Оптимизация структуры композиционного материала панелей летательных аппартов при ограничениях по прочности, устойчивости и прогибу
Предложен теоретический подход к проектированию структуры слоистого композиционного материала панелей минимальной массы (количество слоев, их толщина и углы армирования) при ограничениях по прочности, устойчивости и прогибу. Выведены зависимости для определения возможного количества равнопрочных...
Збережено в:
| Дата: | 2004 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України
2004
|
| Назва видання: | Проблемы прочности |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/47133 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Оптимизация структуры композиционного материала панелей летательных аппартов при ограничениях по прочности, устойчивости и прогибу / Я.С. Карпов // Проблемы прочности. — 2004. — № 6. — С. 33-47. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-47133 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-471332013-07-10T07:06:48Z Оптимизация структуры композиционного материала панелей летательных аппартов при ограничениях по прочности, устойчивости и прогибу Карпов, Я.С. Научно-технический раздел Предложен теоретический подход к проектированию структуры слоистого композиционного материала панелей минимальной массы (количество слоев, их толщина и углы армирования) при ограничениях по прочности, устойчивости и прогибу. Выведены зависимости для определения возможного количества равнопрочных слоев в пакете, для которых критерий прочности выполняется в виде равенства. Сформулирована и решена задача оптимизации структуры композиционного материала, состоящей из равнопрочных слоев. Показано, что в зависимости от характера и величины нагрузок оптимальными являются структуры [0], [90], [0, 90], [±φ], [±φ1 , ±φ2 ], [0, ±φ], [90, ±φ], [0, 90, ±φ]. Получены необходимые и достаточные системы уравнений для определения проектных параметров. Рассмотрены некоторые примеры и частные случаи нагружения. Запропоновано теоретичний підхід до проектування структури шаруватого композиційного матеріалу панелей мінімальної маси (кількість шарів, їх товщина та кути армування) при обмеженнях на міцність, стійкість і прогин. Виведено залежності для визначення можливої кількості рівноміцних шарів у пакеті, для яких критерій міцності виконується у вигляді рівності. Сформульовано і розв’язано задачу оптимізації структури композиційного матеріалу, що складається з рівноміцних шарів. Показано, що в залежності від характеру і величини навантаження оптимальними є структури [0], [90], [0, 90], [±φ], [±φ1 , ±φ2 ], [0, ±φ], [90, ±φ], [0, 90, ±φ]. Отримано необхідні і достатні системи рівнянь для визначення проектних параметрів. Розглянуто деякі приклади та окремі випадки навантаження. laminated composite material of aircraft panels with minimal weight (number of layers, their thickness and reinforcement angles) with limitations by strength, stability and deflection. We deduce dependences for calculation of probable number of full-strength layers in the package, the strength criterion for which is satisfied as an equality. We provide formulation and solution of the optimization problem for the structure of composite materials consisting of full-strength layers. It is shown that, depending on the type and magnitude of loads, the optimal structures are those with orientations [0], [90], [0, 90], [±φ], [±φ1 , ±φ2 ], [0, ±φ], [90, ±φ], [0, 90, ±φ]. We obtained the necessary and sufficient systems of equations for determination of the design parameters. Several examples and particular cases of loading are presented. 2004 Article Оптимизация структуры композиционного материала панелей летательных аппартов при ограничениях по прочности, устойчивости и прогибу / Я.С. Карпов // Проблемы прочности. — 2004. — № 6. — С. 33-47. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. 0556-171X http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/47133 629.735 ru Проблемы прочности Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Научно-технический раздел Научно-технический раздел |
| spellingShingle |
Научно-технический раздел Научно-технический раздел Карпов, Я.С. Оптимизация структуры композиционного материала панелей летательных аппартов при ограничениях по прочности, устойчивости и прогибу Проблемы прочности |
| description |
