Универсальные компакты в lp

Компактні еліпсоїди в lp (1 ≤ p < ∞) та с0 includes l∞, описані як універсальні компакти, які поглинають усі інші компакти. Крім того, дані простори описані як індуктивні межі підпросторів, породжених компактними еліпсоїдами. Розглянуто застосування до компактних екстремумів варіаційних функціона...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2010
Автор:	Орлов, И.В.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2010
Назва видання:	Кибернетика и системный анализ
Теми:	Системный анализ
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/45630
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Универсальные компакты в lp / И.В. Орлов // Кибернетика и системный анализ. — 2010. — № 5. — С. 112-121. — Бібліогр.: 16 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-45630
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-456302013-06-17T03:11:47Z Универсальные компакты в lp Орлов, И.В. Системный анализ Компактні еліпсоїди в lp (1 ≤ p < ∞) та с0 includes l∞, описані як універсальні компакти, які поглинають усі інші компакти. Крім того, дані простори описані як індуктивні межі підпросторів, породжених компактними еліпсоїдами. Розглянуто застосування до компактних екстремумів варіаційних функціоналів. Compact ellipsoids in lp (1 ≤ p < ∞) and с0 includes l∞ are described as universal compact sets that absorb all other compacta. Moreover, these spaces are described as inductive limits of subspaces generated by compact ellipsoids. Some applications to compact extrema of variational functionals are considered. 2010 Article Универсальные компакты в lp / И.В. Орлов // Кибернетика и системный анализ. — 2010. — № 5. — С. 112-121. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. 0023-1274 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/45630 519.3 + 517.98 ru Кибернетика и системный анализ Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Системный анализ Системный анализ
spellingShingle	Системный анализ Системный анализ Орлов, И.В. Универсальные компакты в lp Кибернетика и системный анализ
description	Компактні еліпсоїди в lp (1 ≤ p < ∞) та с0 includes l∞, описані як універсальні компакти, які поглинають усі інші компакти. Крім того, дані простори описані як індуктивні межі підпросторів, породжених компактними еліпсоїдами. Розглянуто застосування до компактних екстремумів варіаційних функціоналів.
format	Article
author	Орлов, И.В.
author_facet	Орлов, И.В.
author_sort	Орлов, И.В.
title	Универсальные компакты в lp
title_short	Универсальные компакты в lp
title_full	Универсальные компакты в lp
title_fullStr	Универсальные компакты в lp
title_full_unstemmed	Универсальные компакты в lp
title_sort	универсальные компакты в lp
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2010
topic_facet	Системный анализ
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/45630
citation_txt	Универсальные компакты в lp / И.В. Орлов // Кибернетика и системный анализ. — 2010. — № 5. — С. 112-121. — Бібліогр.: 16 назв. — рос.
series	Кибернетика и системный анализ
work_keys_str_mv	AT orloviv universalʹnyekompaktyvlp
first_indexed	2025-07-04T04:29:53Z
last_indexed	2025-07-04T04:29:53Z
_version_	1836689299213385728
