæåíèÿìè (86) è îãðàíè÷åíèÿìè
R q R q T xT T1 2
� �� � �[ ], �,
[ ] ( ),q u x xT � �2 �. (94)
Ïîëó÷åíà çàäà÷à (83), (84), (86), (93), (94), (8), ñîñòîÿùàÿ â îïðåäåëåíèè âåêòî-
ðà u u u C C� � � �( , ) ( ) ( )1 2 3
2
� � � , ïðè êîòîðîì ïåðâàÿ êîìïîíåíòà y êëàññè÷åñêî-
ãî ðåøåíèÿ Y y T� ( , ) êðàåâîé çàäà÷è (83), (84), (86), (93), (94) óäîâëåòâîðÿåò
ðàâåíñòâó (8).
Îïðåäåëåíèå 16. Îáîáùåííûì ðåøåíèåì êðàåâîé çàäà÷è (83), (84), (86), (93),
(94) íàçûâàåòñÿ âåêòîð-ôóíêöèÿ Y y T V� �( , ) , êîòîðàÿ � � �z z z V( , )1 2 0 óäîâëåò-
âîðÿåò òîæäåñòâàì
a y z l T z( , ) ( ; )1 1� , (95)
a T z l u z1 2 1 2( , ) ( ; )� , (96)
ãäå ôîðìû a a l T( , ), ( , ), ( ; )� � � � �1 , ìíîæåñòâà V V, 0 îïðåäåëåíû â ðàçä. 10,
l u z f z z u z
R u
RL L1 2 2 2 1 2
2 2
2 2
2
2 3
2( ; ) ( , ) ( , ) ( , )
( ) ( )
� � � �
� �
1 2
2 2 2�
�� � �
R
z d u z d
� �
� �[ ] .
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 2 77
Äëÿ êàæäîãî ïðèáëèæåíèÿ un ðåøåíèÿ u�� çàäà÷è (95), (96), (10) ñîïðÿæåí-
íàÿ çàäà÷à èìååò âèä (90), à ñîîòâåòñòâóþùàÿ åé îáîáùåííàÿ — âèä (91), (92). Íà
îñíîâàíèè (91), (92) ñ ó÷åòîì (95), (96) ïîëó÷àåì
� � � � ��J u y u f y u y u u pu n n n n L n Ln
, ( ( ) , ( ) ( )) ( , )( )� �0 1 12 0 2
� ( )�3
2 �
�
�
� � �� � �R u
R R
p d u p d u p un
n n L
2 2
1 2
2 1 2
2 3
2
�
� � �
�
� �
� �[ ] ( , )
( ) n
R p R p
R R
d1 2
1 2
� ��
��
�
�.
Ñëåäîâàòåëüíî, � �J u nn
~
� , ãäå
~ ~
� �n n
i
i
�
�
{ }
1
2 ,
~
|�n p1
3
2�
�
,
~
�n
R p R p
R R
2 1 2
1 2
� �
�
�
� �
,
� � �� �J d du n nn
2 1 2
3
2 2 2
3
2
(
~
) (
~
)� � �
��
� .
Åñëè � � /C R( )�
3
2 1, òî
~
|�n p1
3
2�
�
,
~
� �
�
n
R p R p
R R
d2 1 2
1 2
� �
�
�
� �
� , � �J un
2
� �� (
~
) (
~
)� �n nd1 2
3
2 2 2
3
2�
� .
12. ÈÄÅÍÒÈÔÈÊÀÖÈß ÊÎÝÔÔÈÖÈÅÍÒÀ ÒÅÐÌÈ×ÅÑÊÎÃÎ ÑÎÏÐÎÒÈÂËÅÍÈß È
ÐÀÑÊËÈÍÈÂÀÞÙÅÃÎ ÄÀÂËÅÍÈß
Ïóñòü íà îáëàñòè � � �� �1 2 îïðåäåëåíà ñèñòåìà òåðìîóïðóãîãî ðàâíîâåñèÿ
(83) è äèôôóçèè òåïëà (84). Íà ãðàíèöå � çàäàíû êðàåâûå óñëîâèÿ (93). Ñ÷èòà-
åì, ÷òî íà ó÷àñòêå � 0 2
1� � èçâåñòíû ñìåùåíèÿ, çàäàííûå ðàâåíñòâîì (8). Íà
ó÷àñòêå �, ðàçäåëÿþùåì òåëî � íà äâå ñîñòàâëÿþùèå — � �1 2, , óñëîâèÿ ñîïðÿ-
æåíèÿ èìåþò âèä
[ ] , ( )y y uN N� � �� �
0 2 ,
[ ( )] , ( ) [ ],� � �s s sy y r y x� � �(0 , (97)
u q u q T xT T3 4
� �� � �[ ], �,
[ ] ,q xT � �� �.