Предложен теоретический подход к проектированию структуры слоистого композиционного
материала панелей минимальной массы (количество слоев, их толщина и углы армирования)
при ограничениях по прочности, устойчивости и прогибу. Выведены зависимости для
определения возможного количества равнопрочных слоев в пакете, для которых критерий
прочности выполняется в виде равенства. Сформулирована и решена задача оптимизации
структуры композиционного материала, состоящей из равнопрочных слоев. Показано, что в
зависимости от характера и величины нагрузок оптимальными являются структуры [0],
[90], [0, 90], [±φ], [±φ1 , ±φ2 ], [0, ±φ], [90, ±φ], [0, 90, ±φ]. Получены необходимые и
достаточные системы уравнений для определения проектных параметров. Рассмотрены
некоторые примеры и частные случаи нагружения. |
| format |
Article |
| author |
Карпов, Я.С. |
| author_facet |
Карпов, Я.С. |
| author_sort |
Карпов, Я.С. |
| title |
Оптимизация структуры композиционного материала панелей летательных аппартов при ограничениях по прочности, устойчивости и прогибу |
| title_short |
Оптимизация структуры композиционного материала панелей летательных аппартов при ограничениях по прочности, устойчивости и прогибу |
| title_full |
Оптимизация структуры композиционного материала панелей летательных аппартов при ограничениях по прочности, устойчивости и прогибу |
| title_fullStr |
Оптимизация структуры композиционного материала панелей летательных аппартов при ограничениях по прочности, устойчивости и прогибу |
| title_full_unstemmed |
Оптимизация структуры композиционного материала панелей летательных аппартов при ограничениях по прочности, устойчивости и прогибу |
| title_sort |
оптимизация структуры композиционного материала панелей летательных аппартов при ограничениях по прочности, устойчивости и прогибу |
| publisher |
Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України |
| publishDate |
2004 |
| topic_facet |
Научно-технический раздел |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/47133 |
| citation_txt |
Оптимизация структуры композиционного материала панелей летательных аппартов при ограничениях по прочности, устойчивости и прогибу / Я.С. Карпов // Проблемы прочности. — 2004. — № 6. — С. 33-47. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. |
| series |
Проблемы прочности |
| work_keys_str_mv |
AT karpovâs optimizaciâstrukturykompozicionnogomaterialapanelejletatelʹnyhappartovpriograničeniâhpopročnostiustojčivostiiprogibu |
| first_indexed |
2025-07-04T06:47:53Z |
| last_indexed |
2025-07-04T06:47:53Z |
| _version_ |
1836697963730042880 |
| fulltext |
УДК 629.735
О п т и м и за ц и я с т р у к т у р ы ком п о зи ц и о н н о го м а т е р и а л а п ан елей
л е т а т е л ь н ы х а п п а р а т о в п р и о г р а н и ч е н и я х по п р о ч н о с т и ,
у сто й ч и во сти и прогибу
Я. С. Карпов
Национальный аэрокосмический университет им. Н. Е. Жуковского “Харьковский
авиационный институт”, Харьков, Украина
Предложен теоретический подход к проектированию структуры слоистого композицион
ного материала панелей минимальной массы (количество слоев, их толщина и углы армиро
вания) при ограничениях по прочности, устойчивости и прогибу. Выведены зависимости для
определения возможного количества равнопрочных слоев в пакете, для которых критерий
прочности выполняется в виде равенства. Сформулирована и решена задача оптимизации
структуры композиционного материала, состоящей из равнопрочных слоев. Показано, что в
зависимости от характера и величины нагрузок оптимальными являются структуры [0],
[90], [0, 90], [±р], [±р 1 , ±р2 ], [0, ±р], [90, ±р], [0, 90, ±р]. Получены необходимые и
достаточные системы уравнений для определения проектных параметров. Рассмотрены
некоторые примеры и частные случаи нагружения.
Ключевые слова: слоистый композиционный материал, панель, критерий
прочности, нагрузка.
В конструкциях летательных аппаратов наиболее широко применяются
волокнистые и слоистые композиционные материалы (КМ), использование
которых позволяет управлять физико-механическими свойствами и напря
женно-деформированным состоянием панелей обшивки. В связи с этим
проблема выбора углов армирования, количества слоев и последователь
ности их укладки по толщине пакета является актуальной, особенно для
элементов конструкций с разнотипными формами потери несущей способ
ности (прочность, устойчивость, изгибная жесткость и др.).
