Оптимальная нормированная структура спроса и добавленной стоимости в продуктивной модели Леонтьева
Розв’язано задачу знаходження нормованих векторів попиту та доданої вартості, які максимізують дохід в продуктивній моделі Леонтьєва. Показано, що коли матриця Леонтьєва продуктивна та нерозкладна, то оптимальна нормована структура попиту та доданої вартості визначається додатними компонентами влас...
Збережено в:
| Дата: | 2010 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2010
|
| Назва видання: | Кибернетика и системный анализ |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/45625 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Оптимальная нормированная структура спроса и добавленной стоимости в продуктивной модели Леонтьева / П.И. Стецюк, Л.Б. Кошлай // Кибернетика и системный анализ. — 2010. — № 5. — С. 51-59. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-45625 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-456252013-06-17T03:14:36Z Оптимальная нормированная структура спроса и добавленной стоимости в продуктивной модели Леонтьева Стецюк, П.И. Кошлай, Л.Б. Системный анализ Розв’язано задачу знаходження нормованих векторів попиту та доданої вартості, які максимізують дохід в продуктивній моделі Леонтьєва. Показано, що коли матриця Леонтьєва продуктивна та нерозкладна, то оптимальна нормована структура попиту та доданої вартості визначається додатними компонентами власних векторів, що відповідають максимальним власним числам симетричних матриць. Наведено тестові розрахунки для семигалузевої матриці. The problem of finding normalized vectors of demand and added value in a productive Leontiev model is solved. These vectors maximize the national income. It is shown that if Leontiev’s matrix is productive and indecomposable, then an optimal normalized structure is determined by positive components of eigenvectors corresponding to maximal eigenvalues of some symmetric matrices. The results of test calculations for 7-branches matrixes are presented. 2010 Article Оптимальная нормированная структура спроса и добавленной стоимости в продуктивной модели Леонтьева / П.И. Стецюк, Л.Б. Кошлай // Кибернетика и системный анализ. — 2010. — № 5. — С. 51-59. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. 0023-1274 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/45625 519.8 ru Кибернетика и системный анализ Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Системный анализ Системный анализ |
| spellingShingle |
Системный анализ Системный анализ Стецюк, П.И. Кошлай, Л.Б. Оптимальная нормированная структура спроса и добавленной стоимости в продуктивной модели Леонтьева Кибернетика и системный анализ |
| description |
Розв’язано задачу знаходження нормованих векторів попиту та доданої вартості, які максимізують дохід в продуктивній моделі Леонтьєва. Показано, що коли матриця Леонтьєва продуктивна та нерозкладна, то оптимальна нормована структура попиту та доданої вартості визначається додатними компонентами власних векторів, що відповідають максимальним власним числам симетричних матриць. Наведено тестові розрахунки для семигалузевої матриці. |
| format |
Article |
| author |
Стецюк, П.И. Кошлай, Л.Б. |
| author_facet |
Стецюк, П.И. Кошлай, Л.Б. |
| author_sort |
Стецюк, П.И. |
| title |
Оптимальная нормированная структура спроса и добавленной стоимости в продуктивной модели Леонтьева |
| title_short |
Оптимальная нормированная структура спроса и добавленной стоимости в продуктивной модели Леонтьева |
| title_full |
Оптимальная нормированная структура спроса и добавленной стоимости в продуктивной модели Леонтьева |
| title_fullStr |
Оптимальная нормированная структура спроса и добавленной стоимости в продуктивной модели Леонтьева |
| title_full_unstemmed |
Оптимальная нормированная структура спроса и добавленной стоимости в продуктивной модели Леонтьева |
| title_sort |
оптимальная нормированная структура спроса и добавленной стоимости в продуктивной модели леонтьева |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| publishDate |
2010 |
| topic_facet |
Системный анализ |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/45625 |
| citation_txt |
Оптимальная нормированная структура спроса и добавленной стоимости в продуктивной модели Леонтьева / П.И. Стецюк, Л.Б. Кошлай // Кибернетика и системный анализ. — 2010. — № 5. — С. 51-59. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
| series |
Кибернетика и системный анализ |
| work_keys_str_mv |
AT stecûkpi optimalʹnaânormirovannaâstrukturasprosaidobavlennojstoimostivproduktivnojmodelileontʹeva AT košlajlb optimalʹnaânormirovannaâstrukturasprosaidobavlennojstoimostivproduktivnojmodelileontʹeva |
| first_indexed |
2025-07-04T04:27:04Z |
| last_indexed |
2025-07-04T04:27:04Z |
| _version_ |
1836689103775596544 |
| fulltext |
ÓÄÊ 519.8
Ï.È. ÑÒÅÖÞÊ, Ë.Á. ÊÎØËÀÉ
ÎÏÒÈÌÀËÜÍÀß ÍÎÐÌÈÐÎÂÀÍÍÀß ÑÒÐÓÊÒÓÐÀ ÑÏÐÎÑÀ
È ÄÎÁÀÂËÅÍÍÎÉ ÑÒÎÈÌÎÑÒÈ Â ÏÐÎÄÓÊÒÈÂÍÎÉ ÌÎÄÅËÈ
ËÅÎÍÒÜÅÂÀ1
Êëþ÷åâûå ñëîâà: ìàòðèöà Ëåîíòüåâà, ñòàòè÷åñêàÿ ìîäåëü Ëåîíòüåâà, ýêñòðå-
ìàëüíàÿ êâàäðàòè÷íàÿ çàäà÷à, ñîáñòâåííûå ÷èñëà è ñîáñòâåííûå âåêòîðû.
ÂÂÅÄÅÍÈÅ
Ñòðóêòóðíàÿ ïåðåñòðîéêà íàðÿäó ñ èíñòèòóöèîíàëüíûìè ðåôîðìàìè ÿâëÿåòñÿ
âàæíåéøèì íàïðàâëåíèåì â ïðîöåññå ðûíî÷íîé òðàíñôîðìàöèè ýêîíîìèêè.
Óäîáíûì èíñòðóìåíòàðèåì äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ ñòðóêòóðíî-òåõíîëîãè÷åñêèõ èç-
ìåíåíèé è îïðåäåëåíèÿ ïðîïîðöèé ìåæäó ñåêòîðàìè ýêîíîìèêè ÿâëÿþòñÿ ñîîò-
íîøåíèÿ Ëåîíòüåâà «çàòðàòû–âûïóñê» [1].
