Модель теплообмiну водного шару i донних вiдкладень у мiлкiй водоймi
В трехмерную модель гидротермодинамики THREETOX включена численная модель теплообмена с дном, которая описывает распределение температуры в донных отложениях. При этом параметризация тепловых потоков в дно включает механизмы вынужденной и свободной конвекции. Для анализа влияния донных тепловых пото...
Gespeichert in:
| Datum: | 2008 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Інститут гідромеханіки НАН України
2008
|
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/4659 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Mодель теплообмiну водного шару i донних вiдкладень у мiлкiй водоймi / Р. Беженар, В. Мадерич // Прикладна гідромеханіка. — 2008. — Т. 10, № 3. — С. 20-27. — Бібліогр.: 13 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-4659 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-46592010-09-07T19:18:12Z Модель теплообмiну водного шару i донних вiдкладень у мiлкiй водоймi Беженар, Р. Мадерич, В. В трехмерную модель гидротермодинамики THREETOX включена численная модель теплообмена с дном, которая описывает распределение температуры в донных отложениях. При этом параметризация тепловых потоков в дно включает механизмы вынужденной и свободной конвекции. Для анализа влияния донных тепловых потоков на суточный режим небольшого озера были проведены численные эксперименты для водоемов различной глубины. Показано, что в результате учета теплообмена с дном повышается температура на глубине водоема и понижается возле поверхности. Это приводит к увеличению турбулентного потока с атмосферы и уменьшению теплоотдачи за счет длинноволнового излучения, в результате чего повышается средняя температура водоема. Модельные расчеты для идеализированных озер показали, что для водоемов, таких как мелкие озера и лагуны, влияние теплообмена с дном существенно в масштабах суточных колебаний. Кроме этого, для мелкого озера наблюдается сглаживание суточных колебаний температуры воды за счет тепловых потоков с дна. В трьохмiрну модель гiдротермодинамiки THREETOX включена чисельна модель теплообмiну з дном, яка описує розподiл температури в донних вiдкладеннях. При цьому параметризацiя теплових потокiв у дно включає механiзми вимушеної i вiльної конвекцiї. Для аналiзу впливу донних теплових потокiв на добовий режим невеликого озера було проведено чисельнi експерименти для водойм рiзної глибини. Показано, що в результатi врахування теплообмiну з дном пiдвищується температура на глибинi водойми i знижується бiля поверхнi. Це призводить до збiльшення турбулентного потоку з атмосфери i зменшення тепловiддачi за рахунок довгохвильового випромiнювання, в результатi чого пiдвищується середня температура водойми. Модельнi розрахунки для iдеалiзованих озер показали, що для водойм, на кшталт мiлких озер та лагун, вплив теплообмiну з дном є суттєвим в масштабах добових коливань. Крiм того, для мiлкого озера спостерiгається згладження добових коливань температури води за рахунок теплових потокiв з дна. A numerical model for the water-bottom heat interaction was included into the three-dimensional model of hydrothermodynamics THREETOX. New model describes the distribution of temperature in sediments. In this model parametrization of heat fluxes through the bottom includes both forced and free convection mechanisms. A number of numerical experiments for different depth water bodies were carried out to analyze influence of bottom heat fluxes on diurnal regime of small lake. It was shown that temperature of near-bottom waters increases while temperature of near-surface waters decreases if we consider water-bottom heat interaction. This leads to increasing of turbulent flux from the atmosphere and decreasing backward due to long-wave radiation. The result of this is increasing of average temperature of the water body. Modeling calculations for idealized lakes shows that the influence of heat interaction with the bottom is essential in a scale of diurnal oscillations for water-bodies such as shallow lakes and lag lagoons. Besides we can observe smoothing of diurnal oscillations of water temperature for shallow lake due to heat fluxes from the bottom. 2008 Article Mодель теплообмiну водного шару i донних вiдкладень у мiлкiй водоймi / Р. Беженар, В. Мадерич // Прикладна гідромеханіка. — 2008. — Т. 10, № 3. — С. 20-27. — Бібліогр.: 13 назв. — укр. 1561-9087 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/4659 532.465 uk Інститут гідромеханіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
