Приближенное аналитическое определение вибродиагностических параметров нелинейности упругих тел, обусловленной наличием закрывающейся трещины. Сообщение 2. Определение диагностических параметров при основном и супергармоническом резонансе 2-го порядка
С использованием полученных автором определяющих уравнений установлены аналитические выражения различных приближений для определения в области основного и супергармони- ческого резонансов вибродиагностических параметров усталостного повреждения упругого тела типа закрывающейся трещины нормального...
Gespeichert in:
| Datum: | 2004 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України
2004
|
| Schriftenreihe: | Проблемы прочности |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/47113 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Приближенное аналитическое определение вибродиагностических параметров нелинейности упругих тел, обусловленной наличием закрывающейся трещины. Сообщение 2. Определение диагностических параметров при основном и супергармоническом резонансе 2-го порядка / В.В. Матвеев // Проблемы прочности. — 2004. — № 5. — С. 5-22. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-47113 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-471132013-07-09T23:15:11Z Приближенное аналитическое определение вибродиагностических параметров нелинейности упругих тел, обусловленной наличием закрывающейся трещины. Сообщение 2. Определение диагностических параметров при основном и супергармоническом резонансе 2-го порядка Матвеев, В.В. Научно-технический раздел С использованием полученных автором определяющих уравнений установлены аналитические выражения различных приближений для определения в области основного и супергармони- ческого резонансов вибродиагностических параметров усталостного повреждения упругого тела типа закрывающейся трещины нормального отрыва. Путем сопоставления результатов расчета с данными численных решений оценивается достоверность аналитического решения. Із використанням отриманих автором визначальних рівнянь установлено аналітичні вирази різних наближень для визначення в області основного та супергармонічного резонансів вібродіагностичних параметрів пошкодження від утоми пружного тіла типу тріщини нормального відриву, що закривається. Шляхом зіставлення результатів розрахунку з даними числових розв’язків оцінюється вірогідність аналітичного розв’язку. With use of governing equations obtained by the author, the analytical relations of different approximations are established for determination of vibrodiagnostic parameters of fatigue damage of an elastic body such as a closing Mode I crack in the range of the main and superharmonic resonances. By comparison of calculated results with numerical ones we evaluate the reliability of the analytical solution. 2004 Article Приближенное аналитическое определение вибродиагностических параметров нелинейности упругих тел, обусловленной наличием закрывающейся трещины. Сообщение 2. Определение диагностических параметров при основном и супергармоническом резонансе 2-го порядка / В.В. Матвеев // Проблемы прочности. — 2004. — № 5. — С. 5-22. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. 0556-171X http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/47113 534.08.620.178.5 ru Проблемы прочности Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Научно-технический раздел Научно-технический раздел |
| spellingShingle |
Научно-технический раздел Научно-технический раздел Матвеев, В.В. Приближенное аналитическое определение вибродиагностических параметров нелинейности упругих тел, обусловленной наличием закрывающейся трещины. Сообщение 2. Определение диагностических параметров при основном и супергармоническом резонансе 2-го порядка Проблемы прочности |
| description |
С использованием полученных автором определяющих уравнений установлены аналитические
выражения различных приближений для определения в области основного и супергармони-
ческого резонансов вибродиагностических параметров усталостного повреждения упругого
тела типа закрывающейся трещины нормального отрыва. Путем сопоставления результатов
расчета с данными численных решений оценивается достоверность аналитического
решения. |
| format |
Article |
| author |
Матвеев, В.В. |
| author_facet |
Матвеев, В.В. |
| author_sort |
Матвеев, В.В. |
| title |
Приближенное аналитическое определение вибродиагностических параметров нелинейности упругих тел, обусловленной наличием закрывающейся трещины. Сообщение 2. Определение диагностических параметров при основном и супергармоническом резонансе 2-го порядка |
| title_short |
Приближенное аналитическое определение вибродиагностических параметров нелинейности упругих тел, обусловленной наличием закрывающейся трещины. Сообщение 2. Определение диагностических параметров при основном и супергармоническом резонансе 2-го порядка |
| title_full |
Приближенное аналитическое определение вибродиагностических параметров нелинейности упругих тел, обусловленной наличием закрывающейся трещины. Сообщение 2. Определение диагностических параметров при основном и супергармоническом резонансе 2-го порядка |
| title_fullStr |
Приближенное аналитическое определение вибродиагностических параметров нелинейности упругих тел, обусловленной наличием закрывающейся трещины. Сообщение 2. Определение диагностических параметров при основном и супергармоническом резонансе 2-го порядка |
| title_full_unstemmed |
Приближенное аналитическое определение вибродиагностических параметров нелинейности упругих тел, обусловленной наличием закрывающейся трещины. Сообщение 2. Определение диагностических параметров при основном и супергармоническом резонансе 2-го порядка |
| title_sort |
приближенное аналитическое определение вибродиагностических параметров нелинейности упругих тел, обусловленной наличием закрывающейся трещины. сообщение 2. определение диагностических параметров при основном и супергармоническом резонансе 2-го порядка |
| publisher |
Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України |
| publishDate |
2004 |
| topic_facet |
Научно-технический раздел |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/47113 |
| citation_txt |
Приближенное аналитическое определение вибродиагностических
параметров нелинейности упругих тел, обусловленной наличием
закрывающейся трещины. Сообщение 2. Определение диагностических
параметров при основном и супергармоническом резонансе
2-го порядка / В.В. Матвеев // Проблемы прочности. — 2004. — № 5. — С. 5-22. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
| series |
Проблемы прочности |
| work_keys_str_mv |
AT matveevvv približennoeanalitičeskoeopredelenievibrodiagnostičeskihparametrovnelinejnostiuprugihtelobuslovlennojnaličiemzakryvaûŝejsâtreŝinysoobŝenie2opredeleniediagnostičeskihparametrovpriosnovnomisupergarmoničeskomrezonanse2goporâdka |
| first_indexed |
2025-07-04T06:46:13Z |
| last_indexed |
2025-07-04T06:46:13Z |
| _version_ |
1836697858519072768 |
| fulltext |
НАУЧНО-ТЕХНИЧЕСКИЙ
РАЗДЕЛ
УДК 534.08.620.178.5
Приближенное аналитическое определение вибродиагностических
параметров нелинейности упругих тел, обусловленной наличием
закрывающейся трещины. Сообщение 2. Определение диагности
ческих параметров при основном и супергармоническом резо
нансе 2-го порядка
В. В. Матвеев
Институт проблем прочности им. Г. С. Писаренко НАН Украины, Киев, Украина
С использованием полученных автором определяющих уравнений установлены аналитические
выражения различных приближений для определения в области основного и супергармони-
ческого резонансов вибродиагностических параметров усталостного повреждения упругого
тела типа закрывающейся трещины нормального отрыва. Путем сопоставления резуль
татов расчета с данными численных решений оценивается достоверность аналитического
решения.
