До питання про теплопровiднiсть двофазного середовища
Рассматриваются вопросы построения осредненных дифференциальных уравнений переноса тепла и определения эффективного коэффициента теплопроводности для двухфазной среды. Для строгого вывода осредненных уравнений теплопроводности используются аппарат теории обобщенных функций и вероятностный метод осре...
Збережено в:
| Дата: | 2007 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Інститут гідромеханіки НАН України
2007
|
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/4702 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | До питання про теплопровiднiсть двофазного середовища / С.I. Крiль, В.П. Берман // Прикладна гідромеханіка. — 2007. — Т. 9, № 2-3. — С. 86-92. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-4702 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-47022009-12-28T18:36:22Z До питання про теплопровiднiсть двофазного середовища Кріль, С.І. Берман, В.П. Рассматриваются вопросы построения осредненных дифференциальных уравнений переноса тепла и определения эффективного коэффициента теплопроводности для двухфазной среды. Для строгого вывода осредненных уравнений теплопроводности используются аппарат теории обобщенных функций и вероятностный метод осреднения полей термодинамических величин. Показано, в частности, что осредненные уравнения теплопроводности, составленные для каждой фазы в отдельности, учитывают один и тот же вектор осредненного потока тепла для двухфазной среды в целом. Разработан новый метод вычисления эффективного коэффициента теплопроводности, характеризующего стационарный макроперенос тепла, и показана достоверность этого метода на простейшем примере теплопроводности двухфазной среды с регулярной структурой. Розглядаються питання побудови осереднених диференцiальних рiвнянь переносу тепла i визначення ефективного коефiцiєнта теплопровiдностi для двофазного середовища. Для точного виводу осереднених рiвнянь теплопровiдностi використовуються апарат теорiї узагальнених функцiй i iмовiрнiсний метод осереднення полiв термодинамiчних величин. Показано, зокрема, що осередненi рiвняння теплопровiдностi, виведенi окремо для кожної фази, враховують один i той самий вектор осередненого потоку тепла для двофазного середовища в цiлому. Розроблено новий метод обчислення ефективного коефiцiєнта теплопровiдностi, який характеризує стацiонарний макроперенос тепла, i показана достовiрнiсть цього методу на досить простому прикладi теплопровiдностi двофазного середовища з регулярною структурою. The problems of construction of the average differential equation for the heat transport, and a derivation of the effective heat conduction coefficient for a two-phase medium are discussed. The Generalized-Function theory and the probabilistic method of averaging of the thermodynamic fields are used for rigorous derivation of average equation for the heat conduction. In particular, it is demonstrated that the average equation for the heat conduction for each separate phase includes the same vector of averaged flow as the vector of averaged flow corresponding to the two-phase medium. A novel method for calculation of the effective heat conduction coefficient for the stationary macrotransfer of heat is developed. A reliability of the proposed method is demonstrated in terms of an elementary heat conduction of the two-phase medium with a regular structure. 2007 Article До питання про теплопровiднiсть двофазного середовища / С.I. Крiль, В.П. Берман // Прикладна гідромеханіка. — 2007. — Т. 9, № 2-3. — С. 86-92. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. 1561-9087 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/4702 532.542.4 uk Інститут гідромеханіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Рассматриваются вопросы построения осредненных дифференциальных уравнений переноса тепла и определения эффективного коэффициента теплопроводности для двухфазной среды. Для строгого вывода осредненных уравнений теплопроводности используются аппарат теории обобщенных функций и вероятностный метод осреднения полей термодинамических величин. Показано, в частности, что осредненные уравнения теплопроводности, составленные для каждой фазы в отдельности, учитывают один и тот же вектор осредненного потока тепла для двухфазной среды в целом. Разработан новый метод вычисления эффективного коэффициента теплопроводности, характеризующего стационарный макроперенос тепла, и показана достоверность этого метода на простейшем примере теплопроводности двухфазной среды с регулярной структурой. |
| format |
Article |
| author |
Кріль, С.І. Берман, В.П. |
| spellingShingle |
Кріль, С.І. Берман, В.П. До питання про теплопровiднiсть двофазного середовища |
| author_facet |
Кріль, С.І. Берман, В.П. |
| author_sort |
Кріль, С.І. |
| title |
До питання про теплопровiднiсть двофазного середовища |
| title_short |
