Вынужденные установившиеся колебания гибких пластин при случайном узкополосном воздействии

Рассмотрены вопросы, связанные с анализом режимов вынужденных колебаний гибких пластин при узкополосном случайном воздействии. Исследования нелинейных колебаний пластины выполнены на базе редуцированной дискретной модели, которая построена на основе вариационного принципа Гамильтона, методов коне...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2000
Hauptverfasser:	Баженов, В.А., Дехтярюк, Е.С., Захарченко, Т.Г., Лукьянченко, О.А., Имдух, В.Ф.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України 2000
Schriftenreihe:	Проблемы прочности
Schlagworte:	Производственный раздел
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/46210
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Вынужденные установившиеся колебания гибких пластин при случайном узкополосном воздействии / В.А. Баженов, Е.С. Дехтярюк, Т.Г. Захарченко, О.А. Лукьянченко, В.Ф. Имдух // Проблемы прочности. — 2000. — № 2. — С. 105-117. — Бібліогр.: 8 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-46210
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-462102013-07-15T17:53:46Z Вынужденные установившиеся колебания гибких пластин при случайном узкополосном воздействии Баженов, В.А. Дехтярюк, Е.С. Захарченко, Т.Г. Лукьянченко, О.А. Имдух, В.Ф. Производственный раздел Рассмотрены вопросы, связанные с анализом режимов вынужденных колебаний гибких пластин при узкополосном случайном воздействии. Исследования нелинейных колебаний пластины выполнены на базе редуцированной дискретной модели, которая построена на основе вариационного принципа Гамильтона, методов конечных элементов и обобщенных координат. Динамическое состояние конструкции исследовано путем численного моделирования процесса колебаний при действии конкретной реализации узкополосного воздействия. Каждая реализация узкополосного случайного воздействия получена с помощью формирующего фильтра второго порядка и описывает гармонические колебания с медленно изменяющимися амплитудой и фазой. Исследованы сценарии переходов с одного режима колебаний пластины на другой, оценивается время пребывания ее в различных динамических состояниях. Розглядаються питання щодо аналізу режимів вимушених коливань гнучких пластин при вузькополосному випадковому впливі. Дослідження нелінійних коливань пластини виконано на базі редукованої дискретної моделі, яка побудована на основі варіаційного принципу Гамільтона, методу скінченних елементів та узагальнених координат. Динамічний стан конструкції при вузькосмужному навантаженні досліджується шляхом чисельного моделювання процесу коливань під дією конкретної реалізації вузькосмужного впливу. Кожна реалізація вузькосмужного випадкового впливу отримана за допомогою формуючого фільтру другого порядку і описує гармонічні коливання, в яких амплітуда й фаза повільно змінюються. Досліджуються сценарії переходів з одного режиму коливань пластини на інший, оцінюється час перебування її в різних динамічних станах. The analysis of forced vibration modes of flexible plates under narrow-band stochastic excitation is discussed. Study of nonlinear vibration of the plate is made by the reduced discrete model constructed on the base of the Hamilton variation principle, the finite-element method, and the method of generalized coordinates. The dynamic state of structure is investigated by numerical modeling of vibration process for particular realization of narrow-band excitation. Each realization of narrow-band stochastic excitation is achieved by the formation of the second order filter and is described by harmonic vibrations with slowly changing amplitude and phase. We examine the scenarios of vibration mode shifts for flexible plates and evaluate the time intervals corresponding to each particular dynamic state. 2000 Article Вынужденные установившиеся колебания гибких пластин при случайном узкополосном воздействии / В.А. Баженов, Е.С. Дехтярюк, Т.Г. Захарченко, О.А. Лукьянченко, В.Ф. Имдух // Проблемы прочности. — 2000. — № 2. — С. 105-117. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. 0556-171X http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/46210 539.3 ru Проблемы прочности Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Производственный раздел Производственный раздел
spellingShingle	Производственный раздел Производственный раздел Баженов, В.А. Дехтярюк, Е.С. Захарченко, Т.Г. Лукьянченко, О.А. Имдух, В.Ф. Вынужденные установившиеся колебания гибких пластин при случайном узкополосном воздействии Проблемы прочности
description	Рассмотрены вопросы, связанные с анализом режимов вынужденных колебаний гибких пластин при узкополосном случайном воздействии. Исследования нелинейных колебаний пластины выполнены на базе редуцированной дискретной модели, которая построена на основе вариационного принципа Гамильтона, методов конечных элементов и обобщенных координат. Динамическое состояние конструкции исследовано путем численного моделирования процесса колебаний при действии конкретной реализации узкополосного воздействия. Каждая реализация узкополосного случайного воздействия получена с помощью формирующего фильтра второго порядка и описывает гармонические колебания с медленно изменяющимися амплитудой и фазой. Исследованы сценарии переходов с одного режима колебаний пластины на другой, оценивается время пребывания ее в различных динамических состояниях.