Ïîëó÷åíà çàäà÷à (83), (84), (93), (97), (8), ñîñòîÿùàÿ â îïðåäåëåíèè âåêòîðà
u u C C R Ri i
� � � / / /
� � � �{ }
1
4
3
2
� ( ) ( ) ( )� � , ïðè êîòîðîì ïåðâàÿ êîìïîíåíòà y
êëàññè÷åñêîãî ðåøåíèÿ Y y T� ( , ) êðàåâîé çàäà÷è (83), (84), (93), (97) óäîâëåòâîðÿåò
ðàâåíñòâó (8), ãäå C v x v C v� � � �( ) ( ): ( ),� �{ }0 .
Îïðåäåëåíèå 17. Ïðè êàæäîì ôèêñèðîâàííîì u�� îáîáùåííûì ðåøåíèåì
êðàåâîé çàäà÷è (83), (84), (93), (97) íàçûâàåòñÿ âåêòîð-ôóíêöèÿ Y y T V� �( , ) , êîòî-
ðàÿ � � �z z z V( , )1 2 0 óäîâëåòâîðÿåò òîæäåñòâàì
a y z l u T z( , ) ( , ; )1 1� , (98)
a u T z l z1 2 1 2( ; , ) ( )� , (99)
ãäå
a y z c y z dx r y ziklm
i k l m
lm ik s( , ) ( ) ( ) [ ][
, , ,
1
1
3
1 1� �
�
�� � �
�
s d] �
�
� ,
a u T z k
T
x
z
x
dx
u u
T zij
i j j i
1 2
1
3
2
3 4
2
1
( ; , ) [ ][ ]
,
�
�
�
�
�
�
��
��
� �
� � �� ��d Tz d
�2
2
2 ,
l u T z f z g z c T
L iklm
i k l m
( , ; ) (
~
, ) ( , )
( )
, , ,
1 1 1
1
3
2 2
1� � �
�
��
� � � �
�
lm ik Nz dx u z d( )1 2 12
�
� �� ,
l u z f z z u z
u
uL L1 2 2 2 1 2
4
3
2 2
2
2 3
2( ; ) ( , ) ( , ) ( , )
( ) ( )
� � � �
�
� � �
�� � �
u
z d z d
4
2 2
� �
� � �[ ] .
78 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 2
Ïðè îïðåäåëåíèè ( )n �1 -ãî ïðèáëèæåíèÿ u
n�1
ðåøåíèÿ u�� çàäà÷è (98), (99),
(10) ââåäåì â ðàññìîòðåíèå âåêòîð-ôóíêöèþ
~
( ~,
~
)Y y T� , ÿâëÿþùóþñÿ êëàññè÷åñêèì
ðåøåíèåì êðàåâîé çàäà÷è, çàäàííîé ñèñòåìîé óðàâíåíèé
�
�
�
� � �
�
�
� ik
kk
i
y
x
f i x
( ~) ~
, , ,
1
3
1 3 � ,
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
x
k
T
x
f x
i
ij
ji j
~
,
, 1
3
� ,
~ ,y x� �� �
1
1, � ij j
j
iy n g i x( ~) , , ,
�
� � � �
1
3
2
11 3 � ,
~
,T x� ��0 1
2� ,
k
T
x
n x T xij
j
i
i j
�
�
� � � �
�
�
~
cos ( , )
~
,
, 1
3
2
2� � ,
k
T
x
n x u u xij
j
i
i j
n n
�
�
� � �
�
�
~
cos ( , ) ,
, 1
3
1 1 3
2� � ,
(100)
[ ~ ] , ( ~) ( ),y y u u xN N n n� � � � �� � �
0 2 2� ,
[ ( ~)]� s y � 0 , � �s sy r y x( � �( ~) [ ~ ], ,
u q u q T u q u q xn T n
T
n T n T3 4 3 4~ ~ [
~
] ,� � � �� � � � �� � �, [ ] ,~q x
T
� �� �,
ãäå
� � � � �ik ik iklm
l m
lm lmy T y x c y T( ~) (
~
, ~; ) ( ( ~)
~
)
,
� � �
�
�
1
3
,
q k
T u
x
n xT ij
n
j
i
i j
�
�
��
�
( )
cos ( , )
, 1
3
.
