Кинематическая модель течения Гольфстрим
Предложена математическая модель и найдена функция тока, аппроксимирующие течение Гольфстрима. Аппроксимирующая функция тока представляет собой модифицированную функцию тока, описывающую вихревую дорожку Кармана. Модифицированная функция позволяет описывать течение Гольфстрима в подвижной системе ко...
Збережено в:
| Дата: | 2008 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут гідромеханіки НАН України
2008
|
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/4681 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Кинематическая модель течения Гольфстрим / Т. Краснопольськая, В. Ильченко // Прикладна гідромеханіка. — 2008. — Т. 10, № 4. — С. 43-51. — Бібліогр.: 29 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-4681 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-46812009-12-21T12:00:34Z Кинематическая модель течения Гольфстрим Краснопольськая, Т. Ильченко, В. Предложена математическая модель и найдена функция тока, аппроксимирующие течение Гольфстрима. Аппроксимирующая функция тока представляет собой модифицированную функцию тока, описывающую вихревую дорожку Кармана. Модифицированная функция позволяет описывать течение Гольфстрима в подвижной системе координат, характеризующееся следующими когерентными структурами: среднее извивающееся (меандрирующее) течение в восточном направлении; две системы циркуляционных зон между вершинами и подошвами меандров и обрамляющее прямолинейное течение в западном направлении. Запропоновано математичну модель i знайдено функцiю течiiї, що апроксимують течiю Гольфстрiма. Аппроксимуюча функцiя течiї являє собою модифiковану функцiю течiї, що описує вихрову дорiжку Кармана. Модифiкована функцiя дозволяє описувати течiю Гольфстрiму в рухомiй системi координат, яка характеризується такими когерентними структурами: середня звивиста (меандрова) течiя у схiдному напрямку; двi системи циркуляцiйних зон помiж вершинами i пiднiжжями меандрiв та оточуюча прямолинiйна течiя у захiдному напрямку. The mathematical model is proposed and a stream function approximated a meandering jet of Gulf Stream is found. This function is a modification of the stream function describing the Karman's vortex street. The modification which is introduced allows to approximate main patterns in a meandering jet of Gulf Stream. This stream characterizes by the following coherent structure elements in a coordinate frame moving with a speed of the meander: 1) an eastward-propagating meandering jet; 2) regions of recirculating fluid below and above meander crests and troughts; 3) regions of westward-propagating fluid below and above the jet and recirculation regions. 2008 Article Кинематическая модель течения Гольфстрим / Т. Краснопольськая, В. Ильченко // Прикладна гідромеханіка. — 2008. — Т. 10, № 4. — С. 43-51. — Бібліогр.: 29 назв. — рос. 1561-9087 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/4681 551.465.5 ru Інститут гідромеханіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Предложена математическая модель и найдена функция тока, аппроксимирующие течение Гольфстрима. Аппроксимирующая функция тока представляет собой модифицированную функцию тока, описывающую вихревую дорожку Кармана. Модифицированная функция позволяет описывать течение Гольфстрима в подвижной системе координат, характеризующееся следующими когерентными структурами: среднее извивающееся (меандрирующее) течение в восточном направлении; две системы циркуляционных зон между вершинами и подошвами меандров и обрамляющее прямолинейное течение в западном направлении. |
| format |
Article |
| author |
Краснопольськая, Т. Ильченко, В. |
| spellingShingle |
Краснопольськая, Т. Ильченко, В. Кинематическая модель течения Гольфстрим |
| author_facet |
Краснопольськая, Т. Ильченко, В. |
| author_sort |
Краснопольськая, Т. |
| title |
Кинематическая модель течения Гольфстрим |
| title_short |
Кинематическая модель течения Гольфстрим |
| title_full |
Кинематическая модель течения Гольфстрим |
| title_fullStr |
Кинематическая модель течения Гольфстрим |
| title_full_unstemmed |
Кинематическая модель течения Гольфстрим |
| title_sort |
кинематическая модель течения гольфстрим |
| publisher |
Інститут гідромеханіки НАН України |
| publishDate |
2008 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/4681 |
| citation_txt |
Кинематическая модель течения Гольфстрим / Т. Краснопольськая, В. Ильченко // Прикладна гідромеханіка. — 2008. — Т. 10, № 4. — С. 43-51. — Бібліогр.: 29 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT krasnopolʹsʹkaât kinematičeskaâmodelʹtečeniâgolʹfstrim AT ilʹčenkov kinematičeskaâmodelʹtečeniâgolʹfstrim |
| first_indexed |
2025-07-02T07:55:06Z |
| last_indexed |
2025-07-02T07:55:06Z |
| _version_ |
1836520997731172352 |
| fulltext |
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2008. Том 10, N 4. С. 43 – 51
УДК 551.465.5
КИНЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ТЕЧЕНИЯ ГОЛЬФСТРИМ
Т. C. К РА СН О П ОЛ Ь СК А Я, В. Н. И Л Ь Ч ЕН К О
Институт гидромеханики НАН Украини, Киев
Получено 15.11.2007
Предложена математическая модель и найдена функция тока, аппроксимирующие течение Гольфстрима. Аппрокси-
мирующая функция тока представляет собой модифицированную функцию тока, описывающую вихревую дорожку
Кармана. Модифицированная функция позволяет описывать течение Гольфстрима в подвижной системе координат,
характеризующееся следующими когерентными структурами: среднее извивающееся (меандрирующее) течение в во-
сточном направлении; две системы циркуляционных зон между вершинами и подошвами меандров и обрамляющее
прямолинейное течение в западном направлении.
Запропоновано математичну модель i знайдено функцiю течiiї, що апроксимують течiю Гольфстрiма. Аппроксиму-
юча функцiя течiї являє собою модифiковану функцiю течiї, що описує вихрову дорiжку Кармана. Модифiкована
функцiя дозволяє описувати течiю Гольфстрiму в рухомiй системi координат, яка характеризується такими коге-
рентними структурами: середня звивиста (меандрова) течiя у схiдному напрямку; двi системи циркуляцiйних зон
помiж вершинами i пiднiжжями меандрiв та оточуюча прямолинiйна течiя у захiдному напрямку.
