Метод розрахунку напiрних розподiльчих трубопроводiв
Предложено решение дифференциального уравнения движения жидкости переменной массы для напорных распределительных трубопроводов (РТ) с дискретной путевой раздачей жидкости. Переменные величины исходного уравнения выражены через полный напор в РТ, под действием которого вытекают струи, и через независ...
Збережено в:
| Дата: | 2008 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Інститут гідромеханіки НАН України
2008
|
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/4663 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Метод розрахунку напiрних розподiльчих трубопроводiв / В.В. Чернюк // Прикладна гідромеханіка. — 2008. — Т. 10, № 3. — С. 65-76. — Бібліогр.: 19 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-4663 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-46632009-12-18T12:00:33Z Метод розрахунку напiрних розподiльчих трубопроводiв Чернюк, В.В. Предложено решение дифференциального уравнения движения жидкости переменной массы для напорных распределительных трубопроводов (РТ) с дискретной путевой раздачей жидкости. Переменные величины исходного уравнения выражены через полный напор в РТ, под действием которого вытекают струи, и через независимое расстояние. Полученные зависимости позволяют рассчитывать длинные и короткие РТ, учитывают влияние переменных значений параметров трубопровода, основного потока и струй, которые отсоединяются. Учитываются законы гидравлического сопротивления, изменяющиеся вдоль потока. Значение напоров и расходов жидкости в полости РТ, вычисленные по полученным формулам, практически совпадают с результатами экспериментов. Запропоновано розв'язок диференцiального рiвняння руху рiдини змiнної маси для напiрних розподiльних трубопроводiв (РТ) з дискретною шляховою роздачею плинного середовища. Змiннi величини вихiдного рiвняння виражено через повний напiр у РТ, пiд дiєю якого витiкають струменi, i через незалежну змiнну вiдстань. Отриманi залежностi придатнi для проектування довгих i коротких РТ з урахуванням впливу змiнних значень параметрiв трубопроводу, основного потоку та струменiв, що вiд'єднуються. Ураховується змiна вздовж потоку законiв гiдравлiчного опору. Значення напорiв i витрат рiдини усерединi РТ, обчисленi за отриманими формулами, практично збiгаються з результатами експериментiв. The solution of the differential equation of variable mass fluid flow for enforced flow distributive pipelines (DPl) with discrete dispersion of the fluid is suggested. The variables of the initial equation are expressed in terms of complete head inside DPl (under the effect of which jets flow outside) and in terms of \textit{x} -- coordinate (as independent variable). The obtained relationships can be used for designing long and short DPls and enable us to take into account the effect of variable values of pipeline parameters as well as parameters of the main stream and jets running out. The change of laws of hydraulic resistance along the stream is taken into account. The values of heads and fluid rates inside the DPl calculated by means of the obtained formulae practically coin side with the results of experiments. 2008 Article Метод розрахунку напiрних розподiльчих трубопроводiв / В.В. Чернюк // Прикладна гідромеханіка. — 2008. — Т. 10, № 3. — С. 65-76. — Бібліогр.: 19 назв. — укр. 1561-9087 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/4663 uk Інститут гідромеханіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Предложено решение дифференциального уравнения движения жидкости переменной массы для напорных распределительных трубопроводов (РТ) с дискретной путевой раздачей жидкости. Переменные величины исходного уравнения выражены через полный напор в РТ, под действием которого вытекают струи, и через независимое расстояние. Полученные зависимости позволяют рассчитывать длинные и короткие РТ, учитывают влияние переменных значений параметров трубопровода, основного потока и струй, которые отсоединяются. Учитываются законы гидравлического сопротивления, изменяющиеся вдоль потока. Значение напоров и расходов жидкости в полости РТ, вычисленные по полученным формулам, практически совпадают с результатами экспериментов. |
| format |
Article |
| author |
Чернюк, В.В. |
| spellingShingle |
Чернюк, В.В. Метод розрахунку напiрних розподiльчих трубопроводiв |
| author_facet |
Чернюк, В.В. |
| author_sort |
Чернюк, В.В. |
| title |
Метод розрахунку напiрних розподiльчих трубопроводiв |
| title_short |
Метод розрахунку напiрних розподiльчих трубопроводiв |
| title_full |
Метод розрахунку напiрних розподiльчих трубопроводiв |
| title_fullStr |
Метод розрахунку напiрних розподiльчих трубопроводiв |
| title_full_unstemmed |
Метод розрахунку напiрних розподiльчих трубопроводiв |
| title_sort |
метод розрахунку напiрних розподiльчих трубопроводiв |
| publisher |
Інститут гідромеханіки НАН України |
| publishDate |
2008 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/4663 |
| citation_txt |
Метод розрахунку напiрних розподiльчих трубопроводiв / В.В. Чернюк // Прикладна гідромеханіка. — 2008. — Т. 10, № 3. — С. 65-76. — Бібліогр.: 19 назв. — укр. |
| work_keys_str_mv |
AT černûkvv metodrozrahunkunapirnihrozpodilʹčihtruboprovodiv |
| first_indexed |
2025-07-02T07:54:17Z |
| last_indexed |
2025-07-02T07:54:17Z |
| _version_ |
1836520945843437568 |
| fulltext |
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2008. Том 10, N 3. С. 65 – 76
УДК 532.542:532.559.3
МЕТОД РОЗРАХУНКУ НАПIРНИХ РОЗПОДIЛЬЧИХ
ТРУБОПРОВОДIВ
В. В. Ч ЕРН Ю К
Нацiональний унiверситет "Львiвська полiтехнiка"
Одержано 12.11.2007 � Переглянуто 18.03.2008
Запропоновано розв’язок диференцiального рiвняння руху рiдини змiнної маси для напiрних розподiльних трубо-
проводiв (РТ) з дискретною шляховою роздачею плинного середовища. Змiннi величини вихiдного рiвняння вира-
жено через повний напiр у РТ, пiд дiєю якого витiкають струменi, i через незалежну змiнну вiдстань. Отриманi
залежностi придатнi для проектування довгих i коротких РТ з урахуванням впливу змiнних значень параметрiв
трубопроводу, основного потоку та струменiв, що вiд’єднуються. Ураховується змiна вздовж потоку законiв гiдрав-
лiчного опору. Значення напорiв i витрат рiдини усерединi РТ, обчисленi за отриманими формулами, практично
збiгаються з результатами експериментiв.
Предложено решение дифференциального уравнения движения жидкости переменной массы для напорных рас-
пределительных трубопроводов (РТ) с дискретной путевой раздачей жидкости. Переменные величины исходного
уравнения выражены через полный напор в РТ, под действием которого вытекают струи, и через независимое
расстояние. Полученные зависимости позволяют рассчитывать длинные и короткие РТ, учитывают влияние пе-
ременных значений параметров трубопровода, основного потока и струй, которые отсоединяются. Учитываются
законы гидравлического сопротивления, изменяющиеся вдоль потока. Значение напоров и расходов жидкости в
полости РТ, вычисленные по полученным формулам, практически совпадают с результатами экспериментов.
The solution of the differential equation of variable mass fluid flow for enforced flow distributive pipelines (DPl) with
discrete dispersion of the fluid is suggested. The variables of the initial equation are expressed in terms of complete head
inside DPl (under the effect of which jets flow outside) and in terms of x – coordinate (as independent variable). The
obtained relationships can be used for designing long and short DPls and enable us to take into account the effect of
variable values of pipeline parameters as well as parameters of the main stream and jets running out. The change of laws
of hydraulic resistance along the stream is taken into account. The values of heads and fluid rates inside the DPl calculated
by means of the obtained formulae practically coin side with the results of experiments.
