Моделирование процессов пропорционального нагружения простых по Ноллу материалов с упругопластическим поведением. Сообщение 1. Построение определяющих соотношений

Для простых по Ноллу твердых деформируемых материалов постулирована обратимость определяющих соотношений. В традиционной и обратной форме построены варианты представления общих физических уравнений таких тел, в том числе и с упругопластическим поведением. Для конечных и бесконечно малых деформаци...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2000
Автор:	Лепихин, П.П.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України 2000
Назва видання:	Проблемы прочности
Теми:	Научно-технический раздел
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/46227
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Моделирование процессов пропорционального нагружения простых по Ноллу материалов с упругопластическим поведением. Сообщение 1. Построение определяющих соотношений / П.П. Лепихин // Проблемы прочности. — 2000. — № 3. — С. 56-68. — Бібліогр.: 21 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-46227
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-462272013-06-28T23:12:25Z Моделирование процессов пропорционального нагружения простых по Ноллу материалов с упругопластическим поведением. Сообщение 1. Построение определяющих соотношений Лепихин, П.П. Научно-технический раздел Для простых по Ноллу твердых деформируемых материалов постулирована обратимость определяющих соотношений. В традиционной и обратной форме построены варианты представления общих физических уравнений таких тел, в том числе и с упругопластическим поведением. Для конечных и бесконечно малых деформаций последних детально моделируется пропорциональное активное нагружение, в первую очередь изотропных материалов. Для простих за Нолом твердих деформівних матеріалів постульована можливість оборотності визначальних співвідношень. В традиційній та оборотній формі побудовано варіанти подання загальних фізичних рівнянь таких тіл, у тому числі й тіл із пружнопластичною поведінкою. Для скінченних і нескінченно малих деформацій останніх детально вивчено пропорційне активне навантаження, в першу чергу ізотропних матеріалів. We postulate reversibility of governing equations for solid deformable materials that are simple in terms of Noll. We construct representation (in conventional and inverse versions) of general physical equations for such bodies, in particular, those with elastoplastic behavior. For finite and finitissimal strains of the latter bodies we carried out a detailed simulation of the so-called proportional active loading, primarily of isotropic materials. 2000 Article Моделирование процессов пропорционального нагружения простых по Ноллу материалов с упругопластическим поведением. Сообщение 1. Построение определяющих соотношений / П.П. Лепихин // Проблемы прочности. — 2000. — № 3. — С. 56-68. — Бібліогр.: 21 назв. — рос. 0556-171X http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/46227 539.37 ru Проблемы прочности Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Научно-технический раздел Научно-технический раздел
spellingShingle	Научно-технический раздел Научно-технический раздел Лепихин, П.П. Моделирование процессов пропорционального нагружения простых по Ноллу материалов с упругопластическим поведением. Сообщение 1. Построение определяющих соотношений Проблемы прочности
description	Для простых по Ноллу твердых деформируемых материалов постулирована обратимость определяющих соотношений. В традиционной и обратной форме построены варианты представления общих физических уравнений таких тел, в том числе и с упругопластическим поведением. Для конечных и бесконечно малых деформаций последних детально моделируется пропорциональное активное нагружение, в первую очередь изотропных материалов.
format	Article
author	Лепихин, П.П.
author_facet	Лепихин, П.П.
author_sort	Лепихин, П.П.
title	Моделирование процессов пропорционального нагружения простых по Ноллу материалов с упругопластическим поведением. Сообщение 1. Построение определяющих соотношений
title_short	Моделирование процессов пропорционального нагружения простых по Ноллу материалов с упругопластическим поведением. Сообщение 1. Построение определяющих соотношений
title_full	Моделирование процессов пропорционального нагружения простых по Ноллу материалов с упругопластическим поведением. Сообщение 1. Построение определяющих соотношений
title_fullStr	Моделирование процессов пропорционального нагружения простых по Ноллу материалов с упругопластическим поведением. Сообщение 1. Построение определяющих соотношений
title_full_unstemmed	Моделирование процессов пропорционального нагружения простых по Ноллу материалов с упругопластическим поведением. Сообщение 1. Построение определяющих соотношений
title_sort	моделирование процессов пропорционального нагружения простых по ноллу материалов с упругопластическим поведением. сообщение 1. построение определяющих соотношений
publisher	Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України
publishDate	2000
topic_facet	Научно-технический раздел
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/46227
citation_txt	Моделирование процессов пропорционального нагружения простых по Ноллу материалов с упругопластическим поведением. Сообщение 1. Построение определяющих соотношений / П.П. Лепихин // Проблемы прочности. — 2000. — № 3. — С. 56-68. — Бібліогр.: 21 назв. — рос.
