Краевые эффекты в композите, армированном волокнами квадратного поперечного сечения, при наличии контактной трещины
Рассмотрен двухкомпонентный композит, слабоармированный волокнами прямоугольного поперечного сечения и ослабленный двумя контактными трещинами, расположенными симметрично одной из координатных осей. Композит находится в условиях плоской деформации. На границе приложена равномерная растягивающая н...
Gespeichert in:
| Datum: | 2001 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України
2001
|
| Schriftenreihe: | Проблемы прочности |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/46694 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Краевые эффекты в композите, армированном волокнами квадратного поперечного сечения, при наличии контактной трещины / Ю.В. Коханенко, В.В. Ясинский, В.Ю. Бойчук // Проблемы прочности. — 2001. — № 5. — С. 76-86. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-46694 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-466942013-07-06T10:38:37Z Краевые эффекты в композите, армированном волокнами квадратного поперечного сечения, при наличии контактной трещины Коханенко, Ю.В. Ясинский, В.В. Бойчук, В.Ю. Научно-технический раздел Рассмотрен двухкомпонентный композит, слабоармированный волокнами прямоугольного поперечного сечения и ослабленный двумя контактными трещинами, расположенными симметрично одной из координатных осей. Композит находится в условиях плоской деформации. На границе приложена равномерная растягивающая нагрузка. Исследуется влияние коэффициентов Пуассона компонент композита на характер зон краевых эффектов. Приближенное решение задачи отыскивается с помощью метода конечных разностей. Построены зоны краевых эффектов для компонент напряжений в зависимости от значений коэффициентов Пуассона компонент композита. Розглянуто двокомпонентний композит, слабкоармований волокнами прямокутного поперечного перерізу і послаблений двома контактними тріщинами, що розташовані симетрично одній з координатних осей. Композит знаходиться в умовах плоскої деформації. На границі прикладено рівномірно розтягуюче навантаження. Досліджується вплив коефіцієнтів Пуассона компонент композита на характер зон крайових ефектів. Наближений розв’язок задачи відшукується за допомогою методу скінченних різниць. Побудовано зони крайових ефектів для компонент напружень у залежності від значень коефіцієнтів Пуассона компонент композита. A two-component composite slightly reinforced with fibers of rectangular cross-section and weakened by two contact cracks located symmetrically about one of the coordinate axes is considered. The composite was subjected to plane deformation. A uniform tensile load was applied at its boundary. The effect of the Poisson ratios of composite components on the character of zones of edge effects was investigated. Using the grid approach rough solutions for the problems were obtained. The regions of the edge effects were constructed for the components of stresses depending on the values of the Poisson ratios of the composite components. 2001 Article Краевые эффекты в композите, армированном волокнами квадратного поперечного сечения, при наличии контактной трещины / Ю.В. Коханенко, В.В. Ясинский, В.Ю. Бойчук // Проблемы прочности. — 2001. — № 5. — С. 76-86. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. 0556-171X http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/46694 539.3 ru Проблемы прочности Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Научно-технический раздел Научно-технический раздел |
| spellingShingle |
Научно-технический раздел Научно-технический раздел Коханенко, Ю.В. Ясинский, В.В. Бойчук, В.Ю. Краевые эффекты в композите, армированном волокнами квадратного поперечного сечения, при наличии контактной трещины Проблемы прочности |
| description |
Рассмотрен двухкомпонентный композит, слабоармированный волокнами прямоугольного
поперечного сечения и ослабленный двумя контактными трещинами, расположенными
симметрично одной из координатных осей. Композит находится в условиях плоской деформации.
