Об одной игровой задаче мягкой встречи двух разнотипных объектов
Исследуется игровая задача о мягкой встрече двух управляемых линейных дифференциальных систем второго порядка различного типа. С помощью построенной так называемой функции растяжения времени были выведены достаточные условия завершения игры за конечное время при любых начальных условиях и указан спо...
Збережено в:
| Дата: | 2011 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2011
|
| Назва видання: | Теорія оптимальних рішень |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/46770 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Об одной игровой задаче мягкой встречи двух разнотипных объектов / Г.Ц. Чикрий // Теорія оптимальних рішень: Зб. наук. пр. — 2011. — № 10. — С. 31-37. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-46770 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-467702013-07-07T03:04:41Z Об одной игровой задаче мягкой встречи двух разнотипных объектов Чикрий, Г.Ц. Исследуется игровая задача о мягкой встрече двух управляемых линейных дифференциальных систем второго порядка различного типа. С помощью построенной так называемой функции растяжения времени были выведены достаточные условия завершения игры за конечное время при любых начальных условиях и указан способ построения управления преследователя на основании управления убегающего в прошлом. Досліджується ігрова задача про м'яку зустріч двох керованих лінійних диференціальних систем другого порядку різного типу. За допомогою побудованої так званої функції розтягування часу одержано достатні умови завершення гри за скінченний час та зазначено спосіб побудови керування переслідувачем. Paper concerns the game dynamic problem of soft meeting of two linear second-order different-type differential systems.The extension time-function is built and with its help sufficient conditions for terminating the game in a finite time are developed. Moreover formula for constructing control of the pursuer is given. 2011 Article Об одной игровой задаче мягкой встречи двух разнотипных объектов / Г.Ц. Чикрий // Теорія оптимальних рішень: Зб. наук. пр. — 2011. — № 10. — С. 31-37. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. XXXX-0013 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/46770 517.977 ru Теорія оптимальних рішень Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Исследуется игровая задача о мягкой встрече двух управляемых линейных дифференциальных систем второго порядка различного типа. С помощью построенной так называемой функции растяжения времени были выведены достаточные условия завершения игры за конечное время при любых начальных условиях и указан способ построения управления преследователя на основании управления убегающего в прошлом. |
| format |
Article |
| author |
Чикрий, Г.Ц. |
| spellingShingle |
Чикрий, Г.Ц. Об одной игровой задаче мягкой встречи двух разнотипных объектов Теорія оптимальних рішень |
| author_facet |
Чикрий, Г.Ц. |
| author_sort |
Чикрий, Г.Ц. |
| title |
Об одной игровой задаче мягкой встречи двух разнотипных объектов |
| title_short |
Об одной игровой задаче мягкой встречи двух разнотипных объектов |
| title_full |
Об одной игровой задаче мягкой встречи двух разнотипных объектов |
| title_fullStr |
Об одной игровой задаче мягкой встречи двух разнотипных объектов |
| title_full_unstemmed |
Об одной игровой задаче мягкой встречи двух разнотипных объектов |
| title_sort |
об одной игровой задаче мягкой встречи двух разнотипных объектов |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| publishDate |
2011 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/46770 |
| citation_txt |
Об одной игровой задаче мягкой встречи двух разнотипных объектов / Г.Ц. Чикрий // Теорія оптимальних рішень: Зб. наук. пр. — 2011. — № 10. — С. 31-37. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
| series |
Теорія оптимальних рішень |
| work_keys_str_mv |
AT čikrijgc obodnojigrovojzadačemâgkojvstrečidvuhraznotipnyhobʺektov |
| first_indexed |
2025-07-04T06:13:46Z |
| last_indexed |
2025-07-04T06:13:46Z |
| _version_ |
1836695817803530240 |
| fulltext |
Теорія оптимальних рішень. 2011, № 10 31
ÒÅÎвß
ÎÏÒÈÌÀËÜÍÈÕ
вØÅÍÜ
Исследуется игровая задача о
мягкой встрече двух управляемых
линейных дифференциальных сис-
тем второго порядка различного
типа. С помощью построенной
так называемой функции растя-
жения времени были выведены
достаточные условия завершения
игры за конечное время при любых
начальных условиях и указан спо-
соб построения управления пре-
следователя на основании управ-
ления убегающего в прошлом.