Ключевые слова : вынужденные колебания, нелинейные колебания, били
нейная упругая характеристика, основной и супергармонический резонансы,
трещина усталости, вибродиагностика усталостного повреждения.
Введение. Ранее [1] при анализе вынужденных колебаний упругого тела
с локальной несплошностью материала типа периодически закрывающейся
трещины нормального отрыва, описываемых нелинейным дифференциаль
ным уравнением
ёи
2 ■ + 2^ — + ю [1 - 0,5а(1 + и)]и = д 0 э т уґ, ( 1 )
решение для области какого-либо супергармонического резонанса 5 -порядка
(уу ~ ю, 5 = 2, 3, ...) представлялось в виде
и( і ) = А 0 + А 1 э т ( уґ + у 1) +
+А,
2 а
^ , 2 . , 2 8ІПп ( + У5)
=2,4,... ^ (п 1)
(2 )
где Ао - постоянная составляющая, принимаемая равной
п
© В. В. МАТВЕЕВ, 2004
ТХОТ 0556-171Х. Проблемы прочности, 2004, № 5 5
В. В. Матвеев
а
А 0 = Л А1 ; л (3)
а - относительное изменение приведенной жесткости упругого тела на
полуциклах разного знака,
К - К т
а = - ^ ; (4)
К - жесткость неповрежденного тела, т.е. трещина закрыта (и < 0); К т -
жесткость при открытой трещине (и > 0).
Полученные в [1] аналитические зависимости (25), (26), (29) для при
ближенного определения неизвестных параметров решения (А^/А^ у 1 и у
в области наиболее важного в практическом отношении супергармоничес-
кого резонанса 2 -го порядка (я = 2 ) принимают соответственно следующий
вид:
соэ(у2 - 2 у 1 ) - 8 Н -:у 8т ( у 2 - 2 у 1 )^Яп2 р -
—
( 2 - а ) - 8 [ х
2 а
л п=1~4,.(п2 - 1 ) 2
(2 - а ) - 8 п | — ЯП п(у 2 - 2 у 1 ) +
+ 8кп —2 СОЭ п(у 2 - 2 у 1) г §|п2 пуЗ = 0 ;
—
(5)
А2 — = - 2
А
Ас
(2 - а ) —— аяп/З
А
( 2 - а ) - 8 | х 81п( у 2 - 2у 1 ) +
+ 8к —^соэ(у 2 - 2 у 1 ) г со82 р + I
—
2 а
1 =1“4,... л ( п 2 - 1 ) 2
X
Х< (2 - а ) - 8 п | —
- 1
соэ п(у 2 - 2 у 1) - 8кп — 2 ̂ п п(у 2 - 2 у 1 ) | со^2 пР ) ;
(6 )
(1 + V1 - а ) 2 Ну
2 (1 - а ) — 2
1+ 4
а
л 2 ( 2 4
п = 2,4,...( п - 1)
(1 ^ 1 - а ) 2 /у
4(1- а ) \ —
+
( 1 + л / 1 - а ) 4 / Н\ 2/у
4(1- а ) 2 \ —
( V
2
(А и
2
Ч
(7)
2
2
2
2 2п
2
1
6 КОТ 0556-171Х. Проблемы прочности, 2004, № 5
В уравнениях (5), (6 ) тригонометрические функции угла Р, обозначенные
чертой снизу, представляют их средние значения (24) [1] при изменении угла
i от i о до л / 2, значение угла i 0 соответствует условию sin i 0 = Л2 / A 1.
Относительная амплитуда основной гармоники определяется выраже
нием (19) [1]:
Приближенное аналитическое определение вибродиагностических параметров ...
A 1
q о
( 1 + V1 — х ) 2
4(1 - х)
1 —
( 1 + V 1 - х ) 2 ^ И 2
4(1—х) V®
+
( 1 + V1 —X ) 4 / h
4(1 —х ) 2 V® О
(8 )
Анализ реш ения в первом приближении для супергармонического
резонанса. Рассмотрим решение уравнения (1), пренебрегая гармониками
выше второй, т.е. в выражении (2) полагаем п = 0. В этом случае из уравне
ния (5) находим явное выражение для определения сдвига фаз (у 2 _ У1 ):
( 2 — х) — 8
tg ( у 2 — 2У 1 ) =
О
(9)
8 h
О
Определив средние значения соответствующих тригонометрических
функций угла ß
sinß =
2 cos ß 0
л — 2 ß 0
cosß =
2 ( 1 — sin ß 0 )
л — 2 ß 0
. ^ 1 + cos^ß о s i n 2 ß 0
sin2 ß = ------- —— ; cos2 ß =
( 1 0 )
л — 2 ß 0 ’
после некоторых преобразований из (6 ) с учетом (3) получим уравнение для
нахождения отношения A 2 /A 1 при условии ß 0 = arcsinA 2 / A x\
A 2 х [(2 —х)( л — 2 ß 0) — 2л cos ß 0 ]
A 1
cos(У 2 — 2У 1 ) .