Äëÿ îïðåäåëåíèÿ îñíîâíûõ ìåòîäîâ óìåíüøåíèÿ ïðîèçâîäñòâåííûõ çàòðàò
â [2, 3] ïðåäëîæåíà îïòèìèçàöèîííàÿ ìåæîòðàñëåâàÿ ìîäåëü ñ ïåðåìåííûìè êîýô-
ôèöèåíòàìè ïðÿìûõ çàòðàò. Äëÿ óìåíüøåíèÿ îáùåãî ýíåðãîïîòðåáëåíèÿ â [2]
ïðåäëîæåíà ëèíåéíàÿ ìîäåëü, êîòîðàÿ òàêæå èñïîëüçóåò óðàâíåíèÿ ìåæîòðàñëåâî-
ãî áàëàíñà.  [4, 5] ïðèìåíÿåòñÿ ñòàòè÷åñêàÿ äâîéñòâåííàÿ ìîäåëü Ëåîíòüåâà äëÿ
èññëåäîâàíèÿ ñâÿçåé ìåæäó ñòðóêòóðîé òðóäà è çàðàáîòíîé ïëàòû, êîòîðûå
ÿâëÿþòñÿ íåîòúåìëåìîé ÷àñòüþ ñòðóêòóðíûõ ïðåîáðàçîâàíèé. Íàñòîÿùàÿ ñòàòüÿ
ïðîäîëæàåò èññëåäîâàíèÿ â ýòîì íàïðàâëåíèè. Çäåñü äëÿ ñòàòè÷åñêîé ìîäåëè Ëåîí-
òüåâà èññëåäóåòñÿ ñîîòíîøåíèå ìåæäó ñòðóêòóðîé ñïðîñà è ñòðóêòóðîé äîáàâëåí-
íîé ñòîèìîñòè, êîòîðûå ìîäåëèðóþòñÿ ñ ïîìîùüþ íîðìèðîâàííûõ âåêòîðà ñïðîñà
è âåêòîðà äîáàâëåííîé ñòîèìîñòè. Êðîìå òîãî, ïîñòðîåíî îïòèìàëüíîå ñîîòíîøå-
íèå ìåæäó îáåèìè ñòðóêòóðàìè ïóòåì îáúåäèíåíèÿ ïðÿìîé è äâîéñòâåííîé
ìîäåëåé Ëåîíòüåâà.
Ñòðóêòóðà ñòàòüè ñëåäóþùàÿ. Â ðàçä. 1 ðàññìîòðåíû îñíîâíûå áàëàíñîâûå ñî-
îòíîøåíèÿ â ìîäåëÿõ Ëåîíòüåâà. Â ðàçä. 2 ïðèâåäåíû ïðÿìàÿ è äâîéñòâåííàÿ ñòà-
òè÷åñêèå ìîäåëè Ëåîíòüåâà, ïðîàíàëèçèðîâàíû èõ îñíîâíûå ñâîéñòâà — ïðîäóê-
òèâíîñòü è ïðèáûëüíîñòü. Ðàññìîòðåí ïðèìåð çàäà÷è ëèíåéíîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ
íà îñíîâå ñòàòè÷åñêîé ìîäåëè Ëåîíòüåâà.  ðàçä. 3 ïðèâåäåíà çàäà÷à íåëèíåéíîãî
ïðîãðàììèðîâàíèÿ, êîòîðàÿ îáúåäèíÿåò îáå âûøåóêàçàííûå ìîäåëè Ëåîíòüåâà è
âêëþ÷àåò äâà êâàäðàòè÷íûõ îãðàíè÷åíèÿ äëÿ íîðìèðîâêè âåêòîðà ñïðîñà è âåêòîðà
äîáàâëåííîé ñòîèìîñòè. Äîêàçàíî, ÷òî äëÿ ïðîäóêòèâíîé ìàòðèöû Ëåîíòüåâà ýòà
çàäà÷à âñåãäà èìååò ðåøåíèå. Äàíû àíàëèòè÷åñêèå âûðàæåíèÿ äëÿ åãî íàõîæäåíèÿ
÷åðåç ñîáñòâåííûå âåêòîðû, êîòîðûå ñîîòâåòñòâóþò ìàêñèìàëüíûì ñîáñòâåííûì
÷èñëàì íåêîòîðûõ ñèììåòðè÷íûõ ìàòðèö. Ïîêàçàíî, ÷òî äëÿ ïðîäóêòèâíîé è íå-
ðàçëîæèìîé ìîäåëè Ëåîíòüåâà ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå, âñå êîìïîíåíòû
êîòîðîãî ïîëîæèòåëüíû. Îíî çàäàåò îïòèìàëüíîå ñîîòíîøåíèå ìåæäó íîðìèðî-
âàííûìè ñòðóêòóðîé ñïðîñà è ñòðóêòóðîé äîáàâëåííîé ñòîèìîñòè. Ïðèâåäåíû òåî-
ðåìà äëÿ íàõîæäåíèÿ ýòîãî îïòèìàëüíîãî ñîîòíîøåíèÿ è ïðèìåð åå èñïîëüçîâàíèÿ
äëÿ ñåìèîòðàñëåâîé ìàòðèöû Ëåîíòüåâà, ïîñòðîåííîé Ì.Â. Ìèõàëåâè÷åì.  çàêëþ-
÷åíèå îáñóæäàþòñÿ âîçìîæíûå ðàñøèðåíèÿ íåëèíåéíîé ìîäåëè, ðàññìîòðåííîé
â ðàçä. 3.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 5 51
1Ðàáîòà âûïîëíåíà ïðè ôèíàíñîâîé ïîääåðæêå SNSF (Øâåéöàðèÿ), ïðîåêò
No IZ73ZO_127962 «Analysis of Institutional and Technological Changes in Market and
Transition Economies on the Background of the Present Financial Crisis».
� Ï.È. Ñòåöþê, Ë.Á. Êîøëàé, 2010
ÌÀÒÐÈÖÀ ËÅÎÍÒÜÅÂÀ È ÁÀËÀÍÑÎÂÛÅ ÑÎÎÒÍÎØÅÍÈß Â ÌÎÄÅËßÕ ËÅÎÍÒÜÅÂÀ
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî â ýêîíîìèêå ñóùåñòâóåò n ÷èñòûõ îòðàñëåé (êàæäàÿ îòðàñëü ïðî-
èçâîäèò îäèí âèä ïðîäóêöèè è ðàçíûå îòðàñëè âûïóñêàþò ðàçíûå âèäû ïðîäóê-
öèè). Ïóñòü i , j — íîìåðà ýòèõ îòðàñëåé ( i j n, ,� 1 ). Îáîçíà÷èì aij âåëè÷èíó ïðÿ-
ìûõ ïðîèçâîäñòâåííûõ çàòðàò ïðîäóêöèè îòðàñëè i íà èçãîòîâëåíèå åäèíèöû ïðî-
äóêöèè îòðàñëè j. Ýòà âåëè÷èíà ìîæåò áûòü çàäàíà êàê â íàòóðàëüíîì, òàê è
â ñòîèìîñòíîì âûðàæåíèè. Ìàòðèöà A aij� íàçûâàåòñÿ ìàòðèöåé Ëåîíòüåâà (ìàò-
ðèöåé êîýôôèöèåíòîâ ïðÿìûõ çàòðàò èëè ìàòðèöåé òåõíîëîãè÷åñêèõ êîýôôèöèåí-
òîâ). Ìàòðèöà A íåñåò èíôîðìàöèþ î ñëîæèâøåéñÿ ñòðóêòóðå ìåæîòðàñëåâûõ ñâÿ-
çåé, î ñóùåñòâóþùåé òåõíîëîãèè îáùåñòâåííîãî ïðîèçâîäñòâà è ò.ä.
Ïóñòü yi è xi — êîíå÷íûé è âàëîâûé ïðîäóêòû i-é îòðàñëè ñîîòâåòñòâåííî.
Ýòè âåëè÷èíû ñâÿçàíû óðàâíåíèåì ìåæîòðàñëåâîãî áàëàíñà
x a x y i ni ij
j
n
j i�
�
� � �
1
1, , .
