Устойчивость цилиндрических оболочек с учетом рассеянного трещинообразования в материале

Выполнены постановка и решение задач о бифуркационной устойчивости цилиндрических оболочек с учетом поврежденности материала в докритическом напряженном состоянии. Поврежденность материала обусловлена неоднородностью его микропрочности и моделируется системой плоских эллиптических и круговых трещ...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:
Bibliographische Detailangaben
Datum:2004
1. Verfasser: Бабич, Д.В.
Format: Artikel
Sprache:Russian
Veröffentlicht: Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України 2004
Schriftenreihe:Проблемы прочности
Schlagworte:
Online Zugang:http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/47114
Tags: Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:Устойчивость цилиндрических оболочек с учетом рассеянного трещинообразования в материале / Д.В. Бабич // Проблемы прочности. — 2004. — № 5. — С. 36-47. — Бібліогр.: 10 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id irk-123456789-47114
record_format dspace
spelling irk-123456789-471142013-07-09T23:16:23Z Устойчивость цилиндрических оболочек с учетом рассеянного трещинообразования в материале Бабич, Д.В. Научно-технический раздел Выполнены постановка и решение задач о бифуркационной устойчивости цилиндрических оболочек с учетом поврежденности материала в докритическом напряженном состоянии. Поврежденность материала обусловлена неоднородностью его микропрочности и моделируется системой плоских эллиптических и круговых трещин, статистически однородно изотропно распределенных по объему оболочки. Математическая постановка задачи осуществлена в рамках гипотез Кирхгоффа-Лява с использованием концепции продолжающегося нагружения. Построено решение задачи при всестороннем сжатии оболочки. ричних оболонок з урахуванням пошкодженості матеріалу в докритичному напруженому стані. Пошкодженість матеріалу зумовлена неоднорідністю його мікроміцності і моделюється системою плоских еліптичних та кругових тріщин, що статистично однорідно ізотропно розподілені по об’єму оболонки. Математична постановка задачі здійснена в рамках гіпотез Кірхгоффа-Лява з використанням концепції продовжуючого навантаження. Побудовано розв’язок задачі про стійкість при всебічному стисненні оболонки. We formulate and solve the problem of bifurcation stability of cylindrical shells with account of the material damage under subcritical stressed state condition. The material damage is stipulated by dissimilarity of its microstrength and modeled by a system of plane elliptic and circular flaws with statistically uniform isotropic distribution within the shell volume. The mathematical formulation of the problem is realized within the framework of the Kirchhoff- Love hypotheses using the concept of a prolonging loading. We obtained solution of the stabilty problem for a shell subjected to uniform pressure. 2004 Article Устойчивость цилиндрических оболочек с учетом рассеянного трещинообразования в материале / Д.В. Бабич // Проблемы прочности. — 2004. — № 5. — С. 36-47. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. 0556-171X http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/47114 539.3 ru Проблемы прочности Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
language Russian
topic Научно-технический раздел
Научно-технический раздел
spellingShingle Научно-технический раздел
Научно-технический раздел
Бабич, Д.В.
Устойчивость цилиндрических оболочек с учетом рассеянного трещинообразования в материале
Проблемы прочности
description Выполнены постановка и решение задач о бифуркационной устойчивости цилиндрических оболочек с учетом поврежденности материала в докритическом напряженном состоянии. Поврежденность материала обусловлена неоднородностью его микропрочности и моделируется системой плоских эллиптических и круговых трещин, статистически однородно изотропно распределенных по объему оболочки. Математическая постановка задачи осуществлена в рамках гипотез Кирхгоффа-Лява с использованием концепции продолжающегося нагружения. Построено решение задачи при всестороннем сжатии оболочки.
format Article
author Бабич, Д.В.
author_facet Бабич, Д.В.
author_sort Бабич, Д.В.