8 л h —2 sin2 ß 0
О
( 1 1 )
Выражение (7) для определения сдвига фазы у 1 принимает вид
( 1 + V1 — х ) 2 hv
2 ( 1 —х) о 2
sin у 1
1+ 41 Al
, A1 /
1 —( 1 + х ) 2 ^ v N2
4(1—х) V®
+
(1 + V1 —х ) 4 / h W v
4(1—х ) 2 о / Vo
( 1 2 )
2
2
2
2
TXW 0556-171X. Проблемы прочности, 2004, № 5 7
В. В. Матвеев
Проанализируем результаты вычислений параметров Л2 1А1 и у 2, у 1
для исследуемого супергармонического резонанса соответственно по урав
нению (11) и формулам (9), (12). На рис. 1 приведены полученные зависи
мости относительной амплитуды второй гармоники Л ^ Л 1 от параметра а
для различных значений коэффициента к в случае точного резонанса, т.е. при
V = ^2® о , где собственная частота упругого тела с закрывающейся трещиной
(см. (5) [1])
2 л/1 — а
о 0 = ------ , о. (13)
0 1 + V1 —а
(Здесь и далее в расчетах принимаем ю = 1, и выбранный диапазон значе
ний коэффициента к = 0 ,0 0 1 ...0 , 0 1 определяет значения логарифмического
декремента свободных колебаний системы ( 6 = 2ж к/® 0 ~ 2 # к /а>) в диапа
зоне 0,63...6,3%.)
О 0,0025 0,005 0,0075 а
Рис. 1. Зависимости отношения амплитуд А2/ Лх от параметра а при разных значениях
коэффициента h для супергармонического резонанса (v = 0,5w0). (Сплошные линии - расчет
по уравнению (11) при выборе значения ^ 0 из условия sin5 0 ~ A2 / Ai; здесь и на рис. 2, 4, 6 ,
7, 10, 11: штриховые линии - данные численного решения.)
В качестве примера на рис. 2 показана амплитудно-частотная харак
теристика, на рис. 3 - фазочастотные характеристики в зоне резонанса при
а = 0,005 и к = 0,001. Расчеты проводились при выборе значения угла i 0 из
условия s i n i 0 ~ A 2 IA x.
Полученные значения сдвига фаз у 1 и у 2 свидетельствуют о возмож
ности уменьшения угла i 0 с гарантией достоверного разграничения значе
ний жесткости системы. Зависимости отношения амплитуд A2 /A 1 при
супергармоническом резонансе (v = 0,5®0) от параметра а при разных
значениях к, определенные из условий s i n i 0 ~ A2 /Ai и s i n i 0 ~ 0,5A2 /A l3
8 ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2004, N 5
представлены на рис. 4 (кривые 1). Как видно, с уменьшением значения угла
3 о увеличивается определяемое отношение А 2 / А х. Более наглядно это
иллюстрирует зависимость изменения отношения А2 /А 1 от угла 3 о в
диапазоне 0,3... л / 2 (рис. 5).
Приближенное аналитическое определение вибродиагностических параметров ...
Рис. 2. Амплитудно-частотные характеристики в области супергармонического резонанса.
(Сплошная линия - расчет по уравнению (11) при выборе значения З 0 из условия sin /3 0 ~
~ A2I Ai; штриховая линия - данные численного решения при а = 0,005 и h = 0,001.)
Рис. 3. Расчетные фазочастотные характеристики исследуемой системы в области супер
гармонического резонанса при а = 0,005 и к = 0,001.
Для уменьшения зависимости вычисляемого значения А ^ А 1 при резо
нансе от выбора величины угла 3 0 представим выражение ( 1 1 ) через
интегральные значения числителя и знаменателя, считая 3 0 переменной
интегрирования, изменяющейся от 3 0 до л / 2 :
ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2004, № 5 9
В. В. Матвеев
Л 2
л
COS( у 2 - 2У і). (14)
4лН—2 (1 + cos2y3 о)
О
Полученные с использованием уравнения (14) зависимости резонанс
ного отношения А 2 ІАі от параметра 3 0 показаны на рис. 4. Как видно,
уравнение (14) дает меньшее различие значений А ^ Аі при разной вели
чине 3 о и несколько меньшие значения А2 /А 1 , чем уравнение ( 1 1 ).
Рис. 4. Зависимости отношения амплитуд A2/ Ах от параметра а при h = 0,001 и 0,0025,
рассчитанные по уравнениям (11) - 1 и (14) - 2 при выборе значения ^ 0 из условий
sin ̂ 0 ~ А2 / Ai (сплошные линии) и sin ̂ 0 ~ 0,5 А ^Ai (штрихпунктирные линии) для случая
супергармонического резонанса (v = 0,5w0).
Рис. 5. Зависимости отношения амплитуд А2/ А1 от величины угла у50, рассчитанные по
формулам (11) - 1 и (14) - 2 для случая супергармонического резонанса (V = 0,5^) при
а = 0,005 и к = 0,001. (Штриховая линия - значение А2 / А1, полученное по данным числен
ного решения.)
10 ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2004, № 5
Более отчетливо это прослеживается из сравнения представленных на
рис. 5 зависимостей отношения амплитуд A 2 / A 1 от величины угла 3 0,
определенных по уравнениям (11) и (14), как выражений для A ^ A j, задан
ных в явном виде при данном значении 3 о-
Выражение (12) для sin у j остается без изменения.
