Автоволновые процессы в магнитной жидкости
Исследованы статические и бегущие автосолитоны в магнитной жидкости, находящейся в постоянном однородном магнитном поле. Автосолитоны представляют собой пространственные и пространственно-временные структуры в виде параллельных слоев, полос или цилиндричесих столбиков более или менее агрегированной...
Збережено в:
| Дата: | 2007 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут гідромеханіки НАН України
2007
|
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/4694 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Автоволновые процессы в магнитной жидкости / Н.Ф. Пацегон, Л.Н. Попова // Прикладна гідромеханіка. — 2007. — Т. 9, № 1. — С. 54-65. — Бібліогр.: 21 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-4694 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-46942009-12-21T12:00:42Z Автоволновые процессы в магнитной жидкости Пацегон, Н.Ф. Попова, Л.Н. Исследованы статические и бегущие автосолитоны в магнитной жидкости, находящейся в постоянном однородном магнитном поле. Автосолитоны представляют собой пространственные и пространственно-временные структуры в виде параллельных слоев, полос или цилиндричесих столбиков более или менее агрегированной среды, ориентированных вдоль поля. Они описывают процессы перераспределения феррочастиц под действием внешнего магнитного поля, которые наблюдаются в экспериментах с тонкими пленками магнитной жидкости. В результате сопоставления расчетных и экспериментально измеренных характеристик структур получены оценки для параметров модели магнитной жидкости с изменяющейся микроструктурой. Дослiдженi статичнi i бiгучi автосолiтони в магнiтнiй рiдинi, яка знаходиться у сталому однорiдному магнiтному полi. Автосолiтони являють собою просторовi i просторово-часовi структури у виглядi паралельних шарiв, смуг або цилiндрiчних стовпчикiв бiльш або менш агрегованого середовища, якi орiєнтуються вздовж поля. Вони описують процеси пeрерозподiлу ферочасток пiд дiєю зовнiшнього магнiтного поля, якi спостерiгаються в експериментах з тонкими плiвками магнiтної рiдини. Внаслiдок зiставлення розрахункових i експериментально отриманих характеристик структур знайденi оцiнки для параметрiв магнiтної рiдини зi змiнною мiкроструктурою. Static and travelling autosolitons in a magnetic fluid in a presence of the constant homogeneous magnetic field are studied. Autosolitons are oriented along field space and space-temporal structures such as parallel layers, strips or cylindrical columns more or less aggregated continuum. They describe the processes of ferroparticles redistribution under the action of a external magnetic field, which are observed experimentally in the thin films of a magnetic fluid. The estimates for the parameters of a model of the magnetic fluid with transformed microstructure are obtained as a result of calculated and experimentally measured characteristics of the structures comparison. 2007 Article Автоволновые процессы в магнитной жидкости / Н.Ф. Пацегон, Л.Н. Попова // Прикладна гідромеханіка. — 2007. — Т. 9, № 1. — С. 54-65. — Бібліогр.: 21 назв. — рос. 1561-9087 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/4694 532.528 ru Інститут гідромеханіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Исследованы статические и бегущие автосолитоны в магнитной жидкости, находящейся в постоянном однородном магнитном поле. Автосолитоны представляют собой пространственные и пространственно-временные структуры в виде параллельных слоев, полос или цилиндричесих столбиков более или менее агрегированной среды, ориентированных вдоль поля. Они описывают процессы перераспределения феррочастиц под действием внешнего магнитного поля, которые наблюдаются в экспериментах с тонкими пленками магнитной жидкости. В результате сопоставления расчетных и экспериментально измеренных характеристик структур получены оценки для параметров модели магнитной жидкости с изменяющейся микроструктурой. |
| format |
Article |
| author |
Пацегон, Н.Ф. Попова, Л.Н. |
| spellingShingle |
Пацегон, Н.Ф. Попова, Л.Н. Автоволновые процессы в магнитной жидкости |
| author_facet |
Пацегон, Н.Ф. Попова, Л.Н. |
| author_sort |
Пацегон, Н.Ф. |
| title |
Автоволновые процессы в магнитной жидкости |
| title_short |
Автоволновые процессы в магнитной жидкости |
| title_full |
Автоволновые процессы в магнитной жидкости |
| title_fullStr |
Автоволновые процессы в магнитной жидкости |
| title_full_unstemmed |
Автоволновые процессы в магнитной жидкости |
| title_sort |
автоволновые процессы в магнитной жидкости |
| publisher |
Інститут гідромеханіки НАН України |
| publishDate |
2007 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/4694 |
| citation_txt |
Автоволновые процессы в магнитной жидкости / Н.Ф. Пацегон, Л.Н. Попова // Прикладна гідромеханіка. — 2007. — Т. 9, № 1. — С. 54-65. — Бібліогр.: 21 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT pacegonnf avtovolnovyeprocessyvmagnitnojžidkosti AT popovaln avtovolnovyeprocessyvmagnitnojžidkosti |
| first_indexed |
2025-07-02T07:55:31Z |
| last_indexed |
2025-07-02T07:55:31Z |
| _version_ |
1836521023408701440 |
| fulltext |
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2007. Том 9, N 1. С. 54 – 65
УДК 532.528
АВТОВОЛНОВЫЕ ПРОЦЕССЫ В МАГНИТНОЙ
ЖИДКОСТИ
Н. Ф. П А Ц ЕГ ОН, Л. Н. П О П ОВ А
Харьковский национальный университет им. В. Н. Каразина
Получено 06.07.2006
Исследованы статические и бегущие автосолитоны в магнитной жидкости, находящейся в постоянном однородном
магнитном поле. Автосолитоны представляют собой пространственные и пространственно-временные структуры в
виде параллельных слоев, полос или цилиндричесих столбиков более или менее агрегированной среды, ориентиро-
ванных вдоль поля. Они описывают процессы перераспределения феррочастиц под действием внешнего магнитного
поля, которые наблюдаются в экспериментах с тонкими пленками магнитной жидкости. В результате сопоставле-
ния расчетных и экспериментально измеренных характеристик структур получены оценки для параметров модели
магнитной жидкости с изменяющейся микроструктурой.
Дослiдженi статичнi i бiгучi автосолiтони в магнiтнiй рiдинi, яка знаходиться у сталому однорiдному магнiтному
полi. Автосолiтони являють собою просторовi i просторово-часовi структури у виглядi паралельних шарiв, смуг або
цилiндрiчних стовпчикiв бiльш або менш агрегованого середовища, якi орiєнтуються вздовж поля. Вони описують
процеси пeрерозподiлу ферочасток пiд дiєю зовнiшнього магнiтного поля, якi спостерiгаються в експериментах з
тонкими плiвками магнiтної рiдини. Внаслiдок зiставлення розрахункових i експериментально отриманих характе-
ристик структур знайденi оцiнки для параметрiв магнiтної рiдини зi змiнною мiкроструктурою.
Static and travelling autosolitons in a magnetic fluid in a presence of the constant homogeneous magnetic field are studied.
