Minimax prediction problem for multidimentional stochastic sequences
Gespeichert in:
Datum: | 2008 |
---|---|
Hauptverfasser: | , |
Format: | Artikel |
Sprache: | English |
Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2008
|
Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/4571 |
Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
Zitieren: | Minimax prediction problem for multidimentional stochastic sequences / M. Moklyachuk ,A. Masyutka // Theory of Stochastic Processes. — 2008. — Т. 14 (30), № 3-4. — С. 89-103. — Бібліогр.: 24 назв.— англ. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraineid |
irk-123456789-4571 |
---|---|
record_format |
dspace |
spelling |
irk-123456789-45712009-12-08T12:00:32Z Minimax prediction problem for multidimentional stochastic sequences Moklyachuk, M. Masyutka, A. 2008 Article Minimax prediction problem for multidimentional stochastic sequences / M. Moklyachuk ,A. Masyutka // Theory of Stochastic Processes. — 2008. — Т. 14 (30), № 3-4. — С. 89-103. — Бібліогр.: 24 назв.— англ. 0321-3900 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/4571 en Інститут математики НАН України |
institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
collection |
DSpace DC |
language |
English |
format |
Article |
author |
Moklyachuk, M. Masyutka, A. |
spellingShingle |
Moklyachuk, M. Masyutka, A. Minimax prediction problem for multidimentional stochastic sequences |
author_facet |
Moklyachuk, M. Masyutka, A. |
author_sort |
Moklyachuk, M. |
title |
Minimax prediction problem for multidimentional stochastic sequences |
title_short |
Minimax prediction problem for multidimentional stochastic sequences |
title_full |
Minimax prediction problem for multidimentional stochastic sequences |
title_fullStr |
Minimax prediction problem for multidimentional stochastic sequences |
title_full_unstemmed |
Minimax prediction problem for multidimentional stochastic sequences |
title_sort |
minimax prediction problem for multidimentional stochastic sequences |
publisher |
Інститут математики НАН України |
publishDate |
2008 |
url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/4571 |
citation_txt |
Minimax prediction problem for multidimentional stochastic sequences / M. Moklyachuk ,A. Masyutka // Theory of Stochastic Processes. — 2008. — Т. 14 (30), № 3-4. — С. 89-103. — Бібліогр.: 24 назв.— англ. |
work_keys_str_mv |
AT moklyachukm minimaxpredictionproblemformultidimentionalstochasticsequences AT masyutkaa minimaxpredictionproblemformultidimentionalstochasticsequences |
first_indexed |
2025-07-02T07:46:56Z |
last_indexed |
2025-07-02T07:46:56Z |
_version_ |
1836520483215900672 |
fulltext |
������ �� � �
���
���
�����
������ ����� ������� ����� ���������
������� ������ �
� ��� ��
������ ����
���
������� ��� �
���� ���
��� ���
����� ���������� ����������
���
�����
������
��
���
���
����� ��� ��!
� ��
!�
�� �� �� "�#��$� %��"� �� ��
�"�
����� A�ξ =
∑∞
j=0�a(j)�ξ(j) ��� AN
�ξ =
∑N
j=0�a(j)�ξ(j) $�
�
� ������ �� �� "�#��$� %��"�� �� � !"�
�
!���
���� � �
�����
� �
���
��&"��
� �ξ(j) ���� �� � ���%�
��� �� �� ��&"��
� �ξ(j)�
j < 0, ���! ��
���� �� ��&"��
�� $�
� ��
���
���
��� E�ξ(j) =
0� ‖�ξ(j)‖2 ≤ P � ��� !�'
!"! %��"�� �� �� !�����&"��� ������ ��
�� ��
!�� ��
!� �� �� �� �"�
����� A�ξ ��� AN
�ξ ��� ��"��� (
�
���$� �� ���� !�'
!"! %��"�� �� �� ������
� ��
���� Π)
%�
�� !�%
�) �%���)� ��&"��
�� $�
� ��� �� ��!
��� � �
)��%�
���
��
�!��
����� ���
��� �"
�� $
� �� ���� �� �� ��&"��
� �a(j)�
�� ������
����
����������� ������� �� �������� �� ��� ������ ����� �������! ����� �����"
�� ��� #������$ ��%���� ��� ���������& ���'�����' ��'����� ��� ��(���'��
��� �� ��&�� ����� ��� '�������� ���� � �'���� ��������� �� ��'����� ���
)��*� ���'��& +���! ��� ���� ��! ����'��� *��)� �� �, �, �����$���- +.//01!
���-�& %& �, ������� +./231! ��, �, ��4���- +.//51! �, 6����� +./7718
�, �, ��$��� +./9211, �� ��'��'�! ��*�-��! '�� ���� ����������� �� ���
� �'���� ��������� �� �� ����%�� �� ���� '����, �� ���-� ��� ��%��� ��� #���
��������' �� ��� ��������' ��������� �� ��� ��)��*� � �'���� ��������� ��
����'�� ����� ��������� %& ����� ��������$, ���� � ���� ��� �� ��� �����"
������ ���������� ������� ��-���� ���� ��� ��������� �� ����'��� ������&
�� ��� ���� ���, ���� ��'����� '�� ������ �� � ��$��#'��� ��'������$ �� ���
-���� �� ����� �� �, �, :������ ��� �, :, ;��� +./9<1 ��-� ������������
*��� ��� ��� �� ���� ���� ���, ���� �� � ������ �� ����'� ��������� *��'�
��� � ����� ��� ��� ��������� ���� � '������ '���� �� ��� �������%�� � �'����
������� �� �
���
������ ��������
� ��
��
� ����� �
�� ���� ������ �
�
�� ������ ������ ������
��� ����� ��� �������� ���������� ��� ����� ���
�� ��� ���
�� ���� ���� ��� ��
���
������ ����� !�������� �"� ���� ���������� ��� �# �"� ���� ���� ������� �
9/
/5 *(+,-(. */+.0-1,2+ -34 -.5+�-346 *-�02�+-
���������, ����� ��������� ��� '����� ������� ���'� ���& ������4� ��� ����"
��� -���� �� ��� �����, � ���-�& �� ������� �� ������� +��%���1 ������� ��
���� ��'�����$ '�� %� ����� �� ��� � �� %& �, �, ������ ��� �, :, ;���
+./9=1, ��� � �� %&
�� >�������� +./=21 ������ %� ���)�� �� ��� #���
��� *���� ��� ������� � ���'� �� ����� ������� ��%��� ��� ���������&
��'����� *�� �� ����, ?, @���)� +./93! ./9=! .//.1! ?, @���)� ��� �, :,
;��� +./931 ��-����$���� ��� ������� ����� ������� ��� #������$ ��%����
��� ���������& ��(���'�� *��� ��� ��� �� '��-�� � ����4����� �������,
���� � ���'� ��)�� �� ����%�� �� #�� �(������� ���� ��������� ��� �����
��-���%�� � �'���� ��������� ��� -������ '������ �� ���������, �� ��� � ���
%& �, ;, ��)�&�'��) +.//3! .//2! .//9! 0555! 055.1! �, ;, ��)�&�'��)
��� �, ��, ���&��)� +055=! 05571 ��� ������� � ���'� �� ����� �������!
