Решение проблемы инвариантности вероятностных характеристик заведомо совместных систем случайных нелинейных уравнений над конечным коммутативным кольцом с единицей

Розглянуто один клас заздалегідь сумісних систем випадкових нелінійних рівнянь над довільним скінченним комутативним кільцем з одиницею. Досліджуються питання про межу області інваріантності і відповідно граничних факторіальних моментів числа ненульових розв’язків, відмінних від фіксованого розв’язк...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2010
Автор:	Левитская, А.А.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2010
Назва видання:	Кибернетика и системный анализ
Теми:	Кибернетика
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/45194
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Решение проблемы инвариантности вероятностных характеристик заведомо совместных систем случайных нелинейных уравнений над конечным коммутативным кольцом с единицей / А.А. Левитская // Кибернетика и системный анализ. — 2010. — № 3. — С. 28-41. — Бібліогр.: 10 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-45194
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-451942013-06-09T03:11:04Z Решение проблемы инвариантности вероятностных характеристик заведомо совместных систем случайных нелинейных уравнений над конечным коммутативным кольцом с единицей Левитская, А.А. Кибернетика Розглянуто один клас заздалегідь сумісних систем випадкових нелінійних рівнянь над довільним скінченним комутативним кільцем з одиницею. Досліджуються питання про межу області інваріантності і відповідно граничних факторіальних моментів числа ненульових розв’язків, відмінних від фіксованого розв’язку даної системи, та граничного розподілу числа таких розв’язків, а також вивчається їх геометрична структура, коли число невідомих в системі прямує до нескінченності. A class of a priory solvable system of random non-linear equations over a finite commutative ring with an unit is considered. The problems on the bounds of the invariance domains for the limit factorial moments and the limit distribution of the number of solutions which are different from fixed solution of the system respectively, and the geometrical structure of this solutions are investigated. 2010 Article Решение проблемы инвариантности вероятностных характеристик заведомо совместных систем случайных нелинейных уравнений над конечным коммутативным кольцом с единицей / А.А. Левитская // Кибернетика и системный анализ. — 2010. — № 3. — С. 28-41. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. 0023-1274 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/45194 519.21 ru Кибернетика и системный анализ Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Кибернетика Кибернетика
spellingShingle	Кибернетика Кибернетика Левитская, А.А. Решение проблемы инвариантности вероятностных характеристик заведомо совместных систем случайных нелинейных уравнений над конечным коммутативным кольцом с единицей Кибернетика и системный анализ
description	Розглянуто один клас заздалегідь сумісних систем випадкових нелінійних рівнянь над довільним скінченним комутативним кільцем з одиницею. Досліджуються питання про межу області інваріантності і відповідно граничних факторіальних моментів числа ненульових розв’язків, відмінних від фіксованого розв’язку даної системи, та граничного розподілу числа таких розв’язків, а також вивчається їх геометрична структура, коли число невідомих в системі прямує до нескінченності.
format	Article
author	Левитская, А.А.
author_facet	Левитская, А.А.
author_sort	Левитская, А.А.
title	Решение проблемы инвариантности вероятностных характеристик заведомо совместных систем случайных нелинейных уравнений над конечным коммутативным кольцом с единицей
title_short	Решение проблемы инвариантности вероятностных характеристик заведомо совместных систем случайных нелинейных уравнений над конечным коммутативным кольцом с единицей
title_full	Решение проблемы инвариантности вероятностных характеристик заведомо совместных систем случайных нелинейных уравнений над конечным коммутативным кольцом с единицей
title_fullStr	Решение проблемы инвариантности вероятностных характеристик заведомо совместных систем случайных нелинейных уравнений над конечным коммутативным кольцом с единицей
title_full_unstemmed	Решение проблемы инвариантности вероятностных характеристик заведомо совместных систем случайных нелинейных уравнений над конечным коммутативным кольцом с единицей
title_sort	решение проблемы инвариантности вероятностных характеристик заведомо совместных систем случайных нелинейных уравнений над конечным коммутативным кольцом с единицей
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2010
topic_facet	Кибернетика
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/45194
citation_txt	Решение проблемы инвариантности вероятностных характеристик заведомо совместных систем случайных нелинейных уравнений над конечным коммутативным кольцом с единицей / А.А. Левитская // Кибернетика и системный анализ. — 2010. — № 3. — С. 28-41. — Бібліогр.: 10 назв. — рос.
series	Кибернетика и системный анализ