The mathematical model is proposed and a stream function approximated a meandering jet of Gulf Stream is found.
This function is a modification of the stream function describing the Karman’s vortex street. The modification which
is introduced allows to approximate main patterns in a meandering jet of Gulf Stream. This stream characterizes by
the following coherent structure elements in a coordinate frame moving with a speed of the meander: 1) an eastward-
propagating meandering jet; 2) regions of recirculating fluid below and above meander crests and troughts; 3) regions of
westward-propagating fluid below and above the jet and recirculation regions.
ВВЕДЕНИЕ
Парадигма хаотической адвекции (впервые пре-
дложенная Х. Арефом в 1982-1984 гг.) является
на сегодня одним из самых перспективных и успе-
шных подходов при изучении проблем перемеши-
вания и массопереноса в геофизических течениях
[1–4]. Известно, что в океанологии перемешивание
представляет собой обменное движение объемов
воды, происходящее во всех горизонтальных на-
правлениях и по толщине моря или океана. При
этом объемы воды переносят свои параметры, а
именно, температуру, соленость и плотность. Пе-
ренос теплой воды через холодные плотные воды
континентального склона – таково наиболее общее
классическое описание Гольфстрима. Естественно,
течение Гольфстрима оставляет свои следы в виде
отрывающихся от основного потока и движущихся
теплых объемов воды в окружающих холодных во-
дах. Следует отметить, что массоперенос теплых
вод в окружение очень велик, его объем превыша-
ет расход всех рек земного шара. Изучение меха-
низмов обмена теплыми и холодными объемами
воды, основных закономерностей процесса их пе-
ремешивания и переноса является главной целью
нашего исследования. Поскольку при соприкосно-
вении вод, значительно различающихся по темпе-
ратурным характеристикам, между ними образу-
ется граничная зона, движение и транспорт кото-
рой определяют процесс перемешивания наиболее
четко, то для выполнения этой цели можно при-
менить подход Лагранжа при описании процессов
обмена. Если идентифицировать движение грани-
чной зоны с движением отдельных лагранжевых
точек, ее составляющих (или пассивных маркеров,
другими словами), то процесс перемешивания по-
лучает лагранжево описание. Именно переход к
использованию лагранжева описания в известном
эйлеровом поле течения является ключевым мо-
ментом в теории хаотической адвекции и приме-
нении других подходов теории динамических си-
стем в гидромеханике. Связь между теорией дина-
мических систем и изучением массопереноса (дви-
жения объемов воды) в геофизических течениях
обуславливается общими характерными геометри-
ческими когерентными структурами, которые ока-
зываются принципиальными для динамики систем
и геофизических течений морей и океанов. Мо-
тивировкой настоящей работы является примене-
ние математического аппарата современной тео-
рии динамических систем и теории хаотической
адвекции в частности к изучению транспортных
свойств в идеализированных моделях океанских
течений на примере течения Гольфстрим. Напом-
ним, что система Гольфстрима объединяет все те-
чения, переносящие воды в северном и северо-
восточном направлении от Флоридского пролива
до района его разветвления у входа в Северный
Ледовитый океан. Собственно Гольфстримом на-
c© T. C. Краснопольская, В. Н. Ильченко, 2008 43
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2008. Том 10, N 4. С. 43 – 51
зывают среднюю часть системы течений между
мысом Хаттерас и районом у большой Ньюфаун-
длендской банки [5]. После мыса Хаттерас Гольф-
стрим как бы начинает извиваться. На этом изви-
листом участке своего пути Гольфстрим образует
огромные волнообразные меандры. Движение во-
ды в меандрах становится неустойчивым и объемы
теплой жидкости отрываются от потока, образуя
циклонические вихри к югу и антициклонические
к северу от основного течения Гольфстрима. Та-
ким образом, существуют следующие когерентные
структуры, связанные с течением Гольфстрима: 1)
само извивающееся (меандрирующее) течение на
восток; 2) две системы вихрей: одна к югу, другая
к северу от основного течения; 3) обрамляющее
прямолинейное течение на запад [6–12].
Данная работа посвящена построению мате-
матической модели течения Гольфстрима, кото-
рая содержит основные указанные выше когерен-
тные структуры. Для этого в первых разделах
из основных уравнений геофизических потоков, в
условиях, характерных для геострофических тече-
ний, получено общее квазигеострофическое урав-
нение в нетрадиционном виде. Далее на основе
обзора работ по анализу и численному решению
уравнений течения подтверждается существова-
ние указанных выше когерентных стуктур в те-
чении Гольфстрима. Последний параграф настоя-
щей статьи посвящен анализу эмпирической моде-
ли поля течения Гольфстрима, которая содержала
необходимые когерентные характеристики.
1. УРАВНЕНИЯ ГЕОФИЗИЧЕСКОЙ
ГИДРОДИНАМИКИ
Описание крупномасштабных процессов (поряд-
ка сотен и тысяч километров), развивающихся в
океане, требует учета кривизны поверхности Зем-
ли, что можно сделать, например, путем исполь-
зования сферической системы координат [13–15].
Вместе с тем, для указанной цели часто исполь-
зуется более простая и наглядная декартова сис-
тема координат [16–18], связанная с определенной
точкой поверхности океана. Для учета сферично-
сти Земли применяется приближение β-плоскости
f = f0 + βy (здесь f – параметр Кориолиса; β –
его изменение по широте).
Для описания океанических течений исполь-
зуется система уравнений движения несжимае-
мой неоднородной (стратифицированной) жидко-
сти. Приведем здесь указанную систему уравне-
ний в декартовой системе координат [17, 18], оси
x и y которой направлены соответственно на во-
сток и север, ось z – в вертикальном направлении.
Используются приближения Буссинеска и квази-
статическое [15]. Для действия силы Кориолиса
принято традиционное приближение, в соответ-
ствии с которым учитывается только проекция ве-
ктора углового вращения Земли на местную вер-
тикаль.
