Про перехід від моделі до натурного тіла при фотопружному моделюванні задач механіки ортотропних тіл

Пропонується спосіб перерахування динамічних напружень із фотопружної моделі на натурне тіло в плоских задачах механіки ортотропних тіл. Для оцінки способу проводиться перерахування напружень у задачі, що має теоретичний розв’язок....

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2004
Автори:	Малежик, М.П., Зубов, В.І.
Формат:	Стаття
Мова:	Ukrainian
Опубліковано:	Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України 2004
Назва видання:	Проблемы прочности
Теми:	Научно-технический раздел
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/47103
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Про перехід від моделі до натурного тіла при фотопружному моделюванні задач механіки ортотропних тіл / М.П. Малежик, В.І. Зубов // Проблемы прочности. — 2004. — № 4. — С. 94-101. — Бібліогр.: 6 назв. — укр.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-47103
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-471032013-07-09T21:25:22Z Про перехід від моделі до натурного тіла при фотопружному моделюванні задач механіки ортотропних тіл Малежик, М.П. Зубов, В.І. Научно-технический раздел Пропонується спосіб перерахування динамічних напружень із фотопружної моделі на натурне тіло в плоских задачах механіки ортотропних тіл. Для оцінки способу проводиться перерахування напружень у задачі, що має теоретичний розв’язок. Предлагается способ пересчета динамических напряжений с фотоупругой модели на натурное тело в плоских задачах механики ортотропных тел. Для оценки способа проводится пересчет напряжений в задаче, имеющей теоретическое решение. We propose a technique for re-calculation of dynamic stresses obtained on a photoelastic model as applied to a full-scale object within framework of plane problems of the mechanics of orthotropic solids. For the method verification we perform re-calculation of stresses for a problem with available theoretical exact solution. 2004 Article Про перехід від моделі до натурного тіла при фотопружному моделюванні задач механіки ортотропних тіл / М.П. Малежик, В.І. Зубов // Проблемы прочности. — 2004. — № 4. — С. 94-101. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. 0556-171X http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/47103 539.4:620.17 uk Проблемы прочности Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
topic	Научно-технический раздел Научно-технический раздел
spellingShingle	Научно-технический раздел Научно-технический раздел Малежик, М.П. Зубов, В.І. Про перехід від моделі до натурного тіла при фотопружному моделюванні задач механіки ортотропних тіл Проблемы прочности
description	Пропонується спосіб перерахування динамічних напружень із фотопружної моделі на натурне тіло в плоских задачах механіки ортотропних тіл. Для оцінки способу проводиться перерахування напружень у задачі, що має теоретичний розв’язок.
format	Article
author	Малежик, М.П. Зубов, В.І.
author_facet	Малежик, М.П. Зубов, В.І.
author_sort	Малежик, М.П.
title	Про перехід від моделі до натурного тіла при фотопружному моделюванні задач механіки ортотропних тіл
title_short	Про перехід від моделі до натурного тіла при фотопружному моделюванні задач механіки ортотропних тіл
title_full	Про перехід від моделі до натурного тіла при фотопружному моделюванні задач механіки ортотропних тіл
title_fullStr	Про перехід від моделі до натурного тіла при фотопружному моделюванні задач механіки ортотропних тіл
title_full_unstemmed	Про перехід від моделі до натурного тіла при фотопружному моделюванні задач механіки ортотропних тіл
title_sort	про перехід від моделі до натурного тіла при фотопружному моделюванні задач механіки ортотропних тіл
publisher	Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України
publishDate	2004
topic_facet	Научно-технический раздел
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/47103
citation_txt	Про перехід від моделі до натурного тіла при фотопружному моделюванні задач механіки ортотропних тіл / М.П. Малежик, В.І. Зубов // Проблемы прочности. — 2004. — № 4. — С. 94-101. — Бібліогр.: 6 назв. — укр.
