Визначення напруженого стану та крайових ефектів у тришаровому циліндрі
Розглянуто осесиметричну задачу про визначення зон концентрації напружень у тришаровому круговому циліндрі з ізотропними шарами. Циліндр знаходиться під дією рівномірного осьового навантаження. Наближений розв’язок задачі лінійної теорії пружності отримано методом сіток. Наведено приклад розв’язк...
Збережено в:
| Дата: | 2002 |
|---|---|
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України
2002
|
| Назва видання: | Проблемы прочности |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/46922 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Визначення напруженого стану та крайових ефектів у тришаровому циліндрі / Ю.В. Коханенко, С.А. Цірук, Д.П. Латкін // Проблемы прочности. — 2002. — № 6. — С. 72-78. — Бібліогр.: 4 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-46922 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-469222013-08-31T15:13:23Z Визначення напруженого стану та крайових ефектів у тришаровому циліндрі Коханенко, Ю.В. Цірук, С.А. Латкін, Д.П. Научно-технический раздел Розглянуто осесиметричну задачу про визначення зон концентрації напружень у тришаровому круговому циліндрі з ізотропними шарами. Циліндр знаходиться під дією рівномірного осьового навантаження. Наближений розв’язок задачі лінійної теорії пружності отримано методом сіток. Наведено приклад розв’язку і проаналізовано результати. Рассмотрена осесимметричная задача определения зон концентрации напряжений в трехслойном круговом цилиндре с изотропными слоями. Цилиндр находится под действием равномерного осевого нагружения. Приближенное решение задачи теории упругости получено методом сеток. Приведен пример решения и выполнен анализ результатов. We discuss an axisymmetric problem of characterizing stress concentration zones in a threelayer circular cylinder with isotropic layers. The cylinder is subjected to uniform axial loading. An approximate solution to the problem of the theory of elasticity has been obtained by means of the net method. We consider a computational example to subsequently analyze the results. 2002 Article Визначення напруженого стану та крайових ефектів у тришаровому циліндрі / Ю.В. Коханенко, С.А. Цірук, Д.П. Латкін // Проблемы прочности. — 2002. — № 6. — С. 72-78. — Бібліогр.: 4 назв. — укр. 0556-171X http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/46922 539.3 uk Проблемы прочности Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Научно-технический раздел Научно-технический раздел |
| spellingShingle |
Научно-технический раздел Научно-технический раздел Коханенко, Ю.В. Цірук, С.А. Латкін, Д.П. Визначення напруженого стану та крайових ефектів у тришаровому циліндрі Проблемы прочности |
| description |
Розглянуто осесиметричну задачу про визначення зон концентрації напружень у тришаровому
круговому циліндрі з ізотропними шарами. Циліндр знаходиться під дією рівномірного
осьового навантаження. Наближений розв’язок задачі лінійної теорії пружності отримано
методом сіток. Наведено приклад розв’язку і проаналізовано результати. |
| format |
Article |
| author |
Коханенко, Ю.В. Цірук, С.А. Латкін, Д.П. |
| author_facet |
Коханенко, Ю.В. Цірук, С.А. Латкін, Д.П. |
| author_sort |
Коханенко, Ю.В. |
| title |
Визначення напруженого стану та крайових ефектів у тришаровому циліндрі |
| title_short |
Визначення напруженого стану та крайових ефектів у тришаровому циліндрі |
| title_full |
Визначення напруженого стану та крайових ефектів у тришаровому циліндрі |
| title_fullStr |
Визначення напруженого стану та крайових ефектів у тришаровому циліндрі |