����� ������� ��� #������$ ��%���� ��� ��-����$���� ��� ���'������� *��'�
�� ��� �� ��� ��)��*� -����� �� ���������& ��'����� ��� ��(���'��,
�� ���� ����'�� *� '������� ��� ��%��� �� ���������� �� ��� ��)��*�
-���� �� ��� ���'������� A�ξ =
∑∞
j=0�a(j)
�ξ(j) ��� AN�ξ =
∑N
j=0�a(j)
�ξ(j)
*��'� �� ��� �� ��� ��)��*� -����� �� � ���������������� ���������&
���'�����' ��(���'� �ξ(j) = {ξk(j)}Tk=1 ���� ��� '���� Ξ �� ��(���'�� �� ���
���) m +1 ≤ m ≤ T 1 *��'� ������& '���������
E�ξ(j) = {Eξk(j)}Tk=1 = �0, ‖�ξ(j)‖2 =
T∑
k=1
E |ξk(j)|2 ≤ P, +.1
%���� �� �%���-������ �� ��� ��(���'� �ξ(j) ��� j < 0. ��� ������� -����� ��
��� ����"�(���� ������ �� ��� � ����� ��������� �� ��� ���'������� A�ξ, AN�ξ
��� �����, �� �� ���*� ���� ����� ������� -����� �� ��� ������ �� ��� '����
Π$�-� ��� ��-��$ �-���$� ��(���'�� *��'� ��� ���������� %& ��$��-�'����
�� '�� �'� � ������� '������'��� *��� ��� ��� �� ��� ��(���'� �a(j),
��
���� � ��� � �� ��� ����� �� ���������� �� ���
� �
������ AN�ξ
��� Δ(ξ, ÂN) = E
∣∣∣AN�ξ − ÂN�ξ
∣∣∣2 ������� ��� ����"�(���� ����� �� ���
�������� ÂN�ξ �� ��� ���'������ AN�ξ, ������ %& Λ ��� '���� �� ��� ������
��������� �� ��� ���'������ AN�ξ,
������� �� ��� �����
� Δ(ξ, ÂN) ��� � ��
�� �
��
� ��� ��� Ξ × Λ
��
��� �
��
� �� ����� �� �
�
� ����
min
ÂN∈Λ
max
ξ∈Ξ
Δ(ξ, ÂN) = max
ξ∈Ξ
min
ÂN∈Λ
Δ(ξ, ÂN) = Pν2
N .
*(3(*-7 �654(1�(/3 /8 ��/1,-��(1 �5925315� /.
��� ����� ���
����� ����
����
��� ����
���� ��
����� � �������� � ���
����� �
� ���
�� ��� ��� ���
�
� ��� �����
��� AN�ξ � � �
� �� �������
��������
� ���
�
�� N
� ��� �
��
�ξ(j) =
j∑
u=j−N
Φ(j − u)�η(u).
���� ν2
N � ��� �������� � ��������
� ��� �
�����
�����
� QN � ��� �����
CT (N+1)
����� ��
�� ���� � �
��������
� �� ��� ����
� ��� T × T ��
���
���� ���
QN = {QN(p, q)}Np,q=0 =
min(N−p,N−q)∑
u=0
(�a(p+ u))∗�a(q + u);
�η(u) = {ηk(u)}mk=1 � � ����
����
��� ����
���� ��
����� � �������� � ��
���
�
��� ������ E�η(i)(�η(j))∗ = δijE� ����� E � ���
��� �� ���� �� δij �
��� ��
������ ����
�� Φ(u), u = 0, 1, . . . , N ��� T ×m ���� ���� ��������
� �� �� ���
����� ��
�� ��� � �������
� ���� �
�����
�
� �
ν2
N � ��
���
�
�
�
� ‖�ξ(j)‖2 = P �
�
�� ��*�� %����, ������ %& ΞR ��� '���� �� ��� ��$���� �������"
��������� ���������& ���'�����' ��(���'�� ���� ������& '�������� +.1, ���'�
ΞR ⊂ Ξ! *� ��-�
max
ξ∈Ξ
min
ÂN∈Λ
Δ(ξ, ÂN) ≥ max
ξ∈ΞR
min
ÂN∈Λ
Δ(ξ, ÂN). +01
-��& ��$���� ���������������� ���������& ���'�����' ��(���'� ������ ���
'�����'�� ��-��$ �-���$� �� ����������� A05B
�ξ(j) =
j∑
u=−∞
Φ(j − u)�η(u), +<1
*���� �η(u) = {ηk(u)}mk=1 �� � �������� ���������������� ���������& ���'���"
��' ��(���'� *��� �����$���� -�����! Φ(u) = {Φkl(u)}Tk=1
m
l=1 ��� '��C'�����
�� ��� '�����'�� �� �����������! m +1 ≤ m ≤ T 1 �� ��� ���) �� ��� ��(���'�
�ξ(j) = {ξk(j)}Tk=1, ��� ��(���'�
�ξ(j) ∈ ΞR �� ���������� �� ����� �� �������"
��� {Φ(u) : u = 0, 1, . . .} ��'� ����
∥∥∥�ξ(j)∥∥∥2
=
T∑
k=1
E |ξk(j)|2 =
T∑
k=1
E
∣∣∣∣∣
j∑
u=−∞
m∑
l=1
Φkl(j − u)ηl(u)
∣∣∣∣∣
2
=
=
T∑
k=1
j∑
u,v=−∞
m∑
l,n=1
Φkl(j − u)Φkn(j − v)Eηl(u)ηn(v) =
/0 *(+,-(. */+.0-1,2+ -34 -.5+�-346 *-�02�+-
=
T∑
k=1
j∑
u=−∞
m∑
l=1
|Φkl(u)|2 =
∞∑
u=0
T∑
k=1
m∑
l=1
|Φkl(u)|2 =
∞∑
u=0
‖Φ(u)‖2 ≤ P. +31
��� -���� �� ��� ����"�(���� ����� E
