Аналитический расчет сильного формоизменения первоначально эллиптических пластин
С использованием энергетического подхода получено аналитическое решение для статически нагруженных равномерным давлением эллиптических и круглых пластин, закрепленных по контуру, в случае больших прогибов. Проведено сравнение расчетных данных с экспериментальными....
Збережено в:
| Дата: | 2002 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України
2002
|
| Назва видання: | Проблемы прочности |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/46731 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Аналитический расчет сильного формоизменения первоначально эллиптических пластин / В.А. Ромащенко, В.Н. Сторожук // Проблемы прочности. — 2002. — № 1. — С. 78-87. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-46731 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-467312013-07-06T16:53:43Z Аналитический расчет сильного формоизменения первоначально эллиптических пластин Ромащенко, В.А. Сторожук, В.Н. Научно-технический раздел С использованием энергетического подхода получено аналитическое решение для статически нагруженных равномерным давлением эллиптических и круглых пластин, закрепленных по контуру, в случае больших прогибов. Проведено сравнение расчетных данных с экспериментальными. На основі енергетичного підходу отримано аналітичний розв’язок для статично навантажених рівномірним тиском закріплених по контуру еліптичних і круглих пластин, що зазнають великих прогинів. Порівняння розрахункових даних з експериментальними показало, що отримані формули можуть застосовуватися для інженерних розрахунків. With the use of an energy-based approach, we obtained an analytical solution to the problem of elliptical and round plates fixed along the contour and statically loaded by uniform pressure for the case of large deflection. The calculated results are compared with available experimental data. 2002 Article Аналитический расчет сильного формоизменения первоначально эллиптических пластин / В.А. Ромащенко, В.Н. Сторожук // Проблемы прочности. — 2002. — № 1. — С. 78-87. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. 0556-171X http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/46731 539.3 ru Проблемы прочности Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Научно-технический раздел Научно-технический раздел |
| spellingShingle |
Научно-технический раздел Научно-технический раздел Ромащенко, В.А. Сторожук, В.Н. Аналитический расчет сильного формоизменения первоначально эллиптических пластин Проблемы прочности |
| description |
С использованием энергетического подхода получено аналитическое решение для статически
нагруженных равномерным давлением эллиптических и круглых пластин, закрепленных
по контуру, в случае больших прогибов. Проведено сравнение расчетных данных с экспериментальными. |
| format |
Article |
| author |
Ромащенко, В.А. Сторожук, В.Н. |
| author_facet |
Ромащенко, В.А. Сторожук, В.Н. |
| author_sort |
Ромащенко, В.А. |
| title |
Аналитический расчет сильного формоизменения первоначально эллиптических пластин |
| title_short |
Аналитический расчет сильного формоизменения первоначально эллиптических пластин |
| title_full |
Аналитический расчет сильного формоизменения первоначально эллиптических пластин |
| title_fullStr |
Аналитический расчет сильного формоизменения первоначально эллиптических пластин |
| title_full_unstemmed |
Аналитический расчет сильного формоизменения первоначально эллиптических пластин |
| title_sort |
аналитический расчет сильного формоизменения первоначально эллиптических пластин |
| publisher |
Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України |
| publishDate |
2002 |
| topic_facet |
Научно-технический раздел |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/46731 |
| citation_txt |
Аналитический расчет сильного формоизменения первоначально
эллиптических пластин / В.А. Ромащенко, В.Н. Сторожук // Проблемы прочности. — 2002. — № 1. — С. 78-87. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
| series |
Проблемы прочности |
| work_keys_str_mv |
AT romaŝenkova analitičeskijrasčetsilʹnogoformoizmeneniâpervonačalʹnoélliptičeskihplastin AT storožukvn analitičeskijrasčetsilʹnogoformoizmeneniâpervonačalʹnoélliptičeskihplastin |
| first_indexed |
2025-07-04T06:10:51Z |
| last_indexed |
2025-07-04T06:10:51Z |
| _version_ |
1836695633414586368 |
| fulltext |
УДК 539.3
Аналитический расчет сильного формоизменения первоначально
эллиптических пластин
В. А. Ромащ енко, В. Н. Сторожук
Институт проблем прочности НАН Украины, Киев, Украина
С использованием энергетического подхода получено аналитическое решение для стати
чески нагруженных равномерным давлением эллиптических и круглых пластин, закрепленных
по контуру, в случае больших прогибов. Проведено сравнение расчетных данных с экспери
ментальными.