ВСТУП
Напiрнi трубопроводи з дискретною шляховою
роздачею рiдини застосовуються у рiзних галу-
зях господарської дiяльностi людей: iригацiї (кра-
плинне, внутрiшньогрунтове й поверхневе зроше-
ння); вентиляцiї (припливнi системи); металур-
гiйнiй промисловостi (системи охолодження); во-
дному транспортi (розподiльчi системи живлення
шлюзiв i великогабаритних сухих докiв); водопо-
стачаннi й водовiдведеннi (трубчастi розподiльчi
системи очисних споруд, розосередженi випуски
стiчних вод) й iн. Розробленi рiзнi методики розра-
хунку напiрних розподiльчих трубопроводiв (РТ).
1. АНАЛIЗ ВIДОМИХ МЕТОДИК
РОЗРАХУНКУ РТ
1.1. Аналiтичнi рiвняння
1.1.1. Б.А. Дергачев i Р.Р. Чугаєв (ЛПI, Ленiн-
град) [1] замiнили дiйсний потiк рiдини в РТ мо-
деллю Рейнольдса-Буссiнеска. Згiдно неї вiдгалу-
жуваннi струменi рухаються усерединi РТ по па-
ралельних траєкторiях до вiдповiдних їм отворiв-
випускiв, не перемiшуючись [2, с. 204-206]. Засто-
сувавши рiвняння Д. Бернуллi, вивели рiвняння,
придатне для розрахунку РТ зi змiнними розмi-
рами отворiв-випускiв i неоднаковим їхнiм кроком.
Гiдравлiчний розрахунок РТ ведуть вiд його кiн-
ця, поетапно для кожного отвору-випуску [1, с. 9-
11].
1.1.2. Є. В. Кузнєцов i Ю. А. Скобельцин (Ку-
банський СГI, Краснодар) [3] рекомендують обчи-
слювати п’єзометричний напiр на дiлянцi РТ, яка
мiстить n випускiв, за формулою, у якiй швидкiсть
основного потоку V = Vbeg, а гiдравлiчний коефi-
цiєнт тертя λ = λbeg, тобто є такими як на початку
РТ. Однак, оскiльки в РТ V 6= const, то вздовж
потоку можуть iснувати неоднаковi режими руху
рiдини й рiзнi закони гiдравлiчного опору, тобто
λ 6= const.
Найдосконалiшi методики розрахунку напiрних
РТ грунтуються на диференцiальних рiвняннях
руху рiдини змiнної маси.
1.2. Диференцiальнi рiвняння
c© В. В. Чернюк, 2008 65
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2008. Том 10, N 3. С. 65 – 76
1.2.1. Автори рiвняння.
Творцем теорiї руху тiл змiнної маси є I. В. Ме-
щерський. На основi його рiвнянь, отриманих для
точки змiнної маси i опублiкованих у 1897 р. i
1904 р., I. В. Маккавеєв у 1928 р. вперше ви-
вiв загальне рiвняння руху рiдини змiнної маси
(РРРЗМ). У 1937 р. Я. Т. Ненько одержав РРРЗМ
для цiлого потоку i застосував його до задач з роз-
рахунку дiрчастих РТ. Ним же установленi кри-
терiї класифiкацiї трубопроводiв за довжиною. У
тому ж роцi I. М. Коновалов отримав РРРЗМ, ви-
ходячи iз закону кiлькостi руху [4, с. 3-4].
Загальне РРРЗМ Г. А. Петров записує так [4,
с. 17]:
α0
g
V dV + d
(
p
γ
)
+ dz + ifdx+
V 2
g
dα0+
+
α0(V − v1 cosβ)V
g
·
dQ1
Q
+ (1)
+
α0(v2 cosϕ − V )V
g
·
dQ2
Q
= 0,
де передостаннiй член вiдноситься до приєднання
маси, а останнiй – до її вiддiлення.
Г. А. Петров вважає, що “без великої помилки
можна взяти значення α0 постiйним” [4, с. 17].
Тодi п’ятий член
(
V 2/g
)
dα0 у рiвняннi (1) випа-
де. Отож, у випадку тiльки приєднання частинок,
тобто для трубопроводiв-збирачiв (ТЗ), воно має
вид [4, с. 18]:
d
(
α0V
2
2g
)
+
dp
ρg
+ dz + ifdx+ (2)
+
α0 (V − v cosβ) V
g
·
dQ
Q
= 0.
Для випадку тiльки вiд’єднання маси, тобто для
РТ, рiвняння (1) запишеться так (у [4] не наводи-
ться):
d
(
α0V
2
2g
)
+
dp
ρg
+ dz + ifdx+ (3)
+
α0 (v cosϕ − V )V
g
dQ
Q
= 0.
Для цилiндричного РТ, коли ω = const, Q = ωV ,
dQ = ωdV останнє спрощується:
α0 (v cosϕ− 2V ) dV
g
+
dp
ρg
+sinψ ·dx+dhx = 0, (4)
де dz = sinψ · dx; ifdx = dhx – втрати напору по
довжинi; β та ϕ – кути мiж ~v i ~V вiдповiдно у ТЗ
i в РТ.
1.2.2. Класифiкацiя РТ.
У роботi [5] за умови, що кут вiдхилення струменя
ϕ = 90◦ i значення коефiцiєнта його стиснення ε є
постiйнi, В. В. Смислов i Н. О. Єзерський (КНУ-
БА, Києв) отримали рiвняння
Vbeg/vbeg ≈ f, (5)
де vbeg – швидкiсть витiкання струменя крiзь пер-
ший вiд початку РТ отвiр-випуск; f = nεmid ω0/ω
– шпаруватiсть РТ з n випусками; ω0 = πd2/4 –
площа отвору-випуску; ω = πD2/4 – те саме, по-
перечного перерiзу РТ.
За [5] при малих значеннях Vbeg/vbeg або f з
формули (5) РТ мають великий гiдравлiчний опiр
i при однакових розмiрах отворiв i постiйному
їхньому кроку забезпечують практично рiвномiр-
ну дискретну шляхову роздачу рiдини (газу). Ко-
ли вiдношення Vbeg/vbeg великi, то РТ створює ма-
лий опiр i здiйснює нерiвномiрну роздачу рiдини.
Остання оцiнюється показником: η = qm/qbeg, де
qm – максимальна або мiнiмальна витрата плин-
ного середовища крiзь один отвiр.
РТ розподiляють на шiсть категорiй, залежно
вiд значення коефiцiєнта опору ζl = 1.1λl/D. У ко-
ротких РТ (ζl < 0.9) шляховi втрати не мають
значення, а максимальний тиск утворюється в кiн-
цi РТ. У промiжних РТ реалiзуються п’єзометри-
чнi лiнiї рiзної форми: при ζl = 1 ÷ 3 найбiльший
тиск виникає у кiнцi РТ; ζl = 3.5÷4.5 – практично
постiйний тиск вздовж РТ; ζl = 5÷8 – найменший
тиск є посерединi РТ; ζl = 8÷20 – те ж, у кiнцi РТ.
У довгих РТ (ζl > 20 ) втрати напору на вiддiле-
ння маси не мають значення, а мiнiмальний тиск
установлюється у кiнцi РТ.
Для рiзних категорiй РТ отримано вiдповiднi
розрахунковi залежностi для витрат рiдини та на-
порiв. Згiдно [5] за потрiбним показником η нерiв-
номiрностi роботи РТ пiдбирають необхiдну його
шпаруватiсть i задаються витратою Qbeg основно-
го потоку на початку РТ. Однак оскiльки Qbeg
диктується сумарним гiдравлiчним опором усiх
складових елементiв РТ, то встановлення значе-
ння Qbeg i його реалiзацiя у натурi є складною за-
дачею.
1.2.3. РТ з рiвномiрною роздачею маси.