format	Article
author	Баженов, В.А. Дехтярюк, Е.С. Захарченко, Т.Г. Лукьянченко, О.А. Имдух, В.Ф.
author_facet	Баженов, В.А. Дехтярюк, Е.С. Захарченко, Т.Г. Лукьянченко, О.А. Имдух, В.Ф.
author_sort	Баженов, В.А.
title	Вынужденные установившиеся колебания гибких пластин при случайном узкополосном воздействии
title_short	Вынужденные установившиеся колебания гибких пластин при случайном узкополосном воздействии
title_full	Вынужденные установившиеся колебания гибких пластин при случайном узкополосном воздействии
title_fullStr	Вынужденные установившиеся колебания гибких пластин при случайном узкополосном воздействии
title_full_unstemmed	Вынужденные установившиеся колебания гибких пластин при случайном узкополосном воздействии
title_sort	вынужденные установившиеся колебания гибких пластин при случайном узкополосном воздействии
publisher	Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України
publishDate	2000
topic_facet	Производственный раздел
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/46210
citation_txt	Вынужденные установившиеся колебания гибких пластин при случайном узкополосном воздействии / В.А. Баженов, Е.С. Дехтярюк, Т.Г. Захарченко, О.А. Лукьянченко, В.Ф. Имдух // Проблемы прочности. — 2000. — № 2. — С. 105-117. — Бібліогр.: 8 назв. — рос.
series	Проблемы прочности
work_keys_str_mv	AT baženovva vynuždennyeustanovivšiesâkolebaniâgibkihplastinprislučajnomuzkopolosnomvozdejstvii AT dehtârûkes vynuždennyeustanovivšiesâkolebaniâgibkihplastinprislučajnomuzkopolosnomvozdejstvii AT zaharčenkotg vynuždennyeustanovivšiesâkolebaniâgibkihplastinprislučajnomuzkopolosnomvozdejstvii AT lukʹânčenkooa vynuždennyeustanovivšiesâkolebaniâgibkihplastinprislučajnomuzkopolosnomvozdejstvii AT imduhvf vynuždennyeustanovivšiesâkolebaniâgibkihplastinprislučajnomuzkopolosnomvozdejstvii
first_indexed	2025-07-04T05:22:38Z
last_indexed	2025-07-04T05:22:38Z
_version_	1836692599053746176
fulltext	УДК 539.3 В ы н у ж д е н н ы е у с т а н о в и в ш и е с я к о л е б а н и я г и б к и х п л а с т и н п р и с л у ч а й н о м у з к о п о л о с н о м в о з д е й с т в и и В. А. Баженов, Е. С. Дехтярю к, Т. Г. Захарченко, О. А. Л укьянченко, В. Ф. Имдух Киевский национальный университет строительства и архитектуры, Киев, Украина Рассмотрены вопросы, связанные с анализом режимов вынужденных колебаний гибких пластин при узкополосном случайном воздействии. Исследования нелинейных колебаний пластины выполнены на базе редуцированной дискретной модели, которая построена на основе вариационного принципа Гамильтона, методов конечных элементов и обобщенных координат. Динамическое состояние конструкции исследовано путем численного моде лирования процесса колебаний при действии конкретной реализации узкополосного воз действия. Каждая реализация узкополосного случайного воздействия получена с помощью формирующего фильтра второго порядка и описывает гармонические колебания с медленно изменяющимися амплитудой и фазой. Исследованы сценарии переходов с одного режима колебаний пластины на другой, оценивается время пребывания ее в различных динамических состояниях. Известно, что гибкие пластины и оболочки, подверженные интенсив ному периодическому воздействию, представляют собой сложную динами ческую систему, в которой в зависимости от величины параметров воз действия реализуются принципиально различные режимы колебаний. Про цесс колебаний может сопровождаться такими физическими явлениями, как возникновение сложных резонансов, существование нескольких устойчивых режимов колебаний при одних и тех же параметрах внешнего воздействия, срыв колебательного режима, приводящий к изменению пространственно временной конфигурации динамического состояния, стоячие или бегущие волны и др. [1]. Обусловленные этими явлениями качественные изменения динамического состояния часто приводят к значительному повышению на пряжений в конструкциях, что существенно влияет на их эксплуатационную надежность и долговечность. В работе рассматриваются вопросы, связанные с анализом режимов колебаний гибких пластин при узкополосном случайном воздействии. Естественно, что при воздействии на тонкостенную конструкцию случайной динамической нагрузки особенно проявляются сложности возбуждаемых колебательных процессов. Специфика этого вида нагружения заключается в том, что любую реализацию стационарного узкополосного случайного про цесса можно представить в виде гармонического процесса с фиксированной частотой и медленно изменяющимися амплитудой и фазой. Таким образом, зная закономерности изменения динамических состояний конструкции при изменении интенсивности детерминированного гармонического нагружения фиксированной частоты, можно в определенной