До питання про теплопровiднiсть двофазного середовища |
| title_full |
До питання про теплопровiднiсть двофазного середовища |
| title_fullStr |
До питання про теплопровiднiсть двофазного середовища |
| title_full_unstemmed |
До питання про теплопровiднiсть двофазного середовища |
| title_sort |
до питання про теплопровiднiсть двофазного середовища |
| publisher |
Інститут гідромеханіки НАН України |
| publishDate |
2007 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/4702 |
| citation_txt |
До питання про теплопровiднiсть двофазного середовища / С.I. Крiль, В.П. Берман // Прикладна гідромеханіка. — 2007. — Т. 9, № 2-3. — С. 86-92. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. |
| work_keys_str_mv |
AT krílʹsí dopitannâproteploprovidnistʹdvofaznogoseredoviŝa AT bermanvp dopitannâproteploprovidnistʹdvofaznogoseredoviŝa |
| first_indexed |
2025-07-02T07:55:54Z |
| last_indexed |
2025-07-02T07:55:54Z |
| _version_ |
1836521048277778432 |
| fulltext |
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2007. Том 9, N 2-3. С. 86 – 92
УДК 532.542.4
ДО ПИТАННЯ ПРО ТЕПЛОПРОВIДНIСТЬ ДВОФАЗНОГО
СЕРЕДОВИЩА
С. I. К Р IЛ Ь, В. П. БЕ РМ АН
Iнститут гiдромеханiки НАН України, Київ
Одержано 23.04.2007
Розглядаються питання побудови осереднених диференцiальних рiвнянь переносу тепла i визначення ефективного
коефiцiєнта теплопровiдностi для двофазного середовища. Для точного виводу осереднених рiвнянь теплопровiдно-
стi використовуються апарат теорiї узагальнених функцiй i iмовiрнiсний метод осереднення полiв термодинамiчних
величин. Показано, зокрема, що осередненi рiвняння теплопровiдностi, виведенi окремо для кожної фази, врахову-
ють один i той самий вектор осередненого потоку тепла для двофазного середовища в цiлому. Розроблено новий
метод обчислення ефективного коефiцiєнта теплопровiдностi, який характеризує стацiонарний макроперенос тепла,
i показана достовiрнiсть цього методу на досить простому прикладi теплопровiдностi двофазного середовища з
регулярною структурою.
Рассматриваются вопросы построения осредненных дифференциальных уравнений переноса тепла и определения
эффективного коэффициента теплопроводности для двухфазной среды. Для строгого вывода осредненных уравне-
ний теплопроводности используются аппарат теории обобщенных функций и вероятностный метод осреднения полей
термодинамических величин. Показано, в частности, что осредненные уравнения теплопроводности, составленные
для каждой фазы в отдельности, учитывают один и тот же вектор осредненного потока тепла для двухфазной среды
в целом. Разработан новый метод вычисления эффективного коэффициента теплопроводности, характеризующего
стационарный макроперенос тепла, и показана достоверность этого метода на простейшем примере теплопроводно-
сти двухфазной среды с регулярной структурой.
The problems of construction of the average differential equation for the heat transport, and a derivation of the effective
heat conduction coefficient for a two-phase medium are discussed. The Generalized-Function theory and the probabili-
stic method of averaging of the thermodynamic fields are used for rigorous derivation of average equation for the heat
conduction. In particular, it is demonstrated that the average equation for the heat conduction for each separate phase
includes the same vector of averaged flow as the vector of averaged flow corresponding to the two-phase medium. A novel
method for calculation of the effective heat conduction coefficient for the stationary macrotransfer of heat is developed. A
reliability of the proposed method is demonstrated in terms of an elementary heat conduction of the two-phase medium
with a regular structure.
ВВЕДЕНИЕ
Теоретичному дослiдженню теплопровiдностi
двофазного (або двокомпонентного) середовища,
складовi якого характеризуються своїми теплови-
ми властивостями, присвячено багато робiт, огляд
яких зроблено, зокрема, в [1]. В них розглядаються
зазвичай два основнi питання: побудова осередне-
них балансових рiвнянь тепла i обчислення ефек-
тивного коефiцiєнта теплопровiдностi для двофа-
зного середовища.
В теорiї теплопровiдностi двофазного середови-
ща широко використовуються два методи побудо-
ви осереднених диференцiальних рiвнянь тепло-
провiдностi: феноменологiчний i метод просторо-
вого осереднення. У феноменологiчнiй моделi ко-
жна фаза середовища уподiбнюється з вiдповiд-
ним суцiльним середовищем, фiзичнi характери-
стики стану i руху якого є неперервними в усiй
областi, заповненiй двофазним середовищем. Для
цього роблять припущення, що лiнiйний масштаб l
внутрiшньої структури середовища набагато мен-
ший так званого зовнiшнього лiнiйного масштабу
L, на якому суттєво змiнюються глобальнi ”макро-
скопiчнi” характеристики переносу тепла. Уявле-
ння про суцiльнiсть фаз дозволяє формально за-
писати диференцiальнi рiвняння теплопровiдностi
для кожної фази з урахуванням мiжфазного те-
плообмiну.