| title_full_unstemmed |
Визначення напруженого стану та крайових ефектів у тришаровому циліндрі |
| title_sort |
визначення напруженого стану та крайових ефектів у тришаровому циліндрі |
| publisher |
Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України |
| publishDate |
2002 |
| topic_facet |
Научно-технический раздел |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/46922 |
| citation_txt |
Визначення напруженого стану та крайових ефектів у
тришаровому циліндрі / Ю.В. Коханенко, С.А. Цірук, Д.П. Латкін // Проблемы прочности. — 2002. — № 6. — С. 72-78. — Бібліогр.: 4 назв. — укр. |
| series |
Проблемы прочности |
| work_keys_str_mv |
AT kohanenkoûv viznačennânapruženogostanutakrajovihefektívutrišarovomucilíndrí AT círuksa viznačennânapruženogostanutakrajovihefektívutrišarovomucilíndrí AT latkíndp viznačennânapruženogostanutakrajovihefektívutrišarovomucilíndrí |
| first_indexed |
2025-07-04T06:27:46Z |
| last_indexed |
2025-07-04T06:27:46Z |
| _version_ |
1836696696856248320 |
| fulltext |
УДК 539.3
В изн ач ен н я н ап руж ен ого стану та крайових еф ектів у
тришаровому циліндрі
Ю . В. Коханенко, С. А. Цірук, Д. П. Л аткін
Інститут механіки ім. С. П. Тимошенка НАН України, Київ, Україна
Розглянуто осесиметричну задачу про визначення зон концентрації напружень у тришаро
вому круговому циліндрі з ізотропними шарами. Циліндр знаходиться під дією рівномірного
осьового навантаження. Наближений розв’язок задачі лінійної теорії пружності отримано
методом сіток. Наведено приклад розв’язку і проаналізовано результати.
К лю чові слова : тришаровий циліндр, напружений стан, крайові ефекти,
метод сіток, базова схема.
П остановка задачі. Розглядається тришаровий круговий циліндр з ізо
тропними лінійно-пружними шарами. Зовнішній і внутрішній шари мають
однакові механічні та геометричні характеристики. На циліндр діє рівно
мірне поверхневе навантаження Р2 = Р3 = (Р31, Р33 ) = (0, — Р ), Р > 0, яке
забезпечує осесиметричний напружено-деформований стан у тілі конструк
ції. Наявність геометричної та силової симетрії дозволяє задачу розглядати
для верхньої половини циліндра у площині г0 2 . Циліндр (рис. 1) займає
вибирається так, що крайові ефекти не досягають його серединної площини
2 = 0 (рис. 1). Позначимо через Б д , Vд технічні сталі д-ї компоненти
композита, д = 1, 2, 3. При цьому значення д = 1 і 3 відносяться відповідно
до внутрішнього і зовнішнього шарів, д = 2 - до середнього шару циліндра
(рис. 1). Індекс д змінюється від 1 до 3, інші індекси приймають значення 1;
3, якщо не обговорюється протилежне. Виконується загальноприйняте пра
вило підсумовування індексів.
Крайові ефекти у тілі циліндра зумовлені різницею механічних харак
теристик його компонент і виникають у поверхневих контактних точках
х = ( ^ 1, Z ) та х = (Я2 , Z ). При 2 ^ 0 крайові ефекти зникають (рис. 1,б).
Через х = ( г , 2) позначимо радіус-вектор точки в області
Розв’язок задачі визначення крайових ефектів складається з двох етапів
[1]: розв’язок задачі лінійної теорії пружності кусково-однорідного середо
вища і оцінка зони концентрації напружень (зони крайових ефектів) у
відповідності з вибраним критерієм.
Сформулюємо задачу т еорії пружності. В області ^ відшукуються
векторні функції и д = (и д , и д ), які задовольняють рівнянням рівноваги:
_ 3 _ _
область ^ = ^ ^ д , ^ д = {Яд_ 1 < г < А 0 < 2 < Z }. Довжина циліндра Z
9=1
д(го 11) д Ял д.
(1а)
дг д2
© Ю. В. КОХАНЕНКО, С. А. ЦІРУК, Д. П. ЛАТКІН, 2002
72 1&$М 0556-171Х. Проблеми прочности, 2002, № 6
Визначення напруженого стану та крайових ефектів
- Р
► Г
Рис. 1. Тіло циліндра (а) і його розрахункова схема (б).
