К определению напряженного состояния кольцевой ортотропной пластинки
Предлагается метод решения плоской задачи для тонких ортотропных пластинок с использованием метода разложения по параметру. Нулевым приближением служит решение соответствующей изотропной задачи. Для конкретных материалов показано хорошее совпадение результатов, полученных предложенным методом, с...
Збережено в:
| Дата: | 2002 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України
2002
|
| Назва видання: | Проблемы прочности |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/46734 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | К определению напряженного состояния кольцевой ортотропной пластинки / М.Н. Гофман, А.С. Космодамианский // Проблемы прочности. — 2002. — № 1. — С. 112-120. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-46734 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-467342013-07-06T16:59:13Z К определению напряженного состояния кольцевой ортотропной пластинки Гофман, М.Н. Космодамианский, А.С. Научно-технический раздел Предлагается метод решения плоской задачи для тонких ортотропных пластинок с использованием метода разложения по параметру. Нулевым приближением служит решение соответствующей изотропной задачи. Для конкретных материалов показано хорошее совпадение результатов, полученных предложенным методом, с известным решением для бесконечной пластинки с отверстием. Исследовано напряженное состояние кольцевой ортотропной пластинки, приведены зависимости распределения напряжений и дано сравнение с аналогичной изотропной пластинкой. Запропоновано метод розв’язку плоскої задачі для тонких ортотропних пластинок із використанням методу розкладання по параметру. Нульовим наближенням служить розв’язок відповідної ізотропної задачі. Для конкретних матеріалів показано хорошу збіжність результатів, що отримано запропонованим методом, із відомим розв’язком нескінченної пластинки з отвором. Досліджено напружений стан кільцевої ортотропної пластинки, наведено залежності розподілу напружень і проведено порівняння з аналогічною ізотропною пластинкою. A method is proposed for solving a plane problem for thin orthotropic plates using the method of decomposition by a parameter. The solution of the corresponding isotropic problem serves as a zero approximation. A good coincidence of the results obtained by the method proposed with the available solution for an infinite plate with a hole is shown for specific materials. The stress state of a ring-shaped orthotropic plate has been studied and the relations for stress distribution are presented. A comparison has been made with a similar isotropic plate. 2002 Article К определению напряженного состояния кольцевой ортотропной пластинки / М.Н. Гофман, А.С. Космодамианский // Проблемы прочности. — 2002. — № 1. — С. 112-120. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. 0556-171X http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/46734 539.3 ru Проблемы прочности Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Научно-технический раздел Научно-технический раздел |
| spellingShingle |
Научно-технический раздел Научно-технический раздел Гофман, М.Н. Космодамианский, А.С. К определению напряженного состояния кольцевой ортотропной пластинки Проблемы прочности |
| description |
Предлагается метод решения плоской задачи для тонких ортотропных пластинок с использованием
метода разложения по параметру. Нулевым приближением служит решение
соответствующей изотропной задачи. Для конкретных материалов показано хорошее совпадение
результатов, полученных предложенным методом, с известным решением для
бесконечной пластинки с отверстием. Исследовано напряженное состояние кольцевой ортотропной
пластинки, приведены зависимости распределения напряжений и дано сравнение с
аналогичной изотропной пластинкой. |
| format |
Article |
| author |
Гофман, М.Н. Космодамианский, А.С. |
| author_facet |
Гофман, М.Н. Космодамианский, А.С. |