К л ю ч е в ы е с л о в а : эллиптическая пластина, статика, большие прогибы.
О б о з н а ч е н и я
А - работа внешних сил
и - полная внутренняя энергия пластины
а - большая полуось пластины
Ь - малая полуось пластины
Н - толщина пластины
Р - давление
£ I - осредненная интенсивность деформаций
I - длина дуги сегмента эллиптического параболоида
5 - площадь поверхности сегмента эллиптического параболоида
г0 - радиус круглой пластины
Введение. Известно, что для круглых статически нагруженных пластин,
испытывающих большие прогибы, существует множество аналитических
решений. Как правило, они получены из условия равновесия пластины. В
большинстве из них пластические свойства материала учитывались с по
мощью жесткопластической модели. Решения с учетом упрочнения либо
выражены в неявном виде, либо требуют проведения итерационных вычис
лений, что затрудняет их использование в инженерной практике. При дина
мическом нагружении круглых пластин широкое распространение получил
энергетический подход [1], согласно которому работа пластических дефор
маций пластины приравнивается к энергии нагружающего импульса. Для
уточненных расчетов, как правило, применялись численные методы [2 ].
В последнее время в листовой штамповке в качестве критерия разру
шения широко используются диаграммы предельного формоизменения.
Экспериментально подобные диаграммы можно получить при гидравли
ческим выдавливании с применением матриц с эллиптическими отверсти
ями. Эллиптические пластины используются также при исследовании плос-
© В. А. РОМАЩЕНКО, В. Н. СТОРОЖУК, 2002
78 0556-171Х. Проблемы прочности, 2002, N 1
Аналитический расчет сильного формоизменения
кого двухосного напряженного состояния листовых материалов. Авторам
неизвестны аналитические решения для эллиптических пластин при стати
ческой нагрузке в случае больших прогибов.
Цель данной работы состояла в аналитическом решении задачи пласти
ческого деформирования закрепленной по контуру эллиптической пластины
при статическом нагружении с учетом упрочнения материала. Решение
получено с использованием энергетического подхода.
Аналитическое решение для эллиптической пластины. Рассмотрим
неподвижно закрепленную вдоль контура эллиптическую в плане пластину,
находящуюся под воздействием статического равномерного давления Р.
Будем исследовать случай больших прогибов, когда давление Р велико,
начальная толщина пластины Н0 достаточно мала, а прогиб центральной
точки пластины w 0 удовлетворяет неравенству
^ 0 > 5Л0.
Интерес представляет получение приближенной аналитической зависи
мости Р (^ о ), удобной для инженерных расчетов.
Поскольку известно [3], что при больших прогибах главную роль в
напряженно-деформированном состоянии (НДС) пластины играют мембран
ные усилия, с достаточной степенью точности ее можно рассматривать как
мембрану, что позволяет использовать безмоментную теорию при опреде
лении конечного прогиба. Поэтому в настоящей работе используется мем
бранное приближение. Аналогичная задача рассматривалась в [4]. Однако
приведенное там решение, во-первых, было справедливо “для не очень
больших прогибов” и, во-вторых, получено на основе сомнительной гипо
тезы, суть которой сводилась к замене неподвижного контура подвижным.
Предлагаемый ниже подход лишен обоих недостатков.
Для решения поставленной задачи применим энергетический метод [5],
согласно которому запишем
А = и , ( 1)
где А - работа внешних сил (давления); и - сумма внутренней упругой
потенциальной энергии пластины и работы пластического деформирования.