степени прогнозировать эволюцию режимов случайных колебаний при узкополосном воздействии. © В. А. БАЖЕНОВ, Е. С. ДЕХТЯРЮК, Т. Г. ЗАХАРЧЕНКО, О. А. ЛУКЬЯНЧЕНКО, В. Ф. ИМДУХ, 2000 ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2000, N 2 105 В. А. Баженов, Е. С. Дехтярюк, Т. Г. Захарченко, О. А. Лукъянченко, В. Ф. Имдух Согласно вышеизложенному, вначале исследуются закритические режи мы вынужденных установившихся колебаний гибких пластин при детер минированном гармоническом воздействии. Затем изучаются возможные подходы к анализу случайных колебаний при узкополосном воздействии. И наконец, приводятся результаты численного исследования данной задачи. Коротко остановимся на построении дискретной динамической модели [2]. Теоретической основой проведенных исследований является геомет рически нелинейная теория оболочек. Принято, что прогибы оболочки могут иметь порядок толщины (средний изгиб), деформации остаются ма лыми, материал конструкции является однородным изотропным, работа ющим в условиях, когда справедлив закон Гука, не учитываются эффекты, связанные с распространением упругих волн в массиве материала. Кон тинуальная динамическая модель оболочки формируется на основе вариа ционного принципа Гамильтона. Преобразование континуальной модели движения в дискретную проводится на основе конечноэлементной аппрок симации в сочетании с методом обобщенных координат. Редуцирование полной конечноэлементной динамической модели оболочек осуществляется на базе метода обобщенных координат. Для получения редуцированной дискретной динамической модели кон струкции применен следующий вариант метода обобщенных координат. Изгибные составляющие поля перемещений (прогиб Ш и углы поворота р а , а = 1, 2) хорошо аппроксимируются линейной комбинацией нескольких низших собственных форм изгибных колебаний. Для более точной аппрок симации мембранных перемещений (перемещения в срединной поверхности ¥ а , а = 1, 2), при колебаниях с конечными амплитудами, в качестве базисных кроме изгибных форм используются дополнительные функции. Добавки к мембранным составляющим поля перемещений определяются из линейной краевой задачи, правая часть которой представляет собой нагрузку, вы раженную квадратичной формой от нормальных перемещений срединной поверхности. В соответствии с методом обобщенных координат поле пере мещений представляется в виде Га = Га У 1 ( ) + А Г а У 1 ( ) у у ( ); ■ ( 1 ) Ш = № 1У 1 ( 0 ; Р а = Р а У ■( ■, у = 1, ..., п, где V ■, Ш 1, р а - изгибные формы; А Г ■ - дополнительные базисные функ ции; у 1 () - обобщенные координаты. На основе (1) выполняется реду цирование полной конечноэлементной системы уравнений движения конст рукции. Учет диссипативных сил производится по модели частотно-незави симого демпфирования [3]. Диссипативные члены вводятся непосредст венно в предварительно полученные уравнения для обобщенных координат (метод квазинормальных координат). В настоящей работе предполагается, что коэффициенты потерь по всем формам одинаковы у 1 = ...= у п = у , а параметры затухания Е1, вводимые в уравнения движения оболочечной системы, вычисляются по формуле 106 0556-171Х. Проблемы прочности, 2000, № 2 Вынуж денные установившиеся колебания гибких пластин 2е 1 = у . Ниже считается, что нагрузка, действующая на тонкостенную кон струкцию, может быть представлена в виде произведения функции (воз можно, обобщенной) пространственных переменных на функцию времени. Первая функция характеризует пространственную конфигурацию нагрузки, вторая - изменение интенсивности во времени. В рассматриваемой постановке изучение нелинейных колебаний плас тин и оболочек, с математической точки зрения, сводится к задаче о постро ении и исследовании устойчивости установившихся решений системы нели нейных обыкновенных дифференциальных уравнений: п п п + 2 е 1ю 1у 1 + ° 2у + 2 2 2 в У'кгУуУкУг = Л p I• / (0 , ^ . . ^ n, (2) У=1 к=1 1=1 где о - собственные частоты; в ук1 - коэффициенты матриц кубической нелинейности; р * - -я составляющая вектора обобщенной нагрузки, зави сящего от пространственной конфигурации внешнего воздействия; / ( г) - функция, описывающая закон изменения воздействия во времени; Я - без размерный параметр, характеризующий интенсивность нагрузки. Как указывалось выше, исследование случайных колебаний конструк ции при действии узкополосной нагрузки целесообразно предварить изуче нием детерминированных установившихся колебаний, обусловленных гар моническим воздействием, частота которого совпадает с несущей частотой узкополосной нагрузки, т.