Колебания круглой линейно-вязкоупругой трехслойной пластинки
Рассмотрены свободные и вынужденные колебания круглой трехслойной вязкоупругой несимметричной по толщине пластинки. Для описания кинематики пакета приняты гипотезы ломаной нормали. Заполнитель - легкий. Аналитическое решение получено с помощью метода усреднения в динамических задачах вязкоупругос...
Gespeichert in:
| Datum: | 2001 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України
2001
|
| Schriftenreihe: | Проблемы прочности |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/46598 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Колебания круглой линейно-вязкоупругой трехслойной пластинки / А.Г. Горшков, Э.И. Старовойтов, А.В. Яровая // Проблемы прочности. — 2001. — № 3. — С. 100-107. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-46598 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-465982013-07-01T23:07:35Z Колебания круглой линейно-вязкоупругой трехслойной пластинки Горшков, А.Г. Старовойтов, Э.И. Яровая, А.В. Научно-технический раздел Рассмотрены свободные и вынужденные колебания круглой трехслойной вязкоупругой несимметричной по толщине пластинки. Для описания кинематики пакета приняты гипотезы ломаной нормали. Заполнитель - легкий. Аналитическое решение получено с помощью метода усреднения в динамических задачах вязкоупругости с использованием гипотезы подобия ядер релаксации материалов слоев. Розглянуто вільні та вимушені коливання круглої тришарової в ’язкопружної несиметричної по товщині пластинки. Для опису кінематики пакета прийнято гіпотези ломаної нормалі. Заповнювач - легкий. Аналітичне рішення отримано за допомогою методу усереднення в динамічних задачах в ’язко- пружності з використанням гіпотези подібності ядер релаксації матеріалів шарів. We analyze free and forced oscillations of a circular linearly viscoelastic three-layered disk which is asymmetrical by thickness. In order to describe the kinematics of the package we applied the broken normal line hypotheses. Filler was taken to be light. The analytical solution was obtained using the averaging method for dynamical problems of viscoelasticity, using the hypothesis of similarity for the kernels of the material layers. 2001 Article Колебания круглой линейно-вязкоупругой трехслойной пластинки / А.Г. Горшков, Э.И. Старовойтов, А.В. Яровая // Проблемы прочности. — 2001. — № 3. — С. 100-107. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. 0556-171X http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/46598 539.3 ru Проблемы прочности Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Научно-технический раздел Научно-технический раздел |
| spellingShingle |
Научно-технический раздел Научно-технический раздел Горшков, А.Г. Старовойтов, Э.И. Яровая, А.В. Колебания круглой линейно-вязкоупругой трехслойной пластинки Проблемы прочности |
| description |
Рассмотрены свободные и вынужденные колебания круглой трехслойной вязкоупругой несимметричной
по толщине пластинки. Для описания кинематики пакета приняты гипотезы
ломаной нормали. Заполнитель - легкий. Аналитическое решение получено с помощью
метода усреднения в динамических задачах вязкоупругости с использованием гипотезы
подобия ядер релаксации материалов слоев. |
| format |
Article |
| author |
Горшков, А.Г. Старовойтов, Э.И. Яровая, А.В. |
| author_facet |
Горшков, А.Г. Старовойтов, Э.И. Яровая, А.В. |
| author_sort |
Горшков, А.Г. |
| title |
Колебания круглой линейно-вязкоупругой трехслойной пластинки |
| title_short |
Колебания круглой линейно-вязкоупругой трехслойной пластинки |
| title_full |
Колебания круглой линейно-вязкоупругой трехслойной пластинки |
| title_fullStr |
Колебания круглой линейно-вязкоупругой трехслойной пластинки |
| title_full_unstemmed |
Колебания круглой линейно-вязкоупругой трехслойной пластинки |
| title_sort |
колебания круглой линейно-вязкоупругой трехслойной пластинки |
| publisher |
Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України |
| publishDate |
2001 |
| topic_facet |
Научно-технический раздел |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/46598 |
| citation_txt |
Колебания круглой линейно-вязкоупругой трехслойной
пластинки / А.Г. Горшков, Э.И. Старовойтов, А.В. Яровая // Проблемы прочности. — 2001. — № 3. — С. 100-107. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. |
| series |
Проблемы прочности |
| work_keys_str_mv |
AT gorškovag kolebaniâkruglojlinejnovâzkouprugojtrehslojnojplastinki AT starovojtovéi kolebaniâkruglojlinejnovâzkouprugojtrehslojnojplastinki AT ârovaâav kolebaniâkruglojlinejnovâzkouprugojtrehslojnojplastinki |
| first_indexed |
2025-07-04T05:57:59Z |
| last_indexed |
2025-07-04T05:57:59Z |
| _version_ |
1836694823105462272 |
| fulltext |
УДК 539.3
Колебания круглой линейно-вязкоупругой трехслойной
пластинки
А. Г. Горш кова, Э. И. Старовойтов6, А. В. Я ровая6
а Московский государственный авиационный институт, Москва, Россия
6 Белорусский государственный университет транспорта, Гомель, Беларусь
Рассмотрены свободные и вынужденные колебания круглой трехслойной вязкоупругой не
симметричной по толщине пластинки. Для описания кинематики пакета приняты гипотезы
ломаной нормали. Заполнитель - легкий. Аналитическое решение получено с помощью
метода усреднения в динамических задачах вязкоупругости с использованием гипотезы
подобия ядер релаксации материалов слоев.