fulltext	ÓÄÊ 519.3 + 517.98 È.Â. ÎÐËÎÂ ÓÍÈÂÅÐÑÀËÜÍÛÅ ÊÎÌÏÀÊÒÛ Â � p Êëþ÷åâûå ñëîâà: êîìïàêòíûé ýëëèïñîèä, êîìïàêòíûé ýêñòðåìóì, êîìïàêòíàÿ ïðîèçâîäíàÿ, êîìïàêòíîå âëîæåíèå, èíäóêòèâíûé ïðåäåë. Èçâåñòíû êëàññè÷åñêèå êðèòåðèè êîìïàêòíîñòè â �p è c0 (ñì., íàïðèìåð, [1 IV.13.3, IV.13.9]). Îäíàêî ðÿä ýêñòðåìàëüíûõ çàäà÷ òðåáóåò áîëåå óäîáíîãî è ãåîìåòðè÷åñêîãî îïèñàíèÿ êîìïàêòíûõ ìíîæåñòâ â �p . Îäèí èç ïîäõîäÿùèõ ñïîñî- áîâ ðåøåíèÿ ýòèõ çàäà÷ — îïèñàíèå äîñòàòî÷íî ïðîñòîé ñèñòåìû óíèâåðñàëüíûõ êîìïàêòîâ, ïîãëîùàþùèõ âñå îñòàëüíûå êîìïàêòû â îïèñûâàåìîì ïðîñòðàíñòâå. Â ðàáîòàõ [2–6] êîìïàêòíûå ýëëèïñîèäû êàê óíèâåðñàëüíûå êîìïàêòû â �2 èñ- ïîëüçîâàëèñü äëÿ ïîëó÷åíèÿ óñëîâèé êîìïàêòíîãî ýêñòðåìóìà è äëÿ èññëåäîâàíèÿ êîìïàêòíî-àíàëèòè÷åñêèõ ñâîéñòâ âàðèàöèîííûõ ôóíêöèîíàëîâ â ïðîñòðàíñòâå Ñîáîëåâà W 2 1. Êðîìå òîãî, ïîòðåáíîñòü â ïîäîáíîé òåõíèêå â � p , 1� � �p , âîçíèê- ëà â ñâÿçè ñ òåîðåìàìè òèïà Ðàäîíà–Íèêîäèìà äëÿ èíòåãðàëà Áîõíåðà [7]. Â ðàçä. 1 íàñòîÿùåé ðàáîòû ââåäåíî ïîíÿòèå ýëëèïñîèäà â �p è îáîáùåí ñî ñëó÷àÿ �2 íà îáùèé ñëó÷àé �p , 1� � �p , õîðîøî èçâåñòíûé êðèòåðèé êîìïàêòíîñ- òè ýëëèïñîèäà (òåîðåìà 1). Ðàçäåëû 2–4 ñîäåðæàò îñíîâíûå ðåçóëüòàòû. Â ðàçä. 2 ïîêàçàíî, ÷òî êîìïàê- òíûå ýëëèïñîèäû â � p (1� � �p ) è c0 — óíèâåðñàëüíûå êîìïàêòû, ò.å. ïîãëîùàþò âñå îñòàëüíûå êîìïàêòû (òåîðåìû 2–4). Â ðàçä. 3, â ñëó÷àå ïðîèçâîëüíîãî áàíàõîâà ïðîñòðàíñòâà, ïîêàçàíî, ÷òî ïîäïðîñòðàíñòâà, ïîðîæäåííûå âñåìè àáñîëþòíî âû- ïóêëûìè êîìïàêòàìè, îáðàçóþò èíäóêòèâíóþ øêàëó áàíàõîâûõ ïðîñòðàíñòâ, èí- äóêòèâíûé ïðåäåë êîòîðîé ñîâïàäàåò ñ èñõîäíûì ïðîñòðàíñòâîì (òåîðåìà 5). Íà ýòîé îñíîâå â ðàçä. 4 ïîêàçàíî, ÷òî â ñëó÷àå ïðîñòðàíñòâ � p (1� � �p ) è c0 òîò æå ýôôåêò âîçíèêàåò, åñëè èñïîëüçîâàòü òîëüêî ïîäïðîñòðàíñòâà, ïîðîæäåííûå êîìïàêòíûìè ýëëèïñîèäàìè. Â ñâÿçè ñ ýòèì ñóùåñòâåííî óëó÷øàþòñÿ ñâîéñòâà ñî- îòâåòñòâóþùèõ èíäóêòèâíûõ øêàë, âêëþ÷àÿ ïåðåõîä ê êîìïàêòíûì âëîæåíèÿì (òåîðåìû 7, 8). Â ðàçä. 5 äàí îáçîð ïðèëîæåíèé ê êîìïàêòíîé äèôôåðåíöèðóåìîñòè è êîì- ïàêòíûì ýêñòðåìóìàì âàðèàöèîííûõ ôóíêöèîíàëîâ (òåîðåìû 9, 10). 1. ÊÐÈÒÅÐÈÉ ÊÎÌÏÀÊÒÍÎÑÒÈ ÝËËÈÏÑÎÈÄÎÂ Â � p (1 � � �p ) Îïðåäåëåíèå 1. Äëÿ çàäàííîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ïîëîæèòåëüíûõ ÷èñåë � �� ( )k 1 íàçîâåì ýëëèïñîèäîì C� (ñ ïîëóîñÿìè �k ) ìíîæåñòâî âèäà (i) C x x xk p k k p k p � �� ( ) (\| \| / )1 1 1� , åñëè 1� � �p ; (ii) C x x xk k k k� �� ( ) sup ( \| \|/ )1 1 1� , åñëè p � �. Îáîáùèì íà ñëó÷àé 1� � �p èçâåñòíûé äëÿ ñëó÷àÿ p � 2 êðèòåðèé êîìïàêò- íîñòè [8]. Òåîðåìà 1. Ýëëèïñîèä C p� � � ( 1� � �p ) êîìïàêòåí òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà �k � 0 ïðè k ��. Äîêàçàòåëüñòâî. 1. Äîïóñòèì, ÷òî �k �� 0. Òîãäà � �kn � �0 0 (n N� ) äëÿ íåêî- òîðûõ �0 0� è ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòè { }�kn 1 � . Îáîçíà÷èì E x x x xk k k pn( ) ( , ... , , , , ... , , , ,... ) \|� � �{ }0 0 0 0 0 1 2 � . 112 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 5 © È.Â. Îðëîâ, 2010 Òîãäà E kn( ) — çàìêíóòîå ïîäïðîñòðàíñòâî � p è ïåðåñå÷åíèå C E kn� � ( ) ñîäåð- æèò íåêîìïàêòíûé øàð ðàäèóñà �0 , îòêóäà âûòåêàåò íåêîìïàêòíîñòü C� . Òàêèì îáðàçîì, íåîáõîäèìîñòü óñëîâèÿ òåîðåìû 1 äîêàçàíà. 2. Ïðîâåðèì òåïåðü äîñòàòî÷íîñòü ýòîãî óñëîâèÿ. Ñëåäóåò ïðîâåðèòü îãðàíè- ÷åííîñòü ìíîæåñòâà C p� � � â ñëó÷àå �k � 0. � Ïóñòü 1� � �p . Ôèêñèðóåì � � 0 è âûáèðàåì òàêîå ÷èñëî N , ÷òîáû k N p p k p k p k N k N k p p k p x x x � � � � � � � � �� 1 1 \| \| \| \| max \| \| m � � � � ax k N k p p k N �� 21 (1) äëÿ âñåõ x x Ck� ��( )1 � . Îáîçíà÷èì � � �p N N N p N p Nx x x x C C� � � � �{ }( ,... , ; , , ... ) \| ,1 0 0 � � . Òàê êàê C N � — êîìïàêò, òî â C N � ìîæíî ïîäîáðàòü êîíå÷íóþ � 2 -ñåòü { }y ym1 , ,� . Äëÿ ïðîèçâîëüíîãî x C� � âûáåðåì òàêîå yi , ÷òîáû \|\| \|\| ( / )x yN i p � �� 2 . Îòñþäà ñ ó÷åòîì (1) ñëåäóåò \|\| \|\| \|\| \| \| \|\| \|\|x y x x x yi N N ip p p � � � � � � � �� 2 2 . Òàêèì îáðàçîì, { }y ym1 , ,� — êîíå÷íàÿ �-ñåòü â C� , ñëåäîâàòåëüíî, C� âïîëíå îãðàíè÷åíî â �p . � Â ñëó÷àå p � � äîñòàòî÷íî âìåñòî (1) ïðèìåíèòü íåðàâåíñòâî sup \| \| sup \| \| max sup k N k k N k k k k N k k N x x � � � � � � � � �� \| \| max xk k k N k � � � � � � 2 è çàòåì ïîâòîðèòü îêîí÷àíèå ïðåäûäóùåãî äîêàçàòåëüñòâà. Çàìå÷àíèå 1. 