В трехмерную модель гидротермодинамики THREETOX включена численная модель теплообмена с дном, которая описывает распределение температуры в донных отложениях. При этом параметризация тепловых потоков в дно включает механизмы вынужденной и свободной конвекции. Для анализа влияния донных тепловых потоков на суточный режим небольшого озера были проведены численные эксперименты для водоемов различной глубины. Показано, что в результате учета теплообмена с дном повышается температура на глубине водоема и понижается возле поверхности. Это приводит к увеличению турбулентного потока с атмосферы и уменьшению теплоотдачи за счет длинноволнового излучения, в результате чего повышается средняя температура водоема. Модельные расчеты для идеализированных озер показали, что для водоемов, таких как мелкие озера и лагуны, влияние теплообмена с дном существенно в масштабах суточных колебаний. Кроме этого, для мелкого озера наблюдается сглаживание суточных колебаний температуры воды за счет тепловых потоков с дна. |
| format |
Article |
| author |
Беженар, Р. Мадерич, В. |
| spellingShingle |
Беженар, Р. Мадерич, В. Модель теплообмiну водного шару i донних вiдкладень у мiлкiй водоймi |
| author_facet |
Беженар, Р. Мадерич, В. |
| author_sort |
Беженар, Р. |
| title |
Модель теплообмiну водного шару i донних вiдкладень у мiлкiй водоймi |
| title_short |
Модель теплообмiну водного шару i донних вiдкладень у мiлкiй водоймi |
| title_full |
Модель теплообмiну водного шару i донних вiдкладень у мiлкiй водоймi |
| title_fullStr |
Модель теплообмiну водного шару i донних вiдкладень у мiлкiй водоймi |
| title_full_unstemmed |
Модель теплообмiну водного шару i донних вiдкладень у мiлкiй водоймi |
| title_sort |
модель теплообмiну водного шару i донних вiдкладень у мiлкiй водоймi |
| publisher |
Інститут гідромеханіки НАН України |
| publishDate |
2008 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/4659 |
| citation_txt |
Mодель теплообмiну водного шару i донних вiдкладень у мiлкiй водоймi / Р. Беженар, В. Мадерич // Прикладна гідромеханіка. — 2008. — Т. 10, № 3. — С. 20-27. — Бібліогр.: 13 назв. — укр. |
| work_keys_str_mv |
AT beženarr modelʹteploobminuvodnogošaruidonnihvidkladenʹumilkijvodojmi AT maderičv modelʹteploobminuvodnogošaruidonnihvidkladenʹumilkijvodojmi |
| first_indexed |
2025-07-02T07:54:04Z |
| last_indexed |
2025-07-02T07:54:04Z |
| _version_ |
1836520932542251008 |
| fulltext |
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2008. Том 10, N 3. С. 20 – 27
УДК 532.465
МОДЕЛЬ ТЕПЛООБМIНУ ВОДНОГО ШАРУ I ДОННИХ
ВIДКЛАДЕНЬ У МIЛКIЙ ВОДОЙМI
Р. Б ЕЖ ЕН А Р∗, В. М АД Е РИ Ч∗∗
∗Iнститут проблем математичних машин i систем НАН України, Київ
∗∗Department of Environmental Science, Hankuk University of Foreign Studies, Yongin Shi, Kyoungki Do,
Korea
Получено 27.02.2008
В трьохмiрну модель гiдротермодинамiки THREETOX включена чисельна модель теплообмiну з дном, яка описує
розподiл температури в донних вiдкладеннях. При цьому параметризацiя теплових потокiв у дно включає меха-
нiзми вимушеної i вiльної конвекцiї. Для аналiзу впливу донних теплових потокiв на добовий режим невеликого
озера було проведено чисельнi експерименти для водойм рiзної глибини. Показано, що в результатi врахування
теплообмiну з дном пiдвищується температура на глибинi водойми i знижується бiля поверхнi. Це призводить до
збiльшення турбулентного потоку з атмосфери i зменшення тепловiддачi за рахунок довгохвильового випромiню-
вання, в результатi чого пiдвищується середня температура водойми. Модельнi розрахунки для iдеалiзованих озер
показали, що для водойм, на кшталт мiлких озер та лагун, вплив теплообмiну з дном є суттєвим в масштабах до-
бових коливань. Крiм того, для мiлкого озера спостерiгається згладження добових коливань температури води за
рахунок теплових потокiв з дна.
В трехмерную модель гидротермодинамики THREETOX включена численная модель теплообмена с дном, которая
описывает распределение температуры в донных отложениях. При этом параметризация тепловых потоков в дно
включает механизмы вынужденной и свободной конвекции. Для анализа влияния донных тепловых потоков на
суточный режим небольшого озера были проведены численные эксперименты для водоемов различной глубины.