На границе приложена равномерная растягивающая нагрузка. Исследуется влияние
коэффициентов Пуассона компонент композита на характер зон краевых эффектов. Приближенное
решение задачи отыскивается с помощью метода конечных разностей. Построены
зоны краевых эффектов для компонент напряжений в зависимости от значений
коэффициентов Пуассона компонент композита. |
| format |
Article |
| author |
Коханенко, Ю.В. Ясинский, В.В. Бойчук, В.Ю. |
| author_facet |
Коханенко, Ю.В. Ясинский, В.В. Бойчук, В.Ю. |
| author_sort |
Коханенко, Ю.В. |
| title |
Краевые эффекты в композите, армированном волокнами квадратного поперечного сечения, при наличии контактной трещины |
| title_short |
Краевые эффекты в композите, армированном волокнами квадратного поперечного сечения, при наличии контактной трещины |
| title_full |
Краевые эффекты в композите, армированном волокнами квадратного поперечного сечения, при наличии контактной трещины |
| title_fullStr |
Краевые эффекты в композите, армированном волокнами квадратного поперечного сечения, при наличии контактной трещины |
| title_full_unstemmed |
Краевые эффекты в композите, армированном волокнами квадратного поперечного сечения, при наличии контактной трещины |
| title_sort |
краевые эффекты в композите, армированном волокнами квадратного поперечного сечения, при наличии контактной трещины |
| publisher |
Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України |
| publishDate |
2001 |
| topic_facet |
Научно-технический раздел |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/46694 |
| citation_txt |
Краевые эффекты в композите, армированном волокнами
квадратного поперечного сечения, при наличии контактной
трещины / Ю.В. Коханенко, В.В. Ясинский, В.Ю. Бойчук // Проблемы прочности. — 2001. — № 5. — С. 76-86. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
| series |
Проблемы прочности |
| work_keys_str_mv |
AT kohanenkoûv kraevyeéffektyvkompozitearmirovannomvoloknamikvadratnogopoperečnogosečeniâprinaličiikontaktnojtreŝiny AT âsinskijvv kraevyeéffektyvkompozitearmirovannomvoloknamikvadratnogopoperečnogosečeniâprinaličiikontaktnojtreŝiny AT bojčukvû kraevyeéffektyvkompozitearmirovannomvoloknamikvadratnogopoperečnogosečeniâprinaličiikontaktnojtreŝiny |
| first_indexed |
2025-07-04T06:08:00Z |
| last_indexed |
2025-07-04T06:08:00Z |
| _version_ |
1836695453441196032 |
| fulltext |
УДК 539.3
Краевые эффекты в композите, армированном волокнами
квадратного поперечного сечения, при наличии контактной
трещины
Ю . В. Коханенкоа, В. В. Я синский6, В. Ю . Бойчука
а Институт механики им. С. П. Тимошенко НАН Украины, Киев, Украина
6 Национальный технический университет Украины, Киев, Украина
Рассмотрен двухкомпонентный композит, слабоармированный волокнами прямоугольного
поперечного сечения и ослабленный двумя контактными трещинами, расположенными
симметрично одной из координатных осей. Композит находится в условиях плоской дефор
мации. На границе приложена равномерная растягивающая нагрузка. Исследуется влияние
коэффициентов Пуассона компонент композита на характер зон краевых эффектов. При
ближенное решение задачи отыскивается с помощью метода конечных разностей. По
строены зоны краевых эффектов для компонент напряжений в зависимости от значений
коэффициентов Пуассона компонент композита.
Известно, что краевые эффекты в упругих средах исследуются в основ
ном с помощью метода однородных решений [1]. Альтернативным является
метод, позволяющий строить локальные зоны напряжений с использова
нием решений задач линейной теории упругости кусочно-однородных сред.
При этом зоны краевых эффектов с установленной точностью строятся на
основе определенных критериев [2]. В рамках такого подхода рассмотрены
[2, 3] плоские и осесимметричные задачи о краевых эффектах в слоистых и
слабоармированных волокнистых материалах при наличии разрывов напол
нителя. Ранее [4] исследовалась пространственная задача определения зон
краевых эффектов в композите, слабоармированном волокнами квадратного
поперечного сечения, при наличии трещины в наполнителе.