дг дг
граничним умовам:
а11 = 0 Л<7Із = 0,
о ^ = 0 Л о 33 = 0,
д( Г0 13) а до 33 а — п
13' ■ + — 31. + о а3 = 0, X Є Й а ,
г = Я 0 Л 0 < 2 < Z;
г = Я 3 Л 0 < 2 < Z;
о 31 = 0 Л о 33 = —Р , Я о < Г < Я 3 Л 2 = ^
Я 0 < Г < Я 3 Л 2 = 0,
31
о 31 = 0,
(16)
(2)
умовам ідеального контакту:
и 7+1 = и 7 Л о 1+1 = о 1'.; г = Яу Л 0 < 2 < Z , у = 1,2, /= 1 ,3 . (3)
Закон Гука для а-ї компоненти має наступний вигляд:
о I = Л-ІЇР 1к; о а2 = 0; о а3 = 0; о 31 = 2^31Р 31 ( к = 1, 3);
/„ а . а \
Р а = . Р11 =
диа
дг
^ 2 = 0; Р 23 = 0
д и ^ ;
д2 ’
1
Р13 = 2
диа д ^ а
+
д2 дг (4)
ISSN 0556-171Х. Проблеми прочности, 2002, № 6 73
Ю. В. Коханенко, С. А. Цірук, Д. П. Латкін
Модулі пружності A - визначаються через технічні сталі з виразів
q E q (1 — v q) q E qv q q E q
Aq = -------- --------- -— ; Aq2 = ----------------------- ; G q = -------------. (5)
(1 + v a )(1 — 2va ) 12 (1 + v a )(1 — 2va ) 2(1 + v a ) V }
Далі розглядається питання про знаходження величин протяжності
крайових ефектів. У даному випадку протяжність крайових ефектів дослід
жується у напрямку Oz дії поверхневої сили. Позначимо через d - (Z i ) (далі
d - ) протяжність крайового ефекту для напруження о - при фіксованому
значенні r = т = const, І = 1, 2 ,... . У відповідності з першим критерієм [1]
величина da визначається з рівності (рис. 1,6)
da = z — z l , (6)
де Zi - точки, в яких напруження о - відрізняються по модулю на р
відсотків від усталеного напруження Р- = —P a , P a = consta > 0, тобто
точки, в яких виконуються рівності
о 3з = P q (1 + 0,01р); о -1 = о 22 = о -3 = P q 0,01р. (7)
Напруження P q в (7) визначається, після розв’язку задачі (1)-(5), за форму
лами (4), (5).
Метод розв’язку. До наближеного розв’язку задачі (1)-(5) застосову
ється сітковий підхід. При цьому дискретні задачі будуються з викорис
танням концепції базової схеми [1, 3, 4]. Сіткові рівняння розв’язуються
методом Холецького та спряжених градієнтів [2]. Реалізована процедура
оптимізації обчислень, яка базується на застосуванні динамічної різницевої
сітки і комбінованому використанні вказаних методів розв’язку дискретних
задач.
П риклад розрахунку. Розглядається тришаровий круговий циліндр
товщиною t = R з — R 0 = 0,8 з наступними технічними сталими шарів:
E 1 = E 3 = 2500, v 1 = v 3 = 0,25 (внутрішній і зовнішній шари); E 2 = 280,
v = 0,4 (середній шар). Геометричні характеристики шарів: R 0 = 2; t1 =
= R 1 — R 0 = R з — R 2 = 0,2; t2 = R 2 — R1 = 0,4; Z = 10 (рис. 1). Модулі пруж
ності подано в ГПа, лінійні розміри - в см, величина Z отримана за ре
зультатами обчислювального експерименту. Осьове навантаження P = —1,0.
У результаті розв’язку задачі (1)-(5) отримано наступні значення уста
лених напружень:
о 3з = — 1,79; о 2з = —0,22; о 3з = —1,77. (8)
74 ISSN 0556-171X. Проблеми прочности, 2002, № 6
Визначення напруженого стану та крайових ефектів
0.2
0.1
- 0.1
- 0,2
/ N
• / V / 3
2 Л ^ Ґ / } А 2.6 2.8
• ч / ;
► г
Рис. 2. Графіки напружень о33(г) - а, оп (г) - б і о13(г) - в.