Показано, что в результате учета теплообмена с дном повышается температура на глубине водоема и понижается
возле поверхности. Это приводит к увеличению турбулентного потока с атмосферы и уменьшению теплоотдачи за
счет длинноволнового излучения, в результате чего повышается средняя температура водоема. Модельные расчеты
для идеализированных озер показали, что для водоемов, таких как мелкие озера и лагуны, влияние теплообмена
с дном существенно в масштабах суточных колебаний. Кроме этого, для мелкого озера наблюдается сглаживание
суточных колебаний температуры воды за счет тепловых потоков с дна.
A numerical model for the water-bottom heat interaction was included into the three-dimensional model of
hydrothermodynamics THREETOX. New model describes the distribution of temperature in sediments. In this model
parametrization of heat fluxes through the bottom includes both forced and free convection mechanisms. A number of
numerical experiments for different depth water bodies were carried out to analyze influence of bottom heat fluxes on
diurnal regime of small lake. It was shown that temperature of near-bottom waters increases while temperature of near-
surface waters decreases if we consider water-bottom heat interaction. This leads to increasing of turbulent flux from the
atmosphere and decreasing backward due to long-wave radiation. The result of this is increasing of average temperature
of the water body. Modeling calculations for idealized lakes shows that the influence of heat interaction with the bottom
is essential in a scale of diurnal oscillations for water-bodies such as shallow lakes and lagoons. Besides we can observe
smoothing of diurnal oscillations of water temperature for shallow lake due to heat fluxes from the bottom.
ВСТУП
Мiлкi водойми мають важливi особливостi, якi
призводять до сильної взаємодiї мiж фiзичними,
хiмiчними та бiологiчними процесами [1, 2]. Ко-
роткохвильова сонячна радiацiя, яка досягає дна,
пiдвищує температуру води та поверхнi дна, ви-
кликає розвиток донної рослинностi та впливає,
поряд з температурою водного шару, на темпе-
ратурний режим донних вiдкладень, в яких за-
лежнiсть швидкостi протiкання бiохiмiчних реа-
кцiй вiд температури води є визначальною. В той
самий час, поверхневi хвилi в таких водоймах про-
никають до дна i разом з течiями збурюють дон-
нi вiдкладення, зменшуючи прозорiсть води. В
свою чергу, рослиннiсть впливає на гiдродинамi-
чну шершавiсть дна водойми, гасячи поверхневi
хвилi i, тим самим, збiльшуючи прозорiсть води та
змiнюючи профiль течiй i перенос поживних речо-
вин.
При моделюваннi цих процесiв важливу роль
грає правильний опис теплового режиму водойм.
У бiльшостi гiдродинамiчних моделей при описi
теплового балансу водойм, за винятком небагатьох
(напр. [3, 4]), iгнорується теплообмiн з дном. Це
пояснюється тим, що в глибоких басейнах вели-
чина теплового потоку в дно значно менша у по-
рiвняннi з тепловими потоками на поверхнi i пе-
реносом тепла за рахунок течiй. Але теплообмiн
водного шару та донних вiдкладень може бути ва-
жливим в сезонному масштабi для озер у помiрнiй
зонi, якi взимку покритi льодом. Наприклад, тем-
пература в мiлкому озерi, iзольованому вiд атмо-
сферного впливу льодом з шаром снiгу, вища на 1–
2◦С за рахунок потоку тепла з донних вiдкладень
[5]. У мiлких лагунах, озерах i рiчках нагрiвання
води i дна за рахунок сонячної радiацiї вдень i охо-
20 c© Р. Беженар, В. Мадерич, 2008
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2008. Том 10, N 3. С. 20 – 27
лодження за рахунок довгохвильового випромiню-
вання вночi може створити значнi тепловi потоки,
хоча при усередненнi за день цi потоки можуть
бути близькими до нуля [6].
Теплообмiн з донними вiдкладеннями повинен
братися до уваги в тепловому балансi областей,
частково покритих тонким шаром води в приплив-
нiй зонi. Крiм того, моделювання теплообмiну з
дном є природною параметризацiєю термодинамi-
ки в тонкому штучному шарi при використаннi
властивостi ”затоплення–осушення”, що є необхi-
дним при моделюваннi областей, якi знаходяться
в зонi припливiв. Наближення, в якому темпера-
тура води прямує до атмосферної температури [7],
не можна застосовувати у випадку, коли реальна
температура води значно вiдрiзняється вiд темпе-
ратури атмосфери.
В данiй статтi описано нову, бiльш загальну, мо-
дель теплообмiну водного шару з донними вiдкла-
деннями, яка була розроблена для трьохвимiрної
гiдродинамiчної моделi THREETOX [8, 9]. Про-
аналiзовано вплив цього теплообмiну на розподiл
температури в озерах.