(1)
 ìàòðè÷íîé ôîðìå ñèñòåìà óðàâíåíèé (1) èìååò âèä
x Ax y y I A x� � � �èëè ( ) , (2)
ãäå x x xn
T� ( , , )1 � — âåêòîð âàëîâîãî ïðîäóêòà, y y yn
T� ( , , )1 � — âåêòîð êî-
íå÷íîãî ïðîäóêòà, I — åäèíè÷íàÿ ìàòðèöà ðàçìåðíîñòè n n� (çäåñü è äàëåå T —
ñèìâîë òðàíñïîíèðîâàíèÿ). Âûðàæåíèå Ax èíòåðïðåòèðóåòñÿ êàê çàòðàòû, â ðåçóëü-
òàòå ÷åãî ìîäåëü Ëåîíòüåâà íà îñíîâå (2) ïîëó÷èëà íàçâàíèå çàòðàòû–âûïóñê.
Ïóñòü pi — öåíà åäèíèöû ïðîäóêòà îòðàñëè i, ci — äîáàâëåííàÿ ñòîèìîñòü
(÷èñòûé äîõîä îò åäèíèöû âûïóñêà) â îòðàñëè i . Çàâèñèìîñòü ýòèõ âåëè÷èí ìîæíî
âûðàçèòü ÷åðåç óðàâíåíèå ìåæîòðàñëåâîãî áàëàíñà äëÿ öåí
p a p c i ni ji
j
n
j i�
�
� � �
1
1, , .
 ìàòðè÷íîé ôîðìå ñèñòåìà ýòèõ óðàâíåíèé èìååò âèä
p A p c c I A pT T� � � �èëè ( ) , (3)
ãäå p p pn
T� ( , , )1 � — âåêòîð öåí åäèíè÷íûõ ïðîäóêòîâ îòðàñëåé,
c c cn
T� ( , , )1 � — âåêòîð ÷èñòîãî äîõîäà íà åäèíèöó âûïóñêà. Çäåñü âûðàæåíèå
A pT èíòåðïðåòèðóåòñÿ êàê âåêòîð ñóììû èçäåðæåê íà åäèíèöó âûïóñêà.
Ñèñòåìà (3) íàçûâàåòñÿ äâîéñòâåííîé ê ñèñòåìå (2). Îáå ñèñòåìû ñâÿçûâàåò
ñëåäóþùåå ñîîòíîøåíèå:
p y p I A x I A p x c xT T T T T� � � � �( ) (( ) ) . (4)
Ñîîòíîøåíèÿ (2), (3) è âûòåêàþùåå èç íèõ ðàâåíñòâî (4) ïîëîæåíû â îñíîâó
òàê íàçûâàåìûõ ñòàòè÷åñêèõ ìîäåëåé Ëåîíòüåâà.
2. CÒÀÒÈ×ÅÑÊÈÅ ÌÎÄÅËÈ ËÅÎÍÒÜÅÂÀ È ÈÕ ÑÂÎÉÑÒÂÀ
Ñòàòè÷åñêàÿ ìîäåëü Ëåîíòüåâà çàòðàòû–âûïóñê èìååò ôîðìó
y I A x x� � �( ) , 0 , (5)
ãäå A — èçâåñòíàÿ ìàòðèöà Ëåîíòüåâà, y — èçâåñòíûé âåêòîð ñïðîñà, x — íåèç-
âåñòíûé âåêòîð âûïóñêà.
Íàëè÷èå íåîòðèöàòåëüíîãî ðåøåíèÿ ñèñòåìû (5) ïðè ëþáîì íåîòðèöàòåëüíîì
âåêòîðå ñïðîñà îçíà÷àåò, ÷òî ýêîíîìèêà ñîãëàñíî ìîäåëè Ëåîíòüåâà ÿâëÿåòñÿ ïðî-
52 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 5
äóêòèâíîé. Íåîòðèöàòåëüíàÿ ìàòðèöà A ïðîäóêòèâíà, åñëè ñóùåñòâóåò îáðàòíàÿ
ìàòðèöà ( )I A� �1, ñîñòîÿùàÿ òîëüêî èç íåîòðèöàòåëüíûõ ýëåìåíòîâ. Ïóñòü
� max ( )A — ìàêñèìàëüíîå ñîáñòâåííîå ÷èñëî ìàòðèöû A (÷èñëî Ôðîáåíèóñà). Îíî
âñåãäà ïîëîæèòåëüíî è íå ìåíüøå ìîäóëÿ ëþáîãî ñîáñòâåííîãî ÷èñëà ìàòðèöû A
(ñì. òåîðåìó Ôðîáåíèóñà–Ïåððîíà äëÿ ïðîèçâîëüíûõ íåîòðèöàòåëüíûõ
ìàòðèö [6]). Ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå.
Òåîðåìà 1 [6]. Ìàòðèöà A ïðîäóêòèâíà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà � max ( )A 1.
Åñëè ìàòðèöà A — ïðîäóêòèâíà, òî ïðè ëþáîì âåêòîðå y � 0 ñèñòåìà (5) èìååò
ðåøåíèå, îïðåäåëÿåìîå ïî ôîðìóëå
x I A y� � �( ) 1 .
Ìàòðèöó A I A* ( )� � �1 íàçûâàþò ìàòðèöåé ïîëíûõ çàòðàò. Åå ìîæíî ïðåäñòà-
âèòü â âèäå
A I A A* � � � �2
�
Òåîðåìà 1 îçíà÷àåò íåîáõîäèìûå è äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ ñõîäèìîñòè ðÿäà
I A A� � �2
� ê ìàòðèöå A I A* ( )� � �1.
Ñòàòè÷åñêàÿ äâîéñòâåííàÿ ìîäåëü Ëåîíòüåâà èìååò âèä
c I A p pT� � �( ) , 0 , (6)
ãäå A — èçâåñòíàÿ ìàòðèöà Ëåîíòüåâà, c — èçâåñòíûé âåêòîð äîáàâëåííîé ñòîè-
ìîñòè (÷èñòûé äîõîä îò åäèíèöû âûïóñêà), p — íåèçâåñòíûé âåêòîð öåí.
 îñíîâó ìîäåëè (6) ïîëîæåíà ñèñòåìà (3).
Åñëè ñèñòåìà (6) ïðè ëþáîì c � 0 èìååò íåîòðèöàòåëüíîå ðåøåíèå
p p pn
T� ( , ),1 � , òî äâîéñòâåííàÿ ìîäåëü Ëåîíòüåâà íàçûâàåòñÿ ïðèáûëüíîé. Èç
òåîðåìû 1 ñëåäóåò ïðèáûëüíîñòü ìîäåëè (6). Ñâîéñòâî ïðèáûëüíîñòè ýòîé ìîäåëè
ÿâëÿåòñÿ äâîéñòâåííûì ê ñâîéñòâó ïðîäóêòèâíîñòè ìîäåëè (5) â ïîíèìàíèè, ÷òî
âûïîëíåíèå îäíîãî èç íèõ îáóñëîâëèâàåò ñïðàâåäëèâîñòü äðóãîãî. Äåéñòâèòåëüíî,
åñëè íåîòðèöàòåëüíàÿ ìàòðèöà A I A* ( )� � �1 ñóùåñòâóåò, òî îòñþäà ñëåäóåò ñó-
ùåñòâîâàíèå íåîòðèöàòåëüíîé ìàòðèöû ( ) (( ) ) ( )*I A I A AT T T� � � �� �1 1 .