title Устойчивость цилиндрических оболочек с учетом рассеянного трещинообразования в материале
title_short Устойчивость цилиндрических оболочек с учетом рассеянного трещинообразования в материале
title_full Устойчивость цилиндрических оболочек с учетом рассеянного трещинообразования в материале
title_fullStr Устойчивость цилиндрических оболочек с учетом рассеянного трещинообразования в материале
title_full_unstemmed Устойчивость цилиндрических оболочек с учетом рассеянного трещинообразования в материале
title_sort устойчивость цилиндрических оболочек с учетом рассеянного трещинообразования в материале
publisher Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України
publishDate 2004
topic_facet Научно-технический раздел
url http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/47114
citation_txt Устойчивость цилиндрических оболочек с учетом рассеянного трещинообразования в материале / Д.В. Бабич // Проблемы прочности. — 2004. — № 5. — С. 36-47. — Бібліогр.: 10 назв. — рос.
series Проблемы прочности
work_keys_str_mv AT babičdv ustojčivostʹcilindričeskihoboločeksučetomrasseânnogotreŝinoobrazovaniâvmateriale
first_indexed 2025-07-04T06:46:18Z
last_indexed 2025-07-04T06:46:18Z
_version_ 1836697863218790400
fulltext УДК 539.3 Устойчивость цилиндрических оболочек с учетом рассеянного трещинообразования в материале Д. В. Бабич Институт механики им. С. П. Тимошенко, Киев, Украина Выполнены постановка и решение задач о бифуркационной устойчивости цилиндрических оболочек с учетом поврежденности материала в докритическом напряженном состоянии. Поврежденность материала обусловлена неоднородностью его микропрочности и модели­ руется системой плоских эллиптических и круговых трещин, статистически однородно изотропно распределенных по объему оболочки. Математическая постановка задачи осу­ ществлена в рамках гипотез Кирхгоффа-Лява с использованием концепции продолжающе­ гося нагружения. Построено решение задачи при всестороннем сжатии оболочки. Ключевые слова : поврежденность материала, эллиптические и круговые микротрещины, устойчивость, цилиндрическая оболочка. Задачи устойчивости оболочек из поврежденных материалов рассмат­ ривались ранее [1, 2]. Поврежденность отождествлялась со статистически однородно изотропно распределенными дефектами типа плоских эллипти­ ческих и круговых трещин постоянной концентрации. При решении задач устойчивости учитывалось, что изотропный материал с подобного рода повреждениями при сложном напряженном состоянии, сопровождающемся растяжением и сжатием, ведет себя как анизотропная физически нелинейная среда [1, 2]. Механизм физической нелинейности в этом случае обусловлен различием в характере взаимодействия поверхностей разориентированных микротрещин. Известен также другой механизм нелинейного деформиро­ вания повреждающейся среды, связанный с изменением концентрации тре­ щин в зависимости от уровня нагружения ввиду неоднородности прочност­ ных свойств структурных элементов материала. Один из способов описания совместного деформирования и повреж­ даемости материала предложен в [3, 4], где разрушенные микрообъемы моделируются структурными микроэлементами в виде микропор. В работе рассматривается континуальная модель деформирования упругохрупких материалов с накоплением повреждений в виде плоских микротрещин, случайным образом расположенных на всевозможных плос­ костях сечений представительного объема, в котором заданы средние одно­ родные напряжения. Полагаем, во-первых, что определяющие размеры и