Нелинейные капиллярно-гравитационные волны в однородной жидкости
На основе уравнений динамики нелинейных волн в слое однородной идеальной несжимаемой жидкости с учетом капиллярных сил методом многих масштабов получены асимптотические разложения до величин третьего порядка малости для потенциала скорости движения жидких частиц и возмущений своодной поверхности, фо...
Gespeichert in:
| Datum: | 2008 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут гідромеханіки НАН України
2008
|
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/4652 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Нелинейные капиллярно-гравитационные волны в однородной жидкости / А.Е. Букатов, А.А. Букатов // Прикладна гідромеханіка. — 2008. — Т. 10, № 2. — С. 24-35. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-4652 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-46522009-12-16T12:00:48Z Нелинейные капиллярно-гравитационные волны в однородной жидкости Букатов, А.Е. Букатов, А.А. На основе уравнений динамики нелинейных волн в слое однородной идеальной несжимаемой жидкости с учетом капиллярных сил методом многих масштабов получены асимптотические разложения до величин третьего порядка малости для потенциала скорости движения жидких частиц и возмущений своодной поверхности, формируемых при распространении периодических волн конечной амплитуды и нелинейном взаимодействии бегущих волн первой и второй гармоник. Проведен анализ амплитудно-фазовых характеристик возмущений. Рассмотрены изменения, вносимые в структуру возмущений пренебрежением зависимости отенциала скорости на свободной поверхности жидкого слоя от ее пространственно-временных деформаций. На основi рiвнянь динамiки нелiнiйних хвиль у шарi однорiдної iдеальної нестисливої рiдини з урахуванням капiлярних сил методом багатьох масштабiв одержанi асимптотичнi розкладання до величин третього порядку малостi для потенцiалу швидкостi руху часток рiдини i збурень вiльної поверхнi, що формуються при розповсюдженнi перiодичних хвиль скiнченої амплiтуди i нелiнiйнiй взаємодiї хвиль першої i другої гармонiк, що бiжать. Проведений аналiз амплiтудно-фазових характеристик збурень. Розглянутi змiни, що вносяться в структуру збурень зневагою залежностi потенцiалу швидкостi на вiльнiй поверхнi рiдкого шару вiд її просторово-часових деформацiй. Asymptotic expansions up to values of third order for the fluid velocity potential and elevation of the fluid's surface are obtained by the method of the multiple scales on the basis of the equations of non-linear waves dynamics in the homogeneous ideal incompressible liquid with taking into account capillary forces. The asymptotic expansions are formed by propagation and non-linear interaction of final amplitude periodic traveling waves the first and the second harmonics. The analytical and numerical analysis of the received solutions is carried out. The changes of structure disturbance received neglect by dependence of potential velocity on the fluid's surface on time-space deformations are studied. 2008 Article Нелинейные капиллярно-гравитационные волны в однородной жидкости / А.Е. Букатов, А.А. Букатов // Прикладна гідромеханіка. — 2008. — Т. 10, № 2. — С. 24-35. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. 1561-9087 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/4652 532.594:551.466 ru Інститут гідромеханіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
На основе уравнений динамики нелинейных волн в слое однородной идеальной несжимаемой жидкости с учетом капиллярных сил методом многих масштабов получены асимптотические разложения до величин третьего порядка малости для потенциала скорости движения жидких частиц и возмущений своодной поверхности, формируемых при распространении периодических волн конечной амплитуды и нелинейном взаимодействии бегущих волн первой и второй гармоник. Проведен анализ амплитудно-фазовых характеристик возмущений. Рассмотрены изменения, вносимые в структуру возмущений пренебрежением зависимости отенциала скорости на свободной поверхности жидкого слоя от ее пространственно-временных деформаций. |
| format |
Article |
| author |
Букатов, А.Е. Букатов, А.А. |
| spellingShingle |
Букатов, А.Е. Букатов, А.А. Нелинейные капиллярно-гравитационные волны в однородной жидкости |
| author_facet |
Букатов, А.Е. Букатов, А.А. |
| author_sort |
Букатов, А.Е. |
| title |
Нелинейные капиллярно-гравитационные волны в однородной жидкости |
| title_short |
Нелинейные капиллярно-гравитационные волны в однородной жидкости |
| title_full |
Нелинейные капиллярно-гравитационные волны в однородной жидкости |
| title_fullStr |
Нелинейные капиллярно-гравитационные волны в однородной жидкости |
| title_full_unstemmed |
Нелинейные капиллярно-гравитационные волны в однородной жидкости |
| title_sort |
нелинейные капиллярно-гравитационные волны в однородной жидкости |
| publisher |
Інститут гідромеханіки НАН України |
| publishDate |
2008 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/4652 |
| citation_txt |
Нелинейные капиллярно-гравитационные волны в однородной жидкости / А.Е. Букатов, А.А. Букатов // Прикладна гідромеханіка. — 2008. — Т. 10, № 2. — С. 24-35. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT bukatovae nelinejnyekapillârnogravitacionnyevolnyvodnorodnojžidkosti AT bukatovaa nelinejnyekapillârnogravitacionnyevolnyvodnorodnojžidkosti |
| first_indexed |
2025-07-02T07:53:41Z |
| last_indexed |
2025-07-02T07:53:41Z |
| _version_ |
1836520908695535616 |
| fulltext |
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2008. Том 10, N 2. С. 24 – 35
УДК 532.594:551.466
НЕЛИНЕЙНЫЕ КАПИЛЛЯРНО–ГРАВИТАЦИОННЫЕ
ВОЛНЫ В ОДНОРОДНОЙ ЖИДКОСТИ
А. Е. БУ К А ТОВ, А. А. Б У К АТ ОВ
Морской гидрофизический институт НАН Украины, Севастополь
Получено 01.08.2007
На основе уравнений динамики нелинейных волн в слое однородной идеальной несжимаемой жидкости с учетом
капиллярных сил методом многих масштабов получены асимптотические разложения до величин третьего порядка
малости для потенциала скорости движения жидких частиц и возмущений свободной поверхности, формируемых
при распространении периодических волн конечной амплитуды и нелинейном взаимодействии бегущих волн первой
и второй гармоник. Проведен анализ амплитудно-фазовых характеристик возмущений. Рассмотрены изменения,
вносимые в структуру возмущений пренебрежением зависимости потенциала скорости на свободной поверхности
жидкого слоя от ее пространственно-временных деформаций.