О б о з н а ч е н и я
К
у ( х, г )
ц(г , г )
г, г )
и(г, г )
о к
о *
Гк ( г )
Р к
3 о, 1 о
в п
£1
® п
п п
п сп , п зп
А п , Вп
и 2 (х, у )
^ пк
толщина к-го слоя (к = 1, 2, 3)
сдвиг в заполнителе
внешняя возмущающая распределенная нагрузка
прогиб пластинки
радиальное перемещение срединной плоскости заполнителя
модуль сдвига
оператор линейной вязкоупругости
ядра релаксации материалов слоев пластинки
плотность материала к-го слоя
радиус пластинки
фундаментальная ортонормированная система собственных функций
нормировочный множитель
функции Бесселя и Макдональда нулевых порядков
собственные числа
некоторый малый параметр
частоты собственных колебаний
косинус- и синус-образы Фурье ядра к п Г3(г)
константы интегрирования пластинки
функция Ломмеля двух переменных
дельта-функция Кронекера
Рассматривается несимметричная по толщине круглая трехслойная
пластинка, материалы слоев которой в процессе деформирования проявляют
наследственные линейно-вязкоупругие свойства. Система координат г$ 2
связывается со срединной плоскостью заполнителя (рис. 1). Толщины несу
© А. Г. ГОРШКОВ, Э. И. СТАРОВОЙТОВ, А. В. ЯРОВАЯ, 2001
100 ТХОТ 0556-171Х. Проблемы прочности, 2001, N2 3
г0
Vп
п
Колебания круглой линейно-вязкоупругой трехслойной пластинки
щих слоев Ні Ф Н2 , в легком заполнителе Н3 = 2с. Для описания кинематики
пакета приняты гипотезы ломаной нормали: в несущих слоях справедливы
гипотезы Кирхгофа, в заполнителе нормаль остается прямолинейной, не
изменяет длину, но поворачивается на некоторый дополнительный угол
р ( г , і ). Перпендикулярно к пластинке на внешний слой действует внешняя
возмущающая распределенная нагрузка д( г , і). Прогиб ~№( г , і) пластинки и
радиальное перемещение и(г , і) срединной плоскости заполнителя замы
кают систему искомых функций.
Ф, і)
/ \ /\ Л Л Л Л Л Л Л / \ Л Л Л /\ /\ /\ Л Л / \
Г
7 У
/ 1
1
1
)
/
\
\
/
3 7 > ( / ; і )
/
N
ч
/
/
/
/. /
22\
\
/
2
I
1
------ 5*---- > « — 5 _________ J
Рис. 1. Поперечное сечение пластинки.
Система уравнений, описывающая движение соответствующей упругой
пластинки без учета инерции вращения нормали, получена ранее [1] с
помощью вариационного принципа Гамильтона. Из нее формально следуют
интегро-дифференциальные уравнения для линейно-вязкоупругой пластин
ки после замены модулей сдвига О к операторами линейной вязкоупругости
о *:
/ і \
О к / ( і ) ЕЕ О к ( 1 - г * ) / ( і ) = О / ( і ) - / Г к ( і - т ) / (т )йх
где к - номер слоя.