Уравнения движения в горизонтальной плоско-
сти будут иметь вид:
∂u
∂t
+u
∂u
∂x
+v
∂u
∂y
+w
∂u
∂z
− fv = −
1
ρ0
∂p
∂x
+ F(u), (1)
∂v
∂t
+u
∂v
∂x
+v
∂v
∂y
+w
∂v
∂z
+ fv = −
1
ρ0
∂p
∂y
+ F(v), (2)
где u, v, w – составляющие скорости жидкости по
направлениям x, y, z соответственно; p – давле-
ние; ρ0 – невозмущенная плотность морской воды;
F(u), F(v) – диссипативные члены, причем
F( ) = A
L
∇2 +
∂
∂z
Az
∂
∂z
, ∇2 =
∂2
∂x2
+
∂2
∂y2
– горизонтальный оператор Лапласа; A
L
и Az – со-
ответственно горизонтальный и вертикальный ко-
эффициенты турбулентной вязкости (молекуляр-
ная вязкость в океане может быть существенной
лишь у твердых границ), зависящие, в общем слу-
чае, от z.
В систему уравнений входят также уравнение
движения для вертикальной координаты, совпада-
ющее в квазистатическом приближении с уравне-
нием гидростатики (g – ускорение силы тяжести):
0 = −
∂p
∂z
− ρg; (3)
уравнение неразрывности:
∂u
∂x
+
∂v
∂y
+
∂w
∂z
= 0 (4)
и уравнение диффузии плотности:
∂ρ
∂t
+ u
∂ρ
∂x
+ v
∂ρ
∂y
+w
∂ρ
∂z
= K
L
∇2ρ+
∂
∂z
Kz
∂ρ
∂z
, (5)
где K
L
и Kz – соответственно горизонтальный и
вертикальный коэффициенты турбулентной диф-
фузии. Последнее уравнение представляет собой
сведенные в одно уравнения переноса тепла и со-
ли, что возможно при линейной зависимости плот-
ности от температуры и солености в приближении
Буссинеска [17].
Поскольку A
L
� Az, в классической теории оке-
анических течений в уравнениях (1) – (2) оставля-
ются только члены, описывающие вертикальное
44 T. C. Краснопольская, В. Н. Ильченко
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2008. Том 10, N 4. С. 43 – 51
турбулентное трение [16]. Полагая также, что вер-
тикальный коэффициент турбулентной вязкости
не зависит от z, для диссипативных составляющих
уравнений (1) – (2) получим
F(u) = A
V
∂2u
∂z2
, F(v) = A
V
∂2v
∂z2
. (6)
Полученная система уравнений дополняется
граничными условиями. На поверхности океана
задается кинематическое граничное условие для
свободной поверхности либо используется прибли-
жение "твердой крышки"; на дне океана – усло-
вие обтекания или условие прилипания [17, 18].
На боковых границах условия задаются, исходя из
конкретной постановки задачи.
2. КВАЗИГЕОСТРОФИЧЕСКОЕ
ПРИБЛИЖЕНИЕ
Оценка величины членов уравнений (1) – (2) по-
казывает, что для океанических течений с масшта-
бами, соизмеримыми с радиусом Земли (порядка
тысячи километров), отношение вклада адвектив-
ных членов к кориолисовым (число Россби) мно-
го меньше единицы (Ro ∼ 10−2). Подобная оцен-
ка имеет место также для вязких членов, отно-
шение которых к кориолисовым характеризуется
горизонтальным и вертикальным числами Экма-
на (Ekh ∼ 10−5, Ekv ∼ 10−4) [18]. Таким образом,
вклад адвективных составляющих является малой
величиной по сравнению с вкладом кориолисовых,
вклад вязких членов – величиной еще более высо-
кого порядка малости.
Из данных оценок следует геострофическое при-
ближение, в соответствии с которым горизонталь-
ный градиент давления балансируется силами Ко-
риолиса
−fv = −
1
ρ0
∂p
∂x
, fu = −
1
ρ0
∂p
∂y
. (7)
Такое приближение хорошо описывает установив-
шиеся течения в открытом океане вдали от при-
брежных и фронтальных зон.
Для описания движений в океане с масшта-
бами, много меньшими радиуса Земли (порядка
100 километров), к которым относятся меандры
и вихри океанических течений, в уравнениях дви-
жения требуется учет адвективных членов. Ука-
занной цели служит так назывемое квазигеостро-
фическое приближение. Горизонтальные проекции
скорости по-прежнему находятся из условия гео-
строфического баланса
u = −
1
f0ρ0
∂p′
∂y
; v =
1
f0ρ0
∂p′
∂x
; ρ′ = −
1
g
∂p′
∂z
.
(8)
Здесь p′, ρ′ – возмущения давления и плотности;
соотношение, устанавливащее связь между ними,
следует из условия гидростатики.
Ввиду того, что характерный масштаб измене-
ния параметра Кориолиса в данном случае су-
щественно больше характерного масштаба изучае-
мых океанических процессов, значение параметра
Кориолиса в выражении (8) считается локально
постоянным, т.е. полагается f = f0.
Оценка величины членов уравнения (5) пока-
зывает, что вкладом диффузионных членов, сто-
ящих в правой части, можно пренебречь при обя-
зательном учете вклада всех членов левой части
[18]. Из уравнения (5) в данном приближении по-
лучается уравнение для вертикальной скорости:
( ∂
∂t
+ u
∂
∂x
+ v
∂
∂
)
ρ−
ρ0N
2
g
w = 0. (9)
Здесь N – частота Вяйсяля – Брента
N2 = −
g
ρ̄(z)
dρ
dz
.
Для описания движения жидкости используе-
тся уравнение завихренности, получаемое путем
исключения градиентов давления из уравнений
движения (1) – (2) без диссипативных членов в
правой части, что достигается перекрестным диф-
ференцированием данных уравнений:
( ∂
∂t
+ u
∂
∂x
+ v
∂
∂y
)( 1
f0ρ0
∇2p′ + βy
)
− f0
∂w
∂z
= 0.