а
в
На рис. 2,а наведено графіки залежності напружень о з з ( г ) для
2 Є {Хх, Z 2 , Z3} = {9,8; 9,4; 1,2}. При цьому крива І ( І = 1 ,2 ,3) відповідає
значенню 2 = Z .̂ Для 2 = 1,2 (на рис. 2,а крива 3) має місце кусково-
однорідний незбурений стан, і напруження о 33 визначаються з (8). На
контактних відрізках відмічається розрив напружень, при цьому величини
стрибків [о 33] Є {1,98; 1,69; 1,58} між внутрішнім і середнім шаром та
[о 33] Є {1,91; 1,64; 1,56} між середнім і зовнішнім відповідають значенням
2 Є {9,8; 9,4; 1,2}. Для 2 = Z1 Л 2 = Z 2 (на рис. 2,а криві 1, 2) спостерігається
неоднорідний (збурений) напружений стан. Максимальні значення модулів
ISSN 0556-171Х. Проблеми прочности, 2002, № 6 75
Ю. В. Коханенко, С. А. Цірук, Д. П. Латкін
напружень мають місце в контактних точках г = 2,2 Л г = 2,6, мінімальні - в
точках г = 2,0 Л г = 2,8 внутрішньої і зовнішньої поверхонь. При цьому
max о 33 2,30, min о 33 « 0 ,6 9 при z = Z1 (рис. 2,а) і max о 33 : 1,870,
mm о 33 : 1,64 при z = Z 2. У зовнішньому і внутрішньому шарах графіки
напружень о 33 представляють собою прямі лінії. У середньому шарі для
z = Zi і z = Z 2 графіки функцій о 33 нагадують графіки парабол. Максималь
ні за модулем значення мають місце посередині шару (r = 2,4), мінімальні -
в точках контакту із зовнішнім і внутрішнім шарами (r = 2,2 Л r = 2,6). При
2 2цьому екстремуми мають такі значення: max о 33 « 0,68, min о 33 « 0,32 при
2 2 z = Zi і max о 33 « 0,28, mm о 33 « 0,17 при z = Z2.
На рис. 2,6,в наведено графіки залежності напружень о ц (r ) для
z Є {Z1, Z 2 , Z 3 } = {9,8; 9,4; 9,0}. Крива lt відповідає значенню z = Z t ( i = 1,
2, 3). На рис. 2,6 представлено епюри напружень о п . Видно, що кривій 1
відповідає величина о п < 0, а кривим 2, 3 - о п > 0. У внутрішньому і
зовнішньому шарах, тобто для 2,0 < r < 2,2 Л 2,6 < r < 2,8, функція о 11 пред
ставляє собою відрізки прямих і змінюється від значень о 11 = 0 в по
верхневих точках r = 2,0 Л r = 2,8 до о п « —0,1 в контактних точках
r = 2,2 Л r = 2,6. Кривим 2, 3 відповідає додатня функція о и , яка у середині
циліндра (на лінії r = 2,4) досягає максимальних значень о п Є {0,1; 0,01}
для z Є {9,4; 9,0} і нульових значень в точках r = 2,0 Л r = 2,8 внутрішньої і
зовнішньої поверхонь циліндра. Із рис. 2 ,6,в видно, що епюри напружень о ii
симетричні відносно прямої r = 2,4.
Рис. 2,в ілюструє графіки функцій о 13 ( r ) для z = Z t , l = 1, 3. Видно, що
всі епюри - антисиметричні відносно прямої r = 2,4, тобто о 13(r — 2,4) =
= — о 13(2,4 — r ). Максимальні за модулем значення мають місце в контакт
них точках r = 2,2 Л r = 2,6, мінімальні - в точках поверхонь r = 2,0 Л r = 2,8
і в середніх точках циліндра r = 2,4. При цьому на кривих 1, 2, 3 відмічають
ся максимальні значення max о 13 Є {2,30; 0,07; 0,01} при z Є {9,8; 9,4; 9,0}.
Графіки залежності протяжності крайових ефектів dq у напрямку дії
поверхневої сили від радіусa r наведено на рис. 3. Величини dq визнача
ються за формулами (6), (7) при р = 5. Криві 1, 2, 3 відповідають функціям
d 33, d 31, d 33. Видно, що величини d3 мають розриви на лініях контакту.