формы микротрещин близки к таковым характерных сечений структурных элементов материала и, во-вторых, что в процессе деформирования микро­ трещины не растут и не взаимодействуют между собой, а объемная плот­ ность (концентрация) микродефектов изменяется с ростом уровня средних напряжений ввиду неоднородности микропрочности материала и определя­ ется относительной долей разрушенных структурных элементов, содержа­ щихся в единичном объеме. © Д. В. БАБИЧ, 2004 36 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2004, № 5 Устойчивость цилиндрических оболочек ... Модель используется для постановки задач о бифуркационной устойчи­ вости цилиндрических оболочек в рамках гипотез Кирхгоффа-Лява. Нели­ нейность уравнений состояния из-за зависимости концентрации микротре­ щин в материале от уровня нагружения усложняет решение задач устой­ чивости тонкостенных элементов конструкций. При обсуждении данной проблемы аналогом могут служить задачи устойчивости для упругопласти­ ческих тел [5]. Подобно ситуации при исследовании устойчивости за пре­ делом упругости в случае трещиноватых оболочек имеют место два вари­ анта потери устойчивости, а именно: потеря устойчивости при продолжа­ ющемся нагружении (касательно-модульная нагрузка) и при постоянном (приведенно-модульная нагрузка). Во втором случае вследствие искривле­ ния оболочки возмущения напряжений изменяют знак по толщине, т.е. возникают участки разгрузки и догрузки основного напряженного состоя­ ния. На участках разгрузки концентрация трещин не меняется, поэтому деформирование происходит по линейному закону. При догрузке материал деформируется нелинейно за счет увеличения концентрации трещин. В случае деформирования оболочки при постоянном нагружении характерным является то, что приведенно-модульная нагрузка выше касательно-модуль­ ной. Учитывая, что теоретические значения критических напряжений, как правило, выше экспериментальных, по-видимому, вариант теории устойчи­ вости при продолжающемся нагружении - наиболее приемлемый подход к исследованию устойчивости оболочек с рассеянной по объему трещинова­ тостью как с точки зрения точности результатов, так и простоты постановки и решения задачи устойчивости, поскольку нет необходимости определять области разгрузки и догрузки. Связанное деформирование и трещинообразование материала. Ранее [1, 2] с использованием энергетического метода [6] получены уравнения состояния для поврежденного материала с постоянной концентрацией плос­ ких микродефектов. Связь между средними напряжениями и деформациями для изотропного трещиноватого материала при всестороннем сжатии либо растяжении имеет вид Соотношения для других напряжений получаются круговой переста­ новкой индексов 1, 2, 3. В отличие от сплошного материала, выражения для технических постоянных в (1) при растяжении (о й > 0, I = 1, 2, 3) и сжатии (о и < 0) с учетом трения скольжения поверхностей микротрещин опреде­ ляются через постоянные упругости сплошной среды Е о , О о , V о и пара­ метры микротрещин [1, 2] (1) 0 = £п + £ 22 + £ 33- (2) 0556-171Х. Проблемы прочности, 2004, № 5 37 Д. В. Бабич где слагаемые а'- в случае изотропного материала, поврежденного дефек­ тами в виде эллиптических трещин с полуосями а , Ь, которые статисти­ чески однородно изотропно распределены по объему, в зависимости от наводимого в теле напряженного состояния и характера взаимодействия по­ верхностей трещин будут определяться по следующим соотношениям [1 , 2 ]: 1 ) всестороннее растяжение, сопровождающееся раскрытием