Диагонализация компактного симметричного оператора
Доказаны утверждения о диагонализации компактного симметричного оператора в каноническом пространстве, о сходимости собственных чисел и собственных значений приближающего конечномерного оператора....
Gespeichert in:
| Datum: | 2011 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2011
|
| Schriftenreihe: | Теорія оптимальних рішень |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/46773 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Диагонализация компактного симметричного оператора / К.Г. Дзюбенко // Теорія оптимальних рішень: Зб. наук. пр. — 2011. — № 10. — С. 53-61. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-46773 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-467732013-07-07T03:04:34Z Диагонализация компактного симметричного оператора Дзюбенко, К.Г. Доказаны утверждения о диагонализации компактного симметричного оператора в каноническом пространстве, о сходимости собственных чисел и собственных значений приближающего конечномерного оператора. Доведено твердження про діагоналізацію компактного симетричного оператора у канонічному просторі, про збіжність власних чисел та власних векторів наближуючого скінченновимірного оператора. Statements are proved on diagonalization of compact symmetric operator in canonical space, on convergence of eigen-values and eigen-vectors of approximating finite-dimensional operator. 2011 Article Диагонализация компактного симметричного оператора / К.Г. Дзюбенко // Теорія оптимальних рішень: Зб. наук. пр. — 2011. — № 10. — С. 53-61. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. XXXX-0013 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/46773 517.98 ru Теорія оптимальних рішень Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Доказаны утверждения о диагонализации компактного симметричного оператора в каноническом пространстве, о сходимости собственных чисел и собственных значений приближающего конечномерного оператора. |
| format |
Article |
| author |
Дзюбенко, К.Г. |
| spellingShingle |
Дзюбенко, К.Г. Диагонализация компактного симметричного оператора Теорія оптимальних рішень |
| author_facet |
Дзюбенко, К.Г. |
| author_sort |
Дзюбенко, К.Г. |
| title |
Диагонализация компактного симметричного оператора |
| title_short |
Диагонализация компактного симметричного оператора |
| title_full |
Диагонализация компактного симметричного оператора |
| title_fullStr |
Диагонализация компактного симметричного оператора |
| title_full_unstemmed |
Диагонализация компактного симметричного оператора |
| title_sort |
диагонализация компактного симметричного оператора |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| publishDate |
2011 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/46773 |
| citation_txt |
Диагонализация компактного симметричного оператора / К.Г. Дзюбенко // Теорія оптимальних рішень: Зб. наук. пр. — 2011. — № 10. — С. 53-61. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. |
| series |
Теорія оптимальних рішень |
| work_keys_str_mv |
AT dzûbenkokg diagonalizaciâkompaktnogosimmetričnogooperatora |
| first_indexed |
2025-07-04T06:14:00Z |
| last_indexed |
2025-07-04T06:14:00Z |
| _version_ |
1836695832760418304 |
| fulltext |
Теорія оптимальних рішень. 2011, № 10 53
ÒÅÎвß
ÎÏÒÈÌÀËÜÍÈÕ
вØÅÍÜ
Доказаны утверждения о диаго-
нализации компактного симмет-
ричного оператора в канониче-
ском пространстве, о сходимо-
сти собственных чисел и собст-
венных значений приближающего
конечномерного оператора.
К.Г. Дзюбенко, 2011
ÓÄÊ 517.98
Ê.Ã. ÄÇÞÁÅÍÊÎ
ÄÈÀÃÎÍÀËÈÇÀÖÈß ÊÎÌÏÀÊÒÍÎÃÎ
ÑÈÌÌÅÒÐÈ×ÍÎÃÎ ÎÏÅÐÀÒÎÐÀ
Проблема диагонализации симметричного
оператора является ключевой для линейных
моделей. Она логически связана с задачами,
рассмотренными в [1]. Пусть N , R и С –
множества всех натуральных, действитель-
ных и комплексных чисел. Линейное про-
странство E будем называть каноническим,
если задано скалярное произведение
СEE →×⋅⋅ :),( , удовлетворяющее аксио-
мам: 1) 0),( ≥xx , и 00),(
r
=⇔= xxx ;
2) ),(),(),( 22112211 yxyxyxx α+α=α+α ,
C∈αα 21, , Eyxx ∈,, 21 ; 3) ),(),( xyyx = ,
Eyx ∈, ( 0
r
– нулевой элемент E ; верхняя
черта над числом – комплексное сопряже-
ние). Для ES ⊂ линейная оболочка )(SL –
минимальный линеал, содержащий S . Нор-
ма вектора ),( xxx = , Ex ∈ . Базис в
E – линейно независимое множество ES ⊂
с ES =)(L (верхняя черта над множеством
– замыкание в E по норме). Замкнутый ли-
неал в E называется подпространством.
}0{\
r
Eu ∈ – собственный вектор оператора
EEA →: , соответствующий собственному
значению C∈λ , если uuA λ= . Оператор
EEA →: симметричный (самосопряжён-
ный), если ),(),( AyxyAx = , Eyx ∈, . Это
влечёт линейность A . Собственные числа
симметричного оператора действительны, а
собственные векторы, соответствующие раз-
личным собственным числам, ортогональны.
К.Г. ДЗЮБЕНКО
54 Теорія оптимальних рішень, 2011, № 10
}0:{
r
=∈= AxExAKerE – ядро, }:{ ExAxAImE ∈= – образ оператора
EEA →: . Для ESS ⊂21 , 21 SS ⊥ , если 21 ,,0),( SySxyx ∈∈= . =⊕ 21 SS
},:{ 221121 SxSxxx ∈∈+= – прямая сумма
1S и 2S , если каждое разложение
21 xxx += с 11 Sx ∈ , 22 Sx ∈ единственно. }:{ SxExS ⊥∈=⊥
– ортого-
нальное дополнение к ES ⊂ . Матрица
Nknnka ∈,)( диагональная, если 0=nka
при kn ≠ .
Nknnka ∈,)( трёхдиагональная, если 0=nka при 2≥− kn .
Nknnka ∈,)( самосопряженная, если
knnk aa ≡ .
Nknnka ∈,)( симметричная, если
knnk aa ≡ . Пусть E сепарабельно, т.е. для счётного множества ES ⊂ верно
ES = . Тогда в E есть не более чем счётный базис }{ ne . Для Ex ∈ }{)(
nex –
столбец из ),()( nexnx = , Nn ∈ .
Nknkne eAeA
n ∈= ,}{ )),(()( – матрица опера-
тора EEA →: . Если базис },{ Nnen ∈ ортонормирован, то
∑
∞
=
=
1
),(
n
nn eexx , ∑
∞
=
=
1
22
),(
n
nexx , Ex ∈ [1, с. 26], а действие линейного
оператора EEA →: определяется его матрицей: }{}{}{ )()()(
nnn eee xAAx = ,
Ex ∈ . ES ⊂ A -инвариантно, если SxA ∈ , Sx ∈ . }{PI – функция истинно-
сти утверждения P . EI – тождественный оператор в E . Матрица симметрич-
ного оператора в любом базисе самосопряжена. Матрица симметричного опе-
ратор в конечномерном пространстве диагональна в некотором ортонормиро-
ванном базисе. Она трёхдиагональна симметрична действительна в ортонор-
мированном базисе, получаемом явным построением ([3, с. 168]; также см.
лемму). Множество ES ⊂ предкомпактно, если S компактно. Оператор A в
E компактен, если он отображает каждое ограниченное множество в пред-
компактное. Последовательность ENnxn ⊂∈ },{ сходится сильно к Ex ∈∗
( ∗→ xxn ), если 0lim =−∗
∞→
n
n
xx . },{ Nnxn ∈ в полном E сходится слабо к
Ex ∈∗ , если ),(),(lim yxyxn
n
∗
∞→
= , Ey ∈ . }0{0 UNN = , }:{ NnnN ∈−=− .
Лемма. Пусть E – каноническое пространство, A – ограниченный сим-
метричный оператор в E , }0{\
r
Ex ∈ . Положим xxxb
1
1 )(
−
= ,
∑
=
+ −=
n
k
kknnn xbxbxAbxAbxb
1
1 )())(),(()()(
~
, )(
~
)(
~
)( 1
1
11 xbxbxb nnn +
−
++ = ,
Nn ∈ (построение конечно, если 0)(
~
1
r
=+∗
xbn для некоторого Nn ∈∗ ). Тогда
верны следующие утверждения.