1. ßñíî, ÷òî ðåçóëüòàò òåîðåìû 1 ïåðåíîñèòñÿ íà ïîäïðîñòðàí- ñòâà ïðîñòðàíñòâ �p , à òàêæå íà ïðîñòðàíñòâà �p ( )� ñ âåñîì � �� ( )k 1 ïðè \|\| \|\| ( \| \| /( ) / x x p k k k p � � �� 1 1 è C x x p k k p k � � � �� ( ) \| \| 1 1 ( )1� � �p , \|\| \|\| sup ( \| \| / )( )x x k k k�� 1 è C x x k k k� � � �� ( ) sup \| \| 1 1 ( )p � � ñîîòâåòñòâåííî. 2. Ëþáîé êîìïàêòíûé ýëëèïñîèä Ñ� èç �� ñîäåðæèòñÿ â c0 ââèäó �k � 0. 2. ÊÎÌÏÀÊÒÍÛÅ ÝËËÈÏÑÎÈÄÛ ÊÀÊ ÓÍÈÂÅÐÑÀËÜÍÛÅ ÊÎÌÏÀÊÒÛ Â � p È c0 Òåðìèíîì «óíèâåðñàëüíûå êîìïàêòû» â íàñòîÿùåé ñòàòüå áóäåì íàçûâàòü ñèñòåìó àáñîëþòíî âûïóêëûõ êîìïàêòíûõ ìíîæåñòâ, ïîãëîùàþùèõ âñå îñòàëüíûå êîìïàê- òû â çàäàííîì áàíàõîâîì ïðîñòðàíñòâå. Îáîáùèì íà ñëó÷àè ïðîñòðàíñòâ � p ( )1� � �p è c0 � �� òåîðåìó îá óíèâåðñàëüíûõ êîìïàêòíûõ ýëëèïñîèäàõ [2, òåî- ðåìà 1.2]. Ñíà÷àëà ðàññìîòðèì ñëó÷àé 1� � �p . Òåîðåìà 2. Çàìêíóòîå ìíîæåñòâî C p� � ( )1� � �p êîìïàêòíî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îíî ñîäåðæèòñÿ â íåêîòîðîì êîìïàêòíîì ýëëèïñîèäå C� èç � p . Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 2 îñíîâàíî íà äâóõ ëåììàõ. Ïåðâàÿ èç íèõ ÿâëÿåòñÿ îáîáùåíèåì èçâåñòíîãî ñâîéñòâà ïîëîæèòåëüíûõ ðÿäîâ (ñì., íàïðèìåð, [9]), ñ äî- ïîëíåíèåì îöåíêè ñóììû ðÿäà. ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 5 113 Ëåììà 1. Ïóñòü an k� � � 1 — ñòðîãî ïîëîæèòåëüíûé ñõîäÿùèéñÿ ðÿä, r an k k n � � � � ( )n N� , S r� 1, 1� � �p . Òîãäà ðÿä ( / ( ) )/a rn n p n 1 1� � � òàêæå ñõîäèòñÿ. Ïðè ýòîì a r a S p p Sn n p k p p p ( ) / / ( ) / 1 1 1 1 1 1� � �� . (2) Äîêàçàòåëüñòâî. Íå óìåíüøàÿ îáùíîñòè ðàññóæäåíèé, ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî an � 0. Ïóñòü f x a n x n n N F x f t dt xn( ) ( , ), ( ) ( ) ( ) � � � � � � � � � !1 1 1 , �( ) ( ) / ( ( )) ( )/x f x S F x xp� � � � �1 1 . Ïðè ýòîì S F f t dt� � � � !( ) ( ) 1 . Òîãäà ïðè êàæäîì n N� �( ) ( ) ( ( )) ( ) / / n f n S F n a f t dt a a p n n p n k k � � � � � � � � � � � � � � ! 1 1 n p n n p a r� � � � � � � � � � � 1 1/ /( ) . (3) Ñëåäîâàòåëüíî, ïðèìåíÿÿ ê ðÿäó (2) èíòåãðàëüíûé ïðèçíàê ñõîäèìîñòè è ðàâåí- ñòâî (3), ïîëó÷àåì a r a S t dt a S f t dt S F n n p n p p( ) ( ) ( ) ( (/ / /1 1 1 1 1 1 1 � � � � �� ! � t a S d S f t S F tp p p)) ( ( )) ( ( ))/ / /1 1 1 1 1 1 � � ! !� � � � � � � � � � � � � � �a S p p S F t a S p p S p p p p p p1 1 1 1 1 1 1 1 1/ /( ) / ( ) /( ( )) . Çàìå÷àíèå 2. Â ñëó÷àå p �1 ðÿä èç (2) ìîæåò ðàñõîäèòüñÿ. Åñëè a nn �1 2/ ( )n N� , òî r k n n k n � � � � 1 1 2 ~ , îòêóäà a r n n nk n n� � � � � �~ 1 1 . Ñëåäóþùàÿ ëåììà — èçâåñòíûé êðèòåðèé êîìïàêòíîñòè â �p (1� � �p ) ([1, VI.13.9]; ñì. òàêæå [10]). Ëåììà 2. Çàìêíóòîå ìíîæåñòâî C p� � (1� � �p ) êîìïàêòíî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà sup \| \| ( )x x C k p k nk x � � � � � � � � � � � � � � � 1 0 ïðè n ��. (4) Çàìå÷àíèå 3. Â ñëó÷àå p � � àíàëîã óñëîâèÿ (4), î÷åâèäíî, íåâåðåí, ïîñêîëü- êó, âîîáùå ãîâîðÿ, sup \| \| k n kx � �� 0 ïðè n �� äàæå äëÿ C x�{ }. Ïåðåéäåì ê äîêàçàòåëüñòâó òåîðåìû 2. Äîêàçàòåëüñòâî. Äîñòàòî÷íîñòü óòâåðæäåíèÿ òåîðåìû î÷åâèäíà. Ïðåäïîëî- æèì îáðàòíîå, ïóñòü Ñ — êîìïàêò â � p (1� � �p ). Ïîëîæèì ( ) sup \| \| ( ); sup \|\| / �k p x C n k n p p C x C x k N M� � � � � � � � � � � � � � � � 1 x p \|\|� . 