Критерий локальной прочности
Предложен локальный критерий хрупкой прочности структурно-неоднородных материалов, базирующийся на масштабном эффекте механических свойств материала в условиях концентрации напряжений. Функция локальной прочности материала предполагается зависящей от масштабного параметра, представляющего собой о...
Збережено в:
| Дата: | 2004 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України
2004
|
| Назва видання: | Проблемы прочности |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/47105 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Критерий локальной прочности / С.В. Сукиев // Проблемы прочности. — 2004. — № 4. — С. 108-124. — Бібліогр.: 27 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-47105 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-471052013-07-09T21:29:03Z Критерий локальной прочности Сукиев, С.В. Научно-технический раздел Предложен локальный критерий хрупкой прочности структурно-неоднородных материалов, базирующийся на масштабном эффекте механических свойств материала в условиях концентрации напряжений. Функция локальной прочности материала предполагается зависящей от масштабного параметра, представляющего собой отношение размера зоны концентрации напряжений к характерному размеру структуры материала. Рассмотрена задача о прочности твердого тела при растяжении, содержащего концентратор напряжений произвольных размеров и формы, включая предельный случай вырождения гладкого концентратора в прямолинейную или круглую трещину. Сформулированы требования к поведению критического напряжения и критического размера дефекта и определен вид функции локальной прочности. Для разрушающего напряжения получены выражения интерполяционного вида и проведено сопоставление расчетных данных с известными экспериментальными. Запропоновано локальний критерій крихкої міцності структурно-неоднорідних матеріалів, що базується на масштабному ефекті механічних властивостей матеріалу в умовах концентрації напружень. Згідно із запропонованим критерієм функція локальної міцності матеріалу припускається залежною від масштабного параметра, що представляє собою відношення розміру зони концентрації напружень до характерного розміру структури матеріалу. Розглянуто задачу щодо міцності твердого тіла при розтязі з концентратором напружень довільних розмірів і форми, включаючи граничний випадок виродження гладкого концентратора в прямолінійну або круглу тріщину. Сформульовано вимоги до поведінки критичного напруження і критичного розміру дефекта та визначено вид функції локальної міцності. Для руйнівного напруження отримано вирази інтерполяційного виду і проведено зіставлення розрахункових даних із відомими експериментальними. We propose a local criterion of brittle fracture of structurally-heterogeneous materials, which is based on the scale factor of the material mechanical properties under conditions of stress concentration. Function of the material local strength is assumed to be dependant of the scale parameter, which is a ratio between the stress concentration zone size and the specific size of the material structure. We analyze the strength problem of tension of a solid body containing a stress raiser of arbitrary dimensions and shape, including the limiting case of the smooth stress raiser degeneration into a linear or circular crack. We formulate the requirements to the behavior of the critical values of stress and defect size, as well mas determine the type of the local strength function. For the critical stress we obtained the interpolation dependences and compared the calculated results with the known experimental ones. 2004 Article Критерий локальной прочности / С.В. Сукиев // Проблемы прочности. — 2004. — № 4. — С. 108-124. — Бібліогр.: 27 назв. — рос. 0556-171X http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/47105 539.4 ru Проблемы прочности Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Научно-технический раздел Научно-технический раздел |
| spellingShingle |
Научно-технический раздел Научно-технический раздел Сукиев, С.В. Критерий локальной прочности Проблемы прочности |
| description |
Предложен локальный критерий хрупкой прочности структурно-неоднородных материалов,
базирующийся на масштабном эффекте механических свойств материала в условиях концентрации
напряжений. Функция локальной прочности материала предполагается зависящей
от масштабного параметра, представляющего собой отношение размера зоны
концентрации напряжений к характерному размеру структуры материала. Рассмотрена
задача о прочности твердого тела при растяжении, содержащего концентратор напряжений
произвольных размеров и формы, включая предельный случай вырождения гладкого
концентратора в прямолинейную или круглую трещину. Сформулированы требования к
поведению критического напряжения и критического размера дефекта и определен вид
функции локальной прочности. Для разрушающего напряжения получены выражения интерполяционного
вида и проведено сопоставление расчетных данных с известными экспериментальными. |
| format |
Article |
| author |
Сукиев, С.В. |
| author_facet |
Сукиев, С.В. |
| author_sort |
Сукиев, С.В. |
| title |
Критерий локальной прочности |
| title_short |
Критерий локальной прочности |
| title_full |
Критерий локальной прочности |
| title_fullStr |
Критерий локальной прочности |
| title_full_unstemmed |
Критерий локальной прочности |
| title_sort |
критерий локальной прочности |
| publisher |
Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України |
| publishDate |
2004 |
| topic_facet |
Научно-технический раздел |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/47105 |
| citation_txt |
Критерий локальной прочности / С.В. Сукиев // Проблемы прочности. — 2004. — № 4. — С. 108-124. — Бібліогр.: 27 назв. — рос. |
| series |
Проблемы прочности |
| work_keys_str_mv |
AT sukievsv kriterijlokalʹnojpročnosti |
| first_indexed |
2025-07-04T06:45:34Z |
| last_indexed |
2025-07-04T06:45:34Z |
| _version_ |
1836697817420136448 |
| fulltext |
УДК 539.4
Критерий локальной прочности
С. В. Сукнев
Институт горного дела Севера СО РАН, Якутск, Россия
Предложен локальный критерий хрупкой прочности структурно-неоднородных материалов,
базирующийся на масштабном эффекте механических свойств материала в условиях кон
центрации напряжений. Функция локальной прочности материала предполагается зави
сящей от масштабного параметра, представляющего собой отношение размера зоны
концентрации напряжений к характерному размеру структуры материала. Рассмотрена
задача о прочности твердого тела при растяжении, содержащего концентратор напря
жений произвольных размеров и формы, включая предельный случай вырождения гладкого
концентратора в прямолинейную или круглую трещину. Сформулированы требования к
поведению критического напряжения и критического размера дефекта и определен вид
функции локальной прочности. Для разрушающего напряжения получены выражения интер
поляционного вида и проведено сопоставление расчетных данных с известными экспери
ментальными.