е. в системе (2) принять / ( г) = соэ(ор г ), где о р - несущая частота. Исследование установившихся режимов колебаний конструкции при изменении параметров внешнего гармонического воздействия осуществля ется по следующей схеме [4]. Проводится построение регулярных решений системы (2) при изменении параметров внешнего воздействия в заданной области их значений. Анализируется устойчивость этих решений и опре деляются особые точки, которые отвечают критическим режимам коле баний. Исследуется бифуркация критических режимов колебаний в особых точках. Изучается эволюция закритических режимов движения при изме нении параметров воздействия и исследуется их устойчивость. В качестве аппарата численного исследования регулярных режимов колебаний при гармоническом воздействии используется метод продолжения решения по параметру. Исследование устойчивости периодических колебаний осущест вляется на основе теории первого приближения Ляпунова - уравнений в вариациях. При анализе динамических состояний пластины путем прямого численного построения траекторий движения для идентификации колеба тельных режимов используются метод сечения Пуанкаре и Фурье-анализ. В ходе указанных выше исследований определяется структура области неустойчивости вынужденных колебаний рассматриваемой системы в окрестности частоты о р и строится кривая реакции на частоте о р . Именно эти результаты помогают провести анализ случайных колебаний при переходе к узкополосному возбуждению / ( г) с несущей частотой о р . ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2000, № 2 107 В. А. Баженов, Е. С. Дехтярюк, Т. Г. Захарченко, О. А. Лукьянченко, В. Ф. Имдух Ниже приведены результаты численного исследования нелинейных установившихся колебаний шарнирно опертой квадратной в плане пластины (рис. 1 ,а) с неподвижными краями при действии равномерно распреде ленного нормального давления, изменение интенсивности которого опи сывается узкополосным случайным процессом / ( г). Параметры пластины следующие: длина стороны I = 0,4 м, толщина И = 0,001 м, модуль упру гости Е = 68,67 ГПа, коэффициент Пуассона ^ = 0,3, плотность материала 3 3р = 2,75-10 к г /м . Коэффициент потерь у принят равным 0,05. Нор мальное давление определяется выражением д = Х ц0/ ( г), где д0 = 9,8 Па. Для построения расчетной динамической модели определены девять низ ших собственных форм изгибных колебаний. На рис. 1,б изображены соот ветствующие этим формам линии нулевого прогиба (узловые линии), там же указаны частоты собственных колебаний. Первая, пятая, шестая и девятая формы имеют симметричную пространственную конфигурацию, а вторая, третья, четвертая, седьмая и восьмая - кососимметричную. Рассматри ваются случайные колебания, возбуждаемые внешним воздействием, для которого функция / ( г) имеет несущую частоту о р = 3,25« 1, где о) 1 - низшая частота собственных колебаний. Вначале исследуются детермини рованные установившиеся колебания, обусловленные гармонической на грузкой: / ( г) = со§(ор г ). Кратко изложим основные данные, которые ис пользуются при анализе случайных колебаний. Более подробно они опи саны в [5]. ̂= 185.9 со,=466.0 о)3=466.0 0.001т Я-^ЯсЖ) 1 + - + - + - 192,9 Шл=7340 Ш[г9М9 йА;=9М9 + - + - + - + - + 1617.8 Рис. 1. Расчетная схема МКЭ шарнирно опертой пластины (а), собственные формы ее колебаний (б), а также область неустойчивости вынужденных колебаний (в) и кривые реакции режимов вынужденных установившихся колебаний (г). ба гв 108 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2000, № 2 Вынуж денные установившиеся колебания гибких пластин В результате редуцирования исходной задачи с помощью базиса орто- нормированных собственных форм получена система обыкновенных диф ференциальных уравнений относительно обобщенных координат (2 ). В процессе колебаний при определенных сочетаниях параметров на гружения X, о р ( о р = о р / ^ ) реализуемые динамические состояния мо гут терять устойчивость вследствие проявления различных резонансов. Этим резонансам на плоскости параметров X— о соответствуют некоторые области неустойчивости. Исследовались нелинейные вынужденные колебания пластины в диа пазоне частот внешнего воздействия О р Е [3,0...3,5]. Структура области не устойчивости основного режима колебаний в рассматриваемом диапазоне частот представлена на рис. 1,в. При малых уровнях нагружения в этом диапазоне частот пластина вообще не проявляет никаких резонансных свойств. Реализуется режим Т-периодических колебаний (Т = 2п / о р ) с симметричной пространственной конфигурацией. На более высоких уров нях нагружения ХЕ [6,0...35,0] имеет место зона неустойчивости, которая отвечает комбинационному резонансу суммарного типа, обусловленному взаимодействием двух первых собственных форм симметричных изгибных колебаний пластины о = (о + о 5 6 ) / 2 . На рис. 1,г показаны кривые