Minimax prediction problem for multidimentional stochastic sequences

Gespeichert in:
Bibliographische Detailangaben
Datum:2008
Hauptverfasser: Moklyachuk, M., Masyutka, A.
Format: Artikel
Sprache:English
Veröffentlicht: Інститут математики НАН України 2008
Online Zugang:http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/4571
Tags: Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:Minimax prediction problem for multidimentional stochastic sequences / M. Moklyachuk ,A. Masyutka // Theory of Stochastic Processes. — 2008. — Т. 14 (30), № 3-4. — С. 89-103. — Бібліогр.: 24 назв.— англ.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id irk-123456789-4571
record_format dspace
spelling irk-123456789-45712009-12-08T12:00:32Z Minimax prediction problem for multidimentional stochastic sequences Moklyachuk, M. Masyutka, A. 2008 Article Minimax prediction problem for multidimentional stochastic sequences / M. Moklyachuk ,A. Masyutka // Theory of Stochastic Processes. — 2008. — Т. 14 (30), № 3-4. — С. 89-103. — Бібліогр.: 24 назв.— англ. 0321-3900 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/4571 en Інститут математики НАН України
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
language English
format Article
author Moklyachuk, M.
Masyutka, A.
spellingShingle Moklyachuk, M.
Masyutka, A.
Minimax prediction problem for multidimentional stochastic sequences
author_facet Moklyachuk, M.
Masyutka, A.
author_sort Moklyachuk, M.
title Minimax prediction problem for multidimentional stochastic sequences
title_short Minimax prediction problem for multidimentional stochastic sequences
title_full Minimax prediction problem for multidimentional stochastic sequences
title_fullStr Minimax prediction problem for multidimentional stochastic sequences
title_full_unstemmed Minimax prediction problem for multidimentional stochastic sequences
title_sort minimax prediction problem for multidimentional stochastic sequences
publisher Інститут математики НАН України
publishDate 2008
url http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/4571
citation_txt Minimax prediction problem for multidimentional stochastic sequences / M. Moklyachuk ,A. Masyutka // Theory of Stochastic Processes. — 2008. — Т. 14 (30), № 3-4. — С. 89-103. — Бібліогр.: 24 назв.— англ.
work_keys_str_mv AT moklyachukm minimaxpredictionproblemformultidimentionalstochasticsequences
AT masyutkaa minimaxpredictionproblemformultidimentionalstochasticsequences
first_indexed 2025-07-02T07:46:56Z
last_indexed 2025-07-02T07:46:56Z
_version_ 1836520483215900672
fulltext ������ �� � � ��� ��� ����� ������ ����� ������� ����� ��������� ������� ������ � � ��� �� ������ ���� ��� ������� ��� � ���� ��� ��� ��� ����� ���������� ���������� ��� ����� ������ �� ��� ��� ����� ��� ��! � �� !� �� �� �� "�#��$� %��"� �� �� �"� ����� A�ξ = ∑∞ j=0�a(j)�ξ(j) ��� AN �ξ = ∑N j=0�a(j)�ξ(j) $� � � ������ �� �� "�#��$� %��"�� �� � !"� � !��� ���� � � ����� � � ��� ��&"�� � �ξ(j) ���� �� � ���%� ��� �� �� ��&"�� � �ξ(j)� j < 0, ���! �� ���� Ξ �� ��&"�� �� $� � �� ��� ��� ��� E�ξ(j) = 0� ‖�ξ(j)‖2 ≤ P � ��� !�' !"! %��"�� �� �� !�����&"��� ������ �� �� �� !�� �� !� �� �� �� �"� ����� A�ξ ��� AN �ξ ��� ��"��� ( � ���$� �� ���� !�' !"! %��"�� �� �� ������ � �� ���� Ξ ) %� �� !�% �) �%���)� ��&"�� �� $� � ��� �� ��! ��� � � )��%� ��� �� �!