Метод просторового осереднення дозволяє здiй-
снити перехiд вiд дискретностi фаз до континуу-
му шляхом осереднення характеристик фаз по еле-
ментарному фiзичному об’єму, до центра мас яко-
го вiдносяться осередненi величини. Характерний
розмiр об’єму осереднення l′ вважається малим по-
рiвняно з лiнiйним зовнiшнiм масштабом L i вели-
ким порiвняно з масштабом внутрiшньої структу-
ри l [2, 3]. З метою надiйного просторового осере-
днення припускається, що в елементарному об’ємi
мiститься досить велика кiлькiсть частинок даної
фази, аби в сукупностi їх можна було б вважати
суцiльним середовищем.
Таким чином, феноменологiчна модель i метод
просторового осереднення накладають певнi обме-
ження на спiввiдношення внутрiшнього i зовнi-
шнього лiнiйних масштабiв для двофазного сере-
довища, а отже, i на область застосування осере-
днених балансових рiвнянь тепла.
86 c© С.I. Крiль, В.П. Берман, 2007
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2007. Том 9, N 2-3. С. 86 – 92
Слiд вiдмiтити роботу [4], в якiй використову-
ється для виводу рiвнянь збереження тепла апа-
рат осереднення по ансамблю логiчно можливих
станiв двофазного середовища. При цьому споча-
тку формально записуються ”мiкроскопiчнi” ди-
ференцiальнi рiвняння теплопровiдностi, справе-
дливi всерединi кожної iз фаз, а потiм цi рiвняння
осереднюються по ансамблю. Тут зауважимо, що
мiкроскопiчнi рiвняння теплопровiдностi для ко-
жної фази треба вiднести до всiєї областi двофа-
зного середовища i вважати, що всерединi даної
фази температура приймає певнi ненульовi значе-
ння, якi задовольняють диференцiальним рiвня-
нням теплопровiдностi, тодi як за межами фази
температура дорiвнює нулю. В такому разi при
розглядi кожної фази окремо температура зазнає
розриви неперервностi на поверхнях роздiлу фаз i
її частиннi похiднi по просторових координатах i
часi є узагальненими функцiями. Ця обставина не
враховується в [4].
Ефективна теплопровiднiсть двофазного сере-
довища (суспензiї) теоретично вивчена, зокрема, в
роботах [1, 5, 6], в яких одержано вирази для ефе-
ктивних коефiцiєнтiв стацiонарного макроперено-
су тепла на випадок сферичних i елiпсовидних ча-
стинок твердої фази. При цьому в [1] реальнi збу-
рення температури, якi утворюються будь-якою
однiєю твердою частинкою, замiнюються збурен-
ням вiд точкового диполю, який розташований в
центрi цiєї частинки, а в [5] додатково розв’язу-
ється задача про температуру усерединi пробної
твердої частинки. В кiнцевому результатi одержа-
но квадратне алгебраїчне рiвняння, розв’язок яко-
го дає досить складний вираз для безрозмiрного
ефективного коефiцiєнта теплопровiдностi.
Для розробки узагальнених i точних методiв по-
будови осереднених рiвнянь балансу тепла i об-
числення ефективного коефiцiєнта теплопровiдно-
стi двофазного середовища нижче використовую-
ться iмовiрнiсний метод осереднення полiв термо-
динамiчних величин i апарат теорiї узагальнених
функцiй. Iмовiрнiсний метод осереднення, як вiдо-
мо, володiє бiльш простими властивостями i бiльш
унiверсальний за своєю природою нiж просторо-
вий i часовий методи осереднення. Перевага його,
зокрема, над методом просторового осереднення
полягає в тому, що вiн не пов’язаний з внутрiшнiм
i зовнiшнiм лiнiйними масштабами двофазного се-
редовища i тому не накладає будь-яких обмежень
на область використання осереднених по iмовiрно-
стi рiвнянь збереження.
Основнi принципи iмовiрнiсного осереднення в
гiдродинамiцi двофазного середовища описанi в
[7], тому при побудовi осереднених балансових рiв-
нянь тепла детальна процедура iмовiрнiсного осе-
реднення нижче пропускається.