В. В. Смислов i Ю. М. Константiнов (КНУБА, Ки-
єв) [6, 7, с. 23–35] склали диференцiальне рiвнян-
ня руху плинного середовища в РТ з рiвномiрною
шляховою роздачею маси: qdist = dQ/dx = const.
Взявши ϕ = 90◦, λ = const i нехтуючи втратами
напору на вiддiлення маси для довгого РТ (ζl >
20) отримали формулу для обчислення втрат на-
66 В. В. Чернюк
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2008. Том 10, N 3. С. 65 – 76
пору вздовж потоку
h1 − h2 = λ
l1−2
D
·
Qtr +QtrQdist +
Q2
dist
3
2gω2
, (6)
де Qtr – транзитна витрата рiдини; Qdist =
= qdistl1−2 – шляхова роздача на дiлянцi 1–2.
Рiвномiрностi роздачi маси досягають змiною
кроку l отворiв-випускiв або їх розмiрiв [7, с. 29].
I. I. Науменко (НУВГП, Рiвне) [8], застосувавши
вираз (6) до РТ зi сталими геометричними хара-
ктеристиками (l = const, d = const), при λ = const
отримав вiдхилення вiд експериментальних даних,
рiвне 38%. При λ 6= const вiдхилення зменшилось
до 20% [8].
1.2.4. В. Н. Коваленко, В. I. Бойко (ХДТУБА,
Харкiв) [9] увели у рiвняння (1) iмпульс сили гi-
дравлiчного опору взаємодiї основного потоку зi
струменем, що вiддiляється, i урахували кiнети-
чну енергiю останнього. Кутом ψ нахилу осi основ-
ного потоку до обрiю та нелiнiйнiстю dQ/dx знех-
тували. Пiсля урахування експериментальних да-
них отримали вираз для обчислення втрат напору
в РТ на вiдгалуження одного струменя i формулу,
яка у неявному виглядi пов’язує витрати основно-
го потоку Q i струменя, що вiд’єднується q.
1.2.5. Методика КНУБА (Київ) [10, 11].
Основи методики заклали О. А. Василенко i
В. В. Смислов [12], розглядаючи напiрнi ТЗ. Змiн-
нi величини рiвняння (2) вони виразили через вiд-
носну витрату Q основного потоку i незалежну
змiнну вiдносну вiдстань x. Закон приєднання ма-
си прийняли за Datei Claudio [13] у виглядi Q =
kshαx, де k й α – постiйнi, якi характеризують
ТЗ.
А. М. Кравчук [10] i Д. О. Чернишов [11] розви-
нули методику [12], приклавши її до розрахунку
напiрних РТ. Рiвнянню (2) надано виду [10]:
−
d2Q
dy2 ·
dQ
dy
− BQ
dQ
dy
+CQ
2
= 0. (7)
Для турбулентного режиму руху рiдини у коро-
тких, промiжних i довгих РТ отримано неоднако-
вi розв’язки рiвняння (7). Наприклад, для довгого
РТ коренi рiвняння (7) такi [11, с. 6]:
Q =
sh (ky)
sh k
; h =
kch (ky)
fsh k
, (8)
де k знаходиться з виразу k3 + Bk − Ctg (ky) = 0,
(y = 1 − x), або за графiком, поданим на рис. 1.
1.2.6. Пiдсумок огляду праць.
За методиками [1, 9] поетапно розраховується ко-
жне розгалуження потоку. У [3] V = Vbeg, λ =
Рис. 1. Графiк для визначення коефiцiєнта k до
формул (8) при рiзних значеннях x̄:
1 (1); 0.8 (2); 0.6 (3); 0.4 (4); 0.2 (5); 0 (6) [11, с. 7]
λbeg = const. У способах iнтегрування рiвняння (1)
[5-7, 10-12] значення швидкостей v струменiв, що
вiд’єднуються, приймаються часткою вiд швидко-
стi V основного потоку, тобто виражаються через
його витрату Q, як i iншi змiннi рiвняння (1). Вва-
жають, що m = (v cosϕ)/V = const, або прийма-
ють ϕ = 90◦, тодi m = 0. У натурi m 6= const, а
при v cosϕ/V = 0 iз рiвнянь (3) i (4) випадає дода-
нок α0v cosϕdV/g. У методах розв’язку [5, с. 55;
6; 7, с. 25; 10, с. 8; 11, с. 6; 12, с. 20] гiдравлiчний
коефiцiєнт тертя λ = const, однак у дiйсностi вiн
змiнний по довжинi РТ. Методи розрахунку, що
враховують змiннi значення усiх параметрiв РТ,
основного потоку i струменiв, якi вiд’єднуються,
вiдсутнi.
Мета роботи – розв’язати диференцiальне рiв-
няння руху рiдини змiнної маси для цилiндри-
чних напiрних розподiльних трубопроводiв з дис-
кретною шляховою роздачею плинного середови-
ща i на основi розв’язку розробити методику роз-
рахунку РТ з урахуванням змiнних значень пара-
метрiв РТ, основного потоку i струменiв, якi вiд’-
єднуються, включаючи кут ϕ вiдведення струме-
нiв, кут ψ нахилу осi РТ до обрiю, i змiну вздовж
потоку режимiв його течiї та законiв гiдравлiчного
опору.
2. ДОПОВНЕННЯ РРРЗМ (3)
На дiлянцi розгалуження Г. А. Петров видiляє
силу R2 (в оригiналi S), яка замiняє дiю вiдкиненої
частини струменя, що вiд’єднується [4, с. 47, 52].
Сила R2 на рис. 2 рiвна реакцiї, яку чинить плоска
стiнка при ударi об неї струменя [2, с. 122–123]:
R2 = α0vρ dQ, (9)
де dQ – витрата струменя, v – його швидкiсть.
В. В. Чернюк 67
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2008. Том 10, N 3. С. 65 – 76
Рис. 2. Розрахункова схема потоку з вiддiленням
маси
Уведемо силу R2 у гiдравлiчне рiвняння змiни
кiлькостi руху ∆ (KP )l = Σ (IC)l, яке, опираю-
чись на розрахункову схему потоку у трубi, що
звужується (рис. 2), за алгоритмом [14, с. 122–124]
запишемо так
[α0ρ(Q− dQ)(V − dV )](II) + (α0ρv cosϕdQ)(III)−
−(α0ρQV )(I) = (pω)(IV ) − [(p+ dp)(ω − dω)](V ) −
−
[
(p +
dp
2
)dω
]
(V I)
− (α0ρv cosϕdQ)(V II)− (10)
−
[
ρg(ω−
dω
2
) sinψdl
]
(V III)
−
[
ρg(ω−
dω
2
)dhl
]
(IX)
,
де (I), (II) – кiлькостi руху основного потоку у пе-
рерiзах 1–1 i 2–2 вiдповiдно; Q – витрата основно-
го потоку в перерiзi 1–1; dQ – витрата струменя,
що вiд’єднується; V – середня швидкiсть потоку
в перерiзi 1–1; (III) – проекцiя на вiсь l основ-
ного потоку кiлькостi руху струменя, що вiд’єд-
нується; (IV ), (V ) – сили гiдродинамiчного тиску,
що дiють на торцевi перерiзи 1–1 i 2–2 вiдповiдно;
(V I) – поздовжня складова сили нормальної реа-
кцiї R1 стiнок труби змiнного перерiзу, що дiє на
потiк вздовж осi l на його дiлянцi мiж перерiзами
1–1 i 2–2; (V II) – проекцiя на вiсь l сили R2 (9),
яка замiняє дiю вiдкиненої частини струменя, що
вiд’єднується; (V III) – проекцiя на вiсь l сили вла-
сної ваги G вiдсiку потоку довжиною dl; ϕ – кут
мiж напрямками швидкостей V i v; ψ – кут мiж
вiссю l потоку та горизонталлю 0-0; (IX) – сила
тертя ; τ0 – середнє напруження тертя на стiнцi,
τ0=ρgRdhl/dl [2, с. 133; 14, с. 76]; R – гiдравлiчний
радiус.