�� ����� ��� ��� �" �� $ � �� ���� �� �� ��&"�� � �a(j)� �� ������ ���� ����������� ������� �� �������� �� ��� ������ ����� �������! ����� �����" �� ��� #������$ ��%���� ��� ���������& ���'�����' ��'����� ��� ��(���'�� ��� �� ��&�� ����� ��� '�������� ���� � �'���� ��������� �� ��'����� ��� )��*� ���'��& +���! ��� ���� ��! ����'��� *��)� �� �, �, �����$���- +.//01! ���-�& %& �, ������� +./231! ��, �, ��4���- +.//51! �, 6����� +./7718 �, �, ��$��� +./9211, �� ��'��'�! ��*�-��! '�� ���� ����������� �� ��� � �'���� ��������� �� �� ����%�� �� ���� '����, �� ���-� ��� ��%��� ��� #��� ��������' �� ��� ��������' ��������� �� ��� ��)��*� � �'���� ��������� �� ����'�� ����� ��������� %& ����� ��������$, ���� � ���� ��� �� ��� �����" ������ ���������� ������� ��-���� ���� ��� ��������� �� ����'��� ������& �� ��� ���� ���, ���� ��'����� '�� ������ �� � ��$��#'��� ��'������$ �� ��� -���� �� ����� �� �, �, :������ ��� �, :, ;��� +./9<1 ��-� ������������ *��� ��� ��� �� ���� ���� ���, ���� �� � ������ �� ����'� ��������� *��'� ��� � ����� ��� ��� ��������� ���� � '������ '���� �� ��� �������%�� � �'���� ������� �� � ��� ������ �������� � �� �� � ����� � �� ���� ������ � � �� ������ ������ ������ ��� ����� ��� �������� ���������� ��� ����� ��� �� ��� ��� �� ���� ���� ��� �� ��� ������ ����� !�������� �"� ���� ���������� ��� �# �"� ���� ���� ������� � 9/ /5 *(+,-(. */+.0-1,2+ -34 -.5+�-346 *-�02�+- ���������, ����� ��������� ��� '����� ������� ���'� ���& ������4� ��� ����" ��� -���� �� ��� �����, � ���-�& �� ������� �� ������� +��%���1 ������� �� ���� ��'�����$ '�� %� ����� �� ��� � �� %& �, �, ������ ��� �, :, ;��� +./9=1, ��� � �� %& �� >�������� +./=21 ������ %� ���)�� �� ��� #��� ��� *���� ��� ������� � ���'� �� ����� ������� ��%��� ��� ���������& ��'����� *�� �� ����, ?, @���)� +./93! ./9=! .//.1! ?, @���)� ��� �, :, ;��� +./931 ��-����$���� ��� ������� ����� ������� ��� #������$ ��%���� ��� ���������& ��(���'�� *��� ��� ��� �� '��-�� � ����4����� �������, ���� � ���'� ��)�� �� ����%�� �� #�� �(������� ���� ��������� ��� ����� ��-���%�� � �'���� ��������� ��� -������ '������ �� ���������, �� ��� � ��� %& �, ;, ��)�&�'��) +.//3! .//2! .//9! 0555! 055.1! �, ;, ��)�&�'��) ��� �, ��, ���&��)� +055=! 05571 ��� ������� � ���'� �� ����� �������! ����� ������� ��� #������$ ��%���� ��� ��-����$���� ��� ���'������� *��'� �� ��� �� ��� ��)��*� -����� �� ���������& ��'����� ��� ��(���'��, �� ���� ����'�� *� '������� ��� ��%��� �� ���������� �� ��� ��)��*� -���� �� ��� ���'������� A�ξ = ∑∞ j=0�a(j) �ξ(j) ��� AN�ξ = ∑N j=0�a(j) �ξ(j) *��'� �� ��� �� ��� ��)��*� -����� �� � ���������������� ���������& ���'�����' ��(���'� �ξ(j) = {ξk(j)}Tk=1 ���� ��� '���� Ξ �� ��(���'�� �� ��� ���) m +1 ≤ m ≤ T 1 *��'� ������& '��������� E�ξ(j) = {Eξk(j)}Tk=1 = �0, ‖�ξ(j)‖2 = T∑ k=1 E |ξk(j)|2 ≤ P, +.1 %���� �� �%���-������ �� ��� ��(���'� �ξ(j) ��� j < 0. ��� ������� -����� �� ��� ����"�(���� ������ �� ��� � ����� ��������� �� ��� ���'������� A�ξ, AN�ξ ��� �����, �� �� ���*� ���� ����� ������� -����� �� ��� ������ �� ��� '���� Ξ $�-� ��� ��-��$ �-���$� ��(���'�� *��'� ��� ���������� %& ��$��-�'���� �� '�� �'� � ������� '������'��� *��� ��� ��� �� ��� ��(���'� �a(j), �� ���� � ��� � �� ��� ����� �� ���������� �� ��� � � ������ AN�ξ ��� Δ(ξ, ÂN) = E ∣∣∣AN�ξ − ÂN�ξ ∣∣∣2 ������� ��� ����"�(���� ����� �� ��� �������� ÂN�ξ �� ��� ���'������ AN�ξ, ������ %& Λ ��� '���� �� ��� ������ ��������� �� ��� ���'������ AN�ξ, ������� �� ��� ����� � Δ(ξ, ÂN) ��� � �� �� � �� � ��� ��� Ξ × Λ �� ��� � �� � �� ����� �� � � � ���� min ÂN∈Λ max ξ∈Ξ Δ(ξ, ÂN) = max ξ∈Ξ min ÂN∈Λ Δ(ξ, ÂN) = Pν2 N . *(3(*-7 �654(1�(/3 /8 ��/1,-��(1 �5925315� /. ��� ����� ��� ����� ���� ���� ��� ���� ���� �� ����� � �������� � ��� ����� Ξ � � ��� �� ��� ��� ��� � � ��� ����� ��� AN�ξ � � � � �� ������� �������� � ��� � �� N � ��� � �� �ξ(j) = j∑ u=j−N Φ(j − u)�η(u). ���� ν2 N � ��� �������� � �������� � ��� � ����� ����� � QN � ��� ����� CT (N+1) ����� �� �� ���� � � �������� � �� ��� ���� � ��� T × T �� ��� ���� ��� QN = {QN(p, q)}Np,q=0 = min(N−p,N−q)∑ u=0 (�a(p+ u))∗�a(q + u); �η(u) = {ηk(u)}mk=1 � � ���� ���� ��� ���� ���� �� ����� � �������� � �� ��� � ��� ������ E�η(i)(�η(j))∗ = δijE� ����� E � ��� ��� �� ���� �� δij � ��� �� ������ ���� �� Φ(u), u = 0, 1, . . . , N ��� T ×m ���� ���� �������� � �� �� ��� ����� �� �� ��� � ������� � ���� � ����� � � � ν2 N � �� ��� � � � � ‖�ξ(j)‖2 = P � � �� ��*�� %����, ������ %& ΞR ��� '���� �� ��� ��$���� �������" ��������� ���������& ���'�����' ��(���'�� ���� ������& '�������� +.1, ���'� ΞR ⊂ Ξ! *� ��-� max ξ∈Ξ min ÂN∈Λ Δ(ξ, ÂN) ≥ max ξ∈ΞR min ÂN∈Λ Δ(ξ, ÂN). +01 -��& ��$���� ���������������� ���������& ���'�����' ��(���'� ������ ��� '�����'�� ��-��$ �-���$� �� ����������� A05B �ξ(j) = j∑ u=−∞ Φ(j − u)�η(u), +<1 *���� �η(u) = {ηk(u)}mk=1 �� � �������� ���������������� ���������& ���'���" ��' ��(���'� *��� �����$���� -�����! Φ(u) = {Φkl(u)}Tk=1 m l=1 ��� '��C'����� �� ��� '�����'�� �� �����������! m +1 ≤ m ≤ T 1 �� ��� ���) �� ��� ��(���'� �ξ(j) = {ξk(j)}Tk=1, ��� ��(���'� �ξ(j) ∈ ΞR �� ���������� �� ����� �� �������" ��� {Φ(u) : u = 0, 1, . . .} ��'� ���� ∥∥∥�ξ(j)∥∥∥2 = T∑ k=1 E |ξk(j)|2 = T∑ k=1 E ∣∣∣∣∣ j∑ u=−∞ m∑ l=1 Φkl(j − u)ηl(u) ∣∣∣∣∣ 2 = = T∑ k=1 j∑ u,v=−∞ m∑ l,n=1 Φkl(j − u)Φkn(j − v)Eηl(u)ηn(v) = /0 *(+,-(. */+.0-1,2+ -34 -.5+�-346 *-�02�+- = T∑ k=1 j∑ u=−∞ m∑ l=1 |Φkl(u)|2 = ∞∑ u=0 T∑ k=1 m∑ l=1 |Φkl(u)|2 = ∞∑ u=0 ‖Φ(u)‖2 ≤ P. +31 ��� -���� �� ��� ����"�(���� ����� E ∣∣∣AN�ξ − ÂN�ξ ∣∣∣2 �� ������� �� *� ��)� �� �������� ÂN�ξ �� ��� ���� ÂN�ξ = N∑ j=0 �a(j) �̂ ξ(j) = N∑ j=0 T∑ k=1 ak(j)ξ̂k(j), *���� �̂ξ(j) �� �� � ����� �������� �� ��� -���� �ξ(j) %���� �� �%���-������ �� ��� ��(���'� �ξ(p) ��� p < 0, @��� ��� '�����'�� �� ����������� +<1 �� ��� ��$���� ��(���'� ��� ��� ���� �� ��� � ����� �������� �� ��� -����� �̂ξ(j) = −1∑ u=−∞ Φ(j − u)�η(u), +=1 �� �����*� ���� min ÂN∈Λ E ∣∣∣AN�ξ − ÂN�ξ ∣∣∣2 = E ∣∣∣∣∣ N∑ j=0 �a(j) j∑ u=0 Φ(j − u)�η(u) ∣∣∣∣∣ 2 = = N∑ i,j=0 T∑ k,l=1 ak(i)al(j) i∑ u=0 j∑ v=0 m∑ n,r=1 Φkn(i− u)Φlr(j − v)Eηn(u)ηr(v) = = N∑ i,j=0 T∑ k,l=1 ak(i)al(j) min(i,j)∑ u=0 m∑ n=1 Φkn(i− u)Φln(j − u) = = N∑ i,j=0 T∑ k,l=1 ak(i)al(j) Rkl(i, j) = N∑ i,j=0 �a(i)R(i, j)(�a(j))∗, +71 *���� R(i, j) = {Rkl(i, j)}Tk,l=1 , Rkl(i, j) = min(i,j)∑ u=0 m∑ n=1 Φkn(i− u)Φln(j − u). D& '���$��$ �� -����%��� p = i− u, q = j − u! *� '�� �� ������ + 71 �� ��� ���� min ÂN∈Λ E ∣∣∣AN�ξ − ÂN�ξ ∣∣∣2 = N∑ p,q=0 T∑ k,l=1 m∑ n=1 Φkn(p)Φln(q) Q N kl(p, q), +21 *(3(*-7 �654(1�(/3 /8 ��/1,-��(1 �5925315� /< *���� QN kl(p, q) = min(N−p,N−q)∑ u=0 ak(p+ u)al(q + u). +91 ������ %& QN ��� � ������ �� ��� � �'� CT (N+1) ���������� %& ������ *��" '� '������� �� ��� %��')"�����'�� {QN (p, q)}Np,q=0� QN (p, q) = { QN kl(p, q) }T k,l=1 , � ������ QN �� ����"��E���� +��� ������ �� ���������1 ��� '�� �'�, �� '�� %� �� �������� �� ��� ���� QN = AN ·A∗ N ! *���� ��� � ������ AN �� �������" ��� %& ��� ������ {AN (p, q)}Np,q=0 *��'� '������� *��� ��� %��')� �� -�'��� '������F AN (p, q) = { �a∗(p+ q), p+ q ≤ N, �0, p + q > N. ��� � ������ QN ��� �����-� ����"-����� ��$��-�����, �� �����*� ���� +21 ���� Φij(p) = 0 ��� p > N + 1, ������ Φ̃(p) = { P−1/2Φij(p) }T i=1 m j=1! Φ̃ ={ Φ̃(p) }N p=0 , ���� '�������� +31 ��� ��� ���� ‖Φ̃‖2 = N∑ p=0 ‖Φ(p)‖2 ≤ 1, +/1 *���� ‖Φ̃‖ �� ��� ���� �� ��� � �'� CTm(N+1), @��� +21 ��� +/1 �� �����*� ���� min ÂN∈Λ Δ(ξ, ÂN) = P 〈 QN Φ̃, Φ̃ 〉 , *���� 〈·, ·〉 �� ��� �'���� ����'� �� ��� � �'� CTm(N+1) ��� QN Φ̃ �� ��� ������ '������'��� *��� ��� ��� �� %��')"�����'�� QN Φ̃ = { QN Φ̃(p, q) }N p,q=0 = { QN(p, q) · Φ̃(q) }N p,q=0 . ��)��$ ���� �''���� +01! *� *��� ��-� ��� �����*��$ ��*�� %���� ��� ����" ��� �� ��� ����"�(���� ����� max ξ∈Ξ min ÂN∈Λ Δ(ξ, ÂN) ≥ P max ‖Φ̃‖≤1 〈 QN Φ̃, Φ̃ 〉 = Pν2 N . +.51 ���� ν2 N �� ��� $������� ��$��-���� �� ��� � ������ QN , �� %����, 6� *��� ��� ��� �����*��$ ���(�����& �� #�� �� � �� %���� �� ��� ����"�(���� ����� min ÂN∈Λ max ξ∈Ξ Δ(ξ, ÂN) ≤ min ÂN∈Λ1 max ξ∈Ξ Δ(ξ, ÂN). +..1 /3 *(+,-(. */+.0-1,2+ -34 -.5+�-346 *-�02�+- ���� Λ1 �� ��� '���� �� ��� ������ ��������� �� ��� ���'������ AN�ξ! *��'� ��-� ��� ���� ÂN�ξ = −1∑ j=−∞ �c(j)�ξ(j). +.01 *���� �c(j) = {ck(j)}Tk=1 ��� '�� ��� -�'���� ��'� ���� ∑−1 j=−∞ ‖�c(j)‖2 <∞, ��� � �'���� �� ������������ �� ��� ���������������� ���������& ���'�����' ��(���'� ��� ��� '���������� ���'����� $�-�� �� � ����%����& ��$�� ��� �������� Δ(ξ, ÂN) = E ∣∣∣AN�ξ − ÂN�ξ ∣∣∣2 = E ∣∣∣∣∣ N∑ j=0 �a(j)�ξ(j) − −1∑ j=−∞ �c(j)�ξ(j) ∣∣∣∣∣ 2 = = E ∣∣∣∣∣ ∫ π −π ( N∑ j=0 �a(j)eijλ − −1∑ j=−∞ �c(j)eijλ ) Z(dλ) ∣∣∣∣∣ 2 = = ∫ π −π ( AN(eiλ) − C(eiλ) ) F (dλ) ( AN (eiλ) − C(eiλ) )∗ , AN(eiλ) = N∑ j=0 �a(j)eijλ, C(eiλ) = −1∑ j=−∞ �c(j)eijλ. ���� Z(dλ) = {Zk(dλ)}Tk=1 �� ��� � �'���� ������ ������� ��� F (dλ) = {Fkl(dλ)}Tk,l=1 �� ��� � �'���� ������"-����� ������� �� ��� ������������" ���� ���������& ��(���'�, ������� Fkl(dλ) �� ��� � �'���� ������"-����� ������� ��� '�� ��� �������� *��� %������ -�������� *��'� ������& ��� �����*��$ '��������� A05B Fkk(dλ) ≥ 0, |Fkl(dλ)|2 ≤ Fkk(dλ)Fll(dλ). +.<1 ��������� +.1 ���� ���� ∫ π −π Tr F (dλ) ≤ P. +.31 @��� ����� ������� max ξ∈Ξ Δ(ξ, ÂN) = = max F ∫ π −π ( AN(eiλ) − C(eiλ) ) F (dλ) ( AN(eiλ) − C(eiλ) )∗ ≤ ≤ max F ∫ π −π ∥∥AN(eiλ) − C(eiλ) ∥∥2 ‖F (dλ)‖ ≤ ≤ max λ∈[−π,π] ∥∥AN(eiλ) − C(eiλ) ∥∥2 ∫ π −π ‖F (dλ)‖ . *(3(*-7 �654(1�(/3 /8 ��/1,-��(1 �5925315� /= �� �����*� ���� +.<1 ��� +.31 ���� ��� � �'���� ������"-����� ������� ������& '�������� π∫ −π ‖F (dλ)‖ = π∫ −π ( T∑ k,l=1 ‖Fkl(dλ)‖2 )1/2 ≤ π∫ −π ( T∑ k,l=1 Fkk(dλ)Fll(dλ) )1/2 = = ∫ π −π T∑ k=1 Fkk(dλ) = ∫ π −π Tr F (dλ) ≤ P. @��� ����� ������� *� ��-� max ξ∈Ξ Δ(ξ, ÂN) ≤ P max λ∈[−π,π] ∥∥AN(eiλ) − C(eiλ) ∥∥2 . �� �������� max λ∈[−π,π] ∥∥AN (eiλ) − C(eiλ) ∥∥2 *� '������� ��� '���� �� -�'���"-����� �*�� ������ �f(z) = ∑∞ n=0 �α(n)zn! *��'� ��� ��$���� �� ��� ���� ���) |z| < 1 ��� ����� ���� $�-�� ��������∑N j=0 �d(j)zj , ������ %& ρ2 N ��� $������� ��$��-���� �� ��� ������ H = {H(p, q)}Np,q=0 '������'��� *��� ��� ��� �� %��')"�����'�� H(p, q) = min(p,q)∑ j=0 �d∗(p− j)�d(q − j), p, q = 0, N. ���� *� ��-� ��� �����*��$ �������� A0B min {�α(n):n≥N+1} max |z|=1 ∥∥∥�f(z) ∥∥∥2 = ρ2 N . ���'� �� ��� '��� �d(p) = �a(N − p), p = 0, N ! *� ��-� �� #�� ��� $������� ��$��-���� �� ��� ������ '������'��� *��� ��� ��� �� %��')"�����'�� GN = {GN(p, q)}Np,q=0 , GN(p, q) = min(p,q)∑ u=0 (�a(N − p+ u))∗�a(N − q + u). ������ ���� ��$��-���� %& ω2 N , ��� *� *��� ��-� min ÂN∈Λ1 max ξ∈Ξ Δ(ξ, ÂN) ≤ Pω2 N . �� �����*� ���� +..1 ���� min ÂN∈Λ max ξ∈Ξ Δ(ξ, ÂN) ≤ Pω2 N . +.