(10)
В процессе вывода уравнения (10) учитывалось
условие (4) и были опущены некоторые члены,
имеющие порядок числа Россби (в частности,
произведения горизонтальных производных ско-
рости w).
Уравнения (8) – (10) образуют систему уравне-
ний квазигеострофического приближения [14]. По-
сле введения функции тока ψ = p′/ρ0f0 выраже-
ния для u, v, ρ′ могут быть преобразованы к виду
u=−
∂ψ
∂y
; v=
∂ψ
∂x
; ρ′ =−
ρ0f0
g
∂ψ
∂z
, (11)
а уравнение для вертикальной скорости – к виду
w=−
f0
N2
[ ∂2ψ
∂t∂z
+ J
(
ψ,
∂ψ
∂z
)]
, (12)
T. C. Краснопольская, В. Н. Ильченко 45
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2008. Том 10, N 4. С. 43 – 51
где J – якобиан по переменным x, y
J(f, g) =
∂f
∂x
∂g
∂y
−
∂f
∂y
∂g
∂x
.
Уравнение завихренности (10) с помощью (11)
и (12) преобразуется к квазигеострофическому
уравнению для функции тока
∂q
∂t
+ J(ψ, q) = 0, (13)
где
q = ∇2ψ +
∂
∂z
( f2
0
N2
∂ψ
∂z
)
+ βy. (14)
Величина q называтся квазигеострофическим по-
тенциальным вихрем [13, 15]. Для баротропных
движений, характеризующихся пренебрежимо ма-
лым вертикальным градиентом давления, в выра-
жении (14) можно пренебречь вторым слагаемым.
В этом случае уравнение (13) принимает вид
∂
∂t
(
∇2ψ
)
+ J(ψ,∇2ψ) + β
∂ψ
∂x
= 0. (15)
В ряде задач, в частности при моделирова-
нии течений с возникновением когерентных стру-
ктур, необходим также учет вязкости. В этом слу-
чае используются уравнения вида (13) или (15) с
диссипативным членом D в правой части, выра-
женным через функцию тока. Выражение для D
можно получить, выполнив преобразования для
вязких членов уравнений движения, аналогичные
преобразованиям адвективных членов.
3. ОБЗОР СОВРЕМЕННЫХ МОДЕЛЕЙ
ТЕЧЕНИЯ ГОЛЬФСТРИМА
Изучение процессов обмена теплой и холодной
воды в Северной Атлантике получило качествен-
ный скачок в последние десятилетия в связи
с возможностью применения современных мето-
дов космического наблюдения. Поскольку течение
Гольфстрима характеризуется резким градиентом
температур между водами течения и окружаю-
щими, то это позволяет четко очертить контуры
самого течения и следить за обменными процес-
сами. Экспериментальное изучение транспортных
свойств течения и его теплых вод проводится в
основном с помощью дрейфующих буев, содержа-
щих электронную аппаратуру, позволяющую со
спутников отслеживать их перемещение.
Американские ученые Боуэр и Россби [6, 7],
проводившие впервые экспериментальные работы,
проследили передвижение 37 таких буев в тече-
ние 30 – 45 дней. Они показали, что сначала буи,
запущенные на главном термоклине Гольфстри-
ма у мыса Хаттерас, следуют по течению, но за-
тем начинают дрейфовать самым непредсказуе-
мым образом. Боуэр и Россби построили график
совокупности траекторий отдельных буев, кото-
рый получил название “спагетти” , ставшее до-
вольно популярным в научной литературе. Ри-
сунок "спагетти" представляет собой клубок за-
путанных траекторий, причем каждая траекто-
рия имеет участки как прямолинейного движения,
так и кругового вращения вокруг центров, кото-
рые произвольно расположены около Гольфстри-
ма и движутся как бы с ним. Рисунок "спагет-
ти" образно отражает суть движения лагранже-
вых (или, другими словами, отдельных поплавков-
маркеров в поле течения Гольфстрима). Они чув-
ствуют сильно направленное течение только в на-
чале пути, затем отходят от главного русла, кру-
жатся в циркуляционном движении и удаляются
от течения. Рисунок совокупности траекторий по-
плавков выглядит так, будто кто-то выронил ва-
реные спагетти на карту северной части Атланти-
ческого океана [19].
Объяснение такой сложной картины запутан-
ных траекторий Боуэр и Лозье [8] пытались найти
в образовании отдельных вихрей соседними меан-
драми и отрыве этих вихрей в точках, где меан-
дры могли бы соприкоснуться. Однако образова-
ние и отрыв таких вихрей – довольно редкое явле-
ние (до 10-20 раз в году). А эксперименты с буями
показывают, что траектория каждого из них (т.
е. траектория из произвольной начальной точки
на Гольфстриме) может иметь несколько областей
вращения, причем каждая – вокруг только своих
центров вращения. Поэтому механизм образова-
ния и отрыва вихрей не может быть объяснением,
так как появление центров таких вихрей возника-
ет редко.
Вид запутанных траекторий буев Боуэр так-
же пыталась объяснить, построив упрощенную
кинематическую модель [7] течения Гольфстрим.
На основе этой модели с аналитически задан-
ной функцией тока предполагалось объяснить сло-
жность траекторий, применяя парадигму хаотиче-
ской адвекции, когда сложное хаотическое движе-
ние лагранжевых частиц возникает даже в про-
стом эйлеровом поле течения.
Эми Боуэр предложила при двумерной аппро-
ксимации Гольфстрима, когда компоненты векто-
ра скорости
~V (x, y, t) = u(x, y, t)~i+ v(x, y, t)~j (16)
46 T. C. Краснопольская, В. Н. Ильченко
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2008. Том 10, N 4. С. 43 – 51
связаны с функций тока ψ соотношениями
u = −
∂ψ
∂x
; v =
∂ψ
∂y
, (17)
функцию тока вида
ψ(x, y, t) = (18)
= ψ0
{
1 − th
[
y − A sin k(x− ct)
λ/ cos{arctg(Ak cos k(x− ct))}
]}
,
где A – амплитуда центральной линии меандри-
рующего потока; k = 2π/L – волновое число; λ –
ширина потока. (При расчетах Боуэр использова-
ла следующие параметры: c = 10 км/д; A = 50 км;
L = 400 км, где д =24 часа.) Член, стоящий в зна-
менателе (18), включен в формулу, чтобы шири-
на потока была одинаковой на разных участках.