series	Проблемы прочности
work_keys_str_mv	AT lepihinpp modelirovanieprocessovproporcionalʹnogonagruženiâprostyhponollumaterialovsuprugoplastičeskimpovedeniemsoobŝenie1postroenieopredelâûŝihsootnošenij
first_indexed	2025-07-04T05:23:56Z
last_indexed	2025-07-04T05:23:56Z
_version_	1836692681336553472
fulltext	УДК 539.37 Моделирование процессов пропорционального нагружения простых по Ноллу материалов с упругопластическим поведением. Сообщение 1. Построение определяющих соотношений П. П . Л епихин Институт проблем прочности НАН Украины, Киев, Украина Для простых по Ноллу твердых деформируемых материалов постулирована обратимость определяющих соотношений. В традиционной и обратной форме построены варианты представления общих физических уравнений таких тел, в том числе и с упругопластическим поведением. Для конечных и бесконечно малых деформаций последних детально моде лируется пропорциональное активное нагружение, в первую очередь изотропных мате риалов. К л ю ч е в ы е с л о в а : простой упругопластический материал, пропорциональное нагружение, конечные и бесконечно малые деформации, определяющие соотношения. В работе Нолла [1] предложена общая теория определяющих соот ношений. Она основана на принципах детерминизма, локального действия и материальной независимости от системы отсчета. Эти принципы пред ставляют собой те непреложные ограничения, которым должны удовле творять физические уравнения, чтобы они могли служить математическим описанием наблюдаемого в природе поведения материалов [2]. Частным случаем общей теории определяющих соотношений Нолла является теория простых материалов [1-3], которая охватывает практически все известные чисто механические модели сплошной среды. В настоящее время общая теория определяющих соотношений [1] и теория простых материалов полу чили существенное развитие [2-12 и др.]. В традиционной форме опре деляющие соотношения [1- 12] позволяют, по крайней мере в принципе, при задании истории деформирования определить напряжения. В целом ряде практически важных задач, зная историю нагружения, необходимо найти деформацию. Определяющие соотношения [1-12] не удобны для решения такой проблемы. В работе [13] последняя реш ается с использованием предположения о существовании физического уравнения, обратного определяющему соотношению простого материала [1]. При этом посредством специализации полученной зависимости построена модель упруговязкопластического материала. Анализ возможности подобного обра щения подчиняющихся принципу детерминизма в форме [1] определяющих соотношений был проведен в [2, 6 ]. Установлено, что это не всегда допус тимо. В частности, в эйлеровой гидродинамике обратного соотношения, выражающего деформацию через историю нагружения, не существует. В этой статье обратимость физических уравнений общей теории опре деляющих соотношений [1] в отмеченном выше смысле постулируется только для твердых тел. В традиционной и обращенной формах построены варианты представления общих определяющих соотношений простых твер © П. П. ЛЕПИХИН, 2000 56 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2000, № 3 Моделирование процессов пропорционального нагружения дых материалов, в том числе и с упругопластическим поведением. Для конечных и бесконечно малых деформаций упругопластических материалов детально моделируется пропорциональное активное нагружение, в первую очередь изотропных материалов. Согласно принципу детерминизма [2, 6 ], напряженное состояние в конфигурации тела-точки X в момент времени г определяется историей х г движения (деформирования) тела В вплоть до момента г: Т( х ( X , г), г) = 3 ( Xг; X , г). (1) Здесь Т - тензор напряжений