Ïðÿìàÿ (5) è äâîéñòâåííàÿ (6) ìîäåëè Ëåîíòüåâà ëèáî èõ àíàëîãè â âèäå íåðà-
âåíñòâ èñïîëüçóþòñÿ ïðè ðåøåíèè ðÿäà îïòèìèçàöèîííûõ çàäà÷, ïðèìåíÿåìûõ ïðè
ìîäåëèðîâàíèè ýêîíîìè÷åñêèõ ïðîöåññîâ. Òàê, íàïðèìåð, èñïîëüçóÿ çàäà÷ó ëèíåé-
íîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ (ËÏ-çàäà÷ó), ìîæíî îïðåäåëèòü, ïðè êàêîì âåêòîðå âûïóñ-
êà x ðåàëèçàöèÿ êîíå÷íîãî ïðîäóêòà y ïðèâåäåò ê ìàêñèìàëüíîìó äîõîäó ñ ó÷åòîì
íàëè÷íîãî çàïàñà � � �� ( , , )1 � m
T ïåðâè÷íûõ ðåñóðñîâ. Ïîëó÷àåì ñëåäóþùóþ
ËÏ-çàäà÷ó:
max
,x y
Tp y (7)
ïðè îãðàíè÷åíèÿõ
x Ax y� � , (8)
Bx
�, (9)
x � 0 , (10)
ãäå p — èçâåñòíûé âåêòîð öåí, B — òåõíîëîãè÷åñêàÿ ìàòðèöà ðàçìåðà m n� . Êî-
ýôôèöèåíò bkj çàäàåò êîëè÷åñòâî k-ãî ïåðâè÷íîãî ðåñóðñà (k m� 1, ,� ), íåîáõîäèìîå
äëÿ ïðîèçâîäñòâà åäèíèöû ïðîäóêöèè j-é îòðàñëè ( j n� 1, ,� ).
Öåíòðàëüíûìè â ìîäåëè (7)–(10) ÿâëÿþòñÿ íåðàâåíñòâà (9), îïðåäåëÿþùèå êî-
ëè÷åñòâî íàëè÷íîãî çàïàñà ïåðâè÷íûõ ðåñóðñîâ. Èìåííî ýòè íåðàâåíñòâà îãðàíè÷è-
âàþò ñâåðõó öåëåâóþ ôóíêöèþ (7). Îäíàêî îãðàíè÷èòü åå ìîæíî è äðóãèì ñïî-
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 5 53
ñîáîì. Íèæå ðàññìîòðèì îäíó èç òàêèõ çàäà÷ íåëèíåéíîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ [7],
êîòîðàÿ áàçèðóåòñÿ íà îáúåäèíåíèè ïðÿìîé (5) è äâîéñòâåííîé (6) ìîäåëåé Ëåîí-
òüåâà ñ ó÷åòîì ñâÿçûâàþùåãî èõ ðàâåíñòâà p y c xT T� .
3. ÝÊÑÒÐÅÌÀËÜÍÀß ÊÂÀÄÐÀÒÈ×ÍÀß ÇÀÄÀ×À Ñ ÈÑÏÎËÜÇÎÂÀÍÈÅÌ
ÎÁÅÈÕ ÌÎÄÅËÅÉ ËÅÎÍÒÜÅÂÀ È ÅÅ ÑÂÎÉÑÒÂÀ
Ïóñòü âåêòîð y � 0 çàäàåò íå êîíå÷íûé ñïðîñ, à ëèøü åãî ñòðóêòóðó. Ïîëîæèì
y � 1 , ãäå � — åâêëèäîâà íîðìà âåêòîðà. Àíàëîãè÷íî äëÿ âåêòîðà äîáàâëåí-
íîé ñòîèìîñòè c � 0 áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî c � 1. Ðàññìîòðèì çàäà÷ó íåëèíåé-
íîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ â ïîñòàíîâêå
max max
, ,p y
T
x c
Tp y c x� (11)
ïðè îãðàíè÷åíèÿõ
y I A x x y� � � �( ) , ,0 0 , (12)
c I A p p cT� � � �( ) , ,0 0 , (13)
y c� �1 1, , (14)
ãäå íåèçâåñòíûìè ÿâëÿþòñÿ êîìïîíåíòû âåêòîðîâ x y p c, , , . Çàäà÷à (11)–(14) ñî-
ñòîèò â íàõîæäåíèè òàêèõ ñîîòíîøåíèé ìåæäó ñòðóêòóðîé êîíå÷íîãî ñïðîñà è
ñòðóêòóðîé äîáàâëåííîé ñòîèìîñòè, ÷òîáû ìàêñèìóìà äîñòèãàëà òàêàÿ âåëè÷èíà,
êîòîðàÿ ñ òî÷íîñòüþ äî ìíîæèòåëÿ ðàâíÿëàñü áû çíà÷åíèþ âàëîâîãî íàöèîíàëü-
íîãî ïðîäóêòà.
Ôîðìàëüíî çàäà÷à (11)–(14) ÿâëÿåòñÿ çàäà÷åé íåëèíåéíîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ.
Íåëèíåéíû çäåñü öåëåâàÿ ôóíêöèÿ (11), âûðàæàþùàÿ ñâÿçü ìåæäó ïðÿìîé è
äâîéñòâåííîé ìîäåëÿìè Ëåîíòüåâà, è îãðàíè÷åíèÿ (14), ñâÿçàííûå ñ íîðìèðîâêàìè
âåêòîðà êîíå÷íîãî ñïðîñà è âåêòîðà äîáàâëåííîé ñòîèìîñòè. Åñëè â îãðàíè÷åíèÿõ
(14) âìåñòî íîðì âåêòîðîâ y è c èñïîëüçîâàòü êâàäðàòû ýòèõ íîðì, òî çàäà÷à
(11)–(14) ïðåîáðàçóåòñÿ â ýêñòðåìàëüíóþ êâàäðàòè÷íóþ çàäà÷ó ñ íåëèíåéíîé öåëå-
âîé ôóíêöèåé è îãðàíè÷åíèÿìè, êîòîðûå çàäàíû ëèíåéíûìè ñèñòåìàìè (12), (13) è
äâóìÿ êâàäðàòè÷íûìè ðàâåíñòâàìè: y
2
1� è c
2
1� .
Åñëè ìàòðèöà A — ïðîäóêòèâíà, òî çàäà÷à (11)–(14) âñåãäà èìååò ðåøåíèå:
x* , y* , p* , c* . Ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ òåîðåìà.