Autosolitons are oriented along field space and space-temporal structures such as parallel layers, strips or cylindrical
columns more or less aggregated continuum. They describe the processes of ferroparticles redistribution under the action
of a external magnetic field, which are observed experimentally in the thin films of a magnetic fluid. The estimates for
the parameters of a model of the magnetic fluid with transformed microstructure are obtained as a result of calculated
and experimentally measured characteristics of the structures comparison.
ВВЕДЕНИЕ
В последние годы возрос интерес к теоретиче-
ским и экспериментальным исследованиям про-
цессов, происходящим в тонких пленках магни-
тной жидкости (МЖ) [1–11]. Он обусловлен чув-
ствительностью их оптических свойств к внешне-
му магнитному полю. Как показывают экспери-
менты, под действием поля в магнитной жидкости
возникают структуры из феррочастиц различной
конфигурации, среда становится анизотропной, и,
соответственно, изменяются условия ее взаимо-
действия с оптическим излучением [10]. Зависи-
мость параметров этого взаимодействия от на-
правления и величины поля открывает новые воз-
можности для практического использования ма-
гнитной жидкости в магнитооптических приборах
и устройствах, таких как оптические затворы, мо-
дуляторы света, управляемые фильтры, решетки
и дисплеи [2].
В связи с этим особое значение приобретают мо-
дели магнитной жидкости, учитывающие взаимо-
действие феррочастиц и возможность образования
из них агрегатов. Модель среды с изменяющей-
ся микроструктурой предложена в статье [12]. Пе-
ременными состояния такой среды служат сред-
нее число частиц в агрегатах γ =ν−1 и пара-
метр эффективного магнитного поля λ, который
учитывает поле, создаваемое феррочастицами, а
изменение магнитного состояния среды описыва-
ется системой двух квазилинейных уравнений па-
раболического типа. В [13] качественно исследо-
вана дискретная динамическая система, которая
получается в предельном случае, когда диффу-
зионные процессы в жидкости пренебрежимо ма-
лы. Однородные равновесные состояния жидко-
сти в общем случае с учетом диффузии параме-
тров λ и ν рассмотрены в работах [14, 15], там же
построены равновесные кривые намагничивания
и получены условия существования волновых ре-
жимов типа волн переключения, при распростра-
нении которых элементы жидкости переходят из
метастабильного состояния в устойчивое. В ста-
тье [16] найдены условия образования и устойчи-
вости контрастных структур, они реализуются в
виде параллельных магнитному полю игольчатых
конфигураций феррочастиц. Полученные в [12–
16] результаты качественно описывают наблюдае-
мые экспериментально процессы самоорганизации
в магнитной жидкости. Для численных расчетов
необходимо знать значения определяющих модель
феноменологических коэффициентов τλ, Dλ, τν ,
Dν , которые играют роль времени релаксации и
54 c© Н. Ф. Пацегон, Л. Н. Попова, 2007
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2007. Том 9, N 1. С. 54 – 65
коэффициента диффузии параметров λ и ν соо-
тветственно.
Настоящая статья продолжает исследования,
начатые в [12–16], в ней рассматриваются авто-
солитоны – статические и бегущие локализован-
ные сильнонеравновесные области в неподвижном
объеме МЖ. Общая теория автосолитонов, анали-
тические и численные методы их изучения изло-
жены в монографии [17]. Применение этой тео-
рии к конкретной физической системе требует от-
дельного самостоятельного исследования, которое
и предпринято в данной работе с целью идентифи-
цировать параметры модели среды с изменяющей-
ся микроструктурой [12] путем сравнения резуль-
татов расчетов с экспериментальными данными.
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассмотрим неподвижный объем магнитной
жидкости, находящейся в постоянном однородном
магнитном поле ~H . Изменение во времени магни-
тного состояния жидкости определяется системой
уравнений [12]:
τλ
∂λ
∂t
= Dλ∆λ+Q(λ)(λ, ν ; H), (1)
τν
∂ν
∂t
= Dν∆ν +Q(ν)(λ, ν ;H). (2)
Функции Q(λ)(λ, ν ; H) и Q(ν)(λ, ν ; H) имеют
вид:
Q(λ)(λ, ν ; H) =
1
2
[L2 − L2
∗
− 2β(λ − λ1∗)(λ − λ2∗)×
×(λ − λ3∗)],
Q(ν)(λ, ν ;H) = f(ξ) − f(ξ∗) + α(ν − ν1∗)(ν − ν2∗)×
×(ν − ν3∗
).
Здесь ξ = m1He/(kTν); He = H + λM ; n1 =
= c1ρ/M – объемная плотность феррочастиц; c1
– массовая концентрация частиц, предполагаемая
постоянной; M – масса одиночной феррочасти-
цы; k – постоянная Больцмана; намагниченность
жидкости определяется уравнением M = MsL(ξ);
L(ξ) = cth ξ − 1/ξ – функция Ланжевена; M∗
– намагниченность структурирования жидкости;
M∗ = MsL(ξ∗) = MsL∗; Ms = m1n1 – намагничен-
ность насыщения жидкости; λi∗, νi∗ (i = 1, 3) –
равновесные значения λ и ν при M = M∗, причем
λ1∗ > λ3∗ > λ2∗; λ1∗ + λ2∗ = 2λ3∗;
ν1∗ > ν3∗ > ν2∗;
νi∗ − νj∗ = m1MsL∗(λi∗ − λj∗)/(kTξ∗);
α = (kT/(m1Ms))
3∗(ξ∗/L∗)
4β;
f(ξ) = ln(sh ξ/ξ) − ξL(ξ).
Параметры τλ, τν, Dλ, Dν и β считаются посто-
янными.
Однородное равновесное состояние жидкости
удовлетворяет условиям:
Q(λ)(λ, ν ;H) = 0, Q(ν)(λ, ν ;H) = 0. (3)
При фиксированных ρ, T и β < 0 эти уравне-
ния определяют многозначные зависимости λ(M)
и ν(M) [12]. Графики функций λ(M) и ν(M) пред-
ставляются в виде объединения трех однозначных
ветвей λ(i)(M), i = 1, 3 и ν(i)(M), i = 1, 3, ограни-
ченных значениями λ(0), λ′, λ′′ и λ(Ms) и ν(0), ν ′,
ν ′′ и ν(Ms) соответственно, где λ′ и λ′′ и ν ′ и ν ′′ –
точки экстремума функцийM(λ), M(ν), обратных
к функциям λ(M) и ν(M) :
λ
′,′′ = λ3∗ ±
〈λ〉
2
√
3
, ν
′,′′ = ν3∗ ±
〈ν〉
2
√
3
.
Здесь 〈λ〉 ≡ λ2∗ − λ1∗(< 0), 〈ν〉 ≡ ν2∗ − ν1∗(< 0).
Система (3) и уравнение M = MsL(ξ) задают
гладкую самопересекающуюся кривую намагни-
чивания, которая состоит из девяти ветвей одно-
значности функцииM(H). Они обозначаются дву-
значным числом ij, i, j = 1, 3, где i(j) указывает
номер ветви λ(M)(ν(M)) [15]. При построении мо-
дели предполагается, что выполняется условие па-
рамагнитности среды 3kTν > m1Msλ.
