Строгое решение задачи свободной фильтрации из водотоков полуобратным методом
В работе дается строгое гидромеханическое решение задачи свободной фильтрации для семейства водотоков с криволинейными профилями полуобратным методом Н. Е. Жуковского с использованием последовательных конформных отображений. Результаты подсчета для частных случаев совпадают с известными точными реше...
Збережено в:
| Дата: | 2008 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут гідромеханіки НАН України
2008
|
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/4633 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Cтрогое решение задачи свободной фильтрации из водотоков полуобратным методом / К.Н. Анахаев // Прикладна гідромеханіка. — 2008. — № 1. — С. 80-85. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-4633 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-46332010-09-07T19:00:16Z Строгое решение задачи свободной фильтрации из водотоков полуобратным методом Анахаев, К.Н. В работе дается строгое гидромеханическое решение задачи свободной фильтрации для семейства водотоков с криволинейными профилями полуобратным методом Н. Е. Жуковского с использованием последовательных конформных отображений. Результаты подсчета для частных случаев совпадают с известными точными решениями. В роботi наведено строгий розв'язок задачi вiльної фiльтрацiї для сiмейства водотокiв з криволiнiйними профiлями напiвзворотнiм методом M. Є. Жуковського з використанням послiдовних конфорних вiдображень. Результати пiдрахункiв для окремих випадкiв спiвпадають з вiдомими точними розв'язками. The exact solution of the problem of free filtration for curvelinear profiles are obtained. The problem is solved by semiinverse N. E. Joukovsky method with using successive conform mappings. The results of calculations for particular cases coinside with known exact solutions. 2008 Article Cтрогое решение задачи свободной фильтрации из водотоков полуобратным методом / К.Н. Анахаев // Прикладна гідромеханіка. — 2008. — № 1. — С. 80-85. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 1561-9087 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/4633 532.5;626.3 ru Інститут гідромеханіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
В работе дается строгое гидромеханическое решение задачи свободной фильтрации для семейства водотоков с криволинейными профилями полуобратным методом Н. Е. Жуковского с использованием последовательных конформных отображений. Результаты подсчета для частных случаев совпадают с известными точными решениями. |
| format |
Article |
| author |
Анахаев, К.Н. |
| spellingShingle |
Анахаев, К.Н. Строгое решение задачи свободной фильтрации из водотоков полуобратным методом |
| author_facet |
Анахаев, К.Н. |
| author_sort |
Анахаев, К.Н. |
| title |
Строгое решение задачи свободной фильтрации из водотоков полуобратным методом |
| title_short |
Строгое решение задачи свободной фильтрации из водотоков полуобратным методом |
| title_full |
Строгое решение задачи свободной фильтрации из водотоков полуобратным методом |
| title_fullStr |
Строгое решение задачи свободной фильтрации из водотоков полуобратным методом |
| title_full_unstemmed |
Строгое решение задачи свободной фильтрации из водотоков полуобратным методом |
| title_sort |
строгое решение задачи свободной фильтрации из водотоков полуобратным методом |
| publisher |
Інститут гідромеханіки НАН України |
| publishDate |
2008 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/4633 |
| citation_txt |
Cтрогое решение задачи свободной фильтрации из водотоков полуобратным методом / К.Н. Анахаев // Прикладна гідромеханіка. — 2008. — № 1. — С. 80-85. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT anahaevkn strogoerešeniezadačisvobodnojfilʹtraciiizvodotokovpoluobratnymmetodom |
| first_indexed |
2025-07-02T07:51:34Z |
| last_indexed |
2025-07-02T07:51:34Z |
| _version_ |
1836520775391117312 |
| fulltext |
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2008. Том 10, N 1. С. 80 – 85 КОРОТКI ПОВIДОМЛЕННЯ
УДК 532.5;626.3
СТРОГОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ СВОБОДНОЙ
ФИЛЬТРАЦИИ ИЗ ВОДОТОКОВ ПОЛУОБРАТНЫМ
МЕТОДОМ
К. Н. А Н А ХА ЕВ
Высокогорный геофизический институт, Нальчик, Россия
Получено 12.07.2007
В работе дается строгое гидромеханическое решение задачи свободной фильтрации для семейства водотоков с криво-
линейными профилями полуобратным методом Н. Е. Жуковского с использованием последовательных конформных
отображений. Результаты подсчета для частных случаев совпадают с известными точными решениями.