Òåîðåìà 2. Ïóñòü ìàòðèöà Ëåîíòüåâà A ïðîäóêòèâíà è åé ñîîòâåòñòâóåò ìàò-
ðèöà ïîëíûõ çàòðàò A I A* ( )� � �1. Ïóñòü � ( )* *A A AT� è � �max max( � ) ( � )A AT� —
ìàêñèìàëüíûå ñîáñòâåííûå ÷èñëà ìàòðèö �A è �AT . Ðåøåíèåì çàäà÷è (11)–(14) áó-
äóò ëèáî âåêòîðû
y A x A y c A y A y p A cT* * * * * * * * * * * *( � ), , , ( )� � � �� , (15)
ãäå �( � )A — íåîòðèöàòåëüíûé ñîáñòâåííûé âåêòîð ìàòðèöû �A, ñîîòâåòñòâóþùèé
ìàêñèìàëüíîìó ñîáñòâåííîìó ÷èñëó � max ( � )A , ëèáî âåêòîðû
c A p A c y A c A c x A yT T T T* * * * * * * * * * * *( � ), ( ) , ( ) ( ) ,/� � � �� , (16)
ãäå �( � )AT — íåîòðèöàòåëüíûé ñîáñòâåííûé âåêòîð ìàòðèöû �AT , ñîîòâåòñòâóþ-
ùèé ìàêñèìàëüíîìó ñîáñòâåííîìó ÷èñëó � max ( � )AT . Ïðè ýòîì îïòèìàëüíîå çíà-
÷åíèå öåëåâîé ôóíêöèè åäèíñòâåííî è óäîâëåòâîðÿåò ñëåäóþùèì ñîîòíîøåíèÿì:
( ) ( ) ( ) ( � ) ( � )* * * * * * *
max maxp y c x c A y A AT T T T� � � �� � . (17)
54 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 5
Äîêàçàòåëüñòâî. Äëÿ ïðîäóêòèâíîé ìàòðèöû Ëåîíòüåâà A (åé ñîîòâåòñòâóåò
� max ( )A 1) èìååì íåîòðèöàòåëüíóþ ìàòðèöó ïîëíûõ çàòðàò A I A* ( )� � �1,
âñëåäñòâèå ÷åãî êîìïîíåíòû âåêòîðà x A y� * áóäóò íåîòðèöàòåëüíûìè ïðè ëþáûõ
y � 0 , à êîìïîíåíòû âåêòîðà p A cT� ( )* áóäóò íåîòðèöàòåëüíûìè ïðè ëþáûõ
c � 0 . Ñ ó÷åòîì ýòîãî çàäà÷ó (11)–(14) äëÿ ïðîäóêòèâíîé ìàòðèöû A ìîæíî ïåðåïè-
ñàòü â âèäå
max
,
*
y c
Tc A y (18)
ïðè îãðàíè÷åíèÿõ
y yi
i
n
2
1
1 0� �
�
� , , (19)
c ci
i
n
2
1
1 0� �
�
� , .
(20)
Çäåñü îãðàíè÷åíèÿ (14) ïåðåôîðìóëèðîâàíû â âèäå äâóõ êâàäðàòè÷íûõ ðàâåíñòâ.
Ðåøåíèåì çàäà÷è (18)–(20) åñòü ëèáî ðåøåíèå (i), ëèáî ðåøåíèå (ii):
(i) âåêòîðû y A* ( � )� � è c A y A y* * * * *� , ãäå �( � )A — íåîòðèöàòåëüíûé
ñîáñòâåííûé âåêòîð ìàòðèöû �A, cîîòâåòñòâóþùèé ìàêñèìàëüíîìó ñîáñòâåííîìó
÷èñëó � max ( � )A ;
(ii) âåêòîðû c AT* ( � )� � è y A c A cT T* * * * *( ) ( )� , ãäå �( � )AT — íåîòðè-
öàòåëüíûé ñîáñòâåííûé âåêòîð ìàòðèöû �AT , cîîòâåòñòâóþùèé ìàêñèìàëüíîìó
ñîáñòâåííîìó ÷èñëó � max ( � )AT .
Äîêàæåì ñíà÷àëà ðåøåíèå (i). Åñëè â çàäà÷å (18)–(20) èñêëþ÷èòü òðåáîâàíèÿ
íà íåîòðèöàòåëüíîñòü êîìïîíåò âåêòîðîâ y è p, òî òîãäà åå àíàëîã ìîæíî çàïèñàòü
â âèäå
max max ( )
,
*
c y
T
y
c A y y�
�1
� , (21)
ãäå �( )y — ðåøåíèå ïîäçàäà÷è ïðè ôèêñèðîâàííîì y ,
�( ) max *y c A y
c
T� (22)
ïðè îãðàíè÷åíèè
ci
i
n
2
1
1
�
� � . (23)
Ïóñòü u — ìíîæèòåëü Ëàãðàíæà, ñîîòâåòñòâóþùèé îãðàíè÷åíèþ (23).
Ôóíêöèÿ Ëàãðàíæà äëÿ çàäà÷è (22), (23) èìååò ñëåäóþùèé âèä:
L c u c A y u cT
i
i
n
( , ) *� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�1 2
1
.
Èç óñëîâèÿ
�
�
�
L c u
c
( , )
0 íàõîäèì
A y uc u* ( )� �2 0 ,
îòêóäà èìååì
c u
u
A y( ) *�
1
2
. (24)
 ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåì
�( ) ( ( ), ) *u L c u u
u
A y u� � �
1
4
2
.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 5 55
Ôóíêöèÿ �( )u ïðè u A y* *�
1
2
äîñòèãàåò ìèíèìóìà � �* * *( )� �u A y . Èç
(24) îïðåäåëÿåì âåêòîð
c y c u A y A y* * * *( ) ( ) /� � , (25)
ïðè êîòîðîì �( ) *y A y� . Ñëåäîâàòåëüíî,
max ( ) max max ( ) max �* * *
y y y
T T
y
Ty A y y A A y y A y
� � � �
� � �
1 1 1 1
� . (26)
Ñ ó÷åòîì òîãî, ÷òî
� max ( � ) max �A y A y
y
T�
�1
,
ðåøåíèåì çàäà÷è (26) áóäåò ñîáñòâåííûé âåêòîð ìàòðèöû �A, êîòîðûé ñîîò-
âåòñòâóåò åå ìàêñèìàëüíîìó ñîáñòâåííîìó ÷èñëó � max ( � )A , ò.å. y A* ( � )� � . Ïîëî-
æèòåëüíîñòü � max ( � )A âûòåêàåò èç îïðåäåëåíèÿ ìàòðèöû �A. Ñëåäîâàòåëüíî, ðå-
øåíèåì çàäà÷è (21)–(23) áóäóò âåêòîð y A* ( � )� � è âåêòîð c A y A y* * * * */� ,
êîòîðûé âû÷èñëåí ñîãëàñíî (25). Ýòî çàâåðøàåò äîêàçàòåëüñòâî ïóíêòà (i).
Ïîñêîëüêó ìàòðèöà �A — íåîòðèöàòåëüíàÿ, òî ñîãëàñíî òåîðåìå Ôðîáåíèóñà–Ïåð-
ðîíà äëÿ ïðîèçâîëüíèõ íåîòðèöàòåëüíûõ ìàòðèö [6] ñóùåñòâóåò íåîòðèöàòåëüíûé ñî-
áñòâåííûé âåêòîð �( � )A , ñîîòâåòñòâóþùèé ÷èñëó � max ( � )A . Ýòî îçíà÷àåò íåîòðèöà-
òåëüíîñòü âåêòîðà y* . Íåîòðèöàòåëüíîñòü âåêòîðà c A y A y* * * * */� ñëåäóåò èç íå-
îòðèöàòåëüíîñòè ìàòðèöû A * è âåêòîðà y* . Ýòî äàåò ñîîòíîøåíèÿ äëÿ âåêòîðîâ y* è
c* â (15). Ñîîòíîøåíèÿ äëÿ íåîòðèöàòåëüíûõ âåêòîðîâ x* è p* â (15) ñëåäóþò èç
íåîòðèöàòåëüíîñòè ìàòðèöû A * è ôîðìóë ðàñ÷åòà äëÿ íèõ x A y* * *� è p A c* * *� ,
÷òî çàâåðøàåò âûâîä âñåõ ñîîòíîøåíèé â (15) íà îñíîâå ïóíêòà (i).