В настоящей работе, являющейся продолжением работ [3, 4], иссле
дуется плоская задача о краевых эффектах в композите, слабоармированном
прямоугольными волокнами и ослабленном двумя параллельными контакт
ными трещинами. Приближенное решение задачи теории упругости отыски
вается с использованием сеточного подхода. При этом сеточные уравнения
строятся на основе базовых факторов [2, 5, 6]. Разностная схема, соответ
ствующая рассматриваемой задаче теории упругости, выписывается в явной
форме. Индексы изменяются от 1 до 2, используются соглашение и сумми
рование.
П ост ановка задачи. В декартовых координатах y = (у 1,y 2 , у 3) рас
сматривается волокнистый двухкомпонентный композитный материал, слабо-
армированный волокнами квадратного поперечного сечения. Компоненты
композита моделируются линейно-упругими изотропными телами. Неболь
шое содержание наполнителя позволяет моделировать композит изолиро
ванным волокном, находящимся в бесконечной матрице. Направление арми
рования совпадает с направлением оси 0у3 . В плоскостях у 2 = const име
ются две параллельные контактные трещины, достаточно протяженные (бес-
© Ю. В. КОХАНЕНКО, В. В. ЯСИНСКИЙ, В. Ю. БОЙЧУК, 2001
76 ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2001, N 5
Краевые эффекты в композите, армированном волокнами
конечные) в направлении 0у 3 . В направлениях осей 0у 1 и 0у 2 композит
О О О
растягивается равномерными нагрузками р 11 = р 22 = р, которые обеспечи
вают в его теле в плоскости у 10у 2 состояние плоской деформации.
Задачу можно рассматривать в прямоугольной области | у 1|< Ь( с квад
ратным включением | у 11 < Ь, где 2Ь - величина стороны квадрата. Трещины
моделируются математическими разрезами |х 1|< ЬЛ|х2 |= Ь. Величины Ь1
определяются из следующего условия: возмущения напряжений, обуслов
ленные наличием включения и трещин, не достигают границы расчетной
области. С учетом геометрической и силовой симметрии задача рассматри
вается для четвертой части области, занятой композитом (рис. 1). Задача
формулируется в безразмерной форме. С этой целью для д-й компоненты
композита размерные составляющие смещений и напряжений обозначаются
через V - и т д соответственно (д = 1 относится к материалу наполнителя).
Рис. 1. Расчетная схема, соответствующая задаче определения краевых эффектов в двух
компонентном композите, слабоармированном волокнами квадратного поперечного сечения
и ослабленном контактными трещинами.
Введем следующие безразмерные величины (рис. 1):
х і = У і / Ъ1; и д = Vе- / Ь1; ї і = Ъ{ / Ь1 -> 11 = 1; а = Ь / /1;
о
р = 0 ,5р / ( А2 + в 2); а | = 0,5т- / ( № + в 4),
(1)
где = Е д V - /[(1 + V д ) (1 - 2 v q )]; Е д , О д , V д - соответственно коэффици
ент Ламе и технические постоянные д-го тела; верхний индекс обозначает
номер компоненты композита, а не показатель степени.
0556-171Х. Проблемы прочности, 2001, № 5 77
Ю. В. Коханенко, В. В. Ясинский, В. Ю. Бойчук
При введении безразмерных напряжений по (1) поверхностные нагруз
ки становятся равными соответствующим поверхностным деформациям, т.е.
P li = Р 22 = P = ^11 = £ 22; x i = l i Л x 3-i < l 3 - i . (2)
Композит занимает область Q — Q 1 + Q 2 = [ \ x t \ < l t , /1 = 1}, Q 1 =
= {\xi \< a}, Q 2 — Q — Q 1 (рис. 1). Перейдем к формулировке задачи теории
краевых эффектов. Как отмечалось выше, для этого нужно сформулировать
соответствующую задачу линейной теории упругости и критерий оценки зон
краевых эффектов.