Коши; 3 - однозначное отображение историй X г = Xг(5) = х(г — 5), где г - фиксировано; 5 = г — г', г > г', 0 < £ < <», тел-точек X и времени г на симметричные тензоры; х ( X , г) - место, занимаемое телом-точкой X в момент г. Далее ограничимся рассмотрением твердых материалов, для которых соотношение (1) предполагаем обратимым в смысле [2, 6 ]. При этом дви жение х тела в свою очередь определяется историей Т г определенного на нем поля напряжений. Тогда х ( X , г) = ^ ( Т г; X , г), (2 ) где ^ ( . ) - однозначное отображение историй Т г тел-точек X и времен г на симметричные тензоры. Все процессы будем считать начинающимися в некоторый отсчетный момент времени г0 из ненапряженной и недеформированной отсчетной конфигурации к о( X ). При этом предположим, что и при г < г о материал находился в к о (X ). Тогда отображение Х = к о (X ) (3) определяет место X, занимаемое телом-точкой X в конфигурации к о(В ). Это отображение, по предположению [2, 6 ], обратимо: X = к —1( X), (4) причем обе функции к о и к —1 - непрерывны. Следовательно, движение (2) можно описать соотношением х = х ( X , г) = х ( к —1( Х ) г) = Х к 0 ( Х г) . (5) Зависимостью (5) движение описывается как отображение ^ ко отсчет ной конфигурации к о(В ) на актуальную конфигурацию х (В , г). ТХОТ вббв-и^. Проблемы прочности, 2000, N 3 57 П. П. Лепихин Градиент функции х Ко называется градиентом деформации (градиен том деформации первого порядка): г = к К0( X , г) = У К0( X , г). (6) В соответствии с принципом материальной независимости от системы отсчета, уравнения состояния инвариантны относительно преобразования наблюдателя [2, 6 ]. Используя этот принцип для частного случая такого пре образования (временного сдвига), можно показать [12], что определяющий функционал ( 1) не зависит явно от времени. Согласно принципу локального действия [2, 6 ], движение тел-точек, находящихся в некоторой конфигурации на любом фиксированном рас стоянии от X , можно не учитывать при подсчете напряжений в X . Приняв в качестве преобразования наблюдателя - жесткий перенос системы коор динат и применив принципы материальной независимости от системы от счета и локального действия, в работе [12] показано, что определяющий функционал (1) не зависит от истории самого движения, а определяется историями градиентов деформации первого, второго и т.д. порядков. Далее ограничимся рассмотрением только таких материалов, для которых истории градиента деформации достаточно для определения напряжений. Для таких материалов, принимая во внимание отмеченные результаты [12] и зависи мости (5), (6), уравнения (1) и (2) можно соответственно переписать так: т ( х , г) = т ( х К0 (X , г), г) = х 0 (гК 0 (X), X ); (7) Гк0( X, г) = ^ К0 ( т г; X ), (8) где гК0 (X ) - история градиента деформации вплоть до момента времени г. Если считать, что отсчетная конфигурация к 0 раз и навсегда выбрана, то определяющее уравнение (7) можно представить в сокращенной форме [2 , 6]: т ( г) = 3 ( Р г). (9) Тогда соотношение (8) примет вид Р ( г) = Х(Тг). (10) Еще одно приложение принципа материальной независимости от систе мы отсчета для подчиняющихся (9), (10) материалов связано с рассмот рением частного случая преобразования наблюдателя - произвольной не прерывной истории жестких вращений [12]. Оно приводит к построению так называемой приведенной (независящей от системы отсчета) формы опреде ляющего соотношения [2, 6 ]. Существует бесконечное множество приве 58 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2000, № 3 Моделирование процессов пропорционального нагружения денных форм соотношения (9). В частности, одна из них, согласно [1], может быть