Рассматриваемая жидкость в различных магни-
тных полях может иметь от одного до девяти одно-
родных равновесных состояний. Устойчивость та-
ких состояний обеспечивается условиями [15]:
Q
(λ)
λ < 0, Q(ν)
ν < 0, ∆ ≡ Q
(λ)
λ Q(ν)
ν − [Q(λ)
ν ]2 > 0.
(4)
Анализ показывает, что при выполнении нeра-
венства
−β〈λ〉
2
6
>
m1MsL
2
∗
ψ(λ3∗, ν2∗, ξ∗)
(5)
асимптотически устойчивым однородным равно-
весным состояниям соответствуют точки ветвей 21
и 23 кривой намагничивания, при
m1MsL
2
∗
ψ(λ3∗, ν1∗, ξ∗)
< −β〈λ〉
2
6
<
m1MsL
2
∗
ψ(λ3∗, ν2∗, ξ∗)
(6)
Н. Ф. Пацегон, Л. Н. Попова 55
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2007. Том 9, N 1. С. 54 – 65
устойчивым состояниям отвечают внутренние точ-
ки ветви 21, а если не выполняется ни одно из
условий (5),(6), то жидкость неустойчива в лю-
бом магнитном поле [15]. Будем считать, что пара-
метры жидкости удовлетворяют неравенству (5),
при выполнении которого, как показано в [16], су-
ществует множество асимптотически устойчивых
пространственных структур.
Исследуем случай K-системы [17], для которой
Dν/Dλ = ε2 � 1. В K-системе характерная дли-
на изменения параметра эффективного магнитно-
го поля намного превосходит характерную длину
изменения среднего числа частиц в агрегатах и на
масштабах ∼
√
Dν значение λ остается практичес-
ки постоянным. Параметр ν является “быстрой”, а
λ – “медленной” перемeнной.
Характер решений системы (1), (2) определя-
ется локальной связью (ЛС) λ(ν), которая за-
дается уравнением Q(ν)(λ, ν ;H) = 0 при H =
= const. Однородные состояния жидкости λ =
= λh, ν = νh отвечают точкам пересечения кри-
вой локальных связей и кривой уравнения состо-
яния Q(λ)(λ, ν ; H) = 0. Кривые ЛС для магни-
тной жидкости при разных значениях напряжен-
ности магнитного поля имеют V- или И-образную
форму, такие системы в теории автосолитонов на-
зывают V- или И-системами соответственно. V-
системы допускают решения типа контрастных
структур, т. е. пиковых статических автосолито-
нов, этот случай исследован в [16]. В настоящей
работе рассматриваются значения H, при которых
магнитная жидкость является И-системой (рис.
1).
Предположим, что линейный размер L области,
занимаемой жидкостью, удовлетворяет неравен-
ству
Dν � L2 � Dλ. (7)
Решения системы (1), (2) должны удовлетво-
рять краевым условиям, отвечающим отсутствию
потоков на границе S объема жидкости:
~n · ∇λ|S = 0; ~n · ∇ν |S = 0; (8)
2. ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ СТРУКТУРЫ
2.1. Одномерные статические автосолитоны
Рассмотрим слой жидкости, заключенный ме-
жду двумя параллельными бесконечными нема-
гнитными пластинами x = 0, x = L во внешнем
магнитном поле ~H = H~ey.
Рис. 1. Кривые локальной связи для магнитной
жидкости: m1 = 10−16 эрг/Гс, Ms = 40 Гс, ξ∗ = 1,
β = −0.1, λ1∗ = 5, λ3∗ = 4, ν3∗ = 0.2;
1 – H = 1 Э, 2 – H = 10 Э, 3 – H = 20 Э, 4 – H = 30 Э
В одномерном случае параметры λ и ν удовле-
творяют уравнениям:
τλ
∂λ
∂t
= Dλ
∂2λ
∂x2
+Q(λ)(λ, ν ;H), (9)
τν
∂ν
∂t
= Dν
∂2ν
∂x2
+Q(ν)(λ, ν ; H) (10)
и краевым условиям:
∂λ
∂x
∣
∣
∣
∣
x=0,L
= 0,
∂ν
∂x
∣
∣
∣
∣
x=0,L
= 0. (11)
Найдем стационарные решения задачи (9)–(11).
Если пренебречь членами порядка L2/Dλ, па-
раметр эффективного магнитного поля в зазоре
остается постоянным: λ = λs = const, а магнитное
состояние жидкости описывается уравнениями:
Dνν
′′ +Q(ν)(λs, ν(x); H) = 0, (12)
ν ′(0) = ν ′(L) = 0, (13)
l
∫
0
Q(λ)(λs, ν(x); H)dx = 0. (14)
Последнее соотношение получается в результате
интегрирования уравнения (9) на интервале
0 ≤ x ≤ L с учетом краевых условий для λ.
При фиксированных λs и H соотношение (12)
формально можно рассматривать как уравнение
одномерного движения частицы массы Dν
под действием потенциальной силы Fs =
56 Н. Ф. Пацегон, Л. Н. Попова
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2007. Том 9, N 1. С. 54 – 65
= −Q(ν)(λs, ν(x);H) = −dΠ/dν . Роль координа-
ты частицы играет параметр ν, а роль времени –
переменная x.
Неподвижные точки динамической системы (12)
соответствуют экстремумам потенциала Π и явля-
ются точками пересечения кривой ЛС с прямой
λ = λs. Это позволяет по кривой ЛС найти вид
потенциала Π при различных значениях λ.
Для магнитной жидкости Q(ν) < 0 над кривой
ЛС и Q(ν) > 0 – под этой кривой. Действитель-
но, обозначим через (νc, λc) точку, принадлежа-
щую кривой ЛС, а соответствующее значение па-
раметра ξ через ξc. Для любого λ 6= λc имеет место
равенство:
Q(ν)(λ, νc; H) −Q(ν)(λc, νc; H) = f(ξ) − f(ξc),
где ξ = m1(H + λM(ξ))/(kTνc). Функция f(ξ) мо-
нотонно убывает при всех ξ > 0, так как
f ′(ξ) =
ξ
sh2ξ
− 1
ξ
= ξ
(
1
sh2ξ
− 1
ξ2
)
< 0.
Кроме того, из условия парамагнитности среды
следует, что
∂ξ
∂λ
=
m1M
L′ψ(λ, ν, ξ)
> 0,
где ψ(λ, ν, ξ) ≡ kTν/L′ − m1Msλ. Поэтому мо-
нотонно убывающей по λ является и функция
Q(ν)(λ, νc; H) при фиксированных значениях νc и
H.
Обозначим через ν1, ν2, ν3 абсциссы точек пе-
ресечения кривой ЛС с прямой λ = λs. В рас-
сматриваемом случае Q
(ν)
ν (λs, νi; H) < 0, i = 1, 3;
Q
(ν)
ν (λs, ν2; H) > 0. Следовательно, график зави-
симости Q(ν) от ν качественно воспроизводит кри-
вую ЛС, т. е. также имеет И-образную форму.