На недеформированной срединной плоскости пластины введем прямо
угольные декартовы координаты х , у таким образом, чтобы их начало
совпадало с центром пластины, а оси ох и о у - с осями симметрии эллипса.
Деформированное положение мембраны хорошо описывается поверхностью
эллиптического параболоида [4]:
I
ы ( х , у ) = w о
\
2 2 х у
1 - — - —1 2 2 а Ь
(2 )
где w - прогиб в произвольной точке срединной поверхности мембраны; а и
Ь - главные полуоси эллипса.
ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2002, № 1 79
В. А. Ромащенко, В. П. Сторожук
Тогда работу внешнего давления представим так:
А = / / / P d w d x d y , (3)
П 0
где наружное двойное интегрирование производится по эллипсу В .
Подставляя (2) в (3) и выполняя ряд преобразований, получаем
л а Ь 0
А = ~ 2 Г / р ( W o)d Wo. (4)
2 о
Правую часть (1) можно записать в виде
и = лаЬНо и , (5)
где и - осредненная сумма удельной (на единицу обьема) внутренней
упругой потенциальной энергии пластины и удельной работы пластического
деформирования.
Подставляя (4) и (5) в (1) и дифференцируя по Wо, получаем
du
Р = 2*° dW0 . (6)
Для и имеем следующее выражение:
£ 1
и = 5 г ( £ * I-, (7)
о
где Б (£ I ) - диаграмма деформирования; £ * - осредненная интенсивность
деформаций. С учетом (7) формулу (6 ) можно записать так:
d£ *
Р = Щ Б(£ *) (8)
Полагаем величину £ * равной полусумме интенсивностей деформаций
в центре (£ 1с) и на неподвижном контуре (£ 1к) пластины:
£ I = (£ 1с + £ 1к V2, (9)
текущую толщину к мембраны не зависящей от координат х и у , а
материал несжимаемым. Для случаев развитых пластических деформаций
последнее предположение вполне оправданно и является традиционным [6 ].
80 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2002, № 1
Аналитический расчет сильного формоизменения
Рассматривая деформации в центре пластины, можно записать [6 ]
где £ хс, £ ус - деформации в соответствующих направлениях; £ { - дефор
мация по толщине,
Для определения £ хс и £ ус кроме (13) необходимо еще одно уравнение.
Возьмем произвольную точку К на контуре эллипса, и пусть г - ее рассто
яние от начала координат. Введем функцию
Функция (14) характеризует отношение длины соответствующей дуги
эллиптического параболоида под радиус-вектором О К к ее проекции на
плоскость ху, т.е. к г. Полагаем, что относительные длины волокон центра
мембраны в направлениях х и у пропорциональны ^ ( а ) и ^ (Ь ) соответ
ственно:
где индекс “0 ” относится к недеформированным волокнам.
Левая часть (15) - не что иное как (£хс + 1)Д£ ус + 1), а правую часть
можно приближенно представить в виде
1
(11)
(12)
Из условия несжимаемости следует
Л - (1+ £ хс )(1+ £ ус )■ (13)
(14)
1,110х - ^ ( а )
1у / 10у ^ ( Ь ) ’
(15)
где
ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2002, № 1 81
В. А. Ромащенко, В. П. Сторожук
Таким образом, имеем
(£хс + !)/(£ ус + 1) = В-
Решая систему уравнений (13), (16), находим
£ ус = 4 У В - 1; £ хс = - 1.
(16)
(17)
С достаточной для инженерных расчетов точностью можно приближенно
считать
1
6 =
2 / 2 1 2 \
^ 0 (а - Ь )
За 2 Ь 2 1 + ^ 0
ЗаЬ
(18)
Подставляя (18) в (17), а (17) и (11) в (10), получаем
= ? Х / А - Ц + 3Я62 .