Ф ормулировка задачи т еории упругост и. В области Q требуется найти
векторные функции u q — (u f ,u 2 ), удовлетворяющие в пределах q-й компо
ненты композита уравнениям равновесия:
дОq —
— — — 0, x £ Q q; (3)
З а
граничным условиям:
°Т2 = 0 Л u q — 0, о < x 1 < 1Л x 2 = 0,
0 П = P Л о 2 2 = 0, x 1 = 1Л 0 < x 2 < 12 ,
0 21 = 0 Л <7 22 = P , 0 < x 1 < 1Л x 2 = 12 , (4)
u f — 0 Ло22 = 0, x 1 = 0 Л 0 < x 2 < l2 ,
О 21 = 0 Л о 22 = 0, 0 < x 1 < a Л x 2 = + a ,
О21 — 0 Л о 22 — 0, 0 < x 1 < a Л x 2 — a;
условиям идеального контакта на границе раздела компонент композита:
.1 _ ,.2 . „ 1 ___2
u — = u — ЛО 1m = 0 1m , x 1 = a Л 0 < x 2 < a . (5)
Закон Гука в безразмерной форме в пределах д-й компоненты композита
имеет вид
о q —c q d u - +dx; d x j
Оq = g q 12 g
d u f du 2
dx 2 8x 1
, i * j , (6)
где
c q —
Aq + 2 G q Xq
2( Aq + G q ) 2( Aq + G q )
G q
Aq + G q
(7)
Л - знак логического умножения.
q
78 ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2001, № 5
Краевые эффекты в композите, армированном волокнами
К рит ерий оценки зон краевы х эф ф ект ов. Используется первый кри
терий [2], согласно которому границы зон краевых эффектов для напря
жений о У- представляют собой линии равных напряжений, определяемые
из равенств
о ?• = Р(1 + 0,01 р); о 12 = 0,001 р Р , (8)
где р - отклонение (увеличение) в процентах напряжений на границе зоны
от напряжения Р.
Из (8) определяется величина d^j (р , п ) протяженности краевого эффек
та для напряжения о - в направлении единичного вектора п с точностью р.
Указанная величина представляет собой расстояние в направлении п от
выбранной начальной точки х Е й 9 , находящейся в зоне краевого эффекта,
до точки, находящейся на линии (8). Обычно за начальную принимается
точка на линии, являющейся источником краевого эффекта. Для рассмат
риваемой задачи источниками краевого эффекта есть контактная часть й
(отрезок х 1 = а Л 0 < х 2 < а ) и точка х 1 = а Л х 2 = 0 (конец трещины). Отме
тим, что в соответствии с (8) определяются также границы областей крае
вых эффектов размерных напряжений т - , определяемых по ( 1).
П риближ енное р еш ен и е задачи. К приближенному решению задачи
(2)-(7) применяется сеточный подход. Для построения разностной схемы
используется концепция базовой схемы [2, 5, 6]. В рассматриваемом случае
базовая схема является разностной схемой, построенной на шаблоне прямо
угольной ячейки сетки, и соответствует классу плоских основных задач
линейной теории упругости кусочно-однородных сред с изотропными ком
понентами. При этом область, занятая композитом, может иметь произволь
ные связность и конфигурацию, но должна представлять собой объединение
областей прямоугольной формы. Выражение т-й компоненты разностной
схемы в сеточном узле определяется как сумма выражений т-й компо
ненты базовой схемы в тех узлах ячеек сетки, которые принадлежат к
сеточному узлу. Для каждой ячейки сетки принимаются технические посто
янные той компоненты композита, которая эту ячейку заполняет. Если
рассматриваемый сеточный узел является граничным и в нем по т-й компо
ненте задано граничное условие в смещениях, то это граничное условие есть
выражением т-й компоненты разностной схемы.