∣∣∣AN�ξ − ÂN�ξ
∣∣∣2 �� ������� �� *� ��)�
�� �������� ÂN�ξ �� ��� ����
ÂN�ξ =
N∑
j=0
�a(j)
�̂
ξ(j) =
N∑
j=0
T∑
k=1
ak(j)ξ̂k(j),
*���� �̂ξ(j) �� �� � ����� �������� �� ��� -���� �ξ(j) %���� �� �%���-������
�� ��� ��(���'� �ξ(p) ��� p < 0, @��� ��� '�����'�� �� ����������� +<1 �� ���
��$���� ��(���'� ��� ��� ���� �� ��� � ����� �������� �� ��� -�����
�̂ξ(j) =
−1∑
u=−∞
Φ(j − u)�η(u), +=1
�� �����*� ����
min
ÂN∈Λ
E
∣∣∣AN�ξ − ÂN�ξ
∣∣∣2 = E
∣∣∣∣∣
N∑
j=0
�a(j)
j∑
u=0
Φ(j − u)�η(u)
∣∣∣∣∣
2
=
=
N∑
i,j=0
T∑
k,l=1
ak(i)al(j)
i∑
u=0
j∑
v=0
m∑
n,r=1
Φkn(i− u)Φlr(j − v)Eηn(u)ηr(v) =
=
N∑
i,j=0
T∑
k,l=1
ak(i)al(j)
min(i,j)∑
u=0
m∑
n=1
Φkn(i− u)Φln(j − u) =
=
N∑
i,j=0
T∑
k,l=1
ak(i)al(j) Rkl(i, j) =
N∑
i,j=0
�a(i)R(i, j)(�a(j))∗, +71
*����
R(i, j) = {Rkl(i, j)}Tk,l=1 , Rkl(i, j) =
min(i,j)∑
u=0
m∑
n=1
Φkn(i− u)Φln(j − u).
D& '���$��$ �� -����%��� p = i− u, q = j − u! *� '�� �� ������ + 71 �� ���
����
min
ÂN∈Λ
E
∣∣∣AN�ξ − ÂN�ξ
∣∣∣2 =
N∑
p,q=0
T∑
k,l=1
m∑
n=1
Φkn(p)Φln(q) Q
N
kl(p, q), +21
*(3(*-7 �654(1�(/3 /8 ��/1,-��(1 �5925315� /<
*����
QN
kl(p, q) =
min(N−p,N−q)∑
u=0
ak(p+ u)al(q + u). +91
������ %& QN ��� � ������ �� ��� � �'� CT (N+1) ���������� %& ������ *��"
'� '������� �� ��� %��')"�����'�� {QN (p, q)}Np,q=0� QN (p, q) =
{
QN
kl(p, q)
}T
k,l=1
,
� ������ QN �� ����"��E���� +��� ������ �� ���������1 ��� '�� �'�, �� '�� %�
�� �������� �� ��� ���� QN = AN ·A∗
N ! *���� ��� � ������ AN �� �������"
��� %& ��� ������ {AN (p, q)}Np,q=0 *��'� '������� *��� ��� %��')� �� -�'���
'������F
AN (p, q) =
{
�a∗(p+ q), p+ q ≤ N,
�0, p + q > N.
��� � ������ QN ��� �����-� ����"-����� ��$��-�����, �� �����*� ���� +21
���� Φij(p) = 0 ��� p > N + 1, ������ Φ̃(p) =
{
P−1/2Φij(p)
}T
i=1
m
j=1! Φ̃ ={
Φ̃(p)
}N
p=0
, ���� '�������� +31 ��� ��� ����
‖Φ̃‖2 =
N∑
p=0
‖Φ(p)‖2 ≤ 1, +/1
*���� ‖Φ̃‖ �� ��� ���� �� ��� � �'� CTm(N+1),
@��� +21 ��� +/1 �� �����*� ����
min
ÂN∈Λ
Δ(ξ, ÂN) = P
〈
QN Φ̃, Φ̃
〉
,
*���� 〈·, ·〉 �� ��� �'���� ����'� �� ��� � �'� CTm(N+1) ��� QN Φ̃ �� ���
������ '������'��� *��� ��� ��� �� %��')"�����'��
QN Φ̃ =
{
QN Φ̃(p, q)
}N
p,q=0
=
{
QN(p, q) · Φ̃(q)
}N
p,q=0
.
��)��$ ���� �''���� +01! *� *��� ��-� ��� �����*��$ ��*�� %���� ��� ����"
��� �� ��� ����"�(���� �����
max
ξ∈Ξ
min
ÂN∈Λ
Δ(ξ, ÂN) ≥ P max
‖Φ̃‖≤1
〈
QN Φ̃, Φ̃
〉
= Pν2
N . +.51
���� ν2
N �� ��� $������� ��$��-���� �� ��� � ������ QN ,
�� %����, 6� *��� ��� ��� �����*��$ ���(�����& �� #�� �� � ��
%���� �� ��� ����"�(���� �����
min
ÂN∈Λ
max
ξ∈Ξ
Δ(ξ, ÂN) ≤ min
ÂN∈Λ1
max
ξ∈Ξ
Δ(ξ, ÂN). +..1
/3 *(+,-(. */+.0-1,2+ -34 -.5+�-346 *-�02�+-
���� Λ1 �� ��� '���� �� ��� ������ ��������� �� ��� ���'������ AN�ξ! *��'� ��-�
��� ����
ÂN�ξ =
−1∑
j=−∞
�c(j)�ξ(j). +.01
*���� �c(j) = {ck(j)}Tk=1 ��� '�� ��� -�'���� ��'� ����
∑−1
j=−∞ ‖�c(j)‖2 <∞,
��� � �'���� �� ������������ �� ��� ���������������� ���������& ���'�����'
��(���'� ��� ��� '���������� ���'����� $�-�� �� � ����%����& ��$�� ��� ��������
Δ(ξ, ÂN) = E
∣∣∣AN�ξ − ÂN�ξ
∣∣∣2 = E
∣∣∣∣∣
N∑
j=0
�a(j)�ξ(j) −
−1∑
j=−∞
�c(j)�ξ(j)
∣∣∣∣∣
2
=
= E
∣∣∣∣∣
∫ π
−π
(
N∑
j=0
�a(j)eijλ −
−1∑
j=−∞
�c(j)eijλ
)
Z(dλ)
∣∣∣∣∣
2
=
=
∫ π
−π
(
AN(eiλ) − C(eiλ)
)
F (dλ)
(
AN (eiλ) − C(eiλ)
)∗
,
AN(eiλ) =
N∑
j=0
�a(j)eijλ, C(eiλ) =
−1∑
j=−∞
�c(j)eijλ.
