Розв’язнiсть оберненої задачi для параболiчного рiвняння з невiдомим молодшим коефiцiєнтом в областi з вiльною межею
We established the conditions of existence and uniqueness of a solution to the inverse problem for a one-dimensional parabolic equation with unknown time dependent minor coefficient in a domain with free boundary.
Gespeichert in:
| Datum: | 2008 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2008
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/4581 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Розв’язнiсть оберненої задачi для параболiчного рiвняння з невiдомим молодшим коефiцiєнтом в областi з вiльною межею / Г.А. Снiтко // Доп. НАН України. — 2008. — № 5. — С. 36-43. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-4581 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-45812009-12-10T12:00:53Z Розв’язнiсть оберненої задачi для параболiчного рiвняння з невiдомим молодшим коефiцiєнтом в областi з вiльною межею Снiтко, Г.А. Математика We established the conditions of existence and uniqueness of a solution to the inverse problem for a one-dimensional parabolic equation with unknown time dependent minor coefficient in a domain with free boundary. 2008 Article Розв’язнiсть оберненої задачi для параболiчного рiвняння з невiдомим молодшим коефiцiєнтом в областi з вiльною межею / Г.А. Снiтко // Доп. НАН України. — 2008. — № 5. — С. 36-43. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/4581 517.95 uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Математика Математика |
| spellingShingle |
Математика Математика Снiтко, Г.А. Розв’язнiсть оберненої задачi для параболiчного рiвняння з невiдомим молодшим коефiцiєнтом в областi з вiльною межею |
| description |
We established the conditions of existence and uniqueness of a solution to the inverse problem for a one-dimensional parabolic equation with unknown time dependent minor coefficient in a domain with free boundary. |
| format |
Article |
| author |
Снiтко, Г.А. |
| author_facet |
Снiтко, Г.А. |
| author_sort |
Снiтко, Г.А. |
| title |
Розв’язнiсть оберненої задачi для параболiчного рiвняння з невiдомим молодшим коефiцiєнтом в областi з вiльною межею |
| title_short |
Розв’язнiсть оберненої задачi для параболiчного рiвняння з невiдомим молодшим коефiцiєнтом в областi з вiльною межею |
| title_full |
Розв’язнiсть оберненої задачi для параболiчного рiвняння з невiдомим молодшим коефiцiєнтом в областi з вiльною межею |
| title_fullStr |
Розв’язнiсть оберненої задачi для параболiчного рiвняння з невiдомим молодшим коефiцiєнтом в областi з вiльною межею |
| title_full_unstemmed |
Розв’язнiсть оберненої задачi для параболiчного рiвняння з невiдомим молодшим коефiцiєнтом в областi з вiльною межею |
| title_sort |
розв’язнiсть оберненої задачi для параболiчного рiвняння з невiдомим молодшим коефiцiєнтом в областi з вiльною межею |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2008 |
| topic_facet |
Математика |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/4581 |
| citation_txt |
Розв’язнiсть оберненої задачi для параболiчного рiвняння з невiдомим молодшим коефiцiєнтом в областi з вiльною межею / Г.А. Снiтко // Доп. НАН України. — 2008. — № 5. — С. 36-43. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. |
| work_keys_str_mv |
AT snitkoga rozvâznistʹobernenoízadačidlâparaboličnogorivnânnâznevidomimmolodšimkoeficiêntomvoblastizvilʹnoûmežeû |
| first_indexed |
2025-07-02T07:47:20Z |
| last_indexed |
2025-07-02T07:47:20Z |
| _version_ |
1836520509462806528 |
| fulltext |
Таким чином, на основi умови розв’язностi (18) роботи [1] дослiджено i доведено iсну-
вання π-перiодичних i 4π-перiодичних розв’язкiв крайової ω-перiодичної задачi.
1. Митропольський Ю.О., Хома-Могильська С. Г. Умови iснування розв’язкiв крайової перiодичної
задачi для неоднорiдного лiнiйного гiперболiчного рiвняння другого порядку. I // Укр. мат. журн. –
2005. – 57, № 7. – С. 912–921.
2. Митропольський Ю.О., Хома Н. Г. Перiодичнi розв’язки квазiлiнiйних гiперболiчних рiвнянь дру-
гого порядку // Там же. – 1995. – 47, № 10. – С. 1370–1375.