series	Проблемы прочности
work_keys_str_mv	AT maležikmp properehídvídmodelídonaturnogotílaprifotopružnomumodelûvannízadačmehaníkiortotropnihtíl AT zubovví properehídvídmodelídonaturnogotílaprifotopružnomumodelûvannízadačmehaníkiortotropnihtíl
first_indexed	2025-07-04T06:45:25Z
last_indexed	2025-07-04T06:45:25Z
_version_	1836697807433498624
fulltext	УДК 539.4:620.17 Про перехід від моделі до натурного тіла при фотопружному моделюванні задач механіки ортотропних тіл М. П. М алеж ика, В. І. Зубов6 а Інститут геофізики ім. С. І. Субботіна НАН України, Київ, Україна 6 Інститут проблем міцності ім. Г. С. Писаренка НАН України, Київ, Україна Пропонується спосіб перерахування динамічних напружень із фотопружної моделі на натурне тіло в плоских задачах механіки ортотропних тіл. Для оцінки способу проводиться перерахування напружень у задачі, що має теоретичний розв’язок. Ключові слова : поляризаційно-оптичний метод, напружено-деформований стан, метод динамічної фотопружності, модель, хвиля, натурне тіло. Вступ. Поляризаційно-оптичний метод (ПО-метод) дозволяє визначити динамічний напружено-деформований стан у плоских моделях з оптично- чутливого ортотропного матеріалу [1]. У зв’язку з цим виникає питання про ефективність та доцільність застосування цього методу для розв’язування динамічних задач із наступним переходом від напружень у моделі до напру жень у деталі чи конструкції з натурного конструкційного матеріалу О тримання співвідношень для перерахування напружень із моделі на натурне тіло. Розглянемо деякі загальні принципи моделювання в методі динамічної фотопружності. При моделюванні натурного середовища та по будові моделі насамперед необхідно вибрати матеріал для моделі. У цьому випадку задаються три масштаби: р 0 = а 0/ а а 0 = І0/г0; у 0 = а \ 1 І0. Геометричний масштаб І0 і масштаб часу г0 визначаються однознач но, що призводить до ускладнення при створенні потрібного динамічного навантаження і необхідного для методу фотопружності розміру моделі. Щоб уникнути цього, потрібно довільно задавати геометричний масштаб 10 , тобто він має бути фіксованим, або, використовуючи принцип суперпозиції, дослідити окремо напружений стан середовища від дії динамічного наван таження та власної ваги моделі. Розглянемо деякі критерії подібності. Якщо (С р / а 0)н = (С р / а 0 )м по ділити на (С з / а 0)н = (С з / а 0)м , отримаємо рівність відношень швидкостей поздовжніх хвиль до швидкостей поперечних хвиль у натурному тілі та моделі: (Є р Є ( с р Є (1) Критерій подібності (1) передбачає рівність коефіцієнтів Пуассона V для натурного і модельного середовища: Vн = Vм. (2) © М. П. МАЛЕЖИК, В. І. ЗУБОВ, 2004 94 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2004, № 4 Про перехід від моделі до натурного тіла Залежність (2) справедлива для випадку, коли натурне і модельне сере довище знаходяться в однакових умовах напруженого стану. Зазначимо, що фотопружне моделювання динамічних напружень проводиться на плоских моделях, тобто в умовах плоского напруженого стану. Тоді виконання рів ності (1) призведе до умови Vм V * = ^ ■ (3) Модулі пружності матеріалів