Задача (2)-(7) как смешанная задача теории упругости принадлежит к
рассматриваемому классу задач. Область й , занятая композитом, - одно
связная и может быть описана, например, объединением следующих трех
прямоугольных областей (рис. 1):
0 < Х1 < а Л 0 < х 2 < а; а < Х1 < 1Л 0 < Х2 < /2 ; 0 < Х1 < а Л а < Х2 < /2 .
ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2001, № 5 79
Ю. В. Коханенко, В. В. Ясинский, В. Ю. Бойчук
В узле £ = (£ 1,£ 2 ) = (±1, ± 2) ячейки сетки базовая схема имеет вид
а(£ )и = р (£) или а т (£ )и = р т (£ ), (9)
где т-я компонента базового оператора с учетом (2)-(7) определяется по
формуле
Н £ ■
а т (£ )и ( ^ т + ^ т ) ' (10)
Разностный аналог закона Гука
° и = с и 1 ,£, + Ли] ,£у ; ° 12 = ^ ( и 1 ,£у + и] ,£,X * * 7' (11)
С учетом отсутствия массовых сил (р Р = 0) и равномерной поверх
ностной нагрузки (Ру = Рд у ) т-я компонента базовой функции приводится
к виду
Р т ( £ ) = Н
Р Р
р Рт + 2 р ^ + 2 Р2 т
\ К К 2
= 2(К2Р1т + К1Р2 т ) = 2Р(К2д 1т + К1д 2т )' (12)
(Обозначения в (9)-(12) см. в [2, 5].)
Задаче (2)-(7) в сеточной области ставится в соответствие разностная
задача
Аи = Ф или А т и = Ф т ' (13)
Получим явное представление разностной задачи (13).
На линиях симметрии 0 < < /1 Л х 3 - = 0 для граничных условий в
перемещениях соответствующие компоненты разностной схемы имеют фор
му этих граничных условий:
(А2и = Ф 2 ) = (и 2 = 0), 0 < х 1 < /1 Л х 2 = 0;
(А1 и = Ф 1) = (и1 = 0), х 1 = 0 Л 0 < х 2 < /2' (14)
В остальных сеточных узлах соотношение (13) в узле х представляется
суммой соотношений (10) - (12) для параметров £, принадлежащих узлу х:
А т и(х) = а т (£ ); Ф т (х ) = р т (£ ) ' (15)
£ех £ех ( )
80 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2001, № 5
Краевые эффекты в композите, армированном волокнами
Ненулевые значения компонент Ф т имеют место на участках, где
заданы внешние нагрузки, т.е. на прямых = /1 Л х 3— < / — , ненуле
вые значения Ф т (X ) = Ф т (Xь х 2) определяются из следующих равенств
(рис. 1):
Ф 1 (1, 0) = 2НР, Ф1 (1, 12) = 2 Н 2 Р , Ф1 (1, Х2) = 2 Р (Н + Н+2), 0 < Х2 < /2;
Ф1(/1,0) = 2 к 2 Р , Ф 1 (1, /2 ) = 2 Н 2 Р , Фх(/1, х2 ) = 2Р(Н2 + И + 2 ) , 0 < Х2 < /2.
(16)
В остальных сеточных узлах Ф = 0.
В (16) Н - шаг в направлении х { ячейки, примыкающей к узлу х. В
выражении (Н + Н+ 1) величина Н1 - шаг ячейки, примыкающей к гранич
ному узлу х слева ( I = 1) или снизу ( I = 2); Н+ 1 - шаг ячейки, примыкающей к
узлу х справа ( г = 1) или сверху ( I = 2). Разностная задача (13), соответ
ствующая варианту дифференциальной задачи (2)-(7), решается методом
сопряженных градиентов.
Из базовой схемы (10)-(12) выписывается базовая система уравнений
аи = <р [2]. Суммирование последней по всем ячейкам разностной сетки
приводит к системе уравнений, соответствующей первой задаче теории
упругости. Корректировка системы уравнений в соответствии с заданными
граничными условиями в перемещениях [2 ] дает глобальную алгебраичес
кую задачу (13), аппроксимирующую дифференциальную задачу (2)-(7).