1. ОСЕРЕДНЕНI РIВНЯННЯ
ТЕПЛОПРОВIДНОСТI
Позначимо через ϕ∗
1, ϕ∗
2 i ϕ – будь-якi одно-
йменнi характеристики рiдинної, твердої фаз i дво-
фазного середовища. Припускається, що функцiї
ϕ∗
1 i ϕ∗
2 визначенi лише в областi своєї фази, де во-
ни однозначнi i неперервнi разом зi своїми частин-
ними похiдними за просторовими координатами i
часом. Цi функцiї будемо називати власними хара-
ктеристиками вiдповiдних фаз. Функцiя ϕ визна-
чена в усiй областi потоку, дорiвнює ϕ∗
1 усерединi
рiдинної i ϕ∗
2 – усерединi твердої фази.
Розглянемо функцiю
ϕm = Cmϕ, (1)
де iндекс m = 1 вiдноситься до рiдинної, а m = 2 –
до твердої фази; Cm – iндикатор m-ої фази, тобто
функцiя, яка визначена в усiй областi двофазного
середовища, приймає значення одиницi усерединi
m-ої фази i значення нуль поза нею. Очевидно, що
∑
m
Cm = 1, (2)
отож,
∑
m
ϕm = ϕ. (3)
Функцiя ϕm, як зрiз характеристики ϕ по обла-
стi m-ої фази, визначена в усiй областi двофазно-
го середовища, дорiвнює ϕ∗
m в точках m-ої фази i
нулю в точках, якi не належать m-iй фазi. Оскiль-
ки функцiя ϕm зазнає розриву неперервностi на
поверхнях роздiлу фаз, якi в сукупностi позначи-
мо символом S, частиннi похiднi цiєї функцiї по
просторових координатах i часi є узагальненими
функцiями в смислi функцiоналiв i визначаються
iнакше, нiж частиннi похiднi в класичному мате-
матичному аналiзi. Так, частиннi похiднi функцiї
ϕm по координатi xk (k = 1, 2, 3) i часi t в даному
випадку визначаються за вiдповiдними формула-
ми [8]
∇kϕm = {∇kϕm} + [ϕm]snm,kδs, (4)
∂ϕm
∂t
=
{
∂ϕm
∂t
}
+
∑
i
[ϕm]tiδ(t − ti), (5)
де ∇k – оператор
∂
∂xk
; {∇kϕm} i
{
∂ϕm
∂t
}
– ча-
стиннi похiднi як звичайнi функцiї, якi дорiвню-
ють вiдповiдно ∇kϕ∗
m i ∂ϕ∗
m/∂t в областi m-ої фа-
зи i нулю поза нею; [ϕm]s – стрибок функцiї ϕm
С.I. Крiль, В.П. Берман 87
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2007. Том 9, N 2-3. С. 86 – 92
при переходi в даний момент часу через поверхню
роздiлу фаз ззовнi у середину областi своєї фа-
зи; [ϕm]ti – стрибок функцiї ϕm в момент часу ti
(i = 1, 2...), в якому вона зазнає розриву неперерв-
ностi, [ϕm]ti = ϕm(ti+0)−ϕm(ti−0); nm,k – проекцiя
зовнiшнього по вiдношенню до m-ої фази орта нор-
малi до поверхнi S на вiсь Oxk; δs – сингулярний
функцiонал, зосереджений на поверхнi S; δ(t−ti) –
функцiя Дiрака.
Оскiльки будь-яка характеристика m-ої фази
ϕm визначена в усiй областi потоку суспензiї, дану
фазу будемо розглядати як псевдосуцiльне середо-
вище, тобто як деяке суцiльне середовище з роз-
ривними характеристиками. Окрiм цього, хара-
ктеристики типу ϕm повиннi задовольняти дифе-
ренцiйним рiвнянням збереження, зокрема дифе-
ренцiйному рiвнянню притоку тепла, та належним
початково-крайовим умовам. Тому вихiдне неосе-
реднене диференцiальне рiвняння притоку тепла
для m-фази можна записати аналогiчно, як i для
звичайного однофазного середовища, але за умо-
ви, що усi частиннi похiднi вiд розривних характе-
ристик в цих рiвняннях – узагальненi функцiї.
Для найпростiшого випадку неiзотермiчного ру-
ху нестисливого суцiльного середовища, коли iн-
тенсивнiсть роботи внутрiшнiх сил несуттєва i ма-
сообмiн вiдсутнiй, вихiднi диференцiальнi рiвнян-
ня притоку тепла для m-ої фази можна записати у
виглядi, аналогiчно записаному для однофазного
суцiльного середовища [9]:
∂ρmUm
∂t
+ ∇kρmUmVm,k = −∇kqm,k, (6)
де ρm i Um – густина i внутрiшня енергiя одиницi
маси m-ої фази; Vm,k i qm,k – компоненти векто-
рiв швидкостi руху m-ої фази i потоку тепла че-
рез одиницю поверхнi, зумовленого молекулярною
теплопровiднiстю вiдповiдної фази.