=1 /7 *(+,-(. */+.0-1,2+ -34 -.5+�-346 *-�02�+- ��* ���� ���� GN(N−p,N−q) = QN (p, q), ��������� ω2 N = ν2 N , ��������� +.51 ��� +.=1 $�-� �� ��� ���(�����& min ÂN∈Λ max ξ∈Ξ Δ(ξ, ÂN) ≤ max ξ∈Ξ min ÂN∈Λ Δ(ξ, ÂN). +.71 ���'� ��� � ����� ���(�����& ����� ����! *� ��-� �(�����& �� +.71, ��� ���� �� '�� ����, @��� ��� ���� �� ��� ������� *� ��-� � '������'���� �� ��� � ����� ������� �������� �� ��� ���'������ AN�ξ, ��� ��� �� ��� �� ��� � � ��� ��� ���� ÂN�ξ � ��� ����� ��� AN�ξ � � ��� � �� ÂN�ξ = N∑ j=0 �a(j) ( −1∑ u=j−N Φ(j − u)�η(u) ) , ����� �η(u) = {ηk(u)}mk=1 � � ���� �� ���� ������� ���� ���� �� ����� � �������� � �� ��� � ��� ������� Φ(u) = {Φij(u)}Ti=1 m j=1 � �� ����� ����� � �� �� � ������� � � ��� ����� � QN �� �� � ����� � � � ��� �������� � � �������� ν2 N � �� � � � � ‖�ξ(j)‖2 = P � !� ���� ����� ���� � ���� ���� �������� � ��� � � ��� ���� (m = 1)� ��� ���� � Φ = {Φ(u)}Nu=0� ���� � �� � ��� � ��� �� ������� �� Φ(u) = {Φk(u)}Tk=1� � � ������� � � ��� ����� � QN � �� �� � ����� � � � ��� �������� � �������� ν 2 N � ������� � .� = 1 ��� �� A1 �ξ = ξ1(0)+ ξ2(0)+ ξ1(1)+ ξ2(1)� ��� � )��%��"�� �� �� ����� �� Q1 ��� �&"�� � λ1,2 = 2±√ 2� ��������� ν2 1 = 2+ √ 2� 5 )��%� �� �� �� ����� �� $� � ���������� � �� )��� �� � )��%��"� ν2 1 = 2 + √ 2 � �� �� ���! Φ = {Φ(0),Φ(1)}� $���� Φ(0) = ( √ 2/2, 1/2 ) ,Φ(1) = ( 1/2, 0 ) . (� �� ��� �� �� ! � !�� ���# (m = 1)� �� ���� ��%��� �� ��&"�� � �ξ(j) � �� �� ���! �ξ(j) = Φ(0)η(j) + Φ(1)η(j − 1) = 1/2 · ( √ 2η(j) + η(j − 1), η(j) ) . ��� �� !�� � ���� ! � !�' �� !� � Â1 �ξ �� �� �"� ���� A1 �ξ � �� �� ���! Â1 �ξ = �a(0)Φ(1)η(−1) = η(−1)/2. (� �� ��� �� �� !�' !�� ���# (m = 2)� �� ���� ��%��� �� ��&"�� � �ξ(j) � �� �� ���! �ξ(j) = Ψ(0)�η(j) + Ψ(1)�η(j − 1), $���� Ψ(0), Ψ(1) ��� 2 × 2 !� � �� ��� �" �� $ � �� ���� �� �� %� ��� ��"!�� Ψ(0) = 1/ √ 2 · {Φ(0),Φ(0)} ,Ψ(1) = 1/ √ 2 · {Φ(1),Φ(1)} . *(3(*-7 �654(1�(/3 /8 ��/1,-��(1 �5925315� /2 ��������� �ξ(j) = 1 2 √ 2 ( √ 2(η1(j) + η2(j)) + η1(j − 1) + η2(j − 1), η1(j) + η2(j) ) . ��� �� !�� � ���� ! � !�' �� !� � Â1 �ξ �� �� �"� ���� A1 �ξ � �� �� ���! Â1 �ξ = �a(0)Ψ(1)�η(−1) = 1 2 √ 2 (η1(−1) + η2(−1)) . ��� !�����&"��� ������ � � � ���� ��� �� )��� �� ��� 2 + √ 2� ������� .� = 1 ��� �� A1 �ξ = ξ1(0) + ξ2(0) + ξ1(1) + ξ2(1)� � )��%��"�� �� �� ����� �� Q1 ��� �&"�� � 3 ± √ 5� ��������� ν2 1 = 3 + √ 5� 5 )��%� �� �� �� ����� �� $� � ���������� � �� )��� �� � )��%��"� ν2 1 � �� �� ���! Φ = {Φ(0),Φ(1)}� $���� Φ1(0) = Φ2(0) = √ (5 + √ 5)/20,Φ1(1) = Φ2(1) = √ (5 − √ 5)/20. (� �� ��� �� �� ! � !�� ���# (m = 1)� �� ���� ��%��� �� ��&"�� � �ξ(j) � �� �� ���! �ξ(j) = Φ(0)η(j) + Φ(1)η(j − 1) = = √ (5 + √ 5)/20 ( η(j), η(j) ) + √ (5 − √ 5)/20 ( η(j − 1), η(j − 1) ) . ��� �� !�� � ���� ! � !�' �� !� � � �� �� ���! Â1 �ξ = �a(0)Φ(1)η(−1) = √ (5 − √ 5)/5η(−1). (� �� ��� �� �� !�' !�� ���# (m = 2)� �� ���� ��%��� �� ��&"�� � �ξ(j) � �� �� ���! �ξ(j) = Ψ(0)�η(j)+Ψ(1)�η(j−1) = √ (5 + √ 5)/40·I ·�η(j)+ √ (5 − √ 5)/40·I ·�η(j−1), $���� I � � �&"��� !� � ' ���!�� � �� $� � ��� "� �� ��� �� !�� � ���� ! � !�' �� !� � � �� �� ���! Â1 �ξ = �a(0)Ψ(1)�η(−1) = √ (5 − √ 5)/10 (η1(−1) + η2(−1)) . ��� !