На основi рiвнянь динамiки нелiнiйних хвиль у шарi однорiдної iдеальної нестисливої рiдини з урахуванням капi-
лярних сил методом багатьох масштабiв одержанi асимптотичнi розкладання до величин третього порядку малостi
для потенцiалу швидкостi руху часток рiдини i збурень вiльної поверхнi, що формуються при розповсюдженнi пе-
рiодичних хвиль скiнченої амплiтуди i нелiнiйнiй взаємодiї хвиль першої i другої гармонiк, що бiжать. Проведений
аналiз амплiтудно-фазових характеристик збурень. Розглянутi змiни, що вносяться в структуру збурень зневагою
залежностi потенцiалу швидкостi на вiльнiй поверхнi рiдкого шару вiд її просторово-часових деформацiй.
Asymptotic expansions up to values of third order for the fluid velocity potential and elevation of the fluid’s surface
are obtained by the method of the multiple scales on the basis of the equations of non-linear waves dynamics in the
homogeneous ideal incompressible liquid with taking into account capillary forces. The asymptotic expansions are formed
by propagation and non-linear interaction of final amplitude periodic traveling waves the first and the second harmonics.
The analytical and numerical analysis of the received solutions is carried out. The changes of structure disturbance received
neglect by dependence of potential velocity on the fluid’s surface on time-space deformations are studied.
ВВЕДЕНИЕ
Волны капиллярно-гравитационного диапазона
вносят заметный вклад в формирование шеро-
ховатости свободной поверхности жидкости, су-
щественно влияя тем самым на ее отражатель-
ную способность и на процесс зарождения ветро-
вого волнения. Они участвуют в передаче энер-
гии от атмосферы к основным энергонесущим
компонентам гравитационных волн [1]. Изучению
капиллярно-гравитационных волн в линейной по-
становке посвящены работы [2–6], в которых ис-
следованы дисперсионные свойства волн и оцене-
на роль силы поверхностного натяжения в их ге-
нерации и развитии под действием периодических,
импульсных и движущихся возмущений. Исследо-
вание капиллярно-гравитационных волн конечной
амплитуды выполнено в [7] без учета зависимости
потенциала скорости на свободной поверхности от
ее деформаций.
В настоящей работе методом многих масшта-
бов с учетом пространственно-временных измене-
ний волнового профиля при выводе кинематиче-
ского и динамического поверхностных граничных
условий для нелинейных приближений построены
асимптотические разложения до величин третье-
го порядка малости для потенциала скорости и
возвышения свободной поверхности при распро-
странении периодических волн конечной ампли-
туды и нелинейном взаимодействии бегущих волн
первой и второй гармоник. Проведен анализ зави-
симости возмущений от характеристик основной
гармоники начального приближения. Рассмотре-
ны изменения, вносимые в структуру возмущений
учетом зависимости потенциала скорости в грани-
чных условиях на свободной поверхности от ее де-
формаций.
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассмотрим влияние поверхностного натяжения
на прогрессивные периодические волны конечной
амплитуды и нелинейное взаимодействие бегущих
волн первой и второй гармоник в слое однород-
ной идеальной несжимаемой жидкости постоян-
ной глубины H . В предположении потенциально-
сти движения жидкости в безразмерных перемен-
ных x = kx1, z = kz1, t =
√
kg t1 (здесь k –
волновое число; g – ускорение силы тяжести; t –
время) задача заключается в решении уравнения
Лапласа
24 c© А. Е. Букатов, А. А. Букатов, 2008
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2008. Том 10, N 2. С. 24 – 35
∆ϕ = 0, −∞ < x < ∞, −H ≤ z ≤ ζ (1)
с граничными условиями на поверхности z = ζ
ζ − ϕt +
1
2
(
ϕ2
x + ϕ2
z
)
−
−α1k
2ζxx
(
1 + ζ2
x
)
−3/2
= 0 (2)
и на дне бассейна (z = –H)
ϕz = 0. (3)
В начальный момент времени (t = 0)
ζ = f(x) , ζt = 0. (4)
Здесь α1 = α/(ρg); ρ – плотность жидкости; α –
коэффициент поверхностного натяжения. Потен-
циал скорости ϕ и возвышение поверхности бас-
сейна ζ связаны кинематическим условием
ζt − ζxϕx + ϕz = 0. (5)
2. УРАВНЕНИЯ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНЫХ
ПРИБЛИЖЕНИЙ
Решение задачи (1)–(5) найдем методом многих
масштабов [8]. Введем две новые медленно меняю-
щиеся по сравнению с t = T0 переменные T1 = εt,
T2 = ε2t, где ε – малое, но конечное, и предполо-
жим, что
ζ = εζ0 (x, t) , ϕ = εϕ0 (x, z, t) ,
f = εf0 (x) ; (6)
ζ0 = ζ1 + εζ2 + ε2ζ3 + O
(
ε3
)
,
ϕ0 = ϕ1 + εϕ2 + ε2ϕ3 + O
(
ε3
)
,
f0 = f1 + εf2 + ε2f3 + O
(
ε3
)
.
Подставив ϕ из (6) в уравнения (1) и (3), с точ-
ностью до величин третьего порядка малости по-
лучим:
ε∆ϕ1 + ε2∆ϕ2 + ε3∆ϕ3 = 0, (7)
ε
∂ϕ1
∂z
+ ε2 ∂ϕ2
∂z
+ ε3 ∂ϕ3
∂z
= 0.