Ключевые слова : прочность, разрушение, масштабный эффект, нелокаль
ный критерий, концентрация напряжений, характерный размер, отверстие,
дефект.
Введение. Механические свойства таких структурно-неоднородных ма
териалов, как графит, чугун, высокопрочные металлические сплавы, кера
мика, композиты, подвержены сильному влиянию масштабного фактора, т.е.
существенно зависят от нагруженного объема. Наиболее сильно масштаб
ный эффект проявляется в условиях концентрации напряжений, когда эффек
тивный нагруженный объем определяется зоной концентрации напряжений,
размер которой мал по сравнению с размерами образцов, используемых для
определения стандартных механических свойств материала. В этом случае
область применения традиционного подхода к расчетам конструкций на
прочность, который заключается в сопоставлении возникающих в деформи
руемом теле внутренних напряжений с некоторым предельным значением,
весьма ограничена. Условие прочности имеет вид
о е < O o , (1)
где о e - эквивалентное напряжение, характеризующее внутреннее напряжен
ное состояние тела и в общем случае являющееся функцией компонент тен
зора напряжений о j , о e = f (о у ); о 0 - предельное напряжение, характери
зующее стандартные (усредненные) механические свойства тела, о о = const.
В соответствии с традиционным подходом критическое напряжение о c,
при котором в наиболее напряженной точке тела достигается предельное
состояние, определяется выражением
о 0
о c = K 7 ’ <2)
© С. В. СУКНЕВ, 2004
108 ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2004, № 4
Критерий локальной прочности
где K t - коэффициент концентрации напряжений, характеризующий отно
шение эквивалентного напряжения о e в наиболее напряженной точке тела
к приложенному напряжению о. Поскольку величина о 0 определяется по
результатам испытаний стандартных образцов в условиях однородного
напряженного состояния, область применения традиционного подхода огра
ничена невысокими значениями K t , когда размер зоны концентрации на
пряжений достаточно велик и сопоставим с размерами стандартных образ
цов, чтобы полагать о о = const. Кроме того, применение выражения (2) для
тела с трещиной приводит к нулевому значению критического напряжения,
что противоречит действительности. Известно [1], что о c в этом случае
имеет вполне определенное конечное значение, зависящее от длины тре
щины. Поэтому для оценки критического напряжения тела с трещиной
используется подход линейной механики разрушения, в соответствии с
которым предельное состояние оценивается на основе анализа особенности
распределения напряжений вблизи трещины. Условие прочности записы
вается в виде
K < K c , (3)
где K - коэффициент интенсивности напряжений; K c - его критическое
значение, характеризующее локальные свойства материала.
Для прямолинейной трещины нормального отрыва длиной l = 2a коэф
фициент интенсивности напряжений
K = о 4 п а . (4)
Таким образом, в соответствии с подходом линейной механики разру
шения критическое напряжение
K c
(5)
Данный подход получил широкое распространение. Однако область его
применения ограничена из-за наличия очень острых концентраторов, когда
характер распределения напряжений позволяет отнести их к концентраторам
типа трещин.
Указанные ограничения приводят к тому, что области практического
применения подходов классической механики и механики разрушения раз
личные. Первый подход используется при проектировании конструкции. Его
задача заключается в оптимизации ее формы с целью максимально возмож
ного снижения концентрации напряжений. Второй подход применяется на
стадии эксплуатации конструкции, когда ставится задача оценки ее остаточ
ного ресурса с учетом влияния имеющихся в конструкции дефектов, наи
большую опасность из которых представляют дефекты типа трещин. Пробле
ма состоит в том, что большая часть конструктивных, технологических и
эксплуатационных дефектов и концентраторов напряжений с высоким, но
конечным значением коэффициента концентрации оказываются вне области
применения этих подходов. Поэтому задача разработки новых подходов к
расчетам конструкций на прочность, позволяющих учесть весь спектр кон
ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2004, № 4 109
С. В. Сукнев
центраторов напряжений и с единых позиций подойти к расчету конструк
ций с тупым концентратором напряжений и с трещиной, весьма актуальна.
В настоящее время интенсивно разрабатываются так называемые не
локальные критерии прочности [2-6], в частности интегральный критерий,
или критерий средних напряжений. Этот критерий обычно связывают с
именами Нейбера [7] и В. Новожилова [8], хотя идею усреднения напря
жений в зоне их концентрации высказывали также Виегардт, Уитни,
Нуисмер, Р. Вагапов, Ф. Диментберг, С. Серенсен и другие исследователи.