В рiвняннi (6), як i в наступних, по iндексу k,
який двiчi повторюється в одночленному виразi,
проводиться пiдсумовування вiд одиницi до трьох.
Зауважимо, що у лiвiй частинi рiвняння (6) ча-
стиннi похiднi як узагальненi функцiї можна за-
мiнити на вiдповiднi частиннi похiднi як звичайнi
функцiї, оскiльки ця частина рiвняння є iнварiан-
тною при переходi вiд звичайних до узагальнених
функцiй [10]. Що стосується виразу у правiй ча-
стинi рiвняння (6), то можна написати, згiдно з
(4),
−∇kqm,k = −{∇kqm,k} + (q∗m,k)snm,kδs, (7)
при цьому ураховано, що [qm,k]s = −(q∗m,k)s, де
(q∗m,k)s – значення функцiї qm,k на поверхнi роздi-
лу фаз.
Отже рiвняння (6) можна переписати у виглядi
{
∂ρmUm
∂t
}
+ {∇kρmUmVm,k} = (8)
= −{∇kqm,k} + (q∗m,k)snm,kδs.
Осереднимо рiвняння (8) по iмовiрностi за пра-
вилами осереднення, викладеними в [7], урахову-
ючи при цьому комутативнiсть операцiй осередне-
ння i диференцiювання. В результатi будемо мати
∂ρ̄m < Um >
∂t
+ ∇kρ̄m < UmVm,k >= (9)
= −C̄m∇k < qm,k > +(q∗m,k)snm,kδs,
де прямою рискою зверху позначенi безумовнi се-
редньостатистичнi величини, а кутовою дужкою –
умовнi середньостатистичнi величини за умови,
що дана точка двофазного середовища в даний
момент часу знаходиться в областi m-ої фази. Ве-
личина C̄m – локальна концентрацiя m-ої фази в
смислi iмовiрностi того, що дана точка буде нале-
жати областi m-ої фази; ρ̄m – середньостатистична
густина m-ої фази,
ρ̄m = C̄mρ∗m,
де ρ∗m є власна густина m-ої фази.
Витлумачимо фiзичний смисл величини
(q∗m,k)snm,kδs, яку позначимо через Q̄m:
(q∗m,k)snm,kδs = Q̄m. (10)
Оскiльки на поверхнi роздiлу фаз виконується
умова Q̄1 + Q̄2 = 0, маємо Q̄1 = −Q̄2. Отже, ве-
личина Q̄m є не що iнше, як iнтенсивнiсть мiж-
фазного теплообмiну в одиницi об’єму двофазного
середовища.
В [10] вiдзначено, що у випадку неперервного
потоку тепла виконуються рiвностi
< q1,k >= q̄k, < q2,k >=< q1,k >, (11)
тому осередненi рiвняння притоку тепла для рi-
динної i твердої фаз повиннi ураховувати лише
один вектор осередненого потоку тепла < q1,k >,
який, згiдно с (11), по смислу є вектором осере-
дненого потоку тепла двофазного середовища. В
даному разi закон теплопровiдностi Фур’є для рi-
динної фази має вигляд
< q1,k >= −λ∇k < T ∗
1 >, (12)
де λ – ефективний коефiцiєнт теплопровiдностi рi-
динної фази.
88 С.I. Крiль, В.П. Берман
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2007. Том 9, N 2-3. С. 86 – 92
Перетворимо балансове рiвняння (9) до рiв-
няння теплопровiдностi. Для цього використає-
мо, окрiм позначення (10) i виразу (12), вираз
< Um >= εm < Tm >, де εm i < Tm > – тепло-
ємнiсть i середньостатистична температура m-ої
фази. З урахуванням вищезазначених виразiв рiв-
няння (9) набуває вигляду
∂ρ̄mεm < Tm >
∂t
+ ∇kρ̄mεm < TmVm,k >=
= C̄m∇k(λ∇k < T ∗
1 >) + Q̄m, (13)
(m = 1, 2).
Осередненi рiвняння (13) описують молекулярну
теплопровiднiсть кожної фази як деякого конти-
нууму у статистичному смислi.
Тепер задача полягає у тому, щоб визначити
ефективний коефiцiєнт теплопровiдностi λ, який
залежить не лише вiд власних коефiцiєнтiв тепло-
провiдностi вiдповiдних фаз λ1 i λ2, а й вiд стру-
ктури двофазного середовища: концентрацiї, фор-
ми i орiєнтацiї твердих частинок тощо.