Задача (13) решается (прямым) методом Холецкого.
М ет одика реш ен и я дискрет ны х задач. Эффективным оказывается сле
дующий способ решения вариантов задачи (2)-(7). На достаточно крупной
сетке (число узлов сетки выбирается такое, что решение сеточной задачи
дает качественную картину искомого решения) методом Холецкого реша
ется задача (13). Затем сетка сгущается путем половинного деления шагов, а
исходное решение интерполируется и используется в качестве начального
приближения для решения разностной задачи (13) методом сопряженных
градиентов. Для задачи (13) процесс повторяется до тех пор, пока на двух
последовательных сетках искомые факторы не совпадут с требуемой точ
ностью.
П роведение расчет ов. Для удобства расчетов вводится величина Ду =
= | V1 — V 2 |. Исследуется влияние Ду, изменяющейся в интервале 0 < Дг < 0,4,
на характер зон краевых эффектов для размерных напряжений т | =
= 2<7 1 (Я9 + О 4) в материалах наполнителя (д = 1) и связующего (д = 2).
Безразмерные напряжения о ?• определены по (1). Зоны строятся для р = 5.
Величина d c■j(п ) протяженности краевого эффекта для напряжения т •
отсчитывается от вершины трещины в направлении вектора п , если не
оговорено другое.
Исходные данные композита следующие: геометрические характерис
тики - /2 = /1 = 1, а = 0,2 (величина а получена в результате проведения
ІББМ 0556-171Х. Проблемы прочности, 2001, № 5 81
Ю. В. Коханенко, В. В. Ясинский, В. Ю. Бойчук
вычислительного эксперимента); механические характеристики - Е 1 =
= Е 2 = Е = 200. Серия расчетов проведена для параметров V4 из интервала
0 < V 4 < 0,4 с шагом 0,05.
Рис. 2. Зоны краевых эффектов, соответствующие напряжению (Большой эллипс -
граница зоны, соответствующая величине | V2 — у1|= 0,4, малый - граница области краевого
1 2 эффекта при V = V .)
Р езульт ат ы расчет ов. На рис. 2 (сплошная линия) показана наиболь-
2
шая зона краевого эффекта для напряжения г 11. Она наблюдается для
1 2
значений V = 0,4 Л V = 0 и представляет собой (приближенно) эллипс с
центром в точке х (0,41; 0,2) и полуосями (а х , а х )« (0 ,21 ; 0,1), направлен-
х1 х2
ными почти параллельно осям 0х 1, 0х 2. Краевой эффект имеет место в теле
матрицы (q = 2) и распространяется в основном в направлении х 1, т.е. в
направлении п ~ (1,0). Величина максимальной протяженности зоны
т а х й 11 = й 11( п ) ~ 0,42. Характер зоны (почти эллипс, вытянутый в направ
лении х 1) остается (в пределах принятой точности) неизменным для всех
вариантов расчетов. При этом зона краевого эффекта уменьшается с умень
шением величины Дv за счет уменьшения полуосей а и сдвига влево
х1
центра эллипса. Минимальная площадь области краевого эффекта (огра
ничена штриховой линией) имеет место при Дv = 0. Зона остается практи
чески неизменной с изменением v q в интервале 0 < v q < 0,4 и представ
ляет собой внутренний эллипс с центром в точке х ~ (0,31; 0,2) и полуосями
а ~ 0,11, а ~ 0,05. Величины а полуосей эллипсов достаточно точнох1 х2 х£- ^
определяются по формулам
а ч = 0,25 Дv + 0,1; а Х2 = 0,05 (Лv + 1). (17)
Рис. 3 иллюстрирует зону краевого эффекта для напряжений т 12 при
Дv = 0, которая состоит из двух частей, описываемых кривыми с общей
точкой в вершине трещины. Одна часть зоны описывается кривой,
близкой по форме к эллипсу, большая ось которого имеет направление
82 ШБМ 0556-171Х. Проблемы прочности, 2001, № 5
Краевые эффекты в композите, армированном волокнами
п * (0,39; 0,92), а центр находится в точке х * (0,25; 0,55). Полуоси эллипса
(а п̂ , а п^ ) * (0,4; 0,2) и расположен он в теле матрицы. Величина макси
мальной протяженности краевого эффекта для напряжения т 12 - d 12 =
= d 122( п ) * 0,76.