В роботi наведено строгий розв’язок задачi вiльної фiльтрацiї для сiмейства водотокiв з криволiнiйними профiля-
ми напiвзворотнiм методом M. Ґ. Жуковського з використанням послiдовних конфорних вiдображень. Результати
пiдрахункiв для окремих випадкiв спiвпадають з вiдомими точними розв’язками.
The exact solution of the problem of free filtration for curvelinear profiles are obtained. The problem is solved by semii-
nverse N. E. Joukovsky method with using successive conform mappings. The results of calculations for particular cases
coinside with known exact solutions.
При гидромеханическом расчете свободной
фильтрации из водотоков (рис. 1) во многих случа-
ях используют комплекс Н. Е. Жуковского [1–5]:
θ = z − iW = (x − ψ) + i(y − ϕ) = θ1 + iΘ2, (1)
в котором z = x+ iy – комплексная область филь-
трации с текущими координатами x и y (рис. 1);
θ1 и θ2 – координаты комплекса Н. Е. Жуковско-
го (рис. 2, a); W = ϕ + iψ – область комплексно-
го потенциала с координатами напорной функции
ϕ и функции тока ψ с удельным фильтрацион-
ным расходом из водотока Q (рис. 2, ж), рав-
ными W = Wn/k;ϕ = ϕn/k;ψ = ψn/k;Q = Qn/k,
причем величины с индексом “n” – действитель-
ные значения этих параметров, k – коэффициент
фильтрации грунта основания водотока. Данный
метод решения является полуобратным, завися-
щим от первоначально принятой основы формы
профиля водотока в области комплекса Н. Е. Жу-
ковского θ = θ1 + iθ2 [1, 2]. В результате опре-
деляются все необходимые параметры водотока с
шириной по урезу воды B и глубиной по оси H , в
том числе очертание профиля водотока, гидроди-
намическая сетка области фильтрации, величины
фильтрационных расходов, положения депресси-
онных кривых, линий токов и изобар (пьезометри-
ческих высот) и др. Отличительной особенностью
настоящей работы является то, что в ней осно-
ва формы профиля водотока принята в виде по-
луэллипса, вытянутого вдоль горизонтальной оси
(рис. 2, а). Данная задача рассматривалась акад.
Н. Н. Павловским с использованием специальных
эллиптических функций Якоби [2, с. 430], но, к со-
жалению, не была опубликована. Здесь же приво-
дится строгое, практически точное решение ее на
основе элементарных функций. Примем уравнение
полуэллипса в области комплекса Н. Е. Жуковско-
го в виде (рис. 2, а):
(θ1/θ2)
2
+ (θ2/β2)
2
= 1, (2)
где α ≥ β = 1 – заданные значения соответственно
горизонтальной и вертикальной полуосей полуэл-
липса 1–А–2–Д–3–4–С, причем точки С и Д распо-
ложены на горизонтальной оси в точках (−sh −1T )
и (+sh−1T ), в которых параметр T находится по
формуле:
T = Arth(1/α). (3)
При этом имеем следующее соответствие точек
области фильтрации z = x + iy (табл. 1), из кото-
рых выразим величину фильтрационного расхода
в виде:
Q = B + 2H · α/β. (4)
Этой же величине равна также и максимальная
ширина растекания свободного фильтрационного
потока B∞ = Q.
Область θ = θ1 + iθ2 (рис. 2, а) конформно ото-
бразим на аналогичную эллиптическую компле-
ксную область t = t1 + it2 с горизонтальной и
вертикальной полуосями, соответственно равными
R = chT и shT (рис. 2, б) с помощью функции
t = sh T · θ. (5)
В свою очередь, область t = t1 + it2 строго ото-
бражается на прямоугольник 1-2-Д-С шириной π
80 c© К. Н. Анахаев, 2008
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2008. Том 10, N 1. С. 80 – 85
Табл 1.