представлена таким образом: Т п (О = « 1( С ' ), ( 11) п т где Т п = Я т Т Я ; Я - тензор поворота в полярном разложении градиента т гдеформации [2, 6 ]; Я - транспонированный тензор Я ; С - история правого тензора К ош и-Грина С вплоть до г. Уравнение (11), как следует из изложенного выше, получено в пред положении справедливости принципов детерминизма, локального действия, материальной независимости от системы отсчета и условия, что истории градиента деформации достаточно для определения напряжения в мате риале. Подчиняющийся всем этим условиям материал по предположению является простым [1]. Как следует из (2) и (5), задания Т г достаточно для описания движения ХКо(X, г), а не только, как в соотношении ( 10), линейного приближения последнего, т.е. градиента деформации. Однако в классе простых мате риалов Г г полностью определяет тензор напряжений Т (г) и, следовательно, естественно историю нагружения Т г использовать для задания градиента деформации. Если, как сделано ранее авторами [13], принять справедливым условие обратимости функционального преобразования (11), то приходим к соотно шению, приведенному в [13], т.е. С( г) = Х2 ((Я т ) гТ гЯ г). (12) Уравнение (12) можно получить непосредственно из (10). Согласно [2], при произвольном жестком вращении системы отсчета Г ( г),Т (г) и Т г преобразуются соответственно следующим образом: Г (г) = О(г)Г(г); Т (г) = О (г)Т(г)О (г)т ; ( Т г)* = о гТ г( О т ) г , (13) где звездочкой обозначен соответствующий объект, относящийся к повер нутой системе отсчета; О г и 0 ( г) - история жесткого вращения системы отсчета и значение ортогонального тензора О в истории О г в момент времени г соответственно. Тогда, учитывая данные [2] и применяя принцип независимости от системы отсчета к (10), получим О( г )Г( г) = Х(Ог Т г ( О т ) г) (14) для лю бой истории ортогонального тензора О г и невырожденного тензора Г г. Если же выполняется соотношение (14), то справедлив и принцип материальной независимости от системы отсчета. ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2000, № 3 59 П. П. Лепихин Используя теорему о полярном разложении, получаем Г ( г) = Я ( г)и ( г), Г г = Я ги г. Здесь и (г ) и и г - правый тензор растяжения в момент времени г и его история. Теперь можно выбрать историю ортогонального тензора Q г таким обра зом, чтобы Q г (я) = Я г ( я)Т . Следовательно, Q (г) = Я ( г)Т, и соотношение (14) принимает вид и ( г) = Х ((Яг )Т Т г Я г). (15) Поскольку С = и , то, учитывая (15), получаем С( г) = х 2 ( ( я г )Т Т Я г). (16) Уравнение (16) совпадает с (12), что и требовалось показать. Соотношения (9)-(12) описывают поведение простых твердых мате риалов, реакция которых зависит как от пути деформирования (нагружения), так и временной истории его прохождения. Рассмотрим простые материалы с упругопластическим поведением [9-11], которые обладают поверхностью нагружения и реакция которых не зависит от времени. Время г в определяющих соотношениях таких мате риалов можно заменить параметром т ', который изменяется в пределах 0 ...1 (т ' = 0 соответствует началу, а т ' = т = 1 - концу процесса). Тогда соотно шения (9)-(12) преобразуются так: Т (т ) = 3 ( Г т ); (17) Г (т ) = Х(Тт ); (18) Т й (т ) = « 1(С т ); (19) С( т ) = Х2((Я Т )т Т т Я т ). (20) Отметим, что, согласно [9-11], принятая в этой работе ненапряженная и недеформированная отсчетная конфигурация является частным случаем ис пользуемой при определении твердого тела неискаженной конфигурации. Далее будем рассматривать процессы пропорционального нагружения, т.