Интегральный критерий прочности имеет вид
( ° < 0 (Ь (6)
где ( о Д - значение эквивалентного напряжения, усредненного на расстоя
нии d по опасному сечению,
Размер усреднения d полагают новой константой материала. Он сопос
тавим с размерами структурных составляющих материала и намного мень
ше размеров конструктивного элемента.
Интегральный критерий применим как для гладких (тупых), так и для
сингулярных (трещиноподобных) концентраторов напряжений. В отличие от
традиционных критериев прочности, интегральный критерий дает конечное
значение критического напряжения при К г ^ °о. Для прямолинейной трещи
ны длиной I = 2а в пластине, к которой на бесконечности приложено
равномерное растягивающее напряжение о, распределение нормальных на
пряжений о у в опасном сечении имеет вид [9]
° у ° Г^2 2 ' (8)1х — аI
Подставив (8) в (7) и приравняв результат интегрирования к о 0, полу
чим
о 0
(9)
х
Формула (8) является точной, поэтому в рамках интегрального критерия
нет необходимости вводить понятие коэффициента интенсивности напряже
ний, которое является ключевым в линейной механике разрушения. Для
длинных трещин (I >> d) формула (9) совпадает с формулой (5), получен
ной в рамках подхода линейной механики разрушения.
В то же время из (9) следует, что образование в пластине любой сколь
угодно малой трещины приводит к снижению ее прочности. Аналогичный
вывод имеет место для твердого тела, содержащего искусственный дефект
110 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2004, № 4
Критерий локальной прочности
произвольной формы, что не согласуется с современными представлениями
о реальном твердом теле, обладающем изначальной дефектностью [10].
Поэтому малые искусственные дефекты, размеры которых сопоставимы с
размерами структурных составляющих материала, не влияют на его проч
ность до тех пор, пока их размеры не достигнут определенного (крити
ческого) значения. В рамках интегрального критерия задача определения
критического размера дефекта не может быть поставлена. Это относится
также к другим нелокальным критериям, если только в них не будет введен
дополнительный размерный параметр, например, как в [11].
Таким образом, нелокальные критерии прочности, общим свойством
которых является введение характерного размера материала, позволяют опи
сать масштабный эффект в условиях концентрации напряжений, что свиде
тельствует о расширении области их применения по сравнению с традици
онными критериями. Однако использование нелокальных критериев для
оценки опасности малых технологических и эксплуатационных дефектов
может привести к существенной погрешности.
Задача определения критического размера дефекта может быть постав
лена в рамках статистических теорий прочности, например теории Вейбулла
[12]. При неоднородном распределении напряжений по объему тела теория
Вейбулла предсказывает увеличение максимального разрушающего напря-
*
жения о о по сравнению с прочностью о о при однородном распределении
напряжений:
а о = а о|
' у ^ т
У е,
0 < у е < у , (10)
где V - объем всего тела; Vе - эффективный нагруженный объем [13],
>ае(ГЯ
у \ а тах )
йУ ; (11)
о тах - максимальное эквивалентное напряжение в объеме V ; т - параметр
гомогенности материала.
Критический нагруженный объем Ус определяется из условия о с = а о.
*
Подставляя о 0 вместо о о в формулу (2) и приравнивая о с к о о, с учетом
(10) получаем
V
Ус =■
(К , г (12)
Критический размер дефекта
1с ~ (V c )1/nd (Пй = 1,2 или 3), (13)
где Пй - размерность задачи.
ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2004, № 4 111
С. В. Сукнев
Убывающая в соответствии с выражениями (12) и (13) зависимость 1С
от К { представляется вполне закономерной. В противном случае менее
острые концентраторы становились бы более опасными в результате умень
шения критического размера. Однако в пределе К 1 имеем 1С = 0, что,
конечно, не соответствует действительности. Кроме того, определенная по
формуле (13) величина 1С зависит от размеров тела, т.е. не есть характе
ристикой материала. Это является следствием того, что выражение (10) не
содержит размерных параметров структуры материала. Отсутствие в теории
Вейбулла характерного размера структуры - основное препятствие для ее
распространения на квазихрупкие материалы [14].
П остановка задачи. Исследовалось линейно-упругое твердое тело с
распределенными в нем дефектами структуры, которое подвергается прос
тому нагружению. При этом определяется критическое значение приложен
ной нагрузки, соответствующее достижению в теле предельного состояния
(разрушение). После образования в теле нового дефекта определенного
размера и формы, который рассматривается как концентратор напряжений,
также определяется критическое значение приложенной нагрузки. Необхо
димо найти ответ на следующие вопросы.
1. Какова область допустимых размеров дефекта данной формы, образо
вание которого в исследуемом теле не приводит к снижению критической
нагрузки.
2. Насколько снижается критическая нагрузка, если размеры дефекта
превышают допустимые.
Цель работы заключается в формулировке критерия прочности, приме
нимого для исследования концентраторов напряжений любого типа - как
гладких, так и сингулярных.