Àíàëîãè÷íî ìîæíî îáîñíîâàòü è ôîðìóëû (16) íà îñíîâå óñëîâèÿ (ii). Çäåñü
ñîîòâåòñòâóþùàÿ çàäà÷à èìååò âèä
max max ( )
,
*
c y
T
c
c A y c�
�1
� ,
ãäå �( )c — ðåøåíèå ñëåäóþùåé ïîäçàäà÷è ïðè ôèêñèðîâàííîì c :
�( ) max *c c A y
y
T� (27)
ïðè îãðàíè÷åíèè
yi
i
n
2
1
1
�
� � . (28)
Äëÿ çàäà÷è (27), (28) èìååì ðåøåíèå
y c A c A cT T* * *( ) ( ) ( )/� , (29)
ïðè êîòîðîì �( ) ( )*c A cT� . Ñëåäîâàòåëüíî,
max ( ) max ( ) max �* *
c c
T T
c
T Tc c A A c c A c
� � �
� �
1 1 1
� . (30)
Äëÿ çàäà÷è (30) ðåøåíèåì c* áóäåò ñîáñòâåííûé âåêòîð �( � )AT ìàòðèöû �AT ,
ñîîòâåòñòâóþùèé åå ìàêñèìàëüíîìó ñîáñòâåííîìó ÷èñëó � max ( � )AT . Ó÷èòûâàÿ,
÷òî ìàòðèöà �AT — íåîòðèöàòåëüíàÿ, òî äëÿ ÷èñëà � max ( � )AT òàêîé íåîòðèöàòåëü-
56 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 5
íûé ñîáñòâåííûé âåêòîð ñóùåñòâóåò ñîãëàñíî òåîðåìå Ôðîáåíèóñà–Ïåððîíà äëÿ
ïðîèçâîëüíèõ íåîòðèöàòåëüíûõ ìàòðèö. Ýòî ãàðàíòèðóåò íåîòðèöàòåëüíîñòü âåêòî-
ðà c* . Íåîòðèöàòåëüíîñòü âåêòîðà y A c A cT T* * * * *( ) ( )/� , ïîëó÷åííîãî ñîãëàñ-
íî (29), î÷åâèäíà â ñèëó íåîòðèöàòåëüíîñòè ìàòðèöû �AT è âåêòîðà c AT* ( � )� � .
Ýòî çàäàåò ñîîòíîøåíèÿ äëÿ âåêòîðîâ y* è c* â (16). Ñîîòíîøåíèÿ äëÿ âåêòîðîâ
x* è p* â (16) ñëåäóþò èç íåîòðèöàòåëüíîñòè ìàòðèöû A * è ôîðìóë ðàñ÷åòà äëÿ
íèõ x A y* * *� è p A c* * *� , ÷òî çàâåðøàåò âûâîä âñåõ ñîîòíîøåíèé â (16) íà
îñíîâå ïóíêòà (ii).
Âûïîëíåíèå ðàâåíñòâ â (17) ñëåäóåò èç öåïî÷êè ñëåäóþùèõ ðàâåíñòâ:
( ) (( ) ) ( ) , ( ) ( )* * * * * * * * * * * * *p y A c y c A y c x c A yT T T T T T� � � ,
( ) max ( ) max � ( � )* * *
maxc A y y y Ay AT
y y
T� � �
� �1 1
� � ,
( ) max ( ) max � ( � )* * *
maxc A y c c A c AT
c c
T T T� � �
� �1 1
� � .
Òåîðåìà äîêàçàíà.
Èç òåîðåìû 2 âûòåêàþò äâà ñëåäñòâèÿ.
Ñëåäñòâèå 1. Åñëè ìàòðèöà Ëåîíòüåâà A ïðîäóêòèâíà è ìàêñèìàëüíîå
ñîáñòâåííîå ÷èñëî ìàòðèöû �A — åäèíñòâåííîå, òî çàäà÷à (11)–(14) èìååò
åäèíñòâåííîå ðåøåíèå x* , y* , p* è c* , êîòîðîå ìîæåò áûòü âû÷èñëåíî ëèáî ñî-
ãëàñíî (15), ëèáî ñîãëàñíî (16).
Ïðèâåäåííîå äàëåå ñëåäñòâèå ñâÿçàíî ñî ñâîéñòâîì íåðàçëîæèìîñòè íåîòðèöà-
òåëüíûõ ( )n n� -ìàòðèö. Ìàòðèöà A íàçûâàåòñÿ íåðàçëîæèìîé, åñëè îäíîâðåìåííîé
ïåðåñòàíîâêîé ñòðîê è ñòîëáöîâ åå íåëüçÿ ïðèâåñòè ê âèäó
A
A A
A
�
�
�
�
�
�
�
1 2
30
,
ãäå A1 è A3 — êâàäðàòíûå ïîäìàòðèöû ðàçìåðà k k� è ( ) ( )n k n k� � � . Ñâîéñòâî
íåðàçëîæèìîñòè ìàòðèöû A ãàðàíòèðóåò íåðàçëîæèìîñòü ñèììåòðè÷íîé ìàòðèöû �A.
Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî åå íåëüçÿ ïðåäñòàâèòü â âèäå
�
�
�
,A
A
A
�
�
�
�
�
�
�
1
3
0
0
ãäå �A1 è �A3 — êâàäðàòíûå ïîäìàòðèöû ðàçìåðà k k� è ( ) ( )n k n k� � � .
Èç òåîðåìû Ôðîáåíèóñà–Ïåððîíà äëÿ íåîòðèöàòåëüíûõ è íåðàçëîæèìûõ ìàòðèö
[6] ñëåäóåò, ÷òî ÷èñëó � max ( � )A ñîîòâåòñòâóåò åäèíñòâåííûé ñîáñòâåííûé âåêòîð ìàò-
ðèöû �A, âñå êîìïîíåíòû êîòîðîãî ïîëîæèòåëüíû. Ïîýòîìó åñëè â êà÷åñòâå ñîáñòâåí-
íîãî âåêòîðà ìàòðèöû �A èñïîëüçîâàòü èìåííî ýòîò âåêòîð, òî âñå îñòàëüíûå âåêòîðû
èç (15) òàêæå áóäóò ïîëîæèòåëüíûìè â ñèëó òîãî, ÷òî â ìàòðèöàõ A * è ( )*A T îòñóò-
ñòâóþò íóëåâûå ñòðîêè. Àíàëîãè÷íàÿ ñèòóàöèÿ èìååò ìåñòî è äëÿ ìàòðèöû �AT , ò.å. åå
ìàêñèìàëüíîìó ñîáñòâåííîìó ÷èñëó ñîîòâåòñòâóåò åäèíñòâåííûé ñîáñòâåííûé âåêòîð,
âñå êîìïîíåíòû êîòîðîãî ïîëîæèòåëüíû. Ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå.