�����&"��� ������ � � � ���� ��� �� )��� �� ��� 3 + √ 5� �� ���� � ��� � �� ��� ����� �� ���������� �� ��� � � ������ A�ξ ������� � "�� ��� �������� � ���� �� �a(j), j = 0, 1, . . . ��� �#�� � � � � �� T∑ k=1 ∞∑ j=0 |ak(j)| <∞, ∞∑ j=0 (j + 1) ‖�a(j)‖2 <∞, +.21 /9 *(+,-(. */+.0-1,2+ -34 -.5+�-346 *-�02�+- ��� ����� � Δ(ξ, Â) ��� � �� �� � �� � ��� ��� Ξ×Λ �� ��� � �� � �� ����� �� � � � ���� min Â∈Λ max ξ∈Ξ Δ(ξ, Â) = max ξ∈Ξ min Â∈Λ Δ(ξ, Â) = Pν2. ��� ����� ��� ����� ���� ���� ��� �� ����� � �������� � ��� ����� Ξ � � ��� �� ��� ��� ���� � ��� ����� ��� A�ξ � � � � �� ������� �������� � ��� � �� �ξ(j) = j∑ u=−∞ Φ(j − u)�η(u). ���� ν2 � ��� �������� � �������� �� Φ = {Φ(u)}∞u=0 � ��� � ����� � �� � ������� � � ��� � ����� ����� � Q � ��� ����� �2 ����� �� �� ���� � � �������� � �� ��� ���� � ��� �� ������� ��� Q = {Q(p, q)}∞p,q=0 , Q(p, q) = ∞∑ u=0 �a∗(p+ u)�a(q + u), �η(u) = {ηk(u)}mk=1 � � ���� ���� ��� ���� ���� �� ����� � �������� � � �� ��� � ��� ������� Φ = {Φ(u)}∞u=0 ��� ���� ���� �������� � �� �� ��� ����� �� �� ��� � ������� � � ��� ����� � Q ���� � ����� � � � ν2� �� ��� � � � � ‖�ξ(j)‖2 = P � � �� ��*�� %����, ��� ξ ∈ ΞR, ���� *� ��-� ��� ���(�����& max ξ∈Ξ min Â∈Λ Δ(ξ, Â) ≥ max ξ∈ΞR min Â∈Λ Δ(ξ, Â). +.91 ��)��$ ��� ��� '�����'�� �� ����������� �� ��� ��$���� ���������& ��(���'� +<1 ��� ��� ���� +=1 �� ��� � ����� ��������! *� $�� min Â∈Λ Δ(ξ, Â) = min Â∈Λ E ∣∣∣A�ξ − Â�ξ ∣∣∣2 = E ∣∣∣∣∣ ∞∑ j=0 �a(j) j∑ u=0 Φ(j − u)�η(u) ∣∣∣∣∣ 2 = = ∞∑ p,q=0 T∑ k,l=1 m∑ n=1 Φkn(p)Φln(q)Qkl(p, q), +./1 *���� Q(p, q) = {Qkl(p, q)}Tk,l=1 , Qkl(p, q) = ∞∑ u=0 ak(p+ u)al(q + u). +051 ������ %& Q ��� � ������ �� ��� ���%��� � �'� �2 ���������� %& ��� ������ '������'��� *��� ��� ��� �� %��')"�����'�� Q = {Q(p, q)}∞p,q=0, ���'� ����� ��� �����#�� '��������� +.21 ��� ∞∑ p,q=0 ‖Q(p, q)‖2 = ∞∑ p,q=0 T∑ k,l=1 |Qkl(p, q)|2 = *(3(*-7 �654(1�(/3 /8 ��/1,-��(1 �5925315� // = ∞∑ p,q=0 T∑ k,l=1 ∣∣∣∣∣ ∞∑ u=0 ak(p+ u)al(q + u) ∣∣∣∣∣ 2 ≤ ≤ ∞∑ p,q=0 T∑ k,l=1 ( ∞∑ u=0 |ak(p+ u)|2 · ∞∑ u=0 |al(q + u)|2 ) = = ( ∞∑ p=0 T∑ k=1 ∞∑ u=0 |ak(p+ u)|2 )2 = = ( ∞∑ p=0 ∞∑ u=0 ‖�a(p+ u)‖2 )2 = ( ∞∑ p=0 (p+ 1) ‖�a(p)‖2 )2 , *� ��-� ‖Q‖ ≤ N(Q) ≤ ∞∑ p=0 (p+ 1) ‖�a(p)‖2 <∞, *���� N(Q) �� ��� ���%���"�'����� ���� �� ��� � ������ Q, ��� � ������ Q �� � ����"��E���� ���%���"�'����� � ������ ., �� '�� %� �� �������� �� ��� ���� Q = A ·A∗! *���� ��� � ������ A �� ���������� %& ������ '������'��� *��� ��� ��� �� %��')"'������ A = {A(p, q)}∞p,q=0 = {�a(p+ q)}∞p,q=0, @�� ����� ������� ��� � ������ Q ��� ����"-����� �����-� ��$��-�����, ��� � ������ A �� �� ���%���"�'����� � ������ ��� ��� ���%���"�'����� ���� �� �(��� �� N(A) = ( ∞∑ p=0 (p+ 1) ‖�a(p)‖2 )1/2 . ���'� Φ̃(p) = { P−1/2Φij(p) }T i=1 m j=1! ���� +./1 '�� %� �� �������� �� ��� ���� min Â∈Λ Δ(ξ, Â) = P 〈 QΦ̃, Φ̃ 〉 . ��)��$ ���� �''���� ������'����� +31! *� *��� ��-� max ξ∈ΞR min Â∈Λ Δ(ξ, Â) = P max ‖Φ̃‖=1 〈 QΦ̃, Φ̃ 〉 = Pν2, *���� ν2 �� ��� $������� ��$��-���� �� ��� � ������ Q! 〈 ·, ·〉 �� ��� �'���� ����'� �� ��� � �'� �2, �� �����*� ���� +.91 ���� *� '�� �������� ��� ����" ��� -���� �� ��� ����� max ξ∈Ξ min Â∈Λ Δ(ξ, Â) ≥ Pν2. +0.1 .55 *(+,-(. */+.0-1,2+ -34 -.5+�-346 *-�02�+- �� %����, ������� ��� ��(���'� �� � ������� QN ���������� %& �����'�� +91 ��� ��� � ������ Q ���������� %& �����'�� +051, ���'� '����" ����� +.21! *� ��-� N(Q−QN) = ∞∑ p=N+1 (p+ 1) ‖�a(p)‖2 → 0, ��� N → ∞, ��)��$ ���� �''���� ���� ‖Q−QN‖ ≤ N(Q−QN), *� *��� $�� lim N→∞ ‖Q−QN‖ = 0. �� ��� ��(���'� �� � �������QN '��-��$�� �� ��� � ������Q, @�� ���� ������ A.! <B lim N→∞ ν2 N = ν2! *���� ν2 N �� ��� $������� ��$��-���� �� ��� � ������ QN ! ��� ν2 �� ��� $������� ��$��-���� �� ��� � ������ Q, @��� ������� . �� �����*� ���� min Â∈Λ max