Для анализа поля течения Гольфстрима удобнее
перейти к подвижной системе координат, которая
движется с фазовой скоростью ct. В подвижной
системе функция тока будет иметь вид:
ψ(x′, y′) = (19)
= ψ0
{
1 − th
[
y′ −A sin kx′
λ/ cos{arctg(Ak cos kx′))}
]}
+ cy′.
Из выражения (19) видно, что функция тока в мо-
дели Боуэр в подвижной системе координат не за-
висит от времени. И, следовательно, система урав-
нений адвекции, построеннная с иопользованием
функции тока (19), не будет иметь никаких хао-
тических режимов и не сможет объяснить спутан-
ность траекторий поплавков следствием их хаоти-
ческой адвекции. Таков главный недостаток моде-
ли Боуэр. Однако она обладает принципиальным
достоинством; модель Боуэр описывает главные
когерентные структуры Гольфстрима, а именно:
меандрирующее струйное течение в восточном на-
правлении; рециркуляционные зоны во впадинах
и пиках меандров и окаймляющее течение в запа-
дном направлении.
Позднее Самелсон [9] предложил несколько
усложнить модель Боуэр. Он ввел дополнитель-
ную зависимость амплитуды от времени, предпо-
ложив, что A = A0 + ε cos(ωt), где ε – малый па-
раметр (например, ε = 0.03, ω = 0.02). При этом
Самелсон использовал для функции тока ψ аппро-
ксимацию вида
ψ(x′, y′) = (20)
= ψ0
{
1 − th
[
y′ −A sin kx′
λ(1 +A2k2 sin2 kx′)1/2)
]}
+ cy′.
Картина линий тока в меандрирующем течении,
соответствующая модели Самелсона при A = A0,
приведена на рис. 1. Изолинии построены в без-
размерных координатах, причем в качестве пара-
метра обезразмеривания выбрана длина меандра
L. На графике хорошо видны когерентные струк-
туры: основная струя (область M), рециркуляци-
онные зоны (области R), окаймляющее встречное
течение в областях B. Система линий тока имеет
особые точки типа центра в областях рециркуля-
ции R, а также седловые (гиперболические) точки
K. Подробный анализ конфигурации особых то-
чек в модели Самелсона проведен в [12].
Следует отметить, что расчет линий тока в на-
стоящей работе проводился для модифированной
модели Самелсона, допускающей фазовый сдвиг ϕ
в аргументе синуса:
ψ(x′, y′) = (21)
= ψ0
{
1 − th
[
y′ − A sin(kx′ + ϕ)
λ(1 +A2k2 sin2 kx′)1/2)
]}
+ cy′.
(При расчетах полагалось, что ϕ = π/2).
Возможность обмена и хаотической транспор-
тировки объемов теплой воды в холодной при-
суща модели Самелсона при A = A(t). Та-
кая возможность объясняется применением тео-
рии гетероклинических точек и петлевой динами-
ки [10,11,23]. Временна́я зависимость, введенная
Самелсоном, приводит к тому, что сепаратрисы,
ограничивающие рециркуляционные зоны, начи-
нают пересекаться. Так, неустойчивое многообра-
зие одной гиперболической точки пересекается с
устойчивым многообразием другой. И таких пере-
сечений будет бесконечное множество. Объем, вер-
нее площадь жидкости, ограниченная отрезками
неустойчивого и устойчивого многообразия, дол-
жна сохраняться и отображаться (т.е. двигаться)
от одной петли к другой [10,11,23]. Что, собствен-
но, и объясняет механизм транспорта теплой жид-
кости Гольфстрима от центрального течения на
периферию.
Следующий значительный вклад в понимание
законов транспорта жидкости в Гольфстриме и во-
круг него был сделан в работах дель-Кастилло-
Негрете и Моррисона [20], а также Пратта, Лозье
и Беляковой [21]. В каждой из этих работ были
разработаны динамические модели течения, опи-
сывающие его поведение подобно моделям Боу-
ер и Самелсона. Динамические модели были по-
строены путем наложения на струйное течение
нормальных мод, которые определяются из ли-
неаризованных баротропных уравнений. Главная
идея состоит в том, что при аппрокcимации можно
T. C. Краснопольская, В. Н. Ильченко 47
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2008. Том 10, N 4. С. 43 – 51
взять две первые моды и наложить их на струйное
течение с коэффициентами разной величины. Пер-
вая мода с большой амплитудой снабжает струй-
ное течение меандрами, а вторая с меньшей ам-
плитудой делает его зависимым от времени. Если
обе моды имеют несоизмеримые частоты, то у со-
вокупной модели будет сложная временная зави-
симость. В частности, меандрирующее струйное
течение будет иметь временны́е вариации, что, как
и в модели Самелсона, будет вызывать значитель-
ное перемешивание теплых и холодных объемов
жидкости и перемещение их по разным участкам
струи. Динамические модели, как и кинематиче-
ская модель Самелсона, указывают на возмож-
ность эффективного хаотического перемешивания
объемов жидкости, и более детально описывают
этот процесс.
В работе Флерла, Меланотте-Риццоли и Забу-
ски [22] баротропные уравнения для β – плоскости
решались численно с целью определить началь-
ные данные, которые бы генерировали меандриру-
ющее течение. В этой работе описаны фундамен-
тальные эффекты по генерированию меандриру-
ющих течений таких как, например, Гольфстрим.
Последующие работы Миллера и др. [23], а так-
же Роджерсона и др. [24] были посвящены изуче-
нию на основе численного моделирования свойств
транспорта жидкости в лагранжевом приближе-
нии.