Ф ункция локальной прочности. Для формулировки критерия локаль
ной прочности предлагается использовать подход [15], в соответствии с
которым локальная прочность материала (максимальное разрушающее на
пряжение) о 0 в условиях концентрации напряжений предполагается зави
сящей не только от нагруженного объема, как в статистических теориях проч
ности, но и от характерного размера структуры материала. Как отмечалось
выше, эффективный нагруженный объем в этих условиях определяется
размером зоны концентрации напряжений, который обозначим Ье. Если он
достаточно велик по сравнению с размерами структурных составляющих
материала, т.е. заведомо выполняются условия усреднения механических
свойств, то величина локальной прочности мало отличается от о о. И наобо
рот, если размер Ье сопоставим с размерами структурных элементов, их
влияние на локальную прочность становится заметным. Причем это влияние
тем сильнее, чем меньше размер Ье по отношению к характерному размеру
структуры материала Ьо. Таким образом, локальная прочность материала
должна зависеть не просто от размера зоны концентрации напряжений Ье , а
от соотношения Ьо/Ье. Данное соотношение определяет масштабный пара
метр в рассматриваемой задаче. С учетом этого функцию локальной проч
ности представим в виде
о О = I (о о, Ьо / Ьв ) . (14)
112 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2004, № 4
Критерий локальной прочности
Критерий разрушения может быть сформулирован следующим образом:
предельное состояние (разрушение) в области концентрации напряжений
наступает тогда, когда эквивалентное напряжение достигает величины ло
кальной прочности материала, которая зависит от масштабного параметра,
представляющего собой отношение размера зоны концентрации напряжений
к характерному размеру структуры материала. Условие локальной проч
ности имеет вид
о е (15)
*
где о 0 определяется по выражению (14).
Чтобы установить вид функции локальной прочности / ( о 0 ,Ь0/Ь е),
необходимо сформулировать дополнительные условия, отражающие специ
фику данной задачи. В качестве базовой рассмотрим задачу об одноосном
растяжении твердого тела (двухмерного или трехмерного), содержащего
гладкий концентратор напряжений, симметричный относительно оси растя
жения и вырождающийся в трещину при К { (рис. 1).
Рис. 1. Растяжение твердого тела с гладким концентратором напряжений.
Исследуем концентраторы, для которых К , является достаточно быстро
возрастающей функцией параметра І/р (І - размер концентратора в опас
ном сечении; р - радиус кривизны контура концентратора в опасной точке):
Л > 0, К , = Л ( І/р); (16)
> 0, (17)
/ ' ( %)где g t (%) = % - вспомогательная функция параметра % = I/р, харак-
1 г( % )
теризующая скорость изменения функции .
Условиям (16), (17) отвечает, например, функция
/ { = 1 + ( « / /р ) п , (18)
где а > 0 и п > 0 - числовые параметры.
ТХОТ 0556-171Х. Проблемы прочности, 2004, N 4 113
С. В. Сукнев
Для критического напряжения о c = f (о 0 ,L0/ L e ) /K t в результате
асимптотического анализа его поведения можно записать
о с = о 0 при K t = 1; (19)
о с ^ const > 0 при K t ^ ж . (20)
Требование (19) обеспечивает связь критерия (15) с традиционным кри
терием (1) в случае однородного напряженного состояния. Требование (20)
отражает хорошо известный экспериментальный факт: независимо от остро
ты надреза и величины теоретического коэффициента концентрации напря
жений тело разрушается при конечной нагрузке, о чем говорилось выше.
Это требование фактически обеспечивает связь критерия (15) с линейной
механикой разрушения.
Кроме требований (19), (20) запишем требование монотонного убы
вания критического напряжения с ростом K t :
da c
d K t
0, 1< K t < ж . (2 1 )
Знак равенства в выражении (21) соответствует случаю, когда размер де
фекта не превышает критический, а константа в выражении (20) равна о 0.
Для геометрически подобных концентраторов критическое напряжение
уменьшается с ростом их размера, так как увеличивается эффективный
нагруженный объем:
dl
■ < 0 при l > lc и K t = const. (22)
Для дефектов любой формы в соответствии с определением крити
ческого размера дефекта имеем
о c = о 0 при 1 = lc . (23)
Условия, аналогичные (20) и (21), должны быть также наложены на
поведение критического размера дефекта lc в зависимости от K t :
lc ^ const > 0 при K t ^ ж ; (24)
dlcc < 0, 1< K t < ж . (25)
Требования (21) и (25) свидетельствуют о том, что с увеличением остроты
дефекта возрастает опасность его присутствия в теле как с точки зрения
c
114 ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2004, № 4
Критерий локальной прочности
критического напряжения, так и критического размера. В то же время, как
следует из условий (20) и (24), даже для тела с трещиной эти величины
принимают ненулевые конечные значения. В соответствии с требованиями
(24) и (25) представим 1с в виде
, с = ' ° (1 + К ,
(26)
где 1о - критический размер дефекта в виде трещины; 0 - числовой
параметр.
Теперь оценим параметры Ьо и Ье, входящие в функцию локальной
прочности. В рассматриваемой задаче локальное распределение напряжений
зависит от радиуса кривизны концентратора больше, чем от других геомет
рических параметров [7, 16, 17]. Поэтому в первом приближении для оценки
Ье можно использовать радиус кривизны концентратора р в опасной точке.