Iз спiввiдношення (10) одержали рiвняння
α0 (2ν cosϕ− V )V
g
dQ
Q
−
α0V dV
g
+
+d
(
p
ρg
)
+ sinψ dl+ dhl = 0, (11)
яке для цилiндричних труб приймає вид
2α0 (ν cosϕ − V ) dV
g
+ d
(
p
ρg
)
+ sinψ dl+ dhl = 0.
(12)
У рiвняннях (11) i (12) сила R2 урахована кое-
фiцiєнтом 2 при доданку α0v cosϕdV /g [15].
Рiвняння (12) геометрично представлено на рис.
3.
Рис. 3. Геометрична iнтерпретацiя диференцiального
рiвняння напiрного руху рiдини з вiддiленням маси
3. ПРИВЕДЕННЯ РРРЗМ (12) ДО ДВОХ
ЗМIННИХ
Основний потiк усерединi РТ формується вiд’-
єднанням вiд нього окремих струменiв, а m(x) =
v(x) cosϕ/V(x) 6= const. Виразимо змiннi V , dV , v,
dp, dhl, dl у рiвняннi (12) не через витрату Q(x), як
у розглянутих методиках [5–7, 10–12], а через пов-
ний напiрH(x), пiд дiєю якого витiкають струменi,
i через незалежну змiнну вiдстань x.
Отож, середня швидкiсть витiкання струменiв
ν(x) = ϕ
√
2gH(x) = aH
1/2
(x) , (13)
де
a = ϕ
√
2g = const, м0.5/с;
ϕ – коефiцiєнт швидкостi;
H(x) =
p(x) − pout
ρg
− x sinψ +
α cosϕV 2
(x)
2g
, (14)
68 В. В. Чернюк
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2008. Том 10, N 3. С. 65 – 76
де pout = const – тиск, який дiє зовнi РТ.
Диференцiал п’єзометричного напору
d
(
p(x)
ρg
)
= dH(x) + sinψ dx−
−
α cosϕV(x)dV(x)
g
, (15)
де множник cosϕ враховує дiю динамiчного напо-
ру основного потоку на поверхню живого перерi-
зу струменя на входi у випускний пристрiй. Суть
множника cosϕ зрозумiла з рис. 4.
Рис. 4. Схема дiї динамiчного напору основного
потоку на вхiдний перерiз випускного пристрою при
рiзних значеннях кута ϕ: а – 0
◦; б – 0
◦
≤ ϕ ≤ 90
◦; в –
180
◦; г – 180
◦
≤ ϕ ≤ 270
◦
Диференцiал шляхової роздачi рiдини з РТ:
dQdist(x) = nµω0
√
2gH(x) dx = bH
1/2
(x) dx, (16)
де n – кiлькiсть отворiв, яка припадає на одиницю
довжини РТ, м−1; µ – коефiцiєнт витрати отвору-
випуску; ω0 – площа одного отвору-випуску, ω0 =
πd2/4;
b = nµωo
√
2g = const,м1.5/c. (17)
Диференцiал витрати рiдини, яка перемiщає-
ться усерединi РТ:
dQ(x) = −dQdist(x) = −bH
1/2
(x)
dx. (18)
Диференцiал середньої швидкостi потоку в РТ
визначається з (18):
dV(x) = dQ(x)/ω = −bH
1/2
(x) dx/ω, (19)
де ω – площа поперечного перерiзу РТ, ω = πD2/4.
Витрата рiдини, що транспортується в РТ:
Q(x) = Q0 − b
x
∫
0
H
1/2
(x) dx, (20)
де Q(0) – витрата рiдини на входi в РТ, у загаль-
ному випадку для РТ довжиною L (рис. 3)
Q
0
= Qtr + b
L
∫
0
H
1/2
(x) dx, (21)
де Qtr – транзитна витрата.
Середня швидкiсть потоку в РТ:
V(x) = Q(x)/ω =
(
Q(0) − b
x
∫
0
H
1/2
(x) dx
)
/ω. (22)
Диференцiал втрат напору на нескiнченно ко-
роткiй дiлянцi довжиною dx цилiндричного РТ з
достатнiм ступенем точностi можна визначити так
само, як при рiвномiрному русi з формули Дарсi-
Вайсбаха [14, с. 124]:
dhl(x)
=
l
2gω2D
d
[
λ(x)
(
Q(0) − b
x
∫
0
H
1/2
(x) dx
)2
x
]
,
(23)
де D – дiаметр розподiльчого трубопроводу.
Пiдставивши вирази (13), (15), (19), (22) i (23)
у (12) одержали нелiнiйне iнтегро-диференцiальне
рiвняння напiрного руху рiдини з дискретною
шляховою роздачею маси для цилiндричного РТ
вiдносно невiдомої функцiї H(x):
1
2gω2D
d
[
λ(x)
(
Q(0) − b
x
∫
0
H
1/2
(x) dx
)2
x
]
+ dH(x)+
+
2α0 + α cosϕ
gω2
(
Q(0)−b
x
∫
0
H
1/2
(x) dx
)
bH
1/2
(x) dx− (24)
−
2α0
gω
ab cosϕH(x)dx+ 2 sinψ dx = 0.
У рiвняннi (24), порiвняно з роботою [16], дода-
тково ураховано швидкiсний напiр основного пото-
ку та, порiвняно з [17], його дiю на вхiдний перерiз
випускного пристрою залежно вiд кута ϕ (див. ви-
раз (15) i рис. 4).
4. РОЗВ’ЯЗУВАННЯ РIВНЯННЯ (24)
В. В. Чернюк 69
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2008. Том 10, N 3. С. 65 – 76
4.1. Ламiнарний режим течiї
Диференцiюючи перший доданок iз (24), у за-
гальному випадку отримуємо вираз для dhl(x)
:
dhl(x)
=
1
2gω2D
[
λ(x)
(
Q(0) − b
x
∫
0
H
1/2
(x) dx
)2
dx+
+2λ(x)x
(
Q(0) − b
x
∫
0
H
1/2
(x)
dx
)
(
− bH
1/2
(x)
dx
)
+ (25)
+
(
Q(0) − b
x
∫
0
H
1/2
(x) dx
)2
xdλ(x)
]
.
Коефiцiєнт Дарсi λ(x) = f
(
∆̄; Re(x)
)
. Для ламi-
нарної течiї з урахуванням виразу (22) за форму-
лою Пуазейля λ(x) записується так:
λ(x) =
64ων
(
Q(0) − b
x
∫
0
H
1/2
(x) dx
)
D
, (26)
а його диференцiал має вигляд
dλ(x) =
λ(x)bH
1/2
(x) dx
(
Q(0) − b
x
∫
0
H
1/2
(x)
dx
) , (27)
де у (26)
D
ων
(
Q(0) − b
x
∫
0
H
1/2
(x) dx
)
= Re(x), (28)
Re(x) – критерiй Рейнольдса, а ν– кiнематична
в’язкiсть. Пiдставляючи рiвняння (26) i (27) у (25),
отримали вираз
dhl(x)
=
λ(x)
2gω2D
[(
b
x
∫
0
H
1/2
(x)
dx
)2
dx+Q2
(0)dx+ (29)
+xbH
1/2
(x) dxb
x
∫
0
H
1/2
(x) dx−
−2Q(0)b
x
∫
0
H
1/2
(x) dxdx− xQ(0)bH
1/2
(x) dx
]
.