Анализ реш ения во втором приближении для супергармонического
резонанса. В качестве второго приближения рассмотрим возможность учета
высших гармоник, определяемых значениями n = 2 и 4, т.е. при s = 2 - это
(см. (2)) четвертая и восьмая гармоники. В этом случае усложняется нахож
дение сдвига фаз (у 2 - 2у j), поскольку из уравнения (5) не удается получить
явное выражение для tg (у 2 - 2у j). Так, используя выражения для тригоно
метрических функций кратных углов
Приближенное аналитическое определение вибродиагностических параметров ...
sin2( у 2 - 2у i ) = 2cos( у 2 - 2у i ) tg ( у 2 - 2у 1 ) ;
COs2(у 2 - 2у 1 ) = COs2(у 2 - 2у 1 )[1 - tg 2(у 2 - 2у 1 )];
» п 4 ( у 2 - 2 у 1 ) = 4 c° sV 2 - 2 у 1 )[tg(у 2 - 2 у 1 ) - tg 3 (у 2 - 2 у 1 )]; (15)
COs4(у 2 - 2у 1 ) = 1 - 8cos4(у 2 - 2у 1 )tg 2(у 2 - 2у 1 )
и учитывая наряду с выражениями ( 1 0 ) средние значения тригонометри
ческих функций угла 3
sin4 3 =
1 - cos 43 0
sin 8 3 =
1 - cos 8 3 0
2 ( я - 2 3 о ) ’ 4 ( я - 2 3 о ) ’
уравнение (5) преобразуется следующим образом:
(16)
2 а
225я
(2 - а ) - 1 2 8 |- cos (у 2 - 2у 1 )( 1 - cos8 3 0 )tg (у 2 - 2у 1 ) +
16а v
+ — ^ - y cos(у 2 - 2у 1 ) ( 1 - cos^ ^ o ) + 2 5 cos (у 2 - 2 у 1 )( 1 - cos8 3 о) X
X tg (у 2 - 2у 1 ) + ^ 8 ^ - у ( 1 + cos^^ 0 ) -
О
2 а
(2 - а ) - 32
О
cos(у 2 - 2у 1 ) X
X (1 - cos4 3 0)-
2 а
225я
(2 - а ) -1 2 8 Ю cos3 (у 2 - 2 у 1 )( 1 - cos83 0 )fX
X tg( у 2 - 2у 1 ) - (2 - а ) - 8 | o ( 1 + cos2 3 0 ) +
16а v
+ —— h —;t
9я О
cos(у 2 - 2 у 1 )( 1 - cos 4 3 0 ) +
1 - cos'
25cos(у 2 - 2у 1 )
2
2
2
ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2004, № 5 11
В. В. Матвеев
Учитывая выражения (10), а также средние значения
2( я - 2 3 о ) ' 4( я - 2,3 о ) ’
уравнение для определения основного диагностического параметра А2 / А х
получим из (6 ) при А0/ А = а /я :
А2 а „ „ ,
—— = — [(2 - а ) ( я - 2 3 0) - 2 я cosу30 ](
Лі я
+8h i " —cos( у —- 2у i )l s i n 2 3 о + 9я
16hi " —Sin—(У — - —Уi )J Sin^ ^ о + 450Я
1 V
8 |\i ,
2v
i J
sin( У 2 - —У 1 ) +
cos2(У 2 - 2 У1 ) -
(2 - а ) -1 2 8
2
х cos4(У2 - 2у 1 ) - 3 2 h І 2 !sin4(у 2 - 2у 1 ) | sin8/3^ . (18)
В отличие от решения задачи в первом приближении, когда значение
tg(у 2 - 2у 1), вычисляемое по формуле (9), не зависело от выбора угла 3 0,
нахождение tg(у 2 - 2у 1 ) из уравнения (17) связано с необходимостью пред
варительного выбора величины 3 о и значения cos(у 2 - 2 у 1 ), входящего в
уравнение в различной степени. Однако, как показывает решение задачи в
первом приближении, сдвиг фаз (у 2 - 2 у 1 ) при супергармоническом резо
нансе весьма мал и составляет менее одной сотой радиана, что позволяет в
начале расчета принять величину cos(у 2 - 2 у 1 ) равной единице, а затем
исходя из полученного значения tg(у 2 - 2 у 1 ) определить ее и, решив урав
нение (17), уточнить значение tg(у 2 - 2у 1 ).
Выбор значения угла 3 о представляет определенные трудности, по
скольку от него зависят как сдвиг фаз (у 2 - 2 у 1 ), так и отношение А 2 / А х,
Поэтому здесь также необходимо использовать метод последовательных
приближений, рассматривая в комплексе уравнения (17) и (18). Так, приняв
угол 3 о равным его значению, полученному при решении задачи в первом
приближении, находим первое значение tg(у 2 - 2 у 1 ), используя уравнение
(17). По этому значению вычисляем cos(у 2 - 2у 1 ) и, решая опять уравнение
(17), определяем уточненное значение tg(у 2 - 2у 1), по формуле (18) -
отношение А2 /А 1 , а из условий sin 3 о ~ А2 /А 1 и sin3 о ~ о,5 А2 /А 1 - угол
3 о, и повторяем вычисления tg(у 2 - 2 у 1 ) и А 2 ІА х.
В качестве примера в табл. 1 для случая а = о,оо5, h = о,оо1 и v =
= о ,5 іо = о,499373 приведены значения (у 2 - 2у 1), найденные из уравнения
(17) второго приближения и по формуле (9) первого приближения, и отноше
ние А 2 ІА х, вычисленное по формуле (18) второго приближения и формулам
(11), (14) первого приближения.
