Плоска задача ударної взаємодiї цилiндричного тiла з поверхнею каверни в стисливiй рiдинi
В работе исследуется процесс ударного взаимодействия твердого цилиндрического тела с поверхностью цилиндрической полости. Сформулирована нестационарная смешанная краевая задача с известной границей, решение которой сводится к совместному решению бесконечной системы линейных интегральных уравнений Во...
Збережено в:
| Дата: | 2008 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Інститут гідромеханіки НАН України
2008
|
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/4629 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Плоска задача ударної взаємодiї цилiндричного тiла з поверхнею каверни в стисливiй рiдинi / В.Д. Кубенко, О.В. Гавриленко // Прикладна гідромеханіка. — 2008. — № 1. — С. 39-45. — Бібліогр.: 19 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-4629 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-46292009-12-10T12:00:58Z Плоска задача ударної взаємодiї цилiндричного тiла з поверхнею каверни в стисливiй рiдинi Кубенко, В.Д. Гавриленко, О.В. В работе исследуется процесс ударного взаимодействия твердого цилиндрического тела с поверхностью цилиндрической полости. Сформулирована нестационарная смешанная краевая задача с известной границей, решение которой сводится к совместному решению бесконечной системы линейных интегральных уравнений Вольтерра второго рода и дифференциального уравнения движения тела. В случае упрощенной постановки решение сводится к последовательности уравнений Вольтерра. Для двух постановок получены гидродинамические и кинематические характеристики процесса. В роботi дослiджується процес ударної взаємодiї твердого цилiндричного тiла з поверхнею цилiндричної порожнини. Сформульовано нестацiонарну змiшану крайову задачу з вiдомою границею, розв'язок якої зводиться до спiльного розв'язування нескiнченної системи лiнiйних iнтегральних рiвнянь Вольтерра другого роду i диференцiального рiвняння руху тiла. У випадку спрощеної постановки розв'язок зводиться до послiдовностi рiвнянь Вольтерра. Отримано гiдродинамiчнi та кiнематичнi характеристики процесу. The paper deals with the early stage of а solid cylindrical body impact on the surface of cylindrical cavity. Тhe stated mixed non-stationary boundary-value problem with given boundary was formulated, its solution is reduced to joint resolving of infinite system of linear integral Volterra's equations of the second-degree and differential equation of body movement. In case simplified formulation the solution is reduced to infinite sequence of linear integral Volterra's equations. For both formulation the hydrodynamic and kinematic characteristics are obtained. 2008 Article Плоска задача ударної взаємодiї цилiндричного тiла з поверхнею каверни в стисливiй рiдинi / В.Д. Кубенко, О.В. Гавриленко // Прикладна гідромеханіка. — 2008. — № 1. — С. 39-45. — Бібліогр.: 19 назв. — укр. 1561-9087 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/4629 533.6.013.42 uk Інститут гідромеханіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
В работе исследуется процесс ударного взаимодействия твердого цилиндрического тела с поверхностью цилиндрической полости. Сформулирована нестационарная смешанная краевая задача с известной границей, решение которой сводится к совместному решению бесконечной системы линейных интегральных уравнений Вольтерра второго рода и дифференциального уравнения движения тела. В случае упрощенной постановки решение сводится к последовательности уравнений Вольтерра. Для двух постановок получены гидродинамические и кинематические характеристики процесса. |
| format |
Article |
| author |
Кубенко, В.Д. Гавриленко, О.В. |
| spellingShingle |
Кубенко, В.Д. Гавриленко, О.В. Плоска задача ударної взаємодiї цилiндричного тiла з поверхнею каверни в стисливiй рiдинi |
| author_facet |
Кубенко, В.Д. Гавриленко, О.В. |
| author_sort |
Кубенко, В.Д. |
| title |
Плоска задача ударної взаємодiї цилiндричного тiла з поверхнею каверни в стисливiй рiдинi |
| title_short |
Плоска задача ударної взаємодiї цилiндричного тiла з поверхнею каверни в стисливiй рiдинi |
| title_full |
Плоска задача ударної взаємодiї цилiндричного тiла з поверхнею каверни в стисливiй рiдинi |
| title_fullStr |
Плоска задача ударної взаємодiї цилiндричного тiла з поверхнею каверни в стисливiй рiдинi |
| title_full_unstemmed |
Плоска задача ударної взаємодiї цилiндричного тiла з поверхнею каверни в стисливiй рiдинi |
| title_sort |
плоска задача ударної взаємодiї цилiндричного тiла з поверхнею каверни в стисливiй рiдинi |
| publisher |
Інститут гідромеханіки НАН України |
| publishDate |
2008 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/4629 |
| citation_txt |
Плоска задача ударної взаємодiї цилiндричного тiла з поверхнею каверни в стисливiй рiдинi / В.Д. Кубенко, О.В. Гавриленко // Прикладна гідромеханіка. — 2008. — № 1. — С. 39-45. — Бібліогр.: 19 назв. — укр. |
| work_keys_str_mv |
AT kubenkovd ploskazadačaudarnoívzaêmodiícilindričnogotilazpoverhneûkavernivstislivijridini AT gavrilenkoov ploskazadačaudarnoívzaêmodiícilindričnogotilazpoverhneûkavernivstislivijridini |
| first_indexed |
2025-07-02T07:48:15Z |
| last_indexed |
2025-07-02T07:48:15Z |
| _version_ |
1836520566533652480 |
| fulltext |
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2008. Том 10, N 1. С. 39 – 45
УДК 533.6.013.42
ПЛОСКА ЗАДАЧА УДАРНОЇ ВЗАЄМОДIЇ
ЦИЛIНДРИЧНОГО ТIЛА З ПОВЕРХНЕЮ КАВЕРНИ
В СТИСЛИВIЙ РIДИНI
В. Д. КУБЕНКО, О. В. ГАВРИЛЕНКО
Iнститут механiки iм. С.П. Тимошенка НАН України
Отримано 10.03.2007
В роботi дослiджується процес ударної взаємодiї твердого цилiндричного тiла з поверхнею цилiндричної порожнини.