Рассмотрим теперь динамическое (2), кинемати-
ческое (5) и начальное (4) условия. В силу малости
ε представим потенциал скорости ϕ (x, z, t) на по-
верхности жидкости z = εζ0 в виде
ϕ(x, t, εζ0) = ϕ (x, t, 0) + εζ0ϕz (x, t, 0)+
+
1
2
ε2ζ2
0ϕzz (x, t, 0) + . . . (8)
Подставим ζ = εζ0, f = εf0, ϕ(x, t, εζ0) в усло-
вия (2) – (5), имея в виду при этом, что по пра-
вилу дифференцирования сложной функции ча-
стная производная по времени определяется выра-
жением
∂
∂t
=
∂
∂T0
+ ε
∂
∂T1
+ ε2 ∂
∂T2
,
и учитывая зависимость ζ0 от x и t в (8).
Тогда, собрав коэффициенты при одинаковых
степенях ε и приравняв их нулю, из (2), (4), (5),
(7) для определения ζn, ϕn порядка εn, n = 1, 2, 3
получим уравнения
∆ϕn = 0 , −∞ < x < ∞ , −H ≤ z ≤ 0, (9)
ζn − ∂ϕn
∂T0
− α1k
2 ∂2ζn
∂ x2
= F ∗
n , z = 0, (10)
∂ζn
∂T0
+
∂ϕn
∂z
= L∗
n , z = 0, (11)
∂ϕn
∂z
= 0 , z = −H, (12)
ζn = fn (x) ,
∂ζn
∂T0
= Gn , t = 0. (13)
Здесь
F ∗
n = Fn + F 0
n , L∗
n = Ln + L0
n,
F1 = F 0
1 = L1 = L0
1 = L0
2 = G1 = 0,
F2 = ζ1
∂2ϕ1
∂T0∂z
+
∂ϕ1
∂T1
− 1
2
[
(
∂ϕ1
∂x
)2
+
(
∂ϕ1
∂z
)2
]
,
L2 =
∂ζ1
∂x
∂ϕ1
∂x
− ∂ζ1
∂T1
− ζ1
∂2ϕ1
∂z2
, G2 = − ∂ζ1
∂T1
,
G3 = − ∂ζ1
∂T1
− ∂ζ2
∂T1
,
А. Е. Букатов, А. А. Букатов 25
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2008. Том 10, N 2. С. 24 – 35
F3 = ζ1
(
∂2ϕ1
∂T1∂z
+
∂2ϕ2
∂T0∂z
− ∂ϕ1
∂x
∂2ϕ1
∂z∂x
−
−∂ϕ1
∂z
∂2ϕ1
∂z2
)
+
∂ϕ2
∂T1
+
∂ϕ1
∂T2
− ∂ϕ1
∂x
∂ϕ2
∂x
−
−∂ϕ1
∂z
∂ϕ2
∂z
+ ζ2
∂2ϕ1
∂T0∂z
+
1
2
ζ2
1
∂3ϕ1
∂T0∂z2
−
−3
2
α1k
2 ∂2ζ1
∂x2
(
∂ζ1
∂x
)2
,
L3 =
∂ζ2
∂x
∂ϕ1
∂x
+
∂ζ1
∂x
(
∂ϕ2
∂x
+ ζ1
∂2ϕ1
∂x∂z
)
−
−ζ1
∂2ϕ2
∂z2
− ζ2
∂2ϕ1
∂z2
− ∂ζ1
∂T2
− ∂ζ2
∂T1
− 1
2
ζ2
1
∂3ϕ1
∂z3
,
F 0
2 =
∂ζ1
∂T0
∂ϕ1
∂z
, L0
3 =
(
∂ζ1
∂x
)2
∂ϕ1
∂z
,
F 0
3 =
∂ζ1
∂T0
∂ϕ2
∂z
+
∂ζ2
∂T0
∂ϕ1
∂z
+ ζ1
∂ζ1
∂T0
∂2ϕ1
∂z2
+
+
∂ζ1
∂T1
∂ϕ1
∂z
− ∂ϕ1
∂x
∂ϕ1
∂z
∂ζ1
∂x
.
Отметим, что слагаемые F 0
2 , F 0
3 , L0
3, входящие
в правые части уравнений (10), (11), обусловлены
учетом зависимости ζ0 от x и t в (8) при выводе по-
верхностных граничных условий для нелинейных
приближений [9]. Что касается выражений F2,3,
L2,3, G2,3, то они аналогичны полученным в [7].
Из (10), (11) видно, что зависимость ζ0 от x и t в
(8) не проявляется в выражениях для приближе-
ния порядка ε (F 0
1 = L0
1 =0). В приближениях же
ε2 такое слагаемое (F 0
2 ) входит только в динами-
ческое, а в приближении ε3 – в динамическое (F 0
3 )
и кинематическое (L0
3) условия.
3. РАСПРОСТРАНЕНИЕ
ПЕРИОДИЧЕСКИХ ВОЛН
Задача (9)-(13) сформулирована в общем случае
неустановившихся возмущений конечной амплиту-
ды. Остановимся на рассмотрении бегущих пери-
одических волн, задавая fn(x) в соответствующем
виде. В таком случае выберем первое приближе-
ние (n = 1) возвышения поверхности бассейна ζ1
в форме
ζ1 = cos θ, θ = x + τT0 + β (T1, T2) . (14)
Тогда из кинематического условия (11) находим
∂ϕ1
∂z
= τ sin θ , z = 0. (15)
Чтобы удовлетворить граничному условию (12)
на дне бассейна, запишем ϕ1 в виде
ϕ1 = b0ch (z + H) sin θ. (16)
После подстановки соотношения (16) в (15) по-
лучим b0 = τ (sh H)
−1
. В результате
ϕ1 = b1 sin θ,
b1 = τ (sh H)−1 ch (z + H) . (17)
Подставляя выражения (14) и (17) в динамиче-
ское условие (10), найдем дисперсионное соотно-
шение
τ2 =
(
1 + α1k
2
)
th H. (18)
Выражение, определяющее β(T1 ,T2) в (14), по-
лучим из последующих приближений. Чтобы най-
ти второе приближение (решение задачи при
n = 2), определим правые части уравнений (10),
(11), используя (14), (17), (18). Тогда с учетом тре-
бования отсутствия основной гармоники получим
ζ2 = a2 cos 2θ,
ϕ2 = b2ch 2 (z + H) sin 2θ + ϕ∗
2 , (19)
где
a2 = τ2η2µ
−1
n ,
µn =
(
1 + n2α1k
2
)
th nH − nτ2, n = 2 ,
η2 = th 2H − cth H −
−1
4
(
cth 2H − 1
)
th 2H,
b2 = τ
(
a2 −
1
2
cth H
)
×
×ch 2 (z + H) sh−12H,
ϕ∗
2 =
1
4
τ2
(
cth 2H + 1
)
T0.