work_keys_str_mv	AT levitskaâaa rešenieproblemyinvariantnostiveroâtnostnyhharakteristikzavedomosovmestnyhsistemslučajnyhnelinejnyhuravnenijnadkonečnymkommutativnymkolʹcomsedinicej
first_indexed	2025-07-04T03:49:33Z
last_indexed	2025-07-04T03:49:33Z
_version_	1836686742494642176
fulltext	ÓÄÊ 519.21 À.À. ËÅÂÈÒÑÊÀß ÐÅØÅÍÈÅ ÏÐÎÁËÅÌÛ ÈÍÂÀÐÈÀÍÒÍÎÑÒÈ ÂÅÐÎßÒÍÎÑÒÍÛÕ ÕÀÐÀÊÒÅÐÈÑÒÈÊ ÇÀÂÅÄÎÌÎ ÑÎÂÌÅÑÒÍÛÕ ÑÈÑÒÅÌ ÑËÓ×ÀÉÍÛÕ ÍÅËÈÍÅÉÍÛÕ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ ÍÀÄ ÊÎÍÅ×ÍÛÌ ÊÎÌÌÓÒÀÒÈÂÍÛÌ ÊÎËÜÖÎÌ Ñ ÅÄÈÍÈÖÅÉ Êëþ÷åâûå ñëîâà: ñèñòåìà ñëó÷àéíûõ íåëèíåéíûõ óðàâíåíèé íàä êîíå÷íûì êîì- ìóòàòèâíûì êîëüöîì ñ åäèíèöåé (íàä êîíå÷íûì ïîëåì), ôàêòîðèàëüíûé ìî- ìåíò ÷èñëà ðåøåíèé ñèñòåìû, ðàñïðåäåëåíèå ÷èñëà ðåøåíèé ñèñòåìû. Ïðîáëåìà èíâàðèàíòíîñòè ÿâëÿåòñÿ îäíîé èç êëþ÷åâûõ ïðîáëåì â ñîâðåìåííîé òåîðèè ñèñòåì ñëó÷àéíûõ óðàâíåíèé íàä êîíå÷íûìè àëãåáðàè÷åñêèìè ñòðóêòóðà- ìè. Ñóòü åå ñîñòîèò â óñòàíîâëåíèè îãðàíè÷åíèé íà ðàñïðåäåëåíèå êîýôôèöèåí- òîâ ñèñòåìû, êîãäà ÷èñëî íåèçâåñòíûõ â ïîñëåäíåé ñòðåìèòñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè, ïðè êîòîðûõ âåðîÿòíîñòíûå õàðàêòåðèñòèêè ñèñòåìû (ìîìåíòû, ðàñïðåäåëåíèå ÷èñëà ðåøåíèé) îñòàþòñÿ íåèçìåííûìè, íàïðèìåð, êàê â ñëó÷àå ðàâíîìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ êîýôôèöèåíòîâ. Ïåðâûå ôóíäàìåíòàëüíûå ðåçóëüòàòû, ñâÿçàííûå ñ èíâàðèàíòíîñòüþ ïðåäåëüíîãî ïîâåäåíèÿ õàðàêòåðèñòèê ñëó÷àéíûõ ëèíåéíûõ îäíîðîäíûõ ñèñòåì íàä ïîëåì GF( )2 , ïîëó÷åíû È.Í. Êîâàëåíêî â ðàáîòå [1]. Èõ ìîæíî ñ÷èòàòü îñíîâîïîëàãàþùèìè äëÿ ðàçâèòèÿ íîâîãî íàïðàâëåíèÿ â èññëåäî- âàíèè ñèñòåì ñëó÷àéíûõ óðàâíåíèé, êîòîðîå ïðèâåëî ê ñîçäàíèþ òåîðèè èíâàðè- àíòíîñòè äëÿ ñèñòåì ñëó÷àéíûõ óðàâíåíèé íàä êîíå÷íûìè àëãåáðàè÷åñêèìè ñòðóêòóðàìè. Áîëåå ïîäðîáíûé ìàòåðèàë î òåîðåòè÷åñêèõ âûâîäàõ ýòîé òåîðèè ñîäåðæèòñÿ â îáçîðå [2]. Íàñòîÿùàÿ ðàáîòà ïîñâÿùåíà ðåøåíèþ âîïðîñîâ èíâàðèàíòíîñòè äëÿ âåðîÿò- íîñòíûõ õàðàêòåðèñòèê îäíîãî êëàññà íåëèíåéíûõ ñëó÷àéíûõ ñèñòåì. Ïðåäìåòîì èçó÷åíèÿ ÿâëÿþòñÿ òàê íàçûâàåìûå çàâåäîìî ñîâìåñòíûå ñèñòåìû ñëó÷àéíûõ íåëè- íåéíûõ óðàâíåíèé íàä ïðîèçâîëüíûì êîììóòàòèâíûì êîëüöîì R ñ åäèíèöåé ìîùíîñòè \| \|R � m ñëåäóþùåãî âèäà: a x x b i n si j j j j j j nk d j ik k i k, , , 1 1 1 211 1� � �� , (1) a x x b i n si j j j j j j nk d j ik k i k, , , 1 1 1 211 1� � �� . (2) Çäåñü â êàæäîé èç ñèñòåì ai j jk, 1 � — íåçàâèñèìûå â ñîâîêóïíîñòè ñëó÷àéíûå âå- ëè÷èíû, âåêòîð-ñîëáåö b� ïðàâûõ ÷àñòåé, ò.å. b� � ��( ,... , )b bn s1 , — ðåçóëüòàò ïîäñòàíîâêè â ïðàâóþ ÷àñòü íåêîòîðîãî ôèêñèðîâàííîãî âåêòîðà x0 1 0 0� ( ,... , )x xn , d i , 2 � �d ni , i n s� �1, , — íàòóðàëüíûå ÷èñëà, s — öåëî÷èñëåííàÿ êîíñòàíòà ïðî- èçâîëüíîãî çíàêà. Â äàëüíåéøåì â öåëÿõ ñîêðàùåíèÿ çàïèñè áóäåì ïðèäåðæèâàòüñÿ îäèíàêîâûõ îáî- çíà÷åíèé äëÿ àíàëîãè÷íûõ ïîíÿòèé â ñëó÷àå êàæäîé èç äâóõ ïðèâåäåííûõ âûøå ñèñòåì. Ïóñòü � n — ÷èñëî ðåøåíèé (1) ((2)), îòëè÷íûõ îò âåêòîðà x0 1 0 0� ( ,... , )x xn . Äëÿ êàæäîé èç óêàçàííûõ ñèñòåì íóæíî óñòàíîâèòü ãðàíèöó îáëàñòè (èíâàðè- àíòíîñòè) èçìåíåíèÿ ðàñïðåäåëåíèé êîýôôèöèåíòîâ, â êîòîðîé ñîîòâåòñòâåííî ôàêòîðèàëüíûå ìîìåíòû è ðàñïðåäåëåíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû � n ïðè n áóäóò òàêèìè æå, êàê è â ñëó÷àå ðàâíîìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ êîýôôèöèåíòîâ. 28 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 3 © À.À. Ëåâèòñêàÿ, 2010 Â ðàáîòàõ À.Ì. Çóáêîâà (ðåçóëüòàòû íå îïóáëèêîâàíû), È.Í. Êîâàëåíêî [1, 3–5], Â.È. Ìàñîëà [6, 7] äëÿ ñëó÷àÿ ñèñòåìû (1) íàä ïîëåì GF( )2 ïðè îïðåäåëåííûõ îãðàíè÷åíèÿõ íà ðàñïðåäåëåíèÿ êîýôôèöèåíòîâ (1), ÷èñëî åäèíèö â âåêòîðå x0 1 0 0� ( ,... , )x xn è âåëè÷èíû d i , i n s� �1, , íà îñíîâàíèè àíàëèçà ôàêòîðèàëüíûõ ìî- ìåíòîâ � n óñòàíîâëåíî, ÷òî â ïðåäåëå ïðè n äëÿ ðàñïðåäåëåíèÿ � n èìååò ìåñ- òî çàêîí Ïóàññîíà ñ ïàðàìåòðîì 2s. Â ñòàòüÿõ [8, 9] èññëåäóþòñÿ îäíîðîäíûå íåëèíåéíûå ñèñòåìû ñëó÷àéíûõ óðàâíåíèé, ò.å. çàâåäîìî ñîâìåñòíûå ñèñòåìû, â êîòîðûõ ïðàâûå ÷àñòè bi � 0, i n s� �1, , à x0 0 0� ( ,... , ) . Òàê, â [8] óñòàíîâëåíî, ÷òî äëÿ ñèñòåìû (1), ãäå 2 � �d ni , bi � 0 , i n s� �1, , ðàññìàòðèâàåìîé íàä êîíå÷íûì ïîëåì GF( )q , óñëîâèÿ ln c n q n a z z qn n i j jk( ) ( ), ( ),� � � � � 1 1 � P GF� , (3) 1 1� � � �j j nk� , k di�1, , i n s� �1, , ãäå cn — ïðîèçâîëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, ñòðåìÿùàÿñÿ ê , êîãäà n , îïðåäåëÿþò (â äàííîé òåðìèíîëîãèè) ãðàíèöó îáëàñòè èíâàðèàíòíîñòè, â êîòî- ðîé ïðè n ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà � n ðàñïðåäåëåíà ïî çàêîíó Ïóàññîíà ñ ïàðàìåòðîì qs; êðîìå òîãî, â óêàçàííîé îáëàñòè èíâàðèàíòíîñòè îïðåäåëå- íû ïðåäåëüíûå ôàêòîðèàëüíûå ìîìåíòû lim ( ) n n r M � , r — íàòóðàëüíîå ÷èñëî, è îïèñàíà ãåîìåòðè÷åñêàÿ ñòðóêòóðà ìíîæåñòâà ðåøåíèé ñèñòåìû (1). Â [9] äî- êàçàíî, ÷òî äëÿ ñèñòåì (1), (2) íàä ïðîèçâîëüíûì êîíå÷íûì êîëüöîì ñ ëåâîé åäèíèöåé, ãäå bi � 0, i n s� �1, , è ïðè ýòîì â (2) îòñóòñòâóþò ñëàãàåìûå âèäà axk , k di� 2, , i n s� �1, , óñëîâèÿ l m l c n n a z zn n i j jk 0 0 ln ( ) ( ),,� � � � � 1 1 � P R� , (4) ãäå l0 — ÷èñëî, ðàâíîå íàèìåíüøåé èç ìîùíîñòåé íåíóëåâûõ ëåâûõ èäåàëîâ R, m — ìîùíîñòü êîëüöà R, cn òî æå, ÷òî è â (3), îïðåäåëÿþò (â äàííîé òåðìèíîëî- ãèè) ãðàíèöó îáëàñòè èíâàðèàíòíîñòè ëþáîãî ôàêòîðèàëüíîãî ìîìåíòà M( )� n r ïî- ðÿäêà r (r — íåêîòîðîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî) è ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷è- íû � n , êîãäà n . Óñòàíîâëåíî òàêæå, ÷òî â ñëó÷àå îòñóòñòâèÿ â R íåíóëåâî- ãî èäåàëà ², äëÿ êîòîðîãî ² ²� �{ }0 , äëÿ ñèñòåìû (2), ãäå d d i � , i n s� �1, , óñëîâèÿ l m l c n dn a z zn n i j jk 0 0 1 1( ) ln ( ),, , ,� � � � �� P R� , (5) 1 11� � � � �j j n k dk� , , , îïðåäåëÿþò (â äàííîé òåðìèíîëîãèè) ãðàíèöó îáëàñòè èíâàðèàíòíîñòè lim ( n n M � ) è ïðåäåëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ÷èñëà ðåøåíèé � n . Êðîìå òîãî, â êàæäîé èç îáëàñòåé èí- âàðèàíòíîñòè (4), (5) îïèñàíà ãåîìåòðè÷åñêàÿ ñòðóêòóðà ìíîæåñòâà ðåøåíèé ñèñòåì (1), (2) è óêàçàíû òèïû êîëåö (ïðîñòåéøèé èç êîòîðûõ R GF� ( )q ), êîãäà ïðè n ðàñïðåäåëåíèå ÷èñëà ðåøåíèé � n èëè ÷èñëà ðåøåíèé ñïåöèàëüíîãî âèäà, ñîñòàâëÿþ- ùåãî ÷àñòü îò îáùåãî ÷èñëà � n , ðàñïðåäåëåíî ïî çàêîíó Ïóàññîíà. Äàííàÿ ñòàòüÿ ÿâëÿåòñÿ åñòåñòâåííûì ïðîäîëæåíèåì èññëåäîâàíèé, ïðåäñòàâ- ëåííûõ â [8, 9]. Åå ðåçóëüòàòû îáîáùàþò ñîîòâåòñòâóþùèå ðåçóëüòàòû ýòèõ ðàáîò. Ïðèñòóïèì ê èçëîæåíèþ òåîðåòè÷åñêèõ âûâîäîâ íàñòîÿùåé ðàáîòû. Ââåäåì ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ: R R Rr � � �� r — âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî íàä R, ýëåìåíòàìè êîòîðîãî ÿâëÿ- þòñÿ r-ìåðíûå âåêòîðû-ñòîëáöû; ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 3 29 u � � � � � � � � � � u ur 1 � (âîçìîæíû èíäåêñû ââåðõó) — ýëåìåíò R r ; 0 — åäèíèöà àääèòèâíîé ãðóïïû R r ; I (âîçìîæíû èíäåêñû âíèçó) — íåêîòîðûé èäåàë R; I0 — ìèíèìàëüíûé ïî ìîùíîñòè íåíóëåâîé èäåàë R; I Ir r i z z z i r� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 1 1� , , , — r-ìåðíîå âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî íàä I ; I I I I1 2 1 1� � � � �� t t i i z z z i t� , , , ; I I I� � � �{ }z z z z1 2 1 2: , ; Mr (âîçìîæíû èíäåêñû ââåðõó) — íåêîòîðûé ïîäìîäóëü R r ; u u u u R1 2 1 1 1 2 1 2 1 2� � � � � �� u u u ur r r � , , ; z zu zur ru u R� � � � � � � � � � � 1 � , ; ( ) : ,M u v u v Mr r 2 � � �{ }; x � � � �( , , )x xn1 (âîçìîæíû èíäåêñû ââåðõó) — n-ìåðíûé âåêòîð, êîîðäèíàòû êîòîðîãî ÿâëÿþòñÿ ýëåìåíòàìè R; X x x r r n r n r x x x x � � � � �� 1 1 1 1 1 � � � � � � ; X x x r n r n x x x x 0 0 0 1 0 0 0 0 � � � � �� ; (0 )r n� — ìàòðèöà ðàçìåðà r n� , â êîòîðîé âñå ýëåìåíòû ðàâíû íóëþ; a Xi r i j j k d j j j j r a x x x x k i k � � � � � � � � � � � �� , 1 1 2 1 1 1 1 1 I � � � � � x x i n s j r j r k2 1 � � � � � � � � � � � � � � � � , , , ãäå îáëàñòü ñóììèðîâàíèÿ I � � � � � � � �{ }1 1j j nk â ñëó÷àå ñèñòåìû (1) è I � � � � � � � �{ }1 1j j nk äëÿ ñèñòåìû (2); N XMr r j j n j j r j j n j j r x x n x x � � � � �� : � 1 1 1 1 � � � � �� , , , ,� j j rn j nR Z M1 � � � �� , ò.å. NMr — ìíîæåñòâî ìàòðèö X r , ñòîëáöû êàæäîé èç êîòîðûõ ïîðîæäàþò ìî- äóëü Mr ; � i r( )X — èíäèêàòîð ñîáûòèÿ { }a X bi r i� � , ãäå bi i ib b� � �( ,... , ) — r-ìåð- íûé âåêòîð-ñòîëáåö, i n s� �1, ; \| \|T — ìîùíîñòü ìíîæåñòâà T; l0 0� def \| \|I ; k j x x j nr j j r u X u( ) : , ,� � � � �� 1 1� � � � � � � � � , u R� r ; 30 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 3 ò.å. k ru X( ) — ÷èñëî ñòîëáöîâ â ìàòðèöå X r , ðàâíûõ u; � �n r r i n s i rr rM MX X N X� � � � � � � � � ! ! ! ! ! ! � � ": , ( ) 1 1 . Îòìåòèì, ÷òî âñå àðèôìåòè÷åñêèå îïåðàöèè íàä ýëåìåíòàìè R r âûïîëíÿþòñÿ ïî ìîäóëþ m, òå æå îïåðàöèè íàä âåëè÷èíàìè, íå ÿâëÿþùèìèñÿ ýëåìåíòàìè R r , — îáû÷íûå îïåðàöèè â ïîëå äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë. Íå îãðàíè÷èâàÿ îáùíîñòè, óñëîâèìñÿ ñ÷èòàòü, ÷òî â âåêòîðå x0 1 0 0� ( ,... , )x xn ïîñëåäíèå k0 êîîðäèíàò ðàâíû 0, ò.å. x0 1 0 0 0� �( , ... , , ,... , )z zn k , zi �R \ 0 , i n k� �1 0, , è k k0 0 0( )x � . Êàê è â ðàáîòàõ [8, 9], âåðîÿòíîñòíûé àíàëèç ñèñòåì (1), (2) íà÷íåì ñ âû÷èñëåíèÿ ôàêòîðèàëüíûõ ìîìåíòîâ M M( ) ( ) ( )� � � �n r n n n r� � � � def 1 1� , r — íåêîòîðîå íàòó- ðàëüíîå ÷èñëî. Ìîæíî çàïèñàòü M M X X ( ) ( )� �n r i r i n s r � � � "� 1 , (6) ãäå ñóììèðîâàíèå âåäåòñÿ ïî ðàçëè÷íûì ìàòðèöàì X r , âñå ñòðîêè êîòîðûõ îò- ëè÷íû îò âåêòîðà x0 è îäíà îò äðóãîé. Ïðåîáðàçóåì ïðàâóþ ÷àñòü (6) òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû â íåé áûëè ïðåäñòàâëåíû çàäàííûå â óñëîâèè ðàññìàòðèâàåìîé çàäà÷è ïàðàìåòðû ñèñòåì (1), (2). Ýòî ïîçâî- ëèò â äàëüíåéøåì äàòü åñòåñòâåííóþ èíòåðïðåòàöèþ òåîðåòè÷åñêèõ âûâîäîâ, ïîëó- ÷åííûõ â ðåçóëüòàòå àíàëèçà M( )� n r ïðè n . Ïîñêîëüêó { }x x x R R0 � � �, n n , ïåðåïèøåì (6) â âèäå M M X X X ( ) ( )� �n r i r r i n s r � � � � � "� 0 1 P a X X a X X ( ( ) ( ))i r r i r i n s r 0 0 1 � � � � � "� � � � � � � "� P a X X a X 0 X ( ( ) ( ) )i r r i r i n s r 0 0 1 , (7) ãäå ñóììèðîâàíèå âåäåòñÿ ïî âñåì ìàòðèöàì X r , âñå ñòðîêè êîòîðûõ îòëè÷íû ìåæäó ñîáîé è îò íóëåâîãî âåêòîðà. Äëÿ âû÷èñëåíèÿ M ( )� n r èñïîëüçóåì ïîäõîä, ïðåäëîæåííûé â [9] äëÿ âû÷èñëåíèÿ ìîìåíòîâ ÷èñëà ðåøåíèé îäíîðîäíûõ ñèñòåì ñëó÷àéíûõ íåëèíåéíûõ óðàâíåíèé. Âûäåëèì èç âñåãî ìíîæåñòâà ïîäìîäóëåé ìîäóëÿ R r êëàññ Kr òàêèõ ìî- äóëåé M u u M r r�{ }1 , , \| \|� , ó ñîîòâåòñòâóþùèõ ìàòðèö , , \| \|M u u M r r� � � � � � � def def 1 � � � � � � � � � � � � � def u u u u r r r r 1 1 1 1 � � � � � \| \| \| \| M M êîòîðûõ âñå ñòðîêè ðàçëè÷íû è îòëè÷íû îò íóëåâîãî âåêòîðà. Òåïåðü ïåðåïèøåì ïðàâóþ ÷àñòü (7) â âèäå M M M X X M K M X NM K M ( ) ( )� � �n r n r r i n s r r r r rr r � � � � � �� " 0 1 � � � � �� " X NM K M P a X X a X 0 r rr r i r r i r i n s ( ( ) ( ) )0 0 1 . (8) Â [9] äëÿ ìîäóëåé èç Kr ââåäåíû ïîíÿòèÿ ðàñøèðÿåìîñòè è íåðàñøèðÿåìîñòè è äîêàçàíî îäíî óòâåðæäåíèå, ñâÿçàííîå ñ íèìè. Ïîñêîëüêó îíè âàæíû è â äàííîé ðàáîòå, öåëåñîîáðàçíî èõ íàïîìíèòü. ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 3 31 Îïðåäåëåíèå 1. Ìîäóëü M Kr r� íàçûâàåòñÿ ðàñøèðÿåìûì, åñëè ñóùåñòâóþò ýëåìåíòû u v M, � r (íå îáÿçàòåëüíî u v# ) òàêèå, ÷òî u v M� $ r . Îïðåäåëåíèå 2. Åñëè u v M� � r äëÿ âñåõ u v M, � r , òî ìîäóëü Mr íàçûâàåòñÿ íåðàñøèðÿåìûì. Ìíîæåñòâî íåðàñøèðÿåìûõ ìîäóëåé â Kr îáîçíà÷èì Kr 0 . Óòâåðæäåíèå 1. Åñëè R GF� ( )q , òî ëþáîé ñîáñòâåííûé ïîäìîäóëü M Kr r� ìîäóëÿ R GFr rq� ( ( )) ìîæåò áûòü ðàñøèðåí äî R r äëÿ ëþáîãî íàòóðàëüíîãî r. Â [8, 9] ïîñëåäíåå óòâåðæäåíèå èãðàåò êëþ÷åâóþ ðîëü ïðè îáîñíîâàíèè â ñëó- ÷àå âûïîëíåíèÿ îãðàíè÷åíèé (4) ñõîäèìîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ ÷èñëà íåíóëåâûõ ðå- øåíèé ñîîòâåòñòâóþùåé (1) îäíîðîäíîé ñèñòåìû íàä R GF� ( )q ê çàêîíó Ïóàññîíà, êîãäà n . Â [9] òàêæå ïðèâåäåí ïðèìåð, äåìîíñòðèðóþùèé, ÷òî äëÿ R GF# ( )q óòâåðæäåíèå 1 íå èìååò ìåñòà. Ñëåäóþùèå äâå ëåììû ÿâëÿþòñÿ àíàëîãàìè ëåìì 1, 2 èç ðàáîòû [9]. Ëåììà 1. Åñëè M Kr r� 0 è äëÿ êîýôôèöèåíòîâ ñèñòåì (1), (2) âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ (4), òî lim \| \| n n r s r �M MM� . Ëåììà 2. Äëÿ ëþáîãî ðàñøèðÿåìîãî ìîäóëÿ M K Kr r r� \ 0 ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèé (4) èìååò ìåñòî ñîîòíîøåíèå lim n n r �M M � 0 . Äîêàçàòåëüñòâî ëåìì 1 è 2 îïóñêàåì, ïîñêîëüêó îíè ïîëíîñòüþ ïîâòîðÿþò äî- êàçàòåëüñòâà àíàëîãè÷íûõ ëåìì â [9] ïðè óñëîâèè, ÷òî â ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå â ñîîòâåòñòâóþùèõ íåðàâåíñòâàõ âìåñòî îäíîðîäíûõ ëèíåéíûõ ñèñòåì áóäóò ôè- ãóðèðîâàòü ñîîòâåòñòâóþùèå (1), (2) îäíîðîäíûå íåëèíåéíûå ñèñòåìû. Íà îñíîâàíèè ëåìì 1, 2 ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå òåîðåìû, äîêàçàòåëüñòâî êî- òîðûõ àíàëîãè÷íû äîêàçàòåëüñòâó ñîîòâåòñòâóþùèõ òåîðåì â ðàáîòå [9]. Òåîðåìà 1. Ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèé (4) äëÿ ëþáîãî íàòóðàëüíîãî r lim ( ) \| \| n n r r s r r � � �M M M K � 0 . (9) Ñëåäñòâèå 1. Ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèé (4) äëÿ ëþáîãî íàáîðà x x0 1� ,� � , x x0 � r , îòëè÷íûõ îò x0 è îäèí îò äðóãîãî âåêòîðîâ-ðåøåíèé ñèñòåìû (1) ((2)), ñ âå- ðîÿòíîñòüþ, ñòðåìÿùåéñÿ ê 1 ïðè n , ñóùåñòâóåò ìîäóëü M Kr r� 0 òàêîé, ÷òî ñîîò- âåòñòâóþùàÿ ìàòðèöà X x x NMr r r � � � � �� 1 � è ïðè ýòîì k n r n r u X M ~( ) \| \| , u M� r . Ñëåäñòâèå 2. Ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèé (4) lim ( ) lim \| \| n n n n s % � � �M M I I R � �1 , ãäå ñóììèðîâàíèå âåäåòñÿ ïî âñåì èäåàëàì êîëüöà R , îòëè÷íûì îò íóëåâîãî. Çàìå÷àíèå. Ïîñêîëüêó äëÿ ñëó÷àÿ R GF# ( )q lim ( ) \| \| \| \| n n s s � % � # � � � � � � �� M M I M K I R � 2 2 2 2 2 0 , ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ R GF# ( )q ðàñïðåäåëåíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû � n ïðè n íå ìîæåò ñòðåìèòüñÿ ê çàêîíó Ïóàññîíà. Îäíàêî äëÿ ðåøåíèé îïðåäåëåííîãî âèäà çàêîí Ïóàññîíà èìååò ìåñòî è â ñëó÷àå R GF# ( )q . Ïðåäïîëîæèì, ÷òî â R ñóùåñòâóþò èäåàëû, èçîìîðôíûå ïîëÿì. Âûäåëèì èõ: { }I I D01 0 0, ,� t � . Îòíîñèòåëüíî òàêèõ èäåàëîâ ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå òåîðåìû, àíàëîãîì êîòîðûõ ÿâëÿþòñÿ ñîîòâåòñòâåííî òåîðåìû 2–4 â [9]. 32 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 3 Òåîðåìà 2. Åñëè âûïîëíåíû óñëîâèÿ (4), òî äëÿ ëþáîãî íàòóðàëüíîãî r lim ( ) \| \| , , n n r i rs i i t � �M II� 0 0 1 . (10) Òåîðåìà 3. Ïóñòü âûïîëíåíû óñëîâèÿ (4). Òîãäà äëÿ êàæäîãî ôèêñèðîâàííîãî i i t, ,�1 , ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà � n iI0 ïðè n ðàñïðåäåëåíà ïî çàêîíó Ïóàññîíà ñ ïàðàìåòðîì \| \|I0 i s. Òåîðåìà 4. Ïóñòü âûïîëíåíû óñëîâèÿ (4) è ïóñòü äëÿ êîëüöà R ìíîæåñòâî D0 # &. Òîãäà ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà � �n i i n s D I I D x x x N x x 0 0 0 0 1 1� � � ' � � � � � �� " def : ( ) ðàñïðåäåëåíà ïî çàêîíó Ïóàññîíà ñ ïàðàìåòðîì \| \|I0 1 i s i t � � . Ïðè ýòîì äëÿ ëþáîãî íà- áîðà x x x x0 1 0� �, ,� r , îòëè÷íûõ îäíî îò äðóãîãî è îò x0 ðåøåíèé ñèñòåìû (1) ((2)), äëÿ êîòîðîãî ìàòðèöà X x x NI Ir r i ir � � � � �� 1 0 1 0 � � , ãäå I D0 0i j � , j r�1, , r — íåêîòî- ðîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî, ñ âåðîÿòíîñòüþ, ñòðåìÿùåéñÿ ê 1, êîãäà n , èìåþò ìåñ- òî ñîîòíîøåíèÿ k n n r i j r i i j ru X I u I I( ) ~ \| \| , � � � � " 0 1 0 01 � . Âîîáùå ãîâîðÿ, îãðàíè÷åíèÿ (4) â óñëîâèÿõ òåîðåì 1–4 âûñòóïàþò â ðîëè äîñ- òàòî÷íûõ. Òåïåðü íóæíî äëÿ êàæäîé èç ñèñòåì (1), (2) óñòàíîâèòü òàêèå îãðàíè÷å- íèÿ íà ðàñïðåäåëåíèå êîýôôèöèåíòîâ, ÷òîáû îíè áûëè íå òîëüêî äîñòàòî÷íûìè, íî è íåîáõîäèìûìè äëÿ ñïðàâåäëèâîñòè óòâåðæäåíèé òåîðåì 1–4. Â öåëÿõ ñîêðàùåíèÿ çàïèñè ðåøàòü ïîñòàâëåííóþ çàäà÷ó áóäåì äëÿ ñèñòåì (1) è (2) â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî â ýòèõ ñèñòåìàõ d d i n s i � � �, ,1 . Ïóñòü äàëåå �( n — ÷èñëî ðåøåíèé ñèñòåìû (1) ((2)), îòëè÷íûõ îò x0 , ïðè ðàâ- íîìåðíîì ðàñïðåäåëåíèè åå êîýôôèöèåíòîâ è ïóñòü 0 1 � � � �� n i j ja z z k P R( ),, . (11) Äëÿ êàæäîé èç ñèñòåì (1), (2) íåîáõîäèìî îïðåäåëèòü ìèíèìàëüíîå �n â (11), ïðè êîòîðîì lim ( ) lim ( ) n n r n n r �M M� � (12) äëÿ ëþáîãî íàòóðàëüíîãî r, èëè, ÷òî òî æå ñàìîå, èìåëî áû ìåñòî ñîîòíîøåíèå (9) â òåîðåìå 1. Â îñíîâå ðåøåíèÿ ýòîé ïðîáëåìû ëåæàò óòâåðæäåíèÿ ñëåäóþùèõ òåîðåì. Òåîðåìà 5. Ïóñòü M Kr r� 0 . Äëÿ âûïîëíåíèÿ ñîîòíîøåíèÿ lim lim n n n nr r �M MM M� � (13) íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ÷èñëà ðåøåíèé âèäà X Xr r 0 � , îòëè÷íûõ îò X r 0 íà ìàòðèöó X NMr r � , â êîòîðîé íåíóëåâûå ñòîëáöû ñîñ- òàâëÿþò ìèíèìàëüíóþ ñèñòåìó îáðàçóþùèõ ìîäóëÿ Mr , ñòðåìèëîñü ê íóëþ ïðè n . Äîêàçàòåëüñòâî. Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû îñíîâûâàåòñÿ íà àíàëèçå âêëà- äîâ äâóõ òî÷åê ìàêñèìóìà X r 0 è X Xr r 0 � , ãäå â ìàòðèöå X r äëÿ ëþáîãî u M� r âåëè÷èíà k n r r u X M ( ) \| \| � � � � � � , êîòîðûå îïðåäåëÿþò çíà÷åíèå ñóììû Fn � ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 3 33 � � � � � ) � � � � " X N 0M P a X X a X 0 r r n i i i n s ( ) ( ( ) ( ) )0 0 1 ïðè n . Òàêîé àíàëèç áûë ïðî- âåäåí äëÿ ðÿäà êîíêðåòíûõ êîëåö è ìîäóëåé. Íà îñíîâàíèè ïîëó÷åííûõ ðåçóëüòà- òîâ, èìåþùèõ ñòðîãîå ìàòåìàòè÷åñêîå îáîñíîâàíèå, áûëà ñôîðìóëèðîâàíà äàííàÿ òåîðåìà. Ïîñêîëüêó ñèñòåìà îáðàçóþùèõ ìèíèìàëüíîãî ïî ìîùíîñòè íåíóëåâîãî èäåà- ëà I0 êîëüöà R ñîñòîèò èç îäíîãî ýëåìåíòà, íà îñíîâàíèè òåîðåìû 5 î÷åâèäíî ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå. Òåîðåìà 6. Äëÿ âûïîëíåíèÿ ñîîòíîøåíèÿ lim lim n n n n �M MI I� � 0 0 (14) íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ÷èñëà ðåøåíèé ñèñ- òåìû, îòëè÷íûõ îò x0 òîëüêî ïî îäíîé êîîðäèíàòå x xi i 0 � íà âåëè÷èíó xi �I0 0\ , i n�1, , ñòðåìèëîñü ê 0 ïðè n . Òåïåðü â ñèëó òåîðåì 5, 6 è ïîñêîëüêó â ëþáîì M Kr r� 0 , r 1, ìèíèìàëüíàÿ ñèñòåìà îáðàçóþùèõ íå ìåíüøå ÷åì â I0 , èñêîìîå �n îïðåäåëÿåòñÿ íà îñíîâàíèè ñëåäóþùåé òåîðåìû Òåîðåìà 7. Èñêîìîå �n â (11) ðàâíî ìèíèìàëüíîìó �n , ïðè êîòîðîì èìååò ìåñòî (14) + ( )I0 , èëè, ÷òî òî æå ñàìîå, ìèíèìàëüíîìó �n , ïðè êîòîðîì ìàòåìàòè- ÷åñêîå îæèäàíèå ÷èñëà ðåøåíèé ñèñòåìû, îòëè÷íûõ îò x0 òîëüêî ïî îäíîé êîîðäè- íàòå îò x xi i 0 � íà âåëè÷èíó xi �I0 0\ , i n�1, , ñòðåìèòñÿ ê íóëþ ïðè n + ( )I0 . Äàëåå ïîêàæåì, êàê ïðîèñõîäèò íàõîæäåíèå èñêîìîãî �n äëÿ êàæäîé èç ñèñ- òåì (1) è (2). Â öåëÿõ ñîêðàùåíèÿ çàïèñè ïðîäåìîíñòðèðóåì ýòîò ïðîöåññ íà ñëó- ÷àå, êîãäà R GF� ( )q , d di � , i n s� �1, . 1. Ñèñòåìà (1) íàä GF( )q , â êîòîðîé d di � , i n s� �1, , èìååò âèä a x xi j j j j j j nk d jk k k, 1 1 1 211 � � �� a x xi j j j j j j nk d jk k k , 1 1 1 2 0 11 0 � � � , i n s� �1, . Íà îñíîâàíèè (7) ìîæíî çàïèñàòü: M P a x x a x x � n i n s i i� � � � � � # "� 10 0 0 0( ( ) ( ) ) . Çäåñü x0 1 0 0 0 0 0� �( , , , , , )z z n k � � , zi # 0, i n k� �1 0, . Ïî îïðåäåëåíèþ âûðàæåíèå a x x a xi i( ) ( )0 0� � ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñóììó ïðîèçâåäåíèé âèäà y yj jk1 � � #� # x x j jk1 0 0� , 1 1 2� � � � �j j j nk� , k d�1, ; ïðè ýòîì ñðåäè íèõ íåíóëåâûìè ÿâëÿ- þòñÿ òîëüêî òå, â êîòîðûå âõîäÿò ëèáî òîëüêî íåíóëåâûå êîîðäèíàòû âåêòîðà x è íå âõîäÿò êîîðäèíàòû x0 , ëèáî êîîðäèíàòû èç ìíîæåñòâà ïåðâûõ ( )n k� 0 êî- îðäèíàò âåêòîðà x0 è îáÿçàòåëüíî õîòÿ áû îäíà èç íåíóëåâûõ êîîðäèíàò x . Â çàâèñèìîñòè îò âåëè÷èíû k0 â âûðàæåíèè äëÿ M� n âûäåëèì ñëåäóþùèå ÷àñòè÷íûå ñóììû: à) åñëè k0 0# , ðàññìîòðèì äâå ÷àñòè÷íûå ñóììû: ñóììó S n 1 ïî ìíîæåñòâó âåê- òîðîâ x , ó êîòîðûõ îäíà èç ïåðâûõ ( )n k� 0 êîîðäèíàò îòëè÷íà îò 0, à îñòàëüíûå ðàâíû 0 (äëÿ êàæäîãî òàêîãî x âûðàæåíèå a x x a xi i( ) ( )0 0� � ñîñòîèò èç 34 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 3 C n k i i d n k � � � � � � � 0 0 1 0 1 1min ( , ) íåíóëåâûõ ñëàãàåìûõ), è ñóììó S n 2 ïî ìíîæåñòâó âåêòîðîâ x , ó êîòîðûõ îäíà èç ïîñëåäíèõ k0 êîîðäèíàò îòëè÷íà îò íóëÿ, à îñòàëüíûå ðàâíû íóëþ (äëÿ êàæäîãî òàêîãî x âûðàæåíèå a x x a xi i( ) ( )0 0� � ñîñòîèò èç C n k i i d n k � � � � � 0 0 0 1min ( , ) íåíóëåâûõ ñëàãàåìûõ); á) åñëè k0 0� , òî â âûðàæåíèè äëÿ M� n âûäåëÿåì îäíó ÷àñòè÷íóþ ñóììó S n 1 , îïðåäåëåííóþ â ï. à). Â ñèëó ðåçóëüòàòîâ ðàáîòû [5, ãë. 9] äëÿ S n 1 è S n 2 èìåþò ìåñòî ñëåäóþùèå îöåíêè: ( )( ) ( ) min ( , ) q n k q q N n Cn k i i d n k � � � � �� 1 1 10 0 1 0 1 0 1 � � � � � � � � � N nS 1 � � � � � � � � � � � ( )( ) ( )( ) min ( , q n k q q q N n Cn k i i d n k 1 1 1 10 0 1 0 1 � 0 1� �� ) N ; ( ) ( ) min ( , ) q k q q N n Cn k i i d n k � � � �� 1 1 10 0 0 1 0 � � � N nS 2 � � � � � �� ( ) ( )( ) min ( , ) q k q q q N n Cn k i i d n k 1 1 1 10 0 0 1 0 �� N . Çàäà÷à ñîñòîèò â îïðåäåëåíèè ìèíèìàëüíîãî �n , ïðè êîòîðîì âåðõíèå è íè- æíèå îöåíêè äëÿ S n 1 è S n 2 îäíîâðåìåííî ñòðåìÿòñÿ ê 0, êîãäà n . Îäíàêî, ïî- ñêîëüêó ïðè ñòðåìëåíèè ê 0 âåðõíèõ îöåíîê íèæíèå àâòîìàòè÷åñêè ñòðåìÿòñÿ ê 0, äëÿ íàõîæäåíèÿ íåîáõîäèìîãî �n äîñòàòî÷íî ðàññìàòðèâàòü òîëüêî âåðõíèå îöåí- êè ÷àñòè÷íûõ ñóìì S n 1 è S n 2 . Íàèáîëåå ïðîñòîé âèä ýòè îöåíêè áóäóò èìåòü ïðè d n k, � 0 . Äåéñòâèòåëüíî, â ýòîì ñëó÷àå ìîæíî çàïèñàòü: S q n k q q qn N n Nn k 1 0 21 1 1 1 0 1 � � � � � �� ( )( ) ( )( )� , (15) S q k q q qn N n Nn k 2 0 21 1 1 1 0 � � � � �� ( ) ( )( )� . Îòñþäà ïîëó÷àåì ñëåäóþùèå íåðàâåíñòâà: S q n k q On n k n n k n 1 0 1 2 1 21 1 2 1 20 0� � � � � �� ( )( ) ( ) ( ) ( ) � �� N , S q k q On n k n n k n N 2 0 2 21 1 2 1 20 0� � � � �� ( ) ( ) ( ) ( ) � � . ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 3 35 Èç âèäà âåðõíåé îöåíêè âåëè÷èíû S n 1 ñëåäóåò, ÷òî îíà ïðè n ñòðåìèòñÿ ê 0, åñëè � �n n n n k c n k q n � � � �� 1 0 1 2 10 ln ( ) ( ) , ãäå cn — íåêîòîðàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, ñòðåìÿùàÿñÿ ê , êîãäà n . Ñîîòâåòñòâó- þùåå çíà÷åíèå �n äëÿ âåðõíåé îöåíêè S n 2 ðàâíî � �n n n n k c k q n � � �� 2 0 2 10 ln ( ) . Ïóñòü òåïåðü d n k� � 0 . Â ýòîì ñëó÷àå äëÿ S n 1 íåðàâåíñòâî (15) ñîõðàíÿåòñÿ, à äëÿ S n 2 ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå ñîîòíîøåíèå: S q k q q qn N n Nn k 2 0 2 11 1 1 1 0 � � � � �� ( ) ( )( )� . Èç âèäà âåðõíåé îöåíêè äëÿ S n 2 ñëåäóåò, ÷òî îíà ñòðåìèòñÿ ê 0 ïðè n òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà � �n n n n k c k q n � � �� 2 0 2 10 ln ( ) . Èòàê, ïðè d n k* � 0 èñêîìîå �n ðàâíî � � �n n n n k n n n k c n k q n c k � � � � � � � � max ln ( ) ( ) , ln ( 1 0 1 2 0 2 1 20 0 q n� � � � � � � �1) . Âûÿñíèì óñëîâèÿ, ïðè êîòîðûõ � �n n 1 2* . Óòâåðæäåíèå 2. Ïóñòü d n k* � 0 . Òîãäà, åñëè k n c n c cn n 0 2 1 2 1 4 � � � � , âåðõíèå îöåíêè äëÿ ÷àñòè÷íûõ ñóìì S n 1 è S n 2 îäíîâðåìåííî ñòðåìÿòñÿ ê 0, êîãäà n , ïðè � �n n� 1 ; â ïðîòèâíîì ñëó÷àå àíàëîãè÷íîå ïðîèñõîäèò ïðè � �n n� 2 . Äîêàçàòåëüñòâî. Óòâåðæäåíèå íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóåò èç ðåøåíèÿ íåðàâåíñòâà ln ( ) ( ) ln ( ) c n k q n c k q n n n k n n k 2 0 2 0 2 1 2 1 0 0 0 � � � � * � � . Ýòî íåðàâåíñòâî ðàâíîñèëüíî c n k kn ( )� 0 2 0 èëè k n c k n n 0 2 0 22 1 0� � � �� . Îòñþäà ïîëó÷àåì, ÷òî ïðè k n c n c cn n n 0 2 1 2 1 4 � � � � âåëè÷èíà � �n n 1 2* . Ñëåäîâàòåëüíî, åñëè k n c n c cn n n 0 2 1 2 1 4 � � � � è n , âåðõíèå îöåíêè äëÿ ÷àñòè÷íûõ ñóìì S n 1 è S n 2 ñòðåìÿòñÿ ê 0 ïðè � �n n n n k c n k q n � � � �� 1 0 1 2 10 ln ( ) ( ) ; åñëè æå k n c n c cn n n 0 2 1 2 1 4 , � � � è n , òî àíàëîãè÷íîå áóäåò ïðîèñõîäèòü, êîãäà � �n n n n k c k q n � � �� 2 0 2 10 ln ( ) , ÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü. 36 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 3 Ïóñòü òåïåðü d n k� � 0 . Òîãäà ñîîòâåòñòâóþùèå íåðàâåíñòâà äëÿ S n 1 è S n 2 èìå- þò âèä S q n k q q qn N n Cn k i i d 1 01 1 1 1 0 1 0� � � � � � � � � � � � � � � �( )( ) ( )( )� � N , S q k q q qn N n C N n k i i d 2 01 1 1 1 0 0� � � � � � � � � � � � � � �( ) ( )( )� . Êàê è â ñëó÷àå d n k* � 0 , óñòàíàâëèâàåì �n 1 è �n 2 , ïðè êîòîðûõ âåðõíèå îöåíêè äëÿ S n 1 è S n 2 , êîãäà n , ñîîòâåòñòâåííî ñòðåìÿòñÿ ê 0. Íåòðóäíî ïîêàçàòü, ÷òî â ñëó÷àå d n k� � 0 �n n n k i i d c n k C q n 1 0 1 0 0 1 � � �� ln ( ) ( ) , �n n n k i i d c k C q n 2 0 0 0 1 � �� ln ( ) . Âûÿñíèì, ïðè êàêèõ k0 ñïðàâåäëèâû íåðàâåíñòâà � �n n 1 2* è � �n n 1 2� ñîîòâåòñòâåííî. Ïîñêîëüêó C C C n i n i n i � �� 1 1, �n 2 ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå �n n n k i n k d i d c k C C 2 0 1 1 0 2 0 0 � �� ln . Óñòàíîâèì, ïðè êàêèõ k0 âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî ln ( ) lnc n k C c k C C n n k i i d n n k i i d n k � � �� 0 1 0 0 1 0 0 0 0 2 �1 d . (16) Îòñþäà ( ( )) ( )c n k c kn C C n Cn k i i d n k d n k i i� � � � � � � � � � � � 0 2 0 0 1 0 0 1 0 1 0 d � è, ñëåäîâàòåëüíî, ( ( ))c n k c kn C C n n k d n k i i d � � � � � � � � � 0 2 2 0 0 1 0 1 0 . (17) Îäíàêî, êàê âûòåêàåò èç äîêàçàòåëüñòâà óòâåðæäåíèÿ 2, c n k c kn n 2 0 2 2 0( )� � , åñëè k n c n c cn n n 0 2 1 2 1 4 * � � � . Òàêèì îáðàçîì, ïðè k n c n c cn n n 0 2 1 2 1 4 * � � � òåì áîëåå âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî (17), â ñèëó êîòîðîãî � �n n 2 1* . Êðîìå òîãî, î÷åâèäíî, åñëè k n 0 2 � , òî � �n n 1 2, . Îñòàåòñÿ âûÿñíèòü, ïðè êàêèõ k0 âûïîëíÿåòñÿ (16), åñëè èçâåñòíî, ÷òî n k n c n c cn n n 2 1 2 1 4 0 2 � � � � � . (18) Ðåøåíèå ïîñëåäíåé çàäà÷è äîñòàòî÷íî òðóäîåìêî. Ïîýòîìó äëÿ k0 , óäîâëåòâî- ðÿþùèõ íåðàâåíñòâàì (18), ïðîùå ïðîâåðÿòü âûïîëíåíèå ëèáî íåðàâåíñòâà (17), ëèáî ðàâíîñèëüíîãî íåðàâåíñòâà (16). Åñëè âûïîëíÿåòñÿ (16) ((17)), òî � �n n� 2 , â ïðîòèâíîì ñëó÷àå � �n n� 1 . Òàêèì îáðàçîì, äîêàçàíî ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå. ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 3 37 Óòâåðæäåíèå 3. Ïóñòü d n k� � 0 . Òîãäà èñêîìîå �n ïðèíèìàåò ñëåäóþùèå çíà÷åíèÿ: à) � �n n n n k i i d c k C q n � � �� 2 0 0 0 1 ln ( ) , åñëè k n c n c cn n n 0 2 1 2 1 4 * � � � ; á) � �n n n n k i i d c n k C q n � � � �� 1 0 1 0 0 1 ln ( ) ( ) , åñëè k n 0 2 � ; â) � � �n n n� max ( , )1 2 , åñëè n k n c n c cn n n 2 1 2 1 4 0 2 � � � � � . Äàëåå, èñïîëüçóÿ ëåììó 1 èç [5, § 8.3], íåòðóäíî óáåäèòüñÿ, ÷òî äëÿ ñèñòåìû (1) íàä ïðîèçâîëüíûì êîììóòàòèâíûì êîëüöîì R ñ åäèíèöåé â ñëó÷àå, êîãäà íåíó- ëåâûå êîîðäèíàòû x0 íå ÿâëÿþòñÿ äåëèòåëÿìè 0, àíàëîãîì óòâåðæäåíèé 2, 3 áóäóò ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ. Óòâåðæäåíèå 4. Ïóñòü d n k* � 0 . Òîãäà, åñëè k n c n c cn n n 0 2 1 2 1 4 � � � � , èñêî- ìîå �n n n k l m l c n k n � � � � � 0 0 0 11 2 0( ) ln ( ) , â ïðîòèâíîì ñëó÷àå �n n n k l m l c k k � � � 0 0 0 0 1 2 0( ) ln . Óòâåðæäåíèå 5. Ïóñòü d n k� � 0 . Òîãäà: à) èñêîìîå � �n n n n k i i d l m l c k C n � � � � � � 1 0 0 0 0 1 0 ( ) ln , åñëè k n c n c cn n n 0 2 1 2 1 4 * � � � ; á) èñêîìîå � �n n n n k i i d l m l c n k C n � � � � � � � 2 0 0 0 0 1 0 ( ) ln ( ) , åñëè k n 0 2 � ; â) èñêîìîå � � �n n n� max( , )1 2 , åñëè n k n c n c cn n n 2 1 2 1 4 0 2 � � � � � . 