Ñëåäñòâèå 2. Åñëè ìàòðèöà Ëåîíòüåâà A ïðîäóêòèâíà è íåðàçëîæèìà, òî çàäà-
÷å (11)–(14) ñîîòâåòñòâóåò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå, âñå êîìïîíåíòû êîòîðîãî ïîëî-
æèòåëüíû. Ýòî ðåøåíèå èìååò âèä
y A x A y c A p A cT T* * * * * * * *( � ), , ( � ) , ( ) ,� � � �� �
ãäå �( � )A è �( � )AT — ïîëîæèòåëüíûå ñîáñòâåííûå âåêòîðû ìàòðèö �A è �AT , ñîîò-
âåòñòâóþùèå èõ ìàêñèìàëüíûì ñîáñòâåííûì ÷èñëàì � max ( � )A è � max ( � )AT .
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 5 57
Íàçîâåì ýòî ðåøåíèå îïòèìàëüíûì ñîîòíîøåíèåì ìåæäó ñòðóêòóðîé ñïðîñà è
ñòðóêòóðîé äîáàâëåííîé ñòîèìîñòè äëÿ ìàòðèöû Ëåîíòüåâà A. Çäåñü îïòèìàëüíóþ
ñòðóêòóðó ñïðîñà îïðåäåëÿþò êîìïîíåíòû ñîáñòâåííîãî âåêòîðà �( � )A , à îïòèìàëü-
íóþ ñòðóêòóðó äîáàâëåííîé ñòîèìîñòè — êîìïîíåíòû ñîáñòâåííîãî âåêòîðà
�( � )AT . Îïòèìàëüíîå çíà÷åíèå öåëåâîé ôóíêöèè â çàäà÷å (11)–(14) ðàâíî
� max ( � )A , èëè, ÷òî òî æå ñàìîå, � max ( � )AT .
Îäíàêî íàëè÷èå åäèíñòâåííîãî ðåøåíèÿ â ñëåäñòâèè 2 åùå íå îçíà÷àåò, ÷òî ýòî
ðåøåíèå ëåãêî íàéòè. Êàê ïðàâèëî, â ñëó÷àå âûñîêîé êðàòíîñòè ìàêñèìàëüíîãî ñî-
áñòâåííîãî ÷èñëà íàõîæäåíèå òàêîãî âåêòîðà ïðîáëåìàòè÷íî. Íèæå ïðèâåäåíà òåîðå-
ìà, ïîçâîëÿþùàÿ óïðîñòèòü íàõîæäåíèå òàêîãî îïòèìàëüíîãî ñîîòíîøåíèÿ.
Òåîðåìà 3. Åñëè ìàòðèöà Ëåîíòüåâà A ïðîäóêòèâíà è íåðàçëîæèìà è çíà÷åíèå
� max ( � )A — åäèíñòâåííîå, òî òîãäà çàäà÷à (11)–(14) èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå,
âñå êîìïîíåíòû êîòîðîãî ïîëîæèòåëüíû. Ýòî ðåøåíèå îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèì
îáðàçîì:
y A c A y A y* * * * * *( � ), | | | |/� �� , x A c p A y*
max
* *
max
*( � ) , ( � )� �� � , (31)
ãäå �( � )A — íåîòðèöàòåëüíûé ñîáñòâåííûé âåêòîð ìàòðèöû �A, ñîîòâåòñòâóþùèé
ìàêñèìàëüíîìó ñîáñòâåííîìó ÷èñëó � max ( � )A . Ðåøåíèþ (31) îòâå÷àåò îïòèìàëü-
íîå çíà÷åíèå öåëåâîé ôóíêöèè, ðàâíîå � max ( � )A .
Íà îñíîâå òåîðåìû 3 ìîæíî ïîñòðîèòü àëãîðèòì, êîòîðûé ñ ïîìîùüþ èç-
âåñòíûõ ïðîöåäóð íàõîæäåíèÿ ñîáñòâåííûõ ÷èñåë è ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ ñèì-
ìåòðè÷íûõ ìàòðèö ïîçâîëÿåò îïðåäåëèòü îïòèìàëüíîå ñîîòíîøåíèå ìåæäó ñòðóê-
òóðîé ñïðîñà è ñòðóêòóðîé äîáàâëåííîé ñòîèìîñòè. Ðåàëèçàöèÿ òàêîãî àëãîðèòìà
ïðåäïîëàãàåò ñëåäóþùåå: åñëè åäèíñòâåííîìó ìàêñèìàëüíîìó ñîáñòâåííîìó
÷èñëó ñîîòâåòñòâóåò ñîáñòâåííûé âåêòîð, ó êîòîðîãî âñå êîìïîíåíòû îòðèöàòåëü-
íû, òî ñëåäóåò âçÿòü èõ ñ îáðàòíûì çíàêîì.
Íèæå ïðèâåäåì ïðèìåð ðàñ÷åòà îïòèìàëüíîãî ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó ñòðóêòóðîé
ñïðîñà è ñòðóêòóðîé äîáàâëåííîé ñòîèìîñòè äëÿ ñåìèîòðàñëåâîé ìàòðèöû
Ëåîíòüåâà, ïîñòðîåííîé Ì.Â. Ìèõàëåâè÷åì íà îñíîâå ìåæîòðàñëåâîãî áàëàí-
ñà Óêðàèíû (2007). äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ ñòðóêòóðíî-òåõíîëîãè÷åñêèõ èçìåíå-
íèé â ýíåðãåòè÷åñêèõ îòðàñëÿõ:
A �
0 337 0139 0 215 0127 0146 0112 01960
0 023 0 251 0
, , , , , , ,
, , ,179 0 089 0 019 0131 0 0050
0163 0176 0191 0 097 0103 0
, , , ,
, , , , , , ,
, , , , , , ,
,
095 0 0870
0 012 0 009 0157 0 031 0 029 0 026 0 0940
0 009 0 010 0 008 0 226 0107 0 006 0 0071
0153 0121 0 099 0 0
, , , , , ,
, , , , 31 0 025 0 019 0 0330
0161 0193 0103 0101 0 095 0 087 0
, , ,
, , , , , , ,0910
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
. (32)
Ìàòðèöà A ÿâëÿåòñÿ ïðîäóêòèâíîé (� max ( ) ,A � 0 75374) è íåðàçëîæèìîé (íå ñî-
äåðæèò íóëåâûõ êîìïîíåíò). Åé ñîîòâåñòâóåò ìàòðèöà
�
, , , , , , ,
,
A �
5 5705 3 5710 4 1980 2 5066 19989 2 3038 2 6338
3 5710 4 7218 3 8463 21869 16037 21307 2 2138
4 1980 3 8463 5
, , , , , ,
, , , , , , ,
, , , ,
2490 2 5991 19358 2 2573 2 4627
2 5066 21869 2 5991 2 5403 14014 13074 15987
19989 16037 19358 14014 2 099
, , ,
, , , , , 0 0 9927 12061
2 3039 21307 2 2573 13074 0 9927 21507 1
, ,
, , , , , , ,
, , , , , , ,
3295
2 6338 2 2138 2 4627 15987 12061 13295 2 5240
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
,
58 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 5
äëÿ êîòîðîé ìàêñèìàëüíîå ñîáñòâåííîå ÷èñëî � max ( � )A ðàâíî 18,105 è ÿâëÿåò-
ñÿ åäèíñòâåííûì.