114 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 5 Ñîãëàñíî ëåììå 2 �k � 0 ïðè k ��. Ïîëîæèì � �� ( )k 1 . Òîãäà ñ ó÷åòîì ëåì- ìû 1 ïîëó÷àåì \| \| \| \| \| \| \| \| / x x x xk p k p k k p n p n k p k�� 1 1 1 1 p n p n p n p n p x p p x \| \| \| \| / ( ) � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 1 1 1 1 1 / p � � � � � ��\| \| \|\| \|\| \|\| \|\| \| \| \|\| \|\| \| \| \|\| x x p p x x x x p p p p p p p p 1 1 1 1� � � � p pp p x p � �� 1 1 1 \| \| \|\| � � � � � � �� 1 1 1 1 1 1p p x p p M p p C p\|\| \|\| � äëÿ êàæäîãî x x Nk� ��( )1 . Îòñþäà ñëåäóåò âêëþ÷åíèå C p p M C C C p p p M CC p� � � � � �� 1 1 1 1 1 1� �( ( /( ))) . Ðàññìîòðèì òåïåðü ñëó÷àé p �1. Òåîðåìà 3. Çàìêíóòîå ìíîæåñòâî C p� � êîìïàêòíî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîã- äà îíî ñîäåðæèòñÿ â íåêîòîðîì ýëëèïñîèäå C� èç �1 . Äîêàçàòåëüñòâî. Äîñòàòî÷íîñòü óòâåðæäåíèÿ òåîðåìû î÷åâèäíà. Ïðåäïîëî- æèì îáðàòíîå, ïóñòü C êîìïàêòíî â �1 . Ôèêñèðóÿ ïðîèçâîëüíîå p �1è ïîëàãàÿ C x x x x C x x k Np k p k k k p1 1 1 1/ /( ) \| ( ) : \| \| \| \| ( )� " � " � # � � " � �� { � }, (5) èç (5) è ëåììû 2 ïîëó÷àåì sup \| \| sup \| \| / x C p x xk p k n x C k k n '� " � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 1 � � � � 0 ïðè n ��. Ñëåäîâàòåëüíî, â ñèëó òîé æå ëåììû ìíîæåñòâî C p1/ ïðåäêîìïàêòíî â �p . Îòñþäà ïî òåîðåìå 2 C p1/ ñîäåðæèòñÿ â íåêîòîðîì êîìïàêòíîì ýëëèïñîèäå C� èç �p , ò.å. C C x x xp k p k n k p k p 1 1 1/ ( ) \| \| � � " � " � " � � � � � � � � �� . (6) Â ÷àñòíîñòè, ïîëàãàÿ " �x xk k p\| \| /1 (k N� ) äëÿ ïðîèçâîëüíîãî x x Ck� ��( )1 , ãäå " � " ��x x Ck p( ) / 1 1 , èç (5) è (6) ïîëó÷àåì \| \| \| \|x xk k p k k p k p k n� �� " � 1 1. Îòñþäà, îáîçíà÷àÿ � �p k p k� � �( ) 1, èìååì C C p� � . Ðàññìîòðèì, íàêîíåö, ñëó÷àé ïðîñòðàíñòâà c x x xk k k0 1 0� �� ( ) \| lim . Íàì ïîòðåáóåòñÿ èçâåñòíûé êðèòåðèé êîìïàêòíîñòè â c0 [1, IV.13.9]. Ëåììà 3. Çàìêíóòîå ìíîæåñòâî C c� 0 êîìïàêòíî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà sup sup \| \| ( )x x C k n k k x � � �� 1 0 ïðè n ��. ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 5 115 Òåîðåìà 4. Çàìêíóòîå ìíîæåñòâî C c� 0 êîìïàêòíî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîã- äà îíî ñîäåðæèòñÿ â íåêîòîðîì êîìïàêòíîì ýëëèïñîèäå C� èç c0 . Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü r xn x C k n k� � � � � � � � � sup sup \| \| . Â ñèëó ëåììû 3 rn � 0 ïðè n ��. Âûáåðåì òàêóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü �n � 0, �n � 0, ÷òîáû ( / )rn n� �1 (n N� ). Òîãäà äëÿ ïðîèçâîëüíîãî x x Cn 0 0 1� ��( ) ñïðà- âåäëèâî íåðàâåíñòâî \| \| sup \| \| sup sup \| \| x x xn n n k n k n x C k n k 0 01 1 � � � � � � � � � � � � � � � � � � rn n� 1. Òàêèì îáðàçîì, ïîëàãàÿ � �� ( )n 1 , ïîëó÷àåì C C� � , ãäå C� — êîìïàêòíûé ýë- ëèïñîèä â c0 . 3. ÑÈÑÒÅÌÀ ÏÎÄÏÐÎÑÒÐÀÍÑÒÂ, ÏÎÐÎÆÄÅÍÍÛÕ ÊÎÌÏÀÊÒÀÌÈ Â ÁÀÍÀÕÎÂÎÌ ÏÐÎÑÒÐÀÍÑÒÂÅ Ïóñòü E — ïðîèçâîëüíîå áàíàõîâî ïðîñòðàíñòâî, K E( ) — ñèñòåìà âñåõ àáñîëþòíî âûïóêëûõ êîìïàêòîâ â E . Íà÷íåì ñ îáîáùåíèÿ ðåçóëüòàòà [2, òåîðåìà 3.3], ñïðà- âåäëèâîãî â ãèëüáåðòîâîì ñëó÷àå, íà âñå áàíàõîâû ïðîñòðàíñòâà. Îïðåäåëåíèå 2. Äëÿ ïðîèçâîëüíîãî C K E� ( ) îáîçíà÷èì EC ïîäïðîñòðàíñòâî span C E� , ñíàáæåííîå áàíàõîâîé íîðìîé \|\| \|\|� C [11], ïîðîæäåííîé ìíîæåñòâîì C. Òåîðåìà 5. Ñèñòåìà { }EC C K E� ( ) îáðàçóåò èíäóêòèâíóþ øêàëó áàíàõîâûõ ïðîñòðàíñòâ îòíîñèòåëüíî íåïðåðûâíûõ òîæäåñòâåííûõ âëîæåíèé. Ïðè ýòîì èí- äóêòèâíûé ïðåäåë äàííîé øêàëû ñîâïàäàåò ñ èñõîäíûì ïðîñòðàíñòâîì E E C K E C� � $�$ lim ( ) . (7) Äîêàçàòåëüñòâî. Îáîçíà÷èì B1 åäèíè÷íûé øàð â E . Òîãäà äëÿ ëþáîãî C K E� ( ) îãðàíè÷åííîñòü C âëå÷åò âêëþ÷åíèå C B� �� 1 ïðè íåêîòîðîì � � 0, îòêó- äà âûòåêàåò íåðàâåíñòâî \|\| \|\| \|\| \|\|� �� E C � â EC è íåïðåðûâíîñòü âëîæåíèÿ E EC �� . Îòñþäà âûòåêàåò íåïðåðûâíîñòü âëîæåíèÿ lim ( )C E CE E � �$�$ � % . (8) Äàëåå, äëÿ ïðîèçâîëüíûõ C C K E1 2, ( )� ìíîæåñòâî C C C K E3 1 2� �co ( ) ( )� [11], îòêóäà ñëåäóåò íåïðåðûâíîñòü âëîæåíèé E EC C1 3 �� , E EC C2 3 �� . Èòàê, ñèñ- òåìà { }E Ñ C K E� ( ) — èíäóêòèâíàÿ øêàëà áàíàõîâûõ ïðîñòðàíñòâ. Äîêàæåì òåïåðü íåïðåðûâíîñòü îáðàòíîãî ê (8) âëîæåíèÿ E E E C E C K� �� $�$ lim : ( )% . (9) Äîïóñòèì ïðîòèâíîå: íàéäåòñÿ òàêàÿ îêðåñòíîñòü íóëÿ U EK� , êîòîðàÿ íå ÿâ- ëÿåòñÿ îêðåñòíîñòüþ íóëÿ â E . Òîãäà äëÿ âñÿêîãî n N� íàéäåòñÿ ýëåìåíò x B Un n� ( / )( \ )1 4 1 . Îáîçíà÷èì C àáñîëþòíî âûïóêëóþ îáîëî÷êó ìíîæåñòâà { }2n n n Nx� � â E . Òàê êàê \| \| \| \| ( / )2 1 2 0n n E nx � � , òî C K E� ( ). Òàêèì îáðàçîì, C ïîãëîùàåòñÿ ìíîæåñòâîì U. Â òî æå âðåìÿ ( \ ) ( \ )2 2 2n n n nx C U C U� & '( äëÿ âñåõ n N� . Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷åíî ïðîòèâîðå÷èå. Íàêîíåö, èç (8) è (9) âûòåêàåò (7). 116 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 5 Çàìåòèì, ÷òî è â çíà÷èòåëüíî áîëåå îáùåì ñëó÷àå ïðîèçâîëüíîãî ïîëíîãî ëî- êàëüíî âûïóêëîãî ïðîñòðàíñòâà (ËÂÏ) E èíäóêòèâíîñòü øêàëû { }EC C E�%( ) è íå- ïðåðûâíîñòü âëîæåíèÿ (8) òàêæå ñïðàâåäëèâû. Èç èçâåñòíîé òåîðåìû îá èíäóêòèâíîì ïðåäåëå [11, II.6.1] è ðàâåíñòâà (7) íå- ìåäëåííî âûòåêàåò ñëåäñòâèå. Ñëåäñòâèå 1. Ïóñòü E è F — ïðîèçâîëüíûå âåùåñòâåííûå áàíàõîâû ïðîñòðàí- ñòâà. Òîãäà A L E F� ( ; ) â òîì è òîëüêî â òîì ñëó÷àå, åñëè âñå ñóæåíèÿ A EC \| , C K E� ( ), íåïðåðûâíû. Çàìå÷àíèå 4. Òåì íå ìåíåå ñóùåñòâóþò ðàçðûâíûå íåëèíåéíûå ôóíêöèîíàëû, âñå ñóæåíèÿ êîòîðûõ íà E Ñ , { }EC C K E� ( ) , íåïðåðûâíû. Òàêàÿ ñèòóàöèÿ, íàïðèìåð, òèïè÷íà äëÿ âàðèàöèîííîãî ôóíêöèîíàëà (ñì. [3, 4]) )( ) ( , , ) ( ( ) [ ; ])y f x y y dx y W a b a b � " �! � 2 1 . (10) Îïèøåì òåïåðü áîëåå òî÷íî íåïðåðûâíîñòü âëîæåíèé â øêàëå { }EC C K E� ( ) . Î÷åâèäíî, èç âêëþ÷åíèÿ C C1 2� �� ïðè íåêîòîðîì � � 0 âûòåêàåò íåðàâåíñòâî \|\| \|\| \|\| \|\|� �� Ñ Ñ2 1 � â EC1 è, ñëåäîâàòåëüíî, íåïðåðûâíîñòü âëîæåíèÿ E EC C1 2 �� ( , ( ))C C K E 1 2 � . Îäíàêî âåêòîðíîå âëîæåíèå E EC C1 2 �� íå âëå÷åò, âîîáùå ãîâî- ðÿ, âêëþ÷åíèå C C1 2� �� ïðè íåêîòîðîì � � 0, ò.å. íå âëå÷åò íåïðåðûâíîñòü âëî- æåíèÿ E EC C1 2 �� . Ïðèìåð 1. Ïóñòü dimE � �, x En � (n N� ) ëèíåéíî íåçàâèñèìû è \|\| \|\|xn � 0 ïðè n �� â E . Ïîëîæèì y x xn n n� / \|\| \|\| (n N� ), òîãäà yn � 0 â E . Îáîçíà÷èì C x C yn n1 1 2 1� �� abs.co { } abs.co { }, . Òîãäà C C E1 2, ( )�% . Ïîñêîëüêó ïðè ëþáîì ôèêñèðîâàííîì n N� abs.co { } abs.co { }x x x y yn n n1 1 1 ,... , \|\| \|\| ,... ,� � , òî C C EC1 2 2 � �span . Â òî æå âðåìÿ, ïîñêîëüêó x Cn �* 1, y Cn �* 2 , òî C C1 2 + �� ïðè 0 � �� / \|\| \|\|xn äëÿ âñÿêîãî ôèêñèðîâàííîãî n N� . Ñëåäîâàòåëü- íî, C1 íå ïîãëîùàåòñÿ C2 , ò.å. âëîæåíèå E EC C1 2 �� ðàçðûâíî. Â çàêëþ÷åíèå îòìåòèì, ÷òî, ââîäÿ îòíîøåíèå ýêâèâàëåíòíîñòè ( ~ ) ( , )C C C C C1 2 2 1 2 0, � � � � � � � �� % % (11) è âûáèðàÿ ñèñòåìó ðàçëè÷íûõ ïðåäñòàâèòåëåé êëàññîâ ýêâèâàëåíòíîñòè ~ ( ) ( )K E K E� , ìû ñîõðàíèì ñòðóêòóðó øêàëû { }EC C K E� ( ) ñ òî÷íîñòüþ äî ýêâèâàëåíòíûõ íîðì. 4. ÑÈÑÒÅÌÀ ÏÎÄÏÐÎÑÒÐÀÍÑÒÂ, ÏÎÐÎÆÄÅÍÍÛÕ ÊÎÌÏÀÊÒÍÛÌÈ ÝËËÈÏÑÎÈÄÀÌÈ Â �p (1 � � �p ) È c0 Ïîêàæåì, ÷òî ïðè íàëè÷èè â ïðîñòðàíñòâå ñèñòåìû óíèâåðñàëüíûõ êîìïàêòíûõ ýëëèïñîèäîâ îïèñàííóþ âûøå èíäóêòèâíóþ øêàëó { }EC C K E� ( ) ìîæíî çàìåíèòü êîíôèíàëüíîé åé ïîäøêàëîé { }EC� , îáëàäàþùåé çíà÷èòåëüíî ëó÷øèìè ñâîéñòâà- ìè. Äàëåå îáîçíà÷èì - 0 ìíîæåñòâî âñåõ ñõîäÿùèõñÿ ê íóëþ ïîëîæèòåëüíûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé � �� ( )k 1 . Òåîðåìà 6. Ïóñòü E lp� (1� � �p ) ëèáî E c� 0 . Òîãäà ñèñòåìà áàíàõîâûõ ïîä- ïðîñòðàíñòâ { }EC� ��-0 , ïîðîæäåííûõ êîìïàêòíûìè ýëëèïñîèäàìè C� , îáðàçóåò èí- äóêòèâíóþ øêàëó îòíîñèòåëüíî íåïðåðûâíûõ âëîæåíèé, êîíôèíàëüíóþ øêàëå { }EC C K E� ( ) . Â ÷àñòíîñòè, lim lim ( )� � � � $�$ $�$ � � -0 E E EC C K E C . (12) ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 5 117 Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü C �1 è C �2 — êîìïàêòíûå ýëëèïñîèäû â E, � �i k i k� � �( ) ,1 i �1 2, . Ïîëàãàÿ � � �3 1 2 1� � �max ( , ) k k k , ïîëó÷èì C Ci� � � 3 â ñèëó îïðå- äåëåíèÿ 1, îòêóäà âûòåêàåò íåïðåðûâíîñòü âëîæåíèÿ E EC c Ci� � �� 3 ( i �1 2, ). Òàêèì îáðàçîì, ñèñòåìà { }EC� ��-0 îáðàçóåò èíäóêòèâíóþ øêàëó áàíàõîâûõ ïðîñòðàíñòâ. Äàëåå, ñîãëàñíî òåîðåìàì 2–4 äëÿ ïðîèçâîëüíîãî C K E� ( ) íàéäåòñÿ òàêîé êîìïàêòíûé ýëëèïñîèä C� (��- 0 ), ÷òî C C� � . Îòñþäà ñëåäóåò íåïðåðûâíîñòü âëîæåíèÿ E EC c C�� , ò.