натурного тіла і моделі повинні бути зв’язані співвідношенням „ Е м(1 + 2г м) Е ■ • (4) Оскільки згідно із загальним критерієм при моделюванні деформацій [2, 3] відповідні зміщення в усіх точках змінюються пропорційно до від повідних геометричних розмірів, деформації в моделі мають бути рівними деформаціям у натурній деталі: « м = £ н- (5) Практично виконати умову (5) при моделюванні у більшості випадків не вдається, і масштаб швидкостей точок моделі доводиться вибирати на основі виразу 10 Vо = . £о, (6) 1 о де Vо - масштаб швидкості точок моделі Виразимо масштаб швидкостей V0 у вигляді V0 = и0/ ї0 , де и 0 - масштаб зміщень, і підставимо його у вираз (6): Мо 1 о І о £ або и 0 _ 10 £ 0. (7)Іо Отже, при розширеній подібності масштаб зміщень визначається не тільки геометричним масштабом, а й масштабом деформацій Складність задачі моделювання напруженого стану анізотропних тіл у значній мірі пояснюється залежністю напруженого стану від пружних ста лих [4]. Припустимо, що є два однорідних тіла, виготовлених із різних мате ріалів. Тіла знаходяться в узагальненому плоскому напруженому стані і мають однакові форму, розміри та навантаження. Розглянемо два варіанти задачі. Варіант 1. Область пластини однозв’язна і багатозв’язна, при цьому навантаження таке, що на будь-якому внутрішньому контурі X к = Ук = 0, де Х к , Ук - проекції головного вектора заданого навантаження на к-му контурі, віднесені до одиниці довжини твірної: ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2004, № 4 95 М. П. Малежик, В. I. Зубов х к = - / (7 хйу - 0 хуйхX ¥к = 1 (7 уйх - 0 хуйу )• (8) Варіант 2. Область багатозв’язна, але навантаження таке, що відмічені вище умови не виконуються. Отримаємо умови, згідно з якими повинні бути зв’язані пружні сталі Б у двох тіл, щоб напруження о х, о у , о ху були однакові. Відомо [5], що функція напружень Ері Ф у плоскій задачі теорії пружності ортотропного тіла задовольняє рівняння сумісності деформацій: д 4 Ф 22 д 4 дх ■25 д 4 Ф 26 дх Зду + (25 !2 + 5 66) д 4 Ф дх 2ду 2 д4Ф д 4 Ф '25іб — + 5 і^ т -4 - = 0 (9) дхду ду та граничні умови у напруженнях: й і дФ й5 ( ду й (дФ й5 \ дх — \ — \ = ±У (10) Для багатозв’язної області повинні виконуватися умови однозначності переміщень, які через деформації виражаються наступним чином: І ху ду 2дх йх — 'де у ду ху дх 2ду йу = 0; (11) І I е хйх + 1 У хуйу — у Ьк І 2 І ^ уйу + 2 У хуйх + х де х - дУ ху ду 2дх де х - дУ ху ду 2йх йх - йх - 'де у ду ху дх 2ду ху дх 2ду йу йу = 0; (12) = 0- (13) Виразимо в (11)-(13) деформації через напруження із закону Гука, додамо і / 5 66— —<7 уйх , а з (13)66 2 величину І ~ ^ о хйу і з урахуванням (9) отримаємо І йю 2 = 0; (14) І 12 йх + Ь Ьк к Ьк Ьк Ьк Ьк 96 І55М 0556-171Х. Проблемы прочности, 2004, № 4 Про перехід від моделі до натурного тіла + \ ^У — уЛтх \ = у к 2566; (15) І 5 5 22 0 у + І5 12 + - 2~ 0 X + 5 26 0 ху dy + + \ (16) де dю = І 11 ду до х ( Б 66 х + 1 5 12 ^ ~ 66 до у 1 до х 1 до 1 5 16 д П 5 26 ду 2 дх 2 дх dx — дх 2 дох 1 до у 1 дох__ х _ О __ ____ О __ х_ ̂ 2 5 26 2 5 16 ^дх 2 х 2 ду dy \ = 0. і к ік При виведенні рівнянь (14)-(16) на