12 ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2004, № 5
Приближенное аналитическое определение вибродиагностических параметров ...
Т а б л и ц а 1
Значения сдвига фаз (у г — 2у х), найденные из решения уравнений (17), (19) и формулы (9),
и отношения амплитуд А2 /А1, вычисленные по формулам (11), (14) и (18), (20)
Условие
опреде
ления
угла 3 0
(у 2 - 2У1 )5 рад
по
A2 / A 1
по
(9) (17) (19) (1 1 ) (14) (18) (2 0 )
Г 1 0,003218 0,002045 0,001799 0,5613 0,50600 0,6132 0,4569
Г 2 0,003218 0,002292 0,001970 0,6459 0,52834 0,8747 0,5091
А 0 + 1 2 , 0 + 9,5 + 15,0 + 4,4 + 42,6 + 11,4
Г2 -Г,
Примечание. Г,: sin/30 ^ Л2/ A,; Г2: sin/30 ^ 0,5Л2/ A,; А = --------, %.
Г 1
Как видно, по сравнению с первым приближением величина сдвига фаз
(У 2 — 1 ) уменьшилась, а отношение А 2 / А 1 возросло и увеличилось влия
ние выбора угла 3 0.
Рис. 6 . Зависимости отношения амплитуд A2j Л, от угла 3о, рассчитанные по формулам (11)
- 1, (14) - 2, (18) - 3 и (20) - 4 для случая супергармонического резонанса (v = 0,5^) при
а = 0,005 и h = 0,001.
Для оценки влияния угла 3 0 на определяемое значение отношения
A 2 IЛх на рис. 6 приведены зависимости A2 /A 1 от 3 0 , рассчитанные по
формуле (18) при определении сдвига фаз (у 2 - 2у 1) из уравнения (17) и по
формулам (11), (14) первого приближения. На зависимостях, которые рас
считаны по формулам (11) и (14), отмечены характерные точки, соответст
вующие значениям 3 0 , определяемым из условий sin 3 0 ~ A 2 IЛх и sin 3 0 ~
~ 0,5A2 /A 1 . Видно, что учет высших гармоник обусловил существенную
зависимость определяемого значения отношения A ^ A 1 от угла 3 0 . Для
уменьшения зависимости получаемого результата от выбора угла 3 0 посту
пим аналогично рассмотренному интегральному усреднению при определе
нии уравнения (14), т.е. полагая угол 3 0 переменной интегрирования, про-
ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2004, № 5 13
В. В. Матвеев
интегрируем все члены уравнения (17), а также числитель и знаменатель
выражения (18) в пределах изменения этого угла от р о до л / 2. В результате
получим уравнения соответственно для определения tg(у 2 - 2у 1 ):
2 а
225л
(2 - а ) -1 2 8
(—
соэ (у 2 - 2у 1 ) 1+
4 л - 2 р о ) .
tg (у 2 - 2у 1) +
16а у
+ — ^ ^ соэ(у 2 - 2у 1 )
9л —
1 +
2 ( л - 2 р о) + 2 5 соэ (у 2 - 2у 1) Х
X11 +
яп 8 р с
4( л - 2р о)
tg (у 2 - 2 у 1) + 1 8Н^ ~
—
1-
э т 2 р 0
л - 2 р (
2 а
■— соэ(у 2 - 2у 1 ) ' (2 - а ) - 321 — 1+
2 ( л - 2 р 0 ).
+
1
+
25
(2 - а ) -1 2 8
(—
соэ (у 2 - 2у 1 ) 1+
э т ;
4(л - 2р 0 ) ' tg(у 2 - 2у 1 ) '
(2 - а ) - 8 1 —
э т 2 р 0
л - 2 р 0
16а
+ -----Ну
9л
соэ(у 2 - 2у 1) | 1 +
2 ( л - 2 р 0 )
+
+
1
1+
25соэ(у2 - 2у 1 )^ 4 ( л - 2 р 0 ) (19)
и диагностического параметра А2 /А 1 :
А2 2а
А 1 л
л
( 2 - а ) ^ - ^ - р 0 | - 2 л ( 1 - я п р 0 ) X
X ( (2 - а ) - 8 1 — э1п(у 2 - 2у 1 ) + 8 Н ^ с о э ( у 2 - 2у 1 ) г (1 + соэ2р0 )-
—
а
18л
(2 - а ) - 321 — соэ2(у2 - 2у 1 ) - 1 6 Н ^ э т 2 ( у 2 - 2у 1 ПХ
—
X (1 - соэ4р 0) -
а
1800л
(2 - а ) - 1 2 8 1 -
\ —
соэ 4(у 2 - 2у 1 ) -
2
0
2
2
0
2
0
2
2
2
2
14 0556-171Х. Проблемы прочности, 2004, № 5
Приближенное аналитическое определение вибродиагностических параметров
-1
- 3 2 h s i n 4(у 2 - 2у 1 U ( 1 - cos8 i 0 ) (20)
Значения (у 2 - 2у 1) и Л2 / Л1 при определении i 0 из условий sin i 0 =
~ Л2 / Л1 и s i n i 0 ~ 0 ,5Л ^Л 1 приведены в табл. 1. Как видно, влияние
выбора угла i 0 на определяемые значения (у 2 — 2 у 1 ) и Л ^ Л 1 уменьши
лось. Это особенно наглядно следует из представленной на рис. 6 зависи
мости определяемого отношения амплитуд Л2 /Л 1 от величины i 0 - Эта
зависимость также показывает, что учет высших гармоник при использовании
уравнения (2 0 ) определяет несколько меньшие резонансные значения А 2 /А 1 .
Однако при i 0 = 0 значения Л2 /Л ^ вычисляемые по формуле (14) первого
приближения и по (20), практически совпадают. Это объясняется тем, что при
i 0 = 0 выражение (20) аналогично выражению (14) первого приближения,
если учесть соотношение (9).