Сформульовано нестацiонарну змiшану крайову задачу з вiдомою границею, розв’язок якої зводиться до спiльного
розв’язування нескiнченної системи лiнiйних iнтегральних рiвнянь Вольтерра другого роду i диференцiального
рiвняння руху тiла. У випадку спрощеної постановки розв’язок зводиться до послiдовностi рiвнянь Вольтерра.
Отримано гiдродинамiчнi та кiнематичнi характеристики процесу.
В работе исследуется процесс ударного взаимодействия твердого цилиндрического тела с поверхностью цилин-
дрической полости. Сформулирована нестационарная смешанная краевая задача с известной границей, решение
которой сводится к совместному решению бесконечной системы линейных интегральных уравнений Вольтерра вто-
рого рода и дифференциального уравнения движения тела. В случае упрощенной постановки решение сводится к
последовательности уравнений Вольтерра. Для двух постановок получены гидродинамические и кинематические
характеристики процесса.
The paper deals with the early stage of а solid cylindrical body impact on the surface of cylindrical cavity. Тhe stated mixed
non-stationary boundary-value problem with given boundary was formulated, its solution is reduced to joint resolving of
infinite system of linear integral Volterra’s equations of the second-degree and differential equation of body movement.
In case simplified formulation the solution is reduced to infinite sequence of linear integral Volterra’s equations. For both
formulation the hydrodynamic and kinematic characteristics are obtained.
ВСТУП
У наш час експериментально доведена можли-
вiсть створення пiдводних транспортних апаратiв
на основi нових фiзичних принципiв руху тiл пiд
водою – суперкавiтацiйного руху [13-15, 19]. За та-
кого руху тiло знаходиться всерединi кавiтацiйної
порожнини, що його оточує, – суперкаверни – i
рухаючись в нiй, може розвивати швидкiсть, по-
рiвняну зi швидкiстю поширення звуку у водi.
Слiд зазначити, що суперкавiтацiйний рух викли-
кає значний iнтерес у фахiвцiв. Останнi результа-
ти дослiджень можна знайти, наприклад, в публi-
кацiях [16, 17].
Однiєю з проблем суперкавiтацiйного руху є за-
безпечення стiйкостi руху тiла в кавернi [11, 13-
15, 19]. За такого руху тiло контактує з поверх-
нею каверни лише своєю головною частиною. Гi-
дродинамiчна сила опору зануренню з боку рiди-
ни, прикладена до областi контакту тiла з поверх-
нею каверни, створює перекидаючий момент щодо
центру мас тiла, викликаючи нестiйкiсть суперка-
вiтацiйного руху тiла в рiдинi. Цiєю нестiйкiстю
обумовлюється виникнення поперечних ударiв тi-
ла по поверхнi каверни, що можуть суттєво впли-
вати на загальний характер руху тiла. Вищесказа-
не свiдчить про актуальнiсть дослiдження процесу
удару тiла по поверхнi каверни.