основі рівнянь рівноваги плоскої д° ху до у до ху до х задачі проводилась замша ------ н а ---------та -------- н а -------- . дх ду ду дх Поділимо ліві і праві частини рівнянь (10), (14)—(16) на одну зі сталих, наприклад Б п , і отримаємо, що при Х к = Ук = 0 напруження о х , о у , о ху залежать від чотирьох безрозмірних сталих Б 221Б 11, Б 26 І Б 11, Б 161Б 11, (2Б 1 6 + Б 66 V Б 1 1 , при Х к й Ук й 0 додається ще одна безрозмірна стала величина Б 66/ Б 11. У системі координат, суміщеній з головними напрямками ортотропії (Б 1 6 = Б 26 = 0), для збігу напружень о х , о у , о ху у випадку Х к = 0, Ук = 0 необхідно і достатньо, щоб збіглися головні напрямки обох тіл і дві без розмірні сталі Е 1 І Е 2 і Е 1 / Є 12 — 2у 1 одного тіла дорівнювали відповідним безрозмірним сталим іншого тіла. У випадку Х к й 0, Ук й 0 повинна ще додатково збігатися безрозмірна стала Е ^ Є 1 2 . Як бачимо, підібрати мате ріал для моделі за відомими значеннями пружних сталих натурного мате ріалу так, щоб виконувалися рівності вищенаведених сталих, досить важко. Вибір модельних оптично-чутливих матеріалів ще більш складний, оскільки вимоги до прозорості матеріалу обмежуються кількістю і властивостями армуючого елемента. Це обмежує варіювання величинами пружних конс тант. Розглянемо спосіб перерахунку напружень із моделі на натурне тіло, що не накладає жорстких обмежень на властивості модельних матеріалів. Вико ристаємо комплексні параметри л 1, /л2 , л1 , Л 2 [5], що характеризують анізотропію тіла і є основними величинами, від яких залежить розподіл напружень у плоских задачах ортотропної теорії пружності. Припустимо, що область моделі Б м подібна до області натурного тіла Б н, тобто всі лінійні розміри І в області Б м в порівнянні з тими ж розмірами в області Б н змінено в а раз (геометрична подібність): 0556-171Х. Проблемы прочности, 2004, № 4 97 М. П. Малежик, В. I. Зубов Ьш = аі м. (17) Окрім того, зусилля, що прикладені до контурів моделі, подібні до таких, що прикладені до контурів натурного тіла (силова подібність): Р„ О „ Я „Н ^ Н Н Г) Р = О = Я = " - = Р ' (18) Загальний вираз для напружень у плоскому ортотропному тілі має наступний вигляд [3]: 1 т = ~Н 1 12 / х О ( х у ' + ^ * ( ц ) / 2 1 т - , 7А 2 У13 1 + І 7 ' з ( Ь І (19) де Р , 2 , Я - множники, що мають розмірність сили; / 1, / 2 , / 3 - безроз мірні функції; Іі , Я і - величини, що мають розмірність довжини; р ( л ), ^ ( л ) - дійсні функції комплексних параметрів; Л - товщина. Виразимо напруження в моделях, що задовольняють умови силової і геометричної подібності по відношенню до натурного тіла, у вигляді Рі ( л , ( Х 1 У 7— Р і (Ц ) ї 1ІТ" ,Т 1і \ 11і 1 , ° і . і ч Г ( Хі У + 7 і * і (ц )72( 137 ■т Я,- ( X; ^ з( т і у , і6 і ) (20) де Т , р і (л ), ^ і (л ) - відомі величини; безрозмірні функції / 1, / 2 , / 3 мають такий же вигляд, як і в (19). З урахуванням умов геометричної (17) та силової (18) подібностей (19) запишемо у вигляді Т = Н і Р і Р ( X X Р і (ц ) V 7 Ч 7 ' 7 , О І х х + * і (ц ) - Н т , Т А2 \ 13 14 / Я і х + 1- / 33 1 5 І6 / (21) а X Р Я Я де — / 1 , - — / 2 , - — / 3 - невідомі