Внiсши вираз (29) замiсть (23) пiд знак диференцi-
ала у рiвняння (24) i помноживши отриманий мно-
гочлен на 2gω2D та подiливши його на dx, одер-
жали рiвняння:
λ(x)b
2
x
∫
0
H
1/2
(x) dx
2
+ λ(x)xb
2H
1/2
(x)
x
∫
0
H
1/2
(x) dx−
−2D(2α0 + α cosϕ)b2H
1/2
(x)
x
∫
0
H
1/2
(x)
dx−
−2λ(x)Q0b
x
∫
0
H
1/2
(x) dx− λ(x)xQ0bH
1/2
(x) +
+2D(2α0 + α cosϕ)bQ0H
1/2
(x) − (30)
−4α0ωabD cosϕH(x) + 2gω2D
dH(x)
dx
+
+λ(x)Q
2
0 + 4gω2D sinψ = 0.
Уводимо в останнє замiну
y =
x
∫
0
H
1/2
(x) dx, (31)
тодi
y′ = H
1/2
(x) , H(x) = (y′)2, dH(x)/dx = 2y′y′′. (32)
Постiйнi при змiнних y, y′, y′′ у рiвняннi (30) за-
мiняємо коефiцiєнтами a1,. . . ,a10:
a1 = b2, a2 = b2, a3 = 2(2α0 + α cosϕ)b2D,
a4 = 2bQ(0), a5 = bQ(0), a6 = 2(2α0+α cosϕ)bDQ(0),
a7 = 4α0abDω cosϕ, a8 = 2gω2D, (33)
a9 = Q2
(0), a10 = 4gω2D sinψ.
Отож, рiвняння (30) звели до вигляду:
a1λ(x)y
2 + a2λ(x)yy
′x− a3yy
′ − a4λ(x)y−
−a5λ(x)y
′x+ a6y
′ + a7 (y′)
2
+ 2a8y
′y′′+
+a9λ(x) + a10 = 0. (34)
Нашi експерименти показали, що невiдома
функцiя y =
x
∫
0
H
1/2
(x)
dx має параболiчний вид. Бе-
ручи це до уваги, уводимо у (34) замiну:
y = Ax+Bx2, (35)
тодi
y′ = A+ 2Bx, y′′ = 2B. (36)
70 В. В. Чернюк
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2008. Том 10, N 3. С. 65 – 76
Пiдставивши вирази (35) i (36) у рiвняння (34),
отримали
a1λ(x)
(
Ax+ Bx2
)2
+ a2λ(x)
(
Ax+Bx2
)
×
× (A + 2Bx)x− a3
(
Ax+ Bx2
)
(A+ 2Bx)− (37)
−a4λ(x)
(
Ax+ Bx2
)
− a5λ(x) (A + 2Bx)x+
+a6 (A+ 2Bx) − a7 (A + 2Bx)
2
+
+2a8 (A+ 2Bx) 2B + a9λ(x) + a10 = 0.
Для знаходження невiдомих коефiцiєнтiв A i B
використовуємо додатковi рiвняння (31) i (35). Iз
(31) маємо y′ = H
1/2
(x)
(рiвняння (32)), а iз (35)
отримали y′ = A + 2Bx (рiвняння (36)). Таким
чином:
H
1/2
(x) = A+ 2Bx. (38)
Для спрощення сумiсного розв’язку (37) i (38)
скористаємось граничними умовами для початку
РТ: x = 0. Тодi iз (38) отримуємо: A = H
1/2
(0) . Пi-
сля пiдстановки x = 0 i A = H
1/2
(0) у рiвняння (37)
останнє зведено до виду:
a6H
1/2
(0) −a7H(0)+2a8H
1/2
(0) B+a9λ(x)+a10 = 0. (39)
Iз (39) маємо
B =
(
a7H(0) − a6H
1/2
(0) − a9λ(x) − a10
)
/
(
2a8H
1/2
(0)
)
.
(40)
З урахуванням позначень (33)
B =
α0abH
1/2
(0) cosϕ
2gω
−
(2α0 + α cosϕ)Q(0)b
4gω2
−
−
λ(x)Q
2
(0)
8gω2DH
1/2
(0)
−
sinψ
2H
1/2
(0)
. (41)
Увiвши A = H
1/2
(0) i B iз (41) у рiвняння (35) й
урахувавши (31) та v(0) = aH
1/2
(0) (13), отримали:
b
x
∫
0
H
1/2
(x) dx = bH
1/2
(0) x+
+
b2x2
2gω
(
α0v(0) cosϕ−
2α0 + α cosϕ
2
V(0)
)
−
−
bx
4H
1/2
(0)
(
λ(x)
x
D
V 2
(0)
2g
+ 2x sinψ
)
, (42)
де b
x
∫
0
H
1/2
(x) dx – шляхова роздача рiдини з РТ.
4.2. Дiлянка гiдравлiчно гладких труб
За формулою Блазiуса для дiлянки гiдравлiчно
гладких труб з урахуванням виразiв (22) i (28) ко-
ефiцiєнт λ(x) i його диференцiал записуються так:
λ(x) =
0.3164(ων)0.25
[(
Q(0) − b
x
∫
0
H
1/2
(x) dx
)
D
]0.25
, (43)
dλ(x) =
λ(x)bH
1/2
(x) dx
4
(
Q(0) − b
x
∫
0
H
1/2
(x) dx
) . (44)
Пiдставивши (43) i (44) у (25), отримали
dhl(x)
=
λ(x)
2gω2D
[
b
x
∫
0
H
1/2
(x)
dx
2
dx+Q2
(0)dx+
+1.75 b2H
1/2
(x) xdx
x
∫
0
H
1/2
(x) dx−
−2Q(0)
x
∫
0
H
1/2
(x) dxdx−1.75Q(0)bH
1/2
(x) xdx
]
. (45)
Пiдставивши вираз (45) замiсть (23) у рiвнян-
ня (24) i помноживши отриманий многочлен на
2gω2D та подiливши його на dx, одержали рiвня-
ння:
λ(x)b
2
x
∫
0
H
1/2
(x) dx
2
+
+1.75λ(x)xb
2H
1/2
(x)
x
∫
0
H
1/2
(x) dx−
−2D(2α0 + α cosϕ)b2H
1/2
(x)
x
∫
0
H
1/2
(x) dx− (46)
−2λ(x)Q0b
x
∫
0
H
1/2
(x) dx− 1.75λ(x)xQ0bH
1/2
(x) +
+2D(2α0 + α cosϕ)bQ0H
1/2
(x) −
−4α0ωabD cosϕH(x) + 2gω2D
dH(x)
dx
+
+λ(x)Q
2
0 + 4gω2D sinψ = 0.
В. В. Чернюк 71
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2008. Том 10, N 3. С. 65 – 76
Застосовуємо до рiвняння (46) замiну (31) i зале-
жностi (32), а постiйнi при змiнних y, y′, y′′ у (46)
замiняємо коефiцiєнтами a1,. . . ,a10:
a1 = b2, a2 = 1.75b2,
a3 = 2(2α0 + α cosϕ)b2D,
a4 = 2bQ(0), a5 = 1.75bQ(0),
a6 = 2(2α0 + α cosϕ)bDQ(0), (47)
a7 = 4α0abDω cosϕ, a8 = 2gω2D,
a9 = Q2
(0), a10 = 4gω2D sinψ.
Рiвняння (46) звели до вигляду:
a1λ(x)y
2 + a2λ(x)yy
′x− a3yy
′ − a4λ(x)y−
−a5λ(x)y
′x+ a6y
′ + a7 (y′)
2
+ 2a8y
′y′′+
+a9λ(x) + a10 = 0. (48)
Увiвши у (48) замiни (35) i (36), отримали:
a1λ(x)
(
Ax+Bx2
)2
+ a2λ(x)
(
Ax+ Bx2
)
×
× (A+ 2Bx)x− a3
(
Ax+Bx2
)
(A + 2Bx)− (49)
−a4λ(x)
(
Ax+Bx2
)
− a5λ(x) (A+ 2Bx)x+
+a6 (A+ 2Bx) − a7 (A+ 2Bx)2 +
+2a8 (A+ 2Bx) 2B + a9λ(x) + a10 = 0.