Величину Ьо оценим по критическому размеру дефекта 1С. Представим
функцию / (о 0 , Ь0/ Ье) в виде
/ (о о, Ь о/Ь е) = о о/ (1с /Р) . (27)
Учет неравенств (16) и (17) для функции / г показал, что для выполне
ния требований (19)-(23) достаточно взять в качестве / ( 1с/ р ) функцию / \ :
/ ( 1с IР) = / \ (I с / Р). (28)
А поскольку условие (23) должно выполняться для любых р, то функция
(28) также является единственной.
Критерий локальной прочности с учетом (27) и (28) принимает вид
о е < ° о Л (и р) . (29)
Следовательно, локальная прочность и критическое напряжение опре
деляются соответственно по выражениям
о * = ° о Л ( 1С/ р ); (зо)
_ / г ( 1с/ Р) ч
0 с 0 о / ((ИР) , , (31)
/ г ( 1/Р)
Л ( 1с! Р)
фициент концентрации напряжений.
а отношение К / = г 1—- можно рассматривать как эффективный коэф-
ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2004, № 4 115
С. В. Сукнев
Критическое напряжение. Рассмотрим некоторые примеры использо
вания выражения (31) для оценки критического (разрушающего) напряже
ния.
Растяжение пластины с эллиптическим вырезом. Задача о напряжен
ном состоянии бесконечной изотропной пластины с эллиптическим отверс
тием при равномерном (на бесконечности) одноосном растяжении аналити
чески решена в [18, 19]. Для такой пластины коэффициент концентрации
напряжений будет
где Е х, Е у , Оху и V ху - упругие постоянные материала пластины. В общем
случае коэффициент концентрации напряжений можно представить в виде
где а - числовой коэффициент, зависящий от упругих постоянных мате
риала и размеров пластины.
Поправка на конечные размеры пластины осуществляется по прибли
женным формулам или по номограммам, приведенным в справочной литера
туре, например в [21]. Формула (34) применяется также для “эквивалентного
эллипса”, образованного двумя круговыми отверстиями, которые соединены
пазом, в частности для щели с закругленными краями. Параметры I и р
эквивалентного эллипса соответствуют длине паза и радиусу отверстий.
Кроме того, формула (34) применяется для широкой пластины с боковыми
вырезами, цилиндрического стержня с мелким кольцевым надрезом или
малым поперечным отверстием, а также для многих других практически
важных случаев [21].
С учетом формул (31) и (34) критическое напряжение принимает вид
Если I < 1С ,т о а с = а 0. Критический размер 1С определяется по выраже
нию (26). Для получения нижних оценок 1С и о с, идущих в запас проч
ности, параметр 3 в формуле (26) следует принять равным нулю.
(32)
для ортотропной пластины [20]
(33)
(34)
(35)
116 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2004, № 4
Критерий локальной прочности
Выразим критический размер трещины 10 (26) через критический коэф
фициент интенсивности напряжений К с, используя условие (23) и формулу
(5):
2 КС
I о = — . (36)
п а 0
Подставив выражение (36) в формулу (35), с учетом (26) получим
а 0 К с
а с = к + п а * (K t ); (37)
где
Г К г- (38)
Выражение (37), по сути, представляет собой интерполяционную фор
мулу для а с, а * (К {) - интерполирующую функцию, определенную в
интервале 1 < К < ю и удовлетворяющую граничным условиям *(1) = 0 и
*(те) = 1. При К 1 = 1 величина критического напряжения определяется пре
имущественно первым слагаемым в выражении (37), что соответствует
расчету по классическим критериям, при К { > > 1 - вторым слагаемым, что
соответствует расчету по критериям линейной механики разрушения. При
произвольном К 1 присутствуют оба слагаемых. Таким образом, выражение
(37) может быть использовано для оценки критических напряжений в плас
тинах с произвольными концентраторами напряжений, включая концентра
торы типа трещин. Заметим, что в таком представлении концентратор не
обязательно должен иметь эллиптическую форму.
Растяжение неограниченного тела с эллипсоидальной полостью. Задача
о напряженном состоянии неограниченного изотропного тела с эллипсо
идальной полостью при равномерном (на бесконечности) одноосном растя
жении аналитически решена Нейбером [7]. Поскольку полость представляет
собой эллипсоид вращения вокруг оси нагружения, в сечении, проходящем
через эту ось, она имеет вид эллипса. Данная задача является трехмерным
аналогом задачи о растяжении пластины с эллиптическим отверстием. При
К эллипсоид вырождается в дискообразную (круглую) трещину ради
уса а. Коэффициент концентрации напряжений
^ 1 - V — (1 ,5 - V) а / Р + 2 (а /Р )2 + (V — (1,5 + V) а Р ) ас/Р
K t / / / / 2 , (39)
1 — V + а/ р + (а / р — 2 + 2v) ас/ р — (1 + V)(ас/ р )
где ______
агс^ ̂V а р —1 ,
с = -----, --- , если а Р > 1
4 ч р — 1
0556-171Х. Проблемы прочности, 2004, № 4 117
С. В. Сукнев
ИЛИ
1п(1+ ^ 1 - а р ) - (12) м а р )
л/1 - а Р
, если а р < 1;
у - коэффициент Пуассона.