трещин (о и > 0 ): — ( А 1 + А2) + 7 А3*11 а 12 = £ 15 5 1 2 ----- (Л-1 + Ат) +----- Аз 15( 1 2) 15 3 5 ( А 1 + Л2 ) + 1 5 Аз (3) 2 ) всестороннее сжатие с учетом трения скольжения (о и < 0 ): 2 а 1 1 = £ а 12 = £ 15 ( 1 - 3 / 2 )(А 1 + Л2 ) а 6б = £ 1 2 - 1 5 ( 1 + 2 / 2 )( А1 + А2 ) 2_ 15 ( 3 - 4 / 2 )(А 1 + А2 ) (4) В (3), (4) приведены такие обозначения: , ( 1 - у 0 ^ , ч , ( 1 - ^ 0 ^ , , , , ( 1 - ^ 0 ) А =— К(к ,V0); А2 = — р— б (к ,V0); А3 =Е 0 Е 0 Е( к )Е 0 Я (к ,V0 ) = к 2 [(к 2 - V 0 )Е(к ) + V0 к 12 К (к)]-1 ; б ( к , V 0 ) = к 2 [(к 2 + V 0 к 2 )Е( к ) - V 0 к 2 К (к)]- 1; (5) £ - м алы й п арам етр , определяю щ ий кон ц ен трац и ю трещ ин , £ = 4я л л 2 4я ! 2 \ = - — J J аЬ Е (а ,Ь')йайЬ = — Ж0\аЬ у ;^ (а ,Ь) - плотность распределения микротрещин по размерам; / - коэффициент трения скольжения; Ж0 - 2 2 1 2 2 2 количество трещин в единичном объеме; к = 1 - Ь / а , к 1 = 1 - к , К (к ), Е (к ) - полные эллиптические интегралы первого и второго рода. Приведенные выражения получены в предположении образования в материале трещин с одинаковыми отношениями полуосей а , Ь. Для среды, ослабленной круговыми трещинами радиуса а, имеют место соотношения: , , 4(1- V 0) , 2(1- V 0) 4 я „ , 3 , , , , А _ А2 = я ( 2 - V0)Е0 ' А3 = я Е 0 ’ £ _ 3 а }. (6) 3 38 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2004, № 5 Устойчивость цилиндрических оболочек При е < < 1 постоянные упругости при всестороннем растяжении и сжатии соответственно будут определяться формулами В случае одноосного сжатия характер поведения изотропной трещиноватой среды аналогичен таковому трансверсально изотропной с плоскостью изо­ тропии, нормальной к направлению сжатия. Приращения податливостей при этом будут определяться комбинацией второго и третьего соотношений из (3) и первого из (4). Для описания процесса совместного деформирования и трещинообра- зования упругохрупких материалов с использованием приведенных выше соотношений необходимо найти зависимость обьемной концентрации микро­ трещин е от уровня нагружения. Приемлемой в этом случае является структурная модель накопления повреждений Даниэлса [7]. Изменение обьем­ ной концентрации микротрещин е зависит от механизма микроразрушений в материале, распределения прочностных свойств по объему, а также от истории нагружения. Ниже в качестве примера рассматривается микроразру­ шение типа отрыва. Аналогично может быть рассмотрено и разрушение, связанное со сдвигом. За критерий разрушения структурных элементов материала принимаются соотношения первой теории прочности [8]: где о - случайная величина, которая может обозначать предельные значе­ ния растягивающих либо сжимающих напряжений, вызывающих разруше­ ние структурных элементов материала. Предполагается, что по достижении истинными растягивающими напряжениями о п значения о на соответст­ вующей площадке образуется микротрещина с плоскостью, нормальной к (7) г = г 1 - 4 ( 1 0 - 2уо) ( 1 - У 0) 0 15я (1 + у о) ( 2 - у о) е ’ (8) (9) ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2004, № 5 39 направлению их действия. В случае сжимающих напряжений о n микро­ трещины ориентируются преимущественно параллельно их направлению [8 ]. Если в качестве представительного объема выбрать шар некоторого радиуса, в котором заданы средние напряжения о j (i, j = 1, 2, 3), то нормальное напряжение о n на площадке, ориентация нормали к которой задана сферическими координатами 0 (широта) и р (долгота), будет опре­ деляться выражением о n = о 1 1 cos2 р sin2 