���� Z(dλ) = {Zk(dλ)}Tk=1 �� ��� � �'���� ������ ������� ��� F (dλ) =
{Fkl(dλ)}Tk,l=1 �� ��� � �'���� ������"-����� ������� �� ��� ������������"
���� ���������& ��(���'�,
������� Fkl(dλ) �� ��� � �'���� ������"-�����
������� ��� '�� ��� �������� *��� %������ -�������� *��'� ������& ���
�����*��$ '��������� A05B
Fkk(dλ) ≥ 0, |Fkl(dλ)|2 ≤ Fkk(dλ)Fll(dλ). +.<1
��������� +.1 ���� ���� ∫ π
−π
Tr F (dλ) ≤ P. +.31
@��� ����� �������
max
ξ∈Ξ
Δ(ξ, ÂN) =
= max
F
∫ π
−π
(
AN(eiλ) − C(eiλ)
)
F (dλ)
(
AN(eiλ) − C(eiλ)
)∗ ≤
≤ max
F
∫ π
−π
∥∥AN(eiλ) − C(eiλ)
∥∥2 ‖F (dλ)‖ ≤
≤ max
λ∈[−π,π]
∥∥AN(eiλ) − C(eiλ)
∥∥2
∫ π
−π
‖F (dλ)‖ .
*(3(*-7 �654(1�(/3 /8 ��/1,-��(1 �5925315� /=
�� �����*� ���� +.<1 ��� +.31 ���� ��� � �'���� ������"-����� ������� ������&
'��������
π∫
−π
‖F (dλ)‖ =
π∫
−π
(
T∑
k,l=1
‖Fkl(dλ)‖2
)1/2
≤
π∫
−π
(
T∑
k,l=1
Fkk(dλ)Fll(dλ)
)1/2
=
=
∫ π
−π
T∑
k=1
Fkk(dλ) =
∫ π
−π
Tr F (dλ) ≤ P.
@��� ����� ������� *� ��-�
max
ξ∈Ξ
Δ(ξ, ÂN) ≤ P max
λ∈[−π,π]
∥∥AN(eiλ) − C(eiλ)
∥∥2
.
�� ��������
max
λ∈[−π,π]
∥∥AN (eiλ) − C(eiλ)
∥∥2
*� '������� ��� '���� �� -�'���"-����� �*�� ������ �f(z) =
∑∞
n=0 �α(n)zn!
*��'� ��� ��$���� �� ��� ���� ���) |z| < 1 ��� ����� ���� $�-�� ��������∑N
j=0
�d(j)zj , ������ %& ρ2
N ��� $������� ��$��-���� �� ��� ������ H =
{H(p, q)}Np,q=0 '������'��� *��� ��� ��� �� %��')"�����'��
H(p, q) =
min(p,q)∑
j=0
�d∗(p− j)�d(q − j), p, q = 0, N.
���� *� ��-� ��� �����*��$ �������� A0B
min
{�α(n):n≥N+1}
max
|z|=1
∥∥∥�f(z)
∥∥∥2
= ρ2
N .
���'� �� ��� '��� �d(p) = �a(N − p), p = 0, N ! *� ��-� �� #�� ��� $�������
��$��-���� �� ��� ������ '������'��� *��� ��� ��� �� %��')"�����'��
GN = {GN(p, q)}Np,q=0 , GN(p, q) =
min(p,q)∑
u=0
(�a(N − p+ u))∗�a(N − q + u).
������ ���� ��$��-���� %& ω2
N , ��� *� *��� ��-�
min
ÂN∈Λ1
max
ξ∈Ξ
Δ(ξ, ÂN) ≤ Pω2
N .
�� �����*� ���� +..1 ����
min
ÂN∈Λ
max
ξ∈Ξ
Δ(ξ, ÂN) ≤ Pω2
N . +.=1
/7 *(+,-(. */+.0-1,2+ -34 -.5+�-346 *-�02�+-
��* ���� ���� GN(N−p,N−q) = QN (p, q), ��������� ω2
N = ν2
N , ���������
+.51 ��� +.=1 $�-� �� ��� ���(�����&
min
ÂN∈Λ
max
ξ∈Ξ
Δ(ξ, ÂN) ≤ max
ξ∈Ξ
min
ÂN∈Λ
Δ(ξ, ÂN). +.71
���'� ��� � ����� ���(�����& ����� ����! *� ��-� �(�����& �� +.71, ��� ����
�� '�� ����,
@��� ��� ���� �� ��� ������� *� ��-� � '������'���� �� ��� � �����
������� �������� �� ��� ���'������ AN�ξ,
���
��� �� ���
�� ��� � � ��� ��� ���� ÂN�ξ
� ��� �����
��� AN�ξ �
� ��� �
��
ÂN�ξ =
N∑
j=0
�a(j)
( −1∑
u=j−N
Φ(j − u)�η(u)
)
,
����� �η(u) = {ηk(u)}mk=1 � � ����
��
����
�������
����
���� ��
����� �
�������� � ��
���
�
��� ������� Φ(u) = {Φij(u)}Ti=1
m
j=1 � �� �����
����� �
��
�� � �������
�
� ���
�����
� QN �� �� �
�����
�
� �
��� �������� � �
�������� ν2
N � ��
�
�
�
� ‖�ξ(j)‖2 = P � !� ���� ����� ����
� ����
����
��������
� ��� � � ��� ���� (m = 1)� ��� ����
� Φ = {Φ(u)}Nu=0� ���� �
�� �
���
� ��� ��
�������
�� Φ(u) = {Φk(u)}Tk=1� � � �������
�
� ���
�����
�
QN � �� �� �
�����
�
� �
��� �������� � �������� ν
2
N �
������� � .� = 1 ��� �� A1
�ξ = ξ1(0)+ ξ2(0)+ ξ1(1)+ ξ2(1)� ��� �
)��%��"��
�� �� ����� �� Q1 ��� �&"�� � λ1,2 = 2±√
2� ��������� ν2
1 = 2+
√
2� 5
)��%�
��
�� �� ����� �� $�
�
���������� � �� )��� �� �
)��%��"� ν2
1 = 2 +
√
2
� ��
�� ���! Φ = {Φ(0),Φ(1)}� $����
Φ(0) =
( √
2/2, 1/2
)
,Φ(1) =
(
1/2, 0
)
.