е. процессы, в которых компоненты тензора напряжений Коши увели чиваются таким образом, что отношение их сохраняется постоянным [14]. Для указанных процессов 60 Т (т ') = т 'Т (т), 0 < т ' < т = 1, (21) Й'ОТ 0556-171Х. Проблемы прочности, 2000, N 3 Моделирование процессов пропорционального нагружения где т ’ - монотонно увеличивающийся параметр, определяющий значение т в прошлом; Т(1) = Т (т ) - тензор напряжений Коши в конце процесса нагру жения. Как следует из (21), при пропорциональном нагружении главные оси тензора напряжений не изменяются. Возьмем в качестве исходного определяющее соотношение (18). Обо значив т ’ = т - п , 0 < п < т и использовав принятые здесь обозначения [2 ], уравнение (21 ) можно переписать в виде Т т = (т - п ) Т ( т ). (22) Из (22) следует, что Т т в процессах пропорционального нагружения пол ностью определяется значением тензора напряжений в конце процесса. Этот вывод не противоречит данным работы [14]. Тогда определяющее соотношение (18) можно представить следующим образом: Р ( т ) = g(T( т )), (23) где g (Т (т)) - тензорная функция тензорного аргумента. Для произвольного жесткого вращения системы наблюдателя, используя принцип независимости от системы отсчета, уравнение (23) можно пере писать в виде д ( т Ж т ) = g ( д ( т )Т( т )д ( т )т ). (24) Соотношение (24) справедливо для любых ортогональных тензоров 0 ( т ) и всех симметричных тензоров Т (т ). В частности, оно должно выпол- т няться, если примем 0 (т ) = Я (т )т . Тогда, используя последнее предполо жение и полярное разложение градиента деформации, уравнение (24) можно представить так: и ( т ) = g (Я ( т )т Т( т Ж т )). (25) 2 Учитывая, что С = и , из соотношения (25) получаем С( т ) = g 1(Я ( т )т Т( т Ж т )). (26) Уравнение (26), как следует из методики его построения, справедливо для любого пропорционального нагружения произвольных допускающих обращение определяющих соотношений простых материалов с упруго пластическим поведением как внутри начальной поверхности нагружения (упругий процесс), так и после ее достижения (активный процесс). Посколь ку упругое деформирование изучено ранее [15], будем рассматривать только активные процессы. ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2000, № 3 61 П. П. Лепихин Для изотропных материалов, согласно данным [2, 6], значение тензора напряжений Коши в конце процесса нагружения не изменится, если заме нить Г т на Г т О, где О - любой постоянный ортогональный тензор. В частности, можем заменить Г т на Г тЯ ( т ) Т, не изменив значения Т (т ). Применим это преобразование к определяющему соотношению в форме (26). При этом преобразовании Я (т )и (т ) заменяется на Я (т )и (т )Я (т ) . Последнее произведение является положительно определенным и сим метричным, поэтому в его полярном разложении множитель, отвечающий повороту, равен 1, т.е. Я ( т ) = 1. При этом С( т ) заменяется на тЯ (т)С (т)Я (т ) = В (т ). Таким образом, из (26) в качестве приведенной фор мы определяющего соотношения изотропного материала получаем В( т ) = £ 1(Т( т )), (27) где £ 1 (Т (т)) - тензорная функция; В(-) - левый тензор Кош и-Грина. Далее значение того или иного объекта в конце процесса будем обо значать без параметра в круглых скобках, например, вместо Т (т ) будем писать Т. Если в изотропном материале Г т заменить на О Г т О Т, то, согласно [2 ], тпри произвольном О тензор напряжений Т заменяется на 0 Т 0 Т. При такой у1 _ замене В заменяется на О В О . Следовательно, функция £ ^ Т ) в (27) должна удовлетворять тождеству £ 1( О Т О Т ) = О £ 1(Т )О Т (28) для любого ортогонального О и симметричного Т тензоров. Функция, удовлетворяющая этому требованию, называется изотропной. Если же функция £ 1 удовлетворяет тождеству (28), то соотношение (27) есть определяющее