Несмотря на многочисленные исследования этой проблемы, задача
оптимизации структуры КМ решена лишь для некоторых специфических
(конструктивных) критериев проектирования и случаев нагружения опреде
ленного класса деталей и агрегатов (баллоны давления, стержни, диски) [ 1 ,
2]. Например, не представляет трудностей определение оптимального угла
армирования и толщины КМ со структурой [± р ] для различных критериев
проектирования (минимум массы или прогиба панели, максимум крити
ческой силы и т.п.) при произвольном характере нагружения как в плос
кости, так и в поперечном направлении. Однако нет оснований утверждать,
что не существует другой структуры, например [± р 1 , ± <р 2 ], которая удовле
творяла бы поставленным ограничениям при меньшей массе. Для баллонов
давления на базе критерия отсутствия касательных напряжений в слоях [2 ]
получены необходимые уравнения для оптимизации структуры по условиям
прочности, но не рассматриваются такие аспекты, как потеря устойчивости
при внешнем давлении, вероятность появления изгиба в процессе эксплуата
ции и т.п., с точки зрения которых спроектированная структура будет далеко
не оптимальной.
© Я. С. КАРПОВ, 2004
ТХОТ 0556-171Х. Проблемы прочности, 2004, № 6 33
Я. С. Карпов
Таким образом, оптимизация структуры волокнистого слоистого КМ
при различных ограничениях относится к классу фундаментальных задач не
только проектирования конструкций, но и их механики и расчета на проч
ность. Рассмотрим пластину размерами а X Ь (рис. 1), нагруженную уси
лиями Ых, N у и цху в плоскости и поперечным давлением Р. Компо
зиционный материал пластины является ортотропным в осях х, у и состоит
из произвольного количества слоев препрега. В качестве целевой функции и
критерия проектирования примем
О = О/аЬ = ^ д IрI ^ т т , г = 1, ( 1 )
г= 1
где д г, р г - толщина и плотность материала слоя с армированием р г.
Рис. 1. К постановке задачи проектирования структуры КМ.
Ограничениями на параметры структуры являются.
1. Условие прочности слоев в виде критерия Мизеса-Хилла:
о2г _ 0 1 г 0 2 г . 0 2 г , ГЩ < и
г- 2 г г + ^ 2 + ^ 2 < 1 (2)
р 1 г РЦР 21 р 2 г р 1 2 г
где о и , о 2г, г 12г - напряжения в слоях (рис. 1 ); Р 1г, Р 2г, Р12г - пределы
прочности материала по осям 1 , 2 и при сдвиге соответственно.
2. Обеспечение устойчивости панели под действием усилий в плос
кости. Существует достаточно много форм записи критерия устойчивости
34 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2004, № 6
Оптимизация структуры композиционного материала
при сложном напряженном состоянии. Как будет показано ниже, матема
тическая форма критерия не играет большой роли, поэтому примем его в
виде [3]
где И х , N у , д - величина критических усилий при изолированном
кр у кр у кр
действии на пластину.
3. Ограничение на максимальный прогиб панели (характерно для обшив
ки крыла), которое можно записать так [3]:
где - коэффициент опирания; Бц, Б 2 - цилиндрические жесткости по
осям х и у соответственно; Ж0 - регламентируемое ограничение на про
гиб панели.