Îïðåäåëåíèå 18. Îáîáùåííûì ðåøåíèåì êðàåâîé çàäà÷è (100) íàçûâàåòñÿ
âåêòîð-ôóíêöèÿ
~
( ~,
~
)Y y T V� � , êîòîðàÿ � � �z z z V( , )1 2 0 óäîâëåòâîðÿåò òîæäåñ-
òâàì
a y z l u T z u z dn n N( ~, ) ( ,
~
; )1 1 2 12� � � �
�
�,
a u T z l u z
u q u q
u u
zn n
n T n T
n n
1 2 1 2
3 4
3 4
2( ;
~
, ) ( ; ) [� �
�
�
� �
�
� �
�
] ( , ) .
( )
d u zn L
� � �
�1 2
2 3
2 (101)
Äëÿ êàæäîãî ïðèáëèæåíèÿ un ðåøåíèÿ u�� çàäà÷è (98), (99), (10) ñîïðÿæåí-
íàÿ çàäà÷à èìååò âèä
�
�
�
� � �
�
�
� �ik
kk x
i x
( )
, , ,
1
3
0 1 3 �,
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
� �
x
k
p
x
c
ii j
ij
j
iklm
i k l m
lm
, , , ,1
3
1
3
�� � ik x( ) ,� � �0 � ,
� � � �
�
�
1
1 0 0 1 3
1
3
2
1
0� � � �
�
�, ( ) , , , \ij j
j
n i x ,
� � �ij j
j
i n in y u f i x( ) ( ( ) ), , ,
�
� � � � �
1
3
0 01 3 ,
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 2 79
p k
p
x
n x p xij
i j j
i�
�
1
2 0
1
3
2
2�
�
�
� � �
�
�, cos ( , ) ,
,
� , (102)
k
p
x
n x xij
i j j
i
,
cos ( , ) ,
�
�
�
�
� �
1
3
3
20 � ,
[ ] , ( ) ,� � � �N N x� � �0 0
0
, [ ( )] , ( ) [ ],� � � � � �s s sr x� � �(0 ,
[ ] , [ ],q q
u u
p xp p
n n
� �
�
�(0
1
1 2
�,
ãäå � � � �ik iklm
l m
lmc( ) ( )
,
�
�
�
1
3
.
Îïðåäåëåíèå 19. Îáîáùåííûì ðåøåíèåì êðàåâîé çàäà÷è (102) íàçûâàåòñÿ
âåêòîð-ôóíêöèÿ Y p V* ( , )� �� 0 , êîòîðàÿ � � �z z z V( , )1 2 0 óäîâëåòâîðÿåò òîæ-
äåñòâàì
a z y u f zn L( , ) ( ( ) , ) ( )� �1 0 1 2 0
� � ,
(103)
a u p z c z dxn iklm
i k l m
lm ik1 2
1
3
2 0( ; , ) ( )
, , ,
� �
�
�� �� � �
�
.
(104)
Íà îñíîâàíèè (103), (104) ñ ó÷åòîì (98), (99), (101) ïîëó÷àåì
� 0 � � �� �J u y u f y u y u uu n n n n L n Nn
, ( ( ) , ~( ) ( )) ( )� �0 1 22 0
2�
�
� d� �
�
�
�
�
� �
�
� �
�
�
u q u q
u u
p d u p
n T n T
n n
n L
3 4
3 4
1
2 3
2
�
�[ ] ( , )
( )
.