å. øêàëà { }EC� ��-0 — êîíôèíàëüíàÿ ïîäøêàëà øêàëû { }EC C K E� ( ) è, ñëåäîâàòåëüíî, èõ èíäóêòèâíûå ïðåäåëû ñîâïàäàþò. Îïèøåì òåïåðü äîïîëíèòåëüíûå ñâîéñòâà, êîòîðûìè îáëàäàåò øêàëà { }EC� ��-0 . Ïðåæäå âñåãî, â îòëè÷èå îò ñëó÷àÿ, ðàññìîòðåííîãî â ïðèìåðå 1, ëþáîå âåêòîðíîå âëîæåíèå E E C C � �1 2 �� íåïðåðûâíî. Òåîðåìà 7. Ïóñòü E p� � (1� � �p ) èëè E c� 0 ; � �1 2 0, �- . Òîãäà ( ) ( )E E E EC C C c C � � � �1 2 1 2 � , � ,� � (C C � � �1 2� � ïðè íåêîòîðîì � � 0). (13) Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðîâåäåì äîêàçàòåëüñòâî â ñëó÷àå E p� � (1� � �p ). Äîïóñ- òèì, ÷òî E E C C � �1 2 �� (âåêòîðíî), íî C C � � �1 2+ � ïðè ëþáîì � � 0. Â ñèëó îïðå- äåëåíèÿ 1 ýòî îçíà÷àåò, ÷òî sup ( / ) k k k � � � 1 1 2� � . Ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ íåêîòîðîé ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòè { }km m� � 1 ñïðàâäåëèâû íåðàâåíñòâà ( / ) ( )( ) /� � k k p p m m m m N1 2 1� �� . (14) Ïîëîæèì x k k p m k k k m N x xk m k m � ' � � � � � � 0 1 1 ïðè ïðè , ( ) ( / ) , ( , ); ( � � k )1 � . Òîãäà x C� �1 , íî \| \| ( ) \| \| ( ) x x k p k p k k p k p m k k m m m m � � � �2 1 1 1 1 2 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 1 1 1 1 1 1 1( ( )) ( ( ))� �p m m p mp m p p p m , îòêóäà âûòåêàåò, ÷òî x E C . �2 . Ïîëó÷åííîå ïðîòèâîðå÷èå äîêàçûâàåò èìïëèêà- öèþ «ñëåâà íàïðàâî» â (13). Îáðàòíàÿ èìïëèêàöèÿ î÷åâèäíà. Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì ìîæíî ðàññìîòðåòü ñëó÷àè �1 è c0 . Äàëåå, îñíîâíîå ñâîéñòâî øêàëû { }EC� ��-0 ñîñòîèò â òîì, ÷òî åå ìîæíî ðàñ- ñìàòðèâàòü êàê ñèñòåìó ïîäïðîñòðàíñòâ E , èçîìîðôíûõ èñõîäíîìó ïðîñòðàíñòâó, êîòîðûå ïëîòíî è êîìïàêòíî âëîæåíû â E . Òåîðåìà 8. Ïóñòü E p� � ( )1� � �p ëèáî E c� 0 . Òîãäà: (i) ïðîñòðàíñòâà EC� , ��- 0 , ïëîòíî âëîæåíû â E . Òî÷íåå, \|\| \|\| \| \| / x x C k p k p k n p � � � � � � � � � � � � � 1 1 äëÿ E p� � ( )1� � �p ; \|\| \|\| sup \| \| x x C k k k � � � �1 äëÿ E c� 0 , 118 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 5 ò.å. E ÿâëÿåòñÿ ëèáî âçâåøåííûì �p , ëèáî âçâåøåííûì c0 ñ âåñîì 1 1 1/ ( / )� �� k , ïðè ýòîì íåïðåðûâíûå âëîæåíèÿ E E C C � �1 2 �� ïëîòíû; (ii) øêàëó { }EC� ��-0 ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê øêàëó ñ êîìïàêòíûìè âëîæå- íèÿìè. Òî÷íåå, âëîæåíèÿ E EC C � �1 2 �� êîìïàêòû òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà � � k k o1 2� ( ) ïðè k ��. Áîëåå òîãî, âñå âëîæåíèÿ E EC� �� êîìïàêòíû. Äîêàçàòåëüñòâî. Óòâåðæäåíèå (³) òåîðåìû 8 íåïîñðåäñòâåííî âûòåêàåò èç îïðåäåëåíèÿ 1. Ïðîâåðèì óòâåðæäåíèå (³³). � Ïóñòü x x Ck p� � ��( )1 1� � ( )1� � �p , ò.å. (\| \| / )xk k p k �1 1 1 � � � � . Òîãäà äëÿ �p ñ âåñîì � �p p k ( / ) : (( / ) )1 12 2 1 1� �� èìååì \|\| ( / ( / )) \|\| \| \| ( / ) ( / ) x xk k k k p k k p k p � � � � � 1 2 1 1 1 2 1 2 � � � � �� 1 1 2 1 1( ) \| \| ( )� � k p k k p k p x � � � � � . ò.å. C p�1 � � ïðèíèìàåò â �p ( / )1 2� ôîðìó ýëëèïñîèäà ~ /C� �1 2 ñ ïîëóîñÿìè ( / )� � k k 1 2 1 � . Ñîãëàñíî òåîðåìå 1 ýëëèïñîèä ~ /C� �1 2 êîìïàêòåí (ò.å. âëîæåíèå E EC C � �1 2 �� êîìïàêòíî) òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ( / )� � k k 1 2 0� . � Àíàëîãè÷íî åñëè x x C ck� � ��( )1 01� , ò.å. sup ( \| \| / ) k k k x � � 1 1 1� , òî äëÿ c0 ñ âå- ñîì c c k0 2 0 2 1 11 1( / ): (( / ) )� �� èìååì \|\| ( / ( / )) \|\| sup \| \| / ( / ) x xk k k c k k k k k � � � � � � 1 2 1 1 1 1 20 2 1� � � � 2 1 1 1� � � sup \| \| k k k x � , ò.å. C c �1 0� ïðèíèìàåò â c0 21( / )� ôîðìó ýëëèïñîèäà ~ /C� �1 2 ñ ïîëóîñÿìè ( / )� � k k 1 2 1 � . Îñòàåòñÿ, ñëåäóÿ ïëàíó äàííîãî äîêàçàòåëüñòâà, ïðèìåíèòü òåîðåìó 1. Çàìå÷àíèå 5. 