2. Ðàññìîòðèì ñèñòåìó (2) íàä ïîëåì GF( )q , â êîòîðîé d di � , i n s� �1, , a x x a x xi j j j j j j j nk d i j j jk k k k, ,1 1 1 2 1 1 11 0 � � �� j j j j nk d k k 0 11 1 2� � � � �� è ñîîòâåòñòâóþùåå åé âûðàæåíèå äëÿ M�n M P x x x x �n i i i n s a a� � � � � � # "� ( ( ) ( ) )0 0 10 0 . Çäåñü x0 òî æå, ÷òî è â ï. 1. Êàê è â ï. 1, â çàâèñèìîñòè îò âåëè÷èíû k0 â âûðàæåíèè äëÿ M�n âûäåëèì ñëåäóþùèå ÷àñòè÷íûå ñóììû: à) åñëè k0 0# , ðàññìîòðèì äâå ÷àñòè÷íûå ñóììû: ñóììó S n 1 ïî ìíîæåñòâó âåê- òîðîâ x, ó êîòîðûõ îäíà èç ïåðâûõ n k� 0 êîîðäèíàò îòëè÷íà îò 0, à îñòàëüíûå ðàâ- íû 0, è ñóììó S n 2 ïî ìíîæåñòâó âåêòîðîâ x, ó êîòîðûõ îäíà èç ïîñëåäíèõ n k� 0 êî- îðäèíàò îòëè÷íà îò 0, à îñòàëüíûå ðàâíû 0; á) åñëè k0 0� , ðàññìàòðèâàåì îäíó ñóììó S n 1 , îïðåäåëåííóþ â ï. à). Ïîäñ÷åò ÷èñëà íåíóëåâûõ ñëàãàåìûõ â âûðàæåíèè a x x a xi i( ) ( )0 0� � äëÿ ñóììû S n 1 ïðè ôèêñèðîâàííîì x . Íå îãðàíè÷èâàÿ îáùíîñòè, ïîëàãàåì, ÷òî ïåð- âàÿ êîîðäèíàòà x1 â âåêòîðå x îòëè÷íà îò 0, à îñòàëüíûå xi � 0, i n� 2, . 38 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 3 Ïîñêîëüêó â âåêòîðå x0 êîîðäèíàòû x x n k n� � � � � 0 1 0 0 0� , íåíóëåâûìè ñëàãà- åìûìè â a x x a xi i( ) ( )0 0� � â äàííîì ñëó÷àå ÿâëÿþòñÿ ñëàãàåìûå âèäà x x x xj t j t n k tn k 1 1 0 2 0 01 2 0 0( ) ( ) ( ) � � �� , ãäå j t t n k, , ,1 0 � � — öåëûå íåîòðèöàòåëüíûå ÷èñ- ëà, ïðè ýòîì 1 1� � �j t d, t t d tn k2 10 � � � �� . Ïîýòîìó âûðàæåíèå a x x a xi i( ) ( )0 0� � áóäåò èìåòü âèä a x x a xi i j j t t t j t d x x x n k ( ) ( ) ( ) ( , , , 0 0 1 1 0 1 2 0 1 0 1� � � � �� ) ( ) t n k t x n k2 0 00� � � , (19) ãäå ñóììèðîâàíèå âåäåòñÿ ïî öåëûì íåîòðèöàòåëüíûì ÷èñëàì j t t n k, , ,1 0 � � , óäîâëåòâîðÿþùèì óñëîâèÿì 1 1� � �j t d, t t t dn k2 0 � � �� . Äëÿ ïîäñ÷åòà ÷èñëà ñëàãàåìûõ â ïîñëåäíåì âûðàæåíèè äëÿ a x x a xi i( ) ( )0 0� � èñïîëüçóåì èçâåñòíóþ çàäà÷ó î âû÷èñëåíèè ÷èñëà ñïîñîáîâ, ïîñðåäñòâîì êîòîðûõ t ýëåìåíòîâ ìîæíî ðàçäåëèòü íà k ãðóïï, èç êîòîðûõ ïåðâàÿ ñîäåðæèò t1 1* ýëåìåí- òîâ, âòîðàÿ — t2 ýëåìåíòîâ è ò.ä. Î÷åâèäíî, ÷òî ÷èñëî ñëàãàåìûõ â (19) ðàâíî � � � * � � � � � � �� t t t C n kt t t t t t t d t n k n k , , , 1 1 1 01 0 1 1 0 1�� j j t � � � 1 1 � � � � * � � � 2 1 0 01 0 1 1 1 1 1 t n k n kt t t t t t t t t t t n k, , , � �� n k n k n k t t t t t t t t � � � �* � � � � �� 0 1 0 1 1 0 1 1 , , , � � d � � � � � � � � � � [( ) ( ) ]n k n kt t t d 0 0 1 1 � � � � � � � � � � � � � ( )[( ) ] ( )[( ) ]n k n k n k n k n k n k d d 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 . (20) Ïîäñ÷åò ÷èñëà íåíóëåâûõ ñëàãàåìûõ â âûðàæåíèè a x x a xi i( ) ( )0 0� � äëÿ ñóììû S n 2 ïðè ôèêñèðîâàííîì x. Íå îãðàíè÷èâàÿ îáùíîñòè, ïîëàãàåì, ÷òî â âåê- òîðå x êîîðäèíàòû x x x xn k n k n1 20 0 0� � � � � �� , à xn k� � # 0 1 0. Òîãäà a x x a xi i t t t t d n k x x n k ( ) ( ) ( ) ( ) , , 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 � � � � � �� n k n k t x n k� � � � �0 0 0 1 1 , (21) ãäå ñóììèðîâàíèå âî âòîðîé ñóììå âåäåòñÿ ïî âñåì íåîòðèöàòåëüíûì öåëûì t t n k1 10 , ,� � � , ïðè÷åì t n k� � * 0 1 1, t t tn k1 10 � � �� . Ïî ïîñòðîåíèþ âñå ñëàãàåìûå â (21) íåíóëåâûå. Òåïåðü íåòðóäíî ïîäñ÷èòàòü èõ ÷èñëî. Äåéñòâèòåëüíî, èñïîëüçóÿ çàäà÷ó î ðàçäåëåíèè t ïðåäìåòîâ íà n k� �0 1 ãðóïï, èç êîòîðûõ ïåðâàÿ ñîäåðæèò t1 ýëåìåíòîâ, âòîðàÿ — t2 è ò.ä., ïðè÷åì ïî- ñëåäíÿÿ n k� �0 1-ÿ ãðóïïà ñîäåðæèò t n k� � * 0 1 1 ýëåìåíòîâ, ìîæíî óòâåðæäàòü, ÷òî ÷èñëî ñëàãàåìûõ â ñóììå (21) ðàâíî t t t n kt t t t t t t n k n k n k , , , 1 1 1 01 0 0 1 1 0 1 �� * � � � � � � � � � � � � 1 d ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 3 39 ÷òî ñîâïàäàåò ñ ÷èñëîì íåíóëåâûõ ñëàãàåìûõ â âûðàæåíèè a x x a xi i( ) ( )0 0� � äëÿ ñóììû S n 1 . Òàêèì îáðàçîì, äîêàçàíî ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå. Óòâåðæäåíèå 6. Äëÿ ëþáîãî âåêòîðà x, ó êîòîðîãî òîëüêî îäíà íåíóëåâàÿ êî- îðäèíàòà, ÷èñëî íåíóëåâûõ ñëàãàåìûõ â ñîîòâåòñòâóþùåì âûðàæåíèè a x x a xi i( ) ( )0 0� � — âåëè÷èíà ïîñòîÿííàÿ è âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå (20). Íåòðóäíî äîêàçàòü ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå. Óòâåðæäåíèå 7. ×àñòè÷íàÿ ñóììà ïî âåêòîðàì x, ó êîòîðûõ îäíà êîîðäèíàòà íåíóëåâàÿ, à îñòàëüíûå ðàâíû 0, â âûðàæåíèè äëÿ M�n ñòðåìèòñÿ ê 0 ïðè n òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà � � n nc n q n � � ln ( )1 , ãäå � îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé (20). Äëÿ ñèñòåìû (2) íàä êîììóòàòèâíûì êîëüöîì R ñ åäèíèöåé â ñëó÷àå, êîãäà ( ) ( )I I I0 2 0 0� + è íåíóëåâûå êîîðäèíàòû âåêòîðà x0 íå ÿâëÿþòñÿ äåëèòåëÿìè 0, àíàëîãîì óòâåðæäåíèÿ 7 ÿâëÿåòñÿ ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå. Óòâåðæäåíèå 8. ×àñòè÷íàÿ ñóììà ïî âåêòîðàì x, ó êîòîðûõ îäíà êîîðäèíàòà íåíóëåâàÿ, à îñòàëüíûå ðàâíû 0, â âûðàæåíèè äëÿ M�n ñòðåìèòñÿ ê 0 