Потенциал Π(ν) достигает максимума в точках
ν1, ν3 и минимума – в точке ν2. Поэтому точки ν1,
ν3 являются сeдлами, а ν2 – центром динамиче-
ской системы (12). Фазовый портрет системы за-
висит от параметра λs. Рассмотрим то значение
λs, при котором Π(ν1) = Π(ν3), или, что то же
самое,
ν3
∫
ν1
Q(ν)(λs, ν ; H)dν = 0. (15)
При выполнении этого условия фазовый порт-
рет содержит ячейку, ограниченную двумя гете-
роклиническими траекториями – сепаратрисами,
симметричными относительно оси Oν ; одна из них
выходит из седла ν1 и входит в седло ν3, а другая
– выходит из седла ν3 и входит в седло ν1. Дви-
жение точки по сепаратрисе описывает распреде-
ление ν(x) в виде широкой страты вблизи одной
из пластин. В малой окрестности точек (λs, ν1),
(λs, ν3) на плоскости (λ, ν) происходят плавные
изменения ν(x), здесь параметры λ и ν связаны
между собой локально в соответствии с уравне-
нием Q(ν)(λ, ν ;H) = 0. Отрезку прямой λ = λs в
интервале ν1 < ν < ν3 отвечает резкое изменение
ν(x). Близкая к границе ячейки замкнутая трае-
ктория соответствует широким стратам в центре
слоя жидкости – статическим автосолитонам.
Чтобы найти форму автосолитона, аппроксими-
руем функцию Q(ν)(λs, ν ; H) кубическим полино-
мом, имеющем такие же корни ν1, ν2 и ν3 и при-
близительно такие же производные в точках ν1, ν2
и ν3 :
Q(ν)(λs, ν ; H) ≈ Q(ν) =
= −B(ν − ν1)(ν − ν2)(ν − ν3), (16)
3
∑
i=1
Q(ν)
ν (λs, νi; H) =
3
∑
i=1
dQ
dν
∣
∣
∣
∣
ν=νi
.
Из последнего условия определяется постоянная
B:
B = −
3
∑
i=1
Q
(ν)
ν (λs, νi; H)
(ν2 − ν1)2 + (ν3 − ν1)(ν3 − ν2)
,
где
Q(ν)
ν (λs, νi;H) = f ′
∂ξ
∂ν
+ α[(νi − ν2∗)(νi − ν3∗)+
+(νi − ν1∗) ∗ (νi − ν3∗) + (νi − ν1∗)(νi − ν2∗)],
∂ξ
∂ν
=
kTξ
m1MsλsL′ − kTνi
.
Уравнение Dνν
′′+Q(ν) = 0 обладает решениями
ν(x) =
ν1 + ν3 exp
[
±
√
B/(2Dν)(ν3 − ν1)x
]
1 + exp
[
±
√
B/(2Dν)(ν3 − ν1)x
] , (17)
которые описывают страты, примыкающие к пра-
вой x = L (верхний знак) или левой x = 0 (ни-
жний знак) границе. Используя симметрию фазо-
вого портрета относительно оси Oν , “сшиваем” эти
решения и получаем выражения для статических
автосолитонов в виде широкой страты в центре
Н. Ф. Пацегон, Л. Н. Попова 57
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2007. Том 9, N 1. С. 54 – 65
Рис. 2. Статические автосолитоны в магнитной жидкости:
1 – H = 15 Э; 2 – H = 18 Э; 3 – H = 21 Э; γ – число частиц в агрегатах
системы. Аппроксимируя широкую страту ступен-
чатой функцией
ν(x) =
{
νi, 0 ≤ x ≤ (L − l)/2, (L+ l)/2 ≤ x ≤ L,
νj, (L − l)/2 < x < (L+ l)/2,
где i = 3, j = 1 или i = 1, j = 3, из равенства (14)
находим размер горячей страты:
l =
Q(λ)(λs, ν1; H)
Q(λ)(λs, ν1; H) −Q(λ)(λs, ν3; H)
L
и размер холодной страты:
l =
Q(λ)(λs, ν3; H)
Q(λ)(λs, ν3; H) −Q(λ)(λs, ν1; H)
L.
Среднее число частиц в агрегатах внутри горя-
чей (холодной) страты больше (меньше), чем вне
ее.
Статический автосолитон существует только в
том случае, когда выражение, задающее размер
страты, положительно. При этом, горячая (холо-
дная) страта определяет горячий (холодный) ав-
тосолитон.
На рис. 2 показаны автосолитоны, которые об-
разуются в слое магнитной жидкости при различ-
ных значениях напряженности магнитного поля
(a – горячий автосолитон, b – холодный автосо-
литон). В указанном диапазоне изменения напря-
женности магнитного поля ширина горячей стра-
ты с ростом H увеличивается, а холодной, наобо-
рот, уменьшается, при этом высота страты ∆γ =
= 1/ν3 − 1/ν1 существенно не изменяется и совпа-
дает с оценками для числа частиц в цепочечных
агрегатах, приведенными в работе [18]. На рис.
3 представлены соответствующие распределения
намагниченности среды.
Кроме одиночной горячей или холодной страты
задача (12)–(14) имеет множество периодических
решений в виде последовательности страт перио-
да Lp = L/N (N− натуральное число). Эти реше-
ния описывают образование одного или несколь-
ких равноотстоящих друг от друга подслоев более
или менее агрегированной среды в слое жидкости
между пластинами.
Решения системы (12) - (14) моделируют обра-
зование структур в жидкости и в том случае, ко-
гда ось Ox параллельна пластинам. Они реализу-
ются в виде одной или нескольких полос среды с
разным магнитным состоянием, ориентированных
вдоль магнитного поля.
2.2. Радиально-симметричные автосолитоны
Предположим, что слой жидкости имеет форму
кругового цилиндра радиуса R : Dν << R2 <<
Dλ, а магнитное поле ортогонально слою. Най-
дем осесимметричные решения системы (1)–(2) ти-
па горячих (холодных) пятен радиуса ro [17]. Они
удовлетворяют уравнениям:
Dν
(
ν ′
′
+
1
r
ν ′
)
+Q(ν)(λc, ν(r); H) = 0, (18)
ν ′(0) = ν ′(R) = 0, (19)
R
∫
0
Q(λ)(λc, ν(r); H)rdr = 0, (20)
58 Н. Ф. Пацегон, Л. Н. Попова
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2007. Том 9, N 1. С. 54 – 65
Рис. 3. Распределение намагниченности в слое жидкости: 1 – H = 15 Э, 2 – H = 18 Э, 3 – H = 21 Э
где ν = ν(r); r− полярный радиус; λc = const.