Выражение для sin у 1 с учетом высших гармоник имеет вид
Решение для области основного резонанса. Учитывая результаты
исследования резонансных колебаний рассматриваемой системы с использо
ванием асимптотического метода, определяющие наличие в спектре колеба
ний (см. (17) и (18) [1]) только четных высших гармоник с преобладающим
значением амплитуды второй гармоники А2 (Л4 /Л 2 = 0,04; Л ^ Л 2 = 0,00735
и т.д.), можно в первом приближении отыскивать решение уравнения ( 1 )
также для случая основного резонанса в виде (2) при s = 2 и n = 0. При этом
для определения основного диагностического параметра Л ^ Л 1 в области
основного резонанса можно использовать выражения (9), (11), (12), (14), (15)
при частоте внешнего возбуждения v ^ r n 0 , где т 0 определяется выраже
нием (13).
На рис. 7 приведены зависимости диагностического параметра Л ^Л !
при v ^ r n 0 от параметра нелинейности системы а при h = 0 ,0 0 1 ...0 ,0 1 ,
рассчитанные по уравнениям (11) и (14) при условии sin i 0 ~ Л2 /Л 1 и по
формуле (18) [1] при n = 2 (Л2 /Л 1 = 2а/9я). Видно, что результаты расчета
Л2 /Л 1 по уравнению (14) для значений а < 0,025 практически соответст
вуют результатам, полученным с помощью асимптотического метода [ 1 ], т.е.
значению 2 ^ 9я, и не зависят от коэффициента h в рассматриваемом
диапазоне его изменения. Например, при а = 0,005 значение отношения
Л2 /Л 1 выше 2 ^ 9я на 2,35%, при а = 0,025 - на 7,1%, при а = 0,05 - на
13,1% и при а = 0,1 - на 26%, в то время как определяемое из уравнения
(11) значение указанного отношения выше в 4,9...4,99 раза. Таким образом,
для основного резонанса следует использовать уравнение (14). При этом
отметим, что ввиду малости амплитуды высшей гармоники (Л2 /Л 1 < 0 ,0 1 ) в
sin у 1 = -
ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2004, № 5 15
В. В. Матвеев
практических расчетах в уравнении (14) условие sinfl0 = А г /А х факти
чески эквивалентно принятию значения угла fl о равным нулю. Кроме того,
наблюдаемое условие А2 < < Ai обеспечивает правомерность использова
ния исходных выражений (9), (14) при значительно больших значениях
параметра а, чем при супергармоническом резонансе, ограничиваемых усло
вием А2 < Ai.
Рис. 7. Зависимости отношения амплитуд A2jA1 от параметра а для основного резонанса
(v = w0), рассчитанные по уравнениям (11) - 1 и (14)- 2 при условии sin $ 0 ~ A2j Als по (22)
- 3 и по формуле A2I Ai = 2aj 9п - 4 при n = 2 (штриховая линия, соответствующая
численному решению, совпадает с кривой 4).
Полагая значение угла 3 0 равным нулю, получаем простую формулу
для определения отношения амплитуд А 2 /А 1 как при основном, так и
супергармоническом резонансе 2-го порядка:
А2
Ал
а
ж
( 2 - а ) - - 2
COS(У 2 - 2У 1) . (22)
8Н-
(О
Угол сдвига фазы у i определяется формулой (21), для значений а < 0,1
с достаточной точностью можно использовать также формулу (12).
Проведенные для основного резонанса (v = ю о) вычисления значений
A 2 IA x по уравнению (14) при выборе угла $ о из условия sin $ о ~ A2 /A 1 и
по формуле (22) показывают, что они практически совпадают (на рис. 7
кривые 2, 3). Некоторое различие между значениями A2 / A1 проявляется при
а < 0 ,3 , при возрастании а от 0,04 до 0,1 оно не превышает 0,032...0,18%.
Относительная амплитуда основной гармоники как для основного резо
нанса, так и для супергармонического резонанса 2-го порядка определяется
выражением (8).
16 ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2004, № 5
Приближенное аналитическое определение вибродиагностических параметров
На рис. 8 для области основного резонанса приведены амплитудно
частотные зависимости, на рис. 9 - фазочастотные характеристики, рассчи
танные с использованием формул (8 ), (9), (21), (22) при а = 0,01 и 0,05 и
к = 0,001 и 0,01. Как и ранее, в расчетах принимаем ® = 1, т.е. к/(о = к.
Следует заметить, что значения отношения Л2 1Л1 не зависят от коэффи
циента к, а сдвиг фаз (у 2 — 2 у 1 ) практически не зависит от параметра а.
Рис. 8. Амплитудно-частотные характеристики Л^/ш) - 1, 2 и Лі/qo(v/ŵ ) - 3, 4 для
области основного резонанса при разных значениях параметров а и к: 1 - а = 0,05,
к = 0,001...0,01; 2 - а = 0,01, к = 0,001...0,01; 3 - а = 0,05, к = 0,001; 4 - а = 0,01, к = 0,001;
5 - а = 0,05, к = 0,01; 6 - а = 0,01, к = 0,01.
Рис. 9. Фазочастотные характеристики [у 2 — 2у 1 ](у/ш) - 1, 2 и - 3-6 для области
основного резонанса при разных значениях параметров а и к: 1 - а = 0,01...0,05, к = 0,01;
2 - а = 0,01...0,05, к = 0,001; 3 - а = 0,05, к = 0,001; 4 - а = 0,01, к = 0,001; 5 - а = 0,05,
к = 0,01; 6 - а= 0,01, к = 0,01.
ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2004, № 5 17
В. В. Матвеев
Оценка достоверности аналитического решения. Для оценки досто
верности полученных результатов приближенного аналитического определе
ния диагностических параметров колебательного процесса в области основ
ного и супергармонического резонансов системы с асимметричной билиней
ной характеристикой восстанавливающей силы было выполнено численное
решение исходного уравнения (1) методом усреднения по ускорению [2] с
произвольно выбранными начальными условиями и продолжением вычисле
ния до установления с заданной точностью стационарного режима колеба
ний [3].
Данные численного исследования представлены на рисунках штрихо
выми линиями. Сопоставление результатов аналитического и численного
решений свидетельствует о вполне удовлетворительном их соответствии.
При супергармоническом резонансе лучшее согласование результатов дают
интегрально-усредненные зависимости (14), (20), при основном - зависи
мость (22).
Т а б л и ц а 2
Значения отношения амплитуд Л21 рассчитанные по формулам (14) и (20),
а также результаты численного решения методами Рунге-Кутта [4]
и усреднения по ускорению [3]
№
уравнения
а
0,0909091 0,4382 60746,20 0 40 О 40 0 чо
h
0,02 0,03 0,04 0,05 0, 1
(14)
sin/30 « А2/ А1
0,515284
(+ 9,9)
0,357799
(+ 9,1)
0,274068
(+ 9,6)
0,222069
(+12,2)
0,692211
(+ 9,8)
0,390546
(+ 0,7)
0,113877
(-5,7)
(14)
sinЗ 0 ~ 0,5А2/ Ai
0,547843
(+ 16,9)
0,3732
(+13,8)
0,282881
(+ 13,1)
0,227731
(+15,0)
0,78384
(+ 24,3)
0,418244
(+ 7,8)
0,115251
(-4,6)
(20)
sin/Зо ~ А2/А1
0,469674
(+ 0,2)
0,34464
(+ 5,1)
0,269115
(+ 7,6)
0,219883
(+ 1 1 ,0 )
0,623058
(-1,2)
0,377174
(-2,7)
0,113723
(-5,9)
(20)
sin Зо ~ 0,5 А21А1
0,529122
(+ 12,9)
0,368741
(+12,4)
0,281362
(+ 12,5)
0,227072
(+14,7)
0,749809
(+18,9)
0,412977
(+ 6,5)
0,115203
(-4,6)
(14), (20)
З 0 = 0
0,582418
(+ 24,2)
0,38840
(+18,4)
0,291328
(+ 16,5)
0,233065
(+17,7)
0,954
(+ 51,3)
0,45505
(+17,3)
0,116554
(-3,5)
Метод
Рунге-Кутта
0,46875 0,3280 0,2500 0,1980 0,6306 0,3878 0,1208
Метод
усреднения
по ускорению
0,49310 0,32845 0,24535 0,19378 0,50362 0,29315 0,1029
Примечание. В скобках приведены данные (в %), определенные по отношению к резуль
татам численного интегрирования методом Рунге-Кутта.
Проведено также сопоставление (табл. 2) определенных по уравнениям
(14) и (20) значений отношения амплитуд А с данными численных
решений уравнения вида (1) методом Рунге-Кутта [4] при различных значе
ниях параметров а и к. (В табл. 2 приведены также результаты, получен
18 ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2004, № 5
Приближенное аналитическое определение вибродиагностических параметров
ные методом усреднения по ускорению [3].) Как видно, и в этом случае, за
редким исключением, наблюдается удовлетворительное соответствие между
результатами даже при весьма больших значениях параметра а. Лучшее
согласование отмечается при использовании уравнения (20) при условии
sinРо ~ A 2 I А х. Отметим, что анализ зависимостей А2 / A 1 от параметра а
(рис. 1) при различных значениях коэффициента h подтверждает получен
ный в [5] вывод, что слабый резонанс (А ^ Ai <1) проявляется при aw /h <10.
Так, точка на приведенной зависимости для h = 0,001 при а = 0,01, опреде
ляющая А2 /А 1 =1, соответствует значению a « /h = 10. Кроме того, такое
сопоставление свидетельствует о возможности использования предложен
ного аналитического решения и полученных выражений для определения
отношения А2 /А 1 также при значительной степени нелинейности системы
(0 ,0 1 < а < 0,5) при условии a w /h < 10, обусловливающем слабый резонанс,
т.е. А2 < А1 .
Анализ зависимостей отношения А2 /А 1 от угла Р 0 (рис. 6) показал,
что наилучшее согласование с численным решением имеют результаты
расчетов по уравнениям (14) и (20). При Р 0 = 0 расчеты по указанным
уравнениям определяют одинаковое значение А2 / А ъ достаточно удовле
творительно соответствующее данным численного решения. Это позволяет
использовать уравнения (14) и (20) с достаточным приближением при значе
нии Р 0 = 0, что значительно упрощает вычисления. Следует также заметить,
что при Р 0 = 0 выражение (20), как и выражение (14), приводится к виду
(22). Таким образом, как при основном, так и при супергармоническом
резонансе 2-го порядка (s = 2) для оперативной оценки основного диагно
стического параметра (относительной величины амплитуды второй гармо
ники (A2 IА 1)) можно использовать простое явное выражение (22) при опре
делении сдвига фаз (у 2 - 2у 1) по формуле (9).
Выражение (22) с учетом (9) можно преобразовать к виду
При строго супергармоническом резонансе соэ(у 2 - 2у 1) = 1 и из фор
мулы (22) прослеживается зависимость отношения амплитуды А ^ А 1 от
коэффициента Н, при основном резонансе эш(у 2 - 2у 1 ) = 1 и формула (23)
свидетельствует об отсутствии влияния коэффициента Н.