(� ��
��� �� �� !
�
!�� ���# (m = 1)� �� ���� ��%��� �� ��&"��
� �ξ(j)
� ��
�� ���!
�ξ(j) = Φ(0)η(j) + Φ(1)η(j − 1) = 1/2 · ( √
2η(j) + η(j − 1), η(j)
)
.
��� ��
!�� �
���� !
�
!�' ��
!� � Â1
�ξ �� �� �"�
���� A1
�ξ
� �� �� ���!
Â1
�ξ = �a(0)Φ(1)η(−1) = η(−1)/2.
(� ��
��� �� �� !�'
!�� ���# (m = 2)� �� ���� ��%��� �� ��&"��
� �ξ(j)
� ��
�� ���!
�ξ(j) = Ψ(0)�η(j) + Ψ(1)�η(j − 1),
$���� Ψ(0), Ψ(1) ��� 2 × 2 !� �
��
��� �"
�� $
� �� ���� �� �� %�
���
��"!��
Ψ(0) = 1/
√
2 · {Φ(0),Φ(0)} ,Ψ(1) = 1/
√
2 · {Φ(1),Φ(1)} .
*(3(*-7 �654(1�(/3 /8 ��/1,-��(1 �5925315� /2
���������
�ξ(j) =
1
2
√
2
( √
2(η1(j) + η2(j)) + η1(j − 1) + η2(j − 1), η1(j) + η2(j)
)
.
��� ��
!�� �
���� !
�
!�' ��
!� � Â1
�ξ �� �� �"�
���� A1
�ξ
� �� �� ���!
Â1
�ξ = �a(0)Ψ(1)�η(−1) =
1
2
√
2
(η1(−1) + η2(−1)) .
��� !�����&"��� ������
� � �
���� ��� �� )��� �� ��� 2 +
√
2�
�������
.� = 1 ��� �� A1
�ξ = ξ1(0) + ξ2(0) + ξ1(1) + ξ2(1)� �
)��%��"��
�� �� ����� �� Q1 ��� �&"�� � 3 ± √
5� ��������� ν2
1 = 3 +
√
5� 5
)��%�
��
�� �� ����� �� $�
�
���������� � �� )��� �� �
)��%��"� ν2
1
� �� �� ���!
Φ = {Φ(0),Φ(1)}� $����
Φ1(0) = Φ2(0) =
√
(5 +
√
5)/20,Φ1(1) = Φ2(1) =
√
(5 −
√
5)/20.
(� ��
��� �� �� !
�
!�� ���# (m = 1)� �� ���� ��%��� �� ��&"��
� �ξ(j)
� ��
�� ���!
�ξ(j) = Φ(0)η(j) + Φ(1)η(j − 1) =
=
√
(5 +
√
5)/20
(
η(j), η(j)
)
+
√
(5 −
√
5)/20
(
η(j − 1), η(j − 1)
)
.
��� ��
!�� �
���� !
�
!�' ��
!� �
� �� �� ���!
Â1
�ξ = �a(0)Φ(1)η(−1) =
√
(5 −
√
5)/5η(−1).
(� ��
��� �� �� !�'
!�� ���# (m = 2)� �� ���� ��%��� �� ��&"��
� �ξ(j)
� ��
�� ���!
�ξ(j) = Ψ(0)�η(j)+Ψ(1)�η(j−1) =
√
(5 +
√
5)/40·I ·�η(j)+
√
(5 −
√
5)/40·I ·�η(j−1),
$���� I
� � �&"��� !� �
' ���!�� � �� $�
� ��� "�
��
��� ��
!�� �
���� !
�
!�' ��
!� �
� �� �� ���!
Â1
�ξ = �a(0)Ψ(1)�η(−1) =
√
(5 −
√
5)/10 (η1(−1) + η2(−1)) .
��� !�����&"��� ������
� � �
���� ��� �� )��� �� ��� 3 +
√
5�
��
���� � ��� � �� ��� ����� �� ���������� �� ���
� �
������ A�ξ
�������
� "�� ��� ��������
� ����
�� �a(j), j = 0, 1, . . . ��� �#�� �
�
� �
��
T∑
k=1
∞∑
j=0
|ak(j)| <∞,
∞∑
j=0
(j + 1) ‖�a(j)‖2 <∞, +.21
/9 *(+,-(. */+.0-1,2+ -34 -.5+�-346 *-�02�+-
��� �����
� Δ(ξ, Â) ��� � ��
�� �
��
� ��� ��� Ξ×Λ ��
��� �
��
� ��
����� �� �
�
� ����
min
Â∈Λ
max
ξ∈Ξ
Δ(ξ, Â) = max
ξ∈Ξ
min
Â∈Λ
Δ(ξ, Â) = Pν2.
��� ����� ���
����� ����
����
��� ��
����� � �������� � ��� ����� �
�
���
�� ��� ��� ����
� ��� �����
��� A�ξ � � �
� �� ������� ��������
�
��� �
��
�ξ(j) =
j∑
u=−∞
Φ(j − u)�η(u).