Уравнение (18) отличается от уравнения (12)
членом Dνν
′/r. Он играет роль силы трения
при движении материальной точки с координа-
той ν во времени r в потенциальном силовом по-
ле Q(ν)(λc, ν(r); H). Его можно аппроксимировать
выражениемDνν
′/r0, поскольку ν ′ ≈ 0 всюду, кро-
ме малой переходной области, где r ≈ r0. При
r0 >>
√
Dν сила трения относительно мала, точка
движется почти так же, как в потенциальном поле
при λc = λs и вторым членом в (18) можно пре-
небречь. В этом случае функция ν(r) совпадает c
функцией ν(x) в (17), причем ν1 = ν(0), ν3 = ν(R).
Уравнение для размера пятна r0 получается из
условия (20), если заменить функцию ν(r) сту-
пенькой. Из этого уравнения следует, что горячие
(холодные) пятна существуют в том же диапазо-
не значений напряженности магнитного поля, что
и горячие (холодные) одномерные автосолитоны.
При этом радиус пятна связан с размером широ-
кой страты соотношением
ro
R
=
√
l
L
.
Кроме одиночного горячего или холодного пя-
тна, задача (18)–(20) допускает множество других
решений в виде радиально-симметрично располо-
женных пятен, которые образуют в слое жидкости
структуры. Из теории автосолитонов [17] следу-
ет, что в наиболее широком интервале изменения
напряженности поля устойчива конфигурация пя-
тен, которые находятся на одинаковом максималь-
но возможном при данном количестве пятен рас-
стоянии (рис. 4).
Рис. 4. Возможное распределение горячих пятен в
слое магнитной жидкости
3. ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННЫЕ
СТРУКТУРЫ
Рассмотрим случай ε << 1, δ = τν/τλ << 1, со-
ответствующий KΩ-системе [17], в которой па-
раметр эффективного магнитного поля являе-
тся более инерционным и более дальнодейству-
ющим, чем среднее число частиц в агрегатах.
KΩ-система обладает множеством решений типа
пространственно-временных структур.
3.1. Волны переключения
Пусть для промежутка времени ∆t, на котором
рассматривается поведение системы, выполняется
условие τν << ∆t << τλ. В этом случае можно
пренебречь изменением параметра λ в пространс-
тве и во времени и считать λ = λh = const, а эво-
Н. Ф. Пацегон, Л. Н. Попова 59
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2007. Том 9, N 1. С. 54 – 65
люцию магнитного состояния среды в одномерном
случае описывать уравнением (10):
τν
∂ν
∂t
= Dν
∂2ν
∂x2
+Q(ν)(λh, ν ; H). (21)
Рис. 5. Зависимость скорости волны переключения от
параметра эффективного магнитного поля
Однородные состояния такой среды определя-
ются корнями функции Q(ν)(λh, ν ; H). Если νi –
один из них, то в случае Dν = 0 однородное со-
стояние устойчиво (неустойчиво) по отношению к
малым возмущениям, если ∂Q(ν)/∂ν(λh, νi; H) < 0
(> 0). При λ− < λ < λ+, где λ−, λ+− точ-
ки экстремума функции λ(ν), определяющей ЛС,
Q(ν)(λh, ν ; H) имеет три корня ν1, ν2 и ν3, а функ-
ция
Φ(ν) = −
ν
∫
νo
Q(ν)(λh, ν ; H)dν
(
Q(ν) = −dΦ
dν
)
.
достигает минимума в точках ν1, ν3 и максимума
– в точке ν2. При Φ(νi) < Φ(νj) (i, j = 1, 3) или,
что то же самое, при
I(λh) =
νi
∫
νj
Q(ν)(λh, ν ; H)dν > 0,
состояние νj метастабильно, а состояние νi устой-
чиво.
Решение уравнения (21) будем искать в виде ν =
= ν(η), где η = x−ct – автомодельная переменная,
а c – неопределенная постоянная, которая нахо-
дится в процессе решения задачи. Функция ν(η)
должна удовлетворять уравнению
Dν
d2ν
dη2
+ cτν
dν
dη
+Q(ν)(λh, ν ;H) = 0. (22)
Рассмотрим триггерную волну переключения
[19], описывающую переход системы из метаста-
бильного состояния νj в устойчивое νi. При дви-
жении такой волны среда вдали перед фронтом
находится в метастабильном состоянии, вдали за
фронтом – в устойчивом состоянии, а соответству-
ющее решение удовлетворяет условиям:
η → −∞ : ν = νi, η → +∞ : ν = νj. (23)
Уравнение (22) формально совпадает с уравне-
нием движения материальной точки в силовом по-
ле −Q(ν) с потенциалом Π(ν) с учетом силы тре-
ния, пропорциональной скорости точки. Роль ко-
эффициента трения играет величина cτν . Соответ-
ствующая динамическая система имеет седловые
неподвижные точки ν1, ν3 и устойчивый узел или
фокус ν2. Ее фазовый портрет зависит от парамет-
ра c. Существует единственное значение c = c0,
при котором он содержит сепаратрису, идущую из
седла νi в седло νj, при этом выполняются условия
(23). Величина c0 определяет скорость движения
волны.
Если аппроксимировать функцию Q(ν) кубиче-
ским полиномом (16), то получим приближенное
значение скорости ВП:
c0(λ) =
√
BDν
2
|ν1(λ) + ν3(λ) − 2ν2(λ)|
τν
. (24)
При увеличении λ от λ− до λ+ выражение, сто-
ящее под знаком модуля, монотонно уменьшается
от ν3(λ−) − ν1(λ−) > 0 до ν1(λ+) − ν3(λ+) < 0,
обращаясь в нуль в некоторой точке λ = λ. Соо-
тветственно скорость волны переключения убыва-
ет на интервале (λ−, λ) и возрастает на интервале
(λ, λ+). На первом интервале происходит переклю-
чение из ν1 в ν3, а на втором – из ν3 в ν1. При
λh = λ скорость c0 = 0 и в жидкости существует
стоячая волна.
Зависимость безразмерной скорости волны пе-
реключения u = = τν/
√
Dνc0 от λ при H = 10 Э
(1), 20 Э (2), 30 Э (3), 40 Э (4) для ν3∗ = 0.25
показана на рис. 5.
Решение уравнения (22), удовлетворяющее усло-
виям (23), имеет вид:
ν(η) =
ν1 + ν3 exp
[
√
B/(2Dν)(νj − νi)(η − η0)
]
1 + exp
[
√
B/(2Dν)(νj − νi)(η − η0)
] .
(25)
Волны переключения представляют самостоя-
тельный интерес, так как описывают переход сре-
ды из метастабильного состояния в устойчивое,
60 Н. Ф. Пацегон, Л. Н. Попова
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2007. Том 9, N 1. С. 54 – 65
кроме того, они используются в следующем по-
дразделе для построения решений типа бегущих
автосолитонов.