Определяющими уравнениями в этих работах
являются баротропные уравнения потенциально-
го вихря (см. раздел 2) с диссипативным членом
∂q
∂t
+ J(ψ, q) = D, (22)
где ψ – функция тока; q = ∇2ψ + βy – потенци-
альный вихрь; D - диссипативный член, который
выбран в форме D = (Re)−1∇4ψ (переменные без-
размерны).
Таким образом, уравнение для функции тока
имеет вид
∂
∂t
(
∇2ψ
)
+ J(ψ,∇2ψ) + β
∂ψ
∂x
=
1
Re
∇4ψ. (23)
При численном моделировании предполагалось
выполнение периодических граничных условий по
x и y. Уравнение решалось псевдоспектральным
методом в квадратной полости со стороной LD =
25.6 в безразмерных координатах [24, 23].
Начальные данные представляли собой слабо
возмущенное струйное течение
ψ(x, y, 0) = −erf(y)+
2y
LD
+δ exp(−y2) sin k0x. (24)
Волновое число k0 = 2πn0/LD, где n0 – целое чис-
ло, в большинстве случаев равное 4 (Re = 104,
β = 0.207).
Численный счет показал, что решение для
функции тока ψ характеризуется доминантным
периодическим течением с периодом T0 = 38.5 и со
скоростью течения по x (на восток) c0 = LD/n0T0.
Но кроме того, если перейти в подвижную систе-
му координат, которая движется со скоростью c0,
то картина линий тока в ней повторится и сов-
падет через временной интервал T1 < T0 (здесь
T1 = 30.5). Таким образом, в подвижной системе
координат течение не постоянное и застывшее, а
слабоосциллирующее во времени. Но главное, что
показало численное моделирование, что решение
уравнений баротропной потенциальной завихрен-
ности псевдоспектральным методом в подвижной
системе координат характеризуется тремя глав-
ными элементами когерентной структуры, кото-
рые были выявлены и в модели Боуэр, а именно:
меандрирующее струйное течение в восточном на-
правлении; рециркуляционные зоны во впадинах
и пиках меандров и окаймляющее течение в за-
падном направлении. Кроме того, численное мо-
делирование выявило периодическую модуляцию
("дыхание") амплитуд меандров друг относитель-
но друга.
4. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ПРЕДПОСЫЛКИ ДЛЯ
ВОЗНИКНОВЕНИЯ ХАОТИЧЕСКОГО ПЕ-
РЕМЕШИВАНИЯ В ДВУМЕРНЫХ ТЕЧЕ-
НИЯХ
Основная идея, на которой базируются различные
подходы, изучающие хаотическое перемешивание
в двумерных несжимаемых течениях, заключае-
тся в том, что задачу адвекции можно сформу-
лировать, используя формализм гамильтоновых
систем. При этом функция тока ψ играет роль
гамильтониана. Тогда траектории пассивных ча-
стиц, подверженных адвекции, могут быть полу-
чены как решения системы
ẋ = −ψy(x, y); ẏ = ψx(x, y). (25)
Хаотическая динамика частиц в жидкости в боль-
шинстве рассмотренных случаев [25, 26] связана
с существованием гиперболических точек в поле
течения. Предположим, что мы имеем такую не-
возмущенную гамильтонову систему (25), которая
характеризуется наличием гиперболических то-
чек. (В нашей модели мы имеем гиперболические
точки в точках пересечения сепаратрис, ограничи-
вающих рециркуляционные зоны вверху и внизу
48 T. C. Краснопольская, В. Н. Ильченко
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2008. Том 10, N 4. С. 43 – 51
от основного меандрирующего течения). Гипербо-
лические точки связаны друг с другом так называ-
емыми многообразиями. Неустойчивое многообра-
зие – это набор точек траекторий, которые в раз-
личные моменты времени стартуют из гиперболи-
ческой точки, а устойчивое многообразие – это на-
бор точек, которые стремятся к гиперболической
точке при t → ∞. В невозмущенной системе эти
многообразия совпадают (как бы один конец сепа-
ратрисы втекает в гиперболическую точку, а дру-
гой конец вытекает, но из другой гиперболической
точки, являясь неустойчивым многообразием для
нее).
Для возмущенной системы функция тока ψ бу-
дет иметь вид:
ψ = ψ0(x, y) + ψ1(x, y, t), (26)
где ψ0(x, y) – невозмущенная составляющая,
ψ1(x, y, t) – периодическое возмущение. Возму-
щение ψ1 гамильтониана разделяет многообразие
устойчивое и неустойчивое, поскольку "возмуща-
ет" любую траекторию. В этом случае они име-
ют бесконечное число пересечений, так как мы
рассматриваем поведение системы в ограниченной
области двумерного пространства. Точки их пере-
сечения называются гетероклиническими точками
[27].
Многообразия формируют сложную структуру
петель, пересекаясь. Петля – это площадь, ограни-
ченная с одной стороны неустойчивым, а с другой
стороны – устойчивым многообразием. Площадь
петли переходит от одной петли в другую через пе-
риод возмущения и обуславливает процесс обмена
и транспорта объемов жидкости [10, 11].
Из теории динамических систем известно, если
устойчивое многообразие гиперболической точки
и неустойчивое многообразие другой гиперболи-
ческой точки имеют точку пересечения, то они
будут иметь бесконечно много таких точек пере-
сечения, (так как по определению, многообразия
– это наборы точек, которые при t → ∞ дви-
жутся вдоль многообразия к гиперболическим то-
чкам и "уйти"с многообразия не могут). Много-
образия являются инвариантными относительно
периода возмущения ψ1. Таким образом, возмуще-
ние ψ1 переносит гетероклиническую точку мно-
гообразия как на устойчивое, так и неустойчи-
вое многообразие. Это означает, что образ гете-
роклинической точки снова будет гетероклиниче-
ской точкой. Петли становятся длиннее и тоньше,
когда они приближаются к гиперболической то-
чке. Это происходит потому, что система (25) яв-
ляется отображением, сохраняющим площадь, по-
скольку дивергенция системы равна нулю. Петли
Рис. 1. Картина линий тока в модели Самелсона
Рис. 2. Картина линий тока в вихревой модели
растут параллельно неустойчивому многообразию
гиперболической точки. Петлевая динамика очень
важна для понимания перемешивания и обменно-
го процесса в течениях. Так, около центральной ге-
тероклинической точки материал переносится из
одной рециркуляционной зоны (ячейки) в другую.