| author_sort |
Гофман, М.Н. |
| title |
К определению напряженного состояния кольцевой ортотропной пластинки |
| title_short |
К определению напряженного состояния кольцевой ортотропной пластинки |
| title_full |
К определению напряженного состояния кольцевой ортотропной пластинки |
| title_fullStr |
К определению напряженного состояния кольцевой ортотропной пластинки |
| title_full_unstemmed |
К определению напряженного состояния кольцевой ортотропной пластинки |
| title_sort |
к определению напряженного состояния кольцевой ортотропной пластинки |
| publisher |
Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України |
| publishDate |
2002 |
| topic_facet |
Научно-технический раздел |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/46734 |
| citation_txt |
К определению напряженного состояния кольцевой ортотропной
пластинки / М.Н. Гофман, А.С. Космодамианский // Проблемы прочности. — 2002. — № 1. — С. 112-120. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. |
| series |
Проблемы прочности |
| work_keys_str_mv |
AT gofmanmn kopredeleniûnaprâžennogosostoâniâkolʹcevojortotropnojplastinki AT kosmodamianskijas kopredeleniûnaprâžennogosostoâniâkolʹcevojortotropnojplastinki |
| first_indexed |
2025-07-04T06:11:04Z |
| last_indexed |
2025-07-04T06:11:04Z |
| _version_ |
1836695647572459520 |
| fulltext |
УДК 539.3
К определению напряженного состояния кольцевой ортотропной
пластинки
М. Н. Гофмана, А. С. Космодамианский6
а Приазовский государственный технический университет, Мариуполь, Украина
6 Донецкий государственный университет, Донецк, Украина
Предлагается метод решения плоской задачи для тонких ортотропных пластинок с исполь
зованием метода разложения по параметру. Нулевым приближением служит решение
соответствующей изотропной задачи. Для конкретных материалов показано хорошее сов
падение результатов, полученных предложенным методом, с известным решением для
бесконечной пластинки с отверстием. Исследовано напряженное состояние кольцевой орто
тропной пластинки, приведены зависимости распределения напряжений и дано сравнение с
аналогичной изотропной пластинкой.
К л ю ч е в ы е с л о в а : ортотропная пластинка, прямолинейная ортотропия, комп
лексные переменные, разложение по параметру.
Ранее [1] предложен новый подход к решению плоской задачи для
тонких пластинок, изготовленных из материалов, обладающих ортотроп-
ными свойствами. В данной работе рассмотрено применение этого метода к
исследованию напряженного состояния кольцевой пластинки из прямоли
нейно ортотропного материала. Аналогичная задача для бесконечной плас
тинки с использованием обобщенных комплексных переменных решена в
[2 ].
Рассмотрим кольцевую пластинку, ограниченную контурами радиусов
Я о и которая изготовлена из анизотропного материала, причем оси
срединной плоскости х и у направлены перпендикулярно плоскостям упру
гой симметрии. По внешнему и внутреннему контурам пластинки прило
жена уравновешенная произвольная нагрузка.
В работе [2] вводится удовлетворяющая дифференциальному уравне
нию 4-го порядка функция напряжений, представленная через две функции
обобщенных комплексных переменных. В соответствии с предложенным
ранее методом [1], введем две функции комбинаций напряжений:
0 = О х + ° у ; & = ° у - О х + 2 л ху. (1)
Тогда уравнения равновесия пластинки в комплексных переменных запи
шем следующим образом:
Э0
---- - — = 0- (2 )д2 д2 У }
В уравнении совместности перейдем к напряжениям, используя закон
Гука, и представим его в виде
© М. Н. ГОФМАН, А. С. КОСМОДАМИАНСКИЙ, 2002
112 Й'ОТ 0556-171Х. Проблемы прочности, 2002, N 1
К определению напряженного состояния
д 20
д гд г
■ + аі
д 2 Т
ду Т + а 2
ху
дхду
= 0 (3)
или
д 2 0
д гд г
+ X
Л 2
■ +
дг 2 д гд г
(Я + Я ) - 2
д 20 д 20
+ +
д г ‘
+ £
д 2
д г 2
(Я - Я ) = 0. (4)
Здесь
Ч Е 2 іа , = —I — - 1
1 4І, Е , .
£ =
а 1
4( а , +1)
а 2
4( а , +1)
Е
(5)
2
где Е ь Е 2 , С , V!, V 2 - технические постоянные материала.