Рiвняння (49) iдентичне рiвнянню (37), отож йо-
го розв’язком також є вираз (42).
4.3. Перехiдна дiлянка
Коефiцiєнт λ(x) для дiлянки доквадратичного
опору з урахуванням виразiв (22) i (28) записує-
ться за формулою А. Д. Альтшуля так:
λ(x) = 0.11
∆
D
+
68ων
(
Q(0)−b
x
∫
0
H
1/2
(x) dx
)
D
0.25
. (50)
Його диференцiал
dλ(x) =
0.114
λ3
(x)
17ωνbH
1/2
(x) dx
(
Q(0) − b
x
∫
0
H
1/2
(x) dx
)2
D
. (51)
Пiдставивши вирази (50) i (51) у (25) отримали
вираз для dhl(x)
(
2gω2D
λ(x)
)
dhl(x)
=
b
x
∫
0
H
1/2
(x) dx
2
dx+ (52)
+2b2H
1/2
(x) xdx
x
∫
0
H
1/2
(x) dx− 2Q(0)b
x
∫
0
H
1/2
(x) dxdx+
+17
(
0.11
λ(x)
)4 ωνbH
1/2
(x) xdx
D
−
−2Q(0)bH
1/2
(x) xdx+Q2
(0)dx.
Пiдставивши (52) замiсть (23) пiд знак диферен-
цiала у рiвняння (24), одержали
λ(x)b
2
x
∫
0
H
1/2
(x) dx
2
+
+2λ(x)b
2H
1/2
(x)
x
x
∫
0
H
1/2
(x)
dx−
−2(2α0 + α cosϕ)b2DH
1/2
(x)
x
∫
0
H
1/2
(x) dx−
−2λ(x)Q(0)b
x
∫
0
H
1/2
(x) dx− 2λ(x)Q(0)bxH
1/2
(x) +
+2(2α0 + α cosϕ)bDQ(0)H
1/2
(x) + (53)
+17
0.114
λ3
(x)
bνωxH
1/2
(x)
D
− 4α0abDω cosϕH(x)+
+2Dgω2 dH(x)
dx
+ λ(x)Q
2
(0) + 4Dgω2 sinψ = 0.
Застосовуємо до рiвняння (53) замiну (31) i зале-
жностi (32), а постiйнi при змiнних y, y′, y′′ у (53)
замiняємо коефiцiєнтами a1,. . . ,a11:
a1 = b2, a2 = 2b2, a3 = 2(2α0 + α cosϕ)b2D,
a4 = 2bQ(0), a5 = 2bQ(0),
a6 = 2(2α0 + α cosϕ)bDQ(0),
a7 = 17 · 0.114bων
/
D, (54)
a8 = 4α0abDω cosϕ, a9 = 2Dgω2, a10 = Q2
(0),
a11 = 4Dgω2 sinψ.
72 В. В. Чернюк
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2008. Том 10, N 3. С. 65 – 76
Рiвнянню (53) надали такого вигляду:
a1λ(x)y
2 + a2λ(x)yy
′x− a3yy
′ − a4λ(x)y−
−a5λ(x)y
′x+ a6y
′ + a7λ
−3
(x)y
′x− a8 (y′)
2
+
+2a9y
′y′′ + a10λ(x) + a11 = 0. (55)
Увiвши у (55) замiни (35) i (36), маємо
a1λ(x)
(
Ax+Bx2
)2
+
+a2λ(x)
(
Ax+Bx2
)
(A + 2Bx)x−
−a3
(
Ax+ Bx2
)
(A+ 2Bx)−
−a4λ(x)
(
Ax+ Bx2
)
− a5λ(x) (A + 2Bx)x+
+a6 (A+ 2Bx) + a7λ
−3
(x) (A + 2Bx)x− (56)
−a8 (A + 2Bx)
2
+ 2a9 (A+ 2Bx) 2B+
+a10λ(x) + a11 = 0.
Рiвняння (56) вiдрiзняється вiд вiдповiдних йо-
му виразiв (37) для ламiнарних потокiв i (49)
для дiлянки гладкостiнного опору наявнiстю до-
даткового члена a7λ
−3
(x)
(A + 2Bx)x, де a7 = 17 ·
0.114bων/D (див. (54)).
Для знаходження коефiцiєнтiв A i B використо-
вуємо рiвняння (31) i (35). Iз (31) y′ = H
1/2
(x) , а iз
(35) y′ = A+2Bx. Взявши до уваги (38) i граничнi
умови для початку РТ x = 0 iз (38), отримуємо:
A = H
1/2
(0) . Пiсля пiдстановки x = 0 i A = H
1/2
(0) у
рiвняння (56) останнє зведено до вигляду:
a6H
1/2
(0) −a8H(0)+4a9H
1/2
(0) B+a10λ(x)+a11 = 0. (57)
Iз (57) випливає
B =
a8H(0) − a(6)H
1/2
(0) − a10λ(x) − a11
4a9H
1/2
(0)
. (58)
З урахуванням позначень (54)
B =
α0abH
1/2
(0) cosϕ
2gω
−
(2α0 + α cosϕ)Q(0)b
4gω2
−
−
λ(x)Q
2
(0)
8gω2DH
1/2
(0)
−
sinψ
2H
1/2
(0)
. (59)
Увiвши A = H
1/2
(0) i вираз для B iз (59) у рiв-
няння (35), а також з урахуванням (31) та v(0) =
aH
1/2
(0) (див. (13)), отримали формулу:
b
x
∫
0
H
1/2
(x) dx = bH
1/2
(0) x+
+
b2x2
2gω
(
α0v(0) cosϕ−
2α0 + α cosϕ
2
V(0)
)
−
−
bx
4H
1/2
(0)
(
λ(x)
x
D
V 2
(0)
2g
+ 2x sinψ
)
. (60)
Формула (60) iдентична виразу (42) для ламi-
нарних потокiв й спiвпадає з розв’язком рiвняння
(49) для дiлянки гiдравлiчно гладких труб турбу-
лентного режиму течiї (див. пояснення до (49)).
4.4. Дiлянка гiдравлiчно шорстких труб
Для дiлянки квадратичного опору коефiцiєнт
λ(x) обчислюється за формулою Б. Л. Шифрiнсона
λ(x) = 0.11
(
∆
D
)0.25
. (61)
За незмiнних значень ∆ на розрахунковому вiд-
рiзку РТ коефiцiєнт λ(x) = const, а його диферен-
цiал dλ(x) = 0. Вираз (25) для диференцiалу втрат
напору спроститься до
dhl(x)
=
1
2gω2D
[
λ(x)
(
Q(0) − b
x
∫
0
H
1/2
(x) dx
)2
dx+
+2λ(x)x
(
Q(0) − b
x
∫
0
H
1/2
(x) dx
)(
− bH
1/2
(x) dx
)
+
+
(
Q(0) − b
x
∫
0
H
1/2
(x) dx
)2
x dλ(x)
]
. (62)
Пiдставивши (62) в (24), одержали рiвняння
λ(x)b
2
x
∫
0
H
1/2
(x)
dx
2
+
+2λ(x)xb
2H
1/2
(x)
x
∫
0
H
1/2
(x) dx−
−2D(2α0 + α cosϕ)b2H
1/2
(x)
x
∫
0
H
1/2
(x) dx−
−2λ(x)Q(0)b
x
∫
0
H
1/2
(x) dx− 2λ(x)xQ(0)bH
1/2
(x) +
+2D(2α0 + α cosϕ)bQ(0)H
1/2
(x) − (63)
−4α0ωabD cosϕH(x) + 2gω2D
dH(x)
dx
+
В. В. Чернюк 73
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2008. Том 10, N 3. С. 65 – 76
+λ(x)Q
2
(0) + 4gω2D sinψ = 0,
яке вiдрiзняється вiд рiвняння (30) наявнiстю ко-
ефiцiєнтiв 2 перед другим i п’ятим доданками. З
розв’язкiв вiдповiдних рiвнянь (30), (46) i (53) ба-
чимо, що першi п’ять доданкiв цих рiвнянь в про-
цесi подальших розв’язувань випадають з промi-
жних рiвнянь i на кiнцевий результат не вплива-
ють. Таким чином, розв’язком рiвняння (63) є ви-
раз (60). Останнiй є справедливим для ламiнарно-
го й турбулентного режимiв течiй.