реакций вынужденных нелинейных коле баний пластины при гармоническом воздействии XpJ• соз(~Ор1) в коорди натах Ш — X, где Ш - величина, равная максимальному значению безраз мерного прогиба в центре пластины, достигаемого в процессе колебаний (Ш = Шт а х / Н). Линия 0 -1 -2 на плоскости X —о (рис. 1,в) при фикси рованной частоте отображается на вертикальную прямую 0 -1 -2 . Участок кривой реакции 0 - 1 соответствует режимам Т-периодических колебаний с симметричной пространственной конфигурацией. Ниже этот режим коле баний назван основным режимом колебаний, или первым состоянием. В точке 1 прямая линия 0- 1 - 2 (рис. 1 ,в), соответствующая основному режиму колебаний при частоте внешнего воздействия ~юр = 3,25, пересекает ниж нюю границу зоны неустойчивости комбинационного резонанса. Точка 1 кривой реакции является особой (Х1 = 24,0). В ней происходит бифуркация Т -периодического режима колебаний в режим квазипериодических коле баний с симметричной пространственной конфигурацией. В бифуркаци онной точке отношение двух основных частот колебаний Юр и о 0 равно г = 0,3665 ( г = ш0 / о ) [6]. Верхняя граница области неустойчивости пере секается вертикальной линией в точке 2 (рис. 1,в). Эта точка также является бифуркационной, г = 0,39957. В точках 1 и 2 от кривой реакции ответв ляется участок 1 -3 -2 . Он соответствует режиму квазипериодических коле баний. Построение кривой 1 -3 -2 проводилось в частотной области. При проверке устойчивости использовался метод сечения Пуанкаре, Фурье- анализ, определялся спектр ляпуновских характеристических показателей. Участок кривой реакции 3 -2 соответствует устойчивым режимам квази- периодических колебаний, при этом параметр интенсивности внешнего воз действия изменяется в диапазоне от X3 = 18,0 до X2 = 30,0. Ниже этот режим колебаний назван вторым динамическим состоянием. В точке 3 происходит потеря устойчивости режима квазипериодических колебаний, и система из второго состояния переходит в первое. ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2000, № 2 109 В. А. Баженов, Е. С. Дехтярюк, Т. Г. Захарченко, О. А. Лукъянченко, В. Ф. Имдух Кроме рассмотренных возможных режимов колебаний обнаружено су ществование режима установившихся колебаний, отвечающих 3Т-периоди- ческим колебаниям с симметричной пространственной конфигурацией. Эти динамические состояния будем называть третьим состоянием (на рис. 1,г ему соответствует замкнутая ветвь 4 -5 ). Для основного режима колебаний при Я = 16,059 отношение мнимой части 1 т о 1 = « 0 главного характеристического показателя системы уравнений в вариациях к частоте внешнего воздействия равно г = 1 /3 [6]. Если бы Я ео 1 = 0, то соответ ствующее динамическое состояние было бы критическим, и при потере устойчивости осуществлялся переход на режим 3Т -периодических колеба ний [6]. В данном случае основной режим колебаний является устойчивым (Яе о 1 < 0), и кривая 4-5, соответствующая режиму 3Т-периодических коле баний, “притягивается” к той точке кривой 0- 1 - 2 , в которой г = 1/3, при этом не пересекая последнюю. В окрестности значений параметра интен сивности А = 16 режимы Т-периодических колебаний устойчивы в малом и неустойчивы в большом, при конечных возмущениях может реализоваться переход на режим 3Т-периодических колебаний. Проведенный анализ показывает, что при гармоническом воздействии с частотой о р = 3,25«! в диапазоне значений параметра интенсивности ЯЕ[0...35] при потере устойчивости Т -периодического режима колебаний можно выйти только на режимы установившихся колебаний с симметричной пространственной конфигурацией. Переход на режимы установившихся колебаний с более сложной пространственной конфигурацией возможен при Я> 50 [5]. Поэтому при исследовании колебаний в диапазоне Я Е [0...35] в представлении ( 1 ) можно не учитывать кососимметричные формы коле баний, т.е. при построении расчетной динамической модели достаточно использовать только первые две симметричные формы: в системе (2 ) при нимается п = 2. Это обстоятельство существенно уменьшает объем вычис лений при исследовании случайных колебаний. Теперь пусть изменение во времени внешнего воздействия описывается стационарным случайным процессом / ( г), односторонняя спектральная плотность которого записывается в виде При \| < < 1 / ( г) является узкополосным случайным процессом с не сущей частотой о р , практически вся энергия процесса сосредоточена в узком диапазоне частот порядка £ « р в окрестности частоты « = « ^ 1 — 2£, где спектральная плотность (3) достигает максимума. Случайный процесс / ( г) представляется в виде где амплитуда а( г) и фаза <р( г) - стационарные случайные процессы, каждая реализация которых - медленно