величини у натурному тілі, що є Я1 Я 2 Я 3 складовими виразів (19). Якщо з експерименту відомі напруження Ті в трьох геометрично подіб них і в аналогічно навантажених моделях, що виготовлені з конструктивно- ортотропних матеріалів і мають різні пружні сталі, то з (21) отримаємо три Р 2 Я рівняння для визначення трьох невідомих величин: — / 1 - — / 2 , - — / 3 . Я1 Я2 Я3 Рівняння (21) запишемо для трьох моделей. Розв’язок їх відносно неві домих дає 98 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2004, № 4 Про перехід від моделі до натурного тіла р / і _ (Тік і Т2к 2) (фі ф 2) (ті к і т зк 3) (фі ф 2 ) ; ^1 (ф і _ ф 2 )(ф і _ ф 3) _ (ф і _ ф 3)( ф і _ ф 2 ) О/ 2 _ (Тік і ~ Т2к2 )(ф 1 ~ ф 3 ) ~ (Тік1 ~ Т3к 3 )(ф 1 ~ ф 2 ) . ^2 (ф і _ ф 2 )(ф і _ ф 3 ) _ (ф і _ ф 3 )(ф і _ ф 2 ) (2 2 ) (23) Я /з 7 7 = Г і * і - р і — ^ 7 7 . ( ) де = і іНі/аі - коефіцієнти, визначаються за відомими значеннями сило вої і і і геометричної а і подібності; Ті - напруження в моделях, визнача ються експериментально методом динамічної фотопружності; р г-, р і - функ ції комплексних параметрів, визначаються за відомими величинами пруж них констант для моделей. Точний вираз функцій р і (ц ), р і (ц ) для даного класу задач або кон кретної задачі невідомий. Тому ці функції будемо задавати наближено. Ана ліз відомих теоретичних розв’язків деяких задач [5] показує, що у вирази для напружень входять комбінації комплексних параметрів ц + ц 2 , Ц іЦ 2 , ц 2 + ц 2, їх добутки, а також коефіцієнти Пуассона. Запишемо функції р і (ц ), р і (ц ) у вигляді р і (ц ) = і+ і( ц і + ц 2 ) + і2( ц 2 + ц 2 ) + г' 2 ц і ц 2 + + У 2 1 2 ц і ц 2 (і — Щі — Щ 2 ) ; (25) І ! .-2, І( Л і + Л 2) ' І 2( ̂ 2 + Ц 2 Г і 2 Лі Ц 2 ' ^ і ф І(Л) _ 1 + ^ , .. Л + ,2 2 . ^ + ^2 І Л і Л 2- Слід зауважити, що вирази (25) для функцій <р І (ц ) і ф І (ц ) не єдині. Можна побудувати інші вирази, наприклад, як це зроблено в роботі [6 ]. Проведемо перерахунок динамічних напружень із моделей на натурне тіло в задачі, що має теоретичний розв’язок для випадку статичного наван таження. Пластина з центральним коловим отвором навантажена з двох країв імпульсом розтягу. Досліджувалися три моделі, що виготовлені з оптично-чутливих анізотропних матеріалів із різними механічними та оптич ними властивостями. Модель 1: Е і _ 4,30 • і0 3 МПа; Е 2 _ 6,08 - і0 3 МПа; Vі 2 _ 0,33; V2і _ _ 0,47; Є _ і ,7 9 • 103 МПа. Оптичні сталі: о ^ _ 2 5 - і 0_ і МПа • см/смуга; о ^ 2 _ 4 Т 1 0 _ 1 МПа • см/смуга; є а _ 4,95 • 10_ 4 см/смуга; ц і _ і,9і; ц 2 _ _ 0,67. Модель 2 : Е і _ 6,70 • і0 3 МПа; Е 2 _ 8,43 • і0 3 МПа; Vі 2 _ 0,3і; V2і _ _ 0,39; Є _ і,56• 103 МПа. Оптичні сталі: о ^ _ і7 • і 0_ і МПа • см/смуга; о ^ 2 _ 32•10_ 1 МПа • см/смуга; є Л _ 3,98 • 10_ 4 см/смуга; ц і _ 2,08; ц 2 _ _ 0,54. ТХОТ 0556-171Х. Проблемы прочности, 2004, N2 4 99 М. П. Малежик, В. I. Зубов Модель 3: Е 1 = 4,38■ 103 МПа; Е 2 = 6 ,40-103 МПа; V12 = 0,26; V21 = = 0,37; Є = 1,4-103 МПа. Оптичні сталі: о ^ = 12-10_ 1 МПа ■ см/смуга; о Л2 = 21-10_ 1 МПа ■ см/смуга; є л = 4,55 ■ 10_4 см/смуга; л 1 = 2,21; л 2 = = 0,57. Натурне тіло виготовлено