Стацiонарний рух вихора бiля твердої стiнки у стратифiкованому середовищi

Решена линейная задача о вынужденном стационарном движении двухмерного точечного вихря возле твердой горизонтальной границы в полубесконечной линейно стратифицированной жидкости. Получено решение, соответствующее движению вихревой пары в неограниченном пространстве, как это имеет место в однородной...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2008
1. Verfasser:	Стеценко, О.Г.
Format:	Artikel
Sprache:	Ukrainian
Veröffentlicht:	Інститут гідромеханіки НАН України 2008
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/4683
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Стацiонарний рух вихора бiля твердої стiнки у стратифiкованому середовищi / О.Г. Стеценко // Прикладна гідромеханіка. — 2008. — Т. 10, № 4. — С. 58-64. — Бібліогр.: 13 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-4683
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-46832009-12-21T12:00:36Z Стацiонарний рух вихора бiля твердої стiнки у стратифiкованому середовищi Стеценко, О.Г. Решена линейная задача о вынужденном стационарном движении двухмерного точечного вихря возле твердой горизонтальной границы в полубесконечной линейно стратифицированной жидкости. Получено решение, соответствующее движению вихревой пары в неограниченном пространстве, как это имеет место в однородной среде. Показано, что при слабой стратификации кинематическая картина течения в окрестности вихря изменяется мало, однако появляется гидродинамическая сила сопротивления, обусловленняя стратификацией, которая с усилением стратификации имеет тенденцию быстро возрастать. Розв'язана лiнiйна задача про вимушений стацiонарний рух двовимiрного точкового вихора бiля твердої горизонтальної границi у напiвнеобмеженiй лiнiйно стратифiкованiй рiдинi. Одержано розв'язок, що вiдповiдає руху вихрової пари у необмеженому середовищi, як це має мiсце у однорiдному середовищi. Показано, що при слабкiй стратифiкацiї кiнематична картина течiї в околi вихора змiнюється малo, однак з'являється гiдродинамiчна сила опору, обумовлена стратифiкацiєю, яка з посиленням стратифiкацiї має тенденцiю швидко зростати. The article described a solution to the problem on forsed stationary motion of a two-dimensional point vortex near a solid horizontal border in a semiunrestricted linear stratified fluid. A solution was obteined, which corresponds to the movement of a pair of vortices in a non-restricted medium, similar to that in a uniform medium. The performed calculatios shoved that the cinematic pattern of the fluid motion in the vortex proximity changes insignificantly for low stratification. However, stratification results in the hydrodynamic drag force which has a tendency to quickly increase as stratification grows. 2008 Article Стацiонарний рух вихора бiля твердої стiнки у стратифiкованому середовищi / О.Г. Стеценко // Прикладна гідромеханіка. — 2008. — Т. 10, № 4. — С. 58-64. — Бібліогр.: 13 назв. — укр. 1561-9087 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/4683 532.59 uk Інститут гідромеханіки НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
description	Решена линейная задача о вынужденном стационарном движении двухмерного точечного вихря возле твердой горизонтальной границы в полубесконечной линейно стратифицированной жидкости. Получено решение, соответствующее движению вихревой пары в неограниченном пространстве, как это имеет место в однородной среде. Показано, что при слабой стратификации кинематическая картина течения в окрестности вихря изменяется мало, однако появляется гидродинамическая сила сопротивления, обусловленняя стратификацией, которая с усилением стратификации имеет тенденцию быстро возрастать.
format	Article
author	Стеценко, О.Г.
spellingShingle	Стеценко, О.Г. Стацiонарний рух вихора бiля твердої стiнки у стратифiкованому середовищi
author_facet	Стеценко, О.Г.
author_sort	Стеценко, О.Г.