ïðè n òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà � � n nl m l c n n � � 0 0 1( ) ln , ãäå � îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëàìè (20). Íà îñíîâàíèè ðåçóëüòàòîâ, ïîëó÷åííûõ â ïï. 1, 2 äëÿ ñèñòåìû (1) ((2)) íàä êîììóòàòèâíûì êîëüöîì ñ åäèíèöåé â ñëó÷àå, êîãäà ( ) ( )I I I0 2 0 0� + è íåíóëåâûå êîîðäèíàòû âåêòîðà x0 íå ÿâëÿþòñÿ äåëèòåëÿìè 0, ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå òåîðåìû. Òåîðåìà 8. Äëÿ ñèñòåìû (1) ãðàíèöåé îáëàñòè èíâàðèàíòíîñòè lim ( ) n n r M � äëÿ ëþáîãî íàòóðàëüíîãî r ÿâëÿåòñÿ âåëè÷èíà �n , îïðåäåëÿåìàÿ â óòâåðæäåíèÿõ 4, 5. Òåîðåìà 9. Äëÿ ñèñòåìû (2) ãðàíèöåé îáëàñòè èíâàðèàíòíîñòè lim ( ) n n r M � äëÿ ëþáîãî íàòóðàëüíîãî r ÿâëÿåòñÿ âåëè÷èíà �n , îïðåäåëÿåìàÿ â óòâåðæäåíèè 8. Ïîñêîëüêó äëÿ áèíîìèàëüíûõ ìîìåíòîâ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû � n âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ òåîðåìû 2 [10, ñ. 261], ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå òåîðåìû. Òåîðåìà 10. Äëÿ ñèñòåìû (1) âåëè÷èíà �n , îïðåäåëÿåìàÿ â óòâåðæäåíèè òåîðå- ìû 8, â äàííîé òåðìèíîëîãèè, ÿâëÿåòñÿ ãðàíèöåé îáëàñòè èíâàðèàíòíîñòè ïðåäåëü- íîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû � n , êîãäà n . Òåîðåìà 11. Äëÿ ñèñòåìû (2) âåëè÷èíà �n , îïðåäåëÿåìàÿ â óòâåðæäåíèè òåîðå- ìû 9, â äàííîé òåðìèíîëîãèè, ÿâëÿåòñÿ ãðàíèöåé îáëàñòè èíâàðèàíòíîñòè ïðåäåëü- íîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû � n , êîãäà n . È íàêîíåö, â ñèëó ïîëó÷åííûõ ðåçóëüòàòîâ èìååò ìåñòî ñëåäóþùàÿ òåîðåìà. Òåîðåìà 12. Óñëîâèÿ (11), â êîòîðûõ �n îïðåäåëÿåòñÿ òåîðåìàìè 8, 9, ÿâëÿþòñÿ íåîáõîäèìûìè è äîñòàòî÷íûìè äëÿ ñïðàâåäëèâîñòè òåîðåì 1–4 è èõ ñëåäñòâèé. Ñôîðìóëèðîâàííûå âûøå òåîðåìû êàñàþòñÿ îïðåäåëåííûõ âèäîâ R è x0 . Ôîðìóëèðîâêà èõ â îáùåì ñëó÷àå, ò.å. äëÿ ïðîèçâîëüíûõ R è x0 , ñëèøêîì ãðîìîç- äêà, õîòÿ äëÿ êàæäîé êîíêðåòíîé ïàðû (R, x0 ) îïðåäåëèòü èñêîìîå �n â (11) äëÿ ñèñòåì (1), (2) ñîîòâåòñòâåííî íå ïðåäñòàâëÿåò òðóäíîñòåé. Äåéñòâèòåëüíî, â ñèëó òåîðåìû 7 èñêîìîå �n ñîîòâåòñòâóåò íåêîòîðîìó íåíóëåâîìó èäåàëó I0 * ìèíèìàëü- íîé ìîùíîñòè. Ïðè ýòîì î÷åâèäíî, ÷òî I0 * äîëæåí áûòü òàêèì, ÷òîáû ÷èñëî íåíóëå- âûõ ñëàãàåìûõ â âûðàæåíèè a x x a xi i( ) ( )0 0� � , ãäå x N I 0 0 � * è â x0 âñå êîîðäèíà- òû êðîìå îäíîé ðàâíû 0, áûëî íå áîëüøå, ÷åì â àíàëîãè÷íûõ âûðàæåíèÿõ äëÿ äðó- ãèõ I0 . Òàêèì îáðàçîì, âûáîð I0 * èç ìíîæåñòâà íåíóëåâûõ èäåàëîâ I0 ïîëíîñòüþ çàâèñèò îò àëãåáðàè÷åñêèõ ñâîéñòâ êàê ñàìîãî êîëüöà R, òàê è íàáîðà íåíóëåâûõ êîîðäèíàò âåêòîðà x0 . 40 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 3 Íàïðèìåð, åñëè â R íàéäåòñÿ èäåàë I0 , äëÿ êîòîðîãî ( )I I0 2 0� è ïðè ýòîì x0 1 0 0 0 0 0� �( ... ... )z z n k òàêîé, ÷òî z yi � 0 , y�I0 , i n k� �1 0, , (22) òî óêàçàííûé I0 ñëåäóåò âûáðàòü â êà÷åñòâå I0 * . Ëåãêî ïîêàçàòü, ÷òî â ýòîì ñëó- ÷àå äëÿ ñèñòåìû (1) è äëÿ ñèñòåìû (2) èñêîìîå �n îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé (4). Åñëè ( )I I0 2 0� äëÿ ëþáîãî èäåàëà I0 è ïðè ýòîì ñóùåñòâóåò I0 , äëÿ êîòîðîãî âûïîëíÿþòñÿ ñîîòíîøåíèÿ (22), òî ïîñëåäíèé è ðàâåí I0 * . Â ýòîì ñëó÷àå äëÿ ñèñòåìû (1) èñêîìîå �n ðàâíî (4), à äëÿ ñèñòåìû (2) îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé (5). ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ 1. Ê î â à ë å í ê î È . Í . Î ïðåäåëüíîì ðàñïðåäåëåíèè ÷èñëà ðåøåíèé ñëó÷àéíîé ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé â êëàññå áóëåâûõ ôóíêöèé // Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è åå ïðèìåíåíèÿ. — 1967. — 12, âûï. 1. — Ñ. 51–61. 2. Ë å â è ò ñ ê à ÿ À . À . Ñèñòåìû ñëó÷àéíûõ óðàâíåíèé íàä êîíå÷íûìè àëãåáðàè÷åñêèìè ñòðóêòóðàìè // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. — 2005. — ¹ 4. — Ñ. 82–116. 3. Ê î â à ë å í ê î È . Í . Îá îäíîé ïðåäåëüíîé òåîðåìå äëÿ îïðåäåëèòåëåé â êëàññå áóëåâûõ ôóíêöèé // Äîêë. ÀÍ ÑÑÑÐ. — 1965. — 161, ¹ 3. — Ñ. 517–519. 4. Ê î â à ë å í ê î È . Í . Î ðàñïðåäåëåíèè äëÿ ñëó÷àéíûõ áóëåâûõ ìàòðèö // Êèáåðíåòèêà. — 1975. — ¹ 5. — Ñ. 138–152. 5. Ê î â à ë å í ê î È . Í . , Ë å â è ò ñ ê à ÿ À . À . , Ñ à â ÷ ó ê Ì . Í . Èçáðàííûå çàäà÷è âåðîÿòíîñòíîé êîìáèíàòîðèêè. — Êèåâ: Íàóê. äóìêà, 1986. — 223 ñ. 6. Ì à ñ î ë Â . È . Òåîðåìà î ïðåäåëüíîì ðàñïðåäåëåíèè ÷èñëà ëîæíûõ ðåøåíèé ñèñòåìû íåëèíåéíûõ ñëó÷àéíûõ áóëåâûõ óðàâíåíèé // Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è åå ïðèìåíåíèÿ. — 1998. — 43, âûï. 1. — Ñ. 41–56. 7. Ì à ñ î ë Â . È . Íåêîòîðûå âåðîÿòíîñòíûå ñâîéñòâà íåëèíåéíûõ ñëó÷àéíûõ áóëåâûõ óðàâíåíèé // Îáîçðåíèå ïðèêë. è ïðîìûøë. ìàòåìàòèêè. — 1998. — 5, âûï. 2. — Ñ. 252–253. 8. Ë å â è ò ñ ê à ÿ À . À . Òåîðåìû èíâàðèàíòíîñòè äëÿ îäíîãî êëàññà íåëèíåéíûõ ñèñòåì óðàâíåíèé íàä ïðîèçâîëüíûì êîíå÷íûì ïîëåì // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. — 1996. — ¹ 2. — Ñ. 103–112. 9. Ë å â è ò ñ ê à ÿ À . À . Òåîðåìû èíâàðèàíòíîñòè äëÿ îäíîãî êëàññà ñèñòåì ñëó÷àéíûõ íåëèíåéíûõ óðàâíåíèé íàä ïðîèçâîëüíûì êîíå÷íûì êîëüöîì ñ ëåâîé åäèíèöåé // Òàì æå. — 2008. — ¹ 6. — Ñ. 106–115. 10. Ñ à ÷ ê î â Â . Í . Ââåäåíèå â êîìáèíàòîðíûå ìåòîäû äèñêðåòíîé ìàòåìàòèêè. — Ì.: Íàóêà, 1982. — 384 ñ. Ïîñòóïèëà 22.12.2009 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 3 41

Репозитарії

Схожі ресурси