з ортотропного матеріалу, який має наступні3 механічні характеристики: Е 1 = Е 2 = 14-10 МПа; V1 2 = v 2 1 = 0,47; Є = = 1,4-103 МПа; л 1 = 3,1; л 2 =1,1. Підставимо в формулу (25) значення комплексних параметрів і визна чимо р і (л ) та ^ (л ) для кожної моделі, а також для натурного тіла. При пустимо, що вони мають однакові геометричні розміри, а імпульсне наванта ження, прикладене до натурного тіла, удвічі більше, ніж у кожній з моделей, тобто к = 2. В таблиці наведено величини напружень для деяких точок на контурі отвору, що визначені в трьох моделях за формулами (9) та (10). Там же представлено результати перерахунку з моделі на натурне тіло з використан ням формул (19) та (22)-(24), а також значення напружень у натурній пластині, визначені за формулою Лехницького [5] для статичного розтягу Величини напружень для деяких точок на контурі отвору, визначені в трьох моделях в , град ср Т Ті Т2 Тз Т Т н за формулами (19) та (22)-(24) статичні значення [5] 0 -0,92 —0,88 -0,82 -0,35 -0,29 15 -0,65 —0,58 -0,59 -0,21 -0,20 30 0,05 0,04 -0,02 -0,15 -0,15 45 0,57 0,73 0,72 0,16 0,15 60 1,61 1,61 1,69 0,79 0,92 75 3,05 2,82 2,85 2,94 2,99 90 3,75 3,62 3,50 5,20 5,20 Висновки. Запропонований спосіб перерахування динамічних напру жень із моделі на натурне тіло дозволяє з достатньою для інженерних розрахунків точністю визначати їх в натурних деталях з ортотропних мате ріалів. Для цього необхідно знати напруження та динамічне навантаження в трьох геометрично подібних моделях. Ще одна важлива умова: динамічне навантаження моделей має бути також подібним. Щодо останньої умови, то існують певні складності у відтворенні імпульсного навантаження, якщо використовувати вибухові засоби. Найбільше ця умова задовольняється при використанні магнітно-індуктивного пристрою. Р е з ю м е Предлагается способ пересчета динамических напряжений с фотоупругой модели на натурное тело в плоских задачах механики ортотропных тел. Для 100 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2004, № 4 Про перехід від моделі до натурного тіла оценки способа проводится пересчет напряжений в задаче, имеющей теоре тическое решение. 1. Малежик М. П. Визначення динамічних напружень в конструктивно- анізотропних тілах поляризаційно-оптичним методом // Доп. НАН Украї ни. - 2002. - № 10. - С. 44 - 48. 2. Седов Л. И. Методы подобия размерности в механике. - М.: Наука, 1967. - 280 с. 3. Варданян Г. С. Основы теории подобия и анализа размерности. - М.: Изд-во МИСИ, 1977. - 121 с. 4. Журба В. Г., Мишин В. В. Определение оптических постоянных по деформациям-напряжениям при динамическом нагружении // Изв. Днепропетр. горного ин-та. - 1967. - № 48. - С. 147 - 151. 5. Лехницкий Г. С. Анизотропные пластинки. - Л.: Гостехиздат, 1957. - 300 с. 6. Нетребко В. П., Васильченко И. П. Поляризационные методы механики композиционных материалов. - М.: Изд-во Моск. ун-та, 1990. - 160 с. Поступила 28. 03. 2003 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2004, № 4 101

Про перехід від моделі до натурного тіла при фотопружному моделюванні задач механіки ортотропних тіл

Репозитарії

Схожі ресурси