0 + о 2 2 sin2 р sin2 0 + о 3 3 cos2 0 + Д. В. Бабич + 2 а 1 2 sin <р cos <р sin в + 2 а 1 3 cos <р sin в cos в + 2 а 2 3 sin <р sin в cos в. ( 1 0 ) Истинное растягивающее напряжение а'п на этой площадке в резуль­ тате уменьшения несущей площади сечения определяется по соотношению а 'п = а п / [1 - Рп(а 'п ) ] 5 (11) где Рп (о 'п) - относительная часть площади пересечения разрушенных струк­ турных элементов. Концентрация плоских микродефектов в случайном се­ чении представительного объема определяется вероятностью Рп (о'п > о ) того, что значения нормального напряжения о'п будут не меньше проч­ ности частиц микроструктуры о, являющейся случайной величиной. При сжатии (о п < 0) несущая площадь не изменяется (о'п = о п). Для аппрокси­ мации распределения прочностных свойств кристаллитов и зерен различной ориентации по аналогии с моделью Даниэлса [7] используется степенной закон: 0 ( о < о о); Р ( * ) = (° - ° о ) а 1 ( а е - ° о ) а ( * 0 ^ о < а с); 1 ( а > а с X (12) где параметры распределения определяются с помощью метода моментов [9] приравниванием выборочных моментов и моментов распределения (12), зависящих от о о, о с и а. Основные моменты (средняя микропрочность (о) и дисперсия В ) для распределения ( 1 2 ) имеют вид ̂= 0 чнГ(о с _ о о) + о О’ (13) 2 а 2 2 а{о)о с . , 2 В 2 = ----- т о 2 - / + < ^ 2. (14) а + 2 с а + 1 С учетом (11) средняя вероятность разрушения элементов структуры, пересекающих единицу поверхности представительного объема, определя­ ется по соотношению 40 ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2004, № 5 Устойчивость цилиндрических оболочек ... (15) Физический смысл величины р заключается в том, что она пред­ ставляет относительную долю единицы площади поверхности шара, на которой нормальные напряжения о п превышают предел прочности о пересекаемых поверхностью шара микрочастиц. При этом в случае растя­ жения частицы растрескиваются по поверхностям, нормальным к о п, при сжатии - в направлении действия о п. Объемная концентрация плоских микродефектов е в (3), (4), (6 ) - ( 8 ) определяется отношением количества разрушенных микрочастиц Nр к их общему количеству N в представи­ тельном объеме. При этом е = р. Такой результат можно получить с помо­ щью приема, который применяется в петрографии для анализа тонких срезов осадков [1 0 ]. Пусть в случайном шаре единичного объема имеется в среднем N микроструктурных элементов среднего объема V ), из которых N о - разру­ шены. Введем следующие обозначения: Я, Яр - среднее количество пере­ сечений на единицу площади поверхности шара соответственно всех и разрушенных структурных элементов; ($) - средняя площадь пересечений. Тогда согласно [10] получим Таким образом, связанный процесс деформирования и дисперсного разрушения в виде образования системы стохастически ориентированных плоских микротрещин моделируется замкнутой системой нелинейных урав- Отметим, что параметр Рп существенно зависит от характера нагру­ жения тела. В частности, при однократном нагружении сплошного тела растягивающими усилиями указанный параметр находится по формуле ( 1 2 ) при о'п = о п. При пошаговом нагружении для определения о'п в качестве Рп используется значение, соответствующее предшествующему этапу на­ гружения. Следует также иметь в виду, что при сжатии изменение эффек­ тивной площади случайных сечений представительного объема не влияет на значения нормального напряжения о п. Для постановки задач об устойчивости оболочек с учетом микро­ повреждаемости материала в