У бiльшостi робiт задачi занурення цилiндри-
чних тiл в рiдину через поверхню каверни дослi-
джувались iз використанням моделi нестисливої
рiдини. В монографiї [10] наводиться розв’язан-
ня задачi про занурення твердого цилiндра через
горизонтальну вiльну поверхню рiдини, де визна-
чається дiюча на цилiндр величина гiдродинамi-
чної сили за малої глибини занурення, що дозво-
ляє апроксимувати коло параболою. В статтi [11]
наводяться результати розв’язання задач зануре-
ння цилiндра в рiдину через поверхню цилiндри-
чної порожнини для випадку малих зазорiв. У пу-
блiкацiях [4, 18] розв’язана задача занурення ци-
лiндра в рiдину через поверхню порожнини для
довiльного спiввiдношення радiусiв цилiндра i по-
рожнини. В [4] визначаються залежностi ширини
змоченої поверхнi тiла вiд глибини занурення за
рiзних значень зазору, а також наводиться ана-
лiтична формула для iмпульсивної сили, а в [18]
поданi формули для визначення як iмпульсивної,
так i гiдродинамiчної сил.
Модель стисливої рiдини, як така, що бiльш аде-
кватно описує процес взаємодiї тiла з рiдиною при
вiдносно високих швидкостях [2], використовує-
ться в публiкацiях [7, 8]. Зокрема, в статтi [7] на-
ведено постановку задачi i одержано її асимптоти-
чний розв’язок для початкового етапу взаємодiї у
випадку нескiнченно малого зазору, тобто у випад-
ку, коли поперечнi розмiри тiла i порожнини збiга-
c© В. Д. Кубенко, О. В. Гавриленко, 2008 39
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2008. Том 10, N 1. С. 39 – 45
ються. В роботi [8] сформульована загальна поста-
новка задачi для довiльного зазору, яка є змiша-
ною нестацiонарною початково-крайовою задачею
з невiдомою змiнною в часi границею, i одержано
розв’язуючi нескiнченнi системи iнтегральних рiв-
нянь Вольтерра другого роду. Для малого зазору
подано асимптотичний розв’язок задачi, для не-
малого – чисельний розв’язок вказаних систем. У
данiй публiкацiї задача спiвудару тiла з поверхнею
каверни для нульового зазору розв’язана в двох
постановках, що вiдрiзняються мiж собою грани-
чними умовами на вiльнiй поверхнi порожнини, i
одержано її чисельнi розв’язки.
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧI
Розглянемо таку механiчну систему: в безме-
жнiй рiдинi знаходиться нескiнченно-протяжна
кругова цилiндрична каверна радiусу Rc; всереди-
нi порожнини мiститься нескiнченно-довге тверде
цилiндричне тiло радiусу Rb, вiсь якого паралель-
на осi порожнини. Будемо вважати, що радiус ка-
верни так мало вiдрiзняється вiд радiусу тiла, що
їх можна вважати рiвними, Rc = Rb. Таким чи-
ном, величина зазору мiж порожниною каверни та
тiлом d = Rc − Rb дорiвнює нулю. Тiло пiд дiєю
зовнiшнiх сил здiйснює поперечнi удари по поверх-
нi каверни. Нехай у початковий момент часу t = 0
цилiндр досягає поверхнi порожнини i починає за-
нурюватися крiзь неї зi швидкiстю ν0(t), причому
початкова швидкiсть занурення ν0 = ν0(0) значно
менша порiвняно зi швидкiстю звуку в рiдинi. Рi-
дину вважатимемо iдеальною стисливою, а глиби-
ни занурення крiзь поверхню каверни z∗ – малими.
Такi припущення дозволяють описувати рух рiди-
ни хвильовим рiвнянням в акустичному наближен-
нi i знести граничнi умови на незбурену поверхню
каверни.
Зв’яжемо поверхню каверни з прямокутною си-
стемою координат Oxyz (рис.1): початок коорди-
нат O розмiстимо на осi порожнини, вiсь Ox на-
правимо горизонтально; вiсь Oy – вздовж осi по-
рожнини, вiсь Oz – вертикально вниз. Оскiльки
гiдродинамiчна картина процесу занурення цилiн-
дра в рiдину через поверхню порожнини в будь-
якому поперечному перерiзi не змiнюватиметься,
то можна обмежитися розгляданням руху в одно-
му з перерiзiв – в площинi xOz. Таким чином, роз-
глядатиметься плоска симетрична задача.
Площину xOz зв’яжемо з полярною системою
координат: центр перерiзу O – полюс полярної си-
стеми, r – полярний радiус, θ – полярний кут, що
вiдкладається вiд додатного напряму осi Oz.
Рис. 1. Схема ударної взаємодiї
тiла з поверхнею каверни
Введемо безрозмiрнi змiннi:
x =
x
Rb
, z =
z
Rb
, r =
r
Rb
, t =
Ct
Rb
,
p̄ =
p
ρC2
, V =
V
C
, µ̄ =
µ
πρR2
b
, F =
F
ρC2Rb
,
де Rb – радiус тiла; ρ – густина рiдини; p – гiдроди-
намiчний тиск; V – швидкiсть деформування по-
верхнi каверни; F – гiдродинамiчна сила опору за-
нуренню тiла з боку рiдини; C – швидкiсть звуку в
рiдинi; µ – погонна маса цилiндра. Оскiльки нада-
лi використовуватимемо тiльки безрозмiрнi змiннi,
то риску над ними опустимо.