2. ЕФЕКТИВНИЙ КОЕФIЦIЄНТ
ТЕПЛОПРОВIДНОСТI
Пропонується метод визначення коефiцiєнта λ з
використанням рiвнянь (11).
Будемо вважати, заради простоти, що двофазне
середовище нерухоме, температурне поле його ста-
цiонарне, мiжфазний теплообмiн вiдсутнiй. На по-
верхнi роздiлу фаз виконуються умови
T ∗
1 = T ∗
2 , (14)
q∗1,k = q∗2,k. (15)
Окрiм цього, будемо вважати також, що частинки
твердої фази розподiленi практично рiвномiрно у
всiй областi двофазного середовища, що дозволяє
замiнити, згiдно з гiпотезою про ергодичнiсть, iмо-
вiрностнi середнi величини на вiдповiднi їм про-
сторовi середнi величини.
У випадку, що розглядається, осереднене ди-
ференцiйне рiвняння теплопровiдностi двофазно-
го середовища має вигляд
−λ∇kT̄ = q̄k = const, (16)
де T̄ i q̄k – осередненi температура i потiк тепла
двофазного середовища.
Оскiльки осередненi потоки тепла в обидвох фа-
зах однаковi i виконуються рiвностi (11), констан-
ту у правiй частинi рiвняння (16) замiнимо на
−λ1∇k < T ∗
1 >, тобто
const = −λ1∇k < T ∗
1 > . (17)
Далi, ураховуючи, що ефективний коефiцiєнт те-
плопровiдностi λ пов’язаний з градiєнтом темпера-
тури рiдинної фази, вираз у лiвiй частинi рiвняння
(16) треба переписати у виглядi
−λ∇kT̄ = −λ∇kT1, (18)
де T1 = C1T – температура рiдинної фази як псев-
досуцiльного середовища. Величина T1 дорiвнює
власнiй температурi рiдинної фази T ∗
1 в областi
цiєї фази, i нулю за її межами, тому осереднений
градiєнт ∇kT1 – узагальнена функцiя
∇kT1 = (1 − C̄2)∇k < T ∗
1 > −(T ∗
1 )sn1,kδs, (19)
де C̄2 – концентрацiя твердої фази. Пiдставивши
(17) i (18) в (16), будемо мати, з урахуванням (19),
λ[(1 − C̄2)∇k <T ∗
1 >−(T ∗
1 )sn1,kδs]= (20)
=λ1∇k <T ∗
1 >.
Оскiльки у випадку рiвномiрного розподiлу ча-
стинок твердої фази в усiй областi двофазно-
го середовища iмовiрнiсне середнє можна замiни-
ти на середнє по деякому об’єму V , функцiонал
(T ∗
1 )sn1,kδs, який входить в (20), дорiвнює
(T ∗
1
)sn1,kδs =
1
V
∫
SV
(T ∗
1 )sn1,kdSV , (21)
де SV – мiжфазна поверхня всерединi об’єму V .
Отже, для визначення коефiцiєнта λ на пiдставi
рiвностi (20), потрiбно додатково розв’язати зада-
чу щодо закону розподiлу температури T ∗
1 на мiж-
фазнiй поверхнi i обчислити функцiонал (21). Тодi
рiвняння (20) набуває вигляду
λF (λ1, λ2, C̄2)∇k < T ∗
1 >= λ1∇k < T ∗
1 >, (22)
де F – функцiя параметрiв λ1, λ2 i C̄2, вигляд якої
залежить вiд структури двофазного середовища.
На пiдставi рiвняння (22) одержуємо вираз для
λ:
λ =
λ1
F (λ1, λ2, C̄2)
. (23)
Для наочностi визначимо ефективний коефiцi-
єнт теплопровiдностi λ для досить простого ви-
падку двофазного середовища з регулярною стру-
ктурою, яке складається iз перiодично розмiще-
них необмежених плоских вертикальних твердих
стiнок, простiр мiж якими заповнений рiдиною
(рис. 1). Припускається, що твердi стiнки розмi-
щенi на вiдстанi l1 одна вiд одної, їх товщина до-
рiвнює l2. Власнi коефiцiєнти теплопровiдностi рi-
динної i твердої фаз дорiвнюють λ1 i λ2 вiдповiд-
но. Потiк тепла q спрямований перпендикулярно
до пластин.