���� ν2 � ��� �������� � �������� ��
Φ = {Φ(u)}∞u=0 � ��� �
�����
�
��
� �������
�
� ��� �
�����
�����
� Q � ��� ����� �2
����� ��
�� ���� �
�
��������
� �� ��� ����
� ��� ��
������� ���
Q = {Q(p, q)}∞p,q=0 , Q(p, q) =
∞∑
u=0
�a∗(p+ u)�a(q + u),
�η(u) = {ηk(u)}mk=1 � � ����
����
��� ����
���� ��
����� � �������� � �
��
���
�
��� ������� Φ = {Φ(u)}∞u=0 ��� ���� ���� ��������
� �� �� ���
����� ��
�� ��� � �������
�
� ���
�����
� Q ���� �
�����
�
� �
ν2� ��
��� �
�
�
� ‖�ξ(j)‖2 = P �
�
�� ��*�� %����, ��� ξ ∈ ΞR, ���� *� ��-� ��� ���(�����&
max
ξ∈Ξ
min
Â∈Λ
Δ(ξ, Â) ≥ max
ξ∈ΞR
min
Â∈Λ
Δ(ξ, Â). +.91
��)��$ ��� ��� '�����'�� �� ����������� �� ��� ��$���� ���������& ��(���'�
+<1 ��� ��� ���� +=1 �� ��� � ����� ��������! *� $��
min
Â∈Λ
Δ(ξ, Â) = min
Â∈Λ
E
∣∣∣A�ξ − Â�ξ
∣∣∣2 = E
∣∣∣∣∣
∞∑
j=0
�a(j)
j∑
u=0
Φ(j − u)�η(u)
∣∣∣∣∣
2
=
=
∞∑
p,q=0
T∑
k,l=1
m∑
n=1
Φkn(p)Φln(q)Qkl(p, q), +./1
*����
Q(p, q) = {Qkl(p, q)}Tk,l=1 , Qkl(p, q) =
∞∑
u=0
ak(p+ u)al(q + u). +051
������ %& Q ��� � ������ �� ��� ���%��� � �'� �2 ���������� %& ��� ������
'������'��� *��� ��� ��� �� %��')"�����'�� Q = {Q(p, q)}∞p,q=0, ���'� �����
��� �����#�� '��������� +.21 ���
∞∑
p,q=0
‖Q(p, q)‖2 =
∞∑
p,q=0
T∑
k,l=1
|Qkl(p, q)|2 =
*(3(*-7 �654(1�(/3 /8 ��/1,-��(1 �5925315� //
=
∞∑
p,q=0
T∑
k,l=1
∣∣∣∣∣
∞∑
u=0
ak(p+ u)al(q + u)
∣∣∣∣∣
2
≤
≤
∞∑
p,q=0
T∑
k,l=1
( ∞∑
u=0
|ak(p+ u)|2 ·
∞∑
u=0
|al(q + u)|2
)
=
=
( ∞∑
p=0
T∑
k=1
∞∑
u=0
|ak(p+ u)|2
)2
=
=
( ∞∑
p=0
∞∑
u=0
‖�a(p+ u)‖2
)2
=
( ∞∑
p=0
(p+ 1) ‖�a(p)‖2
)2
,
*� ��-�
‖Q‖ ≤ N(Q) ≤
∞∑
p=0
(p+ 1) ‖�a(p)‖2 <∞,
*���� N(Q) �� ��� ���%���"�'����� ���� �� ��� � ������ Q, ��� � ������ Q
�� � ����"��E���� ���%���"�'����� � ������ ., �� '�� %� �� �������� �� ��� ����
Q = A ·A∗! *���� ��� � ������ A �� ���������� %& ������ '������'��� *���
��� ��� �� %��')"'������ A = {A(p, q)}∞p,q=0 = {�a(p+ q)}∞p,q=0, @�� �����
������� ��� � ������ Q ��� ����"-����� �����-� ��$��-�����, ��� � ������
A �� �� ���%���"�'����� � ������ ��� ��� ���%���"�'����� ���� �� �(��� ��
N(A) =
( ∞∑
p=0
(p+ 1) ‖�a(p)‖2
)1/2
.
���'� Φ̃(p) =
{
P−1/2Φij(p)
}T
i=1
m
j=1! ���� +./1 '�� %� �� �������� �� ��� ����
min
Â∈Λ
Δ(ξ, Â) = P
〈
QΦ̃, Φ̃
〉
.
��)��$ ���� �''���� ������'����� +31! *� *��� ��-�
max
ξ∈ΞR
min
Â∈Λ
Δ(ξ, Â) = P max
‖Φ̃‖=1
〈
QΦ̃, Φ̃
〉
= Pν2,
*���� ν2 �� ��� $������� ��$��-���� �� ��� � ������ Q! 〈 ·, ·〉 �� ��� �'����
����'� �� ��� � �'� �2, �� �����*� ���� +.91 ���� *� '�� �������� ��� ����"
��� -���� �� ��� �����
max
ξ∈Ξ
min
Â∈Λ
Δ(ξ, Â) ≥ Pν2. +0.1
.55 *(+,-(. */+.0-1,2+ -34 -.5+�-346 *-�02�+-
�� %����, ������� ��� ��(���'� �� � ������� QN ���������� %&
�����'�� +91 ��� ��� � ������ Q ���������� %& �����'�� +051, ���'� '����"
����� +.21! *� ��-�
N(Q−QN) =
∞∑
p=N+1
(p+ 1) ‖�a(p)‖2 → 0,
��� N → ∞, ��)��$ ���� �''���� ����
‖Q−QN‖ ≤ N(Q−QN),
*� *��� $��
lim
N→∞
‖Q−QN‖ = 0.
�� ��� ��(���'� �� � �������QN '��-��$�� �� ��� � ������Q, @�� ���� ������
A.! <B lim
N→∞
ν2
N = ν2! *���� ν2
N �� ��� $������� ��$��-���� �� ��� � ������ QN !