Рух iдеальної стисливої рiдини описується хви-
льовим потенцiалом ϕ, що задовольняє хвильово-
му рiвнянню
∂2ϕ
∂r2
+
1
r
∂ϕ
∂r
+
1
r2
∂2ϕ
∂θ2
− ∂2ϕ
∂t2
= 0, (1)
представленому в цилiндричних координатах [12].
Гiдродинамiчний тиск i швидкiсть деформува-
ння поверхнi каверни визначаються iз спiввiдно-
шень:
p = −∂ϕ.
∂t
, V = gradϕ. (2)
Граничнi умови представлятимуться у виглядi:
• на всiй областi контакту тiла з поверхнею ка-
верни задана умова рiвностi нормальних складо-
вих швидкостей деформування поверхнi каверни
та занурення тiла,
∂ϕ
∂r
∣
∣
∣
∣
r=1
= ν0(t) cos θ, |θ| < θ∗, (3)
40 В. Д. Кубенко, О. В. Гавриленко
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2008. Том 10, N 1. С. 39 – 45
де θ∗ – границя областi контакту;
• на вiльнiй поверхнi каверни задано гiдродина-
мiчний тиск
∂ϕ
∂t
∣
∣
∣
∣
r=1
= 0, |θ| > θ∗. (4)
Акустичнi збурення, викликанi в рiдинi тiлом,
що занурюється, на нескiнченностi затухають
ϕ → 0, r → ∞. (5)
Оскiльки до початку занурення рiдина перебу-
вала у незбуреному станi, то будемо мати нульовi
початковi умови для потенцiалу
ϕ|t=0 =
∂ϕ
∂t
∣
∣
∣
∣
t=0
= 0. (6)
Поперечний рух тiла в порожнинi описується
диференцiальним рiвнянням
µ
dν0(t)
dt
= −F (t)
π
, ν0(0) = ν0, (7)
де гiдродинамiчна сила F (t) обчислюється за фор-
мулою
F (t) = 2
θ∗
∫
0
p(t, θ) cos θdθ. (8)
Полярний кут θ∗, що визначає границю областi
контакту, у випадку нульового зазору мiж тiлом i
порожниною каверни, дорiвнює θ∗ = π/2.
Глибина занурення тiла в рiдину крiзь поверхню
порожнини визначається за формулою
z∗ =
t
∫
0
ν0(τ )dτ.
Таким чином, сформульована задача (1), (3) –
(8) є нестацiонарною змiшаною крайовою задачею
з вiдомою сталою границею. Назвемо дану поста-
новку “загальною”.
В роботi розглядається також спрощена модель
процесу занурення тiла в рiдину через поверхню
каверни (модель “жорсткий екран”), постановка
якої вiдрiзняється вiд “загальної” постановки гра-
ничними умовами на вiльнiй поверхнi каверни. От-
же, для постановки “жорсткий екран” замiсть ди-
намiчної умови на вiльнiй поверхнi каверни (4) ви-
користовується умова її недеформованостi:
∂ϕ
∂r
∣
∣
∣
∣
r=1
= 0, |θ| > θ∗. (9)
Зазначимо, що дана задача (1), (3), (9), (5) – (8)
є незмiшаною.
Як буде показано нижче, постановка “жорсткий
екран” полегшує виведення розв’язуючої системи
задачi, що дозволяє суттєво спростити її чисельну
реалiзацiю.
2. МЕТОД РОЗВ’ЯЗАННЯ
Задачi в запропонованих постановках розв’язу-
валися на основi чисельно-аналiтичного пiдходу
[6]. Розв’язуємо спочатку задачу в “загальнiй” по-
становцi. Застосовуючи до рiвняння (1) перетво-
рення Лапласа за часом t iз параметром [1], отри-
муємо хвильове рiвняння в просторi зображень:
∂2ϕL
∂r2
+
1
r
∂ϕL
∂r
+
1
r2
∂2ϕL
∂θ2
− s2ϕL = 0. (10)
Величини в просторi зображень за Лапласом по-
значатимуться з iндексом L.
Використовуючи метод Фур’є розподiлу змiнних
i враховуючи умову затухання на нескiнченностi
(5), одержимо загальний розв’язок рiвняння (10)
у виглядi
ϕL =
∞
∑
n=0
An(s)Kn(sr) cos nθ, (11)
де An – невiдомi коефiцiєнти, Kn(sr) – функцiї
Макдональда [3].