Рассмотрим решение задачи оптимизации структуры КМ, удовлетво
ряющей только условиям прочности (2). Поскольку каждый слой является
ортотропным в локальной системе координат, напряжения определяются по
формулам
где е ц , £ 2 1 , Уш определяются из уравнений совместности деформаций
слоев в пакете,
Средние деформации пакета £ х, £ у и у ху для ортотропного КМ
вычисляются по известным формулам
(3)
Ж = К Ргг тах 1 1 ж1тах (4)
° 1 і = Е 1і (£ 1 і + Р 2 1 і£ 2 і );
° 2 і = Е 2 і (£ 2 і + № 1 2 і£ 1і );
г 1 2 і = ^ 1 2 і у 1 2 і ,
(5)
(6 )
Е 1і = Е 1і/ ( 1 № 1 2 і№ 2 1 і ); Е 2 і = Е 2 і / ( 1 № 12і>л 2 1 і ) . (7)
£х
где приняты следующие обозначения:
ТХОТ 0556-171Х. Проблемы прочности, 2004, № 6 35
Я. С. Карпов
n
В 11 = S '5 i (Eli cos4 p i + E 2 i sin4 p i + 2Ёц fi 2 li sin2 p cos2 p +
i= 1
+ Gi2i sin22p i );
n
B 1 2 = S 5 i [(E 1 i + E 2i — 2E1ii 2 1 i ) s i n 2 P i c o s 2 P i + E 1 i i 2 1 i -
i= 1
- G 1 2 i sin22P i ]; (9)
n
В 2 2 = S ' 5i (E 1 1 sin4 P 1 + E 2 i cos4 P i + 2 E 1 i i 2 1 i sin2 p C O s 2 p i +
i= 1
+ G 1 2 i sin22P i );
n
B 33 = S 5 i [(E 1 i + E 2 i - 2 E 1 i i 2 1 i ) s i n 2 P i c o s 2 P i + G 1 2 i cos22P i ].
i= 1
Для задачи (1), (2) характерны следующие особенности:
неизвестно количество искомых параметров, так как число слоев n
является проектным параметром;
ограничения (2 ) имеют вид неравенств, что не позволяет использовать
классический аппарат вариационного расчета;
толщины слоев 5 i и пакета в целом - дискретно изменяющиеся
величины с кратностью толщины полуфабриката армирующего материала
(ткань, лента и т.п.).
Вполне вероятно, что именно поэтому данная задача до настоящего
времени корректно не решена.
Изменим формулировку задачи на следующую: пусть пакет состоит из
бесконечного числа слоев (n ^ ю), охватывающих весь интервал углов арми
рования (— # /2 < p < #/2). Будем искать такие толщины слоев, которые до
ставляют минимум функции (1). В случае одинакового материала слоев
после последовательной подстановки зависимостей (8 ) в (6 ) и (5) и полу
ченного результата в критерий (2 ) запишем следующее выражение для
условия прочности:
Ф пр( P ) = c o s 4 P ( d 1£ 2 + d 2 £ 2 + d 4 £ y ) + s i n 4 P ( d 1£ 2 + d 2 £ 2 + d 4 £ x £ y ) +
+ s i n 2 P c o s 2 P [4d 3 ( £ x — £ y ) 2 + d 4( £ 2 + £ ) + 2£ x£ y ( d 1 + d 2 )] +
+ y Xcy [d 3 + sin2 p c o s 2 p ( d 1 + d 2 — 4d 3 — d 4)]±
±y xy sinp cos p{cos p [£x(2d 1 — 4d 3 — d 4 ) — £ (2d 2 — 4d 3 — d 4)] +
+ sin2 p [£ y (2d 1 — 4d 3 — d 4) — £x(2d 2 — 4d 3 — d 4)]} — 1< 0, ( 1 0 )
36 ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2004, № 6
Оптимизация структуры композиционного материала
где
/
F 1 F 2
/ А 22 , X
VF 2 F 2
№ 1 2
G 22
F,
— E 1 E 2
/
2 ^ 1 2 + 2.А 2 1 1 + ^ 1 2 а 2 1
1 2 \ F 1 2 F 1F 2
F 1F 2
( 1 1 )
знаки “+ ” и “—” применяются для слоев с углом армирования + р и — р
соответственно, что позволяет в дальнейшем рассматривать интервал
0 < р < я / 2 .
Рассмотрим условие, при котором обеспечение прочности слоя [+ р ]
автоматически приводит к выполнению критерия (10) для слоя [—р ]. В этом
случае должно соблюдаться неравенство
Ф пр(+ Р ) > Ф пр( - РXпр' ( 1 2 )
которое с учетом того что qxy ^ 0 (при qxy — 0 слои ± 0 и ± ж/ 2 совпа
дают), принимает вид
2 2 q [(2d 1 - 4d 3 - d 4)(£ x cos p + £ y sin p ) -
(2d 2 - 4d 3 - d 4)(£x sin2 p + £ y cos2 p )]> 0. (13)
Коэффициенты уравнения (10) формально зависят от переменной р.