Количество материала (жидкости), транспортиру-
емого из одной зоны в другую в течение одного
периода действия возмущения, равно площади пе-
тли.
T. C. Краснопольская, В. Н. Ильченко 49
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2008. Том 10, N 4. С. 43 – 51
5. НОВАЯ КИНЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ
МЕАНДРИРУЮЩЕГО ТЕЧЕНИЯ
В разделе 3 показано, что при использовании ди-
намической модели течения Гольфстрим (баро-
тропного уравнения потенциальной завихренно-
сти) численное моделирование подтвердило нали-
чие трех главных элементов когерентной структу-
ры и позволило выявить временну́ю модуляцию
структур в подвижной системе координат. Учи-
тывая это, для объяснения механизмов транспор-
тировки и процессов обмена в течении Гольфстрим
предлагается новая кинематическая модель тече-
ния, которая обладает как свойствами, характер-
ными для динамической модели, так и только ей
присущим преимуществом. Это преимущество за-
ключается в том, что предлагаемая кинематиче-
ская модель – модификация лабораторно наблю-
даемого и очень известного явления. А именно,
она служит обобщением функции тока дорожки
Кармана [28]. Как известно, такая функция тока
описывает систему вихрей за бесконечным цилин-
дром, который движется с постоянной скоростью в
плоскопараллельном потоке параллельно оси Ox.
В подвижной системе координат, перемещающей-
ся вместе с вихрями, вихри будут стационарными.
Для их описания можно применить функцию тока
ψ(x, y) = Ψ(x, y) + cy, Ψ = −
Γ
4π
ln
P (x, y)
Q(x, y)
, (27)
где c – скорость перемещения системы вихрей по
направлению оси Ox; Γ – интенсивность вихрей;
P (x, y) = ch
2π
l
(
y +
h
2
)
+ sin
2πx
l
;
Q(x, y) = ch
2π
l
(
y −
h
2
)
− sin
2πx
l
.
Функция тока Ψ(x, y) описывает течение, которое
содержит два первых элемента когерентных стру-
ктур: меандрирующее течение и два набора ви-
хрей.
После перехода к безразмерным переменным
x̃ = x/l, ỹ = y/l выражения (27) примут вид
ψ̃(x̃, ỹ) = −
1
2k
ln
P (x̃, ỹ)
Q(x̃, ỹ)
+ c̃ ỹ, (28)
где
P (x̃, ỹ) = ch k(ỹ + b) + sin kx̃;
Q(x̃, ỹ) = ch k(ỹ − b) − sin kx̃;
ψ̃ = ψ/Γ; c̃ = cl/Γ; b = h/2l; k = 2π. На рис. 2
представлено поле течения, задаваемое предлага-
емой моделью. Символом M отмечено меандриру-
ющее течение – первый главный элемент когерен-
тной структуры течения Гольфстрим в подвижной
системе координат. Области U и C есть области
циркуляционного движения циклонического C и
антициклонического вращения U . Движение жид-
кости в отрицательном направлении на границах
области течения обозначено как B.
Как видно из сравнения рис. 1 и 2, расположе-
ние областейM меандрирующего потока, областей
циркуляционного движения (обозначенных как R
в модели Самелсона и C, U для вихревой мо-
дели) и областей B – обрамляющего движения
в отрицательном направлении, качественно подо-
бны. Роль особых точек типа центров, находящи-
хся в рециркуляционных зонах R модели Самел-
сона, здесь выполняют точечные вихри в областях
C, U . Координаты точечных вихрей (для поло-
жительных x) следующие: x1 = l/4, y1 = h/2;
x2 = 3l/4, y2 = −h/2.
Следует отметить, что в окрестностях точечных
вихрей величина скорости стремится к бесконе-
чности (что, конечно же, не имеет места в реаль-
ных течениях). Поэтому, при использовании дан-
ной модели в практических целях (например, для
расчетов массопереноса в меандрирующих тече-
ниях) окрестности указанных точек должны быть
исключены из рассмотрения.
Как и поле течения модели Самелсона, поле те-
чения вихревой модели обладает гиперболически-
ми (седловыми) точками. Для определения коор-
динат гиперболических точек подставим выраже-
ние для функции тока (28) в (25). Вычислив прои-
зводные по x̃ и ỹ, получим
˙̃y = −
ch kb
PQ
cos kx̃ ch kỹ; (29)
˙̃x =
ch kb
PQ
(sh kb− sin kx̃ sh kỹ) − c̃, (30)
(здесь аргументы функций P и Q опущены). При-
равнивая нулю выражение (29), находим, что ˙̃y
обращается в нуль в области положительных x̃ при
kx̃ = π/2 или при kx̃ = 3π/2, т. е. в точках с ра-
змерными координатами x3 = l/4, x4 = 3l/4. Под-
ставляя указанные значения kx̃ в выражение (30)
и приравнивая его нулю, получаем:
ch kb (sh kb∓ sh kỹ)
(ch k(ỹ + b) ± 1) (ch k(ỹ − b) ∓ 1)
= c̃. (31)
В выражениях (31), а также (32) – (34) верхние
знаки соответствуют случаю kx̃ = π/2, нижние –
случаю kx̃ = 3π/2.