изменяющаяся функция времени. (3) х ( г) = а( г) со§(« рг + <р( г)), (4) 110 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2000, № 2 Вынуж денные установившиеся колебания гибких пластин Таким образом, каждая реализация случайного процесса / ( г) описывает гармонические колебания с частотой т р и медленно изменяющимися амплитудой и фазой. При изучении случайных колебаний система (2) представляет собой систему стохастических дифференциальных уравнений, где у г( г) ( г = 1 , 2 , ..., п ) - стационарно связанные случайные процессы, определяющие веро ятностные характеристики эволюции соответствующих обобщенных коор динат. Предположение о стационарности во времени случайных процессов у г ( г) означает, что в рассматриваемой постановке считается, что все пере ходные процессы закончились и система вышла на режим установившихся колебаний. Определение вероятностных характеристик решений системы (2) представляет собой классическую задачу нелинейной статистической ди намики. Обзор методов решения этих задач изложен в [7]. Основные проб лемы, которые здесь возникают, связаны с размерностью системы. Теоретически наиболее полное описание вероятностных характеристик решений системы (2 ) может быть получено на основе методов теории марковских процессов с помощью уравнения Фоккера-Планка-Колмого- рова (ФПК), которое представляет собой уравнение в частных производных относительно плотности вероятностей перехода. Однако прямое решение этого уравнения для конкретных задач сопряжено с существенными труд ностями. Дело в том, что число пространственных переменных в уравнении Фоккера-Планка-Колмогорова равно размерности фазового пространства системы (2 ) плюс порядок формирующего фильтра узкополосного процесса / ( г). Случайный процесс / ( г) со спектральной плотностью (3) может быть получен с помощью формирующего фильтра второго порядка, т.е. / ( г) удовлетворяет уравнению [8] / ( г) + р / ( г) + т ̂р/ ( г) = Таю р ^ & Р г ( г X (5) где г ( г) - нормальный процесс белого шума. В данном случае в системе (2) п = 2, и с учетом фильтра второго порядка (5) размерность соответствующего фазового пространства равня ется шести. Таким образом, исследование вероятностных характеристик решений системы (2) с помощью уравнения ФПК не представляется воз можным. Эволюция динамических состояний исследуется численным методом. Системы (1), (5) интегрируются методом Рунге-Кутта с шагом интегри рования Д г = 0,0604 (здесь и ниже время безразмерное). Полагали, что вна чале пластина находится в состоянии покоя. Переходной процесс, который по времени занимает 70000Тр , пропускали. В конце переходного процесса время г принимается равным нулю, при этом амплитуда внешнего воздей ствия а(0) = 16,24 < Л1 (рис. 1,г). В это время система находится в первом состоянии. Анализ результатов численного моделирования показывает, что можно выделить три характерных типа случайного колебательного режима: первый режим - это узкополосные колебания, несущая частота которых равна ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2000, № 2 111 В. А. Баженов, Е. С. Дехтярюк, Т. Г. Захарченко, О. А. Лукъянченко, В. Ф. Имдух несущей частоте внешнего воздействия о р ; второй - случайные колебания, в спектре которых четко выделяются три частоты о (1), о (2), о (3); третий - с двумя характерными частотами о р / 3 и о р . Если сравнивать эти дина мические состояния с рассмотренными выше установившимися колеба ниями под действием гармонической нагрузки, то первый режим соответ ствует Т -периодическим колебаниям (первое состояние), второй - квази- периодическим колебаниям о (1) = о р — о 0 , = о р , о (3) = о р + о 0, где о о - автоколебательная частота (второе состояние), третий - ЗТ-периоди- ческим колебаниям (третье состояние). На рис. 2 схематически показано изменение усредненных характеристик амплитуды внешнего воздействия Я( г) и перемещений центральной точки пластины Ж ( г) за время 200000, что составляет 103450 Т р . Рис. 2. Схематизированные структуры амплитуды нагружения (а) и реакции шарнирно опертой пластины (б). Детальная структура случайной нагрузки, характеризующая различные сценарии перехода с одного режима колебания на другой, и соответст вующие ей перемещения центральной точки пластины для отдельных про межутков времени показаны на рис. 3, 4. Рис. 3,а иллюстрирует изменение амплитуды внешнего воздействия Я и перемещений центральной точки пластины Ж в интервале времени г Е [0...4800]. За указанный промежуток времени произошло два скачка: с режима узкополосного колебания, несущая частота которого равна несущей частоте внешнего воздействия ~юр (первое состояние), на случайный коле бательный режим, в спектре которого проявляются