ДИАГОНАЛИЗАЦИЯ КОМПАКТНОГО СИММЕТРИЧНОГО ОПЕРАТОРА
Теорія оптимальних рішень. 2011, № 10 55
1. )}({ xbn – ортонормированный базис в }),({)( 0NkxAxM k
A ∈= L .
2. ))(()( )}({ xaA nkxbn
= – трёхдиагональная симметричная действительная мат-
рица, и 0)(1, >+ xa nn
для всех допустимых Nn ∈ .
3. )(xM A
– минимальное A -инвариантное подпространство, содержащее x .
Если также E полно и сепарабельно, то верны утверждения.
4. )( jA
Jj
xME
∈
⊕= , где NJ ⊂ , EJjx j ⊂∈ },{ , )( jA xM – ортогональны.
5. Матрица оператора A в объединённом ортонормированном базисе
})},({{ Jjxb jn ∈ трёхдиагональна, симметрична и действительна.
Доказательство. Далее в доказательствах MxM A =)( , nn bxb =)( . Рас-
смотрим лишь случай бесконечных построений. 1. По определению
}),({}),({ 0NkxANnb
k
n ∈⊂∈ LL . Также верны 1bxx = ,
)( 212111 babaxAx += . По индукции }),({ NnbxA n
k ∈∈L ,
0Nk ∈ . Верно
}),({}),({ 0 NnbNkxA n
k ∈⊂∈ LL , и }),({}),({ 0NkxANnb k
n ∈=∈ LL .
По индукции 0)),(),((
~
),(
1
11 =−=
−
++ mnmnnmn bAbbAbbbb , nm ,1= , Nn ∈ .
Также 1=nb , Nn ∈ , из определения. 2. ∑
+
=
=
1
1
),(
n
k
kknn bbAbAb , Nn ∈ , раз-
ложением по базису. Отсюда 0
~
),( 111, >== +++ nnnnn bbAba , Nn ∈ . Для всех
Nn ∈ и ...},3,2{ ++∈ nnk 0),( =kn bAb , == ),(),( nknk AbbbAb
0),( == kn bAb , и матрица )( nka трёхдиагональна. RbAba nnnn ∈= ),( следу-
ет из ),(),(),( nnnnnn bAbbAbbAb == . 3. Пусть M
~
– минимальное A -
инвариантное подпространство, содержащее x . Оно замкнуто как пересечение
всех таких подпространств. MNkxAM
k ~
}),({ 0 ⊂∈= L ввиду MxA
k ~
∈ ,
0Nk ∈ . M A -инвариантно ввиду A -инвариантности }),({ 0NkxA
k ∈L и
непрерывности линейного ограниченного A в нормированном E . Поэтому
MM ⊂
~
, и MM =
~
. 4. Выберем любое }0{\1
r
Ex ∈ . Для подпространства
)( 11 xMM A= в полном E верно
⊥
⊕= 11 MME , и
⊥
1M – подпространство в
E [2, с. 159]. Пусть для Nm ∈ выполнено
⊥
⊕= mm MME , где
}}),1)},(({{)(...)( 1 mjxbxMxMM jnmAAm ==⊕⊕= L замкнуто, Ex j ∈ ,
mj ,1= , )( jA xM взаимно ортогональны. Если найдётся }0{\1
r
⊥
+ ∈ mm Mx , то
К.Г. ДЗЮБЕНКО
56 Теорія оптимальних рішень, 2011, № 10
построение продолжается. Оно конечно или счётно, как и размерность E . 5.
Следует из утверждений 2 и 4.
В обозначениях леммы для каждого Nm ∈ рассмотрим:
• подпространство }),1),(({ mnxbL nm == L ;
• симметричный оператор mmm LLA →: , заданный соотношениями
)())(,())(),(( 11 xbxbyxbxAbAyyA mmmmm ++−= , mLy ∈ ;
• ≤≤λ<=λ<λ≤≤−λ≤−λ ...))((0)0())((...)2()1( 21 mkmk mmmmm
)1()2( mm λ≤λ≤ – m собственных значений mA , где −∈ Nmk )(1 ,
Nmk ∈)(2 (могут быть реализованы не все указанные индексы);
• }1,2...,),(,0),(...,,2,1{)( 21 mkmkmK −−= ;
• )(kum , )(mKk ∈ , – ортонормированные собственные векторы mA :
)()()( kukkuA mmmm λ= , )(mKk ∈ . )(kum выбраны так, что коорди-
наты ))(),((),( xbkuknu nmm = , mn ,1= , )(mKk ∈ , в базисе )}({ xbn
действительны и 0),1( ≥kum , )(mKk ∈ .