title	Стацiонарний рух вихора бiля твердої стiнки у стратифiкованому середовищi
title_short	Стацiонарний рух вихора бiля твердої стiнки у стратифiкованому середовищi
title_full	Стацiонарний рух вихора бiля твердої стiнки у стратифiкованому середовищi
title_fullStr	Стацiонарний рух вихора бiля твердої стiнки у стратифiкованому середовищi
title_full_unstemmed	Стацiонарний рух вихора бiля твердої стiнки у стратифiкованому середовищi
title_sort	стацiонарний рух вихора бiля твердої стiнки у стратифiкованому середовищi
publisher	Інститут гідромеханіки НАН України
publishDate	2008
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/4683
citation_txt	Стацiонарний рух вихора бiля твердої стiнки у стратифiкованому середовищi / О.Г. Стеценко // Прикладна гідромеханіка. — 2008. — Т. 10, № 4. — С. 58-64. — Бібліогр.: 13 назв. — укр.
work_keys_str_mv	AT stecenkoog stacionarnijruhvihorabilâtverdoístinkiustratifikovanomuseredoviŝi
first_indexed	2025-07-02T07:55:12Z
last_indexed	2025-07-02T07:55:12Z
_version_	1836521003251924992
fulltext	ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2008. Том 10, N 4. С. 58 – 64 УДК 532.59 СТАЦIОНАРНИЙ РУХ ВИХОРА БIЛЯ ТВЕРДОЇ СТIНКИ У СТРАТИФIКОВАНОМУ СЕРЕДОВИЩI О. Г. СТЕЦ Е Н К О Iнститут гiдромеханiки НАН України, Київ Одержано 22.04.2008 Розв’язана лiнiйна задача про вимушений стацiонарний рух двовимiрного точкового вихора бiля твердої горизон- тальної границi у напiвнеобмеженiй лiнiйно стратифiкованiй рiдинi. Одержано розв’язок, що вiдповiдає руху ви- хрової пари у необмеженому середовищi, як це має мiсце у однорiдному середовищi. Показано, що при слабкiй стратифiкацiї кiнематична картина течiї в околi вихора змiнюється малo, однак з’являється гiдродинамiчна сила опору, обумовлена стратифiкацiєю, яка з посиленням стратифiкацiї має тенденцiю швидко зростати. Решена линейная задача о вынужденном стационарном движении двухмерного точечного вихря возле твердой гори- зонтальной границы в полубесконечной линейно стратифицированной жидкости. Получено решение, соответствую- щее движению вихревой пары в неограниченном пространстве, как это имеет место в однородной среде. Показано, что при слабой стратификации кинематическая картина течения в окрестности вихря изменяется мало, однако появляется гидродинамическая сила сопротивления, обусловленняя стратификацией, которая с усилением страти- фикации имеет тенденцию быстро возрастать. The article described a solution to the problem on forsed stationary motion of a two-dimensional point vortex near a solid horizontal border in a semiunrestricted linear stratified fluid. A solution was obteined, which corresponds to the movement of a pair of vortices in a non-restricted medium, similar to that in a uniform medium. The performed calculatios shoved that the cinematic pattern of the fluid motion in the vortex proximity changes insignificantly for low stratification. However, stratification results in the hydrodynamic drag force which has a tendency to quickly increase as stratification grows. ВСТУП Вивчення вимушених рухiв вихорiв