Если р = а, то получим
К = 3(9 - 5у )
г 2(7 - 5у ) ' (40)
Для инженерных расчетов можно использовать приближенную формулу
4 а
К , = 1 + - —. (41)
Формула (41) удобна тем, что она нечувствительна к значению у и
имеет правильную асимптотику при вырождении эллипсоида в круглую
трещину. Графики К г, рассчитанные по формулам (39) и (41) при у = 0,2,
приведены на рис. 2. Поскольку значения К {, полученные по формуле (41),
несколько завышены по сравнению с точным решением, расчет критической
нагрузки с ее использованием идет в запас прочности.
Рис. 2. Зависимость коэффициента концентрации напряжений К{ от параметра аР '■ 1, 2
расчет по формулам соответственно (39) и (41).
С
Критическое напряжение определяется по формуле (31) с учетом (39) и
(40), размер 1С - по формуле (26), где 10 представляет собой критический
размер дефекта в виде круглой трещины.
Для приближенного расчета а С можно использовать формулу (41). В
этом случае критическое напряжение определяется по выражению (35). Если
учесть, что для круглой трещины при растяжении коэффициент интенсив
ности напряжений равен [22]
а
К = 2а д — (42)
V я
118 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2004, № 4
Критерий локальной прочности
и в соответствии с подходом линейной механики разрушения критическое
напряжение
К с Ы
о с = ~ Ц а ■ (43)
то, выразив критический размер (диаметр) круглой трещины ^ через К с
(используются условие (23) и формула (43)) и подставив полученное выра
жение
л К с2
10 = — Г (44)
2о о
в формулу (35), с учетом (26) получим
о 0 К с [л
о с = I ; + Т \ 1 а р ( К ' )' (45)
где функция р (К , ) определяется по выражению (38).
Формула (45) аналогична (37), полученной при рассмотрении плоской
задачи. При этом следует уточнить, что в отличие от (37) она является
приближенной.
Таким образом, с точки зрения проведения расчетов на прочность
предложенный критерий можно приближенно представить как некоторое
объединение подходов классической механики и механики разрушения, а
для оценки критического (разрушающего) напряжения использовать интер
поляционные формулы (37) и (45). Причем для получения нижней оценки
критического напряжения, идущей в запас прочности, не требуется опре
делять новые константы материала, кроме стандартного предела прочности
и критического коэффициента интенсивности напряжений.
Сопоставление результатов расчета критического напряж ения с
экспериментальны ми данными. Пластина с круговым отверстием при
растяжении. Прочность пластин с круговыми отверстиями различного диа
метра, изготовленных из тканого эпоксидного стеклопластика, исследова
лась в [23]. Материал пластин полагали квазиизотропным. На рис. 3,а
приведены полученные при испытании пластин шириной 20 мм экспе
риментальные данные (точки), аппроксимированные функцией (35) (сплош
ная линия). При этом определялся критический размер (диаметр) отверстия
1с = 0,7 мм. В [24] испытывались пластины из эпоксидного углепластика с
квазиизотропной укладкой слоев с круговыми отверстиями. На рис. 3,б
экспериментальные данные (точки) аппроксимированы функцией (35)
(сплошная линия). Критический размер 1с составил 0,8 мм. В этой же
работе приведены данные о прочности ортотропных пластин из эпоксидного
углепластика с круговыми отверстиями (К , = 3,44). На рис. 3,в экспери
ментальные данные (точки) аппроксимированы функцией (35) (сплошная
линия). Критический размер 1с = 1,6 мм.
ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2004, № 4 119
С. В. Сукнев
ос/Со сс/ ао
а б
ас/ Сто
в
Рис. 3. Зависимость критического напряжения ос/Оо от размера отверстия при растяжении
пластин из эпоксидного стеклопластика (а) и эпоксидного углепластика (б, в) с круговым
отверстием. (Здесь и на рис. 4, 5: штриховые линии - расчет по формуле (2) в соответствии с
традиционным подходом; сплошные линии - данные эксперимента.)
Пластина с боковыми вырезами при растяжении. В работе [23] при
ведены данные о прочности пластин из эпоксидного стеклопластика шири
ной 20 мм с симметричными боковыми И-образными вырезами глубиной
а = 3 мм и радиусом закругления в вершине р = 0,08-5 мм. Для этих
вырезов может быть введено понятие “эквивалентного эллиптического от
верстия” [21] размером I = 2а, и для определения коэффициента концентра
ции напряжений К { применена формула (32). На рис. 4 приведена зависи
мость критического напряжения о с/о 0 от К { (сплошная линия), рассчитан
ная по формуле (35) при значении критического размера дефекта 1с = 0,7 мм,
которое было определено ранее на образцах с круговыми отверстиями
(рис. 3,а).
ас/ Сто
0,8
0,4
О ---------------- .--------------- ,----------------,--------
1 5 9 13 К,
Рис. 4. Зависимость критического напряжения ас/а 0 от коэффициента концентрации напря
жений К при растяжении пластин из эпоксидного стеклопластика с боковыми вырезами.