Розкладемо в ряди Фур’є швидкiсть деформу-
вання поверхнi каверни V (t, 0) i гiдродинамiчний
тиск p(t, θ) на нiй:
p(t, θ) =
∞
∑
n=0
pn(t) cos nθ, (12)
V (t, θ) =
∞
∑
n=0
Vn(t) cos nθ. (13)
Застосовуючи перетворення Лапласа за t до ви-
разiв (2) для тиску p(t, θ) i швидкостi V (t, θ) та до
розкладань (12), (13), а також враховуючи розв’я-
зок (11), матимемо спiввiдношення мiж коефiцiєн-
тами рядiв Фур’є для тиску i швидкостi в просторi
зображень
V L
n (t) = pL
n(s) + RL
n(s) · pL
n(s), (14)
де RL
n(s) матиме вигляд RL
n(s)=−1−K′
n(s)/Kn(s).
Тодi за теоремою про згортку оригiналiв
двох функцiй, враховуючи рекурентну формулу
K′
n(s) = −n/sKn(s)−Kn−1(s) [1], а також насту-
пнi табличнi спiввiдношення мiж зображенням i
оригiналом [6]:
esKn(s) → zn
1 + zn
2
2
√
(t + 1)2 − 1
;
es
s
Kn(s) → zn
1 − zn
2
2n
;
В. Д. Кубенко, О. В. Гавриленко 41
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2008. Том 10, N 1. С. 39 – 45
es
s
K0(s) → ln z1;
z1(t)= t +1 +
√
(t + 2) · t; z2(t)= t +1−
√
(t + 2) · t,
одержуємо спiввiдношення мiж коефiцiєнтами
Фур’є Vn(t) i pn(t):
Vn(t) = pn(t) +
t
∫
0
pn(τ )Rn(t − τ )dτ. (15)
Функцiя Rn(t) знаходиться з iнтегрального рiвня-
ння Вольтера 1-го роду зi слабкою особливiстю:
t
∫
0
Rn(τ )Gn(t−τ )dτ = gn(t), n = 0, 1, 2, . . .; (16)
Gn(t) =
zn
1 (t) + zn
2 (t)
2
√
t(t + 2)
; gn(t) =
zn
1 (t) + zn
2 (t)
2
√
t + 2
√
t.
З урахуванням розкладань (12), (13) i спiввiдно-
шень (15) отримаємо залежнiсть мiж швидкiстю
V (t, θ) i тиском p(t, θ) на поверхнi порожнини:
V (t, θ)=p(t, θ)+
∞
∑
n=0
(
t
∫
0
pn(τ )Rn(t − τ )dτ
)
cosnθ.
(17)
Задовольняючи за допомогою останнього спiввiд-
ношення граничнi умови (3), (4), отримаємо
∞
∑
n=0
pn(t) cos nθ =
{
ν0(t) cos θ−
−
∞
∑
n=0
(
t
∫
0
pn(t)Rn(t−τ )dτ
)
cos nθ
}
H(θ∗−|θ|), (18)
де H(x) =
{
1, x > 0;
0, x < 0,
– функцiя Хевiсайда.
Розкладаючи в ряди Фур’є по праву частину ви-
разу (18) i прирiвнюючи вiдповiднi коефiцiєнти в
лiвiй i правiй частинi, отримуємо нескiнченну сис-
тему лiнiйних iнтегральних рiвнянь Вольтера 2-го
роду вiдносно коефiцiєнтiв pn(t):
pn(t)=ν0n(t)−
∞
∑
m=0
βmn
t
∫
0
pm(τ )Rm(t − τ )dτ, (19)
(n = 0,∞),
де коефiцiєнти ν0n(t) i βmn(θ∗) матимуть вигляд:
ν0n(t) =
ν0(t)
π
, n = 0;
ν0(t)
2
, n = 1;
ν0(t)
π
(
sin
(n + 1)π
2
n + 1
+
sin
(n − 1)π
2
n − 1
)
, n > 1.
(20)
β0n(θ∗)=
(−1)m
πm
, m 6= 0; n = 0;
1
2
, n = m;
1
π
(
sin
(m + n)π
2
m + n
+
sin
(m − n)π
2
m − n
)
,
n 6=m, n 6=0.
(21)
Коефiцiєнти Vn(t) за вiдомих коефiцiєнтiв pn(t)
визначатимуться за формулою (15), а швидкiсть
деформування поверхнi каверни V (t, θ) i гiдроди-
намiчний тиск p(t, θ) – за формулами (12), (13) вiд-
повiдно.
Використовуючи спiввiдношення (8) i (12), отри-
маємо гiдродинамiчну силу опору зануренню тiла
крiзь поверхню порожнини каверни з боку рiдини:
F (t) =
∞
∑
n=0
pn(t)bn(θ∗), (22)
де коефiцiєнти визначатимуться за формулою
bn(θ∗) =
=
1, n = 0,
π
2
, n = 1;
sin
(n + 1)π
2
n + 1
+
sin
(n − 1)π
2
n − 1
, n > 1.