Также }0{\)()( U
Nm
mKK
∈
=∞ , −∞=∞ NKK I)()(1 , NKK I)()(2 ∞=∞ .
Верно )()()( 21 ∞∞=∞ KKK U . )(xM A
, Ex ∈ , заданы согласно лемме.
Теорема 1. Пусть выполнены условия:
1) E – полное каноническое пространство;
2) A – компактный симметричный оператор в E ;
3) }0{\)(
r
⊥∈ AKerx E .
Тогда верны следующие утверждения.
1. Rkkm
m
∈λ=λ ∗
∞→
)()(lim , )(∞∈ Kk .
2. 0)()1( <λ<+λ ∗∗ kk , )(1 ∞∈ Kk ; )()1(0 kk ∗∗ λ<+λ< , )(2 ∞∈ Kk .
3. )()()( xMkuku Am ∈→ ∗ , ∞→m , )(∞∈ Kk , и 1)( =∗ ku , )(∞∈ Kk .
4. }))(({))(( )()( kuIkAKer xMxM AA ∗∗ =λ− L , )(∞∈ Kk ; }0{)(
r
=AKer xM A
.
5. )(ku∗ , )(∞∈ Kk , – ортонормированный собственный базис в )(xM A .
Доказательство. Достаточно рассмотреть случай бесконечномерного
)(xMM A= . 1. A ограничен в E ввиду компактности. Норме
2
1
1
2
),(
= ∑
∞
=n
nbyy , My ∈ , соответствует операторная норма
ДИАГОНАЛИЗАЦИЯ КОМПАКТНОГО СИММЕТРИЧНОГО ОПЕРАТОРА
Теорія оптимальних рішень. 2011, № 10 57
∞+<
= ∑ ∑
∞
= +−∈=
2
1
1
2
}1,,1{1
),(sup
n nnnk
knk
y
M
byaA ( 010 =a ). Согласно утверждению
3 леммы M A -инвариантно. Соответствующие
MmA не убывают,
MMm AA ≤ , Nm ∈ , и существует
MMm
m
AA ≤
∞→
lim . Если собственные
числа симметричного оператора
mA обозначены )(...)2()1( mmmm µ≤≤µ≤µ ,
то ),(maxmin)(
1,
xxAk m
xVxLV
m
k
mk
=∈⊂
=µ , mk ,1= , где
kV – k -мерные подпростран-
ства
mL [3, с. 109]. Верны )1()()( 11 +µ≤µ≤µ ++ kkk mmm
для допустимых k ,
поскольку минимум не возрастает при расширении множества аргументов, а
),(max
1,
xxAm
xVx k =∈
не убывает при переходе к 1+m и kk VV ⊃+1 . Поэтому
)1()()( 11 −λ≤λ≤λ ++ kkk mmm , )(1 ∞∈ Kk ; )()()1( 11 kkk mmm ++ λ≤λ≤+λ ,
)(2 ∞∈ Kk .
MMmm
xLx
m
mk
AAxxAk
m
≤≤≤λ
=∈=
),(max)(max
1,,1
, Nm ∈ . Схо-
димость монотонной ограниченной последовательности влечёт существование
пределов в 1. 2. Среди )(kmλ есть ненулевые, иначе все mA и A тождествен-
но нулевые. Переход к пределу при ∞→m в неравенствах для )(kmλ влечёт
0)( ≠λ∗ k , )(∞∈ Kk (из )()(0 1 kk mλ≤λ< ) и их невозрастание по k .