Преобразуя левую часть (31) в соответствии с
правилами операций над гиперболическими функ-
циями [29], приходим к соотношению
ch kb
sh kb ± sh kỹ
= c̃, (32)
50 T. C. Краснопольская, В. Н. Ильченко
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2008. Том 10, N 4. С. 43 – 51
из которого находим, что
ỹ3,4 = ∓
1
k
Arsh
(1
c̃
ch kb− sh kb
)
, (33)
или, возвращаясь к размерным переменным:
y3,4 = ∓
l
2π
Arsh
( Γ
cl
ch
πh
l
− sh
πh
l
)
. (34)
Функция тока в рассматриваемой модели мо-
жет быть модифицирована таким образом, что-
бы вихри в подвижной системе координат не яв-
лялись стационарными, а "дышали"друг относи-
тельно друга. Для этого достаточно предполо-
жить, что в выражении (27) для функции тока ψ
имеет место возмущение вида
Γ = Γ0 + ε cos(ωt),
где Γ0 – постоянная величина; ε – малый параметр;
ω – частота изменения амплитуды вихрей.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
На основе использования физической модели
дорожки Кармана построена математическая мо-
дель, позволяющая качественно и количественно
описать течение Гольфстрим в подвижной системе
координат, характеризующееся следующими ко-
герентными структурами: среднее извивающееся
(меандрирующее) течение в восточном направле-
нии; две системы циркуляционных зон между вер-
шинами и подошвами меандров и обрамляющее
прямолинейное течение в западном направлении.
1. Aref H. Stirring by chaotic advection // Journ. Fluid
Mech.– 1984.– v.143, N 1.– P. 1–24.
2. Aref H. Chaotic advection of fluid particles // Phil.
Trans. R. Soc. London.– 1990.– v.333.– P. 273–289.
3. Aref H. Stochastic particle motion in laminar flows //
Phys. Fluids.– 1991.– v.3.– P. 1009–1016.
4. Aref H. The development of chaotic advection //
Phys. Fluids.– 2002.– v.14.– P. 1315–1325.
5. Стоммел Г. Гольфстрим.– М.: ИЛ, 1963.– 227 с.
6. Bower A. S., Rossby H. T. Evidence of cross-frontal
exchange in the Gulf Stream based isopycnal RAFOS
float data // Journ. of phys. oceanography.– 1989.–
v.19, N 9.– P. 1177–1190.
7. Bower A. S. A simple kinematic mechanism for mixi-
ng fluid parcels across a meandering jet // Journ. of
phys. oceanography.– 1991.– v.21, N 1.– P. 173–180.
8. Bower A. S., Lozier M. S. A clooser look at parti-
cle exchange in the Gulf Stream // Journ. of phys.
oceanography.– 1994.– v.24.– P. 1399–1418.
9. Samelson R. M. Fluid exchange across a meandering
jet // Journ. of phys. oceanography.– 1992.– v.22,
N 4.– P. 431–440.
10. Samelson R., Wiggins S. Lagrangian transport in
geophysical jets and waves.– New York: Springer,
2005.– 148 p.
11. Wiggins S. The dynamical system approach to
Lagrangian transport in oceanic flows // Ann. Rev.
Fluid Mech.– 2005.– v. 37.– P. 295–328.
12. Будянский М. В., Пранц С. В., Улейский М. Ю.
Хаотическая адвекция в меандрирующем струй-
ном потоке // Нелинейная динамика.– 2006.– т.2,
N 2.– С. 165–180.
13. Педлоски Дж. Геофизическая гидродинамика,
т.1.– М.: Мир, 1984.– 400 с.
14. Каменкович В. М., Кошляков М. Н., Монин А. С.
Синоптические вихри в океане.– Л.: Гидрометеои-
здат, 1982.– 264 с.
15. Каменкович В. М., Монин А. С. Основные положе-
ния термогидромеханики океана // Физика океа-
на, т.1.– М.:Наука, 1978.– С. 85–112.
16. Зырянов В. Ф. Теория установившихся океаниче-
ских течений.– Л.: Гидрометеоиздат, 1985.– 248 с.
17. Кочергин В. П. Теория и методы расчета океани-
ческих течений.– М.: Наука, 1978.– 128 с.
18. Саркисян А.С. Численный анализ и прогноз мор-
ских течений.– Л.: Гидрометеоиздат, 1977.– 183 с.
19. Jones C. K. R. T., Winkler S. Invariant mani-
fold and Lagrangian dynamics in the ocean and
atmosphere // Handbook of Dynamical Systems,
v.2.– Nort-Holland: Amsterdam, 2002.– P. 55–92.
20. del-Kastillo-Negrete D., Morison P. J. Chaotic
transport by Rossby waves in shear flow // Phys.
Fluids A.– 1993.– v.5, N 4.– P. 948–965.
21. Pratt L. J., Lozier M. S., Beliakova N. Parcell
trajectories in barotropic jet: Neutral modes //
Journ. of phys. oceanography.– 1995.– v.25.–
P. 1451–1466.
22. Flierl G. R., Malanotte-Rizzoli P., Zabusky N. J.
Nonlinear waves and cogerent vortex structure
in barotropic β-plane jets // Journ. of phys.
oceanography.– 1987.– v.17, N 9.– P. 1408–1438.
23. Miller P. D., Jones C. K. R. T., Rogerson A. M.,
Pratt L. J. Quantifying transport in numerically-
geherated velocity field // Physica D.– 1997.– v.110,
N 1-2.– P. 105–122.
24. Rogerson A. M., Miller P. D., Pratt L. J.,
Jones C. K. R. T. Lagrangian motion and fluid
exchange in barotropic meandering jets // Journ. of
phys. oceanography.– 1999.– v.29.– P. 2635–2665.
25. Meleshko V.V., Aref H. A blinking rotlet model for
chaotic advection // Phys. Fluids.– 1996.– v. 8.–
P. 3215–3217.
26. Meleshko V.V., van Heijst G.J.F. Interacting two-
dimensional vortex structures: point vortices, contour
kinematics and stirring properties // Chaos, Solitons
& Fractals.– 1994.– v.4.– P. 977–1010.
27. Кузнецов С. П. Динамический хаос.– М.: Физма-
тлит, 2001.– 295 с.
28. Кочин Н. Е., Кибель И. А., Розе Н. В. Теорети-
ческая гидромеханика, ч.I.– М.: ГИФМЛ, 1963.–
584 с.
29. Янпольский А. Р. Гиперболические функции.– М.:
Физматгиз, 1960.– 196 с.
T. C. Краснопольская, В. Н. Ильченко 51
|