1. ОСНОВНI РIВНЯННЯ МОДЕЛI
THREETOX
В наближеннi Бусiнеска та гiдростатики систе-
ма усереднених по Рейнольдсу рiвнянь нерозрив-
ностi, руху i переносу тепла та солi в декартових
координатах має вигляд [8, 9]:
~∇ · ~U = 0, (1)
∂u
∂t
+ U · ∇u− fv = − 1
ρ0
∂P
∂x
+
+
∂
∂z
(
(νt + νf)
∂u
∂z
)
+ Fx, (2)
∂v
∂t
+ U · ∇v + fu = − 1
ρ0
∂P
∂y
+
+
∂
∂z
(
(νt + νf)
∂v
∂z
)
+ Fy, (3)
∂T
∂t
+ U · ∇T =
∂
∂z
(
(ν ′t + ν ′f)
∂T
∂z
)
+
+FT +
1
ρ0cpw
∂I
∂z
, (4)
∂S
∂t
+ U · ∇S =
∂
∂z
(
(ν ′t + ν ′f)
∂S
∂z
)
+ FS , (5)
ρ = ρ (T, S, P ) , (6)
P (x, y, z, t) = Pa + gρ0 (η − z) +
+g
η
∫
z
ρ (x, y, z′, t)dz′, (7)
де U = (u, v, w) – вектор швидкостi; ~x = (x, y, z);
координата z вiдраховується вверх вiд незбуреної
поверхнi води; T и S – температура i солонiсть
вiдповiдно; η – вiдхилення вiльної поверхнi вiд не-
збуреного значення; f – параметр Корiолiса; P –
тиск; Pa – атмосферний тиск; ρ – густина води;
ρo = 1000 кг м−3 – незбурена густина води; g –
прискорення вiльного падiння; νt i ν ′t – коефiцiєн-
ти вертикальної турбулентної в’язкостi i дифузiї
вiдповiдно; Fx, Fy, FT , FS – доданки, що описують
горизонтальну в’язкiсть i дифузiю; νf i ν ′f – фоновi
значення коефiцiєнтiв вертикальної в’язкостi i ди-
фузiї вiдповiдно; I(z) – потiк сонячної радiацiї; cpw
– теплоємнiсть води. В данiй роботi в якостi рiвня-
ння стану використовуються рiвняння UNESCO у
формi [10], яке добре себе зарекомендувало в ши-
рокому дiапазонi солоностi i температури.
Для опису турбулентностi використовується k−
ε модель, яка детально описана в [8]. Як граничнi
умови для дна використовуються умови прилипа-
ння та вiдсутностi потокiв скалярних величин. На
вiльнiй поверхнi z = η задаються дотичнi напру-
ження, якi виникають за рахунок вiтру, а також
потоки тепла, розрахованi в залежностi вiд темпе-
ратури повiтря, вологостi, хмарностi, атмосферно-
го тиску та кута падiння сонячних променiв. Де-
тальнiше розглянемо параметризацiю потокiв те-
пла через поверхню води. Граничнi умови для те-
плових потокiв на вiльнiй поверхнi мають вигляд:
ρ0cpwν
′
t
∂T
∂z
= Q. (8)
Потiк тепла через поверхню водойми Q включає в
себе потiк сонячної радiацiї Qs, затрати тепла на
випаровування Qe, турбулентний потiк тепла Qh,
i баланс довгохвильового випромiнювання Qb:
Q = (1 − γ)Qs +Qe +Qh +Qb, (9)
де γ – доля сонячної радiацiї, поглинута товщею
води. При γ=0 вся сонячна радiацiя поглинається
поверхнею, при γ=1 – проникає в воду. Потiк соня-
чної радiацiї Qs, який залежить вiд температури
повiтря, кута падiння сонячних променiв, альбедо,
вологостi, хмарностi, тиску насиченої водяної па-
ри в повiтрi, атмосферного тиску, розраховувався
згiдно спiввiдношень, наведених у [8].
Р. Беженар, В. Мадерич 21
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2008. Том 10, N 3. С. 20 – 27
Баланс довгохвильового випромiнювання обчи-
слюється згiдно [11]:
Qb = (1 − 0.75n0.75)(σT 4
a ×
×0.05
√
0.01re(Ta) − 0.4 + 4σT 3
a (Ta − Ts)), (10)
де σ = 5.67 · 10−8Вт м−2K−4 – стала Стефана-
Больцмана; n – хмарнiсть; Ts – температура по-
верхнi водойми; Ta – температура повiтря.