3. Домбровський I.В. Iснування гладкого розв’язку квазiлiнiйного гiперболiчного рiвняння другого по-
рядку // Наук. вiстi НТУУ “КПI”. – 2000. – № 6 (14). – С. 136–141.
Надiйшло до редакцiї 11.09.2007Iнститут математики НАН України, Київ
Тернопiльський нацiональний економiчний унiверситет
УДК 517.95
© 2008
Г.А. Снiтко
Розв’язнiсть оберненої задачi для параболiчного
рiвняння з невiдомим молодшим коефiцiєнтом в областi
з вiльною межею
(Представлено членом-кореспондентом НАН України Б. Й. Пташником)
We established the conditions of existence and uniqueness of a solution to the inverse problem
for a one-dimensional parabolic equation with unknown time dependent minor coefficient in a
domain with free boundary.
У роботi дослiджено обернену задачу визначення залежного вiд часу коефiцiєнта при не-
вiдомiй функцiї в параболiчному рiвняннi другого порядку загального вигляду в областi
з вiльною межею. Зазначимо, що в працi [1] встановлено умови однозначного визначення
залежних вiд часу коефiцiєнтiв a(t), q(t) у параболiчному рiвняннi
ut = a(t)uxx + q(t)u + f(x, t), (x, t) ∈ (0, h) × (0, T ).
У [2] розглянуто задачу визначення q(t) у рiвняннi, коли старший коефiцiєнт вiдомий, a(t) =
= 1, а додаткова умова має вигляд
s(t)
∫
0
u(x, t)dx = E(t), t ∈ [0, T ], 0 < s(t) 6 h.
Задача з вiльною межею з iнтегральною умовою перевизначення дослiджена в [3].
В областi ΩT = {(x, t) : 0 < x < h(t), 0 < t < T} з невiдомою межею x = h(t) розглядаємо
параболiчне рiвняння з невiдомим коефiцiєнтом c = c(t)
ut = a(x, t)uxx + b(x, t)ux + c(t)u + f(x, t), (x, t) ∈ ΩT , (1)
36 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №5
початкову умову
u(x, 0) = ϕ(x), x ∈ [0, h(0)], (2)
крайовi умови
u(0, t) = µ1(t), u(h(t), t) = µ2(t), t ∈ [0, T ], (3)
та додатковi умови
h(t)
∫
0
u(x, t)dx = µ3(t),
h(t)
∫
0
xu(x, t)dx = µ4(t), t ∈ [0, T ]. (4)
Вводячи нову змiнну y = x/h(t), зводимо задачу (1)–(4) до оберненої стосовно невiдомих
h(t), c(t), v(y, t), де v(y, t) = u(yh(t), t), в областi QT = {(y, t) : 0 < y < 1, 0 < t < T}:
vt =
a(yh(t), t)
h2(t)
vyy +
b(yh(t), t) + yh′(t)
h(t)
vy + c(t)v + f(yh(t), t), (y, t) ∈ QT , (5)
v(y, 0) = ϕ(yh(0)), y ∈ [0, 1], (6)
v(0, t) = µ1(t), v(1, t) = µ2(t), t ∈ [0, T ], (7)
h(t)
1
∫
0
v(y, t)dy = µ3(t), h2(t)
1
∫
0
yv(y, t)dy = µ4(t), t ∈ [0, T ]. (8)
Теорема 1. Припустимо, що виконуються умови:
A1) a, b, f ∈ C1,0([0,∞) × [0, T ]), ϕ ∈ C1[0,∞), µi ∈ C1[0, T ], i = 1, 4;
A2) a(x, t) > 0, f(x, t) > 0, (x, t) ∈ [0,∞) × [0, T ], ϕ(x) > ϕ0 > 0, x ∈ [0,∞), µi(t) > 0,
i = 1, 4, t ∈ [0, T ];
A3) ϕ(0) = µ1(0), ϕ(h(0)) = µ2(0).
Тодi можна вказати таке число T0 : 0 < T0 6 T , яке визначається вихiдними даними,
що iснує розв’язок (h, c, v) ∈ C1[0, T0] × C[0, T0] × C2,1(QT0
)
⋂
C(QT0
), h(t) > 0, t ∈ [0, T ],
задачi (5)–(8).
Доведення. З умов (2), (4) та припущень теореми 1 випливає iснування єдиного зна-
чення h(0) = h0, яке задовольняє рiвняння
h(0)
∫
0
ϕ(x)dx = µ3(0).