3.2. Бегущие автосолитоны
Для описания результатов экспериментов и иден-
тификации параметров изучаемой в настоящей ра-
боте модели среды рассмотрим решения системы
(9), (10) вида λ = λ(η), ν = ν(η), где η – автомо-
дельная переменная. Функции λ(η), ν(η) должны
удовлетворять уравнениям:
Dν
d2ν
dη2
+ cτν
dν
dη
+Q(ν)(λ, ν ; H) = 0, (26)
Dλ
d2λ
dη2
+ cτλ
dλ
dη
+Q(λ)(λ, ν ; H) = 0. (27)
Перейдем в этих уравнениях к безразмерным пе-
ременным. Выбирая в качестве характерной дли-
ны
√
Dν , характерного времени τν, а характерной
скорости
√
Dν/τν, получим:
ν ′′ + uν ′ +Q(ν)(λ, ν ; H) = 0, (28)
ε−2λ′′ + δ−1uλ′ +Q(λ)(λ, ν ; H) = 0. (29)
Здесь штрихом обозначена производная по безра-
змерной переменной η/
√
Dν .
Уравнения (28), (29) сводятся к автономной ди-
намической системе четвертого порядка относи-
тельно переменных x1 = ν, x2 = ν ′, x3 = λ,
x4 = ε−1λ′ :
x′i = fi(xj), i = 1, 2, ε−1x′i = fi(xj), i = 3, 4,
j = 1, 4,
где f1 = x2, f2 = −ux2 − Q(ν)(x3, x1; H), f3 = x4,
f4 = −εδ−1ux4 −Q(λ)(x3, x1; H).
Из теории сингулярных возмущений [20, 21] сле-
дует, что фазовые траектории такой системы близ-
ки к фазовым траекториям быстрого и медленно-
го движения, а решения имеют участки резких и
плавных изменений параметров жидкости.
Резкие изменения описываются уравнением
ν ′′ + uν ′ +Q(ν)(λ, ν ; H) = 0 (30)
при λ = const, а плавные изменения – системой
уравнений
ε−2λ′′ + δ−1uλ′ +Q(λ)(λ, ν ; H) = 0, (31)
Q(ν)(λ, ν ; H) = 0. (32)
Кривые уравнения состояния магнитной жид-
кости Q(λ)(λ, ν ; H) = 0 при разных значениях H
имеют S-образную форму. При этом справа от кри-
вой Q(λ) < 0, а слева от нее Q(λ) > 0. Чтобы
доказать это, обозначим через (νc, λc) точку, при-
надлежащую кривой уравнения состояния, а со-
ответствующее значение параметра ξ – через ξc.
Для любого ν 6= νc имеет место равенство:
Q(λ)(λc, ν ;H)−Q(λ)(λc, νc; H) =
=
1
2
(L(ξ)2 − L(ξc)
2),
где ξ = m1
H + λcM
kTν
. Функция M(ξ) монотонно
возрастает при всех ξ > 0, так как
dM
dξ
= −Ms
(
1
sh2ξ
− 1
ξ2
)
> 0,
а из условия парамагнитности среды следует, что
∂ξ
∂ν
= − kTν
L′ψ(λc, ν ; ξ)
< 0.
Поэтому Q(λ)(λc, ν ; H) является монотонно
убывающей функцией параметра ν.
Бегущий автосолитон представляет собой ло-
кализованную неравновесную область неизменной
формы, движущуюся с постоянной скоростью в
однородной покоящейся жидкости [17]. В отличие
от волны переключения бегущий автосолитон не
изменяет состояние среды.
Рис. 6. Форма бегущего автосолитона:
1 – γ = ν−1(η), 2 – λ(η)
Возможная форма бегущего автосолитона пока-
зана на рис. 6. Еe можно разбить на области PP ′
и RR′, где происходит резкое изменение среднего
Н. Ф. Пацегон, Л. Н. Попова 61
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2007. Том 9, N 1. С. 54 – 65
числа частиц в агрегатах, а также области медлен-
ного изменения – P ′R и R′P .
Уравнение (30) совпадает с уравнением (22),
приведенным к безразмерному виду. Поэтому при
λ− < λ < λ+ оно обладает решением типа триг-
герной волны переключения. Скорость такой вол-
ны задается соотношением (24) и зависит от зна-
чения λ. Направление переключения определяется
знаком величины
I(λ) =
ν3(λ)
∫
ν1(λ)
Q(λ)(λ, ν ;H)dν.
Рис. 7. К расчету скорости бегущего автосолитона
Обозначим через (λh, νh) точку пересечения
кривой уравнения состояния с кривой ЛC, соо-
тветствующую однородному состоянию жидкости
(рис. 7). Рассмотрим то значение H, при котором
I(λh) < 0. В этом случае переключение происхо-
дит из состояния ν3(λh) в состояние ν1(λh), фронт
волны движется со скоростью c0(λh), а форма вол-
ны соответствует области PP ′ бегущего автосоли-
тона и описывается соотношением (25) при j = 1,
i = 3, в котором для рассматриваемой здесь без-
размерной координаты η следует считать знаме-
натель Dν под корнем в показателе экспоненты
равным единице. Волна RR′ движется вслед за
волной PP ′ с такой же скоростью. Это условие
однозначно определяет точку R на кривой ЛС и,
соответственно, значение λs и форму волны RR′.
Параметр эффективного магнитного поля λ ме-
дленно изменяется на участке P ′R кривой ЛС от
равновесного значения λh до λs и на участке R′P
от λs до λh согласно первому уравнению систе-
мы (31), (32). К нему подстраивается быстрая пе-
ременная ν в соответствии со вторым уравнением
этой системы.
Бегущий автосолитон существует, если дуга P ′R
кривой ЛС не содержит неподвижных точек сис-
темы (9), (10). В противном случае параметр эф-
фективного магнитного поля λ будет асимптоти-
чески по η стремиться к неподвижной точке и не
сможет приблизиться к значению λs. По той же
причине для существования бегущего автосолито-
на необходимо, чтобы дуга R′P не имела неподви-
жных точек. При выполнении этих условий функ-
ция Q(λ)(λ, ν ;H) сохраняет знак на отрезках P ′R
и R′P . Точка P является седловой неподвижной
точкой динамической системы (26), (27), а реше-
нию типа бегущего автосолитона соответствует пе-
тля сепаратрисы, проекция которой на плоскость
(ν, λ) дает замкнутую кривую PP ′RR′P.
При u << δ << ε можно получить оценку для
ширины бегущего автосолитона l. Обозначим че-
рез νL(λ) решение уравнения (32), соответствую-
щее левой ветви кривой ЛС, и аппроксимируем
Q(λ)(λ, νL(λ); H) на отрезке P ′R линейной фун-
кцией, совпадающей с Q(λ) в точках λh и λs.
Это вполне допустимая аппроксимация, посколь-
ку, как показывают дальнейшие расчеты, значе-
ния λh и λs достаточно близки. Подставляя ли-
нейную функцию в уравнение (31) и выписывая
решение этого уравнения, удовлетворяющее усло-
виям
λ(0) = λh, λ′(0) = 0, λ(−l) = λs,
получаем:
λ(η) = λh − 1
2
ε2Q(λ)(λh, νL(λh); H)η2,
l ∼ 1
ε
√
2(λh − λs)
Q(λ)(λh, νL(λh); H)
. (33)
Для того, чтобы найти распределение λ(η) в ав-
тосолитоне и его ширину в общем случае, необхо-
димо численно проинтегрировать уравнение (31)
в сторону убывания переменной η c “начальными”
условиями λ(0) = λh, λ
′(0) = 0; значение η, при
котором λ ≈ λs, дает величину −l.