Турбулентний потiк тепла i затрати тепла на ви-
паровування розраховуються згiдно [12]:
Qh = cpaρaκu∗
Ta − Ts
ln za
z0
− ψh
, (11)
Qe = ρaLvκu∗
qa − qs
ln
(
ku∗za
χa
+ za
z0
)
− ψh
, (12)
де ρa – густина повiтря; za – висота вимiрiв над
поверхнею води; z0 – параметр шороховатостi по-
верхнi водойми; cpa – теплоємнiсть повiтря: Lv –
теплота випаровування; κ = 0.4 – стала Карма-
на; qa i qs – питома вологiсть на висотi za i бiля
поверхнi води вiдповiдно:
qa =
0.622re(Ta)
Pa − 0.378re(Ta)
, qs =
0.622e(Ta)
Pa − 0.378e(Ta)
, (13)
де r – вiдносна вологiсть; e(Ta) – тиск насиченої
водяної пари; χa = 2.4 ·10−5м2с−1 – коефiцiєнт мо-
лекулярної дифузiї повiтря; ψm i ψh – унiверсаль-
нi безрозмiрнi функцiї, детальне означення яких
проводиться в [12]; u∗ – динамiчна швидкiсть:
u∗ = max
(
κV
ln za
z0
− ψm
, 0
)
, (14)
де V – параметр [12], що характеризує вклад швид-
костi вiтру Va на рiвнi za i конвективних рухiв
(”конвективної швидкостi”) Vc:
V =
√
V 2
a + V 2
c , (15)
Vc =
0, Ts ≤ Ta
√
(Ts − Ta)gza
Ta
, Ts ≥ Ta.
. (16)
Рiвняння гiдротермодинамiки водойми розв’я-
зувалися чисельно з використанням кiнцево-
рiзницевих методiв. Опис розрахункових алгори-
тмiв мiститься в [8, 9].
Рис. 1. Схема теплообмiну води з дном:
1 – вода; 2 – шар дна, що бере участь в теплообмiнi;
3 – глибинний шар дна, де T = T∞
2. МОДЕЛЬ ТЕПЛООБМIНУ З ДНОМ
Схематично теплообмiн води з дном зображено
на рис. 1. На вiдмiну вiд [3], де розраховувалася
тiльки середня температура шару, що бере участь
в теплообмiнi, в данiй моделi розподiл тепла в днi
описується рiвнянням теплопровiдностi
∂TB
∂t
= χb
∂2TB
∂z′2
(17)
з граничними умовами
ρbcpbχ
∂TB
∂z′
|z′=0 = QWB , TB |z′→∞ = T∞, (18)
де z′ = −z − H , ρb i cpb – густина i питома те-
плоємнiсть дна вiдповiдно; χb – коефiцiєнт тепло-
провiдностi дна; T∞ – незмiнна температура дна
на великiй глибинi; QWB – потiк тепла через ме-
жу роздiлу вода-дно (z′ = 0), що включає в себе
турбулентний потiк тепла QHB i короткохвильову
радiацiю QSB :
QWB = QHB +QSB. (19)
Турбулентний потiк може бути записаний, вико-
ристовуючи формулу
QHB = ρcpw(λ1 + λ2)(T − TB), (20)
де λ1 – коефiцiєнт теплопередачi для вимушеної
конвекцiї –
λ1 = CHB
√
u2 + v2, (21)
λ2 – коефiцiєнт теплопередачi для вiльної конве-
кцiї –
λ2 = C0
[
(TB − T )
gβν
Pr
]1/3
; (22)
22 Р. Беженар, В. Мадерич
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2008. Том 10, N 3. С. 20 – 27
CHB = 1.1 · 10−3 – стала теплопередачi для виму-
шеної конвекцiї; C0 = 0.14 – стала теплопередачi
для вiльної конвекцiї; u i v – горизонтальнi компо-
ненти швидкостi води на деякiй невеликiй вiдстанi
вiд дна; ν i χw – кiнематична в’язкiсть i теплопро-
вiднiсть води вiдповiдно;
Pr =
ν
χw
; β = − 1
ρ0
(
∂ρ
∂T
)
p
;
Pr – число Прандтля; β – коефiцiєнт термiчного
розширення.
Потiк короткохвильової радiацiї на днi враховує
поглинання товщею води:
QSB = I(−H) = γQS
(
ae
−
H
h1 + (1 − a)e
−
H
h2
)
,
(23)
де H – товщина водного шару; I0 – потiк коро-
ткохвильової радiацiї, який падає на поверхню во-
ди; h1 i h2 – характернi глибини затухання (швид-
кого для ”червоної” складової свiтла i повiльно-
го для ”голубої” складової свiтла); параметр
0≤ a ≤1. Задача (17)-(18) з вiдповiдними поча-
тковими умовами розв’язувалась чисельно явним
кiнцево-рiзницевим методом.