Зведемо задачу (5)–(8) до еквiвалентної системи рiвнянь. Тимчасово припустимо, що
функцiї h(t), c(t) вiдомi. Введемо позначення p(t) = h′(t), w(y, t) = vy(y, t). Пряма зада-
ча (5)–(7) еквiвалентна рiвнянню
v(y, t) = v0(y, t) +
t
∫
0
1
∫
0
G1(y, t, η, τ)
(
ηp(τ)
h(τ)
w(η, τ) + c(τ)v(η, τ)
)
dηdτ, (y, t) ∈ QT , (9)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №5 37
де v0(y, t) є розв’язком рiвняння
vt =
a(yh(t), t)
h2(t)
vyy +
b(yh(t), t)
h(t)
vy + f(yh(t), t), (10)
який задовольняє умови (6), (7), а G1(y, t, η, τ) — функцiя Грiна першої крайової задачi
для рiвняння (10).
Випишемо задачу для знаходження w(y, t). Продиференцiювавши (5), (6) за y та вико-
риставши (7), одержимо
wt =
a(yh(t), t)
h2(t)
wyy +
ax(yh(t), t) + b(yh(t), t) + yh′(t)
h(t)
wy +
+
(
bx(yh(t), t) +
h′(t)
h(t)
+ c(t)
)
w + h(t)fx(yh(t), t), (y, t) ∈ QT ,
w(y, 0) = h0ϕ
′(yh0), y ∈ [0, 1],
wy(0, t) =
h2(t)
a(0, t)
[
µ′
1(t) −
b(0, t)
h(t)
w(0, t) − c(t)µ1(t) − f(0, t)
]
, t ∈ [0, T ],
wy(1, t)=
h2(t)
a(h(t), t)
[
µ′
2(t)−
b(h(t), t)+h′(t)
h(t)
w(1, t)−c(t)µ2(t)−f(h(t), t)
]
, t ∈ [0, T ].
(11)
Задача (11) у випадку довiльних неперервних на [0, T ] функцiй h(t), p(t), c(t) еквiвалентна
рiвнянню
w(y, t) = w0(y, t) +
t
∫
0
1
∫
0
[
G2(y, t, η, τ)c(τ) − G2η(y, t, η, τ)
b(ηh(τ), τ) + ηp(τ)
h(τ)
]
×
× w(η, τ)dηdτ, (y, t) ∈ QT , (12)
де G2(y, t, η, τ) — функцiя Грiна другої крайової задачi для рiвняння
wt =
a(yh(t), t)
h2(t)
wyy +
ax(yh(t), t)
h(t)
wy,
а w0(y, t) має вигляд
w0(y, t) = h0
1
∫
0
G2(y, t, η, 0)ϕ′(ηh0)dη −
t
∫
0
G2(y, t, 0, τ)(µ′
1(τ) − c(τ)µ1(τ) − f(0, τ))dτ +
+
t
∫
0
G2(y, t, 1, τ)(µ′
2(τ) − c(τ)µ2(τ) − f(h(τ), τ))dτ +
+
t
∫
0
1
∫
0
G2(y, t, η, τ)h(τ)fx(ηh(τ), τ)dηdτ.
38 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №5
З умови (8) одержимо
h(t) =
µ3(t)
1
∫
0
v(y, t)dy
, t ∈ [0, T ]. (13)
Продиференцiювавши умови (8) за t i використавши рiвняння (5), матимемо
c(t)=
[ 1
∫
0
((1−y)h(t)(ax(yh(t), t)−b(yh(t), t))−a(yh(t), t))w(y, t)dy+a(0, t)w(0, t)−
−h2(t)
1
∫
0
(1−y)f(yh(t), t)dy+h(t)µ′
3(t)−µ′
4(t)
]
(µ3(t)h(t)−µ4(t))
−1, t ∈ [0, T ], (14)
p(t) =
[ 1
∫
0
((yh(t)µ3(t) − µ4(t))(ax(yh(t), t) − b(yh(t), t)) +
+ µ3(t)a(yh(t), t))w(y, t)dy − a(0, t)µ4(t)
h(t)
w(0, t) −
− (µ3(t)h(t) − µ4(t))a(h(t), t)
h(t)
w(1, t) + µ′
4(t)µ3(t) − µ4(t)µ
′
3(t) −
−h(t)
1
∫
0
(yh(t)µ3(t)−µ4(t))f(yh(t), t)dy
]
(µ2(t)(µ3(t)h(t)−µ4(t)))
−1, t ∈ [0, T ]. (15)
Зауважимо, що
µ3(t)h(t) − µ4(t) = h2(t)
1
∫
0
(1 − y)v(y, t)dy.