При цьому у середньому шарі протяжність крайових ефектів більша, ніж у
внутрішньому і зовнішньому шарах. Функція d 33 у внутрішньому і зовніш
ньому шарах добре апроксимується прямими лініями і приймає значення
max d 33 « 1,0Л min d 33 « 0,6. У середньому шарі функція d 33 має вигляд
параболи і досягає наступних екстремальних значень: max d 33 « 0,6 у точці
2 3r = 2,4, min d 33 « 0,35 у контактних точках r = 2,2 Л r = 2,6. Функція d ^ (на
рис. 3 крива 2), яка відповідає напруженню о ^ , у внутрішньому і зовніш
ньому шарах добре апроксимується кривими, що є частинами однієї пара-
3
76 ISSN 0556-171X. Проблеми прочности, 2002, № 6
Визначення напруженого стану та крайових ефектів
Рис. 3. Графік протяжності крайових ефектів d i .
боли. Екстремальні значення dfj у внутрішньому і зовнішньому шарах:
max d ~ 0,25 у контактних точках r = 2,2 Л r = 2,6, min d = 0 у точках
r = 2,0 Л r = 2,8 поверхонь циліндра. У середньому шарі d 11 ~ const = 1 ,0.
Функція d 1<?з (на рис. 3 крива 3) відповідає напруженню а ̂ 3 . Видно, що
дана функція якісно поводить себе так, як і функція d qi . Максимальне
значення max d i3 ~ const = 0,8. Найбільшу різницю величини протяжності
крайового ефекту має функція d u , яка характеризує напруження а п . У
цьому випадку [du ] ~ 0,8. Мінімальне значення скачка має функція d 33, для
якої [d33 ] ~ 0,25. Для функції d 13 величина [d13] ~ 0,3.
В и с н о в к и
1. Розглянуто осесиметричну задачу про визначення напруженого стану
і протяжності крайових ефектів у тришаровому двокомпонентному циліндрі
з ізотропними лінійно-пружними шарами. Протяжність крайових ефектів
визначається у напрямку Oz дії поверхневої сили. Наближений розв’язок
знаходиться методом сіток.
2. Наведено приклад розрахунку реальної конструкції.
3. Отримано наступні результати для п’ятивідсоткової похибки (р = 5):
величина протяжності крайових ефектів не перевищує 1,5 товщини ци
ліндра, d j < 1,5t; максимальні значення стискових напружень досягаються в
околі поверхневих контактних точок: max|а ц | = 0,21 ГПа, max|а 331 = 2,3 ГПа;
max|а 13] = 0,65 ГПа; на контактних лініях для напружень а 33 мають місце
1 2розриви. Максимальне значення розриву дорівнює величині а 33 — а 33 =
= 1,45 і досягається у точці х = 0,98.
ISSN 0556-171X. Проблеми прочности, 2002, № 6 77
Ю. В. Коханенко, С. А. Щрук, Д. П. ЛаткЫ
Р е з ю м е
Рассмотрена осесимметричная задача определения зон концентрации напря
жений в трехслойном круговом цилиндре с изотропными слоями. Цилиндр
находится под действием равномерного осевого нагружения. Приближен
ное решение задачи теории упругости получено методом сеток. Приведен
пример решения и выполнен анализ результатов.
1. М еханика композитов: В 12 т. Под ред. А. Н. Гузя. - Т. 1. Статика
материалов. - Киев: Наук. думка, 1993. - 4 5 6 с.
2. Бахвалов Н. С., Ж идков Н. П. Численные методы. - М.: Наука, 1987. -
598 с.
3. Bystrov V. M. Analysis of the edge effects in laminated materials on the basis
of a representative element // Int. Appl. Mech. - 2000. - 36, No. 3. - P. 826 -
855.
4. Kokhanenko Yu. V. Discrete models of problems in the elastic theory of
composites in circular cylindrical coordinates. Pt. 1 // Ibid. - No. 8. - P. 1067
- 1076.
Поступила 30. 10. 2001
78 ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2002, № 6
|