С учетом того, что
г - 1 = (Я - 1)(УХ + 1)
я —
1 -
V—
(л/Х + 1)2
а выражение в квадратных скобках равно 0,75 при Я = 1 и 0,76 при Я = 2, в
инженерном приближении можно полагать
^ —_ 1 ^ 3 ( я - 1)(л/я + 1)
Я 4—
и окончательно записать
£ ■ =
(Я - 1)(л/Х + 1)
(19)
где
(2 0 )
1
82 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2002, № 1
Аналитический расчет сильного формоизменения ...
Рассмотрим теперь деформированное состояние вблизи закрепленного
контура пластины. Деформация в направлении касательной к контуру равна
нулю, толщинная по-прежнему определяется ( 11), а деформация в направ
лении нормали к контуру вычисляется из условия несжимаемости
£ п = Х - 1. (2 1 )
Подставив (11) и (21) в формулу, аналогичную (10), получим
=
Поскольку
1 + X + X2 = (1 + X) 2 1 -
(1 + Х ) 2
а выражение в квадратных скобках равно 0,75 при Х = 1 и 0,77 при Х = 2 , в
инженерном приближении можно полагать
1 +Х + Х2 = 3(1+Х )2 /4 ,
и таким образом для £ 1к запишем
' 1к
Х2 - 1
Хл/3 '
(2 2 )
Подставив (19) и (22) в (9), получим
(Х - 1)(л/Х + 1)
+ ХР2 +
Х2 - 1
2Хл/3 '
(23)
Для завершения решения задачи необходимо Х выразить через ^о-
Условие несжимаемости применительно к объему всей пластинки дает:
Х=
£
я аЬ ’
(24)
где £ - площадь срединной поверхности деформированной мембраны (сег
мент эллиптического параболоида).
Можно показать, что точное значение £ таково:
£ =
3 ,3 я /2а Ь
3w
/
1 + 4^о
2 7 2а Ь
2 2 2 ( Ь С08 р + а в1п р
3/2
2
о о
, 2 2 , 2 - 2 Ь С08 р + а 81п р
■^р. (25)
1
0556-171Х. Проблемы прочности, 2002, № 1 83
В. А. Ромащенко, В. Н. Сторожук
Интеграл (25) не выражается в элементарных функциях, поэтому для
его вычисления применяем приближенный метод. Заметим, что выражение
a 2 sin2 р + b 2 cos2 <р равно b 2 при р = 0 , a 2 при р = л /2 и (a 2 + b 2 ) /2 при
рр = л /4 . В этом случае полагаем
a 2 sin2 <р + b 2 cos2 <р ~ (a 2 + b 2 ) /2 = const. (26)
Подставляя (26) в (25), получаем
л a 3 b 3
S = ------------------- <
3w0( a 2 + b 2 )
1 +
2w 2( a 2 + b 2)
a b
3/2
(27)
Формула (27) дает хорошее инженерное приближение для площади S :
во-первых, при а = b она переходит в известное точное выражение для
площади поверхности сегмента параболоида вращения, во-вторых, в пре
деле w0 * 0 дает площадь эллипса л а Ь и, в-третьих, имеет хорошую
асимптотику даже при b * 0:
lim S = a w 0 „
b-* 0 3
Точная асимптотика b = 0 такова:
8
S T = a w 0 3 ;
^lirn0> j / ST = л / 2 4 2 « 1,1.
Таким образом, приближение (27) можно с достаточной степенью точ
ности использовать практически всегда, даже для очень вытянутых эллип
сов, для которых а /Ь > > 1.
Из (27) и (24) имеем
Х =
2 т2a b
3w2( a 2 + b 2 )
1 +
2w 2( a 2 + b 2)
^ " 2 a b
3/2
(28)
Подставляя (28) в (23), а (23) в (8), получаем окончательное решение
задачи. Его удобно записать в безразмерных переменных
Р VаЬ
ч = ^ — ; ф (£ ) = р ( £ Vе ; п = ^ о / аЬ , (29)
ЕНо
где E - модуль Юнга, следующим образом:
84 ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2002, № 1
Аналитический расчет сильного формоизменения ...