В результате получим
С * к к
1Х2( а 1 и + а 2 р — а 3 ^ г ) = 0;
\Ь 2 ( а 2 и + а 4 р — а * ̂ г ) = 0;
| к к к
(£3( а з и + а 5 р — а 6 ̂ , г ) — М 0 й =
(1)
-q ,
0
*
где коэффициенты а г- и дифференциальные операторы Ь 2 (оператор Бес
селя), определяются соотношениями
К к + 4 О* = К + ; К к - 2 О * = К - ;
0556-171Х. Проблемы прочности, 2001, № 3 101
А. Г. Горшков, Э. И. Старовойтов, А. В. Яровая
k— 1
а 2 — с (hiК + h2К 2 );
а 3 — Ai| c + h - | к + - ^ 2 1 c + h 2 |K + ;
a 4 — c 2| h1K 1 2 h2K 2 2 3 c K 3 | ;
hi
a 5 — c ^hl | c 2 - 2 j K 2 2 h 2^c ^ " 2 jK 2 2 3 ^ K 3 j ;hl jK 2 2 2 c2 К + 1
2 | 2 3
(2)
a 6 — h1
h 2 I
c 2 2 ch1 2— —
1 3
I 2 I
c 2 2 ch 2 2 ^
2 3 /
L 2 ( g ) = | ̂ ( rg ) ,r 1 g ,rr 2
\
g ,r g .
r 2 ;r
2g ,rr __ g ,r
r 2r
K 2 2 3 c 3К 2 ;
r
запятая в нижнем индексе обозначает операцию дифференцирования по
следующей за ней координате; две точки над буквой - вторую производную
по времени; Г ( t ) - ядра релаксации материалов слоев; М 0 — (р 1 h1 2
2 р 2h2 2 р 3 h3 )ro ; р k , hk- плотность материала и толщина k-го слоя; Го -
радиус пластинки.
В дальнейшем будем предполагать, что ядра релаксации материалов
слоев пластинки подобны и их можно выразить через ядро релаксации
заполнителя:
r k( 0 — l kr 3 ( 0 . lk — const. (3)
Относительно ядра ^ ( t ) далее полагаем, что оно пропорционально
некоторому малому положительному параметру, т.е. удовлетворяет условию
t
0 < ^ Г 3(т )dT < < 1 , Г3(т ) > 0. (4 )
0
Распределенная нагрузка q ( r , t ) считается малой и представляется в
виде разложения в ряд по фундаментальной ортонормированной системе
собственных функций v n , построенной при решении соответствующей за
дачи теории упругости [1]:
q( r . t) — £1М о 2 v nqn ( 0 . (5)
n— 0
102 ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2001, N 3
Колебания круглой линейно-вязкоупругой трехслойной пластинки
v n = v n С r ) = ~ Т
d n
J 0 Свnr ) - J ° Св. n1 1 0Свnr )
1 0КР n )
где d n - нормировочный множитель; J 0 , 1 0 - функции Бесселя и Мак
дональда нулевых порядков; в п - собственные числа; ^ - некоторый малый
параметр.
*
В операторах линейной вязкоупругости а т ( т = 1,..., 6), приведенных
в (2), можно выделить ядро релаксации заполнителя. Тогда
* _ _ ! Г *
a m _ a m a mГ 3 , Сб)
где
3 3
a 1 = 2 К k 0 ; a 2 _ сС К 10 К 20 ); a 3 = 2 К
k=1 k=1
kl;
_ К 32 + с2СК10 + К 20 ); a 5 _ К 32 + сСК11 К 21 ); a б = 2 K k2;
k_1
3 3
a 1 _ з 2 lkG ko; a 2 _ з сСllG lo 12 G 20); a 3 _ з 2 lkGkl;
3 k_l 3 3 k_l
a 4 _ :^СG32 + c 2 ( l1G 10 + 12G 20 )); a 5 _ :^СG32 + сСl1G11 _ 12G 21 ));
a б _ з 2 lkG k 2 ;
3 k=1
К ы _ f ( К к + 4 G k ] z mdz; Gkm _ f G k z md z С m _ 0,1,2).
b. N 3 / b.
Решение системы интегро-дифференциальных уравнений (1) предпола
гается искать в виде разложения в ряд по системе собственных функций V п:
r *t ) = 2 VnTnС t );
n_ 0
00
• ^ Сr >t) _ 2 Сè 1 Vn,r + C 1r + C 2 / r )TnСt); С7)
n_ 0
0
мСr ’t ) _ 2 Сè 2Vn,r + C 3r + C 4 / r )TnСt ).
n_ 0
ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2001, № 3 103
3
А. Г. Горшков, Э. И. Старовойтов, А. В. Яровая
Константы интегрирования С 1, С 2 , С 3 , С 4 появляются после двукратного
интегрирования каждого из первых двух уравнений системы (1). Причем в
дальнейшем следует положить С 2 = С 4 = 0, исходя из условия гладкости
решения в начале координат.