Строгая монотонность доказана далее. 3. Пусть R∈λ . Уравнение uuA λ=
для Mu ∈ приводит к системе уравнений
≥=++λ−+−
=+λ−
+− .2,0)1()()()1(
0)2()1()(
1,1,
1211
nnuanuanua
uaua
nnnnnn
Здесь ),()1(),()( λα== nubunu n , Nn ∈ , где Rn ∈λα ),( , Nn ∈ (из
Rann ∈ , 0,11, >= ++ nnnn aa , Nn ∈ ). Подпространства )( MM IAKer λ− , R∈λ ,
имеют размерность 0 или 1. Зададим любое )(∞∈ Kk . Для всех Nm∈ , удов-
летворяющих )(mKk ∈ , верна система уравнений
=λ−+−
−==++λ−+−
=+λ−
−
+−
,0),())((),1(
1,1,0),1(),())((),1(
0),2(),1())((
1,
1,1,
1211
kmukakmua
mnknuaknukaknua
kuakuka
mmmmmmm
mnnmmnnmnn
mmm
0),1( ≠kum
, иначе 0),( =knum
, mn ,1= , а 1)( ≡kum . Из определения
mA
1,1 ),()()()( +++λ= mmmmmmm bkmuakukkuA , )(mKk ∈ , Nm∈ . (1)
К.Г. ДЗЮБЕНКО
58 Теорія оптимальних рішень, 2011, № 10
}),({ NnbM n ∈= L полно как подпространство полного E и является 2l -
пространством. В 2l покоординатная сходимость эквивалентна слабой сходи-
мости [2, с. 196]. Для компактного A в полном M из слабой сходимости
mb к
0
r
следует 0
r
→mbA [2, с. 246]. Но
2
,1
22
,1
2
)()()( mmmmmmm aaabA +− ++= ,
2≥m , откуда 0lim ,1 =+
∞→
mm
m
a . Верны 1)(),( =≤ kukmu mm , km ≥ , и
1≡mb . Утверждение 1 влечёт 0)())()((
r
→λ−λ ∗ kukk mm , ∞→m . В силу
(1) 0)())((
r
→λ− ∗ kuIkA mM , ∞→m . Зададим симметричный линейный опе-
ратор MIkAB )(∗λ−= в M . Верны =⊕= ⊥)( BImBImM MM
BKerBIm MM ⊕= ввиду ⇔∈=⇔⊥⇔⊥ ExBxyBImyBImy MM ,0),(
BKeryExxBy M∈⇔∈=⇔ ,0),( и замкнутости
⊥= )( BImBKer MM ([2, с.
159]; использована непрерывность ),( ⋅⋅ ). Предположим, что }0{
r
=BKerM .
Ввиду 0)( ≠λ∗ k и компактности A образ оператора MIkAB )(∗λ−= в пол-
ном M замкнут [2, с. 469], и BImM M= . Ограниченный B взаимно одно-
значно отображает полное M на себя. По теореме Банаха об обратном опера-
торе [2, с. 225] существует ограниченный обратный MMB →− :1
. Из
0)(
r
→kuB m следует 0)(
r
→kum , что противоречит 1)( ≡kum . Поэтому
найдётся Mku ∈∗ )( с координатами Rknkuknu ∈λα= ∗∗∗ ))(,(),1(),( , Nn ∈ ,
и 0),1( >∗ ku такой, что )()()( kukkuA ∗∗∗ λ= и 1)( =∗ ku . Тогда
}))(({}),({ kuCkuBKerM ∗∗ =∈ββ= L (размерность 1). Умножая 0)(
r
=∗ kuB
на ))(),(( kukum ∗ и вычитая из 0)(
r
→kuB m , приходим к 0
r
→mzB , где
)())(),(()( kukukukuz mmm ∗∗−= , Nm∈ . Замкнутость BImM влечёт
BImBKer MM =⊥)( , полноту BImM . Отображение BImBImB MM →: взаим-
но однозначно. Аналогично существует непрерывный обратный оператор
BImBImB MM →− :1
. BImz Mm ∈ из )(kuzm ∗⊥ , Nm∈ . Поэтому
01
r
→= −
mm zBBz , 0)()),(( →≤ mmmm zkuzku , и =∗
2))(),(( kukum
1))(,()),(()()(
222
→+−−=−= mmmmmmmm zkuzzkukuzku . Если для
Nlm ⊂)}({ верно 1))(),(( )( −→∗ kuku lm , ∞→l , то += )()( )( lmlm zku
)()())(),(( )( kukukuku lm ∗∗∗ −→+ , ∞→l . Это противоречит 0),1( >kum ,
Nm ∈ , и 0),1( >∗ ku . Поэтому 1))(),(( →∗ kukum и )()( kukum ∗→ , ∞→m .