х2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0 0,2 0,4 0,6
Рис. 3. Область краевого эффекта для касательного напряжения, обусловленная наличием
трещины (v2 = v1). (Вектор n = (0,39,0,92) соответствует направлению величины макси
мальной протяженности краевого эффекта.)
Граница другой части зоны краевого эффекта расположена как в мате
риале связующего, так и в материале наполнителя. Максимальные вели
чины протяженности в теле наполнителя и в теле связующего примерно
1 2одинаковы и равны d — 0,2 (max d 12 = max d 12 — 0,2).
В случае Av Ф 0 геометрия обеих кривых практически не изменяется, а
зона краевых эффектов увеличивается. Максимальные площади зон наблю
даются при Av = 0,4. В этом случае для эллиптической части зоны
d 12( n ) —0,85. Параметры эллипса следующие: центр находится в точке
x —(0,28; 0,6), полуоси ( a , a ) — (0,43; 0,25). Для другой части зонып1 п2
2 2 max d 12 — 0,26, max d 12 — 0,3.
На рис. 4 приведена зона краевого эффекта для напряжения т 22 при
Av = 0. Краевой эффект наблюдается в материале связующего и в окрест
ности контактной части наполнителя. Величина протяженности в направ
лении х 1 составляет d 22 ( n 1) = d 22 (1, 0) — 0,7. Максимальная протяженность
наблюдается в направлении единичного вектора n = (0,96; — 0,27),
max d 22 = d 22(n ) — 0,73. При Av Ф 0 характер зон существенно не изменя
ется, а их площади увеличиваются за счет роста протяженности зоны в
направлениях осей О х {.
ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2001, № 5 83
Ю. В. Коханенко, В. В. Ясинский, В. Ю. Бойчук
Рис. 4. Область возмущения напряжений т2 2 , соответствующая значению р = 5 и обуслов
ленная наличием трещины (у = V ). (Вектор п ~ (0,96; — 0,27) указывает направление макси
мальной величины протяженности краевого эффекта, вектор П1 = (1; 0) характеризует про
тяженность краевого эффекта в направлении *1 .)
Для 0 < Av < 0,4 интервалы изменения величин протяженностей следу
ющие: 0,7 < d 22( n }) < 0,8, 0,73 < d 22( n ) = m axd 22 < 0,82.
А нализ результ ат ов. Целью расчетов является исследование зависи
мости краевых эффектов от коэффициентов Пуассона компонент композита.
Границы зон построены для 5%-ного отклонения (увеличения) напряжений
от величины растягивающей нагрузки. В качестве источника краевого
эффекта принята точка x = (0,2; 0,2), соответствующая вершине трещины. В
результате расчетов установлено.
1. Различие в значениях коэффициентов Пуассона компонент компо
зита (Av * 0) не изменяет существенно геометрии зон краевых эффектов,
порожденных наличием трещины, и не уменьшает площади этих зон.
2. Зоны краевых эффектов, соответствующие напряжениям т п , наблю
даются только в теле связующего. При этом они имеют форму эллипса с
центром x ~ ( а ; 0,2), где а определяется по (17).
xi xi
3. Зоны краевых эффектов для напряжения т 12 имеют место как в
наполнителе, так и в связующем. Максимальная протяженность зоны
2
( d 12 ~ 0,7) имеет место в материале связующего.