3. ПЕРIОДИЧНИЙ АНАЛIТИЧНИЙ
РОЗВ’ЯЗОК (ТЕПЛОВА ХВИЛЯ) ДЛЯ
ГРАНИЧНИХ УМОВ ТРЕТЬОГО РОДУ
Запишемо крайову задачу теплопровiдностi на
напiвнескiнченному вiдрiзку з граничними умова-
ми третього роду у виглядi:
∂TB
∂t
= χb
∂2TB
∂z′2
; (24)
z′ = 0 : χb
∂TB
∂z′
= −λ(T − TB); (25)
z′ → ∞ : TB → T∞. (26)
Нехай температура води поблизу дна змiнює-
ться перiодично за законом
T = T0e
iωt + T∞. (27)
Будемо шукати розв’язок задачi (24)-(26) у ви-
глядi
TB = Θ(z)eiωt + T∞. (28)
Пiсля пiдстановки (27) i (28) в (24)-(26) отрима-
ємо
iωΘ = χb
∂2Θ
∂z2
; (29)
z = 0 : χb
∂Θ
∂z′
= −λ(T0 − Θ); (30)
z′ → ∞ : Θ → 0. (31)
Рис. 2. Порiвняння чисельного та аналiтичного
розв’язкiв рiвняння теплопровiдностi в днi
Розв’язок задачi (29)-(31) має вигляд
Θ = Θ0exp
(
−
√
i
z′
d
)
, (32)
де
Θ0 =
T0
1 +
√
ia
, a =
√
ωχb
λ
, d =
√
χb
ω
. (33)
Пiсля вiдокремлення дiйсної частини отримаємо
наступний розв’язок:
TB(t, z′) = T∞ +
T0
1 +
√
2a+ a2
exp
(
−
√
2z′
2d
)
×
×
[(
1 +
√
2
2
a
)
cos
(
ωt −
√
2z′
2d
)
+
+
√
2
2
a sin
(
ωt−
√
2z′
2d
)]
. (34)
Порiвняння чисельного i аналiтичного розв’яз-
кiв рiвняння теплопровiдностi в днi зображено на
рис. 2. Чисельний розрахунок проводився при ча-
совому кроцi 1 с i глибинi донного шару 2 м. Тем-
пература води бiля дна змiнювалася з перiодом 1
доба i з амплiтудою 3 ◦C. Значення питомої тепло-
ємностi та коефiцiєнту теплопровiдностi в донних
вiдкладеннях залежать вiд типу вiдкладень та змi-
нюються у широкому дiапазонi [13]. Тут ми для пi-
счаного дна ρB = 1800 кг·м−3 використали середнi
значенння цих параметрiв cpb = 2300 Дж/(кг◦C) i
χb = 6.45 · 10−7 м2/c. На рис. 2 видно, що при
Р. Беженар, В. Мадерич 23
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2008. Том 10, N 3. С. 20 – 27
Рис. 3. Профiлi температури води вдень (а) та вночi (б) для мiлкого озера. Суцiльною лiнiєю позначений
випадок з теплообмiном мiж водою i дном (γ = 1), а штриховою – без теплообмiну, коли все атмосферне
тепло поглинається верхнiм шаром води (γ = 0)
Рис. 4. Профiлi температури води вдень (а) та вночi (б) для середнього озера. Позначення див. на рис. 3
Рис. 5. Профiлi температури води вдень (а) та вночi (б) для глибокого озера. Позначення див. на рис. 3
24 Р. Беженар, В. Мадерич
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2008. Том 10, N 3. С. 20 – 27
Рис. 6. Поширення тепла в днi для мiлкого (а), середнього (б) i глибокого (в) озера для рiзних перiодiв доби
500 вертикальних розрахункових рiвнях практи-
чно досягається сходження чисельного i аналiти-
чного розв’язкiв. При 100 вертикальних рiвнях
сходження також непогане, враховуючи, що при
цьому час розрахунку гiдротермодинамiки всiєї
водойми збiльшується всього на 5-6% за рахунок
включення теплообмiну з дном.