В случае первой основной задачи условия на границах пластинки через
комбинации напряжений представим в виде
0
Для большинства ортотропных материалов эти коэффициенты являются
малыми параметрами (таблица), а для изотропных пластинок обращаются в
нуль. Поэтому для решения задачи применим метод малого параметра [3, 4]
и запишем искомые функции в виде рядов по бульшему из параметров.
Пусть из параметров бульшим является £. Тогда
X X
0 = ^ £ п0 п ; Я —^ Я п - (7)
п=0 п=0
Подставим разложения (7) в выражения (2), (4) и (6 ) и приравняем
коэффициенты при одинаковых степенях параметра £, полагая, что Х = к£,
где к > 1. В результате в нулевом приближении (изотропная пластинка)
получим
д 20 0 д Я 0 д0 0 г 1 ^ 1 г —
и д т = 0 ~ £ = - ^ г : ^ + і у п ^ = 2 f 0 0 < ^ - < 8>
ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2002, № 1 113
М. Н. Гофман, А. С. Космодамианский
в ( п + 1)-м приближении -
д 20 п+1
д гд г
= 2 к
/ д20 п + д20 п '
\ д2 2
+ к
д 2
\
і 2 -,-2 д2 д2
— дй
(й п - й );
п+1
д гд г д г 2
д 0 п+1
( й п + й п ) -
д2 дг
Для нулевого приближения запишем
; / 0 п+і^2 + / й п+1 ̂ = о . ( 9 )
0
0 0 = ф ( 2) + ф (2); й 0 = гФ '(2 ) + ^ ( 2 ), (10)
где Ф (2 ) = <р'(2 ) и ^ ( 2 ) = ^ ' ( 2 ) - аналитические функции в срединной
плоскости пластинки, которые можно определить известными методами [3]
из граничных условий.
Сравнение результатов, полученных предложенным методом, с известным решением
для пластинки из различных материалов
2
2 Л
0
Материал / Р
по [2]
Первое
прибли
жение
Расхож
дение,
%
Второе
прибли
жение
Расхож
дение,
%
КАСТ-В (Е = 1,97 • 104 МПа,
Е2 = 1,36 • 104 МПа, О = 0,704 • 104 МПа,
у1 = 0,174, е = 0,021, у =-0,021)
1,001 1,001 0 1,001 0
Полуватман (Е = 0,301 •Ю4 МПа,
Е2 = 0,226 •Ю4 МПа, О = 0,0996 •Ю4
МПа,
V = 0,306, е = 0,013, у =-0,017)
1,018 1,016 0,2 1,018 0,02
СТЭР-С-30 (Е = 3,49 •Ю4 МПа,
Е2 = 2,55 • 104 МПа, О = 0,80 • 104 МПа,
у1 = 0,13, £ = -0,067, у =-0,018)
1,368 1,340 2,1 1,360 0,6
ПН-3 (Е = 1,76 •Ю4 МПа,
Е2 = 1,28 • 104 МПа, О = 0,27 • 104 МПа,
у1 = 0,15, £ = -0,169, у =-0,018)
1,754 1,750 0,2 1,720 1,95
СВАМ 1:1 (Е = 2,55 •Ю4 МПа,
Е2 = 2,55 • 104 МПа, О = 0,44 • 104 МПа,
у1 = 0,13, £ = -0,221, у = 0)
1,745 1,884 8,0 1,689 3,2
СВАМ 15:1 (Е1 = 4,51 •Ю4 МПа,
Е2 = 1,57 • 104 МПа, О = 0,55 • 104 МПа,
у1 = 0,27, £ = -0,05, у = -0,049)
1,629 1,394 14,4 1,509 7,4
СПКН (Е = 0,375 •Ю4 МПа,
Е2 = 0,1 • 104 МПа, О = 0,04 • 104 МПа,
V = 0,0747, £ = -0,027, у = -0,056)
1,625 1,332 18,1 1,454 10,6
СВАМ-ИММ (Е = 3,4 • 104 МПа,