С.I. Крiль, В.П. Берман 89
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2007. Том 9, N 2-3. С. 86 – 92
Рис. 1. Схема двофазного середовища з регулярною
структурою
У даному випадку маємо справу з одномiрною
задачею, так що
∇kT1 =
dT1
dx
=
dT ∗
1
dx
+
n
∑
i=1
[T1]iδ(x − xi), (24)
де xi – координати точок, в яких функцiя T1 тер-
пить розрив неперервностi; [T1]i – стрибок функцiї
T1 в точцi xi при переходi через цю точку справа
налiво, тобто
[T1]i = T1(xi + 0) − T1(xi − 0).
Осереднивши рiвняння (24) по довжинi L >> l2,
будемо мати
∇kT1 =
dT1
dx
= (1− C̄)
d < T ∗
1 >
dx
+
1
L
n
∑
i=1
[T1]i, (25)
де n – кiлькiсть точок розриву неперервностi
функцiї T1 на довжинi осереднення L; C̄ =
= nl2/(2L) – лiнiйна концентрацiя твердої фази;
риска зверху означає середнє значення по усiй дов-
жинi L, а кутова функцiя – середнє значення в
межах l1.
Для даної одномiрної задачi рiвняння (20) мо-
жна переписати з урахуванням (25) у виглядi
λ
[
(1−C̄)
d<T ∗
1 >
dx
+
1
L
n
∑
i=1
[T1]i
]
= (26)
= λ1
d<T ∗
1 >
dx
.
Тепер потрiбно визначити стрибки [T1]i у вiд-
повiдних точках xi i суму цих стрибкiв. Для цього
використаємо розв’язки неосереднених диференцi-
альних рiвнянь
−λ1
dT ∗
1
dx
= q1 = const, (27)
−λ2
dT ∗
2
dx
= q2 = const, (28)
q1 = q2;
в областях рiдинної i твердої фаз вiдповiдно. За-
гальнi розв’язки цих рiвнянь мають вигляд
T ∗
1 = −
q1
λ1
x + B0 при 0 ≤ x ≤ x1;
T ∗
2 = −
q2
λ2
x + B1 при x1 ≤ x ≤ x2;
T ∗
1 = −
q1
λ1
x + B2 при x2 ≤ x ≤ x3;
T ∗
2 = −
q2
λ2
x + B3 при x3 ≤ x ≤ x4;
· · · · · · ··
T ∗
1 = −
q1
λ1
x + Bm при xm ≤ x ≤ xm+1.
Константа iнтегрування визначається за умови,
що T ∗
1 = T ∗
0 при x = 0, а константи B2, B3,...,
Bm – на пiдставi умов T ∗
1 = T ∗
2 i q1 = q2 у точках
x1, x2,..., xm.
У результатi знаходження часткових розв’язкiв
диференцiйних рiвнянь (27) i (28) одержанi насту-
пнi вирази для стрибкiв [T1]1, [T1]2, ..., [T1]m:
[T1]1 =
q1
λ1
x1 + T0,
[T1]2 = −
q1
λ2
x1 +
(
λ1 − λ2
λ1λ2
)
q1l1 + T0,
[T1]3 = −
q1
λ1
x1 −
(
λ1 − λ2
λ1λ2
)
q1l2 − T0,
· · · · · · ··
[T1]m =
[
−
q1
λ2
xm +
(
λ1 − λ2
λ1λ2
)
q1
ml2
2
+ T0
]
(−1)m.
Легко переконатися у тому, що сума усiх цих
стрибкiв дорiвнює:
m
∑
i=1
[T1]i =
ml2
2λ2
q1 =
ml2
2
λ1
λ2
dT ∗
1
dx
. (29)
Пiдставивши вираз (29) в (26) i потiм виконавши
елементарнi перетворення, будемо мати:
λ
[
1+
(
λ1
λ2
−1
)
C̄
]
d<T ∗
1 >
dx
= λ1
d<T ∗
1 >
dx
. (30)
90 С.I. Крiль, В.П. Берман
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2007. Том 9, N 2-3. С. 86 – 92
Рис. 2. Графiки залежностi величини λ/λ1 вiд
концентрацiї C̄ :
1 – λ1
λ2
=0.5; 2 – λ1
λ2
=1; 3 – λ1
λ2
=2
Звiдси одержуємо:
λ =
λ1
1 +
(
λ1
λ2
− 1
)
C̄
,
або, у безрозмiрному виглядi,
λ
λ1
=
1
1 +
(
λ1
λ2
− 1
)
C̄
. (31)
Iз формули (31) випливає, що, по-перше, λ = λ1
при виконаннi однiєї iз умов C̄ = 0 або λ2 = λ1,
i, по-друге, λ = λ2 при C̄ = 1. У випадку, коли
λ1 = 0 або λ2 = 0, величина λ = 0, тобто у цьо-
му випадку теплопровiднiсть даного двофазного
середовища вiдсутня. Усе це свiдчить про досто-
вiрнiсть формули (31).