1. Êàê èçâåñòíî [12, 13], ëþáàÿ ñ÷åòíàÿ èíäóêòèâíàÿ øêàëà áàíà- õîâûõ ïðîñòðàíñòâ ñ êîìïàêòíûìè âëîæåíèÿìè (øêàëà Å’Silva) îáðàçóåò òàê íàçû- âàåìûé ðåãóëÿðíûé èíäóêòèâíûé ïðåäåë. Íàïîìíèì, ÷òî â ýòîì ñëó÷àå ìíîæåñòâî B E� îãðàíè÷åíî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà B ñîäåðæèòñÿ è îãðàíè÷åíî â êà- êîì-ëèáî èç ïðîñòðàíñòâ, îáðàçóþùèõ ïðåäåë. Â òî æå âðåìÿ â ñëó÷àå ïðîñòðàíñòâ E p� � (1� � �p ) ëèáî E c� 0 øàðû èç E íå ñîäåðæàòñÿ íè â êàêîì EC� , ��- 0 . Òà- êèì îáðàçîì, â äàííîì ñëó÷àå ïðåäñòàâëåíèå (12) ñëóæèò ïðèìåðîì íåðåãóëÿðíîãî èíäóêòèâíîãî ïðåäåëà, îáðàçîâàííîãî íåñ÷åòíîé èíäóêòèâíîé øêàëîé áàíàõîâûõ ïðîñòðàíñòâ ñ êîìïàêòíûìè âëîæåíèÿìè. 2. Ââåäåì îòíîøåíèå ýêâèâàëåíòíîñòè â øêàëå { }EC� ��-0 : ( ~ ) ( ~ )C C E Ek k C C� � � � � � � 1 2 1 2 0 1 2 , � � � � � � � � � � � � � , �% , â ñîîòâåòñòâèè ñ (11) è âûáåðåì ñèñòåìó ðàçëè÷íûõ ïðåäñòàâèòåëåé êëàññîâ ýêâè- âàëåíòíîñòè { }C~ ~ ~ � ��-0 , â ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì ôóíäàìåíòàëüíóþ ñèñòåìó êîìïàêò- íûõ ýëëèïñîèäîâ. Ïðè ýòîì ñòðóêòóðà øêàëû { }E Ñ C E�%( ) ñîõðàíÿåòñÿ ñ òî÷íîñ- òüþ äî ýêâèâàëåíòíîñòè íîðì. ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 5 119 5. ÏÐÈËÎÆÅÍÈß Ê Ê-ÄÈÔÔÅÐÅÍÖÈÐÓÅÌÎÑÒÈ È Ê-ÝÊÑÒÐÅÌÓÌÀÌ Ïðèâåäåì ââåäåííîå â [5, 6] ïîíÿòèå Ê -äèôôåðåíöèðóåìîñòè. Âñþäó äàëåå E è F — âåùåñòâåííûå ïîëíûå ËÂÏ, K E( ) — ñèñòåìà âñåõ àáñîëþòíî âûïóêëûõ êîìïàêòíûõ ìíîæåñòâ â E . Îïðåäåëåíèå 3. Ñêàæåì, ÷òî îòîáðàæåíèå f E F: � , îïðåäåëåííîå â íåêîòî- ðîé îêðåñòíîñòè òî÷êè x E� , Ê -äèôôåðåíöèðóåìî (êîìïàêòíî äèôôåðåíöèðóåìî) â òî÷êå x E� , åñëè âñå ñóæåíèÿ f x EC \| � , C K E� ( ), äèôôåðåíöèðóåìû ïî Ôðåøå â ýòîé òî÷êå. Ëèíåéíûé îïåðàòîð " �f x E FK ( ): , îïðåäåëåííûé ðàâåíñòâàìè " � "f x h f x h K EC ( ) ( ) , h EC� ,C K E� ( ), íàçîâåì Ê -ïðîèçâîäíîé f â òî÷êå x. Ê -ïðîèç- âîäíûå âûñøèõ ïîðÿäêîâ îïðåäåëÿþòñÿ àíàëîãè÷íî. Çàìå÷àíèå 6. 1. Â ñëó÷àå, êîãäà E — áàíàõîâî ïðîñòðàíñòâî, " �f x L E FK ( ) ( ; ) ïî ñëåäñòâèþ 1. 2. Îïðåäåëåíèå Ê-äèôôåðåíöèðóåìîñòè ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå ( ( ) ( ) ( )( ) / )f x th f x f x th tK� � � " � � 0 ïðè t �� 0, h C� ( ( ))/ �C E% . (15) Èäåÿ ýòîãî îïðåäåëåíèÿ ïðèíàäëåæèò Æ. Àäàìàðó. Â ñëó÷àå ïñåâäîòîïîëîãè- ÷åñêèõ âåêòîðíûõ ïðîñòðàíñòâ îïðåäåëåíèå (15) èññëåäîâàíî â [14]. Áîëåå îáùåå ïîíÿòèå äèôôåðåíöèðóåìîñòè îòíîñèòåëüíî íåêîòîðîé ñèñòåìû îãðàíè÷åííûõ ìíîæåñòâ â E èññëåäîâàíî, íàïðèìåð, â [15]. 3. Äàæå â ñëó÷àå ãèëüáåðòîâûõ ïðîñòðàíñòâ ñóùåñòâóþò Ê -äèôôåðåíöèðóå- ìûå ôóíêöèîíàëû, íå äèôôåðåíöèðóåìûå ïî Ôðåøå. Íàïðèìåð, È.Â. Ñêðûïíèê [16] ïîêàçàë, ÷òî âàðèàöèîííûé ôóíêöèîíàë (10) íå ÿâëÿåòñÿ äâàæäû äèôôåðåíöè- ðóåìûì ïî Ôðåøå, çà èñêëþ÷åíèåì ñëó÷àÿ «÷èñòîé êâàäðàòè÷íîñòè» èíòåãðàíòà ïî "y . Òåì íå ìåíåå ïðè äîñòàòî÷íî îáùåì óñëîâèè «ïñåâäîêâàäðàòè÷íîñòè» [3, 4] ôóíêöèîíàë (10) äâàæäû Ê -äèôôåðåíöèðóåì. Íàïðèìåð, ôóíêöèîíàëû )1 ( ) cosy y xy dx a b � " "! è )2 21 ( )y y dy ya b � " � " ! ( ( ) ([ ; ]))y W a b� � 2 1 íèãäå íå ÿâëÿþòñÿ äâàæäû ñèëüíî äèôôåðåíöèðóåìûìè, íî âñþäó äâàæäû Ê -äèô- ôåðåíöèðóåìû. Äëÿ ïðîñòðàíñòâ ñ ñèñòåìîé óíèâåðñàëüíûõ êîìïàêòíûõ ýëëèïñîèäîâ èç òåî- ðåìû 6 íåïîñðåäñòâåííî âûòåêàåò ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå. Òåîðåìà 9. Ïóñòü E p� � ( )1� � �p ëèáî E c� 0 , f E F: � . Òîãäà f Ê -äèôôå- ðåíöèðóåìî â òî÷êå x E� â òîì è òîëüêî â òîì ñëó÷àå, åñëè âñå ñóæåíèÿ f x EC \| � � , ��- 0 , ñèëüíî äèôôåðåíöèðóåìû â ýòîé òî÷êå. Äðóãèìè ñëîâàìè, f Ê -äèôôåðåí- öèðóåìî â x, åñëè f x h f x f x h o hK E( ) ( ) ( ) ( \|\| \|\| )( / )� � � " � 1 � äëÿ ïðîèçâîëüíîãî âåñà 1 1 1 � � : � � � �� k ïðè �k � 0. Àíàëîãè÷íî Ê -ïðîèçâîäíûì ââîäèòñÿ ïîíÿòèå Ê -ýêñòðåìóìà. Îïðåäåëåíèå 4. Ñêàæåì, ÷òî ôóíêöèîíàë f E R: � , èìååò Ê -ýêñòðåìóì (êîì- ïàêòíûé ýêñòðåìóì) â òî÷êå x E� , åñëè âñå ñóæåíèÿ f x EC \| � , C K E� ( ) , èìåþò ëî- êàëüíûé ýêñòðåìóì â ýòîé òî÷êå. Ïðèâåäåì äîñòàòî÷íîå óñëîâèå Ê -ìèíèìóìà âàðèàöèîííîãî ôóíêöèîíàëà â W 2 1, ïîëó÷åííîå â [5] ñ ïîìîùüþ òåõíèêè êîìïàêòíûõ ýëëèïñîèäîâ â �2 . Òàêèå ýêñòðå- ìóìû, êàê ïðàâèëî, íåëîêàëüíû. 