має як нау- ковий, так i прикладний iнтерес в силу того, що такого типу задачi є важливими в гiдродинамi- цi руху плоских тiл, зокрема, крилових профiлiв, оскiльки їх результати є базовими в постановцi за- дач для плоских профiлiв довiльної форми. Бi- блiографiю виконаних в цьому напрямку робiт з вiдповiдним аналiзом можна знайти в [1]. У зв’яз- ку з широким застосуванням суден на пiдводних крилах, глiсуючих суден, а також використання крил в якостi засобу маневрування для пiдводних об’єктiв, важливе мiсце в данiй проблемi займає дослiдження впливу на гiдродинамiчнi характе- ристики таких об’єктiв наявностi горизонтальних границь роздiлення середовища, якими є вiльна поверхня, тверда границя або границя рiзкої змiни густини середовища (стрибок густини). Стрибок густини в рiдинi, який моделює наяв- нiсть там рiзкого градiєнта температури або со- лоностi, вiдповiдає найпростiшiй схемi стратифi- кацiї середовища. В загальному випадку страти- фiкованi середовища мають неперервний розподiл густини вздовж вертикальної координати, який в окремих випадках можна замiнити схемою шару- ватої стратифiкацiї, коли густина середовища змi- нюється стрибкоподiбно на границi кожного з ша- рiв, а всерединi кожного з них вона постiйна. Схе- ми середовища з вiльною поверхнею або твердою стiнкою вiдповiдають частинним випадкам шару- ватої стратифiкацiї. В першому випадку густина середовища змiнюється на границi вiд нуля до гу- стини рiдини, а в другому – вiд густини рiдини до нескiнчено великого значення. Дослiдження стацiонарного руху вихорiв та ви- хроджерел у стратифiкованих середовищах запо- чаткованi у фундаментальних роботах М. Є. Ко- чина [2, 3], в яких розглянутi задачi про рух вихро- джерела бiля границi роздiлення напiвнескiнчених однорiдних середовищ рiзної густини (в [2] верхнiй шар мав нульову густину). Найбiльш повна поста- новка задачi для схеми шарової стратифiкацiї ви- конана в роботi [4]. Перше дослiдження руху двовимiрного вихора у середовищi з неперервною стратифiкацiєю у лi- нiйнiй постановцi здiйснено в роботi [5]. Загальна постановка лiнiйної задачi про стацiонарний рух точкового вихора у довiльному стiйко стратифiко- ваному середовищi виконана в [6]. Виведене там рiвняння стацiонарного руху точкового вихора в явнiй формi мiстить характеристики вихора, що дозволяє для розв’язання задач ефективно вико- ристовувати методи iнтегральних перетворень. Гiдродинамiчна сила, яка дiє на рухомий точко- вий вихор, для шаруватої стратифiкацiї визначає- ться аналогiчно випадку однорiдного середовища з вiдомої формули Чаплигiна [7], або з використа- 58 c© О. Г. Стеценко, 2008 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2008. Том 10, N 4. С. 58 – 64 нням теореми про змiну кiлькостi руху для рiдко- го об’єму, який знаходиться всерединi довiльного контуру c, що охоплює вихор [8], оскiльки цей кон- тур iнтегрування завжди можна вибрати в межах шару, де рухається вихор. Визначення гiдродина- мiчної сили, що дiє на вихор при його стацiонар- ному русi зi швидкiстю U у неперервно стратифi- кованому