4. ВПЛИВ ТЕПЛООБМIНУ ВОДНОГО
ШАРУ I ДОННИХ ВIДКЛАДЕНЬ
НА ТЕПЛОВИЙ БАЛАНС ВОДОЙМ
Для моделювання впливу теплообмiну води з
дном на тепловий баланс водних об’єктiв було взя-
то 3 невеликих гiпотетичних круглих озера дiа-
метром 2000 м з параболiчним рельєфом. Макси-
мальне значення глибини, що вiдповiдало центру
озера, становило 1 м для мiлкого озера, 5 м – для
середнього i 10 м – для глибокого. Температура
атмосфери, хмарнiсть, вологiсть та атмосферний
тиск змiнювались перiодично з перiодом 1 день.
При цьому середня температура становила 24◦C,
хмарнiсть – 0.36, вiдносна вологiсть – 0.38, атмо-
сферний тиск – 100100 Па. Вiтер також змiнював-
ся перiодично як за напрямком, так i за модулем;
максимальна швидкiсть вiтру становила 4 м/с. По-
чаткова температура води та дна для кожного озе-
ра була рiзною i дорiвнювала середньому значен-
ню температури води пiсля встановлення перiоди-
чного температурного режиму. Так для мiлкого
озера початкова температура води та дна станови-
ла 24.0◦C, для середнього – 23.5◦C, для глибокого
– 23.0◦C. Це було зроблено для того, щоб врахову-
вати вплив теплообмiну з дном на тепловий режим
водойм виключно в денному масштабi.
Для кожного з озер було проведено два варiанти
розрахунку: все тепло з атмосфери поглинається
поверхнею води (γ = 0) i при цьому немає обмiну з
дном або тепло розподiляється по всiй товщi води
(γ = 1) за експоненцiальним законом (23), причо-
му частина тепла поглинається дном з наступним
теплообмiном з водою. В даному дослiдженнi ви-
користовувались наступнi константи: h1 = 0.5 м;
h2 = 7.0 м; a = 0.67. Данi значення констант вiд-
повiдають реальнiй досить прозорiй водоймi.
Для мiлкого озера врахування теплообмiну з
дном призводить до зменшення рiзницi мiж ма-
ксимальним i мiнiмальним значеннями середньої
по басейну температури. Тобто поглинання тепла
шаром донних вiдкладень згладжує температурнi
коливання в водi. При цьому значення середньої
температури зростає на 0.1◦C. Врахування тепло-
обмiну з дном також впливає на профiль темпера-
тури в водi (рис. 3): температура стає практично
незалежною вiд глибини, тодi як у випадку погли-
нання всього тепла поверхнею води без врахуван-
ня теплообмiну з дном iснує суттєва стратифiка-
Р. Беженар, В. Мадерич 25
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2008. Том 10, N 3. С. 20 – 27
Рис. 7. Кондуктивнi потоки тепла в дно QHB в мiлкому, середньому i глибокому озерах
цiя.
Для середнього i глибокого озер також спосте-
рiгається пiдвищення середньої по басейну темпе-
ратури, яке пояснюється тим, що при цьому пiд-
вищується температура на глибинi i знижується
бiля поверхнi (рис. 4, 5) за рахунок поглинання
сонячної радiацiї та перерозподiлу теплових пото-
кiв. Це призводить до збiльшення турбулентного
потоку з атмосфери i зменшення тепловiддачi за
рахунок довгохвильового випромiнювання. Тобто,
при нижчiй поверхневiй температурi бiльше тепла
потрапляє в воду i менше випромiнюється.
Поширення тепла в днi для мiлкого, середнього
i глибокого озер в один i той же момент часу пока-
зане на рис. 6. В денному масштабi тепловi хвилi
проникають в дно приблизно на 0.7 м, що узгоджу-
ється з аналiтичним розв’язком, а їхнi амплiтуда
та фаза залежать вiд глибини озера.
Кондуктивний потiк тепла в дно, усереднений
по басейну, для трьох випадкiв пiсля встановлення
стацiонарного режиму, зображений на рис. 7. При
цьому сумарний кондуктивний потiк в дно за день
практично нульовий. На рис. 8 зображенi тепло-
вi потоки для мiлкого озера. Видно, що величина
потоку сонячної радiацiї в дно одного порядку з
сумарним тепловим потоком через поверхню во-
ди. З (рис. 7, 8) можна сказати, що для мiлкого
озера, на вiдмiну вiд середнього i глибокого, те-
пловi потоки в дно суттєвi у порiвняннi з iншими
тепловими потоками, якi зазвичай враховуються
при моделюваннi теплового режиму водойми. То-
му нехтувати тепловими потоками в дно при мо-
делюваннi теплового режиму мiлкого озера не мо-
жна.