Згiдно з принципом максимуму [4] для розв’язку задачi (5)–(7) матимемо
v(y, t) > C1 min {min
[0,h0]
ϕ(x),min
[0,T ]
µ1(t),min
[0,T ]
µ2(t)} ≡ M1 > 0, (y, t) ∈ QT .
Отже, µ3(t)h(t) − µ4(t) 6= 0, t ∈ [0, T ].
Таким чином, задачу (5)–(8) зведено до еквiвалентної системи iнтегральних рiвнянь (9),
(12)–(15) з невiдомими h(t), p(t), c(t), v(y, t), w(y, t). Для дослiдження системи застосуємо
теорему Шаудера про нерухому точку цiлком неперервного оператора. Встановимо апрiорнi
оцiнки розв’язкiв системи рiвнянь. З (13) отримаємо
h(t) 6
max
[0,T ]
µ3(t)
M1
≡ H1 < ∞, t ∈ [0, T ].
За принципом максимуму [4] для розв’язку задачi (5)–(7) одержимо
v(y, t) 6 C2 max
{
max
[0,h0]
ϕ(x),max
[0,T ]
µ1(t),max
[0,T ]
µ2(t), max
[0,H1]×[0,T ]
f(x, t)
}
≡ M2 < ∞,
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №5 39
i згiдно з (13) маємо
h(t) >
min
[0,T ]
µ3(t)
M2
≡ H0 > 0, t ∈ [0, T ].
Позначимо W (t) = max
y∈[0,1]
|w(y, t)|. Тодi з (14), (15) отримаємо
|c(t)| 6 C3 + C4W (t), |p(t)| 6 C5 + C6W (t). (16)
Згiдно з (16) та оцiнками функцiї Грiна [4] з (12) отримаємо нерiвнiсть
W (t) 6 C7 + C8
t
∫
0
W (τ) + W 2(τ)√
t − τ
dτ.
Метод розв’язування останньої нерiвностi подано в [5]. Таким чином, матимемо оцiнку
W (t) 6 M3 < ∞, t ∈ [0, T0],
де T0, 0 < T0 < T , визначається сталими C7, C8. Використавши це в (16), одержимо
|c(t)| 6 C9 < ∞, |p(t)| 6 C10 < ∞, t ∈ [0, T0].
Отже, апрiорнi оцiнки розв’язкiв системи (9), (12)–(15) знайдено.
Подамо систему (9), (12)–(15) у виглядi операторного рiвняння
ω = Pω,
де ω = (h(t), c(t), p(t), v(y, t), w(y, t)), а оператор P визначається правими частинами рiв-
нянь (9), (12)–(15). Позначимо N = {(h, c, p, v, w) ∈ (C[0, T0])
3 × (C(QT0
))2 : H0 6 h(t) 6
6 H1, |c(t)| 6 C9, |p(t)| 6 C10,M1 6 v(y, t) 6 M2, |w(y, t)| 6 M3}. Очевидно, що множина N
задовольняє умови теореми Шаудера. Цiлком неперервнiсть операторiв, що утворюють P,
доводиться аналогiчно як i в [5].
Тодi за теоремою Шаудера iснує неперервний розв’язок (h(t), c(t), p(t), v(y, t), w(y, t)) сис-
теми рiвнянь (9), (12)–(15), а отже, i розв’язок задачi (5)–(8) (h, c, v) ∈ C1[0, T0]×C[0, T0]×
× C2,1(QT0
)
⋂
C(QT0
).
Теорема 2. Нехай a, b, f ∈ C2,0([0,∞) × [0, T ]), a(x, t) > 0, f(x, t) > 0, (x, t) ∈ [0,∞) ×
× [0, T ], ϕ(x) > ϕ0 > 0, x ∈ [0,∞), µi(t) > 0, i = 1, 3, t ∈ [0, T ]. Тодi розв’язок (h, c, v) ∈
∈ C1[0, T ] × C[0, T ] × C2,1(QT )
⋂
C(QT ), h(t) > 0, t ∈ [0, T ], задачi (5)–(8) єдиний.