Г.Ц. Чикрий, 2011
ÓÄÊ 517.977
Ã.Ö. ×ÈÊÐÈÉ
ÎÁ ÎÄÍÎÉ ÈÃÐÎÂÎÉ ÇÀÄÀ×Å
ÌßÃÊÎÉ ÂÑÒÐÅ×È ÄÂÓÕ
ÐÀÇÍÎÒÈÏÍÛÕ ÎÁÚÅÊÒÎÂ
В основе прямых методов преследования
лежит условие Понтрягина [1]. Однако оно
не выполняется для целых классов задач, в
частности, для задач о мягкой встрече [2].
Настоящая работа является дальнейшим
развитием подхода к модификации первого
прямого метода преследования [3], основан-
ной на использовании функции растяжения
времени. Обоснование этой модификации и
результаты ее применения в конкретных мо-
дельных задачах представлены в [4, 5], где
эта функция предполагается кусочно-гладкой
функцией времени. Однако эта методика
применима и в случае, когда подходящая
функция растяжения времени оказывается
разрывной на счетной, сходящейся к беско-
нечности последовательности точек, остава-
ясь непрерывно дифференцируемой в точках
своей непрерывности. Необходимость при-
влечения такой функции растяжения време-
ни возникла при исследовании игровой зада-
чи о мягкой встрече двух управляемых диф-
ференциальных систем второго порядка, од-
на из которых движется согласно второму
закону Ньютона с учетом трения, а вторая
совершает затухающие колебания. Этот мо-
дельный пример является примитивной ил-
люстрацией поведения пилотируемого (или
беспилотного) летательного аппарата, с бор-
та которого должен быть сброшен груз на
палубу корабля, оказавшегося в плену бу-
шующих океанских волн [6].
Г.Ц. ЧИКРИЙ
32 Теорія оптимальних рішень. 2011, № 10
Пусть движение преследующего объекта описывается системой
x x u+ α = ρ&& & ,
n
Rx ∈ , 1≤u , (1)
а объекта, уклоняющегося от встречи с ним
22y hy y v+ + γ = σ&& & ,
n
Ry ∈ , 1≤v ; (2)
α , ρ , h , 0σ > ; 2 2
h < γ (случай малого вязкого трения ).
Здесь x и y – геометрические координаты объектов, а u и v – управления,
выбираемые ими в каждый текущий момент времени таким образом, чтобы их
реализации во времени были измеримыми функциями, ρ и σ – силовые
коэффициенты. В отсутствие управляющих воздействий ( )0,0 ≡≡ vu система
(1) описывает движение согласно второму закону Ньютона при наличии трения
( α – коэффициент трения), а система (2) описывает затухающие колебания,
причем h характеризует интенсивность уменьшения амплитуды колебания, а
величина 2 2hω = γ − является угловой частотой колебаний системы с вязким
трением [7]. Заданы начальные положения объектов:
0)0( xx = , 0)0( xx && = , 0)0( yy = , 0)0( yy && = .
Цель преследователя – добиться совпадения в некоторый конечный момент
времени геометрических положений и скоростей объектов, т.е. их мягкой
встречи.
Положим ( ) ( ) nTT
Ryyxxyyxxz
4
2121 ,,,,,, ∈== && . Тогда уравнение
движения принимает вид
vuAzz −+=& , Uu ∈ , Vv ∈ , (3)
где
2
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 2
E
E
A
E
E hE
−α =
−γ −
,
0
0
0
0
S
U
ρ =
,
0
0
0
0
V
S
=
σ
,
0
0
0
0
(0)
x
x
z
y
y
=
&
,
0 и E – соответственно нулевая и единичная матрицы размерности n , а 0S –
единичный n - мерный шар с центром в начале координат.