��� ν2 �� ��� $������� ��$��-���� �� ��� � ������ Q, @��� ������� . ��
�����*� ����
min
Â∈Λ
max
ξ∈Ξ
Δ(ξ, Â) = lim
N→∞
min
ÂN∈Λ
max
ξ∈Ξ
Δ(ξ, ÂN) = lim
N→∞
Pν2
N = Pν2. +001
@��� ��������� +001 ��� +0.1 *� ��-�
min
Â∈Λ
max
ξ∈Ξ
Δ(ξ, Â) = Pν2 ≤ max
ξ∈Ξ
min
Â∈Λ
Δ(ξ, Â),
*���� ���& �(�����& �� ����%��, ������� �� ��-��,
���
���
� ���
�� ��� � � ��� ��� ���� Â�ξ
� ��� �����
��� A�ξ �
�
��� �
��
Â�ξ =
∞∑
j=0
�a(j)
[ −1∑
u=−∞
Φ(j − u)�η(u)
]
,
����� �η(u) = {ηk(u)}mk=1 � � ����
��
����
�������
����
���� ��
����� �
�������� � ��
���
�
��� ������� Φ(u) = {Φij(u)}Ti=1
m
j=1, u = 0, 1, . . . �
�� �����
����� ��
�� � �������
�
� ���
�����
� Q �� �� �
�����
�
� �
��� �������� � �������� ν2� ��
�
�
�
� ‖�ξ(j)‖2 = P � !� ���� ����� ����
�
����
���� ��������
� ��� � � ��� ���� (m = 1) ��� ����
� �� �� �
�� ���
� ��� ��
�������
�� Φ = {Φ(u)}∞u=0� � � �������
�
� ���
�����
� Q� �� ��
�
�����
�
� �
��� �������� � �������� ν2�
������� � .� = 1 ��� �� A�ξ =
∑T
k=1
∑∞
j=0 e−λjξk(j)� λ > 0� 5��!�� � ��
�� ��
#�!� �
�� �� �� ����� �� Q ��� �� �� ���!
Qkl(p, q) =
∞∑
u=0
ak(p + u)al(q + u) = e−λ(p+q)(1 − e−2λ)−1. ����
*(3(*-7 �654(1�(/3 /8 ��/1,-��(1 �5925315� .5.
��� �
)��%��"�� �� �� ����� �� Q ��� �� ��!
��� � �� ��� �! �� �&"�
���
μΦk(p) =
T∑
l=1
∞∑
s=0
e−λ(p+s)(1 − e−2λ)−1Φl(s), k = 1, T , p = 0, 1, . . . . ����
8��! ���� $� $
�� )� �� Φk(p)
� �� �� ���! Φk(p) = Ce−λp, k = 1, T � ���
��� �� C
� �� ��!
��� � �� ���!��
:
�)
���
��� (� ��
��� �� �� !
�
!��
���# (m = 1) $� ��%�
C = (1 − e−2λ)1/2T−1/2, Φk(p) = T−1/2(1 − e−2λ)1/2e−λp, k = 1, T .
�" �
"
�� �� ����� �'�����
���
� � ���� )
%�� "� μ = T (1 − e−2λ)−2� (� ��
��� �� �� !
�
!�� ���# (m = 1)� ��� ���� ��%��� ��
� ��
���� Π%�
���%��"��
� �
����� ��&"��
� �ξ(j)
� � !�%
�) �%���)� ��&"��
� �� �� ���!
�ξ(j) = T−1/2(1 − e−2λ)1/2e−λj
j∑
u=−∞
eλuη(u)I,
$���� I
� � �&"��� !� �
' ���!�� � �� $�
� ��� "�
�� �η(u) = {ηk(u)}Tk=1
� �
� ������ %�
�� ��&"��
� $
� �� ��)���� %��"���
��� ��
!�� �
���� !
�
!�' ��
!� � Â�ξ �� �� �"�
���� A�ξ
� �� �� ���!
Â�ξ = T 1/2(1 − e−2λ)1/2
∞∑
j=0
e−2λj
[ −1∑
u=−∞
eλuη(u)
]
.
(� ��
��� �� !�'
!�� ���# m = T $� $
�� ��%�
�ξ(j) = T−1(1 − e−2λ)1/2e−λj
j∑
u=−∞
eλu I �η(u),
Â�ξ = (1 − e−2λ)1/2
∞∑
j=0
e−2λj
[
T∑
k=1
−1∑
u=−∞
eλuηk(u)
]
,
$���� I
� � �&"��� !� �
' ���!�� � �� $�
� ��� "�
�� �η(u) = {ηk(u)}Tk=1
� �
� ������ %�
�� ��&"��
� $
� �� ��)���� %��"���
��� !�����&"��� ������
� � �
���� ��� �� )��� �� ��� T (1 − e−2λ)−2�
�� ���
� �����
6� �� ��� �������� ��� '��'������� ��� ���� �(���� ������ ��� ���
� �'���� '����'�������' �� ��� � ����� ������ �������� �� ��� ��)��*� -����
�� ��� ���'������� A�ξ =
∑∞
j=0�a(j)
�ξ(j) ��� AN�ξ =
∑N
j=0�a(j)
�ξ(j) *��'�
�� ��� �� ��� ��)��*� -����� �� � ���������������� ���������& ���'�����'
��(���'� �ξ(j) %���� �� �%���-������ �� ��� ��(���'� �ξ(j) ���� ��� '���� Ξ
�� ��(���'�� *��'� ������& '��������� E�ξ(j) = 0! ‖�ξ(j)‖2 ≤ P ! ��� j < 0.