26 А. Е. Букатов, А. А. Букатов
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2008. Том 10, N 2. С. 24 – 35
При этом оказывается, что θ не зависит от T1.
Поэтому β = β2 (T2). Полученные решения для
первого (14), (17) и второго (19) приближений
определяют правые части динамического (10) и
кинематического (11) условий задачи для третьего
приближения (n = 3). Исключив в них слагаемые,
порождающие секулярность, для ζ3, ϕ3 найдем
ζ3 = a3 cos 3θ, ϕ3 = b3 sin 3θ + ϕ∗
3 , β = τσ0T2.
Здесь
a3 = τ2
[(
1 + 9α1k
2
)
th 3H − 3τ2
]
−1 ×
× (l4th 3H − l6) ,
b3 = τ
(
a3 −
1
3
l6
)
ch 3 (z + H) sh−13H,
σ0 =
1
2
(l5 − l3th H) ,
ϕ∗
3 = τ
[
1
2
(l5 − l3th H) − l5
]
×
×ch (z + H) sh−1H sin θ,
l3 =
3
8
α1k
2τ−2 +
+
1
2
cth H
(
cth Hcth 2H − 5
4
)
−
−a2
(
1
2
+ cth Hcth 2H
)
,
l4 = −3
8
α1k
2τ−2 +
+
1
2
cth H
(
cth Hcth 2H − 15
4
)
+
+a2
(
11
2
− cth Hcth 2H
)
,
l5 = l2 −
3
8
, l6 = 3 l2 +
5
8
,
l2 =
1
2
[a2 (cth H + 2cth 2H) −
−cth Hcth 2H ].
Следовательно, возвышение поверхности бас-
сейна ζ и потенциал скорости движения жидкости
ϕ до величин третьего порядка малости определя-
ются из выражений
ζ =
3
∑
n=1
εnan cos nθ,
ϕ =
3
∑
n=1
εn (bn sin nθ + ϕ∗
n), (20)
θ = x + σt, σ = τ
(
1 + ε2σ0
)
, a1 = 1, ϕ∗
1 = 0.
В размерных величинах (ζ = ζ/k, Φ =
ϕ
√
kg/k2, ε = ak, где a – амплитуда начальной
гармоники)
ζ = a cos θ + a2ka2 cos 2θ + a3k2a3 cos 3θ,
Φ = ab1
√
g/k sin θ + a2b2
√
kg sin 2θ +
+a3kb3
√
kg sin 3θ +
3
∑
n=1
εnΦ∗
n,
где
θ = kx + σ1
(
1 + a2k2σ0
)
t, σ1 = τ
√
kg, Φ∗
n =
ϕ∗
n
√
kg
/
k2, а индекс 1 у x и t здесь и далее опущен.
Фазовую скорость волновых возмущений опре-
делим из формул
ν = ν1
(
1 + ε2σ0
)
, ν1 = τ
√
g/k.
Из полученных выражений следует, что частота
и фазовая скорость возмущений зависят не только
от коэффициента поверхностного натяжения, но и
от амплитуды начальной волновой гармоники. Фа-
зовая скорость ν1 основной линейной гармоники
как функция волнового числа k имеет минимум
при значении k = k∗, удовлетворяющем условию
V1(k) = ν1(k), где
V1 =
g
2σ
[(
1 + 3α1k
2
)
th kH+
+
(
1 + α1k
2
) (
1 − th 2kH
)
kH
]
характеризует групповую скорость линейных
гравитационно-капиллярных волн.
Для глубокой воды (kH » 1) решение упрощае-
тся, так как
a2 = 0 , a3 =
4 + 7α1k
2
16 (1 − 3α1k2)
,
А. Е. Букатов, А. А. Букатов 27
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2008. Том 10, N 2. С. 24 – 35
σ0 = − 6 + 9α1k
2
16 (1 + α1k2)
, ν =
√
( 1 + α1k2) g
/
k,
τ =
√
1 + α1k2 , σ1 =
√
kg (1 + α1k2),
k∗ =
1√
α1
, λ (k∗) = 2π
√
α1, σ (k∗) =
√
2g
4
√
α1
,
ν1 (k∗) =
√
2g 4
√
α1, V1 =
1
2
gσ−1
(
1 + 3α1k
2
)
.
Причем V1 и ν1 связаны соотношением
V1 =
1
2
ν1
(
1 + 3α1k
2
) (
1 + α1k
2
)
−1
.
Минимальное значение имеет и V1 как функция
k в точке k = k0. При kH >> 1 имеем
k0 =
√
2√
3
− 1 k∗ , λ
(
k0
)
= 4
√
3
7 − 4
√
3
λ ( k∗) ,
σ
(
k0
)
=
4
√
2 −
√
3
3
√
3
σ ( k∗) ,
V1
(
k0
)
= g
(√
3 − 1
)/
σ
(
k0
)
,
V1
(
k0
)
= 0.768 ν1 ( k∗) .
Если при выводе кинематического и динами-
ческого поверхностных условий для нелинейных
приближений пренебречь зависимостью ζ0 от x и
t в (8) (полагая F 0
2 , F 0
3 , L0
3 равными нулю в (10),
(11)), то в формулах (20), определяющих решение
задачи, следует учесть, что
l3 =
3
8
α1k
2τ−2 +
+
1
2
cth H
(
cth Hcth 2H − 9
4
)
+
+a2
(
3
2
− cth Hcth 2H
)
,
l4 = −3
8
α1k
2τ−2 +
+
1
2
cth H
(
cth Hcth 2H − 11
4
)
+
+a2
(
7
2
− cth Hcth 2H
)
,
l5 = l2 +
3
8
, l6 = 3l2 +
3
8
,
η2 =
1
2
th 2H − 1
4
th 2H
(
cth 2H − 1
)
−
−cth H.