120 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 5 Òåîðåìà 10. Äîïóñòèì, ÷òî âàðèàöèîííûé ôóíêöèîíàë (10) ïðè y W a b( ) [ ; ]� � � 2 1 , f C� 2 , óäîâëåòâîðÿåò ñëåäóþùèì óñëîâèÿì íà íåêîòîðîé ýêñòðåìàëè y W a b( ) [ ; ]:� � 2 2 * * " � * * " " � * * � * * " � 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 f y x y y f y x y y f y f y ( , , ) , ( , , ) , * * * " � � � � � � � � � � � � � � � � � � " � 2 2 0 f y y x y y( , , ) äëÿ âñåõ x a b�[ ; ] . Òîãäà ) èìååò ñèëüíûé Ê-ìèíèìóì â y( )� . Â çàêëþ÷åíèå çàìåòèì, ÷òî òåõíèêà êîìïàêòíûõ ýëëèïñîèäîâ â îáëàñòè çíà÷å- íèé îòîáðàæåíèé èñïîëüçîâàëàñü íàìè ñîâìåñòíî ñ Ô.Ñ. Ñòîíÿêèíûì â [7] â ñâÿçè ñ òåîðåìàìè òèïà Ðàäîíà–Íèêîäèìà äëÿ èíòåãðàëà Áîõíåðà. ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ 1. Ä à í ô î ð ä Í . , Ø â à ð ö Ä æ . Ò . Ëèíåéíûå îïåðàòîðû. ×àñòü 1: Îáùàÿ òåîðèÿ. — Ì.: Èçä-âî èíîñòð. ëèò, 1962. — 896 ñ. 2. Î ð ë î â È . Â . Ãèëüáåðòîâû êîìïàêòû, êîìïàêòíûå ýëëèïñîèäû è êîìïàêòíûå ýêñòðåìóìû // Ñîâ- ðåìåííàÿ ìàòåìàòèêà. Ôóíäàìåíòàëüíûå íàïðàâëåíèÿ. — 2008. — 29. — Ñ. 165–175. 3. O r l o v I . V . Compact extrema: general theory and its applications to variational functionals // Operator Theory: Advances and Applications. — Basel; Boston; New York: Birkh��auser. — 2009. — 190. — P. 397–417. 4. Á î æ î í î ê Å . Â . Êîìïàêòíûå ýêñòðåìóìû è êîìïàêòíî-àíàëèòè÷åñêèå ñâîéñòâà îñíîâíîãî âàðèà- öèîííîãî ôóíêöèîíàëà â W2 1: Äèññ. … êàíä. ôèç.-ìàò. íàóê. — Ñèìôåðîïîëü: ÒÍÓ, 2008. — 160 ñ. 5. Î ð ë î â È . Â . Íîðìàëüíàÿ äèôôåðåíöèðóåìîñòü è ôóíêöèîíàëüíûå ýêñòðåìóìû â ëîêàëüíî âû- ïóêëûõ ïðîñòðàíñòâàõ // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. — 2002. — ¹ 4. — C. 24–35. 6. Orlov I.V. Extreme problems and scales of the operator spaces // North-Holland Math. Stud. — Amster- dam; Boston: Elsevier, 2004. — 197. — P. 209–228. 7. O r l o v I . V . , S t o n y a k i n F . S . Strong compact properties of the mappings and K -property of Ra- don–Nikodym // Methods of Functional Analysys and Topology . — 2010. — 16, ¹ 2. — Ð. 183–196. 8. Á î ã ä à í ñ ü ê è é Þ . Â . , Ï î ä ê î ë ç ³ í Ã . Á . , × à ï î â ñ ü ê è é Þ . À . Ôóíêö³îíàëüíèé àíàë³ç. Çá³ðíèê âïðàâ. — Ê.: Ïîë³òåõí³êà, 2005. — 234 ñ. 9. R u d i n W . Real and complex analysis. — New York: McGraw-Hill, 1974. — 320 p. 10. Õ å ë å ì ñ ê è é À . ß . Ëåêöèè ïî ôóíêöèîíàëüíîìó àíàëèçó. — Ì.: ÌÑNÌÎ, 2004. — 213 ñ. 11. Ø å ô ô å ð Õ . Òîïîëîãè÷åñêèå âåêòîðíûå ïðîñòðàíñòâà. — Ì.: Ìèð, 1971. — 360 ñ. 12. G i n d i k i n S . G . , V o l e v i c h L . R . Distributions and convolution equations. — New York: Gordon and Breach Sc. Publ., 1992. — 465 p. 13 Ê à í ò î ð î â è ÷ Ë . Â . , À ê è ë î â Ã . Ï . Ôóíêöèîíàëüíûé àíàëèç â íîðìèðîâàííûõ ïðîñòðàíñòâàõ. — Ì.: Ôèçìàòãèç, 1959. — 684 c. 14. Ñ î â à M . Îáùàÿ òåîðèÿ äèôôåðåíöèðóåìîñòè â ëèíåéíûõ òîïîëîãè÷åñêèõ ïðîñòðàíñòâàõ // Chzehosl. Math. J. — 1966. — 16. — P. 339–362. 15. Ë î á à í î â Ñ . Ã . Öåïíîå ïðàâèëî è åãî îáðàùåíèå äëÿ îòîáðàæåíèé â ëîêàëüíî âûïóêëûå ïðîñòðàíñòâà // Ìàò. çàìåòêè. — 1989. — 45, ¹ 1. — Ñ. 339–362. 16. Ñ ê ð û ï í è ê È . Â . Íåëèíåéíûå ýëëèïòè÷åñêèå óðàâíåíèÿ âûñøåãî ïîðÿäêà. — Êèåâ: Íàóê. äóìêà, 1973. — 219 ñ. Ïîñòóïèëà 19.03.2010 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 5 121

Универсальные компакты в lp

Репозитарії

Схожі ресурси