дальнейшем необходимо использовать при­ веденные выше уравнения состояния для плоского напряженного состояния V (о 33 = о 23 = о 23 = 0). С учетом равенства е 33 = — ----- (е 11 + е 22) уравне­ ния ( 1 ) принимают вид ТХОТ 0556-171Х. Проблемы прочности, 2004, № 5 41 (16) нений (1)-(4), (9)-(12), (15), (16). Д. В. Бабич Е Е ° 1 1 = “ 2 ( £ 1 1 2 2 ); ° 2 2 = “ 2 (£ 2 2 + г£ 1 1 ); ° 1 2 = С£ 1 2 ; l1- v ] - * , (17) £ 1 1 = Е (° 1 1 ~ У° 2 2 ); £ 2 2 = Е (° 2 2 - у а 1 1 ); £ 1 2 = ^ ° 1 2 ’ где Е , С , V - секущие характеристики упругости, зависящие от наводимого в теле напряженного состояния. Устойчивость оболочек из поврежденного материала. С целью упро­ щения выкладок рассматривается оболочка средней длины [5] толщиной к и длиной Ь, отнесенная к системе координат 0х 1 * 2 х 3 , связанной со средин­ ной поверхностью радиуса Я. Координаты * 1 , х 2 , х 3 отсчитываются соответственно в осевом, окружном и нормальном к срединной поверхности направлениях. Перемещения точек срединной поверхности в указанных направлениях обозначаются соответственно и, V, w. При решении задач устойчивости данного типа оболочек можно воспользоваться аппаратом теории пологих оболочек [5]. Тогда в рамках гипотез Кирхгоффа-Лява в произвольной точке цилиндрической оболочки деформации будут опреде­ ляться по соотношениям £у = еу + х 3 Ху ( и ] = 1 2Х (18) где е у , Ху - соответственно деформации, кривизна и кручение срединной поверхности, е 11 = и ,1 , е 2 2 = v , 2 - Я > е 1 2 = и , 2 + v ,1 ; (19) Х 1 1 = - Щ,1 1 , X 2 2 = —Щ,2 2 , Х 1 2 = —2 щ,1 2 - Уравнения равновесия в возмущенном состоянии в смешанной форме представляются следующим образом [5]: М 11,11 + 2 М 12,12 + М 22,22 ( ф 11 \, о_0 , „0 __Д! а 11 ,̂11 + 2а 12 ™ ,12 + а 22 ™ ,22 \ я к = 0 ; (2 0 ) е 1 1 , 2 2 + е 2 2 , 1 1 е 1 2 , 1 2 = я ^ , 1 1 , к 2 где М у = / х з а уйх з , а у , е у , % у , w - приращения моментов и напря- -к/ 2 жений в оболочке вследствие изгиба, а также мембранных деформаций, кривизн, кручения срединной поверхности и прогибов в возмущенном со­ стоянии; а у - напряжения в основном безмоментном напряженном состоя­ нии. К этим уравнениям необходимо добавить выражения для возмущений мембранных напряжений через функцию напряжений Ф: а 11 = Ф ,22, а 22 = Ф ,1Ь а 12 = - ф ,12. (21) 42 ТХОТ 0556-171Х. Проблемы прочности, 2004, N 5 Устойчивость цилиндрических оболочек Приращения полных напряжений 7 у = 7 у — <7 у и деформаций ёу — = е у — е У определяются путем варьирования в окрестности основного на­ пряженно-деформированного состояния уравнений (17), связывающих ко­ нечные значения напряжений и деформаций для повреждающейся среды, с учетом зависимости секущих модулей от концентрации микротрещин е. В результате возмущения напряжений и деформаций представляются в виде 7 11 = а 11е 11 + а12 е 22 + а13 е 12 , 7 22 = а 21е 11 + а 22е 22 + а 23 е 12 > 7 12 = а 31е 11 + а 32е 22 + а 33 е 12; (22) 11 22 — АцС 1 1 + О 22 + А\3 о12 7 22 43 7 12, — А2 1 О 1 1 + А 22 О 22 + А 23 О22 7 22 12 — ^317 1 1 + А 3 27 99 + А3 3 7327 22 (23) где коэффициенты а „ , А у , определяемые по соотношениям Эст а 11 11 Эе11 а 12 у Э° 1 1 Эе 22 А11 = Эе 11 Э7 11 А12 = Эе 11 Э7 22 имеют вид Е а 11 = 2 1 — V уЕ а 2 1 = “ 2 1— V — а 11 Эе Эе11 Эе — а 22 Эе 11 Эе а 3 1 — а 12 Эе 11 а и = 7 иЕ<аГ ( г = 1,2), а 1 2 = 7 1 2 С е уЕ а 12 = “ 2 1 — V Е — а 11 Эе Эе 2 2 Эе а 22 = Л 2 1— V —а 22 Эе 22 Эе а 3 2 — а 12 Эе 22 66 а13 — а 11 Эе Эе 1 2 Эе а 2 3 — а 22 Эе а 33 = С а 12 12эе (24) Эе 12 1 „ Эе А11 = Е + З п Э 