соотношение изотропного простого материала, отне сенное к используемой при определении изотропного тела неискаженной отсчетной конфигурации [2, 6 ]. Отметим, что частным случаем последней является принятая в работе для пропорционального нагружения ненапря женная и недеформированная отсчетная конфигурация [2]. Согласно дан ным [2 , 6 ], если используется отсчетная конфигурация, не являющаяся неискаженной, то уравнение состояния изотропного материала не может иметь вида (27) и в общем случае не выделяется заметной простотой. Согласно теореме о представлении Ривлина-Эриксена [2], соотношение (27) в общем случае можно записать в виде В = ^ 11 + Р 2Т + Р 3Т 1 , (29) где 1 - единичный тензор; р { ( I = 1, . . . , 3) зависят от инвариантов 62 0556-171Х. Проблемы прочности, 2000, № 3 Моделирование процессов пропорционального нагружения Т0 = К Т , К Т 2 , К Т 3 (30) ((г Т - след тензора Т). Поскольку при пропорциональном нагружении главные оси тензора Т не изменяются, из (29) можно сделать вывод, что при таком нагружении в простом упругопластическом изотропном материале главные оси тензора В также не изменяются, совпадают с главными осями тензора напряжений и С = В. Уравнение (29), как следует из методики его получения, позволяет описать все без исключения эффекты, которые имеют место в произвольном допускающем обращение определяющих соотношений простом изотропном упругопластическом материале при пропорциональном активном нагруже нии. В рамках теории бесконечно малых деформаций в смысле [16] урав нение (29) принимает вид где Е - тензор бесконечно малых деформаций, при этом коэффициенты в уравнении (31) зависят от инвариантов (30). Соотношение (31), несмотря на выполнение условия бесконечной ма лости деформаций в смысле [16], с учетом данных [15] сохранено нели нейным в связи с физической нелинейностью поведения рассматриваемых здесь упругопластических материалов при активном нагружении. Определим из (31) первый инвариант и девиаторную составляющую тензора Е: обозначает, что соответствующий объект относится к девиаторным состав ляющим. Представим соотношение (33) в ином виде. Поскольку девиаторы Е п и Тп , как следует из (33), соосны, то, использовав уравнение связи, для соосных девиаторов запишем [17] ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2000, № 3 63 Е = (Р11 + Ф 2Т + Ф 3Т 2 , (31) Е 0 = 3ф 1 + ф 2Т0 + ф 3 (гТ 2 = , ~ Т0 ; (32) Е и = ф2Ти + ф 3(Ти 3 (гТ1) 1 X (33) П. П. Лепихин Е э 1 8іп(2а Тл + а Е ) Тэ + л/3 8іп( а Т —а г т э — 2 1П 3Еп )! у 2 Т (34) где I Тэ = ^ ( Т 2 ) / 2 — 12То 3^3 I Тэсо8 3 а Т = : . . . э 2 ( і 2 ) 3/2 V 2ТЛ > Ь 2 = Г Е ~2 ) / 2 = 1 2~ ; Е э Е £\| 3 ^ 3 13ТЛ 1 3л/3 I 3~ ^л/3 1 3Е э э 2 (1 2~ ) Е э 3/2 13Тэ = гг(Тд Г /3; і і 3~ = Г Е э ) 3 /3. I Е э (35) При этом а ~ , Ь ~ в (34), а также К в (32) зависят от инвариантов (30): а ; 1(То, ггТ2 , ггТ3 ); 1ь Е = у 2 (То, і г Т 2 , ггТ3 ); Еэ К — у 3 (То, ггТ2 , ґгТ3 ). (36) Введя понятия интенсивности напряжений о { и деформаций £ [18] о і 3 Н Т Ї ) 2 (37) (38) соотношение (34) перепишем следующим образом: Е э 3 \| 8іп(2а тп + а Еэ ) Т э ^ Т 3 8іп(а т —а Е ) 3Т 2 2 . о і ^■(39) э в о 3 64 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2000, № 3 Моделирование процессов пропорционального нагружения Приняв во внимание (35)—(38) и разложив тензор напряжений Коши на шаровую и девиаторную составляющие, после преобразований а ~ , е ,• и К в уравнениях (32) и (39) представим так: а̂ ~ = / і (Т 0 / а і , а і , а т ) ;\| ЕВ ° \ е і = Л (то / а і , а і , а тд ) ; (40) К = / 3 (Т0 1 а і , а і , а Тд ) - Для заданного процесса пропорционального активного нагружения, в кото ром, как следует