три несущие частоты: о р — о 0 , о р , о р + о 0 , и обратно. При г = 1160 (~ 600Тр) произошел пере ход с первого состояния на второе, при этом амплитуда внешнего 112 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2000, № 2 Вынуж денные установившиеся колебания гибких пластин воздействия А = 24,0 (рис. 3,а). В промежутке времени г Е [1160...2707] (~ 800Гр) наблюдалось второе состояние. При г = 2707 (~ 1400Тр ) про изошел переход со второго состояния на первое, амплитуда случайного воздействия при этом Л = 18,0 (рис. 3,а). а б в г Рис. 3. Реализации случайного нагружения и реакции шарнирно опертой пластины для различных интервалов времени: а, б - г Е [0...4800] ; в, г - г Е [152800...157600]. На рис. 5,а-к показаны локальные структуры амплитуды нагружения и случайных колебаний пластины при г Е [0...500]и г Е [1860...2360](~ 250Тр ) соответственно для первого и второго состояний. Амплитуда внешнего воздействия первого состояния узкополосного колебания пластины Х(г) и соответствующий ей спектр показаны на рис. 5,а,б. Спектр такого режима ІББМ 0556-171Х. Проблемы прочности, 2000, № 2 113 В. А. Баженов, Е. С. Дехтярюк, Т. Г. Захарченко, О. А. Лукъянченко, В. Ф. Имдух установившихся колебаний представляет собой одну линию на частоте о р = 3,25 и имеет значение 0(~Юр) = 0,4. Перемещение центральной точки пластины Ж и соответствующий ей спектр приведены на рис. 5,в,г. Значение Ж колеблется в диапазоне [0,4...0,65]. Из спектра перемещений видно, что реализуется режим узкополосных колебаний с несущей частотой, равной несущей частоте внешнего воздействия. Спектр имеет значение 0 (Ю р ) = 2,2 • 10— 5. Рис. 5,д иллюстрирует отображение Пуанкаре для этого режима колебаний. При детерминированном подходе отображение Пуанкаре представляет собой одну точку, в нашем случае его размытость объясняется изменением амплитуды и фазы в представлении Ж ( г ) = Ж0( г )со< о р г + Р 0( г )). Рис. 4. Реализации случайного нагружения и реакции шарнирно опертой пластины при г Є [178900...183700]. Для второго состояния амплитуда случайного воздействия Х(г) и со ответствующий ей спектр показаны на рис. 5,е,ж. Спектр представляет собой одну линию на частоте ю р = 3,25 и имеет значение Є ( ю р ) = 0,05. Перемещение центральной точки пластины для этого состояния приведено на рис. 5,з. Из рис. 5,и видно, что реализуется режим случайных колебаний, в спектре которого проявляются три несущие частоты: тр ; т р — « 0 ̂ т р + т 0 , где т 0 - автоколебательная частота; при этом Є ( т р ) = 1,4 • 10—5, Є(Юр — т 0) = 2,8* 10—5, Є(Юр + т 0 ) = 0,2* 10—5 соответственно. Отображе ние Пуанкаре (рис. 5,к) для этого состояния имеет явно выраженный ри сунок замкнутого кольца, а его размытость объясняется влиянием случай ного характера. Следует отметить, что сценарий перехода с одного состояния на другое на этом отрезке реализации полностью совпадает со сценарием, который определяется квазистатическом подходом в соответствии с кривой реакций (рис. 1 ,г). 114 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2000, № 2 Вынуж денные установившиеся колебания гибких пластин Характер колебательного процесса в интервале г Е [152800...157600] несколько другой (рис. 3,в,г). На рис. 1,г, иллюстрирующем кривые реакций при детерминированном гармоническом нагружении, отмечается замкнутый контур, соответствующий 3Т -периодическим колебаниям. В случае детер минированных колебаний не реализуется выход на этот режим колебаний при потере устойчивости первого и второго состояния, так как он возможен только при нелокальных возмущениях. При узкополосном воздействии си туация иная. Здесь реализуется выход на режим узкополосных колебаний с несущей частотой ю р / 3 (третье состояние) при потере устойчивости как первого, так и второго состояния. О Д п.пв п .пч Ир / е й г.5-іо'5 200 ЧИПв - - Йр 1.5-1П'5- / 5-10'® . 1 . 1 . 1 . 1 . -п .ч д СИ гооо ггоо е £0„ / О Д 2.5-10'5 1.5"1П'- гппп ггоо з 0) р О) □/ / 1 , /1 .1 1 . 1 . N 8 - г о . I . .. I.___ I ___и 1В1ЛШ .. .. .. \|" и 1.5 W 1.0 .■■Ч %■ ■ -1 - і * ц . . . и . . . . 1.... 1.... 1. . . . П.5 -П.5 41 І.Ч Л . 1 . 1 . 1 . 1 П.Б V п.г ■4-ї ■ а ш "І . 1 . 1 . 1 . ■ - П . Б -П.Ч п п .ч п V/ Рис. 5. Спектральные характеристики и сечения Пуанкаре реакций системы на случайное узкополосное воздействие. ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2000, № 2 115 В. А. Баженов, Е. С. Дехтярюк, Т. Г. Захарченко, О. А. Лукъянченко, В. Ф. Имдух В интервале ї Є [152800... 