7 7 у о Эе А12 = — Е + 3 " Э 7 Е _ у о Эе _ 1 Эе А 2 1 = —е + З 2 2 , А 2 2 = Е + З 2 2 Э722 Эе о Эе А31 = Р 1 2 ^ , А32 =Р12Э7 11 Э7 22 А13 = ^11 А23 = 3 22 Эе Э° 1 2 Эе Э° 1 2 (25) 1 „ Эе (25) А 3 3 = С + ^ 1 2 Э712’ уЗц = ( 7 »1 —У7У2 ) ^ Т , З 2 2 = ( 7 У2 —У7»1 ) ^ , З 1 2 = 7 «2 ^ б ^ ' Представленные соотношения справедливы для общего случая напря­ женно-деформированного состояния оболочки. Ниже будут рассматриваться ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2004, № 5 43 Д. В. Бабич оболочки в предположении независимости геометрических и механических параметров от координат. В этом случае уравнения (20) с учетом соотно­ шений (21)—(25), справедливых для цепных и полных напряжений и дефор­ маций, принимают вид ^ [а 1 ^ , 1 1 1 1 + а 2 ^ , 1 1 2 2 + а 3^ , 2 2 2 2 + 2а4^ , 1 1 1 2 + 2а5™,1 2 2 2 ] ~̂ НФ 11 . гр0 і т̂ О і лт^0 ___ , _/л + Т1 1 ^ , 1 1 + Т 22 ̂ , 2 2 + 2 Т 1 2 ̂ , 1 2 _ ^ ~ 0; (26) _ _ _ _ Е 0 А1 Ф , 1 1 1 1 + А 2 Ф , 1 1 2 2 + А3 Ф , 2 2 2 2 _ А4 Ф , 1 1 1 2 _ А5 Ф , 1 2 2 2 _ _ “^ ^ , 1 1 , где Uija n a ij I E 0 ; A ij E 0 A ij; @1 — ац? a 2 — ai2 a 2 1 4a 3 3 ; a 3 — a 2 2 ? a 4 — a^3 a 3 1 ; a 5 — a 2 3 a 3 2 ? A1 — A22; A2 — A12 + A21 + A33; A3 — A11; A4 — A32 + A23 ; A5 — A13 + A31; D — E оh 3 /l2 ; T j — <7 j h - погонные тангенциальные усилия докритического напряженного состояния. К уравнениям (26) необходимо добавить краевые условия, соответствующие характеру закрепления торцов оболочки. Всестороннее сжатие оболочки. В качестве примера рассмотрим устой­ чивость оболочки при всестороннем внешнем давлении интенсивностью q. В этом случае тЦ — qR /2, T22 — qR. Предполагалось, что торцы оболочки оперты на диафрагмы, абсолютно жесткие в своей плоскости и гибкие из нее: w — M 1 1 — Ф 2 2 — ф 1 2 — 0, x 1 — 0; L. (27) При указанном виде нагружения в уравнениях (26) коэффициенты a 4 — a 5 — — A4 — A5 — °. Решение системы уравнений (26), (27) представляется следующим обра­ зом: mnx 1 nx 2 mnx 1 nx 2 w — A sin--------sin------ ; Ф — B sin-------- sin------. (28) L R L R Выражение для безразмерного параметра критического давления имеет вид 1 1 - т4 . л 2 . т . ^ 1 ^ л 2 ^ -1 + а 2 в + а 3 ]+ _ 4 — 2 — М ^в + 1 , (29) [1 ^ 1 2 3 1 ^(А 1 в 4 + А 2 в 2 + Л3 ) ] \ 2 1 ( ' где д = qR 2 / Е 0 к 2; в = т л Я/пЬ; ^ = п 2 к/я . Если по аналогии с линейно-упругой задачей принять т = 1 и в < < 1, то (29) приближенно можно записать так: 44 0556-171Х. Проблемыы прочности, 2004, № 5 Устойчивость цилиндрических оболочек — а з П + = — . 12 3 ' Аз г, (30) В результате минимизации по п выражение (30) принимает вид _ 4 влЯ ( Н У1 2 4 - (Я ) 4 3 а з_ Аз (31) Для сплошного материала (£ = 0) выражение (31) совпадает с класси­ ческой формулой [5] _ 4 в л я I н \ 12 Ч = — ------— Ы ■ (32)9(1- V2)Ь Я 4 Окружное и осевое критические напряжения определяются соответст­ венно по выражениям 0 22 - 46е 0 л Н ( н у / 2 4 _ А 3 0 101 = 1 0 22- (33) Полагая, что в материале при рассматриваемом виде нагружения про­ исходит накопление микродефектов типа круговых трещин, коэффициенты а 3 , А3 в (31), (33) находятся по формулам (24), (25), в которых концентра­ ция микротрещин £ при двухпараметрическом распределении микропроч­ ности (формула ( 1 2 ) при о о = 0 ) в зависимости от сжимающих напряжений а ° 1 , о ° 2 определяется по соотношению о (О01 С082 р + о 02 8ІП2 р )“ ЯП2 “ + 1 вдвдр. (34) 1 Правые части выражений (31), (33) представляют собой нелинейные зависимости от сжимающих напряжений о ° , о 2 2 - Влияние трещинообра- зования