Терминальное множество представляет собой линейное подпространство в
{ }2211
44 ,:: yxyxRzMR
nn ==∈= .
Тогда мягкая встреча в некоторый момент времени 0>t означает, что
0)( =tzπ . Оператору π соответствует матрица
−
−
=
EE
EE
00
00
π , (4)
ОБ ОДНОЙ ИГРОВОЙ ЗАДАЧЕ МЯГКОЙ ВСТРЕЧИ ДВУХ РАЗНОТИПНЫХ ОБЪЕКТОВ
Теорія оптимальних рішень. 2011, № 10 33
Модифицированное условие Понтрягина. Пусть существует монотонно
неубывающая функция времени )(tI , 0≥t , имеющая разрывы слева на
счетной, сходящейся к ∞ последовательности точек, и непрерывно
дифференцируемая в точках своей непрерывности, причем 0)0( =I , ttI >)(
при 0>t :
( ) ( )At At
W t e U I t e V∗= π π ≠ ∅& , 0≥t . (5)
Здесь { }:X Y z z Y X∗ = + ⊂ ;
n
Rz ∈ ;
n
RYX ⊂, . В точках разрыва ( )I t&
полагается равной единице.
Запишем фундаментальную матрицу системы (3):
2
1
0 0
0 0 0
1
0 0 ( sin cos ) sin
0 0 sin sin cos
t
t
At
ht ht
ht ht
e
E E
e E
e h
e t t e t
h
e t e t t
−α
−α
− −
− −
−
α
= ω + ω ω ω ω
γ
− ω − ω + ω ω ω
. (6)
Условие (5) здесь имеет вид
( )
( )1 1
1
( ) sin ( )
( )
( ) sin ( ) cos ( )
t
hI t
t hI tv u
e
u I t e I t v
W t
h
e I t e I t I t v
−α
−
−α −≤ ≤
− σ
ρ −
α ω = ≠ ∅
ρ − δ − ω + ω
ω
&
&
I U . (7)
Аналогично тому, как это делалось в [4, 5], выводим формулу для нахождения
функции растяжения времени )(tI .
1
( ) 1
1
1
t
w
tgwI t
h e
h
α
= −
−
+
α
. (8)
Обозначим
1 1
( ) arctg 1
1
1
t
J t
h e
h
α
ω
= −
ω −
+
α
,
где под arctg понимается основное значение арктангенса. Заметим, что
1
( ) arctgJ t
h
ω
→
ω
при ∞→t , т.е. требование ttJ >)( для всех 0>t ,
Г.Ц. ЧИКРИЙ
34 Теорія оптимальних рішень. 2011, № 10
предъявляемое к функции растяжения времени, не выполнено. Чтобы исправить
положение, будем строить искомую функцию ( )I t поэтапно. Вычисляем
2
2
( )
1 1
1
t
t t
e
J t
e e
h
α
α α
=
− −
+ + ω α α
& . (9)
Нетрудно видеть, что (0) 1J = , ( ) 1J t >& на интервале
2
1
0, ln 1 ( 2 )h
α
+ α − α γ
.
В предположении
2hα > (10)
функция ( )J t монотонно возрастает на этом интервале. Поэтому график
функции )(tJ в некоторый конечный момент времени 01 >t пересечет луч
ty = . Положим
)()( tJtI = , [ )1,0 tt ∈ ,
где момент 1t определяется равенством 11)( ttJ = . Далее, пусть
( ) ( )I t J t
π
= +
ω
, [ )21, ttt ∈ ,
где 2t удовлетворяет равенству
2 2( )J t t
π
+ =
ω
.
Продолжая построение функции )(tI , получаем
( ) ( ) ( 1)I t J t k
π
= + −
ω
, [ )kk ttt ,1−∈ , ∞= ,...,1k , (11)
( ) ( 1)k kJ t k t
π
+ − =
ω
. (12)
Из вышеприведенных соображений следует существование бесконечной
счетной последовательности моментов времени ∞=>+ ,...,1,, 1 kttt kkk , причем,
как видно из (11), (12), ∞→kt .