середовищi з розподiлом густини ρ0(z) вздовж вертикальної координати z, виконано в ро- ботi [9]. В нiй показано, що для такого класу лiнiй- них задач має мiсце аналог iнтегралу Бернуллi, з якого випливає зв’язок мiж збуреними тиском p i швидкiстю ~v = [u(x, z), v(x, z)] у виглядi p = −ρ0(z) [ Uu+ 1 2 (u2 +w2) ] . (1) Використання цього результату та пiдходу [7] дозволило одержати значення гiдродинамiчної си- ли у виглядi, аналогiчному випадку однорiдного середовища з замiною в ньому сталої густини ρ на ρ0(z). В [8] запропоновано також альтернативний метод визначення горизонтальної складової сили опору Rx, яка визначає хвильовий опiр. В данiй роботi розглянена кiнематика i динамiка вимушеного стацiонарного руху вихора бiля твер- дої горизонтальної границi напiвнеобмеженого лi- нiйно стратифiкованого середовища. 1. МАТЕМАТИЧНЕ ФОРМУЛЮВАННЯ ЗАДАЧI Розглядається рiвномiрний горизонтальний рух плоского точкового вихора iнтенсивностi Γ зi швидкiстю U на вiддалi h вiд твердої стiнки у стiйко стратифiкованiй рiдинi. Вiсь вихора пер- пендикулярна до напрямку руху i до напрямку дiї сили гравiтацiї. Система координат xoz вибрана так, що вона рухається разом з вихором, причому додатнiй напрям горизонтальної вiсi x направле- но в сторону, протилежну напряму вектора швид- костi руху, а вiсь z направлена вгору. Вводиться збурена функцiя течiї ψ(x, z) така, що для компо- нент поздовжньої u(x, z) та вертикальної складо- вих w(x, z) збуреної швидкостi u = ∂ψ ∂z ; w = −∂ψ ∂x . Тодi лiнеаризоване рiвняння, яке описує стацiо- нарнiй рух такого середовища в наближеннi Бу- синеска (спрощений варiант, коли в системi рiв- нянь Ейлера змiннiсть ρ0(z) враховується лише у рiвняннi для збуреної густини ρ(x, z)), має вигляд [6]: ∆ψ + N2 U2 ψ = −Γδ(x)δ(z − h). (2) Тут N – частота В’яйсяля-Брента, N = ( − g ρ0 dρ0 dz ) 1 2 ; δ(x) , δ(z − h) – дельта-функцiї Дiрака. В безрозмiрнiй формi, де в якостi масштабу дов- жини взято h, масштабу для ψ i Γ – Uh, рiвняння (2) набирає вигляду ∆ψ + α2ψ = −Γδ(x)δ(z − 1) , (3) де α = Nh/U . Граничнi умови задачi випливають з умови непроникностi на твердiй стiнцi ∂ψ ∂x = 0 z = 0 , (4) i умови затухання збурень на нескiнченостi ∂ψ ∂x , ∂ψ ∂z → 0 z → ∞. (5) Необхiдно виконати також умову випромiнювання ψ → 0 x → −∞. (6) 2. РУХ ВИХОРА У ЛIНIЙНО СТРАТИФIКОВАНОМУ СЕРЕДОВИЩI Розглянемо випадок лiнiйного профiлю для ρ0(z): ρ0(z) = ρ00(1 − βz) , β > 0. В цьому випадку N2 = βg i α = √ βg/U = const. Слiд вiдмiтити, що сформульована задача для ви- падкiв нескiнченого або напiвнескiнченого середо- вища з таким профiлем густини коректна лише за умови виконання спiввiдношення α β = g UN � 1 , що означає необхiднiсть затухання всiх збурень у напрямку вiсi z на вiдстанях, значно менших по- рiвняно з масштабом стратифiкацiї 1/β. Розв’язок задачi (3)–(6) знаходиться у виглядi iнтегрального перетворення Фур’є: ψ(x, z) = − Γ 2π ∞ ∫ −∞ eikxψ̄(k, z)dk. (7) Для функцiї-образу ψ̄(k, z) з рiвняння (3) пiсля пiдстановки туди (7) одержується звичайне дифе- ренцiальне рiвняння (′ означає похiдну по z): ψ̄′′ + (α2 − k2)ψ̄ = δ(z − 1) , (8) О. Г. Стеценко 59 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2008. Том 10, N 4. С. 58 – 64 яке необхiдно розв’язати з виконанням граничних умов ψ̄ = 0 при z = 0, (9) ψ̄ = 0 при z → ∞. (10) Розв’язок рiвняння (8) можна одержати з вико- ристанням методу варiацiї сталих у виглядi ψ̄(k, z) = C1e Mz + C2e −Mz − − 1 2M H(1 − z) [ eM(z−1) − e−M(z−1) ] , (11) де C1 i C2 – сталi iнтегрування;H(1−z) – одинична функцiя Хевiсайда; M = √ k2 − α2. З граничних умов (9), (10) визначаються C1 i C2. В результатi для ψ̄ одержується наступне представлення: а) в областi z > 1 ψ̄(k, z) = − 1 2M [ e−M(z−1) − e−M(z+1) ] ; (12) б) в областi z ≤ 1 ψ̄(k, z) = − 1 2M [ eM(z−1) − e−M(z+1) ] . (13) З порiвняння представлень (12), (13) для функцiй-образiв з аналогiчними виразами для ви- падку необмеженого лiнiйно стратифiкованого се- редовища [6] випливає, що в данiй задачi рух вихо- ра бiля стiнки повнiстю аналогiчний випадку ру- ху двох вихорiв, що складають вихрову пару, у не- скiнченому середовищi, коли один iз вихорiв iнтен- сивностi Γ рухається на горизонтi z = 1, а iнший з iнтенсивнiстю −Γ рухається на горизонтi z = −1. В такому випадку гранична умова при z = 0 ви- конується автоматично. Враховуючи парнiсть ψ̄(k, z) по k та викону- ючи умову випромiнювання, одержується насту- пний розв’язок задачi: а) в областi z > 1, x > 0 ψ(x, z) = Γ π α ∫ 0 1 M∗ sin(M∗) cos(M∗z) cos(kx)dk + + Γ 2π ∞ ∫ α 1 M [ e−M(z−1) − e−M(z+1) ] cos(kx)dk ; б) в областi z > 1, x < 0 ψx, z = Γ 2π ∞ ∫ α 1 M [ e−M(z−1) − e−M(z+1) ] cos(kx)dk ; в) в областi 0 ≤ z ≤ 1, x > 0 ψ(x, z) = Γ 2π α ∫ 0 1 M∗ sin(M∗z) cos(M∗) cos(kx)dk + + Γ 2π ∞ ∫ α 1 M [ eM(z−1) − e−M(z+1) ] cos(kx)dk ; г) в областi 0 ≤ z ≤ 1, x < 0 ψx, z = Γ 2π ∞ ∫ α 1 M [ eM(z−1) − e−M(z+1) ] cos(kx)dk. Тут M∗ = √ α2 − k2. При z = 1 значення ψ(x, 1) в обох виразах спiвпадають. Одержаний розв’язок є одним iз двох рiвноправ- них розв’язкiв задачi стацiонарного руху системи точкових вихорiв у необмеженому середовищi [6]. Для розрахунку картини обтiкання вихора пото- ком при великих значеннях x доцiльнiше, з точки зору швидкостi обчислення iнтегралiв, використо- вувати другу форму розв’язку, одержану в [6], з якої мають мiсце такi представлення: а) в областi x > 0 ψ(x, z) = Γ 2π    −2 α ∫ 0 sin(M∗x) M∗ { cos[k(z − 1)]− − cos[k(z + 1)] } dk + + ∞ ∫ α e−Mx M { cos[k(z − 1)] − cos[k(z + 1)] } dk    ; (14) б) в областi x < 0 ψ(x, z) = Γ 2π ∞ ∫ α eMx M { cos[k(z − 1)] − cos[k(z + 1)] } dk. (15) В представленому розв’язку можна явно видi- лити складову, яка вiдповiдає обтiканню системи вихорiв однорiдним потоком. Справдi, якщо вве- сти достатньо велике число k∗ таке, що з заданою точнiстю M(k∗) = √ k2 ∗ − α2 ≈ k∗ , то ∞ ∫ α e−Mx M { cos[k(z − 1)]− cos[k(z + 1)] } dk = = k∗ ∫ α e−Mx M { cos[k(z − 1)] − cos[k(z + 1)] } dk + 60 О. Г. Стеценко ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2008. Том 10, N 4. С. 58 – 64 + ∞ ∫ 0 e−kx k { cos[k(z − 1)]− cos[k(z + 1)] } dk − − k∗ ∫ 0 e−kx k { cos[k(z − 1)]− cos[k(z + 1)] } dk. Друга складова у правiй частинi