Жесткости Бу как полные суммы (см. формулы (9)) являются константами
по р.
В интервале 0 < р < я /2 функция Ф (р ) имеет максимум четыре
точки пересечения с осью р (рис. 2) и не более четырех экстремумов. Это
свидетельствует о том, что из всего множества слоев в пакете максимум
четыре из них могут быть равнопрочными (для них Ф (р ) = 0). Таким
образом, подтверждается теоретическая возможность существования равно
прочной статически неопределимой системы слоев КМ.
Рис. 2. К определению оптимальной структуры КМ.
Количество корней уравнения Ф пр (р ) = 0 и их значения зависят от
коэффициентов, поэтому любой угол армирования может быть решением
ISSN 0556-171X. Проблемыг прочности, 2004, № 6 37
Я. С. Карпов
задачи. Отсюда следует, что есть достаточно много равнопрочных структур
КМ, которые, очевидно, характеризуются различной массой. Равнопрочность
всех элементов конструкции является одним из самых распространенных
критериев проектирования.
Рассмотрим решение задачи по определению оптимальных параметров
КМ среди равнопрочных структур. В этом случае ограничение по прочности
( 1 0 ) записывается в виде равенства, и задача может быть решена класси
ческими методами вариационного расчета, например методом неопределен
ных множителей Лагранжа. Новый функционал имеет вид
Ь = р Х д і +ЯФ пР( Р ) (14)
і= 1
где Я - множитель Лагранжа.
Разрешающая система уравнений записывается так:
дЬ
дд
= 0 ;
дЬ
— = 0 ;
др
Ф пр( Р ) = 0
(15)
Из второго уравнения этой системы следует
Зф пр(Ч>)
др
= 0 . (16)
Кроме того, минимум функционала (14) характеризуется условием
д2Ф пр(Р)
др '
> 0 . (17)
Поскольку углы 0 и л / 2 могут быть решениями уравнения (10), на
границах интервала условиями наличия минимума служат неравенства
дФ пр
дР
> 0 ;
дФ пр
р= 0
дР
< 0 .
р=г/ 2
(18)
Таким образом, при выполнении условий (17) и (18) оптимальные
толщины слоев и их углы армирования определяются следующей системой
уравнений:
38 ТХОТ 0556-171Х. Проблемы прочности, 2004, N2 6
Оптимизация структуры композиционного материала
эф пр( р )
~ i ^ = 0 Ф пр( р ) = 0 (19)
Анализ возможных решений системы (19) показывает, что в общем
случае целевая функция (14) может иметь один (на рис. 2,6 кривая 1), два
(кривая 2) или три (кривая 3) минимума. Другими словами, оптимальными
могут быть структуры КМ: [± р ], [± р 1, р 2 ], [0, ± р ] , [л /2 , ± р ], [0, л / 2]
[О, ± р , л / 2 ].