из (21), (30), (35) 1 2 5 и (37), Т0 / а і и а Тд неизменны, уравнения (40) принимают вид [а ~ = / і ( а і ) ; ■е і = / 2 ( а і ) ; (41) [К = / 3(а і ). Отметим, что в общем случае для различных процессов Го / о ; и а тд - разные. Из (41) следует, что если задать процесс пропорционального активного нагружения, а следовательно, Г0 / о 1 и а Тд , то , а и К полностью определяются значением о {. Соотношения (32) и (39) при задании тензора напряжений и трех функций (41) полностью определяют бесконечно малую деформацию про извольного простого изотропного тела с упругопластическим поведением в процессах пропорционального активного нагружения. Три функции (41) находятся опытным путем. Для упругой твердой сплошной среды подобное по форме уравнению (39) соотношение получил и проанализировал Новожилов [15, 19]. Когда тензор Т в процессах пропорционального активного нагружения имеет одну и только одну пару равных главных значений, подобно тому как это сделано в [20 ] для пропорционального активного деформирования, в рассматриваемом случае можно получить ~ = 3^1 + <Р2Го = г ~ Го; (42) 3К Е э = р 2Тэ , (43) где (Р 2 = 2 е1 3 О ; ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2000, № 3 65 П. П. Лепихин При этом а т = а ~ , а K и e t определяются в том или ином процессеD ed пропорционального активного нагружения соответственно по формулам (41)з и (41)2- Полученные данные позволяют сделать следующий вывод: если тензор Т при пропорциональном активном нагружении имеет одну и только одну пару равных главных значений, то для произвольных простых тел с упруго пластическим поведением имеет место и простое деформирование, когда а ~ = const, а главные оси E d неизменны в процессе деформирования [20 , e d 21]. Это прямо следует из того, что в этом случае главные оси E d в силу (43) и неизменности направления главных осей тензора напряжений при пропорциональном нагружении не изменяются в процессе деформирования, а т = а ~ , а при а т = const, что соблюдается при пропорциональном D E d d нагружении и а ~ = const. e d Для получения уравнений (32) и (39) использованы предположения теории бесконечно малых деформаций и условие пропорциональности про цесса активного нагружения. Никакие дополнительные ограничения, кроме возможности обращения определяющих соотношений и изотропии свойств, на материал не накладывались. Следовательно, соотношения (32) и (39) позволяют описать все без исключения эффекты в произвольном допус кающем обращение определяющих соотношений простом изотропном мате риале с упругопластическим поведением при пропорциональном активном нагружении и весьма малых значениях деформаций. Для описания поведения любого наблюдаемого в природе материала теми или иными определяющими соотношениями необходимо их конкре тизировать на основе базовых опытов. Поскольку для полной конкретизации определяющих соотношений (32), (39) следует задать три функции (41), то опыты, позволяющие реализовать пропорциональное нагружение в требуемом диапазоне изменения пара метров этих функций и, следовательно, построить вид зависимостей (41), и будут строго обоснованными базовыми опытами для конкретизации урав нений (32), (39). Р е з ю м е Для простих за Нолом твердих деформівних матеріалів постульована мож ливість оборотності визначальних співвідношень. В традиційній та оборот ній формі побудовано варіанти подання загальних фізичних рівнянь таких тіл, у тому числі й тіл із пружнопластичною поведінкою. Для скінченних і нескінченно малих деформацій останніх детально вивчено пропорційне активне навантаження, в першу чергу ізотропних матеріалів. 