ДИАГОНАЛИЗАЦИЯ КОМПАКТНОГО СИММЕТРИЧНОГО ОПЕРАТОРА
Теорія оптимальних рішень. 2011, № 10 59
4. Первая часть доказана. Выполнено }),({ 0NnxAAKer
n
E ∈⊥ L ввиду
0),(),( == xyAxAy
nn
,
0Nn ∈ , AKery E∈ . Отсюда }0{
r
=AKerM . 5.
}{2121 21
))(),((lim))(),(( kkmm
m
Ikukukuku =
→∞
∗∗ == , )(, 21 ∞∈ Kkk (по непрерывно-
сти ),( ⋅⋅ ). Тогда утверждение 4 влечёт )()( 21 kk ∗∗ λ≠λ , 21 kk ≠ , и строгие
неравенства в утверждении 2. Положим }))(),(({ ∞∈= ∗∗ KkkuM L . Зададим
любое Nn ∈ . Докажем ∗∈ MbA n
.
m
mKk
mnmm
mKk
mnn vkukubkkukubAbA +λ== ∗
∈∈
∑∑ )())(,)(()())(,(
}0{\)()(
, nm ≥ ,
где ))()())((,)((
}0{\)(
kukukubkv m
mKk
mnmm ∗
∈
−λ= ∑ (с учётом симметричности A ,
)()()( kukkuA mmm λ= и 0)0( =λ m
). Для всех nm ≥ , Nk ∈0
верны
+−λ≤ ∑
≤∈
))()())((,)(( *
},0{\)( 0
kukukubkv m
kkmKk
mnmm
≤λ+λ+ ∗
>∈>∈
∑∑ )())(,)(()())(,)((
00 },0{\)(},0{\)(
kukubkkukubk
kkmKk
mnmm
kkmKk
mnm
)(2)()(max2 0
},0{\)(
0
0
khkukuAk mm
kkmKk
+−≤ ∗
≤∈
, (2)
где ∑
>∈
λ=
0},0{\)(
22
0 ))(,()()(
kkmKk
mnmm kubkkh . Использованы неравенства
2121 yyyy +≤+ , Akm ≤λ )( , 1))(,( ≤kub mn , )(mKk ∈ , и
ортонормированность )}({ kum , )}({ ku∗ . Ввиду полноты M и компактности
A верно 0)(lim =λ∗
∞±→
k
k
[2, с. 244-245]. Для любого 0>ε существует Nk ∈0
~
такое, что
4
)()( ε<λ≤λ ∗ kkm , }0{\)(mKk ∈ , 0
~
kk > , nm ≥ . Верно
16
)
~
(
2
0
ε<khm , nm ≥ , ввиду ∑
∈
==
)(
22
1))(,(
mKk
nmn bkub . Существует
Nm ∈0 ( nm ≥0 ) такое, что ( ) ε≤−
−
∗
1
0
~
4)()( Akkukum , }0{\)(mKk ∈ ,
0
~
kk ≤ , 0mm ≥ . Полагая 00
~
kk = в (2), заключаем, что
ε=ε+ε<
16
2
2
2
mv , 0mm ≥ . Следовательно, 0
r
→mv , и векторы
∗∗
∈
∈λ∑ Mkukubk
mKk
mnm )())(,)((
}0{\)(
сходятся к nbA при ∞→m . Значит
К.Г. ДЗЮБЕНКО
60 Теорія оптимальних рішень, 2011, № 10
∗∈ MbA n , Nn ∈ (из замкнутости ∗M ), и ∗⊂∈= MNnbAAIm nM }),({L .
Но AImAKerAImMM MMM =⊕=⊂∗ , откуда ∗= MM . Теорема доказана.
Комментарии. 1. В условиях 1), 2) теоремы 1 для каждого Ex ∈ верно
либо 0
r
=Ax , либо }0{\)(
r
⊥∈ AKerAx E . 2. Если даже 0)0( =λ m
и )0(mu
встречаются при некоторых m , в пределе это не приводит к появлению собст-
венного вектора, соответствующего собственному значению ноль.
Теорема 2. Пусть выполнены следующие условия:
1) E – полное сепарабельное каноническое пространство;
2) A – компактный симметричный оператор в E .
Тогда в ортонормированном базисе },),;({ JjKkxku jj ∈∈∗ пространства E
матрица оператора A диагональна с собственными числами на диагонали, и
каждое из них встречается конечное число раз, не более одного для каждого
)( jA xM . Здесь NJ ⊂ , и для каждого Jj ∈ Ex j ∈ , NNK j U−∈ ,
}),;({ jj Kkxku ∈∗ – ортонормированный собственный базис в )( jA xM .