В этом случае [7] на глубокой воде
a2 =
1
2
1 + α1k
2
1 − 2α1k2
,
a3 =
3
16
2 + 7α1k
2 + 2
(
α1k
2
)2
(1 − 2α1k2) (1 − 3α1k2)
,
σ0 =
8 + α1k
2 + 2
(
α1k
2
)2
16 (1 − 2α1k2) (1 + α1k2)
.
Отсюда при α = 0 найдем значения a2 = 1/2,
a3 = 3/8, σ0 = 1/2, совпадающие с полученными в
[10] при обычном разложении по малому парамет-
ру.
Отметим, что полученное решение (20) справе-
дливо вне малых окрестностей резонансных зна-
чений волновых чисел k2 и k3, удовлетворяющих
уравнению µn = 0 при n = 2 и n = 3 соответствен-
но.
Если kH >> 1, то kn = 1/
√
nα1. Указанные точ-
ки остаются сингулярными как при учете, так и
без учета слагаемых F 0
2 , F 0
3 , L0
3. Амплитудные зна-
чения a2, a3, b2, b3 и величина обусловленного не-
линейностью фазового сдвига σ0 при этом изме-
няются, что следует из сопоставления соответ-
ствующих выражений для рассматриваемых слу-
чаев. Следовательно, изменяется и пространствен-
ное распределение вертикальных смещений сво-
бодной поверхности, а также составляющих ско-
рости волнового возмущения, формируемого бегу-
щей периодической волной конечной амплитуды.
4. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ БЕГУЩИХ ВОЛН
ПЕРВОЙ И ВТОРОЙ ГАРМОНИК
Выберем теперь первое приближение (n = 1) во-
звышения поверхности жидкости в форме
ζ1 = cos θ + a1 cos 2θ,
θ = x + τ T0 + β1 (T1, T2) , (21)
28 А. Е. Букатов, А. А. Букатов
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2008. Том 10, N 2. С. 24 – 35
где a1 постоянная порядка единицы.
Удовлетворяя условию на дне и учитывая взаи-
мосвязь волновых характеристик через граничные
условия (10), (11), запишем
ϕ1 = τ
[
ch (z + H)
sh H
sin θ+
+a1
ch 2 (z + H)
sh 2H
sin 2θ
]
. (22)
Подставляя ζ1, ϕ1 из (21), (22) в правые части
динамического (10) и кинематического (11) грани-
чных условий для второго приближения и решив
задачу при n = 2, требуя отсутствие первой и вто-
рой гармоник в частном решении, получим
ζ2 = a2 cos 2θ +
4
∑
n=3
a2n cos nθ, (23)
ϕ2 = τ
4
∑
n=1
b2nch n (z + H) sh−1nH sinnθ+
+b20t. (24)
Здесь
β = σ1T1 + β2(T2),
σ1 =
a1τ
4
(4cth 2H + cth H + th H) ,
b20 =
1
4
τ2
(
cth 2H + 1
)
+ a2
1τ
2
(
cth 22H + 1
)
,
b21 = −1
2
a1 (2cth 2H + cth H) +
σ1
τ
,
b22 = a2 + a0,
b23 = a23 −
1
2
a1 (2cth 2H + cth H) ,
b24 = a24 − a2
1cth 2H,
a23 = −1
2
a1τ [3 (2cth 2H + cth H)+
+ (2cth Hcth 2H − 11) th 3H ]µ−1
3 ,
a24 = −a2
1τ
2
[
4cth 2H +
(
cth 22H −
−5
)
th 4H
]
µ−1
4 ,
a0 = a1
σ1
τ
− 1
2
cth H,
a1 = ± 1√
2
√
1 − th 2H
(
1 + th 2H
)
−1
,
µ3, µ4 определяются по формуле µn из (19) при
n = 3 и n = 4, β2 и a2 найдем из третьего прибли-
жения.
Выражения для ζ1, ϕ1 из (21), (22) и ζ2, ϕ2 из
(23), (24) определяют правые части динамическо-
го (10) и кинематического (11) условий при n = 3.
Исключив из них слагаемые, порождающие секу-
лярность, найдем
a2 = (w2 − w1) (η3 − η4 − 2τ th H)−1 ,
w1 = τ (q1th H + γ1) ,
w2 =
τ
2a1
(q2th 2H + γ2) ,
η3 =
τ
2
(3th H − cth H − 4cth 2H) ,
η4 =
2σ1
a1
, β2 = σ2T2,
σ2 = a2
(
τ th H − 1
2
η3
)
− 1
2
w1,
γ1 = −1
2
b21a1cth H − (a0 + a1a23) cth 2H −
−3
2
a1b23cth 3H − 33
4
a2
1 −
9
8
,
γ2 = − (b21 + a23) cth H − 2a24a1cth 2H −
−3b23cth 3H − 4b24a1cth 4H − 9a3
1 − 6a1,
q1 =
4
∑
1
q1n, q2 =
4
∑
1
q2n,
А. Е. Букатов, А. А. Букатов 29
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2008. Том 10, N 2. С. 24 – 35
q11 = a1
(
5
2
σ1
τ
− 1
2
b21 + 2a23
)
+
+a0 +
α1
τ2
(
3
8
k2 + 3a2
1k
2
)
,
q12 =
(
σ1
τ
b21 −
7
4
a2
1 −
5
8
)
cth H − 5a2
1cth 2H,
q13 = a1b23
(
3
2
− 3cth 2Hcth 3H
)
−
− (a0 + a1b21) cth Hcth 2H,
q14 = −a0 − a1
(
b21 + 2
σ1
τ
+ 3b23 + 3a23
)
−
−2a2
1 (2cth 2H − cth H) ,
q21 =
(
2a0
σ1
τ
− 5a3
1 + a1
)
cth 2H − 5
2
a1cth H,
q22 = 4a1b24 (1 − cth 4Hcth 2H) +
+b21
(
1 − 1
2
cth 2H
)
+
3
2
b23 (2 − cth Hcth 3H) ,
q23 = a1
[
2a24 +
α1
τ2
(
3k2 + 6a2
1k
2
)
]
+
1
2
(σ1
τ
+ a23
)
,
q24 =
1
2
(
b21 +
σ1
τ
)
− a1
[
1
2
cth H − cth 2H +
+4 (b24 + a24)
]
−3
2
(b23 + a23) .