попереднього ви- разу якраз i вiдповiдає функцiї течiї для двох то- чкових вихорiв, якi складають вихрову пару при її русi у однорiдному середовищi. Iншi складовi у цьому виразi описують вклад стратифiкацiї у розв’язок задачi. Таким чином, виконавши вищенаведену проце- дуру у представленому розв’язку (14)–(15), одер- жимо шуканий розв’язок у виглядi: а) в областi x > 0 ψ(x, z) = − Γ 4π ln [ x2 + (z − 1)2 x2 + (z + 1)2 ] + + Γ π k∗ ∫ α e−Mx M sin(kz) sin(k)dk − −Γ π k∗ ∫ 0 e−kx k sin(kz) sin(k)dk − −2Γ π α ∫ 0 sin(M∗x) M∗ sin(kz) sin(k)dk ; (16) б) в областi x < 0 ψ(x, z) = − Γ 4π ln [ x2 + (z − 1)2 x2 + (z + 1)2 ] + + Γ π k∗ ∫ α eMx M sin(kz) sin(k)dk − −Γ π k∗ ∫ 0 ekx k sin(kz) sin(k)dk. (17) 3. ГIДРОДИНАМIЧНА СИЛА, ЩО ДIЄ НА РУХОМИЙ ВИХОР Для визначення гiдродинамiчної сили реакцiї (горизонтальна Rx та вертикальна Rz-складовi) середовища на стацiонарний рух вихора застосу- ємо до рiдкого об’єму, який знаходиться всерединi кола нескiнчено малого радiуса, що оточує центр вихора, теорему про змiну кiлькостi руху. Тодi, враховуючи (1), в роботi [9] одержано наступнi без- розмiрнi вирази для складових сили через скла- довi збуреної швидкостi (масштабом для Rx i Rz взято ρ00U 2H , для u(x, z) i w(x, z) - U): Rx = − ∮ c (u cos θ + w sin θ)ds− − ∮ c [ 1 2 (u2 − w2) cos θ + uw sin θ ] ds; (18) Rz = ∮ c (u sin θ− w cos θ)ds+ + ∮ c [ 1 2 (u2 − w2) sin θ − uw cos θ ] ds. (19) На пiдставi розв’язку (16), (17): а) в областi x > 0 u(x, z) = Γ 2π [ − z − 1 x2 + (z − 1)2 + z + 1 x2 + (z + 1)2 ] + + Γ π k∗ ∫ α ke−Mx M cos(kz) sin(k)dk − −Γ π k∗ ∫ 0 e−kx cos(kz) sin(k)dk − −2Γ π α ∫ 0 k sin(M∗x) M∗ cos(kz) sin(k)dk , (20) w(x, z) = Γ 2π [ x x2 + (z − 1)2 − x x2 + (z + 1)2 ] + + Γ π k∗ ∫ α e−Mx sin(kz) sin(k)dk − −Γ π k∗ ∫ 0 e−kx sin(kz) sin(k)dk + + 2Γ π α ∫ 0 cos(M∗x) sin(kz) sin(k)dk ; (21) б) в областi x < 0 u(x, z) = Γ 2π [ − z − 1 x2 + (z − 1)2 + z + 1 x2 + (z + 1)2 ] + + Γ π k∗ ∫ α ke−Mx M cos(kz) sin(k)dk − −Γ π k∗ ∫ α ekx cos(kz) sin(k)dk , (22) О. Г. Стеценко 61 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2008. Том 10, N 4. С. 58 – 64 w(x, z) = Γ 2π [ x x2 + (z − 1)2 − x x2 + (z + 1)2 ] + + Γ π k∗ ∫ α eMx sin(kz) sin(k)dk − −Γ π k∗ ∫ 0 ekx sin(kz) sin(k)dk. (23) На колi нескiнчено малого радiуса, центр якого спiвпадає з центром вихора (x → 0, z → h), з наве- дених виразiв має мiсце таке представлення для u i w, справедливе для всiх x: u(x, z) = − Γ 2π [ z − 1 x2 + (z − 1)2 + ∆ − 1 2 ] , (24) w(x, z) = Γ 2π [ x x2 + (z − 1)2 + α− 1 2 sin(2α) ] , (25) де ∆ = k∗ ∫ 0 sin(2k)dk− √ k2 ∗ −α2 ∫ 0 sin(2 √ k2 ∗ + α2)dk. Виконуючи у виразах (18), (19) iнтегрування по колу нескiнчено малого радiуса i використовуючи (24), (25), для складових гiдродинамiчної сили мо- жна одержати Rx = Γ2 2π [ α− 1 2 sin(2α) ] , Rz = −Γ + 1 2π Γ2 ( ∆ − 1 2 ) . Перехiд до однорiдної рiдини, що вiдповiдає β → 0, N → 0, α → 0, ∆ → 0 дає в цьому випадку Rx = 0 , Rz = −Γ − 1 2π Γ2 , що спiвпадає з класичним результатом для однорi- дного середовища [11]. Порiвняння одержаної ве- личини Rx бiля стiнки i у випадку необмеженого середовища, де Rx = 1 2π αΓ2 ([9]) вказує на помi- тну вiдмiннiсть. Наявнiсть стiнки зменшує величи- ну Rx. В той же час, додаткова складова, обумов- лена стратифiкацiєю, з’являється у виразi для Rz саме за наявностi стiнки, чого не було у випадку нескiнченого середовища. 