На рис. 2 наведенi, для прикладу, розрахунковi
кривi залежностi величини λ/λ1 вiд концентрацiї
C̄ для рiзних значень параметра λ1/λ2: 0.5, 1 i 2.
Слiд вiдзначити, що оскiльки ефективна те-
плопровiднiсть вiдноситься до градiєнта середньої
температури рiдинної фази d < T ∗
1 > /dx, темпе-
ратура < T ∗
1 > вiдiграє роль осередненої темпе-
ратури двофазного середовища i визначається за
формулою
< T ∗
1 >=
q
λ
x + T ∗
0 , (32)
де q i T ∗
0 – заданi сталi величини.
На рис. 3 схематично зображенi графiки розпо-
дiлу температури для рiзних часткових випадкiв.
Прямi 1 i 2 вiдносяться до крайнiх випадкiв, ко-
ли концентрацiя C̄ = 0 i C̄ = 1 вiдповiдно. Штри-
хова пряма 3 вiдповiдає формулi (32) при λ1 < λ2
Рис. 3. Графiки розподiлу температури:
1 – C̄ = 0; 2 – C̄ = 1; 3 – λ1 < λ2, 0 < C̄ < 1;
4 – iстинний розподiл при λ1 < λ2
i 0 < C̄ < 1, а ламана лiнiя 4 – iстинний розподiл
температури, який вiдповiдає точним розв’язкам
неосереднених диференцiальних рiвнянь (27) i (28)
в областях рiдинної i твердої фаз вiдповiдно. Ви-
дно, що пряма лiнiя 3 є не що iнше, як осереднена
ламана лiнiя.
ВИСНОВКИ
Використання апарату теорiї узагальнених фун-
кцiй i iмовiрнiсного методу осереднення термоди-
намiчних величин двофазного середовища дозво-
ляє коректно побудувати осередненi диференцi-
альнi рiвняння гiдротермодинамiки для цього се-
редовища.
Основнi переваги такого методу побудови осере-
днених диференцiальних рiвнянь теплопровiдно-
стi над методом просторово-часового осереднення
полягають у тому, що вiн дозволяє: безпосередньо
записати вихiднi диференцiальнi рiвняння прито-
ку тепла для кожної iз фаз, незважаючи на те, що
термодинамiчнi характеристики фаз є розривни-
ми функцiями просторових координат i часу; не
робити будь-яких обмежень щодо спiввiдношення
розмiрiв частинок твердої фази та характерного
розмiру областi, заповненої двофазним середови-
щем.
Розроблено новий метод визначення ефективно-
го коефiцiєнта теплопровiдностi двофазної сумiшi,
який проiлюстровано на простому прикладi дво-
фазного середовища з регулярною структурою.
С.I. Крiль, В.П. Берман 91
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2007. Том 9, N 2-3. С. 86 – 92
1. Буевич Ю.А. Об эффективной теплопроводности
зернистых материалов // ПМТФ.– 1973.– N4.–
С. 57–66.
2. Буевич Ю.А., Корнеев Ю.А. О переносе тепла и
массы в дисперсной среде // ПМТФ.– 1974.– N4.–
С. 79–87.
3. Нигматулин Р.И. Основы механики гетерогенних
серед.– М.: Наука, 1978.– 336 с.
4. Буевич Ю.А., Корнеев Ю.А., Щелчкова И.Н. О
переносе тепла или массы в дисперсной потоке //
Инж.-физ. журнал.– 1976.– N6.– С. 979–985.
5. Буевич Ю.А., Корнеев Ю.А. Эффективная тепло-
проводность дисперсной среды при малых числах
Пекле // Инж.-физ. журнал.– 1976.– N4.– С. 607–
612.
6. Щелчкова И.Н. Эффективная теплопроводность
гетерогенной среды с эллипсоидальными частица-
ми // ПМТФ.– 1974.– N1.– С. 107–111.
7. Криль С.И. Напорные взвесенесущие потоки.– К.:
Наукова думка, 1990.– 160 с.
8. Владимиров В.С. Уравнения математической
физики.– М.: Наука, 1967.– 436 с.
9. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика,
VI. Гидромеханика.– М.: Наука, 1986.– 730 с.
10. Криль С.И., Берман В.П. Уравнения турбу-
лентного течения газовзвесей // Прикладна
гiдромеханiка.– 1999.– 1(73), N1.– С. 26–34.
92 С.I. Крiль, В.П. Берман
|