Ñëåäîâàòåëüíî,
� 0J u nn
~
� ,
ãäå
~ ~
� �n n
i
i
�
�
{ }
1
3 ,
~
�n p1
3
2�
�
,
~
� �
�n N
2 2� ,
~
[ ] / ( )� �
�
n T n nq p u u d3
3 4� ��� ,
~
[ ] / ( )� �
�
n T n nq p u u d4
3 4� ��� , � 0 � �� � �
�
J d du n n n
i
i
n
2 1 2
3
2 2 2 2
3
4
3
2
(
~
) (
~
) (
~
)� � � �
��
� .
Íàëè÷èå ïðèáëèæåíèÿ
~
�n ãðàäèåíòà �J un
ïîçâîëÿåò èñïîëüçîâàòü ãðàäèåíòíûå ìå-
òîäû (13) äëÿ îïðåäåëåíèè ( )n �1 -ãî ïðèáëèæåíèÿ ðåøåíèÿ u�� çàäà÷è (98), (99), (10).
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. Ñ å ð ã è å í ê î È . B . , Ä å é í å ê à Â . Ñ . Ðåøåíèå êîýôôèöèåíòíûõ îáðàòíûõ çàäà÷ òåïëî-
ïðîâîäíîñòè äëÿ ñîñòàâíîé ïëàñòèíû // Ïðîáëåìû óïðàâëåíèÿ è èíôîðìàòèêè. — 2007. — ¹ 3. —
Ñ. 21–48.
2. Ñ å ð ã è å í ê î È . B . , Ä å é í å ê à Â . Ñ . Ðåøåíèå êîìáèíèðîâàííûõ îáðàòíûõ çàäà÷ äëÿ ïàðà-
áîëè÷åñêèõ ìíîãîêîìïîíåíòíûõ ðàñïðåäåëåííûõ ñèñòåì // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. —
2007. — ¹ 5. — Ñ. 48–71.
3. Ä å é í å ê à Â . Ñ . , Ñ å ð ã è å í ê î È . Â . Îïòèìàëüíîå óïðàâëåíèå íåîäíîðîäíûìè ðàñïðåäå-
ëåííûìè ñèñòåìàìè. — Êèåâ: Íàóê. äóìêà, 2003. — 506 ñ.
4. S e r g i e n k o I . V . , D e i n e k a V . S . Optimal control of distributed systems with conjugation condi-
tions. — New York: Kluwer Añad. Publ., 2005. — 400 p.
5. Ñ å ð ã è å í ê î È . B . , Ä å é í å ê à Â . Ñ . Ðåøåíèå êîìïëåêñíûõ îáðàòíûõ çàäà÷ òåðìîóïðóãîñòè //
Ïðîáëåìû óïðàâëåíèÿ è èíôîðìàòèêè. — 2007. — ¹ 5. — Ñ. 64–87.
6. À ë è ô à í î â Î . Ì . , À ð ò þ õ è í Å . À . , Ð ó ì ÿ í ö å â Ñ . Â . Ýêñòðåìàëüíûå ìåòîäû ðåøåíèÿ
íåêîððåêòíûõ çàäà÷. — Ì.: Íàóêà, 1988. — 288 ñ.
7. Ò è ì î ø å í ê î Ñ . Ï . Êóðñ òåîðèè óïðóãîñòè. — Êèåâ: Íàóê. äóìêà, 1972. — 508 ñ.
8. Ê î â à ë å í ê î À . Ä . Îñíîâû òåðìîóïðóãîñòè. — Êèåâ: Íàóê. äóìêà, 1970. — 308 ñ.
9. Ä å é í å ê à Â . Ñ . , Ñ å ð ã è å í ê î È . Â . Àíàëèç ìíîãîêîìïîíåíòíûõ ðàñïðåäåëåííûõ ñèñòåì è
îïòèìàëüíîå óïðàâëåíèå. — Êèåâ: Íàóê. äóìêà, 2007. — 703 ñ.
10. Ñ å ð ã è å í ê î È .  . , Ä å é í å ê à  . Ñ . Ê îïðåäåëåíèþ îñåñèììåòðè÷íîãî íàïðÿæåííîãî ñîñòîÿ-
íèÿ ñîñòàâíîãî òåëà ïðè ðàñêëèíèâàþùåì äàâëåíèè // Ïðèêë. ìåõàíèêà. — 1999. — 35, ¹ 1. — Ñ.
50–57.
Ïîñòóïèëà 18.03.2009
80 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 2
|