Построенная таким образом функция )(tI (11) является разрывной слева в
точках kt , ∞= ,...,1k , и непрерывно дифференцируемой на полуинтервалах
своей непрерывности, причем 0)0( =I , ttI >)( , 0>t . Таким образом, )(tI
удовлетворяет всем требованиям, предъявляемым к функции растяжения
времени.
Теперь выведем условия на параметры систем (1), (2), при которых
выполняется обобщенное модифицированное условие (7).
ОБ ОДНОЙ ИГРОВОЙ ЗАДАЧЕ МЯГКОЙ ВСТРЕЧИ ДВУХ РАЗНОТИПНЫХ ОБЪЕКТОВ
Теорія оптимальних рішень. 2011, № 10 35
Обозначим [ )U
∞
=
−=Ω
1
1,
k
kk tt , где 00 =t . Заметим, что ( ) ( )I t J t=& & , t ∈Ω ,
(0) 1I =& , 1)( =ktI& , ∞= ,...,1k . Из формулы (8) имеем
1
( ) 1
1
1
t
tg I t
h e
h
α
ω
ω = −
−
+
α
, Ω∈t . (13)
После дифференцирования формулы (13) и несложных выкладок получим
выражения для модулей, входящих в формулу для )(tW (7):
1 1
sin ( ) ( ))
t
e
I t r t
−α−
ω =
ω α
,
sin ( ) cos ( ) ( ) th
I t I t r t e−α− ω + ω =
ω
,
где
1
2 2( ) ( )
t
r t e I
α
= & .
Поэтому выполнение условия (7) напрямую зависит от выполнения неравенства
3
( ) 2 2( ) 0
t
hI t
e e I
α
−ρ − σ ≥& . (14)
Из формулы (14) следуют условия
2 2
h
ρ σ
≥
α
,
2
h
γ
α ≥ , (15)
обеспечивающие выполнение модифицированного условия (7).
Применим первый прямой метод Понтрягина для построения управления
преследования, приводящего к цели. Справедлива
Теорема ([4, 5]). Пусть для игры (3) выполнено условие (5) и для началь-
ного состояния 0
z существует конечное время
( )
( ) ( ( ) )
0
0 0
min 0 : ( )
I t t t
I t A I t A
T t e z e Ud W d
−
−θ
= ≥ −π + θ ∩ θ θ ≠ ∅
∫ ∫ . (16)
Тогда из заданного начального положения 0z преследование может быть
завершено точно в момент ( )I T .
Укажем путь выбора управления для преследователя, приводящий к цели.
Положим на начальном отрезке времени [ )00,τ , где 0 ( )I T Tτ = − , его
управление тождественно равным нулю. Начиная с момента 0τ , т.е. в каждый
Г.Ц. ЧИКРИЙ
36 Теорія оптимальних рішень. 2011, № 10
текущий момент времени 0τ + θ , 0 T≤ θ < , будем строить управление в виде
измеримого решения уравнения
( ) ( )
0( ) ( ) ( ( ) ( )) ( )T A I T Ae u I T e v I T I T T−θ −θπ τ + θ = − θ − − θ + ω − θ& ,
где ( )ω θ это измеримый селектор многозначного отображения ( )W θ ,
( ) ( )Wω θ ∈ θ , существующий ввиду (5) и (16) в силу теоремы Филиппова–
Кастена об измеримом выборе [8].
Из вида фундаментальной матрицы
At
e (6) и оператора π (4) нетрудно
сделать вывод о существовании такой постоянной K , что ( )
0
I t A
e z K−π ≤ при
любых t и 0z . С другой стороны, множество
0
( )
t
W dθ θ∫ содержит n2 -мерное
множество
2
0
2
00
t
S
d
Sh
α
ρ − σ θ⋅
∫ . С ростом t это множество в какой-то
конечный момент времени T поглотит n2 -мерный шар радиуса K , т.е.