4. РУЗУЛЬТАТИ ЧИСЕЛЬНИХ РОЗРАХУНКIВ Для iлюстрацiї одержаних результатiв викона- нi розрахунки поля течiї для рiзних режимiв руху Рис. 1. Картина лiнiй течiї при Γ = 1 i α = 0.1 вихора при Γ = 1,Γ = −1,Γ = 4 i Γ = −4 для α = 0.01 i α = 0.1, а також визначенi додатко- вi складовi сил гiдродинамiчного опору, обумовле- нi стратифiкацiєю i наявнiстю стiнки в дiапазонi 0 < α < 0.1. Вибраний дiапазон змiни α вiдповiдає реальнiй стратифiкацiї з N = 10−3 − 10−2 1/с, швидкостi руху U порядку метрiв за секунду i h порядку метрiв. Картина обтiкання вихора бi- ля стiки представлена на рис. 1 – 4 лiнiями течiї Ψ = z + ψ(x, z). На рис. 1 i 2 наведена картина лi- нiй течiї для α = 0.1 i двох значень Γ: Γ = 1 на рис. 1 i Γ = 4 на рис. 2 для областi −3 < x < 20. В цi- лому, в обох випадках картина течiї дуже близька до випадку обтiкання вихрової пари однорiдною рiдиною, хоча порiвняння змiщення лiнiй течiї в околi вихора дозволяє виявити незначну змiну цiєї величини порiвняно з випадком α = 0. Для всiх Γ > 0 характер течiї навколо вихора подiбний наведеним на рис. 1 – 2, коли нульова лiнiя течiї спiвпадає з вiссю x. У випадку Γ < 0 (рис. 3 i 4), в залежностi вiд спiввiдношення величин \|Γ\|/πU i h можливi двi реалiзацiї кiнематичної картини [12]. Для випадку \|Γ\|/πU > h реалiзується карти- на течiї типу представленої на рис. 4 для Γ = −4 i α = 0.01, коли мають мiсце двi критичнi точки на вiсi x, що визначають межi спiльної атмосфе- pи вихрової пари, утвореної нульовими лiнiями те- чiї. Для випадку \|Γ\|/πU < h реалiзується картина течiї типу представленої на рис. 3 для Γ = −1, коли кожен вихор має свою атмосферу з вiдпо- вiдною масою. Дослiдження конфiгурацiї вiдпо- вiдних атмосфер як для одного вихора, так i для вихрової пари у потоцi однорiдної рiдини виконанi 62 О. Г. Стеценко ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2008. Том 10, N 4. С. 58 – 64 Рис. 2. Картина лiнiй течiї при Γ = 4 i α = 0.1 Рис. 3. Картина лiнiй течiї при Γ = −1 i α = 0.01 зображено у [12, 13]. Представляє iнтерес оцiнка впливу стратифiка- цiї на динамiчнi характеристики вихора. На рис. 5 показаний характер залежностi Rx вiд α, а на рис. 6 – аналогiчна залежнiсть для ∆Rz. Як видно, для розглянутого дiапазону α добавки, обумовле- нi стратифiкацiєю, незначнi, але зi збiльшенням α має мiсце тенденцiя їх зростання. У зв’язку з цим слiд очiкувати, що горизонтальна складова опо- ру Rx може стати значною для середовищ з непе- рервною сильною стратифiкацiєю, коли вiдповiднi характернi частоти Брента-В’яйсяля N складати- муть величини порядку одиницi. Рис. 4. Картина лiнiй течiї при Γ = −4 i α = 0.01 Рис. 5. Горизонтальна складова сили опору ВИСНОВКИ Проведенi дослiдження дозволили встановити, що гiдродинамiка руху вихора бiля стiнки у лi- нiйно стратифiкованому