Подстановка выражений (3), (5)-(7) в третье уравнение системы (1)
приводит к следующему уравнению относительно неизвестной функции
Тп ( 0 :
Ь 3 ( а 3 ( *1Vп ,г + С 1г) + а 5 ( Ь^ п ,г + С 3 г ) — а 6 у п,г )Тп — М 0 у пТп =
= - £1М ̂ пЧ п + ^3 ( а 3( b1Vn,r + С 1г) + а 5( Ь2 v n,r + С 3 г ) — а 6 v n,r )Г3* Тп , (8)
где
г
— С г г* г~ \Л г■ и — а 3а 4 а 2а 5 . , _ а 1а 5 а 2а 3Г3 Тп J Г3(г т )Тп(т ')Лх, Ь 1 2 ; Ь2 2 .
0 а 1а 4 а 2 а 1а 4 а 2
Поскольку функции v n являются собственными, для них справедливо
соотношение
Ь 3 ( а 3 ( Ь ^ п ,г + С 1г ) + а 5 ( b1Vn ,г + С 3 г ) - а 6 v n г ) = - М 0 ю 2 v n ,
где (о п - частоты собственных колебаний, определяемые через собственные
числа в п [1]:
2 _ в п цж4 _____________М 0 а 1( а 1а 4 — а 2 )___________
0 п 4 , М' 2 2 2 .М ( а1а6 — а 3 )(а ^ 4 — а 2 ) — (а ^ 5 — а 2а 3 )
По аналогии для оператора в правой части уравнения (8) можно запи
сать
2
1 3 ( а 3( b1Vn ,г + С 1г) + а 5 ( b1Vn,r + С 3 г) — а 6 ) = —М 0 ° п v n , (9)
где величины типа частот о 'п определяются через обобщенные собствен
ные числа в 'п по аналогичным формулам,
2 2 2
2 _ ( а 1 а 6 — а 3 ) ( а 1 а 4 — а 2 ) — ( а 1 а 5 — а 2 а 3 )
̂п 2
а 1( а 1 а 4 а 2 ) 0
в
4
Величины в 'п, как и собственные числа в п, определяются из трансцен
дентных алгебраических уравнений, получаемых при удовлетворении гра
ничным условиям [1], если параметры а т заменить а 'т . При заделке края
пластинки в 'п = в п. Для решения уравнения (8) применим предложенный в
[2] метод усреднения для динамических задач вязкоупругости. В этом случае
предполагается существование в последнем члене уравнения малого пара
метра £, который в окончательных результатах следует положить равным
104 0556-171Х. Проблемы прочности, 2001, № 3
Колебания круглой линейно-вязкоупругой трехслойной пластинки
единице, так как малость интегральных членов обеспечивается условием (4).
Поэтому в дальнейшем Гз( г) заменяем еГз( г). В результате для функции
Тп ( г) из (8) с учетом (9) получаем уравнение
Tn + Q l Tn = £ і Чн + ^Qn kn / Гз ( t - т )Tn(т ) d t , k n = m 'n / q n . (IQ)
Решение уравнения типа (10) изучено в монографии [2] для случая
малых сил. Применительно к нашей задаче имеем
Tn = ^A n cos rn „ |1+ 2 R cn ^ + B n sin « n(l + 2 R cn )tJeXP( - ^ f R sn t) +
2
+-----
Q h
2
in
5ч + 2
Ч 2н
R n
2 + >3 n
COS(Q nt +<Pi - p 2 ), (11)
где R cn, R sn - два основных Фурье-образа ядра knr 3( t ),
R cn = kn f Гз( т )cos( Q n т )dт; R Sn = kn f Гз( т )sin( q n т )dт;
Q Q
i i T i i T
qin = — lim - 1 4 n (t)sin(Q nt ) d t; ч 2n = — lim - 1 4 n ( t )cos(Q nt) d t ; (i2)
Qn T^ “ T о Q n T^ x T о
-R sh q i h
P i = arctg----- ; p 2 = arctg -
R cn q 2n
Q
Константы ^ п, В п определяются из начальных условий движения плас
тинки:
i
Bn =
A n = f w ( r ,Q)Vnrd r -
Q n R sn A n + 2.