Расчеты проводились в широком диапазоне
изменения напряженности магнитного поля для
ν3∗ = 0.2 и ν3∗ = 0.25. В первом случае магни-
тная жидкость является моностабильной средой:
существуют два интервала значений напряженно-
сти магнитного поля: ∼ 12 Э < H <∼ 20 Э и
∼ 22 Э < H <∼ 51 Э, в которых однородное рав-
новесное состояние жидкости устойчиво. Во вто-
ром случае магнитная жидкость является биста-
бильной средой: в интервале ∼ 31 Э < H <∼
47 Э имеются два устойчивых однородных состо-
яния. Горячие бегущие автосолитоны обнаружены
62 Н. Ф. Пацегон, Л. Н. Попова
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2007. Том 9, N 1. С. 54 – 65
на ветви 21 кривой намагничивания в диапазоне
∼ 51.9 Э < H <∼ 56 Э для ν3∗ = 0.25 и в ди-
апазоне ∼ 32 Э < H <∼ 36 Э для ν3∗ = 0.2.
Безразмерная скорость горячих автосолитонов u
увеличивается с ростом H от нуля на левой гра-
нице интервала до 0.4 для первого случая и до 0.5
для второго случая – на правой границе, “высо-
та” ∆γ = ν−1
1 (λh) − ν−1
h ≈ 2 почти не изменяется,
а ширина l сначала растет от нуля до некоторо-
го максимального значения, а затем убывает. Хо-
лодные бегущие автосолитоны найдены на ветви
23 кривой намагничивания в интервале ∼ 44 Э
< H <∼ 46 Э при ν3∗ = 0.25. Их скорость u убыва-
ет с ростом поля от 0.3 до нуля, монотонно убывает
и ширина холодного бегущего автосолитона.
Рис. 8. Распределение намагниченности в горячем
бегущем автосолитоне:
1 – H = 33 Э, 2 – H = 34 Э, 3 – H = 35.5 Э, ν3∗ = 0.2
Изменение намагниченности в горячих бегу-
щих автосолитонах при некоторых H показано
на рис. 8. Значения M испытывают значительные
изменения в области автосолитона: на переднем
фронте M(P ′)−M(P ) ≈ 5–8 Гс, на заднем фронте
M(R) −M(R′) ≈ 4–8 Гс.
Помимо уединенного бегущего автосолитона су-
ществует множество периодических решений за-
дачи (9)–(11) в виде последовательности одинако-
вых бегущих автосолитонов. Они описывают ра-
спространение равноудаленных друг от друга па-
раллельных слоев или полос жидкости с разным
магнитным состоянием, движущихся с постоянной
скоростью поперек и, соответственно, вдоль зазо-
ра. В обоих случаях движение происходит в на-
правлении, ортогональном магнитному полю.
Внешнее магнитное поле, в котором прои-
сходит образование пространственных и
пространственно-временных структур в МЖ,
является постоянным и однородным. Однако на
него накладывается поле, создаваемое ферроча-
стицами, входящими в состав жидкости, так что
результирующее поле неравномерно распределяе-
тся по объему жидкости и при движении частиц
изменяется во времени. Поле, индуцируемое
частицами, учитывается моделью среды с изменя-
ющейся микроструктурой, используемой в данной
работе, посредством параметра λ. Этот параметр
играет роль ингибитора, управляющего про-
цессом агрегации частиц, который описывается
активатором ν.
4. АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ
Имеется немало публикаций, в которых описа-
ны результаты экспериментального исследования
влияния магнитного поля на процессы структури-
рования феррочастиц в пленках магнитной жид-
кости [2, 4, 6, 8 – 11]. Авторы работы [10] использо-
вали феррожидкость на основе керосина с части-
цами магнетита размера ∼ 100 Å, стабилизирован-
ную олеиновой кислотой. Слой жидкости толщи-
ной несколько микрометров (2 и 10 мкм) наноси-
ли на дно стеклянной прямоугольной ячейки ра-
змерами 4 см × 1 см и помещали в постоянное
магнитное поле. Приблизительно через 10 с по-
сле включения параллельного ячейке магнитно-
го поля в первоначально однородной жидкости
возникали цепочечные агрегаты из феррочастиц,
а через 2 часа формировались ориентированные
вдоль поля полосовые квазипериодические струк-
туры шириной порядка 1 мкм и периодом прибли-
зительно 20 мкм. Изображения структур были по-
лучены с помощью оптического микроскопа, а их
эволюция во времени записывалась в память ПК
через связанную с ним видеокамеру.
При включении перпендикулярного ячейке ма-
гнитного поля сначала (в течение приблизительно
60 с) появлялись беспорядочно распределенные в
жидкости параллельные полю столбики из фер-
рочастиц, затем радиус столбиков увеличивался
и приблизительно через 2 часа из них формиро-
вались гексагональные или лабиринтные структу-
ры, форма которых в дальнейшем оставалась неи-
зменной. Радиус столбиков приблизительно 1 мкм,
а среднее расстояние между ними и геометрия
структуры зависела от толщины слоя жидкости
и напряженности магнитного поля.
Похожие результаты приводятся в работах
[2, 6, 9, 11].
Обнаруженные в экспериментах структуры опи-
сываются решениями задачи (9)–(11) типа стати-
ческих и бегущих автосолитонов. Сравнение тео-
Н. Ф. Пацегон, Л. Н. Попова 63
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2007. Том 9, N 1. С. 54 – 65
ретических и экспериментальных результатов по-
зволяет оценить параметры τλ, Dλ, τν, Dν модели
среды с изменяющейся микроструктурой.
Значение τν представляет собой характерное
время образования цепочечных агрегатов из фер-
рочастиц. Как следует из экспериментов, τν ∼ 10–
60 c.
Величина τλ определяет время релаксации пара-
метра λ и, соответственно, эффективного магни-
тного поля He = H + λM, действующего в объеме
жидкости. Возникновение структур из ферроча-
стиц обусловлено неоднородностью поля He, сле-
довательно время образования структур сопоста-
вимо со значением τλ: τλ ∼ 7200 c.
Оценка для Dλ получается из соотношения (33),
которое для ν3∗ = 0.25 и H = 51.91 Э дает u ∼
5 · 10−5 << τν/τλ и lε ≈ 0.1. Отсюда следует, что
Dλ ∼ 100l2d, где ld− размерная ширина бегущего
автосолитона, т. е. Dλ ∼ 100 мкм2.
На снимках структур полосы, содержащие агре-
гаты из феррочастиц, в параллельном пленке ма-
гнитном поле и столбики в ортогональном поле
отделены от неагрегированной среды достаточно
резкой границей. Это означает, что толщина “пере-
ходного” слоя ∼
√
Dν , в котором происходит изме-
нение среднего числа частиц в агрегатах, для ста-
тических и бегущих автосолитонов меньше шири-
ны автосолитона, поэтому Dν < 1 мкм2.