середовищi має ряд осо- бливостей. Це вiдповiднiсть одержаного розв’язку випадку руху вихрової пари у необмеженому сере- довищi з такою ж стратифiкацiєю, що аналогiчно тому, як це має мiсце у випидку однорiдного сере- довища. Наявнiсть горизонтальної границi помi- тно зменшила величину горизонтальної складової сили опору, але в той же час вона спричинила по- яву додаткової складової у виразi для вертикаль- ної складової опору, обумовленої власне стратифi- кацiєю. В дiапазонi змiни α, розглянутому у робо- О. Г. Стеценко 63 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2008. Том 10, N 4. С. 58 – 64 Рис. 6. Додаток до вертикальної складової опору, обумовлений стiнкою i стратифiкацiєю тi, який вiдповiдає руху вихора в середовищi з N ∼ 10−3 − 10−2 зi швидкiстю U > 0.1 м/с, ха- рактер гiдродинамiчно картини обтiкання вихора мало вiдрiзняється вiд випадку однорiдного сере- довища, хоч вiдмiннiсть i присутня. Незначною за величиною є i додаткова горизонтальна складова опору, але характерною особливiстю є її помiтне зростання зi збiльшенням α, тобто, з посиленням стратифiкацiї. Розгляд руху вихорiв у середовищах з сильною стратифiкацiєю може бути пов’язаний з iстотними змiнами як кiнематичної, так i динамiчної картини обтiкання вихора. 1. Степанянц Ю.А., Стурова И.В., Теодорович А.В. Линейная теория поверхностных и внутренних волн // Итоги науки и техники, МЖГ.– М.: ВИНИТИ.– 1987.– 21.– С. 92–179. 2. Кочин Н.Е. О волновом сопротивлении и подъем- ной силе погруженного в жидкость тела.– Собр. соч.– М., Л.: Из-во АН СССР, 1949.– т. 2.– C. 105– 182. 3. Кочин Н.Е. О влиянии рельефа земли на волны на поверхности раздела двух жидкостей разной плот- ности (статья вторая).– Собр. соч.– М.: Из-во АН СССР, 1949.– т. 1.– C. 467–477. 4. Горлов С.И. Решение линейных задач о равно- мерном движении вихреисточника в многослойной жидкости // Изв.АН СССР, МЖГ.– 1995.– №31.– С. 127-132. 5. Janowitz G.S. Line singularities in inbounded strati- fied fluid // J.Fluid Mech.– 1974.– 66, 3.– P. 455–464. 6. Стеценко О.Г. Лiнiйна задача про стацiонарний рух вихора у стратифiкованому середовищi // ПГМ.– 1986.– 6(78),№1.– С. 62-68. 7. Кочин Н. Е., Кибель И. А., Розе Н. В. Теоретиче- ская гидромеханика, т. 1.– М.: Физматгиз, 1963.– 583 с. 8. Повх И.Л. Техническая гидромеханика.– Л.: Ма- шиностроение, 1969.– 524 с. 9. Стеценко О.Г. Динамiка стацiонарного руху ви- хроджерела у стратифiкованому середовищi // ПГМ.– 2006.– 8(80), № 4.– С. 66–77. 10. Прудников А.П., Брачков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды.– М.: Наука, ГРФМЛ, 1981.– 798 с. 11. Басин М.А., Шадрин И.П. Гидроаэродинамика крыла вблизи границы раздела сред.– Л.: Судо- строение, 1980.– 304 с. 12. Беляев С.Т., Краснов Ю.К. О собственной мас- се сингулярной вихревой нити // ДАН СССР.– 1989.– 306,№3.– С. 566–570. 13. Беляев С.Т., Краснов Ю.К. О движении сингуляр- ного вихря и его массе // ДАН СССР.– 1989.– 305, №4.– С. 808–811. 64 О. Г. Стеценко

Стацiонарний рух вихора бiля твердої стiнки у стратифiкованому середовищi

Institution

Ähnliche Einträge