Точки x y ψ ϕ θ1 θ2
1 B/2 0 −Q/2 0 −
Q− B
2
= −α 0
A 0 H = 1 0 0 0 H = β = 1
2 −B/2 0 Q/2 0
Q− B
2
= α 0
Д − − Q/2 − sh−1T 0
3 −Q/2 ∞ Q/2 ∞ 0 0
4 Q/2 ∞ −Q/2 ∞ 0 0
C − − −Q/2 − sh−1T 0
Рис. 1. Свободная фильтрация из водотоков различных криволинейных профилей при В/Н=6:
1–6 – профили водотоков и соответствующие им депрессионные кривые (левая половина)
для значений α/β =2.5; 2.0; 1.5; 1.35; 1.2 и 1;
7 – результаты точного решения акад. Павловского Н.Н. [2] для α/β =1;
8 – координаты натурного профиля русел каналов в супесчаных и суглинистых грунтах [9];
9 – линии токов при ∆ψ = 0.1Q для α/β =2.5 (правая половина)
и высотой T ≤ π комплексной области ε = ε1 + iε2
(рис. 2, в) функцией [6]
ε = arcsint. (6)
Полученный "уширенный"прямоугольник кон-
формно отобразим на область S = S1 + iS2 (рис.
2, г) функцией
S =
π
2
+ i
π
T
(π
2
+ ε
)
, (7)
что дает прямоугольник шириной π, вытянутый
по вертикали на высоту π2/T . Область же S =
= S1 + iS2 практически точно (с погрешностью
<< 0.5–0.6%) [7] отображается на нижнюю полу-
плоскость ζ1 = ξ1 + iη1 (рис. 2, д) функцией
ζ1 =
r
2 sinS
(
1 + r−2 · sin2 S
)
, (8)
в которой r = ch (π2/T ), а точки С и 1 соответ-
ственно принимают значения (1/λ) и (−1/λ), где
λ = 2r/(1 + r2). (9)
К. Н. Анахаев 81
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2008. Том 10, N 1. С. 80 – 85
Рис. 2. Схема последовательных конформных отображений области комплекса Н. Е. Жуковского
(полуэллипса) на область комплексного потенциала W = ϕ+ iψ (полуполосы)
Точка a получает значение ζ1(A) = −a, где a нахо- дится по формуле
a =
r
√
2(r + 1)
+
√
2(r + 1)
r
. (10)
82 К. Н. Анахаев
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2008. Том 10, N 1. С. 80 – 85
Таким образом, полученная элементарная
функция
ζ1 =
r
2 sin
[π
2
+ i
π
T
(π
2
+ arcsint
)]× (11)
×
{
1 + r2 · sin2
[π
2
+ i
π
T
(π
2
+ arcsint
)]}
практически точно отображает внутренность по-
луэллипса t = t1 + it2 (рис. 2, б) на нижнюю по-
луплоскость ζ1 = ξ1 + iη1 (рис. 2, д), что до сих
пор могло выполняться только лишь с помощью
специальных эллиптических функций Якоби [8, с.
170].
Далее, используя дробно-линейное преобразова-
ние
ζ = −
(ζ1 + a)(1 − λ)
ζ1 ·m+ n
, (12)
где
m = 2aλ− (1 + λ); n = a(1 + λ) − 2, (13)
конформно отобразим область ζ1 = ξ1 + iη1 (рис.
2, д) на верхнюю полуплоскость ζ = ξ + iη (рис. 2,
е). На последнюю отобразим также область ком-
плексного потенциала W = ϕ + iψ, имеющий вид
горизонтальной полуполосы (рис. 2, ж), функци-
ей [3–5]:
W = −i
Q
π
arcsinζ. (14)
Подставляя в выражение (14) значения
ζ1, ζ2, S, ε, t из соотношений (5)–(12), найдем
взаимосвязь областей θ = θ1 + iθ2 (рис. 2, а) и
W = ϕ + iψ (рис. 2, ж) в виде:
W = ϕiψ = −i
Q
π
arcsin
[
−
(ζ1 + a)(1 − λ)
ζ1 ·m+ n
]
, (15)
где
ζ1 =
1 + r−2 · sin2 γ
2 · r−1 sin γ
; (16)
γ =
π
2
+ i
π
T
{
π
2
+ arcsin
[
shT · (θ1 + iθ2)
]
}
.