ξ∈Ξ Δ(ξ, Â) = lim N→∞ min ÂN∈Λ max ξ∈Ξ Δ(ξ, ÂN) = lim N→∞ Pν2 N = Pν2. +001 @��� ��������� +001 ��� +0.1 *� ��-� min Â∈Λ max ξ∈Ξ Δ(ξ, Â) = Pν2 ≤ max ξ∈Ξ min Â∈Λ Δ(ξ, Â), *���� ���& �(�����& �� ����%��, ������� �� ��-��, ��� ��� � ��� �� ��� � � ��� ��� ���� Â�ξ � ��� ����� ��� A�ξ � � ��� � �� Â�ξ = ∞∑ j=0 �a(j) [ −1∑ u=−∞ Φ(j − u)�η(u) ] , ����� �η(u) = {ηk(u)}mk=1 � � ���� �� ���� ������� ���� ���� �� ����� � �������� � �� ��� � ��� ������� Φ(u) = {Φij(u)}Ti=1 m j=1, u = 0, 1, . . . � �� ����� ����� �� �� � ������� � � ��� ����� � Q �� �� � ����� � � � ��� �������� � �������� ν2� �� � � � � ‖�ξ(j)‖2 = P � !� ���� ����� ���� � ���� ���� �������� � ��� � � ��� ���� (m = 1) ��� ���� � �� �� � �� ��� � ��� �� ������� �� Φ = {Φ(u)}∞u=0� � � ������� � � ��� ����� � Q� �� �� � ����� � � � ��� �������� � �������� ν2� ������� � .� = 1 ��� �� A�ξ = ∑T k=1 ∑∞ j=0 e−λjξk(j)� λ > 0� 5��!�� � �� �� �� #�!� � �� �� �� ����� �� Q ��� �� �� ���! Qkl(p, q) = ∞∑ u=0 ak(p + u)al(q + u) = e−λ(p+q)(1 − e−2λ)−1. ���� *(3(*-7 �654(1�(/3 /8 ��/1,-��(1 �5925315� .5. ��� � )��%��"�� �� �� ����� �� Q ��� �� ��! ��� � �� ��� �! �� �&"� ��� μΦk(p) = T∑ l=1 ∞∑ s=0 e−λ(p+s)(1 − e−2λ)−1Φl(s), k = 1, T , p = 0, 1, . . . . ���� 8��! ���� $� $ �� )� �� Φk(p) � �� �� ���! Φk(p) = Ce−λp, k = 1, T � ��� ��� �� C � �� ��! ��� � �� ���!�� : �) ��� ��� (� �� ��� �� �� ! � !�� ���# (m = 1) $� ��%� C = (1 − e−2λ)1/2T−1/2, Φk(p) = T−1/2(1 − e−2λ)1/2e−λp, k = 1, T . �" � " �� �� ����� �'����� ��� � � ���� ) %�� "� μ = T (1 − e−2λ)−2� (� �� ��� �� �� ! � !�� ���# (m = 1)� ��� ���� ��%��� �� � �� ���� Ξ %� ���%��"�� � � ����� ��&"�� � �ξ(j) � � !�% �) �%���)� ��&"�� � �� �� ���! �ξ(j) = T−1/2(1 − e−2λ)1/2e−λj j∑ u=−∞ eλuη(u)I, $���� I � � �&"��� !� � ' ���!�� � �� $� � ��� "� �� �η(u) = {ηk(u)}Tk=1 � � � ������ %� �� ��&"�� � $ � �� ��)���� %��"��� ��� �� !�� � ���� ! � !�' �� !� � Â�ξ �� �� �"� ���� A�ξ � �� �� ���! Â�ξ = T 1/2(1 − e−2λ)1/2 ∞∑ j=0 e−2λj [ −1∑ u=−∞ eλuη(u) ] . (� �� ��� �� !�' !�� ���# m = T $� $ �� ��%� �ξ(j) = T−1(1 − e−2λ)1/2e−λj j∑ u=−∞ eλu I �η(u), Â�ξ = (1 − e−2λ)1/2 ∞∑ j=0 e−2λj [ T∑ k=1 −1∑ u=−∞ eλuηk(u) ] , $���� I � � �&"��� !� � ' ���!�� � �� $� � ��� "� �� �η(u) = {ηk(u)}Tk=1 � � � ������ %� �� ��&"�� � $ � �� ��)���� %��"��� ��� !�����&"��� ������ � � � ���� ��� �� )��� �� ��� T (1 − e−2λ)−2� �� ��� � ����� 6� �� ��� �������� ��� '��'������� ��� ���� �(���� ������ ��� ��� � �'���� '����'�������' �� ��� � ����� ������ �������� �� ��� ��)��*� -���� �� ��� ���'������� A�ξ = ∑∞ j=0�a(j) �ξ(j) ��� AN�ξ = ∑N j=0�a(j) �ξ(j) *��'� �� ��� �� ��� ��)��*� -����� �� � ���������������� ���������& ���'�����' ��(���'� �ξ(j) %���� �� �%���-������ �� ��� ��(���'� �ξ(j) ���� ��� '���� Ξ �� ��(���'�� *��'� ������& '��������� E�ξ(j) = 0! ‖�ξ(j)‖2 ≤ P ! ��� j < 0. .50 *(+,-(. */+.0-1,2+ -34 -.5+�-346 *-�02�+- @������� ��� �� ���� ���� ��������� ��� ������� -����� �� ��� ����" �(���� ������ �� ��� � ����� ��������� �� ��� ���'������� A�ξ ��� AN�ξ �� ��� '���� Ξ, �� �� ���*� ���� ����� ������� -����� �� ��� ������ �� ��� '���� Ξ $�-� ��� ��-��$ �-���$� ��(���'�� ���������� %& ��$��-�'���� �� '�� �'� � ������� '������'��� *��� ��� ��� �� ��� ��(���'� �a(j), ������� �� �� ;<=>?>@� A� B�� CDE?FEG� B� H�� ������ ���� � � ���� ����� � ����� �������� ������ ������ H�I JAEKLEM� ��NN� �� C@>GEGO>@� P�� Q>R>� C� �������� ���� � �� ����������� H�I BS� ��N�� �� CKDO� Q�� � �� ����� � ����� � � � � � � ��������� � �� ������ H�I JAEKLEM� ��T�� �� 8���#�� U�� �� �� !"