Cîãëàñíî òåîðåìå 3 çàäà÷à (11)–(14) ñ ìàòðèöåé A èìååò åäèíñòâåííîå ðåøå-
íèå, âñå êîìïîíåíòû êîòîðîãî ïîëîæèòåëüíû. Òàêèì ðåøåíèåì ÿâëÿþòñÿ âåêòîð
y* ( . , . , . , . , . , . , .� 05017 04451 04965 03001 02325 02660 02980)T
äëÿ îïòèìàëüíîé íîðìèðîâàííîé ñòðóêòóðû ñïðîñà è âåêòîð
c* ( . , . , . , . , . , . , .� 06258 03469 04599 02061 01325 02731 03766)T
äëÿ îïòèìàëüíîé íîðìèðîâàííîé ñòðóêòóðû äîáàâëåííîé ñòîèìîñòè. Ñîîòâåò-
ñòâóþùèå ýòîé îïòèìàëüíîé ñòðóêòóðå êîìïîíåíòû âåêòîðîâ x* è p* âû÷èñëÿ-
þòñÿ óìíîæåíèåì íà 4 255 18105. .� (îïòèìàëüíîå çíà÷åíèå öåëåâîé ôóíêöèè)
êîìïîíåíò âåêòîðîâ c* è y* .
ÍÀÏÐÀÂËÅÍÈß ÄÀËÜÍÅÉØÈÕ ÈÑÑËÅÄÎÂÀÍÈÉ
Äàëüíåéøèì ðàçâèòèåì èññëåäîâàíèé ìîæåò áûòü äîáàâëåíèå ê ìîäåëè (11)–(14)
îãðàíè÷åíèé â âèäå ëèíåéíûõ íåðàâåíñòâ íà ïåðåìåííûå x è p. Òàê, íàïðèìåð,
åñëè äîáàâèòü ê ýòîé ìîäåëè íåðàâåíñòâà (9), òî äëÿ ïåðåìåííûõ y îãðàíè÷åíèÿ
ïðèîáðåòàþò âèä BA y*
�. Ïîäîáíûå ëèíåéíûå íåðàâåíñòâà ìîãóò îïðåäåëÿòü
òðåáîâàíèÿ ê íåèçâåñòíûì êîìïîíåíòàì âåêòîðà p, êîòîðûå äëÿ ïåðåìåííûõ c
áóäóò âûðàæåíû ñ ïîìîùüþ ìàòðèöû ( )*A T . Ïðè íàëè÷èè òàêèõ îãðàíè÷åíèé
ñîáñòâåííûå âåêòîðû áóäóò ðåøåíèåì òîëüêî òîãäà, êîãäà îòñóòñòâóþò àêòèâíûå
ðåñóðñíûå îãðàíè÷åíèÿ âèäà (9) ëèáî èõ «öåíîâûå» àíàëîãè äëÿ ïåðåìåííûõ p.
Èíà÷å ýòî ïðèâåäåò ê ñåìåéñòâó îïòèìèçàöèîííûõ çàäà÷, êîòîðûå ìîæíî èíòåð-
ïðåòèðîâàòü êàê çàäà÷è íàõîæäåíèÿ íåêîòîðûõ ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ ñèììåò-
ðè÷íûõ ìàòðèö ñ íåÿâíî çàäàííûìè îãðàíè÷åíèÿìè (òðåáîâàíèÿìè) íà êîìïî-
íåíòû ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ.
Ê òàêîìó æå òèïó îïòèìèçàöèîííûõ çàäà÷ ïðèâîäèò è ñëåäóþùåå îáîáùåíèå
çàäà÷è (11)–(14). Íàïðèìåð, íåîáõîäèìî íàéòè îïòèìàëüíóþ ñòðóêòóðó âåêòîðîâ y
è c ïðè äîïîëíèòåëüíîì òðåáîâàíèè, ÷òîáû ñïðîñ íà ïðîäóêöèþ îòðàñëè j áûë â
äâà ðàçà áîëüøå, ÷åì ñïðîñ íà ïðîäóêöèþ îòðàñëè i. Àíàëîãè÷íûå óñëîâèÿ ìîãóò
õàðàêòåðèçîâàòü è ñîîòíîøåíèå äîáàâëåííîé ñòîèìîñòè â çàäàííûõ îòðàñëÿõ. Äî-
ïîëíåíèå çàäà÷è (11)–(14) òàêèìè òðåáîâàíèÿìè ïîçâîëèò áîëåå ãëóáîêî èññëåäî-
âàòü ñâÿçè ìåæäó îòäåëüíûìè ñåêòîðàìè ýêîíîìèêè.
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. Ë å î í ò ü å â Â . Â . Èçáðàííûå ïðîèâåäåíèÿ. Ò. 1–3. — Ì.: Ýêîíîìèêà, 2006 — 2008.
2. Ì è õ à ë å â è ÷ Ì . Â . , Ñ å ð ã è å í ê î È . Â . Ìîäåëèðîâàíèå ïåðåõîäíîé ýêîíîìèêè. Ìîäåëè,
ìåòîäû, èíôîðìàöèîííûå òåõíîëîãèè. — Êèåâ: Íàóê. äóìêà, 2005. — 670 ñ.
3. Ñ å ð ã è å í ê î È . Â . , Ì è õ à ë å â è ÷ Ì . Â . , Ñ ò å ö þ ê Ï . È . , Ê î ø ë à é Ë . Á . Ìîäåëè
è èíôîðìàöèîííûå òåõíîëîãèè äëÿ ïîääåðæêè ïðèíÿòèÿ ðåøåíèé ïðè ïðîâåäåíèè ñòðóêòóðíî-òåõíî-
ëîãè÷åñêèõ ïðåîáðàçîâàíèé // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. — 2009. — ¹ 2. — C. 26–49.
4. Á î ð ò è ñ à . Èíñòèòóöèè, ïîâåäåíèå è ýêîíîìè÷åñêàÿ òåîðèÿ. Âêëàä â êëàññèêî-êåéíñèàíñêóþ
ïîëèòè÷åñêóþ ýêîíîìèþ. — Êèåâ: Èçä. äîì «Êèºâî-Ìîãèëÿíñüêà àêàäåì³ÿ», 2009. — 598 ñ.
5. B o r t i s H . Keynes and the ñlassics: notes on the monetary theory of production, in: Modern theories of
money. The nature and role of money in capitalist economies, Rochon L.-P. and Sergio Rossi (eds). — Ed-
ward Elgar: UK, USA, 2003. — P. 411–474.
6. À ø ì à í î â Ñ . À . Ââåäåíèå â ìàòåìàòè÷åñêóþ ýêîíîìèêó. — Ì.: Íàóêà, 1984. — 296 ñ.
7. Ñ ò å ö þ ê Ï . È . , Ê î ø ë à é Ë . Á . , Ï è ë è ï î â ñ ê è é À .  . Î çàäà÷å îïòèìàëüíîãî ñîîòíîøåíèÿ
ìåæäó ñïðîñîì è äîáàâëåííîé ñòîèìîñòüþ â ìîäåëÿõ Ëåîíòüåâà // Òåîð³ÿ îïòèìàëüíèõ ð³øåíü. —
2010. — ¹ 9. — Ñ. 136–143.
Ïîñòóïèëà 01.06.2010
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 5 59
|