Тодi диференцiальне рiвняння (7) набуде вигля-
ду
µ
dν0(t)
dt
= − 1
π
∞
∑
n=0
pn(t)bn(θ∗), ν0(0) = ν0. (23)
Отже, розв’язуюча система задачi складається
з нескiнченної системи iнтегральних рiвнянь (19)
i рiвняння руху (23).
У результатi розв’язування задачi в постанов-
цi “жорсткий екран” (див. формулу (9)) за допо-
могою запропонованого пiдходу отримано нескiн-
чену послiдовнiсть лiнiйних iнтегральних рiвнянь
42 В. Д. Кубенко, О. В. Гавриленко
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2008. Том 10, N 1. С. 39 – 45
Рис. 2. Залежнiсть гiдродинамiчного тиску в лобовiй
точцi вiд часу за рiзних значень погонної маси
Рис. 3. Залежнiсть вiд часу гiдродинамiчного тиску в
лобовiй точцi за рiзних значень початкової швидкостi
Вольтеpра 2-го роду вiдносно коефiцiєнтiв розкла-
ду pn(t):
pn(t)=ν0n(t)−
t
∫
0
pn(τ )Rn(t−τ )dτ, (n=0,∞), (24)
де ядро Rn(t) обчислюватиметься з рiвняння (16),
коефiцiєнти ν0n(t) визначатимуться iз (20).
Послiдовнiсть (24) повинна розв’язуватися су-
купно з рiвнянням руху (23).
3. ЧИСЕЛЬНЕ РОЗВ’ЯЗАННЯ ЗАДАЧI
Розв’язування задачi здiйснювалося чисельно
на скiнченному часовому вiдрiзку [0, T ], який роз-
бивався на рiвнi частини довжиною ∆t, i в отрима-
них вузлах iнтервалу часу обчислювалися всi шу-
канi величини.
Нескiнченна система (послiдовнiсть) iнтеграль-
них рiвнянь (19), (24) i права частина диферен-
цiального рiвняння (23) пiддавалися редукцiї. Об-
ґрунтування такої редукцiї зроблено, зокрема, в
[5]. Порядок редукцiї N вибирався з мiркувань
практичної збiжностi розв’язку. В системi (послi-
довностi) (19), (24) всi iнтеграли обчислювалися за
квадратурною формулою лiвих прямокутникiв. У
результатi дана система (послiдовнiсть) зводилася
до системи алгебраїчних рiвнянь. Диференцiальне
рiвняння (23) замiнювалося рiзницевим. Для полi-
пшення збiжностi рядiв Фур’є застосовувалися σ –
множники Гiбса [9]:
σn =
{
1, n = 0;
{
sin
πn
N
}/{πn
N
}
, n = 1, N.
(25)
Ядро нескiнченної системи (послiдовностi) iнте-
гральних рiвнянь Вольтерра 2-го роду (19), (24)
задовольняє рiвнянню Вольтерра 1-го роду (16),
яке обчислювалося за допомогою наступного пiд-
ходу:
• iнтервал iнтегрування розбивався на рiвнi малi
вiдрiзки [tj; tj+2], j = 0, 2, . . .M − 2;
• кожен iнтеграл замiнювався сумою iнтегралiв
по вiдрiзку розбиття [tj; tj+2];
• значення Rn(t) на кожному iнтервалi [tj; tj+2]
вважалися сталими i виносилися за знак iнтегралу
зi значенням Rn(tj+1);
• iнтеграли
tj+2
∫
tj
Gn(t − τ )dτ обчислювалися ана-
лiтично;
• в результатi такої процедури рiвняння (16)
зводилося до системи лiнiйних алгебраїчних рiв-
нянь вiдносно Rn(tk) iз трикутною матрицею, де
k ∈ (0; M/2).
В обчисленнях на промiжку часу [0; 4] варiюва-
лися наступнi параметри: безрозмiрна погонна ма-
са тiла µ = 0.25÷∞, початкова швидкiсть зануре-
ння тiла ν0 = 0.001÷ 0.01.
На рис. 2 показана залежнiсть гiдродинамiчно-
го тиску p(t) у лобовiй точцi вiд часу за рiзних
значень погонної маси цилiндричного тiла µ =
0.5; 2; 4;∞, для початкової швидкостi ν0 = 0.005.
Можна помiтити, що гiдродинамiчний тиск у ло-
бовiй точцi тiла в початковий момент часу, вiдпо-
вiдно до гiпотези плоскої хвилi, дорiвнює своєму
максимальному значенню p = ρCν0, в розмiрних
позначеннях. Далi на початковому етапi розгляну-
того часового iнтервалу тиск рiзко падає, причому
тим швидше, чим легше тiло.