Доказательство. Согласно лемме )( jA
Jj
xME
∈
⊕= . AKerx Ej ∈ порождают
одномерные )( jA xM . Им ортогональны остальные )( jA xM , и для их jx
обеспечено условие 3) теоремы 1. Кратность каждого собственного числа ком-
пактного оператора в полном пространстве конечна [2, с.245].
Пример 1. Пусть Rtt ⊂],[ 21 , и измеримая функция CttK →2
21 ],[: тако-
ва, что ∫ ∫ ∞+<
2
1
2
1
2
),(
t
t
t
t
dtdstsK . dttxtsKsAx
t
t
)(),())((
2
1
∫= , ],[ 21 tts ∈ , – линей-
ный оператор в ],[ 212 ttLE = ( dttytxyx
t
t
)()(),(
2
1
∫= ). A компактен [2,
с. 461-462]. Если также ),(),( stKtsK ≡ , то A симметричен [2, с. 463], и для
него выполнены теоремы 1 и 2.
Пример 2. )())(( txttAx = , ]1,0[∈t , – симметричный линейный оператор
в ]1,0[2LE = ( dttyttxdttytxt )()()()(
1
0
1
0
∫∫ ≡ ). Рассмотрим ортонормирован-
ный базис в E : 1)(0 =te , )(cos2)( tnten π= , ]1,0[∈t , Nn ∈ [2, с. 392-393].
ne слабо сходится к 0
r
, так как E полно и для всех Ey ∈ 0),( →ney (из
∞+<=∑
∞
=
2
1
2
),( yey
n
n
). С другой стороны =π= ∫ dttntAen
1
0
222
)(cos2
ДИАГОНАЛИЗАЦИЯ КОМПАКТНОГО СИММЕТРИЧНОГО ОПЕРАТОРА
Теорія оптимальних рішень. 2011, № 10 61
0
3
1
)2(cos
1
0
2
1
0
2 ≠→π+= ∫∫ dttntdtt , ∞→n . Следовательно, A не компактен
[2, с. 246]. A не диагонализируем так как не имеет собственных векторов: при
каждом R∈λ 0)()( ≡λ− tut влечёт 0)( =tu почти всюду на ]1,0[ . В част-
ности, }0{
r
=AKerE . В базисе )}({ 1xbn с 1)(1 ≡tx матрица оператора A
трёхдиагональна, симметрична и действительна. В обозначениях теоремы 1
]1,1[)()( −∈λ→λ ∗ kkm , ∞→m , )(∞∈ Kk , поскольку утверждение 1 теоре-
мы верно и для ограниченных A , а 1)(sup
1
0
22
1
2
≤= ∫
=
dttxtA
x
. Среди
)(k∗λ есть ненулевые – однако им не соответствуют собственные векторы.
В начале 20-го века было осуществлено доказательство того, что компакт-
ный симметричный оператор в полном сепарабельном каноническом про-
странстве диагонализируем [2, с. 246-247]. Я построил своё доказательство та-
кого рода утверждения, а также доказательство сходимости собственных чисел
и собственных векторов приближающего конечномерного оператора. Это важ-
но, например, для поиска решений интегральных уравнений yxxA =λ− с
оператором A из примера 1.
К.Г. Дзюбенко
ДІАГОНАЛІЗАЦІЯ КОМПАКТНОГО СИМЕТРИЧНОГО ОПЕРАТОРА
Доведено твердження про діагоналізацію компактного симетричного оператора у
канонічному просторі, про збіжність власних чисел та власних векторів наближуючого
скінченновимірного оператора.
K.G. Dziubenko
DIAGONALIZATION OF COMPACT SYMMETRIC OPERATOR
Statements are proved on diagonalization of compact symmetric operator in canonical space, on
convergence of eigen-values and eigen-vectors of approximating finite-dimensional operator.
1. Дзюбенко К.Г. Ортогональные разложения пространств и их применения // Теорія
оптимальних рішень. – 2010. – № 9. – С. 25 – 32.
2. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анали-
за. – М.: Наука, 1981. – 544 с.
3. Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычислен. – М.: Наука, 1984. – 320 с.
Получено 22.03.2011
|