Е2 = 0,886 • 104 МПа, О = 0,295 • 104 МПа,
V = 0,3, £ = -0,065, у = -0,057)
1,89 1,487 21,5 1,648 13,0
114 0556-171Х. Проблемы прочности, 2002, № 1
К определению напряженного состояния
В качестве примера рассмотрим осесимметричное нагружение плас
тинки. В нулевом приближении имеем известную задачу, для которой комп
лексные потенциалы таковы:
<Р о( 2) = а о г; ф 0( г ) = Ь о г _1, (11)
где а о и Ьо - коэффициенты, определяемые из граничных условий. Тогда
0 о = 2 а о; ^ о = —Ьог 2. (12)
В первом приближении найдем правую часть первого уравнения (9) и,
интегрируя, получаем
0 1 = — 2Ь о(1+ к)( г —3 г + г —3 г ) + Ф 1( г ) + Ф 1( г ). (13)
Из второго уравнения (9) определим
Я 1 = Ьо(1+ к )(3 г —4 г 2 + г —2) + Ф К г ) г + ф 1( г ). (14)
Удовлетворяя третьему равенству (9), получаем
-------- ------- Ьо(1+ к ) 5 —3
<Р1(г) + ¥ ! ( О + Ф1(г) = — — ---- ( о - о ), (15)
где г - аффикс точек контура; о - аффикс точек единичной окружности; R j
- радиус соответствующего контура.
Примем комплексные потенциалы в виде
Р j ( z ) = a 51}z 5 + а 31 z 3; ^ ( z ) = b 3^ z 3 + 5̂ z 5. (16)
Подставив выражения (16) в равенство (15), получим уравнения для
определения неизвестных коэффициентов комплексных потенциалов:
(1) R 5 _ За (1) R _ 3 + (1) R _ 5 = Ь0(1 + k ) .
(17)
а 51)R 5 _ За 31)r _ 3 + fl 51)r _ 5 =
R j
а 31) R —3 + 5а(1) Rj■ + Ь ? R 3 = — .
R j
Тогда выражения для комбинаций напряжений в первом приближении окон
чательно примут вид
, (1)^ 4 , -4- z z Д1)' 1 10 1 = 5 а 5 ( z + z ) _ 2b0(1+ k ) | — + ^3 З а 3 I 4 + ^ Г ; (18)
\ z z / V z z /
ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2002, N 1 115
М. Н. Гофман, А. С. Космодамианский
7 4 + 7 2 г г
+ 2 0 а 51) 7 3 7 + 12а 31) —5 + 3Ь^ 4 7 ̂ — 5
Я а)
(1) 7 2 — 5 (19)
Найдем второе приближение задачи. Поступая аналогично, получаем
( 7 2 _ 2 ^С7 С7 ( 7 3 7 3Nс7 с7
0 2 = 4Ь0 (1 + к) 3к — + ^ 4 + (1 + к ) 5 + ~̂ ъи 7 и 7 )
' (1 к )| 3 + _ 3
\7 7
+
+20а51) [4к(7 3 7 + 2 2 3 ) — 3(1 + к )(22) 2 ] +
+ 6а (1)
8к1 5 + - 5 / 7 7
+ 5(1 + к )
1 - 2 2 ^
2 2
“ 6 + ^ 6
2 2
■ 12(1 + к )Ь3(1) 77 — 30 Я (51)(1 + к ) (
- \
2 2
і Т + ~\7 7 /
+ Ф 2 ( 7) + Ф 2 ( 7); (20)
2(1 — к ) 4 + - 2
2 2
8к
и - 3 ^27 7
+5 -3
2 2
(1 + к )
(574 372
~ Г + ^ Г
2 2
+
+20а51)[к(6^7 2 + 7 4 ) — 2(1+ к )7 73 ] —
■12а 31
( 2 \ (1072 1
+ (1 + к ) 7 7 + 7 5 2 2
— 6(1+ к )Ь31) 7 2 + 5 Я 51)(1+ к ) + Ф 2( 7 ) 7 + ^ ( 7 ). (2 1 )
Удовлетворяя граничным условиям, для определения комплексных по
тенциалов во втором приближении получаем равенство