Доведення. Нехай (hi(t), ci(t), vi(y, t)), i = 1, 2, — розв’язки задачi (5)–(8). Позначимо
h′
i(t)
hi(t)
= si(t), i = 1, 2, s(t) = s1(t) − s2(t), c(t) = c1(t) − c2(t), v(y, t) = v1(y, t) − v2(y, t).
Функцiї s(t), c(t), v(y, t) задовольняють задачу
vt =
a(yh1(t), t)
h2
1(t)
vyy +
(
b(yh1(t), t)
h1(t)
+ ys1(t)
)
vy + c1(t)v +
+
(
a(yh1(t), t)
h2
1(t)
− a(yh2(t), t)
h2
2(t)
)
v2yy+
(
b(yh1(t), t)
h1(t)
− b(yh2(t), t)
h2(t)
+ ys(t)
)
v2y +
+ c(t)v2 + f(yh1(t), t) − f(yh2(t), t), (y, t) ∈ QT , (17)
40 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №5
v(y, 0) = 0, y ∈ [0, 1], (18)
v(0, t) = v(1, t) = 0, t ∈ [0, T ], (19)
1
∫
0
v(y, t)dy = µ3(t)
(
1
h1(t)
− 1
h2(t)
)
,
1
∫
0
yv(y, t)dy = µ4(t)
(
1
h2
1(t)
− 1
h2
2(t)
)
,
t ∈ [0, T ].
(20)
За допомогою функцiї Грiна G∗
1(y, t, η, τ) першої крайової задачi для рiвняння
vt =
a(yh1(t), t)
h2
1(t)
vyy +
(
b(yh1(t), t)
h1(t)
+ ys1(t)
)
vy + c1(t)v
функцiю v(y, t) подамо у виглядi
v(y, t) =
t
∫
0
1
∫
0
G∗
1(y, t, η, τ)
[(
a(ηh1(τ), τ)
h2
1(τ)
− a(ηh2(τ), τ)
h2
2(τ)
)
v2ηη(η, τ) +
+
(
b(ηh1(τ), τ)
h1(τ)
− b(ηh2(τ), τ)
h2(τ)
+ ηs(τ)
)
v2η(η, τ) + c(τ)v2(η, τ) +
+ f(ηh1(τ), τ) − f(ηh2(τ), τ)
]
dηdτ. (21)
Оскiльки (hi(t), ci(t), vi(y, t)), i = 1, 2, — розв’язки задачi (5)–(8), то для h′
i(t), ci(t), i = 1, 2,
справджуються рiвностi, аналогiчнi (14), (15). Звiдси матимемо
c(t) =
[ 1
∫
0
((1 − y)h1(t)(ax(yh1(t), t) − b(yh1(t), t)) − a(yh1(t), t))vy(y, t)dy +
+
1
∫
0
((1 − y)(h1(t)(ax(yh1(t), t) − ax(yh2(t), t) − b(yh1(t), t) + b(yh2(t), t)) +
+ (h1(t) − h2(t))(ax(yh2(t), t) − b(yh2(t), t))) − a(yh1(t), t) +
+ a(yh2(t), t))v2y(y, t)dy −
1
∫
0
(1 − y)(h2
1(t)(f(yh1(t), t) − f(yh2(t), t)) +
+ (h2
1(t) − h2
2(t))f(yh2(t), t))dy + a(0, t)vy(0, t) + (h1(t) − h2(t))µ
′
3(t)
]
×
× (µ3(t)h1(t) − µ4(t))
−1 −
[
a(0, t)v2y(0, t) +
1
∫
0
((1 − y)h2(t)(ax(yh2(t), t) −
− b(yh2(t), t)) − a(yh2(t), t))v2y(y, t)dy + h2(t)µ
′
3(t) −
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №5 41
− h2
2(t)
1
∫
0
(1 − y)f(yh2(t), t)dy − µ′
4(t)
]
µ3(t)(h1(t) − h2(t)) ×
× (µ3(t)h1(t) − µ4(t))
−1(µ3(t)h2(t) − µ4(t))
−1, (22)
s(t) =
[ 1
∫
0
((yh1(t)µ3(t) − µ4(t))(ax(yh1(t), t) − b(yh1(t), t)) +
+ µ3(t)a(yh1(t), t))vy(y, t)dy +
1
∫
0
((yh1(t)µ3(t) − µ4(t))(ax(yh1(t), t) −
− ax(yh2(t), t) − b(yh1(t), t) + b(yh2(t), t)) + yµ3(t)(h1(t) − h2(t)) ×
×(ax(yh2(t), t)−b(yh2(t), t))+µ3(t)(a(yh1(t), t)−a(yh2(t), t)))v2y(y, t)dy−
−a(0, t)µ4(t)
(
1
h1(t)
vy(0, t) +
(
1
h1(t)
− 1
h2(t)
)
v2y(0, t)
)