2 2in
5ч + n
22
Q n ^ R n + >3 n
Q n I i + 2 R cn
2
2in + n
22
R 2R cn + R 2R sn
cos( P i - p 2);
(i3)
i
sin(P i - P 2 ) + f w( r Q )v nrd r
Q
i
Q
Таким образом, поперечные колебания круглой трехслойной пластинки,
слои которой обладают линейно-вязкоупругими свойствами, описываются
выражениями (7) с учетом (11)-(13) и того, что
ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2001, № 3 105
А. Г. Горшков, Э. И. Старовойтов, А. В. Яровая
Р
d„ J l ( Р nr ) - 11(Р nr )1 0(Р n )
{С 1 ,С з} = {*1, b j } ^ - J i( в n ) - 1 1( в n )
1 0( Р n )
В качестве примера определим параметры колебаний для частного
случая симметричной по толщине трехслойной пластинки: h = K 1 = K 2 ;
G 1 = G 2; R 1( t ) = R2( t), находящейся под действием “резонансной” нагрузки:
q ( t ) = D cos * k t + E sin * k t (D , E , k — const).
Начальные условия движения для определенности принимаются следующи
ми:
w ( r , О) = w 0 sin
. п (1— r )
2
w(r , О) = О (w 0 — const). (14)
Тогда характеристики движения (12), соответствующие к-й гармонике, бу
дут
Як( О = в к со во к ( + Е к вш (ок Г,
q1k 2 ю ,
D k =
E k =
q 2 k
D
M d kp k
E
M d kp k
D
J 1( Р k ) — 1 1( Р k )1 0(P k )
J 1( Р ‘ ) — ^ 11( Р k )1 0(P k )
D
-; p 2 = arrtg— (q 1n = q 2 n = 0 n * k ).
2 * k E k
Константы интегрирования определяются из соотношений (13) с по
мощью начальных условий (14):
A n = w o р n
U 2 (П,Р n ) — U 2(П, iP n )
1 0( P n )
cos( p1 — p 2 );
^ nk D j + E l
* п RCk + R 2sk
Bn =
R s
2I1 + - R.
An + ■ nk
* 2(1 + 2 Rcn
Dk2 + E l
R Ck + R Sk
sin( P 1 — p 2 x
2
106 ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2001, № 3
Колебания круглой линейно-вязкоупругой трехслойной пластинки
где и 2(х ,у ) - функция Ломмеля двух переменных; д пк - дельта-функция
Кронекера. Прогиб и относительный сдвиг в заполнителе следуют из соот
ношений (7). Радиальное перемещение срединной плоскости заполнителя
можно положить равным нулю в силу симметрии пластинки по толщине.
Численно исследован логарифмический декремент колебаний Я 8п, ко
торый характеризует демпфирующую способность трехслойной пластинки.
График изменения величины Я 8п / к п в зависимости от относительной
толщины с заполнителя показан на рис. 2. В защемленной по контуру
трехслойной пластинке с увеличением толщины заполнителя логарифми
ческий декремент нелинейно возрастает. В качестве материала несущих
слоев использовали сплав Д-16Т, заполнителем служил фторопласт. Соот
ветствующие механические характеристики материалов приведены в [3].
Кш -102/ к„
Работа выполнена при финансовой поддержке Фондов фундаменталь
ных исследований Республики Беларусь и Российской Федерации.
Р е з ю м е
Розглянуто вільні та вимушені коливання круглої тришарової в ’язкопружної
несиметричної по товщині пластинки. Для опису кінематики пакета прий
нято гіпотези ломаної нормалі. Заповнювач - легкий. Аналітичне рішення
отримано за допомогою методу усереднення в динамічних задачах в ’язко-
пружності з використанням гіпотези подібності ядер релаксації матеріалів
шарів.
1. С т аровой т ов Э. И . Осесимметричные колебания круглой трехслойной
пластинки, возбужденные тепловым ударом // Изв. АН БССР. Сер.
Физ.-техн. наук. - 1988. - № 3. - С. 3 - 10.
2. И лью ш ин А. А ., П о б ед р я Б. Е . Основы математической теории термо
вязкоупругости. - М.: Наука, 1970. - 280 с.
3. С т аровой т ов Э. И . К описанию термомеханических свойств некото
рых конструкционных материалов // Пробл. прочности. - 1988. - № 4. -
С. 11 - 15.
Поступила 05. 09. 2000
ШБЫ 0556-171Х. Проблемы прочности, 2001, № 3 107
|