5. МЕТОДИКА РОЗРАХУНКУ РТ
Розрахунок РТ доцiльно вести ходом проти по-
току вiд його кiнця до голови (рис. 5). Для цього
формулi (60) надаємо вид:
bi−k
xk
∫
xi
H
1/2
(x) dx = bi−kxi−k
[
H
1/2
(xi)
+
bi−kxi−k
2gω(xi)
×
×
(2α0 + α cosϕ(xi)
2
V(x
i
) − α0v(xi) cosϕ(xi)
)]
+
+
bi−kxi−k
4H
1/2
(xi)
(λ(xi)xi−k
D(xi)
V 2
(xi)
2g
+ 2xi−k sinψ(xi)
)
, (64)
де V(xi) = Q(xi)/ω, v(xi) = ϕ
√
2gH(xi).
За (64) обчислюється витрата рiдини, транспор-
тованої усерединi РТ. Вона зростає у напрямку до
початку РТ на величину, яка чисельно дорiвнює
шляховiй роздачi рiдини з РТ на цiй же розрахун-
ковiй дiлянцi xi−k.
Залежнiсть для покрокового обчислення напо-
ру H(xk), пiд дiєю якого витiкає струмiнь у пере-
рiзi k (рис. 5), отримано диференцiюванням вира-
зу (60), переписаного з урахуванням ходу проти
потоку. Застосування замiни (35) спричинило уве-
дення емпiричного коефiцiєнта κ у розрахункову
формулу (65) перед усiма доданками, окрiм пер-
шого H1/2
(xi)
:
H(xk) =
[
H
1/2
(xi)
+
κ · bi−kxi−k
gω(xi)
× (65)
×
(2α0 + α cosϕ(xi)
2
V(xi) − α0v(xi) cosϕ(xi)
)
+
+
κ
2H
1/2
(xi)
(λ(xi)xi−k
D(xi)
V 2
(xi)
2g
+ 2xi−k sinψ(xi)
)]2
,
де у (64) i (65) bi−k – коефiцiєнт, постiйний на роз-
рахунковiй дiлянцi i−k, обчислюється за (17); xi –
Рис. 5. Схема для розрахунку РТ ходом проти
потоку: 1 – п’єзометрична лiнiя; 2 – лiнiя повного
напору; 3 – епюра швидкостей струменiв, якi
вiд’єднуються; x – вiсь РТ
iндекс при символах параметрiв РТ, потоку i стру-
менiв, який вказує на їх належнiсть до початку
розрахункової дiлянки i− k.
Емпiричний коефiцiєнт κ у (65) враховує також
зменшення гiдравлiчного опору РТ при малiй вiд-
станi мiж отворами-випусками. Наприклад, для
РТ, описаного нижче у роздiлi 6, κ = 0.6. Ймо-
вiрно, що для розподiльчих трубопроводiв κ ≤ 1.
Коефiцiєнт λ(x) для РТ, обчислюють за форму-
лами:
при Re(xi) ≤ 2320 (ламiнарний режим течiї)
λ(xi) =
64
Re(xi)
, (66)
для Re(xi)
∆(xi)
D(xi)
< 10 (дiлянка гiдравлiчно глад-
ких труб)
λ(xi) =
0.3164
Re0.25
(xi)
. (67)
При 10 ≤Re(xi)
∆(xi)
D(xi)
≤ 500 (перехiдна дiлянка)
λ(xi) = 0.11
[
∆(xi)
D(xi)
+
68
Re(xi)
]0.25
, (68)
для Re(xi)
∆(xi)
D(xi)
> 500 (дiлянка гiдравлiчно
шорстких труб)
λ(xi) = 0.11
(
∆(xi)
D(xi)
)0.25
, (69)
74 В. В. Чернюк
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2008. Том 10, N 3. С. 65 – 76
а значення критерiю Рейнольдса для основного по-
току в РТ встановлюють за формулою
Re(xi) =
Q(xi)D(xi)
ω(xi)ν(xi)
, (70)
де ν(xi) – кiнематична в’язкiсть; v(xi) – швидкiсть
струмини (13); ϕ – коефiцiєнт швидкостi; ϕ(xi) й
ψ(xi) – кути, вiдраховуються проти годинникової
стрiлки, як це показано на рис. 2, 3 i 5.
Коефiцiєнт витрати отвору- або насадка-
випуску µ(xi) = f(Reor(xi )
, l/d), де l – товщина
стiнки РТ, або довжина насадка-випуску; d –
дiаметр отвору- або насадка-випуску; Reor(xi)
–
критерiй Рейнольдса для струменя, який витiкає
крiзь отвiр- або насадок-випуск, у перерiзi xi РТ,
Reor(xi )
= f(H(xi)). Зокрема, для цилiндричного
насадка-випуску при Fr(xi) > 10, We(xi) > 200,
досконалому повному стисненнi й гострих вхiдних
кромках значення коефiцiєнта µ(xi) можна обчи-
слити за емпiричними формулами, отриманими
за даними З. I. Геллера, Ю. А. Скобельцина [19, с.
68-71]. Одна з цих залежностей для спiввiдношень
l/d = 1 . . .1.5, Reth(xi)
=103...105,
або l/d = 2 . . .5, Reth(xi)
=50...15 · 104,
або l/d = 10 . . .50, Reth(xi)
= 80...15 · 104
має такий вигляд [19, с. 69]
µ(xi) =
1
1.23 + 58l
Reth(xi)
d
, (71)
де Reth(xi)
=
√
2gH(xi)d/ν – критерiй Рейнольдса
для струменя при “теоретичнiй швидкостi витiка-
ння” [19, с. 61].
На виходi iз РТ у перерiзi x = 0 (рис. 5) витрата
рiдини рiвна Q(0) = Qtr, а робочий напiр H(x) =
H(0). Останнiй обчислюють з формули
q(0) = µω0
√
2gH(0),
у яку пiдставляють те значення витрати рiдини
q(0) через останнiй отвiр-випуск, яке хочуть реалi-
зувати.
6. ПОРIВНЯННЯ З IНШИМИ ДАНИМИ
Значення напорiв i витрат води, обчисленi за
формулами (64) i (65), практично спiвпадають з
експериментальними даними (рис. 6, вiсь x на-
правлена зустрiчно основному потоку в РТ).
Експериментальний РТ з дiаметромD= 8.21 мм
мав одинадцять насадкiв-випускiв з довжинами
кожного по 25 мм i внутрiшнiм дiаметром d =
3.2 мм i дванадцять штуцерiв такої самої констру-
кцiї для пiдключення п’єзометрiв. Тi й другi роз-
ташованi з кроком, кратним 10 d, але неоднаковим
на окремих дiлянках РТ (див. положення експери-
ментальних точок 1 на рис. 6, або схему РТ у [18]).
Шпаруватiсть РТ f = nω0/ω = 1.469, довжина
його перфорованої частини L = 2.644 м, ϕ = 90◦,
ψ = 0◦.