Полученные соотношения подтверждают
использованное в настоящей работе предполо-
жение о том, что магнитная жидкость являе-
тся KΩ-системой, для которой Dν/Dλ << 1,
τν/τλ << 1. Кроме того, они дают возможность
оценить диапазон изменения скорости волны
переключения, а, следовательно, и скорости
бегущего автосолитона в МЖ: при ν3∗ = 0.25
и ν3∗ = 0.2: 0 ≤ c ≤ 5
√
Dν/τν < 0.5 мкм/с и
0 ≤ c ≤ 4
√
Dν/τν < 0.4 мкм/с.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Исследованы автоволновые процессы в объеме
магнитной жидкости, покоящейся в постоянном
однородном магнитном поле. Показано, что систе-
ма уравнений, описывающая изменение магнитно-
го состояния жидкости, является KΩ–системой и
при определенных значениях параметров среды
и напряженности поля обладает решениями типа
горячих и холодных статических автосолитонов,
имеющих неизменную форму и нулевую скорость,
и бегущих автосолитонов, движущихся без зату-
хания с постоянной скоростью. Они реализуются
в виде слоев, полос или цилиндрических столби-
ков (“пятен”) более или менее агрегированной сре-
ды, ориентированных вдоль магнитного поля, и
описывают процессы перераспределения ферроча-
стиц в пленках магнитной жидкости, наблюдае-
мые в экспериментах. В результате сравнения тео-
ретических и экспериментальных данных получе-
ны оценки для ряда параметров использованной
в настоящей работе модели среды с изменяющей-
ся микроструктурой и диапазона изменения скоро-
сти волн переключения и бегущих автосолитонов
в слое жидкости.
1. Zahn N. Magnetic fluid and nanoparticle applicati-
ons to nanotechnology // Journal of Nanoparticle
Research.– 2001.– 3, N 1.– P. 73–78.
2. Yang S.- Y., Horng H.- Er., Hong C.- Y. Structures,
Optical Properties and PotentiallyElectro-Optical
Applications of Magnetic Fluid Films // Tamkang
Journal of Science and Engineering.– 2002.– 5, N 2.–
P. 85–93.
3. Kozhevnikov V. M., Chuenkova I. J., Dani-
lov M. I., Yastrebov S. S., Larionov J. A. Self-
organizing process in the magnetic fluid layer //
Magnetohydrodynamics.– 2005.– 41, N 1.– P. 53–62.
4. Jiang I. M., Shih C. C., Lu C. K., Jang D. J., Chi-
ang J. C., Tsai M. S., Horng H. E. Dynamic formati-
on of columnar lattices in magnetic fluid thin films
subjected to oscillating perpendicular magnetic fi-
elds // Journal of Applied Physics.– 2004.– 96, N 1.–
P. 860–863.
5. Eberbeck D., Bergemann Ch., Wiekhorst F.,
Glocke G. Quantification of aggregates of magnetic
nanoparticles in different suspension media by
magnetorelaxometry // Magnetohydrodynamics.–
2005.– 41, N 4.– P. 305–316.
6. Li J., Lin X.-D., Lin Y.-Q., Huang Y., Bai L.
Relaxation behavior measuring of transmitted light
through ferrofluids film // Applied Physics. B.–
2006.– 82, N 1.– P. 81–84.
7. Ytreberg F. M., McKay S. R. A Quasi-Equilibrium
Analysis to Predict the Dependence of Ferrofluid
Aggregate Properties on Field Ramping Rate //
IEEE Transactions on Magnetics.– 2003.– 39, N 5.–
P. 2648–2650..
8. Jennings B. R., Xu M., Ridler P. J. Ferrofluid
structures: a magnetic dichroism study // Proc. R.
Soc. London, A .– 2000.– 456, N 1996.– P. 891–907.
9. Dikanskii Yu. I., Nechaeva O. A. Magnetic fluid
Structural Transformations in Electric and Magnetic
Fields // Colloid Journal.– 2003.– 65, N 3.– P. 305–
309.
10. Hong C.-Y., Jang I. J., Horng H. E., Hsu C. J.,
Yao Y. D., Yang H. C. Ordered structures in Fe3O4
kerosene-based ferrofluids // J. Appl. Phys.– 1997.–
81, N 8.– P. 4275–4277.
11. Hong C. -Y., Chen C. A., Chen C. H. Effect of initial
states on the phase diagram of the structural pattern
in magnetic fluid films under perpendicular magnetic
field // Applied Physics Letters.– 2001.– 79, N 15.–
P. 2360–2362.
12. Пацегон Н. Ф. Некоторые процессы самоорганиза-
ции в намагничивающихся средах // Магнитная
гидродинамика.– 1993.– N 1.– С. 13–23.
64 Н. Ф. Пацегон, Л. Н. Попова
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2007. Том 9, N 1. С. 54 – 65
13. Пацегон Н. Ф., Попова Л. Н., Свириденко С. А.
Качественное исследование процессов структу-
рирования магнитной жидкости // Вiсник
Харк. ун-ту. Математика, прикладна математика
i механiка.– 2003.– N 582.– С. 81–89.
14. Пацегон Н. Ф., Попова Л. Н. О равновесной нама-
гниченности магнитной жидкости // Магнитная
гидродинамика.– 1996.– N 3.– С. 323–330.
15. Пацегон Н. Ф., Попова Л. Н. Волновые струк-
туры в магнитной жидкости // Прикладна
гiдромеханiка.– 2000.– 2(74), N 4.– С. 58–66.
16. Пацегон Н. Ф., Попова Л. Н. Образование и устой-
чивость пространственных структур в магнитной
жидкости // Прикладна гiдромеханiка.– 2003.–
5(77), N 1.– С. 62–70.
17. Кернер Б. С., Осипов В. В. Автосолитоны: Лока-
лизованные сильно-неравновесные области в одно-
родных диссипативных системах.– М.: Наука,
1991.– 200 с.
18. Ivanov A. O. Aggregates in magnetic fluids: droplets,
chains and fractal clusters // Eighth Int. Conf. on
Magnetic Fluids, June 29 - July 3, 1998. Timisoara,
Romania. Abstracts.– Timisoara.– 1998.– P. 262–
263.
19. Полак Л. С., Михайлов А. С. Самоорганизация в
неравновесных физико-химических системах.– М.:
Наука, 1983.– 286 с.
20. Васильева А. Б., Бутузов В. Ф. Асимптотические
методы в теории сингулярных возмущений.– М.:
Высшая школа, 1990.– 208 с.
21. Ortoleva P., Ross J. Theory of propagation of di-
scontinuties in kinetic systems with multiple time
scale: Fronts, front multiplicity and pulses // Journal
of Chemical Physics.– 1975.– 63, N 8.– P. 3398–3408.
Н. Ф. Пацегон, Л. Н. Попова 65
|