120 ЙХ# 0556-171Х. Проблемы прочности, 2004, № 4
Критерий локальной прочности
Стержень с поперечным отверстием при растяжении. В работе [25]
представлены данные о прочности полых цилиндрических стержней с на
ружным диаметром 20 мм и внутренним диаметром 16 мм, изготовленных
из графита. Образцы имели круговое отверстие диаметром I = 0,4-2,8 мм.
Коэффициент концентрации напряжений определялся по формуле (32) с
погрешностью не более 9% [21]. На рис. 5,а приведены экспериментальные
данные (точки), аппроксимированные с помощью функции (35) (сплошная
линия). Критический размер 1С составил 0,6 мм. В [26] испытывали сплош
ные цилиндрические графитовые стержни диаметром В = 10, 20 и 30 мм с
круговыми отверстиями различного диаметра I. Для образцов с 1/Б < 0,15
коэффициент концентрации напряжений определялся по формуле (32) с
погрешностью не более 13% [21]. Рис. 5,6 иллюстрирует эксперименталь
ные данные (точки) по прочности образцов, аппроксимированные функцией
(35) (сплошная линия). Критический размер 1С = 0,7 мм.
ас/Сто ао
а 6
Рис. 5. Зависимость критического напряжения аС/о0 от размера отверстия при растяжении
полых (а) и сплошных (6) цилиндрических графитовых стержней с круговым отверстием.
Стержень с кольцевым надрезом при растяжении. В [27] исследова
лась прочность цилиндрических стержней из высокопрочной стали с коль
цевым надрезом. Надрез глубиной а = 2 мм имел У-образную форму с углом
раствора ^ = 60° и радиусом закругления в вершине р = 0,044-2,1 мм.
Диаметр стержней составлял 8,5 мм. На рис. 6 представлены результаты
расчета разрушающего напряжения а С по формуле (37) - кривая 1 при
3 = 0 и заданных значениях а 0 и К С (с учетом геометрии стержня [22]).
ас/оо
О ------------.----------- т---------------' ..........
1 9 17 25 К,
Рис. 6. Зависимость критического напряжения аС/а0 от коэффициента концентрации напря
жений К при растяжении цилиндрических стержней из высокопрочной стали с кольцевым
надрезом.
0556-171Х. Проблемы прочности, 2004, № 4 121
С. В. Сукнев
Критический размер 10, рассчитанный по формуле (36) с учетом геометрии
стержня, составил 0,12 мм. Штриховой линией проведена асимптота, соответ
ствующая пределу механики разрушения. Кривая 2 рассчитана по формуле
(2) в соответствии с традиционным подходом. Экспериментальные данные
представлены точками.
Во всех рассмотренных примерах результаты расчета о с по критерию
локальной прочности хорошо согласуются с экспериментальными данными
и свидетельствуют о преимуществе предложенного подхода перед традици
онным.
Заключение. Для оценки хрупкой прочности структурно-неоднород
ных материалов (высокопрочные металлические сплавы, керамика, компо
зиты и др.) предложен критерий, базирующийся на масштабном эффекте
механических свойств материала в условиях концентрации напряжений.
Предполагается, что локальная прочность материала в зоне концентрации
напряжений зависит от размера зоны и внутреннего размера материала,
характеризующего его структуру. Отношение этих размеров определяет
масштабный параметр в рассматриваемой задаче, который и является крити
ческим для критерия локальной прочности. Функция локальной прочности
материала определяется на основании анализа поведения критического на
пряжения и критического размера дефекта при изменении коэффициента
концентрации напряжений от малых (К { =1) до предельно высоких (К{ ^ о)
значений. Показано, что для базовой задачи об одноосном растяжении
твердого тела, содержащего гладкий концентратор напряжений, функция
локальной прочности может быть однозначно определена, если коэффи
циент концентрации напряжений является достаточно быстро возрастающей
функцией безразмерного параметра, представляющего собой отношение раз
мера концентратора и радиуса кривизны его контура в опасной точке.
Для критического (разрушающего) напряжения получено простое выра
жение интерполяционного вида, позволяющее проводить расчеты на проч
ность во многих практически важных случаях, причем для получения ниж
ней оценки, идущей в запас прочности, не требуется определения новых
констант материала, кроме стандартных механических свойств. Проведено
сопоставление результатов расчета разрушающего напряжения с известны
ми экспериментальными данными, полученными на образцах из высоко
прочной стали, графита, стекло- и углепластиков с различными концентра
торами напряжений, которое свидетельствует об их хорошем соответствии.
Р е з ю м е
Запропоновано локальний критерій крихкої міцності структурно-неоднорід
них матеріалів, що базується на масштабному ефекті механічних власти
востей матеріалу в умовах концентрації напружень. Згідно із запропонова
ним критерієм функція локальної міцності матеріалу припускається залеж
ною від масштабного параметра, що представляє собою відношення розміру
зони концентрації напружень до характерного розміру структури матеріалу.
Розглянуто задачу щодо міцності твердого тіла при розтязі з концент
ратором напружень довільних розмірів і форми, включаючи граничний
122 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2004, № 4
Критерий локальной прочности
випадок виродження гладкого концентратора в прямолінійну або круглу
тріщину. Сформульовано вимоги до поведінки критичного напруження і
критичного розміру дефекта та визначено вид функції локальної міцності.