На рис. 10 приведены полученные по формуле (22) и путем численного
исследования зависимости отношения амплитуд А 2 /А х от параметра не
линейности а упругой системы при разных значениях коэффициента Н,
характеризующего диссипативные свойства системы, для режима супер-
гармонического резонанса 2-го порядка. Видно, что при а — Н < 5 наблю
дается практически полное совпадение результатов простого приближенного
расчета с численным решением, т.е. при супергармоническом резонансе
расчетные формулы (8), (9), (12), (22) можно с успехом применять для
оценки наиболее важных с практической точки зрения диагностических
А2
л
a ( 2 - a ) -----2
4
А (23)
ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2004, № 5 19
В. В. Матвеев
признаков ранних стадий развития трещин. Для больших значений пара
метра а, как следует из данных табл. 2, целесообразно использовать уравне
ния (19), (20) или более простое уравнение (14) и формулу (9).
Рис. 10. Зависимости отношения амплитуд Лг от параметра а при разных значениях
коэффициента к, рассчитанные по формуле (22) (сплошные линии) и по данным численного
решения (штриховые линии) для случая супергармонического резонанса (V = 0,5^о).
Л2 Лл
Рис. 11. Амплитудно-частотные зависимости — (у/ш) - 1-4 и — (у/ш) - 5, 6 для области
Л1 40
супергармонического резонанса при разных значениях параметров а и к 1 - а = 0,0075,
к = 0,001; 2 - а = 0,005, к = 0,001; 3 - а = 0,0075, к = 0,01; 4 - а = 0,005, к = 0,01; 5 -
а = 0,0075, к = 0,001...0,01; 6 - а = 0,005, к = 0,001...0,01.
Полученные с помощью расчетных формул (8), (22) и (9), (12) ампли
тудно-частотные и фазочастотные характеристики для супергармонического
резонанса при разных значениях а и к приведены на рис. 11, 12. Для
20 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2004, № 5
Приближенное аналитическое определение вибродиагностических параметров
одного из конкретных значений а = 0,005 и h = 0,001 приведена ампли
тудно-частотная характеристика, построенная по данным численного реше
ния. Как и в случае использования уравнения (11), при определении fl 0 из
условия sin fl 0 = A 2 /A i (рис. 2 ) во всей резонансной области изменения
частоты возбуждения наблюдается хорошее соответствие между результа
тами расчета и численного решения.
- п
0 ,0 1 4
0,012
0,01
0 ,0 0 8
0 ,0 0 6
0 ,0 0 4
0,002
Рис. 12. Фазочастотные характеристики [у 2 — 2ух ]{у/ш) - 1-4 и у1(у!ш) - 5-8 для области
супергармонического резонанса при разных значениях параметров а и к. 1, 7 - а = 0,0075,
к = 0,001; 2, 8 - а = 0,005, к = 0,001; 3, 5 - а = 0,0075, к = 0,01; 4, 6 - а = 0,005, к = 0,01.
В области супергармонического резонанса максимальное значение отно
шения А2 / А х при сохранении постоянной величины к изменяется пропор
ционально изменению параметра а (рис. 1 0 ), однако в отличие от основного
резонанса (рис. 7) величина этого отношения на два порядка выше, даже при
значениях а на порядок меньше, и существенно зависит от коэффициента к.
Заключение. Рассмотрен приближенный аналитический метод иссле
дования вынужденных колебаний нелинейной системы с асимметричной
билинейной характеристикой восстанавливающей силы, моделирующей упру
гое тело с локальной несплошностью материала типа закрывающейся тре
щины усталости нормального отрыва. Метод основан на отыскании периоди
ческих решений в области основного и супергармонического резонансов
путем удовлетворения дифференциального уравнения колебаний в моменты
заведомо известного значения упругой характеристики. Анализ полученных
решений для основного и супергармонического резонанса 2 -го порядка и
сопоставление расчетных данных с численным решением дифференциаль
ного уравнения позволили найти в явном виде простые выражения различ
ных приближений для определения основного вибродиагностического пара
метра - относительной амплитуды второй гармоники в зависимости от
интегрального параметра нелинейности системы, т.е. относительного разли-
ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2004, № 5 21
В. В. Матвеев
чия жесткости системы на полуциклах деформирования разного знака, а
также построить для заданных параметров системы ее амплитудно-частот
ные и фазочастотные характеристики.
Р е з ю м е
Із використанням отриманих автором визначальних рівнянь установлено
аналітичні вирази різних наближень для визначення в області основного та
супергармонічного резонансів вібродіагностичних параметрів пошкодження
від утоми пружного тіла типу тріщини нормального відриву, що закри
вається. Шляхом зіставлення результатів розрахунку з даними числових
розв’язків оцінюється вірогідність аналітичного розв’язку.
1. Матвеев В. В. Приближенное аналитическое определение вибродиагно-
стических параметров нелинейности упругих тел, обусловленной нали
чием закрывающейся трещины. Сообщ. 1. Существующие и предла
гаемый методы решения // Пробл. прочности. - 2004. - № 4. - С. 5 - 20.
2. Тимошенко С. П., Янг Д. X., Уивер У. Колебания в инженерном деле. -
М.: Машиностроение, 1985. - 472 с.
3. Бовсуновский А. П. Численное исследование колебаний нелинейной
механической системы, моделирующей тело с трещиной // Пробл. проч
ности. - 1999. - № 6. - С. 65 - 80.
4. Плахтиенко Н. П. К диагностике кусочно-постоянной жесткости при
нелинейных резонансах // Прикл. механика. - 1991. - 27, № 10. - С. 112
- 120.
5. Плахтиенко Н. П. Резонанс второго порядка пластины, содержащей
протяженные дефекты целостности // Пробл. прочности. - 2001. - № 1.
- С. 105 - 116.
Поступила 29. 10. 2003
22 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2004, № 5
|