* 2 ( *) + *Р2 ( *) + ^ 2 ( *):
Ь0 (1+ к)
Я
{2(1 — к )(а 5 — а —3) — 4к( а 7 — а —5)7 „ — 5 -
— (1+ к )(а 9 — а —7)} — 20а1Я 5 {к(а3 + 2 а —1) — (1+ к)а} —
—2а 3 Я —3 {6к (2 а 7 — а —5) + (1+ к )(5а 9 — 3 а —7)} +
+ 6(1+ к ) Ь Я а + 5(1+ к )Р 5Я - 5 (3 а 9 - а “ 7). (22)
Й'ОТ 0556-171Х. Проблемы прочности, 2002, N 1116
К определению напряженного состояния
Примем комплексные потенциалы в виде
5 4
т =1 т =1
4 5 (23)
Подставив выражения (23) в равенство (22), получим уравнения для
определения неизвестных коэффициентов комплексных потенциалов:
Решая систему уравнений (24) с учетом равенств (20), (21), (23), полу
чаем выражения для комбинаций напряжений во втором приближении. Ана
логично может быть найдено решение задачи в любом приближении.
Проведено сравнение результатов, полученных предложенным методом,
с известным решением [2 ], где рассматривается бесконечная ортотропная
пластинка с круговым отверстием, нагруженная равномерно распределен
ным нормальным давлением интенсивности р по контуру. Согласно работе
[2 ] определены наибольшие напряжения о в в точках контура, лежащих по
вертикали, при этом по методике, изложенной выше, принимали радиус
внешнего контура пластинки Я о = 1 0 0 ^ . В полярной системе координат
равенства ( 1) имеют вид
1+ к 15/3 51) 10« 31)
(24)
0 = <7 г + о в ; ^ = (о в - о г + 2 ї г в )е 2ів (25)
ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2002, № 1 117
М. Н. Гофман, А. С. Космодамианский
откуда компоненты напряжений равны:
а r = 0 / 2 - (Q e2iQ + Q e -2iQ )/4;
' а в = 0 2 + (Q e2iQ + Q e -2 ie )/4 ; (26)
г rQ = i(Q e -2iQ - Q e 2 ie )/4 .
Полученные результаты показывают достаточно быстрое схождение
разложений (7) для материалов, обладающих различной степенью анизо
тропии. Для материалов (КАСТ-В, полуватман, СТЭР-С-30, ПН-3), у кото
рых отношение E i / E 2 <1,5, расхождение с известным решением после
второго приближения составляет не более 3%. Для других материалов
расхождение больше: например, для СВАМ-ИММ ( E ^ E г = 3,92) оно состав
ляет 13%, для материала СПКН (E xj E 2 = 3,75) - 10,6%. В этих случаях
расчет может быть продолжен.
Численные исследования проведены для кольцевой пластинки, изго
товленной из СВАМ 15:1 (E1 = 4,51-104 МПа, E 2 = 1,57-104 МПа, G =
= 0 ,55-104 МПа, v 1 = 0,27), у которой радиус внешнего контура R 0 = 1,
радиус внутреннего контура R 1 = 0,5. Пластинка нагружена по внутреннему
контуру равномерной нагрузкой интенсивности р, внешний контур - свобо
ден от нагружения.