Отделяя в соотношениях (15) и (16) вещественную
и мнимую части, окончательно получим:
ϕ =
Q
π
Arch
M
2
; ψ = −
Q
π
arcsin
2ξ
M
, (17)
в которых для случая η =0 имеем:
при |ξ|leq1 M = 2; ϕ = 0; ψ = −Q/π · arcsinξ;
при |ξ| > 1 M = 2·|ξ|; ϕ = Q/π·Arch|ξ|; ψ = ±Q/2;
(верхний знак для участка 1–4, нижний – для 2-3).
Здесь
M =
√
(1 + ξ)2 + η2 +
√
(1 − ξ)2 + η2, (18)
В выражениях (17) и (18) значения ξ и η будут
ξ = −(1 − λ)
(ξ1 + a)(ξ1 ·m+ n) + η2
1m
(ξ1m+ n)2 + (η1m)2
;
η = −
η1(1 − λ)(n −ma)
(ξ1m+ n)2 + (η1m)2
, (19)
где
ξ1 =
δ1
2
(
r
δ21 + δ22
+
1
r
)
;
η1 =
δ2
2
(
1
r
−
r
δ21 + δ22
)
;
δ1 = sinS1 · chS2; δ2 = cos S1 · shS2;
S1 =
π
2
−
π
T
ε; S2 =
π
T
(π
2
+ ε
)
;
ε1 = arcsin
2t1
N
; ε2 = Arch
N
2
;
N =
√
(1 + t1)2 + t22 +
√
(1 − t1)2 + t22;
t1 = shT · θ1; t2 = shT · θ2;
θ1 = ±α
√
1 −
(
θ2
β
)2
;
θ2 = β
√
1 −
(
θ1
α
)2
;
(20)
(верхний знак – для x > 0, нижний – для x < 0)
Значения λ, a,m и n находятся из соотношений (9),
(10) и (13) соответственно.
В формулах (20) для случая t2 = 0 имеем:
при |t1| ≤ 1 N = 2; ε1 = arcsint1; ε2 = 0;
при |t1| > 1 N = 2 · |t1|; ε1 = ±π/2; ε2 = Arch|t1|;
(верхний знак для участка 1–С, нижний – для 2–
Д).
Полученные расчетные зависимости (17)–(20)
дают полное гидромеханическое решение зада-
чи свободной фильтрации для целого семейства
различных профилей водотоков (с эллиптической
основой форм) с возможностью определения для
них всех необходимых параметров фильтрацион-
ного потока. Так, на рис. 1 для отношения В/Н=6
(в усл. ед.) построены очертания профилей водо-
токов при заданных значениях α/β =2.5; 2.0; 1.5;
1.35; 1.2 и 1 (кривые 1–6), а также депрессионные
К. Н. Анахаев 83
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2008. Том 10, N 1. С. 80 – 85
Рис. 3. Картина свободного фильтрационного потока из водотока при В/Н=4:
1–5 – профили водотоков при значениях α/β =2.5; 2.0; 1.5; 1.2 и 1;
6 – результаты точного решения акад. Н. Н. Павловского [2] для α/β =1;
7 – семейство изобар – линий равных давлений (пьезометрических высот) для α/β =2.5 (левая половина);
8 – гидродинамическая (квадратичная) сетка фильтрации с интервалом 0.1Q для α/β =2.5 (правая половина)
кривые (левая половина) и линии токов для зна-
чений лент расходов∆ψ = 0.1Q (правая полови-
на). Следует отметить, что при α/β → 1 (кри-
вые 6) очертания профиля водотока и депресси-
онной кривой, а также выражение для определе-
ния фильтрационного расхода (4) соответствуют
частному случаю круговой основы формы профи-
ля водотока и совпадают с результатами точных
решений проф. В. В. Ведерникова [1] и акад. Па-
вловского (точки 7) [2, с. 446, таб. 23 и с. 451, таб.