На рис. 3 показана залежнiсть вiд часу гiдро-
динамiчного тиску в лобовiй точцi за рiзних зна-
чень початкової швидкостi ν0 = 0.001; 0.005; 0.01,
для маси тiла µ = 4. Iз рисунка можна помiтити,
що бiльшому значенню початкової швидкостi вiд-
повiдає бiльше значення гiдродинамiчного тиску в
лобовiй точцi.
На рис. 4 показана залежнiсть гiдродинамiчної
В. Д. Кубенко, О. В. Гавриленко 43
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2008. Том 10, N 1. С. 39 – 45
Рис. 4. Залежнiсть гiдродинамiчної сили вiд часу за
рiзних значень маси
Рис. 5. Залежнiсть гiдродинамiчної сили вiд часу за
рiзних значень початкової швидкостi
Рис. 6. Залежнiсть швидкостi руху тiла за рiзних
значень маси тiла
сили F (t) вiд часу для початкової швидкостi ν0 =
0.005 за рiзних значень маси µ = 0.5; 2; 4; ∞. Iз
рисунка можна помiтити, що гiдродинамiчна си-
ла iстотно залежить вiд маси тiла: чим масивнiше
тiло, тим бiльша сила.
На рис. 5 показана залежнiсть гiдродинамiчної
сили F (t) вiд часу для маси µ = 4, за рiзних зна-
чень початкової швидкостi ν0 = 0.001; 0.005; 0.01.
Iз рисунка можна помiтити, що бiльшому значен-
ню швидкостi в довiльний момент часу вiдповiдає
бiльше значення гiдродинамiчної сили.
На рис. 6 показана залежнiсть швидкостi руху
Рис. 7. Розподiл гiдродинамiчного тиску по поверхнi
порожнини в рiзнi моменти часу
Рис. 8. Порiвняння результатiв для гiдродинамiчного
тиску, одержаних з використанням рiзних постановок
Рис. 9. Порiвняння результатiв для гiдродинамiчної
сили, одержаних з використанням рiзних постановок
тiла ν0(t) вiд часу для початкової швидкостi ν0 =
0.005, за рiзних значень маси тiла µ = 0.5; 2; 4; ∞.
Iз рисунка видно, що в довiльний момент часу чим
масивнiше тiло, тим бiльше значення швидкостi.
На рис. 7 наведено розподiл гiдродинамiчного
тиску p(t) по поверхнi порожнини в моменти ча-
су t = 0.5; 1; 1.5 для наступних значень швидкостi
ν0 = 0.005 i маси µ = 4. З цього рисунку випливає:
• гiдродинамiчний тиск на недеформованiй по-
верхнi каверни дорiвнює нулю, що вiдповiдає гра-
44 В. Д. Кубенко, О. В. Гавриленко
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2008. Том 10, N 1. С. 39 – 45
ничним умовам моделi задачi;
• з часом вiдбувається розширення областi кон-
такту та вiдповiдний перерозподiл по нiй тиску.
Для моделi “жорсткий екран” одержано анало-
гiчнi результати, тому доцiльно зупинитися на де-
яких з них.
На рис. 8 наведено порiвняння результатiв для
гiдродинамiчного тиску p(t), одержаних на про-
мiжку часу [0; 4] з використанням рiзних поста-
новок: модель “жорсткий екран” i “загальна” по-
становка з природними граничними умовами на
вiльнiй поверхнi каверни. У розрахунках викори-
стовувалися такi значення параметрiв: початкова
швидкiсть ν0 = 0.005, погонна маса µ = 4. Кривi,
позначенi на малюнку пунктиром i суцiльною лi-
нiєю, вiдповiдають моделi “жорсткий екран” i “за-
гальнiй” постановцi.
На рис. 9 наведено порiвняння результатiв, що
були одержанi для гiдродинамiчної сили F (t) для
обох постановок: модель “жорсткий екран” i “за-
гальна” постановка. У розрахунках використову-
валися такi значення параметрiв: погонна маса
µ = 4, початкова швидкiсть ν0 = 0.005. Кривi,
позначенi на малюнку суцiльною лiнiєю та пун-
ктиром, вiдповiдатимуть “загальнiй” постановцi та
моделi “жорсткий екран”.
Iз рис. 8 – 9 видно, що бiльш “жорсткi” умови
на вiльнiй поверхнi порожнини завищують значен-
ня гiдродинамiчних навантажень, але оскiльки ця
рiзниця в значеннях характеристик незначна, то
для одержання iнженерних оцiнок розвитку про-
цесу можна рекомендувати дану спрощену мето-
дику, що суттєво скоротить затрати комп’ютерно-
го часу.