При розрахунку РТ за методикою [10, 11] не-
обхiдно задаватись вихiдним значенням витрати
основного потоку на початку РТ. Оскiльки йо-
го значення невiдоме, то взято експериментально
отримане Qbeg = 160.2 · 10−6 м3/с. За методикою
[10, 11] обчислюється лише п’єзометричний робо-
чий напiр (без урахування швидкiсного напору та
при ψ = 0◦) i тiльки за умови рiвномiрного роз-
ташування насадкiв-випускiв. З метою коректно-
го порiвняння методик, додатково за формулами
(64)–(71) отримано кривi 4 для постiйного кроку
насадкiв-випускiв.
Методика автора статтi враховує змiну вздовж
РТ значень коефiцiєнта гiдравлiчного тертя i ко-
ефiцiєнта витрати насадка-випуску. За цiєю мето-
дикою необхiдно задаватись вихiдним значенням
напору на останньому насадку-випусковi, тобто в
кiнцi РТ, що є досить простим (див. пояснення,
поданi у кiнцi роздiлу 5). Взято експерименталь-
не значення H(o) = 0.104 м. Коефiцiєнт λ(x) об-
числювали за формулами (66) i (65), а коефiцiєнт
µ(x) – за (71). Залежностi (64)–(71) придатнi для
розрахункiв довгих, промiжних i коротких РТ, що
також пiдтверджено дослiдами.
ВИСНОВКИ
Розрахунковi залежностi, що одержанi унаслi-
док розв’язання диференцiального рiвняння ру-
ху рiдини змiнної маси для напiрних розподiль-
них трубопроводiв, практично спiвпадають з екс-
периментальними даними. Вони вiдносно простi i
на вiдмiну вiд iнших методик дозволяють урахо-
вувати вплив постiйних або змiнних значень гео-
метричних параметрiв РТ, кiнематичних i динамi-
чних характеристик основного потоку i струменiв,
якi вiд’єднуються, включаючи кут ϕ вiдведення
струменiв, кут ψ нахилу осi РТ до обрiю та змiну
вздовж потоку режимiв течiї та законiв гiдравлi-
чного опору. Виведенi залежностi є придатними
для проектування довгих, промiжних i коротких
РТ.
Автор висловлює вдячнiсть вченим Нацiональ-
ного унiверситету “Львiвська полiтехнiка” докт.
фiз.-матем. наук, проф. М. А. Сухорольському за
В. В. Чернюк 75
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2008. Том 10, N 3. С. 65 – 76
Рис. 6. Порiвняння результатiв обчислень:
а – п’єзометричний напiр усерединi РТ;
б – те саме, витрата води;
1 – данi експерименту
(H(0) = 0.104 м, Qtr = 0);
2 – кривi, отриманi за формулами (64)–(71),
κ = 0.6;
3 – те саме, за методикою [10, 11]
за умови рiвномiрного розташування
насадкiв-випускiв;
4 – те саме, за (64)–(71)
консультацiї, наданi при розв’язуваннi рiвняння
(24), та канд. техн. наук В. I. Орлу за допомогу
в експериментальнiй перевiрцi формул (64) i (65).
1. Дергачёв Б. А. Движение жидкости в трубопро-
воде с дискретным изменением расхода по длине:
Автореф. дис. . . . канд. техн. наук: 05.14.09 / Ле-
нингр. политехн. ин-т. – Л.: 1974. – 20 с.
2. Чугаев Р. Р. Гидравлика.– Л.: Энергоиздат, 1982.–
672 с.
3. Кузнецов Е. В. Гидравлические параметры трубо-
проводов закрытых оросительных систем и спосо-
бы их расчёта: Автореф. дис. . . . канд. техн. наук:
05.14.09 / Моск. гидромелиорат. ин-т. – М., 1985.
– 21 с.
4. Петров Г. А. Гидравлика переменной массы (Дви-
жение жидкости с изменением расхода вдоль
пути).– Харьков: ХГУ, 1964.– 224 с.
5. Смыслов В. В., Езерский Н. О. Гидравлический
расчет перфорированных цилиндрических трубо-
проводов с раздачей расхода / Гидравлика и ги-
дротехника: Науч.-техн. сб. – Вып. 30.– К.: Техни-
ка. – 1980.– С. 52-59.
6. Смыслов В. В., Константинов Ю. М. К расчёту
дырчатых труб с раздачей расхода вдоль пути /
Гидравлика и гидротехника: Науч.-техн. сб.– Вып.
12.– К.: Техника. – 1971. – С. 47-52.
7. Константинов Ю. М. Специальные вопросы ги-
дравлики систем водоснабжения и водоотведения:
Учебное пособие.– К.: КИСИ, 1981.– 96 с.
8. Науменко И. И. Гидравлический расчет поливных
трубопроводов капельного орошения / Гидравли-
ка и гидротехника: Науч.-техн. сб. – Вып. 30. – К.:
Техника. – 1980.– С. 70-77.
9. Коваленко В. Н., Бойко В. И. Об уравнении уста-
новившегося напорного движения жидкости в ци-
линдрической трубе с отделением расхода вдоль
пути // Изв. вузов. Стр-во и архитектура. – 1989.
– № 4. – С. 84-87.
10. Кравчук А. М. Гiдравлiка змiнної маси напiрних
трубопроводiв технiчних систем: Автореф. дис.
докт. техн. наук: 05.23.16 / Києв. нац. ун-т будiв-
ництва i архiтектури. – К., 2004. – 35 с.
11. Чернишов Д. О. Вплив гiдродинамiки потоку на
характеристики роботи розподiльчих трубопрово-
дiв: Автореф. дис. канд. техн. наук: 05.23.16 / Ки-
єв. нац. ун-т будiвництва i архiтектури. – К., 2005.
– 20 с.
12. Василенко А. А., Смыслов В. В. Анализ урав-
нения движения жидкости в горизонтальном ци-
линдрическом трубопроводе с присоединением ра-
схода вдоль пути // Гидравлика и гидротехника:
Науч.-техн. сб. – Вып.17. – К.: Тeхника. – 1973. –
С. 19-24.
13. Claudio D. Icondotti emyngenti da un serbatoio. Atti
e men. Accad. patav. sci lettere ed arti.– 1961-1962.
– 74, Parte 2.
14. Константинов Ю. М. Гидравлика: Учебник.– К.:
Вища школа, 1988. – 398 с.
15. Чернюк В. В. Диференцiальне рiвняння руху рi-
дини зi змiнною масою з урахуванням реакцiї на
змiну витрати // Вiсн. Укр. держ. ун-ту водн. госп.
та природокорист. – Рiвне: УДУВГП. – 2002. – Вип.
5 (18). – С. 196-201.
16. Чернюк В. В. Рiвняння руху рiдини змiнноє маси
для цилiндричних трубопроводiв // Промислова
гiдравлiка i пневматика. – 2003. – № 1.– С. 25-28.
17. Чернюк В. В. Розв’язок диференцiального рiвня-
ння руху рiдини змiнної маси для напiрних роз-
подiльчих трубопроводiв // Гiдромелiорацiя та гi-
дротехнiчнi споруди: Зб. наук. пр. Вип. 31. – Рiвне:
Нац. ун-т водн. госп. та природокорист., 2006.– С.
293-302.
18. Чернюк В. В., Орел В. I. Вплив додаткiв полiа-
криламiду на нерiвномiрнiсть дискретної шляхової
роздачi води з напiрного трубопроводу // Проми-
слова гiдравлiка i пневматика. – 2006. – № 4(14).–
С. 37-40.
19. Степанов М. П., Овчаренко И. Х., Скобель-
цын Ю. А. Справочник по гидравлике для мелио-
раторов. – М.: Колос, 1984. – 207 с.
76 В. В. Чернюк
|