4].
В случае же α/β =1.35 расчетный профиль во-
дотока (кривая 4) достаточно близко совпадает с
координатами (точки 8) натурного профиля русла
канала, полученными на основе обработки боль-
шого количества фактических данных для супе-
счаных и суглинистых грунтов [9, с. 235, таб. 5.10].
На рис. 3 представлены различные очертания
профилей водотока для отношения В/Н=4, полу-
ченные для значений α/β =2.5; 2.0; 1.5; 1.2 и 1
(кривые 1–5). Для частного случая α/β → 1 под-
считанный профиль водотока полностью совпада-
ет с результатами точного решения (точки 6) [2, с.
446, таб. 2]. Показано также положение семейства
изобар – линий равных давлений (пьезометриче-
ских высот), построенных для случая α/β =2.5
с градацией 0.1Н (кривые 7 – левая половина),
а также гидродинамическая (квадратичная) сетка
фильтрации с интервалом 0.1Q (правая полови-
на). Как видно из изложенного, форма очертания
профиля водотока (при одном и том же значении
В/Н) оказывает существенное влияние на параме-
тры фильтрационного потока из него. В частнос-
ти, для случаев α/β =1 и 2.5 (при В/Н=4) величи-
ны фильтрационных расходов Q (и максимальной
ширины растекания потока В) возрастают на 50%
(с 6.0 до 9.0).
З а к л ю ч е н и е.
В статье получено строгое гидромеханическое
решение задачи свободной фильтрации для семей-
ства различных очертаний профилей водотока эл-
липтической основы формы. При этом использо-
ван полуобратный метод, основанный на после-
довательных конформных отображениях области
комплекса Н. Е. Жуковского на область компле-
ксного потенциала. Приведены расчетные зависи-
мости для определения всех необходимых пара-
84 К. Н. Анахаев
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2008. Том 10, N 1. С. 80 – 85
метров свободной фильтрации из водотоков раз-
личных очертаний. Для частного случая водото-
ка с круговой основой формы профиля (α/β →
1) полученное решение совпадает с результата-
ми известных точных решений [1, 2]. Кроме это-
го, в статье впервые дается практически точное
конформное отображение внутренности "уширен-
ного"полуэллипса на полуплоскость комбинацией
элементарных функций (вместо специальных эл-
липтических функций Якоби), что открывает но-
вые возможности в развитии фундаментальных
методов расчета потенциальных потоков.
1. Ведерников В. В. Теория фильтрации и ее при-
менение в области ирригации и дренажа.– М.-Л.:
Госстройиздат, 1939.– 248 с.
2. Павловский Н. Н. Собрание сочинений. Т. II Дви-
жение грунтовых вод.– М.-Л.: Изд-во АН СССР,
1956.– 771 с.
3. Анахаев К. Н. Гидромеханический расчет сво-
бодной фильтрации из водотоков криволинейно-
го профиля со смещенным тальвегом // ДАН.–
2004.– T. 395, № 6.– С. 761-766.
4. Анахаев К. Н. Свободная фильтрация из водото-
ков // Известия АН CCCP, Механика жидкости и
газа.– 2004.– № 5.– С. 94-99.
5. Анахаев К. Н. Свободная фильтрация из водо-
токов ломано-криволинейного профиля // ДАН.–
2005.– T. 400, № 1.– С. 41-45.
6. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для
научных работников и инженеров.– М.: Наука,
1984.– 831 с.
7. Анахаев К. Н. О расчете потенциальных пото-
ков // ДАН.– 2005.– T. 401, № 3.– С. 337-341.
8. Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории
функций комплексного переменного.– М.: Наука,
1973.– 736 с.
9. Косиченко Ю. М. Каналы переброски стока
России.– Новочеркасск: НГМА, 2004.– 470 с.
К. Н. Анахаев 85
|