− µ3(t)h1(t) − µ4(t)
h1(t)
×
× a(h1(t), t)vy(1, t) −
(
(µ3(t)h1(t) − µ4(t))
((
1
h1(t)
− 1
h2(t)
)
a(h1(t), t) +
+
1
h2(t)
(a(h1(t), t)−a(h2(t), t))
)
+
µ3(t)(h1(t)−h2(t))a(h2(t), t)
h2(t)
)
v2y(1, t)−
− h1(t)
1
∫
0
(yh1(t)µ3(t) − µ4(t))(f(yh1(t), t) − f(yh2(t), t))dy −
−
1
∫
0
(y(h2
1(t) − h2
2(t))µ3(t) − (h1(t) − h2(t))µ4(t))f(yh2(t), t)dy
]
×
× (µ2(t)h1(t)(µ3(t)h1(t) − µ4(t)))
−1−
[ 1
∫
0
((ax(yh2(t), t) − b(yh2(t), t)) ×
× (yh2(t)µ3(t) − µ4(t)) + µ3(t)a(yh2(t), t))v2y(y, t)dy −
− (µ3(t)h2(t)−µ4(t))a(h2(t), t)
h2(t)
v2y(1, t)−
a(0, t)µ4(t)
h2(t)
v2y(0, t)+µ′
4(t)µ3(t)−
− µ4(t)µ
′
3(t) − h2(t)
1
∫
0
(yh2(t)µ3(t) − µ4(t))f(yh2(t), t)dy
]
×
× (µ3(t)(h
2
1(t) − h2
2(t)) − µ4(t)(h1(t) − h2(t)))(µ2(t)h1(t)h2(t) ×
× (µ3(t)h1(t) − µ4(t))(µ3(t)h2(t) − µ4(t)))
−1. (23)
42 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №5
Використаємо таке перетворення:
f(yh1(t), t) − f(yh2(t), t) = y(h1(t) − h2(t))
1
∫
0
fx(y(h2(t) + σ(h1(t) − h2(t))), t) dσ. (24)
Виразивши hi(t) через si(t), отримаємо
1
h1(t)
− 1
h2(t)
= − 1
h0
t
∫
0
s(τ) dτ
1
∫
0
exp
(
−
t
∫
0
(σs1(τ) + (1 − σ)s2(τ)) dτ
)
dσ, (25)
де h1(0) = h2(0) = h0.
Використавши (24), (25) i пiдставивши (21) в (22), (23), одержимо систему однорiдних
iнтегральних рiвнянь Вольтерра другого роду вiдносно невiдомих c(t), s(t). З єдиностi
розв’язкiв однорiдних рiвнянь Вольтерра другого роду випливає, що c(t) = 0, s(t) = 0,
t ∈ [0, T ], а отже, c1(t) = c2(t), s1(t) = s2(t), h1(t) = h2(t), t ∈ [0, T ]. Звiдси знаходимо, що
v1(y, t) = v2(y, t), (y, t) ∈ QT , що завершує доведення теореми.
1. Пабирiвська Н.В. Оберненi задачi з iнтегральними умовами перевизначення // Мат. методи та фiз.-
мех. поля. – 2000. – 43, № 1. – С. 51–58.
2. Cannon J.R., Lin Y., Wang S. Determination of a control parameter in a parabolic partial differential
equation // J. Austral. Math. Soc. Ser. B. – 1991. – 33. – P. 149–163.
3. Iванчов М. I. Обернена задача з вiльною межею для рiвняння теплопровiдностi // Укр. мат. журн. –
2003. – 55, № 7. – С. 901–910.
4. Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения пара-
болического типа. – Москва: Наука, 1967. – 736 с.
5. Ivanchov M. Inverse problems for equations of parabolic type // Math. Studies: Monograph. Ser. – Lviv:
VNTL Publishers, 2003. – Vol. 10. – 238 с.
Надiйшло до редакцiї 31.08.2007Iнститут прикладних проблем механiки
i математики iм. Я.С. Пiдстригача
НАН України, Львiв
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №5 43
|