На рис. 1 приведено распределение тангенциальных нормальных напря
жений а q / р по вертикальному радиусу ортотропной пластинки (сплошная
линия). Для сравнения штриховой линией показано аналогичное распре
деление для изотропной пластинки (нулевое приближение). Для анизотроп
ной пластинки, в отличие от изотропной, наименьшее значение напряжения
а в / Р = 0,76 достигнуто при r = 0,878. Наибольшее напряжение, возника
ющее в точках внутреннего контура, превышает напряжение в соответству
ющей изотропной пластинке на 26,6%. Характер изменения радиального
нормального напряжения по радиусу одинаков для анизотропной и изо
тропной пластинок.
0,5 0,625 0,75 0,875 г
Рис. 1. Распределение тангенциальных нормальных напряжений по вертикальному радиусу
пластинки.
118 ТБОТ 0556-171Х. Проблемы прочности, 2002, N 1
К определению напряженного состояния
Рис. 2 иллюстрирует распределение тангенциальных нормальных на
пряжений о 0 / р по внутреннему контуру ортотропной пластинки. Штри
ховой линией показана аналогичная зависимость для изотропной пластинки
(нулевое приближение). Для анизотропной пластинки наименьшее значение
напряжения о в / р = 1,409 получено при р = 50,1°. Характер изменения тан
генциального напряжения по внешнему контуру имеет такой же вид.
На рис. 3 показано изменение наибольшего тангенциального напря
жения о в / р в вертикальных точках внутреннего контура в зависимости от
радиуса. С увеличением радиуса Я 1 наблюдается резкий рост напряжений.
0 22.5 45 67,5 ф
Рис. 2. Распределение тангенциальных нормальных напряжений по внутреннему контуру
пластинки.
0,1 0,3 0,5 0,7 Я 1
Рис. 3. Зависимость наибольшего тангенциального нормального напряжения от радиуса
внутреннего контура.
В ы в о д ы
1. Предложен метод решения плоской задачи для ортотропных пласти
нок, основанный на разложении функций комбинаций напряжений в ряды
по параметру. Параметр выбран таким образом, чтобы в нулевом прибли
жении получалась соответствующая задача для изотропной пластинки.
2. Для кольцевой ортотропной пластинки полученные результаты доста
точно хорошо совпадают (до 13%) уже во втором приближении с известным
решением для различных ортотропных материалов.
ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2002, № 1 119
М. Н. Гофман, А. С. Космодамианский
3. Исследовано напряженное состояние ортотропной кольцевой плас
тинки и проведено сравнение с аналогичной изотропной пластинкой. Учет
ортотропных свойств материала приводит к увеличению наибольших напря
жений, возникающих в точках внутреннего контура, на 26,6%.
Р е з ю м е
Запропоновано метод розв’язку плоскої задачі для тонких ортотропних
пластинок із використанням методу розкладання по параметру. Нульовим
наближенням служить розв’язок відповідної ізотропної задачі. Для конкрет
них матеріалів показано хорошу збіжність результатів, що отримано запро
понованим методом, із відомим розв’язком нескінченної пластинки з отво
ром. Досліджено напружений стан кільцевої ортотропної пластинки, наве
дено залежності розподілу напружень і проведено порівняння з аналогічною
ізотропною пластинкою.
1. К осм од ам и ан ск и й А. С. Новый подход к решению плоской задачи для
многосвязной ортотропной пластинки // Теорет. и прикл. механика. -
2000. - Вып. 31. - С. 60 - 62.
2. Л ехни ц кий С. Г . Теория упругости анизотропного тела. - М., 1977. -
416 с.
3. К осм од ам и ан ск и й А. С. Плоская задача теории упругости для пластин с
отверстиями, вырезами и выступами. - Киев: Вища шк., 1975. - 227 с.
4. К осм од ам и ан ск и й А. С. Напряженное состояние анизотропных сред с
отверстиями или полостями. - Киев: Вища шк., 1976. - 200 с.
Поступила 05. 09. 2000
120 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2002, № 1
|