#$%� &! '()�("� *�' (�� !&"+*�("� ", �(- % !( % (� �� &! % �) ", )"!! +*� ' �"(% � U� � !� ��� �� -����� �� � ������� ��� �� ��TV ���� W� 8���#�� U�� .(�(-*/ !"#$%� &! '()�("� ", '(%)! � �(- % !( %� X� Y���� �� ���$� Z� � �� �� ����W�� ��TV�N�� N� 8���#�� U� ��� ����� ,� �� .(�(-*/0!"#$%� 1+� !(�2 *�' 1�(� 0+ �2�� !"#$%� &! '()�"!%� (� 6� "� ��� 3��� ���� � !� ��� �� -����� � �,� ��� ��)� ����� .� "�� 3� �� � � � � �� ��� �)��������)� �� ������� �TV��N� T� 8���#�� U�� 3 2 � !*+ 4 !%("� ", 5! (-*�6% -(�(-*/ 1+� !� 3� � � *� �!� � �� �� ������� �WTV�TW� �� Z��������� 2�� 3 &! '()�("� &!"#+ - (� 2*- �� "!7� -�#� *� �� � ���WT�� �T�V�T�� �� +� �� �� ��� 3 4( 8 ", ��! ' )*' % ", +(� *! 1+� !(�2 �� "!7� (555 ������ �� (����!� ������� �� ���T��� ��� �� ��NV���� ��� +����!� �� -� ��� ����� ,� �� 9"#$%� � )��(:$ % ,"! %(2�*+ &!") %%(�2; 3 %$!4 7� ��� � (555� �� ����W�� ��� �� ���V���� ��� +��!�)���%� -� 3�� < + )� ' 8"!=% ", 3> ?> @"+-"2"!"4> A"+> BB; C!"#*#(+(�7 �� "!7 *�' -*�� -*�()*+ %�*�(%�()%>D 5�� � -� 3� �� �����%� *� ��!� � ��� ( � -��� � ���� ��% � ��� ��� �N� 4����� � � �I +�"$�� - ���! �" � ������ ������� ��� *�#��� �"#� *� ��� <�")�*%�() *$�"! 2! %%(4 % :$ �) *�' -(�(-*/ (�� !� &"+*�("�� ������ ��� � � ��� *� �� � � �� �� ������� �WV���� ��� *�#��� �"#� * #�� �� E%�(-*� % ", %�")�*%�() &!") %% % ,!"- "#% !4*�("�% 8(�� �"(% � ������ � � �� ��� ����� � ��� ����T�� ������� ���V���� ��� *�#��� �"#� *� ��� E/�!*&"+*�("� ", %�*�("�*!7 % :$ �) % ,!"- "#% !4*�("�% 8(�� �"(% � ������ ��� � � ��� *� �� � � �� �� ������� ���V���� �W� *�#��� �"#� * #�� �� 9"#$%� &!") '$! % (� �(- % !( % *�*+7%(%� ������ � � �� ��� ����� � ��� ������� ������� ��TV��T� *(3(*-7 �654(1�(/3 /8 ��/1,-��(1 �5925315� .5< �N� *�#��� �"#� * #�� �� F*- �� "!7 *�' )"�4 / "&�(-(G*�("� - ��"'% (� !"#$%� %�(-*�("� &!"#+ -%� ������ � � �� ��� ����� � ��� ������� ������� �W�V�N�� �T� *�#��� �"#� *� �� ��� *���" #�� -� 0"�� B�� !&"+*�("� ", 4 )�"!�4*+$ ' %�*�("�*!7 % :$ �) %� ������ ��� � � ��� *� �� � � �� �� ����W�� ���V���� ��� *�#��� �"#� *� �� ��� *���" #�� -� 0"�� E/�!*&"+*�("� ", 4 )�"!�4*+$ ' %�*�("�*!7 % :$ �) %� � ���� ���� 8 :��*� � 3�"#�� +� %� 2� %� (!� ������ ���% ���#�� � ����W�� N�VT�� ��� *�#��� �"#� * #�� � �� ��� *���" #�� -��#����� 0"�� E/�!*&"+*�("� ", -$+�('(- �%("�*+ %�*�("�*!7 &!") %% %� 6����! /���� ��� � � �� 5&"�� � ����N�� ���V���� ��� 6�:���%� 0"� -�� <�*�("�*!7 %�")�*%�() &!") %% %� ��� ��%� ��� *�� �$� J3�"#�[� ����� �5�)� �� ������ �� �� ���� ,������4��� ��� 8��� � �� ��NT� ��� ��� ���� +� �� ��� ����� ,� ��� 3� *�*+7%(% ", �� H )�% ", %& )�!*+ $�) !�*(� ��7 "� I( � ! 1+� !(�2� -" �!� �� �� ������� ���V���� ��� Y ����� 3�� E/�!*&"+*�("�D (�� !&"+*�("�D *�' %-""��(�2 ", %�*�("�*!7 �(- % !( %> I(�� �2(� !(�2 *&&+()*�("�%� 1�! � �)�� *����I ��� *� (� �� ������ *���� �"�� � (�� " � �� �� �����)�� ���NN�� ��� 0�)��!� -� *�� J"!! +*�("� �� "!7 ", %�*�("�*!7 *�' ! +*� ' !*�'"- ,$�)�(� "�%> A"+> B; 5*%() ! %$+�%> ��� �)�� ��� �� � � � � �� 3�$ 0��# � �I ��� �)��������)� ����T�� ��� 0�)��!� -� *�� J"!! +*�("� �� "!7 ", %�*�("�*!7 *�' ! +*� ' !*�'"- ,$�)�(� "�%> A"+> BB; <$&&+ - ��*!7 �"� % *�' ! , ! �) %> ��� �)�� ��� �� � � � � � �� 3�$ 0��# � �I ��� �)��������)� ����T�� ���� ����� �� � ��������� ���� � ��� ������������ ����������� ���� ������� �� �� ��������!� "���� ����� ���� #�$#�� "! ���� E�-*(+ *''! %% I !!�\"� %�# �%�"