Слiд зазначити, що для випадку нестисливої рi-
дини згiдно формули (2.12) публiкацiї [18] гiдроди-
намiчна сила для нульового зазору дорiвнюватиме
нулю.
ВИСНОВКИ
У роботi одержано розв’язок плоскої задачi зану-
рення твердого цилiндричного тiла в iдеальну сти-
сливу рiдину через поверхню цилiндричної поро-
жнини для нульового зазору в двох постановках,
що вiдрiзняються мiж собою граничними умовами
на вiльнiй поверхнi каверни. Обчислено гiдродина-
мiчнi та кiнематичнi характеристики дослiджува-
ного процесу. Проведено оцiнку ступеня впливу на
шуканi характеристики рiзних граничних умов на
вiльнiй поверхнi каверни.
1. Абрамовиц М., Cтиган И. Справочник по специаль-
ным функциям с формулами, графиками и матема-
тическими таблицами.– М.: Наука, 1979.– 832 с.
2. Баженов В.Г., Кочетков А.В., Крылов С.В. Ана-
лиз нелинейных эффектов при проникании тел в
сжимаемую жидкость // Прикладная механика.–
1986.– 22, № 2.– С. 125-127.
3. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные
функции: Функции Бесселя, функции параболиче-
ского цилиндра, ортогональные многочлены.– М.:
Наука, 1966.– 296 с.
4. Васин А.Д., Парышев Э.В. Погружение цилиндра
в жидкость через цилиндрическую свободную по-
верхность, № 2.– М.: Механика жидкости и газа,
2001.– 3-12 с.
5. Коробейник Ю.Ф. О сходимости метода редукции
при решении счетных систем линейных интеграль-
ных уравнений // Уч. зап. Рост. н./Д. ун-та.– 1956.–
43, № 6.– С. 21-57.
6. Кубенко В.Д. Нестационарное взаимодействие эле-
ментов конструкций со средой.– Киев: Наук. думка,
1979.– 184 с.
7. Кубенко В.Д. Нестационарные поперечные движе-
ния тонкого длинного тела при суперкавитацион-
ном обтекании // Докл. НАНУ.– № 6.– 2003.– С. 41-
47.
8. Кубенко В.Д. Плоская задача соударения тонкого
длинного тела с поверхностью цилиндрической по-
лости в жидкости // Прикладная механика.– 2006.–
№ 6.– С. 32-53.
9. Ланцош К. Практические методы прикладного
анализа.– М.: Физматгиз, 1961.– 542 с.
10. Логвинович Г.В. Гидродинамика течений со сво-
бодными границами.– Киев: Наук. думка, 1969.–
215 с.
11. Логвинович Г.В. Некоторые вопросы глиссирова-
ния // Тр. ЦАГИ.– 1980.– Вып. 2052.– С. 3-12.
12. Морс Ф., Фешбах Г. Методы теоретической физи-
ки. В 2-х т.: Т. 1.– М.: Изд-во иностр. лит., 1958.–
960 с.
13. Савченко Ю.Н., Власенко Ю.Д., Семененко В.Н.
Экспериментальные исследования высокоскоро-
стных кавитационных течений // Гидромеханика.–
1998.– Вып. 72.– С. 103–111.
14. Савченко Ю.Н., Cемененко В.Н., Путилин С.И.
Нестационарные процессы при суперкавитацион-
ном движении тел // Прикладна гiдромеханiка.–
1999.– № 1.– С. 78–97.
15. Савченко Ю.Н., Cемененко В.Н., Серебряков В.В.
Экспериментальное исследование развитых кавита-
ционных течений при дозвуковых скоростях обтека-
ния // Докл. НАНУ.– 1993.– № 2.– С. 64–69.
16. Hrubes J.D. High-Speed Imaging of Supercavitating
Underwater Projectiles’ Experiments in Fluids 30.–
Springer-Verlag: Berlin GE, 2001.– 57–64 p.
17. Kirschner I.N. Supercavitating Projectiles Experi-
ments at Supersonic Speeds’ abstract published in
the Proceeding of the NATO/AGARD Fluid Dynami-
cs Panel Workshop on High-Speed Body Motion in
Water.– AGARD Report 827: Kiev, Ukraine, 1997.–
p.
18. Paryshev E.V. Mathematical modeling of unsteady
cavity flows // Fifth International Symposium on
Cavitation (CAV 2003).– Osaka, Japan, 2003.– P. 1-
18.
19. Savchenko Yu.N., Semenenko V.N., Putilin S.I.,
Savchenko G.Yu., Naumova Ye.I. Designing the
high-speed supercavitating vehicles // International
Conferens on Fast Sea Transportation.– FAST’2005,
St. Petersburg, Russia.– P. 2005.
В. Д. Кубенко, О. В. Гавриленко 45
|