4. Зоны краевых эффектов для напряжения т 22 наблюдаются в теле
связующего и в окрестности линии контакта наполнителя. При 0 < Av < 0,4
величина максимальной протяженности составляет 0,73 < max d 22 < 0,82.
84 ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2001, № 5
Краевые эффекты в композите, армированном волокнами
В ы в о д ы
1. Рассмотрена плоская задача о краевых эффектах в двухкомпонентном
композите, слабоармированном волокнами прямоугольного поперечного
сечения и ослабленном двумя симметричными контактными трещинами.
Композит нагружен равномерной растягивающей нагрузкой.
2. Приближенное решение получено методом конечных разностей. Дис
кретные задачи выписаны в явной форме. К решению сеточных уравнений
применены эффективные прямой (Холецкого) и итерационный (сопряжен
ных градиентов) методы.
3. Исследовано влияние коэффициентов Пуассона компонент композита
на характер зон краевых эффектов.
4. Установлены следующие результаты:
1) краевые эффекты для напряжения т ц имеют место только в мате
риале связующего. Зона краевых эффектов имеет форму, близкую к форме
эллипса. Граница зоны для величины Дг =| V 2 — V 1| , изменяющейся в интер
вале 0 < Дг < 0,4, определяется аналитически;
2) для касательных напряжений краевые эффекты имеют место в обеих
компонентах композита. Одна из ветвей зоны краевого эффекта размещается
в теле связующего и по форме, близка к форме эллипса. Максимальная
величина протяженности зоны наблюдается в теле связующего при Дv = 0,4
и равна примерно пяти размерам стороны наполнителя;
3) зоны краевых эффектов для напряжения т 22 размещаются в теле
связующего и в окрестности контактной части наполнителя. Форма зоны
краевого эффекта напоминает форму трапеции. При 0 < Дv < 0,4 величины
протяженности в направлении оси 0х 1 изменяются в пределах 0,7...1,0, а в
направлении оси 0х 2 максимальная величина протяженности изменяется в
интервале 0,6...0,7.
Р е з ю м е
Розглянуто двокомпонентний композит, слабкоармований волокнами прямо
кутного поперечного перерізу і послаблений двома контактними тріщинами,
що розташовані симетрично одній з координатних осей. Композит знахо
диться в умовах плоскої деформації. На границі прикладено рівномірно
розтягуюче навантаження. Досліджується вплив коефіцієнтів Пуассона ком
понент композита на характер зон крайових ефектів. Наближений розв’язок
задачи відшукується за допомогою методу скінченних різниць. Побудовано
зони крайових ефектів для компонент напружень у залежності від значень
коефіцієнтів Пуассона компонент композита.
1. Б олот ин В. В., Н овичков Ю . Н . Механика многослойных конструкций.
- М.: Машиностроение, 1980. - 375 с.
2. М еханика композитов. В 12 т. / Под. ред. А. Н. Гузя. Статика матери
алов. - Киев: Наук. думка, 1993. - Т. 1. - 455 с.
3. Гузъ А. Н., К оханенко Ю . В. Краевые эффекты в композитах // Прикл.
механика. - 1995. - 31, № 3. - С. 3 - 24.
ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2001, № 5 85
Ю. В. Коханенко, В. В. Ясинский, В. Ю. Бойчук
4. К оханенко Ю . В., Я синский В. В . Численное решение задач о краевых
эффектах в композитах, слабоармированных прямоугольными волок
нами при наличии трещины в наполнителе // Там же. - 1997. - 33, № 5.
- С. 60 - 69.
5. К оханенко Ю . В . Об одном способе построения дискретных моделей
статических задач теории упругости // Там же. - 1993. - 29, № 10. -
С. 101 - 108.
6. K okhanenko Yu. V. Finite-elements solution of plane problems of the linear
elasticity theory of composites // Int. Appl. Mech. - 1998. - 34, No. 10 . -
P. 987 - 997.
Поступила 26. 09. 2000
86 ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2001, № 5
|