ВИСНОВКИ
В роботi запропонована нова модель теплооб-
мiну водного шару та донних вiдкладень у водо-
ймах, в якiй врахований прямий нагрiв дна соня-
чним промiнням та турбулентний обмiн за раху-
нок вимушеної та вiльної конвекцiї. Розподiл тем-
ператури в донних вiдкладеннях описується рiв-
нянням теплопровiдностi. Модель була використа-
на для розрахунку теплообмiну в тривимiрнiй гi-
дротермодинамiчнiй моделi водойм THREETOX.
Показано, що в результатi врахування теплообмi-
ну з дном пiдвищується температура на глибинi
водойми i знижується бiля поверхнi. Це призво-
дить до збiльшення турбулентного потоку з атмо-
сфери i зменшення тепловiддачi за рахунок дов-
гохвильового випромiнювання, в результатi чого
середня температура водойми пiдвищується. Мо-
дельнi розрахунки для iдеалiзованих озер показа-
ли, що для водойм, на кшталт мiлких озер та ла-
гун, вплив теплообмiну с дном є суттєвим у мас-
штабах добових коливань.
26 Р. Беженар, В. Мадерич
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2008. Том 10, N 3. С. 20 – 27
Рис. 8. Тепловi потоки в мiлкому озерi Qi. Тут 1 – потiк сонячної радiацiї в дно QSB ;
2 – кондуктивний потiк тепла в дно QHB ; 3 – сумарний потiк тепла з дна в воду QW B ;
4 – сумарний потiк тепла через поверхню води Q
This work was supported by Hankuk University of
Foreign Studies Research Fund of 2008.
1. Teeter A.M., Johnson B.H., Berger C., Stelli-
ng G., Scheffner N.W., Garcia M.H., Parchure T.M.
Hydrodynamic and sediment transport modeling wi-
th emphasis on shallow-water, vegetated areas (lakes,
reservoirs, and lagoons) // Hydrobiologia.– 2001.–
444.– P. 1–23.
2. Houwing E.J. , Tanczos I.C., Kroon A. de Vries M.B.
Interaction of submerged vegetation, hydrodynami-
cs and turbidity; analysis of field and laboratory
studies // Fine Sediments Dynamics in the Mari-
ne Environment.– Proceedings of INTERCOH-2000.
ed. J.C. Winterwerp and C. Kranenburg, Elsevier,
Proceedings in Marine Sciences, Vol 5, 2002.– P. 441–
454.
3. Jin K.R., Hamrick J.M., Tisdale T. Application of
a threedimensional hydrodynamic model for Lake
Okeechobee // Journal of Hydraulic Engineering,
ASCE.– 2001.– 126.– P. 758–771.
4. Wu J., Buchak E.M., Edinger J.E., Kolluru V.S.
Simulation of cooling-water discharges from power
plants // Journal of Environmental Management.–
2001.– 61.– P. 77–92.
5. Fang X., Stefan H. G. Dynamics of heat exchange
between sediment and water in a lake // Water
Resour. Res..– 1996.– 32.– P. 1719–1727.
6. Smith N.P. Observations and simulations of water-
sediment heat exchange in a shallow coastal lagoon //
Estuaries.– 2002.– 25.– P. 483–487.
7. Oey L.W. An OGCM with movable land-sea
boundaries // Ocean Modelling.– 2006.– 13.– P. 176-
195.
8. Кошебуцкий В., Мадерич В., Нестеров А., Хелинг
Р. Моделирование распространения тепла во вну-
тренних водах и прибрежных областях морей //
Прикладная гидромеханика.– 2004.– 6.– С. 205-
230.
9. Maderich V, Heling R, Bezhenar R, Brovchenko I,
Jenner H, Koshebutsky V, Kuschan A, Terletska K.
Development and application of 3D numerical model
THREETOX to the prediction of cooling water
transport and mixing in the inland and coastal
waters // Hydrological Processes.– 2008.– 22.–
P. 265–277.
10. Mellor G.L. An equation of state for numerical
models of ocean and estuaries // J. Atmos. Ocean.
Tech.– 1991.– 8.– P. 609–611.
11. Zapadka T., Wozniak S.B., Wozniak B. A simple
formula for the net long-wave radiation flux in the
southern Baltic Sea // Oceanologia.– 2001.– 43.–
P. 265–277.
12. Blackadar A. High resolution models of the planetary
boundary layer // Advances in Environmental Sci-
ence and Engineering.– 1989, No 1. Pfafflin and Zi-
egler, Eds. Gordon and Briech, NY.– P. 50–85.
13. Fang X., Stefan H. A temperature variability in lake
sediments // Water Resources Research.– 1998.– 34.–
P. 717–729.
Р. Беженар, В. Мадерич 27
|