в докритическом состоянии на критическое значение давления можно оценить путем сравнения относительных толщин оболочек для за­ данной последовательности критических значений напряжений: 9о 22 ь А3 3а 33 (35) Расчеты проводились для оболочек из материала, имеющего такие характеристики: 0556-171Х. Проблемы прочности, 2004, № 5 45 2 Д. В. Бабич Е 0 = 4 ,2 -1011 Па; V0 = 0,2; (а) = 1,9-109 Па; Б = 0,672-109 Па; / = 0,2. (36) При этом получены следующие значения параметров: а = 2; а с = 2,8 -109 Па; 1 15 + 2а 0 а 0 + 2а 11а 22 + 3 (а 22 , а с (37) и коэффициентов Е а 3 = Эе 1 + (а п - Vа 2 2 ) Т 0 ̂ Эа11 (1 V )Е0 1+ а п * + а ^ Эа 11 Эа 2 2 Эе а = Е 0 + 8Е 0 а 0 1 ( а 0 1 vа 0 2 ) (а і і 3 Е 15а2 ̂ £Е (38) где а 0!, а 2 2 определяются выражениями (33), а параметры Е , V - по формулам (8). Результаты расчетов для оболочки с относительной длиной Ь/Я = 4 представлены в таблице, где индексами п и у обозначены относительные толщины, полученные соответственно с учетом и без учета поврежденности материала. Зависимость критических напряжений в цилиндрической оболочке от относительной толщины с учетом (к/Я)п и без учета (к/Я)у поврежденности материала а2^109, Па е-10 (к/К)„-10 (к/К)у -10 0,280 0,032 0,209 0,208 0,560 0,127 0,334 0,332 0,840 0,165 0,439 0,435 1,120 0,285 0,537 0,527 1,400 0,507 0,629 0,612 1,680 0,792 0,719 0,691 1,960 1,140 0,807 0,765 2,240 2,026 0,986 0,837 2,520 2,565 1,297 0,905 Р е з ю м е Виконано постановку та розв’язок задач про біфуркаційну стійкість цилінд­ ричних оболонок з урахуванням пошкодженості матеріалу в докритичному напруженому стані. Пошкодженість матеріалу зумовлена неоднорідністю його мікроміцності і моделюється системою плоских еліптичних та круго­ вих тріщин, що статистично однорідно ізотропно розподілені по об’єму оболонки. Математична постановка задачі здійснена в рамках гіпотез Кірх- 46 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2004, № 5 Устойчивость цилиндрических оболочек гоффа-Лява з використанням концепції продовжуючого навантаження. По­ будовано розв’язок задачі про стійкість при всебічному стисненні оболонки. 1. Бабич Д. В. Приближенный учет поврежденности материала в задачах о равновесии упругих оболочек // Пробл. прочности. - 1996. - № 3. - С. 20 - 30. 2. Babich D. V. Study of the stability of composite sells with allowance for the cracked state of components of the material // Int. Appl. Mech. - 1999. - 35, No. 11. - P. 1123 - 1131. 3. Khoroshm L. P. Principles of the micromechanics of material damage. 1. Short­ term damage // Ibid. - 1998. - 34, No. 10. - P. 1035 - 1041. 4. Khoroshm L. P. аЫ Shikula E. N. Micromechanics of short-term damage of laminated-fibrous composites // Ibid. - 2001. - 37, No. 5. - P. 1171 - 1177. 5. Вольмир А. С. Устойчивость упругих систем. - М.: Физматгиз, 1963. - 879 с. 6. Салганик Р. Л. Механика тел с большим числом трещин // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. - 1973. - № 4. - С. 149 - 158. 7. Болотин В. В. Прогнозирование ресурса машин и конструкций. - М.: Машиностроение, 1984. - 312 с. 8. Германович Л. Н ., Дыскин А. В. Модель разрушения хрупкого мате­ риала с трещинами при одноосном нагружении // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. - 1988. - № 2. - С. 1 1 8 -1 3 1 . 9. Крамер Г. Математические методы статистики. - М.: Мир, 1975. - 648 с. 10. Кендалл М., Моран П. Геометрические вероятности. - М.: Наука, 1972. - 192 с. Поступила 06. 11. 2002 ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2004, № 5 47