.50 *(+,-(. */+.0-1,2+ -34 -.5+�-346 *-�02�+-
@������� ��� �� ���� ���� ��������� ��� ������� -����� �� ��� ����"
�(���� ������ �� ��� � ����� ��������� �� ��� ���'������� A�ξ ��� AN�ξ �� ���
'���� Ξ, �� �� ���*� ���� ����� ������� -����� �� ��� ������ �� ��� '���� Ξ
$�-� ��� ��-��$ �-���$� ��(���'�� ���������� %& ��$��-�'���� �� '�� �'�
� ������� '������'��� *��� ��� ��� �� ��� ��(���'� �a(j),
�������
��
�� ;<=>?>@� A� B�� CDE?FEG� B� H�� ������ ���� �
� ����
����� � �����
�������� ������
������ H�I JAEKLEM� ��NN�
�� C@>GEGO>@� P�� Q>R>� C� ��������
����
� �� ����������� H�I BS�
��N��
�� CKDO� Q�� �
��
�����
� �����
� �
�
�
� �
���������
� ��
������
H�I JAEKLEM� ��T��
�� 8���#�� U�� �� �� !"#$%� &! '()�("� *�' (�� !&"+*�("� ", �(- % !( % (� ��
&! % �) ", )"!! +*� ' �"(% � U� �
!� ���
�� -�����
�� � ������� ��� �� ��TV
����
W� 8���#�� U�� .(�(-*/ !"#$%� &! '()�("� ", '(%)! � �(- % !( %� X� Y����
��
���$� Z�
� �� �� ����W�� ��TV�N��
N� 8���#�� U� ��� ����� ,� �� .(�(-*/0!"#$%� 1+� !(�2 *�' 1�(� 0+ �2�� !"#$%�
&! '()�"!%� (� 6� "� ��� 3���
���� �
!� ���
�� -�����
� �,�
��� ��)� �����
.�
"�� 3� ��
� � �
�
�� ���
�)��������)� �� ������� �TV��N�
T� 8���#�� U�� 3 2 � !*+ 4 !%("� ", 5! (-*�6% -(�(-*/ 1+� !� 3� � �
*� �!�
�
�� �� ������� �WTV�TW�
�� Z��������� 2�� 3 &! '()�("� &!"#+ - (� 2*- �� "!7� -�#� *� �� � ���WT��
�T�V�T��
�� +�
�� �� ��� 3 4( 8 ", ��! ' )*' % ", +(� *! 1+� !(�2 �� "!7� (555 ������
�� (����!� ������� �� ���T��� ��� �� ��NV����
��� +����!� �� -� ��� ����� ,� �� 9"#$%� � )��(:$ % ,"! %(2�*+ &!") %%(�2; 3
%$!4 7� ���
� (555� �� ����W�� ��� �� ���V����
��� +��!�)���%� -� 3�� < + )� ' 8"!=% ", 3> ?> @"+-"2"!"4> A"+> BB; C!"#*#(+(�7
�� "!7 *�' -*�� -*�()*+ %�*�(%�()%>D 5�� � -� 3� ��
�����%� *� ��!�
�
��� ( � -���
�
���� ��%
� ���
��� �N� 4�����
� �
�I +�"$�� -
���!
�" �
������ �������
��� *�#���
�"#� *� ��� <�")�*%�() *$�"! 2! %%(4 % :$ �) *�' -(�(-*/ (�� !�
&"+*�("�� ������ ��� � � ��� *� �� � � �� �� ������� �WV����
��� *�#���
�"#� *
#��
�� E%�(-*� % ", %�")�*%�() &!") %% % ,!"- "#% !4*�("�%
8(�� �"(% � ������ � �
�� ���
����� �
��� ����T�� ������� ���V����
��� *�#���
�"#� *� ��� E/�!*&"+*�("� ", %�*�("�*!7 % :$ �) % ,!"- "#% !4*�("�%
8(�� �"(% � ������ ��� � � ��� *� �� � � �� �� ������� ���V����
�W� *�#���
�"#� *
#��
�� 9"#$%� &!") '$! % (� �(- % !( % *�*+7%(%� ������
� �
�� ���
����� �
��� ������� ������� ��TV��T�
*(3(*-7 �654(1�(/3 /8 ��/1,-��(1 �5925315� .5<
�N� *�#���
�"#� *
#��
�� F*- �� "!7 *�' )"�4 / "&�(-(G*�("� - ��"'% (�
!"#$%� %�(-*�("� &!"#+ -%� ������ � �
�� ���
����� �
��� ������� �������
�W�V�N��
�T� *�#���
�"#� *� �� ��� *���" #�� -� 0"�� B�� !&"+*�("� ", 4 )�"!�4*+$ '
%�*�("�*!7 % :$ �) %� ������ ��� � � ��� *� �� � � �� �� ����W�� ���V����
��� *�#���
�"#� *� �� ��� *���" #�� -� 0"�� E/�!*&"+*�("� ", 4 )�"!�4*+$ '
%�*�("�*!7 % :$ �) %� �
���� ���� 8
:��*� � 3�"#�� +�
%� 2�
%� (!� ������
���%
���#�� � ����W�� N�VT��
��� *�#���
�"#� *
#��
� �� ��� *���" #�� -��#����� 0"�� E/�!*&"+*�("� ",
-$+�('(- �%("�*+ %�*�("�*!7 &!") %% %� 6����! /���� ��� � �
�� 5&"�� �
����N�� ���V����
��� 6�:���%� 0"� -�� <�*�("�*!7 %�")�*%�() &!") %% %� ��� ��%� ��� *��
�$�
J3�"#�[� ����� �5�)�
�� ������ �� �� ���� ,������4��� ��� 8���
�
�� ��NT�
��� ��� ���� +� �� ��� ����� ,� ��� 3� *�*+7%(% ", �� H )�% ", %& )�!*+ $�) !�*(�
��7 "� I( � ! 1+� !(�2� -" �!�
�� �� ������� ���V����
��� Y
����� 3�� E/�!*&"+*�("�D (�� !&"+*�("�D *�' %-""��(�2 ", %�*�("�*!7 �(-
% !( %> I(�� �2(� !(�2 *&&+()*�("�%� 1�! �
�)�� *����I ��� *� (� �� ������
*����
�"�� � (��
" � �� ��
�����)�� ���NN��
��� 0�)��!� -� *�� J"!! +*�("� �� "!7 ", %�*�("�*!7 *�' ! +*� ' !*�'"- ,$�)�(�
"�%> A"+> B; 5*%() ! %$+�%> ���
�)�� ���
��
� � �
�
�� 3�$ 0��# �
�I
���
�)��������)� ����T��
��� 0�)��!� -� *�� J"!! +*�("� �� "!7 ", %�*�("�*!7 *�' ! +*� ' !*�'"- ,$�)�(�
"�%> A"+> BB; <$&&+ - ��*!7 �"� % *�' ! , ! �) %> ���
�)�� ���
��
� � �
�
�
�� 3�$ 0��# �
�I ���
�)��������)� ����T��
����
����� �� �
��������� ����
� ��� ������������ �����������
���� ������� ��
�� ��������!� "����
����� ���� #�$#�� "!
����
E�-*(+ *''! %% I !!�\"�
%�#
�%�"�
|