1. N o ll W. A m athematical theory o f the m echanical behavior o f continuous media // Archive for Rational M echanics and Analysis. - 1958. - 2. - P. 197 - 226. 66 ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2000, № 3 Моделирование процессов пропорционального нагружения 2. T ru esde ll C. A First Course in Rational Continuum Mechanics. - Baltimore: Johns Hopkins University, 1972. 3. N o ll W. A new m athematical theory o f simple materials // Archive for Rational M echanics and Analysis. - 1972. - 48. - P. 1 - 50. 4. The F ou n da tion s o f Mechanics and Thermodynamics / Selected papers by W. Noll. - Berlin; Heidelberg; N ew York: Springer-Verlag, 1974. - 324 p. 5. T ru esde ll C., N o ll W. The Non-Linear Field Theories o f Mechanics. - Berlin; Heidelberg; N ew York: Springer-Verlag, 1992. - 600 p. 6 . T ru esde ll C. A First Course in Rational Continuum Mechanics. - General Concepts. Second Edition. Corrected, Revised, and Augmented. - Boston: Academic Press, Inc., 1991. - Vol. 1. - 391 p. 7. M u rakam i S., S a w czu k A . On description o f rate-independent behavior for prestrained solids // Arhives o f Mech. - 1979. - 31, N 2. - P. 251 - 264. 8 . Haupt P. On the mathem atical modeling o f m aterial behavior in continuum m echanics // Acta Mechanica. - 1993. - 100, N 3-4. - P. 129 - 154. 9. L u cch esi M ., P o d io -G u id u g li P . M aterials w ith elastic range: A theory with a view toward applications. Part 1 // Archive for Rational M echanics and Analysis. - 1988. - 102. - P. 23 - 43. 10. L u cch esi M ., P o d io -G u id u g li P . M aterials w ith elastic range: A theory with a view toward applications. Part 2 // Ibid. - 1990. - 110. - P. 9 - 42. 11. L u cch esi M ., O w en D . R., P o d io -G u id u g li P . M aterials with elastic range: A theory w ith a view toward applications. Part 3. Approximate constitutive relations // Ibid. - 1992. - 117. - P. 53 - 96. 12. O den J. T. Finite Elements o f Nonlinear Continua. - N ew York; San Francisco; Düsseldorf: M cG raw -H ill Book Company, 1972. 13. О льш ак В., П эж и н а П . Общие определяющие уравнения для упруго вязкопластических материалов // Механика. Сб. перев. иностр. статей. - 1967. - № 4 (104). - С. 119 - 123. 14. B u dian sky B. A reassessm ent o f deformation theories o f plasticity // J. Appl. Mech. - 1959. - 26, N 2. - P. 259 - 264. 15. Н овож и лов В. В . Теория упругости. - Л.: Судпромгиз, 1958. - 370 с. 16. Л епихин П. П . М оделирование пропорционального деформирования простых по Ноллу континуумов с упругопластическим поведением. Сообщ. 1. Построение определяющих соотношений // Пробл. проч ности. - 1998. - № 5. - С. 59 - 70. 17. O h a s h i Y. E ffects o f com plicated deform ation h isto ry on inelastic deformation behavior o f metals // M emoirs o f the Faculty o f Engineering, Nagoya University. - 1982. - 34, N 1. - P. 1 - 7 6 . 18. М алинин H. H . Прикладная теория пластичности и ползучести. - М.: М ашиностроение, 1975. - 400 с. 19. Н овож и лов В. В. О связи между напряжениями и деформациями в нелинейной упругой среде // Прикл. математика и механика. - 1951. - 15, вып. 2. - С. 183 - 194. ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2000, № 3 67 П. П. Лепихин 20. Л епихин П. П . М оделирование пропорционального деформирования простых по Ноллу континуумов с упругопластическим поведением. Сообщ. 2. Анализ определяющих соотношений и сопоставление их с экспериментами // Пробл. прочности. - 1998. - № 6 . - С. 43 - 55. 21. И лью ш ин А. А . Пластичность. Упругопластические деформации. - М.; Л.: Гостехиздат, 1948. - Ч. 1. - 376 с. Поступила 26. 04. 99 68 ISSN 0556-171Х. Проблемыг прочности, 2000, № 3

Репозитарії

Схожі ресурси