Тогда решение задачи для третьего приближе-
ния (n = 3) имеет вид
ζ3 = a3 cos 2θ +
6
∑
n=3
a3n cos nθ, (25)
ϕ3 = τ
6
∑
n=2
b3n
ch n (z + H)
n sh nH
sin nθ+
+τ2b31t, (26)
где
a3n = τ2 (qnth H + γn) µ−1
n , n = 3, 4, 5, 6;
b32 = 2a3 + 2
σ1
τ
(a1 + a2) + γ2,
b3n =
τ (na3n + γn)
nsh H
, n = 3, 4, 5, 6;
b31 =
1
2
[σ1
τ
(
1 + 4a2
1
)
− b21cth
2H
]
−
−2a1
[
b22cth
22H +
5
8
cth H +
+
1
4
cth 2H − a2
]
+b30,
b30 = −1
2
[σ1
τ
(
1 + 4a2
1
)
+ b21
]
−
−a1
(
2a2 + 2b22 −
3
4
cth H +
3
2
cth 2H
)
,
q3 =
4
∑
n=1
q3n, q4 =
3
∑
n=1
q4n, q5 =
3
∑
n=1
q5n,
q6 = a1 [4b24 (3 − cth 2H cth 4H) + 2a24] +
+a3
1
(
cth 2H − 6
α1k
2
τ2
)
+ q61,
q61 = 4a1 (b24 + a24) ,
q31 = a2
(
7
2
− cth Hcth 2H
)
+
+3
σ1
τ
b23cth 3H − 3
2
α1k
τ
(
1
4
k + 3k a2
1
)
,
q32 = a1
[
b21
(
3
2
− cth Hcth 2H
)
+
5
2
σ1
τ
]
−
−a2
1
(
11
8
cth H − 1
2
cth 2H
)
,
q33 = a0 (3 − cth Hcth 2H) +
1
8
cth H +
+2b24 (3 − cth 4Hcth H) +
1
2
a24,
30 А. Е. Букатов, А. А. Букатов
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2008. Том 10, N 2. С. 24 – 35
q34 = a0 + a1
(
b21 + 2
σ1
τ
)
+ 2a2 − 2b24 −
−2a24 − 3a2
1
(
1
2
cth H − cth 2H
)
,
q41 =
3
2
b23 (4 − cth 3Hcth H) − 3
α1k
2
τ2
a1 +
+2
σ1
τ
(
2 b24cth 4H + a2
1
)
,
q42 = 2a1
[
a2
(
3 − cth 22H
)
+
3
4
cth 2H +
+a0
(
2 − cth 22H
)
− 1
8
cth H
]
+
1
2
a23,
q43 = a1
[
4a2 + 2a0 −
1
4
cth H +
1
2
cth 2H
]
+
+
3
2
(b23 + a23) + 2a2
1
σ1
τ
,
q51 = 2b24 (5 − cth Hcth 4H) +
1
2
a24 −
−a2
1
(
3
8
cth H − 5
2
cth 2H +
15
2
α1k
2
τ2
)
,
q52 = 2a1
[
a23 +
3
4
b23 (5 − 2cth 3Hcth 2H)
]
,
q53 = 2b24 + 2a24 + 3a1 (b23 + a23) +
+a2
1
(
cth 2H − 1
2
cth H
)
,
γ3 = −a2
(
3
2
cth H + 3cth 2H
)
−
−3
2
(b21a1 + a24) cth H − 3a0cth 2H −
− 6b24cth 4H + 3a23
σ1
τ
− 51
8
a2
1 −
1
8
,
γ4 = −2a23cth H − 4a1 (2a2 + a0) cth H −
−6b23cth 3H + 4a24
σ1
τ
− 3
2
a1,
γ5 = −5
4
a24cth H − 5a23a1cth 2H −
−15
2
a1b23cth 3H − 10b24cth 4H − 21
8
a2
1,
γ6 = −6a24a1cth 2H − 12a1b24cth 4H − a3
1,
а величина a3 может быть определена из уравне-
ний для четвертого приближения.
Таким образом, возмущение поверхности бас-
сейна конечной глубины при нелинейном взаимо-
действии периодических прогрессивных волн пер-
вой и второй гармоник до величин третьего поряд-
ка определяются выражением
ζ = ε cos θ +
3
∑
n=1
εnan cos 2θ +
+
3
∑
n=2
εn
4
∑
j=3
an j cos jθ + ε3
6
∑
n=5
a3n cos nθ,
θ = x + σt , σ = τ + εσ1 + ε2σ2.
Соответствующее выражение можно записать и
для потенциала скорости:
ϕ = εϕ1 + ε2ϕ2 + ε3ϕ3,
где ϕ1, ϕ2, ϕ3 определяются формулами (22), (24),
(26).
В размерных переменных x = x /k, t =
t
/√
kg, ζ = ζ /k, a = ε /k , (где a и k – ам-
плитуда и волновое число основной линейной гар-
моники) выражения для возвышения поверхности
бассейна и потенциала скорости примут вид
ζ = aζ1 + a2k ζ2 + a3k2ζ3, (27)
ϕ = a
√
g/k ϕ1 + a2
√
kg ϕ2 + a3k
√
kg ϕ3. (28)
При этом
θ = kx + σt , σ =
√
kg
(
τ + akσ1 + a2k2σ2
)
,
v =
√
g/k(τ + akσ1 + a2k2σ2),
а ζ1, ζ2, ζ3 имеют вид (21), (23), (25).