Ч = 4л/^(А1В1 + А2В 2 )Ф(£ I );
А 1 = [Я3 (1 + 0 ) + Я - 2 + 7Х (Я2 + 2 Я - 3)]/8Я3Я + (Я2 + 1)/2Я2 73;
А2 = Я/ 8Я ;
В 1 = [1 + (2С^ - 1)л/1+ 4С ^ ] /6С^ 2 ;
В 2 = 128(С 2 - 1)^/(3 + ^ ) 3 ;
Я =
(Я -1 )(7 Х + 1)'
(30)
+ Я0;
0 = у (С 2 - 1)[^(3 + ^ )]2; Я= [(1 + 4С^)~3/2 - 1] / С ;
С = ( а 2 + Ь 2 )/2аЬ ; £ * = Я 4 + (Я2 - 1)/2Ял/3.
Ч астны й случай. К ругл ая пласт ина. Для круглых пластин ( а = Ь = Го)
решение (30) значительно упрощается, поскольку в этом случае С = 1 и
0 = В 2 =0:
1
37э?7?
' 7 э / 1 \ 1 + л>/3/2
1 + — Н 1 + — 1 + ------
47® ш ш
X
Х[1 + ( 2 ? - 1)71+ 4? ]Ф
ш - 1
4®Тэ
(2ш + 2 + V 3ш + 73) (31)
У 2 / 2
? = w 0 / Г0 ш = [(1+ 4? ) 3/2 - 1]/б?.
Решение (31) для круглых пластин получено ранее [7]. В случае упру
гих мембран (Ф (?) = ?) и малых прогибов формулы (31) хорошо согласуются
с известными решениями [5]. Предельный переход Wо ^ 0 в (31) дает
~ 1/3w0 = 0,602г0~ , а в [5] соответствующий коэффициент равен 0,662. Это
различие можно объяснить тем, что в [5] рассматривались сжимаемые
материалы (коэффициент Пуассона V = 0,25), т.е. менее жесткие пластины.
Преимущество полученных решений перед классическими заключается
в том, что выражения (30), (31) можно использовать без заметной потери
точности при очень больших прогибах пластины, когда параметры ^ или ?
могут принимать значения, близкие к единице и даже больше. При этом в
асимптотике Wо ^ 0 указанные формулы совпадают с хорошо известными
мембранными решениями для умеренных прогибов.
В табл. 1, 2 приведено сравнение экспериментальных данных [8 , 9] с
расчетными для эллиптических пластин. Для круглых пластин расчетные
данные сравнивались с экспериментальными, приведенными в [8 , 10] (рис. 1
и 2). В обоих случаях расхождение между теорией и экспериментом не
превышало 10%.
ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2002, № 1 85
В. А. Ромащенко, В. Н. Сторожук
Т а б л и ц а 1
Сравнение прогибов в центральной точке эллиптических пластин,
полученных по формуле (30), с экспериментальными данными [8]— 3(материал - сталь 08кп, а = 0,1 м, толщина 0,82 10 м)
Ь / а Р, МПа э̂ксп 10 ’ м т̂еор 10 , м
0,375 6,86 20,4 18,9
8,04 25,6 25,0
0,500 4,90 22,2 21,3
5,88 26,4 26,9
7,06 38,9 40,8
0,750 3,43 27,3 26,5
4,12 32,2 31,2
5,48 42,6 46,6
Т а б л и ц а 2
Сравнение прогибов в центральной точке эллиптических пластин,
полученных по формуле (30), с экспериментальными данными [9]
(материал - медь М3, а = 0,055 м, толщина 0,49 • 10—3 м)
Ь / а Р, МПа 3
э̂ксп • 10 , м
3
т̂еор 10 , м
0,333 4,58± 0,29 20,0 ± 0,48 21,3
0,667 4,53 ± 0,46 10,5 ± 1,50 11,3
Р ,
в
б
4
3
2
1
О
Рис. 1. Экспериментальная [8] - штриховая линия и рассчитанная по формуле (31) -
сплошная линия зависимости давления от прогиба круглой пластины из стали 08кп толщи
ной 0,82 • 10— 3 м и радиусом 0,1 м.