Для руйнівного напруження отримано вирази інтерполяційного виду і
проведено зіставлення розрахункових даних із відомими експерименталь
ними.
1. Панасюк В. В. Механика квазихрупкого разрушения материалов. -
Киев: Наук. думка, 1991. - 416 с.
2. Seweryn A. and Mroz Z. A non-local stress failure condition for structural
elements under multiaxial loading // Eng. Fract. Mech. - 1995. - 51, No. 6. -
P. 955 - 973.
3. Mikhailov S. E. A functional approach to non-local strength condition and
fracture criteria // Ibid. - 52, No. 4. - P. 731 - 754.
4. Dyskin A. V. Crack growth criteria incorporating non-singular stresses: Size
effect in apparent fracture toughness // Int. J. Fract. - 1997. - 83, No. 2. -
P. 191 - 206.
5. Isupov L. P. and Mikhailov S. E. A comparative analysis of several nonlocal
fracture criteria // Arch. Appl. Mech. - 1998. - 68, No. 9. - P. 597 - 612.
6. Seweryn A. A non-local stress and strain energy release rate mixed mode
fracture initiation and propagation criteria // Eng. Fract. Mech. - 1998. - 59,
No. 6. - P. 737 - 760.
7. Нейбер Г. Концентрация напряжений. - М.; Л.: Гостехиздат, 1947. -
204 с.
8. Новожилов В. В. О необходимом и достаточном критерии хрупкой проч
ности // Прикл. математика и механика. - 1969. - 33, вып. 2. - С. 212 -
222.
9. Хеллан К. Введение в механику разрушения. - М.: Мир, 1988. - 364 с.
10. Shaw M. C. A critical review of mechanical failure criteria // Trans. ASME.,
J. Eng. Mater. Technol. - 1984. - 106, No. 3. - P. 219 - 226.
11. Милейко С. Т., Хохлов В. К., Сулейманов Ф. Х. Разрушение компо
зитного материала с макродефектом // Механика композитных мате
риалов. - 1981. - № 2. - С. 358 - 362.
12. Weibull W. A statistical theory of the strength of materials // Ingeniors
Vetenskaps Akademien. Handlingar. - 1939. - No. 151. - P. 1 - 45.
13. Новиков H. В , Левитас В. И., Шестаков С. И. Численное моделиро
вание прочности и долговечности конструкций с учетом масштабного
эффекта. Сообщ. 1. Обоснование критерия прочности и долговечности
// Пробл. прочности. - 1991. - № 5. - С. 37 - 43.
14. Bazant Z. P. Size effect on structural strength: a review // Arch. Appl. Mech.
- 1999. - 69, No. 9/10. - P. 703 - 725.
15. Сукнев С. В., Новопашин М. Д. Определение локальных механических
свойств материалов // Докл. АН РФ. - 2000. - 373, № 1. - С. 48 - 50.
ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2004, № 4 123
С. В. Сукнев
16. Leven M. M. Stress gradients in grooved bars and shafts // Proc. SESA. -
1955. - 13, No. 1. - P. 207 - 213.
17. Израилев Ю. Л. Распределение и градиент напряжений в двухмерных
телах с надрезами // Пробл. прочности. - 1982. - № 4. - С. 70 - 74.
18. Колосов Г. В. Об одном приложении теории функций комплексного
переменного к плоской задаче математической теории упругости. -
Юрьев: Типография К. Маттисена, 1909. - 187 с.
19. Inglis C. E. Stresses in a plate due to the presence of cracks and sharp
corners // Trans. Inst. Naval Arch. - 1913. - 105, pt 1. - P. 219 - 230.
20. Лехницкий С. Г. Теория упругости анизотропного тела. - М.: Наука,
1977. - 416 с.
21. Петерсон Р. Коэффициенты концентрации напряжений. - М.: Мир,
1977. - 304 с.
22. Справочник по коэффициентам интенсивности напряжений / Под ред.
Ю. Мураками. - М.: Мир, 1990. - Т. 2. - 1016 с.
23. Hyakutake H., Hagio T , and Nisitani H. Fracture of FRP plates containing
notches or a circular hole under tension // Int. J. Pres. Ves. Piping. - 1990. -
44, No. 3. - P. 277 - 290.
24. Daniel I. M. The behavior of uniaxially loaded graphite/epoxy plates with
holes // 2nd Int. Conf. on Composite Materials. - Toronto, 1978. - P. 1019 -
1034.
25. Sato Y., Ohe K., and Nagai F. Trans. Jap. Soc. Mech. Eng. Ser. A. - 1980. -
46, No. 406. - P. 557 - 563.
26. Imamura S. and Sato Y. Fracture of a graphite solid cylinder with a
transverse hole in tension // Coll. Eng. Nihon Univ. Ser. A. - 1987. - 28. -
P. 51 - 55.
27. Nisitani H. and Noguchi H. Tensile fracture criterion of high strength steel
specimens with a circumferential notch // Trans. Jap. Soc. Mech. Eng. Ser. A.
- 1986. - 52, No. 477. - P. 1286 - 1289.
Поступила 07. 07. 2003
124 ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2004, № 4
|