Формулы (25)–(28) для ζ и ϕ определяют вол-
новое возмущение и при отказе от учета кривизны
А. Е. Букатов, А. А. Букатов 31
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2008. Том 10, N 2. С. 24 – 35
волнового профиля в выражении для потенциала
скорости (8) на поверхности бассейна [7]. Однако в
таком случае (F 0
2 = F 0
3 = L0
3 = 0) следует учесть,
что
a1 = ±1
2
(cth Hth 2H)1/2 ,
a2 = (w2 − w1) (η3 − η4)
−1
,
σ1 =
1
4
a1τ (4cth 2H + cth H − 3th H) ,
b20 =
1
4
τ2
(
cth 2H − 1
)
+
+a2
1τ
2
(
cth 22H − 1
)
,
a23 = −1
2
a1τ
(
3 (2cth 2H + cth H) +
+ (2cth Hcth 2H − 7) th 3H
)
µ−1
3 ,
a24 = −a2
1τ
2
(
4cth 2H +
+
(
cth 22H − 3
)
th 4H
)
µ−1
4 ,
γ1 = −1
2
b21a1cth H − (a0 + a1a23) cth 2H −
−3
2
a1b23cth 3H − 9
4
a2
1 −
3
8
,
γ2 = − (b21 + a23) cth H − 2a24a1cth 2H −
−3b23cth 3H − 4b24a1cth 4H − 3
(
a3
1 + a1
)
,
γ3 = −a2
(
3
2
cth H + 3cth 2H
)
−
−3
2
(b21a1 + a24) cth H − 3a0cth 2H −
− 6b24cth 4H + 3a23
σ1
τ
− 27
8
a2
1 −
3
8
,
γ4 = −2a23cth H − 4a1 (2a2 + a0) cth H −
−6b23cth 3H + 4a24
σ1
τ
− 3a1,
γ5 = −5
4
a24cth H − 5a23a1cth 2H −
−15
2
a1b23cth 3H − 10b24cth 4H − 45
8
a2
1,
γ6 = −6a24a1cth 2H − 12a1b24cth 4H − 3a3
1,
q1 =
3
∑
n=1
q1n , q2 =
3
∑
n=1
q2n , q3 =
3
∑
n=1
q3n ,
q4 =
2
∑
n=1
q4n , q5 =
2
∑
n=1
q5n ,
q14 = q24 = q34 = q43 = q53 = q61 = b30 = 0.
Все другие обозначения остаются прежними.
Построенные разложения (27), (28) справедли-
вы вне малых окрестностей значений kn, опреде-
ляемых уравнением µn = 0, n = 3, 4, 5, 6.
Из полученных соотношений следует, что хара-
ктеристики формируемых возмущений зависят от
амплитуд взаимодействующих гармоник. Причем
влияние амплитуд на частоту σ и фазовую ско-
рость ν сказывается и в первом и во втором при-
ближениях. В случае бегущих периодических волн
(a1 = 0) обусловленный нелинейностью фазовый
сдвиг возмущений имеет только второй порядок
малости [7, 9, 10].
Величина σ∗ = σ1
√
kg, характеризующая фазо-
вый сдвиг в приближении порядка ε, убывает с
увеличением kH в силу того, что при этом умень-
шается a1. В случае kH >> 1 она практически рав-
на нулю. Если же kH « 1, то
σ∗ = ±3
√
2
8
√
g
H
(1 + α1k2)
(
1 − 1
2
k2H2
)
,
lim
k→0
|σ∗| =
3
√
2
8
√
g
H
.
Пренебрегая кривизной волнового профиля в
выражении для ϕ на поверхности жидкости, по-
лучим σ∗ = ±1
4
√
kg (1 + α1k2) для глубокой воды
(kH >> 1) и
σ∗ = ±3
√
2
8
√
g
H
(1 + α1k2)
(
1 − 5
6
k2H2
)
,
32 А. Е. Букатов, А. А. Букатов
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2008. Том 10, N 2. С. 24 – 35
Рис. 1. Распределение частоты фазового сдвига в
приближении порядка ε по волновому числу
lim
k→0
|σ∗| =
3
√
2
8
√
g
H
в длинноволновом приближении (kH << 1). На-
правленность фазового сдвига, обусловленного
участием второй гармоники в формировании вол-
нового движения, определяется знаком a1.
Полученные формулы показывают, что с увели-
чением длины волны λ (уменьшением волнового
числа k) влияние учета зависимости ζ0 от x и t в
(8) на фазовый сдвиг возмущений, характеризуе-
мый величиной σ∗, убывает.
5. РЕЗУЛЬТАТЫ ЧИСЛЕННЫХ
РАСЧЕТОВ
Для получения количественных оценок хара-
ктеристик формируемого волнового возмущения
капиллярно-гравитационного диапазона проводи-
лись численные расчеты по найденным аналитиче-
ским выражениям, определяющим структуру во-
звышения поверхности жидкости с учетом (вари-
ант 1) и без учета (вариант 2) слагаемых F 0
2 , F 0
3 ,
L0
3 в правых частях уравнений (10), (11) для нели-
нейных приближений.
Распределение фазового сдвига σ∗, обусловлен-
ного участием второй взаимодействующей гар-
моники в формировании возмущений, по волно-
вому числу k иллюстрируют графики на рис.1.
Они получены в случае a1 > 0, H = 2 см
при коэффициентах поверхностного натяжения
Рис. 2. Распределение амплитуды второй
взаимодействующей гармоники по волновому числу
α = 74 дин/см на границе воды с воздухом (ли-
нии 1) и α = 30 дин/см на границе бензола с во-
здухом [11] (линии 2). Видно, что с увеличением α
растет и σ∗. Это изменение усиливается с увеличе-
нием волнового числа. Причем для варианта 2 оно
более заметно, чем для варианта 1. Распределения
же σ∗по k для указанных вариантов при фиксиро-
ванных α отличаются не только количественно, но
и качественно.