Р , МПа
б
5
4
3
2
1
О
0 4,5 6,8 10,2 13,5 16,3 18,9 21,4 w, мм
Рис. 2. Экспериментальная [10] - штриховая линия и рассчитанная по формуле (31) -
сплошная линия зависимости давления от прогиба круглой пластин из меди М3 толщиной
—31-10 ми радиусом 0,051 м.
МПа
ж, мм
86 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2002, № 1
Аналитический расчет сильного формоизменения
Заключение. Использование энергетического подхода позволило полу
чить аналитическое решение для статически нагруженных равномерным
давлением эллиптических и круглых пластин, закрепленных по контуру и
испытывающих большие прогибы. Сравнение расчетных данных с экспери
ментальными показало, что полученные выражения пригодны для инженер
ных расчетов.
Р е з ю м е
На основі енергетичного підходу отримано аналітичний розв’язок для ста
тично навантажених рівномірним тиском закріплених по контуру еліптич
них і круглих пластин, що зазнають великих прогинів. Порівняння розра
хункових даних з експериментальними показало, що отримані формули
можуть застосовуватися для інженерних розрахунків.
1. N u rick G. N. a n d M a rtin J. B . Deformation of thin plates subjected to
impulsive loading. Pt. 1, 2. A review // J. Impact Engng. - 1989. - 8 , No. 2. -
P. 159 - 186.
2. Р ом ащ ен ко В. А . Метод исследования неосесимметричного динами
ческого формоизменения разрушаемых оболочек. Сообщ. 1. Теория и
численный метод // Пробл. прочности. - 1996. - № 3. - С. 5 - 19.
3. Г али ев Ш . У., Б абич Ю . H., Ж ур а х о вск и й С. В. и др . Численное
моделирование волновых процессов в ограниченных средах. - Киев:
Наук. думка, 1989. - 200 с.
4. N a d a i W. Theory of Flow and Fracture of Solids. - New York: McGraw-
Hill, 1963. - Vol. 2. - 705 p.
5. T im oshenko S. P. a n d W oin o w sk y-K rieg er S. Theory of Plates and Shells. -
New York: McGraw-Hill, 1959. - 605 p.
6 . М алинин H. H . Прикладная теория пластичности и ползучести. - М.:
Машиностроение, 1975. - 400 с.
7. Р ом ащ ен ко В. А ., С т орож ук В. Н . Энергетический подход к решению
задачи статически нагруженных круглых пластин, испытывающих боль
шие прогибы // Тр. Междунар. конф. “Оценка и обоснование продления
ресурса элементов конструкций” (Киев, 6-9 июня 2000 г.). - Киев: Ин-т
пробл. прочности НАН Украины, 2000. - С. 509 - 514.
8 . Г оловлев В. Д . Об особенности металла к глубокой вытяжке // Новые
процессы обработки металлов давлением. - М.: Изд-во АН СССР, 1962.
- С. 135 - 143.
9. Р ом ащ ен ко В. А., С т орож ук В. Н . Методы исследования неосесим
метричного динамического формоизменения разрушаемых оболочек.
Сообщ. 2. Расчеты и экотеримент // Пробл. прочности. - 1996. - № 4. -
С. 41 - 48.
10. М и севич Ю ., Р уд и с М . А . Большие пластические деформации круглых
плоских мембран при статических и динамических нагрузках // Прикл.
механика. - 1981. - 17, № 1. - С. 86 - 92.
Поступила 20. 04. 2001
ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2002, № 1 87
|