153504] ( « 350Тр) наблюдается случайный колебательный режим, в спектре которого проявляются две несущие частоты: ю р / 3 и ю р . При ї = 153504 и амплитуде внешнего воздействия А = 17,5 происходит скачок на режим узкополосных колебаний, несущая частота которых равна несущей частоте внешнего воздействия Юр = 3,25. В интервале ї Є [153504...154374] ( ^ 450Т р ) установился вышерассмотренный режим, соответствующий первому состоянию. При ї = 154374 и А = 24,0 имеет место переход с первого состояния на случайный колебательный режим, в спектре которого проявляются три несущие частоты: Юр; Юр — Ю0; Юр + Ю0. В интервале ї Є [154374...156307] (~1000Тр) установился режим, соответствующий второму состоянию. При ї = 156307 и амплитуде внеш него воздействия А = 17,5 произошел скачок с первого состояния на режим случайных колебаний, соответствующий третьему состоянию. Этот режим наблюдается в течение ї Є [156307...157370] (~ 550Тр), после чего про исходит переход на режим узкополосных случайных колебаний с одной несущей частотой Юр. Поведение узкополосного случайного нагружения (рис. 3,в) в указанном интервале времени имеет довольно плавные переходы в моменты времени, когда происходят скачки с одних режимов колебаний на другие, по срав нению с изменениями перемещений центральной точки гибкой пластины в том же интервале времени (рис. 3,г). Следует также отметить частый ха рактер изменения состояний системы за сравнительно короткий интервал времени и наличие разных видов переходов: с третьего состояния на первое, с первого - на второе, со второго - на третье и с третьего - на первое. Детальная структура случайной нагрузки и соответствующее ей переме щение центральной точки пластины при ї Є [178900...183700] (рис. 4) ха рактеризует сценарий перехода с первого состояния на третье и с третьего на первое. Рис. 5,л-о иллюстрирует локальную структуру поведения системы при ї Є [181600... 182100] (~ 250Тр) для случайных колебаний, в спектре кото рых проявляются две несущие частоты: Юр / 3, Юр (рис. 5,и). На рис. 5,п показано отображение Пуанкаре для третьего состояния. Так, при детерми нированном подходе для 3Т-периодических колебаний отображение Пуан каре имеет три несвязных точки. В нашем случае наблюдаются три группы точек, что объясняется влиянием случайного процесса. Р е з ю м е Розглядаються питання щодо аналізу режимів вимушених коливань гнучких пластин при вузькополосному випадковому впливі. Дослідження нелінійних коливань пластини виконано на базі редукованої дискретної моделі, яка побудована на основі варіаційного принципу Гамільтона, методу скінченних елементів та узагальнених координат. Динамічний стан конструкції при вузькосмужному навантаженні досліджується шляхом чисельного моделю вання процесу коливань під дією конкретної реалізації вузькосмужного впливу. Кожна реалізація вузькосмужного випадкового впливу отримана за допомогою формуючого фільтру другого порядку і описує гармонічні коли- 116 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2000, № 2 Вынуж денные установившиеся колебания гибких пластин вання, в яких амплітуда й фаза повільно змінюються. Досліджуються сце нарії переходів з одного режиму коливань пластини на інший, оцінюється час перебування її в різних динамічних станах. 1. Б аж енов В. А., Д ехт яр ю к Е. С., Захарченко Т. Г . Регулярные и хао тические режимы вынужденных установившихся колебаний гибких пластин и оболочек при гармоническом воздействии: Тр. 18-й Меж- дунар. конф. по теории оболочек и пластин (Саратов, 29 сент. - 4 окт.). - Саратов, 1997. - Т. 2. - С. 3 - 8. 2. Д ехт яр ю к Е. С., Л ум елъский Е. Д . Численное построение нелинейных динамических моделей пологих оболочек и пластин // Сопротивление материалов и теория сооружений. - 1984. - Вып. 45. - С. 5 - 9. 3. Ц ейт лин А. И., К усаинов А. А . Методы учета внутреннего трения в динамических расчетах конструкций. - Алма-Ата: Наука, 1987. - 240 с. 4. Б аж енов В. А., Д ехт яр ю к Е. С., Захарченко Т. Г . Нерегулярні режими сталих коливань циліндричної панелі // Доп. НАНУ. - 1995. - № 8. - С. 40 - 44. 5. Б аж енов В. А ., Д ехт яр ю к Е. С., Захарченко Т. Г., П ет рина Ю . С. Регулярные режимы вынужденных установившихся колебаний гибких пластин при гармоническом воздействии // Там же. - 1999. - № 1 . - С. 57 - 65. 6. Й осс Ж ., Д ж о зеф Д . Элементарная теория устойчивости и бифур каций. - М.: Мир, 1983. - 301 с. 7. Дехтярюк Е. С., Мельник-Мельников П. Г. Методы нелинейной ста тистической динамики. Современное состояние и тенденции развития // Прикл. механика. - 1997. - 33, № 8. - С. 64 - 72. 8. Д и м ен т берг М . Ф. Нелинейные стохастические задачи механических колебаний. - М.: Наука, 1976. - 319 с. Поступила 28. 05. 99 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2000, № 2 117

Вынужденные установившиеся колебания гибких пластин при случайном узкополосном воздействии

Institution

Ähnliche Einträge