Существенное влияние учета слагаемых F 0
2 , F 0
3 ,
L0
3 проявляется и в поведении амплитуды a1 вто-
рой взаимодействующей гармоники как функции
волнового числа. Это показывает сопоставление
графиков a1(k), приведенных на рис.2 штрихо-
выми (вариант 1) и сплошными (вариант2) линия-
ми, где номера 1, 2, 3 отвечают толщинам H жид-
кого слоя, равным 1, 2 и 3 см. Отсюда следует,
что с ростом H амплитуда a1 убывает, достигая
своего предельного значения при меньших волно-
вых числах. Предельное значение равно нулю и 0.5
для вариантов 1 и 2 соответственно. Отметим, что
a1(k) не зависит от α.
Распределения высоты вертикальных смещений
поверхности жидкости вдоль направления распро-
странения волн изображены штриховыми (вари-
ант 1) и сплошными (вариант 2) линиями на рис.
3, 4 при H = 1 см, t = 0, α = 74 дин/см. Эти профи-
ли получены при a3 = 0 для значений амплитуды
a и длины волны λ основной гармоники, равных
соответственно 0.1 см, 6.98 см (рис. 3) и 0.06 см и
1.05 см (рис. 4) при a1 > 0 (рис. 3,a, 4,a) и a1 < 0
(рис. 3,б, 4,б ). Представленные распределения ζ
по x показывают, что формируемые профили вол-
А. Е. Букатов, А. А. Букатов 33
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2008. Том 10, N 2. С. 24 – 35
Рис. 3. Профили возвышения поверхности жидкости при a = 0.1 см, λ = 6.98 см
Рис. 4. Профили возвышения поверхности жидкости при a = 0.06 см, λ = 1.08 см
новых возмущений зависят от знака амплитуды a1
второй взаимодействующей гармоники. При этом
имеют место и заметные отличия в поведении ζ
(x), обусловленные учетом слагаемых F 0
2 , F 0
3 , L0
3.
Они могут проявляться и при a1 = 0 [9].
Зависимость резонансных значений k = kn от
толщины слоя жидкости H при α = 74 дин/см по-
казано на рис. 5, где номерам n, равным 2, 3, 4, 5,
6, соответствуют кривые по порядку сверху вниз.
Отсюда следует, что влияние глубины H , выража-
ющееся в увеличении kn, проявляется только при
H < 1.5 см. При больших H величины kn остаются
практически постоянными. Увеличение коэффи-
циента поверхностного натяжения приводит к ро-
сту соответствующих значений kn, которые дости-
гают своих предельных постоянных величин при
еще меньших толщинах слоя жидкости. В частнос-
ти, для α = 30 дин/см значения kn практически
не ощущают влияния глубины уже при H > 1 см,
а их предельные величины равны 4.04, 3.29, 2.85,
2.55, 2.33 при n, равных 2, 3, 4, 5, 6 соответственно.
Напомним, что указанные точки k = kn являю-
тся сингулярными для построенных решений (20)
при n = 2, 3 и (27), (28) при n = 3, 4, 5, 6. В случае
α = 0 сингулярности отсутствуют.
34 А. Е. Букатов, А. А. Букатов
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2008. Том 10, N 2. С. 24 – 35
Рис. 5. Зависимость резонансных значений волнового
числа от толщины слоя жидкости
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Методом многих масштабов на основе теории не-
линейных волн с учетом капиллярности и измене-
ний потенциала скорости на свободной поверхно-
сти за счет ее деформаций получены уравнения
для определения трех приближений решения за-
дачи о распространении произвольного начально-
го отклонения поверхности слоя однородной иде-
альной несжимаемой жидкости от невозмущенно-
го уровня. В случае периодической бегущей волны
конечной амплитуды и при нелинейном взаимо-
действии бегущих волн первой и второй гармоник
построены решения этих уравнений, определяю-
щие возвышения свободной поверхности и потен-
циал скорости формируемых возмущений с точ-
ностью до величин третьего порядка мало-
сти. Проведен анализ амплитудно-фазовых ха-
рактеристик волновых возмущений капиллярно-
гравитационного диапазона. Дана оценка измене-
ний, вносимых в структуру возмущений учетом
кривизны волнового профиля в выражении потен-
циала скорости на поверхности жидкого слоя при
выводе кинематического и динамического грани-
чных условий для нелинейных приближений.
1. Монин А.С., Красицкий В.П. Явления на поверх-
ности океана.– Л.: Гидрометеоиздат, 1985.– 375с.
2. Сретенский Л.Н. Теория волновых движений.–
М.; Л.: ОНТИ, 1936.– 304 с.
3. Федосенко В.С. Неустановившиеся капиллярно-
гравитационные волны // Морские гидрофизиче-
ские исследования.– 1970.– № 3(49).– С. 78–91.
4. Копачевский Н.Д. Задача Коши для малых движе-
ний идеальной капиллярной вращающейся жид-
кости // Докл. АН СССР. – 1974. – 219, № 16. –
С. 1310–1313.
5. Murray J.C. On the linear capillary-gravity waves
problem // Acta mechanics.– 1975.– 23, № 3.– P.
229–238.
6. Букатов А.Е., Черкесов Л.В. Волны в неодноро-
дном море.– Киев: Наукова думка, 1983.–224 с.
7. Hayfeh A.H. Finite amplitude surface waves in a li-
quid layer // J. of Fluid Mechanics.– 1970.– 40, № 4.–
P. 671–684.
8. Найфе Л.Х. Методы возмущений.– М.: Мир, 1976.–
455 с.
9. Букатов А.Е., Букатов А.А. Капиллярно-
гравитационные волны конечной амплитуды на
поверхности однородной жидкости // Морской
гидрофизический журнал.– 2005.– № 5.– С. 34–46
10. Stokes G.G. On the theory of oscillatory waves //
Math. Phys. Pap. Cambr. Univ. Press.– 1847.– 1.– P.
197-229.
11. Дейли Дж. Механика жидкости.– М.: Энергия,
1971.– 480 с.
А. Е. Букатов, А. А. Букатов 35
|