реализуется включение ( )
0
0
( )
T
I t
e z W d−π ∈ θ θ∫ , а с ним и включение (16).
Таким образом, показано, что если выполнены неравенства (10) и (15), то
рассматриваемая модельная игра может быть завершена за конечное время при
любых допустимых начальных положениях и скоростях игроков.
По аналогии с [4, 5] условие взятия преследователем «следа» убегающего
выводится из условия принадлежности нулевого вектора пересечению в (16):
существует 1t , такое что в момент времени 0 1 1( )I t tτ = − выполнены равенства
( )
1 1
1 1 1
11( ) 22
0 1 0 0
1 1
( ) ( ) 2
t t
hI t t te e
x e I t h e y y
−α −α
− + α −α
− −
τ = + + α α
& & ,
1
1 1 1
1
3( ) 22 2
0 1 0 0
1
( ) ( ( ))
t
hI t t te
x e I t y e y
−α
− + α −α −
τ = −γ + α
&& & .
Из формулы (16) следует, что, выбирая управление в виде
0( )u t
σ
τ
ρ
+ = ( )
1
1
( )
3 ( )
2 2
1( )
t t
hI t t
I t t e
α −
− −
−&
0 1 1( ( ))v t I t tτ + − − , 10 t t≤ < ,
преследователь достигнет мягкой встречи с убегающим точно в момент 0 1tτ + ,
двигаясь при этом строго по геометрической траектории («следу») убегающего.
ОБ ОДНОЙ ИГРОВОЙ ЗАДАЧЕ МЯГКОЙ ВСТРЕЧИ ДВУХ РАЗНОТИПНЫХ ОБЪЕКТОВ
Теорія оптимальних рішень. 2011, № 10 37
Г.Ц. Чикрій
ПРО ОДНУ ІГРОВУ ЗАДАЧУ М’ЯКОЇ ЗУСТРІЧІ ДВОХ ОБ’ЄКТІВ РІЗНОГО ТИПУ
Досліджується ігрова задача про м’яку зустріч двох керованих лінійних диференціальних
систем другого порядку різного типу. За допомогою побудованої так званої функції
розтягування часу одержано достатні умови завершення гри за скінченний час та зазначено
спосіб побудови керування переслідувачем.
G.Ts. Chikrii
ONE GAME PROBLEM OF SOFT MEETING OF TWO DIFFERENT-TYPE OBJECTS
Paper concerns the game dynamic problem of soft meeting of two linear second-order different-type
differential systems.The extension time-function is built and with its help sufficient conditions for
terminating the game in a finite time are developed. Moreover formula for constructing control of
the pursuer is given.
1. Понтрягин Л.С. Избранные научные труды. – М.: Наука, 1988. – 2. – 576 с.
2. Никольский М.С. О применении первого прямого метода Понтрягина // Изв.
АН СССР. Сер. техн. кибернетики. – 1972. – №10. – С.51-56.
3. Зонневенд Д. Об одном типе превосходства игрока // Докл. АН СССР. – 1973. – 208,
– № 3.– С. 520–523.
4. Чикрий Г.Ц. Использование эффекта запаздывания информации в дифференциаль-
ных играх преследования // Кибернетика и системный анализ. – 2007. – № 2. –
С. 90–105.
5. Чикрий Г.Ц. Об одной задаче сближения для затухающих колебаний // Проблемы
управления и информатики. – 2009. – №5 – С.5–12.
6. Albus J., Meystel A. The eagle snatch, «Intelligent Systems: a semiotic perspective » //
Proc. of the Intern Multidisciplinary Conf., NIST, 1996. – Gaithersburg (USA), 1996. –
P. 1–7.
7. Василенко Н.В. Теория колебаний. – Киев: Вища шк., 1992. – 430 с.
8. Йоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. – М.: Наука, 1974. –
480 с.
Получено 14.03.2011
|