Запишем в развернутом виде уравнения (19) и условие (17):
4 2 2 * 4 2 2Ф пр = cos р ( d ^ x + d 2 £ y + d 4 £ x£ y ) + sin р ( d ^ y + d 2 в x + d 4 £ x£ y ) +
+ sin2 р cos2 p [(4 d 3 + d 4 ) ( £ 2 + £y ) + 2вx£ y(d 1 + d 2 - 4d3)] +
2 * 2 2 + y xy[d 3 + sin р cos p (d 1 + d 2 — 4d 3 — d 4 )]±
±У xy sin P cos P [( £ x + £ y )( d 1 — d 2 ) +
+ cos2p( £ x — £ y )(d 1 + d 2 — 4d 3 — d 4 )] = 1; (20)
ЭФ пр 2 2 2- —2 sin2 p cos p (d 1£x + d 2£ y + d 4£x£ y) +
Эр
2 2 2 + 2 sin2 p sin p (d 1£ y + d 2£x + d 4£x£ y) +
+ sin2p cos2p[( £ 2 + £ 2 )(4d 3 + d 4 ) + 2£ x£ y (d 1 + d 2 — 4d 3 )] +
+ у xy sin2pcos2p(d 1 + d 2 — 4d 3 — d 4) ± у xy(£x + £ y )(d 1 — d 2 )cos2p ±
±У xy (£ x — £ y )(d 1 + d 2 — 4d 3 — d 4 )cos 4 p = 0; (21)
Э2 Ф пр 2 2 2 2
------= 4(d1£x + d 2£ y + d 4£x£ y)cos p(4sin р — 1) +
Эр 2
+ 4(d1£"y + d 2 £ 2 + d 4£x£ y) + sin2 р (4cos 2 р — 1) +
+ 2cos 4р[(4d 3 + d 4 )(£x2 + £ ̂ ) + 2£x£ y(d 1 + d 2 — 4d 3 )] +
+ 2у xy ( d 1 + d 2 — 4d 3 — d 4 )[у xy c o s4 р ± 2sin4р( £ x — £ y )] +
+ 2У xy sin2 P (£x + £ y )(d 1 — d 2 ) > 0- (22)
ISSN 0556-171X. Проблемыы прочности, 2004, N2 6 39
Я. С. Карпов
На основании этих общих уравнений исследуем некоторые частные
случаи нагружения.
Пример 1. N x = N у = 0.
Уравнения (20)-(22) принимают вид
ф пр = У2у [d3 + sin2 p c o s 2 p (d 1 + d 2 - 4d 3 - d 4) ] - 1 = 0; (23)
пр 2
--------= у sin2pcos2p(d 1 + d 2 - 4d 3 - d 4) = 0; (24)
dp y
d 2 Ф пр 2
------г ~ = 2У ху cos4 P ( d 1 + d 2 - 4d3 - d 4). (25)
dp
Из уравнения (24) следует, что функция Ф пр имеет экстремумы при р = 0,
p = л /2 и р = ± л / 4. Если
di + d 2 - 4d 3 - d 4 < 0, (26)
то оптимальной является структура [ ± л /4], при положительных значениях
правой части этого неравенства - [0 ], [л /2 ] или [0 , # / 2 ], причем все они
равнозначны. Для структуры [ ± л /4] толщина пакета находится из уравне
ния (23) при
B33 = 2 d[E1( 1 - ^ 21 ) + E 2( 1 - ^ 12 )]; (27)
V4d3 + (d 1 + d 2 - 4d3 - d 4 ) ,„оч
«5 2 = 2<5 = 2 qxy F п--------- — . (28)
E 1 ( 1 ^ 2 1 ) + E 2 ( 1 i^ 1 2 )
Уравнение (23) позволяет аналитически прогнозировать предел проч
ности при сдвиге композиционного материала с произвольным армирова
нием. Действительно, касательные напряжения г xy = qxyl 2d имеют пре
дельные значения при выполнении критерия прочности в виде равенства.
Тогда из (23) получим формулу для определения предела прочности:
[E 1 ( 1 - // 2 1 ) + E 2 ( 1 - ^ 1 2 )]sin2 p cos2 p + G 1 2 cos2 2 p
xy = ---------- 1 , . . 2 2 , , . , , ---------■ (29)/ 2 2y d 3 + sin pcos p ( d 1 + d 2 - 4d 3 - d 4)
При p = 0 и p = л / 2 имеем Fxy = F 12, при p = ± л / 4 -
F = F = 1 E 1 ( 1 - ^ 2 1 ) + E 2 (1 - ^ 1 2 ) ^
xy 4 5 2 y/4 d 3 + (d 1 + d 2 - 4d 3 - d 4) ’ (30)
40 ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2004, № 6
Оптимизация структуры композиционного материала
откуда следует, что при определенных сочетаниях физико-механических
свойств материала слоя углы ± я / 4 могут быть не оптимальными для
пластины, нагруженной чистым сдвигом.
Умножив левую и правую части равенства (28) на плотность, получим
критерий выбора материала слоев для армирования пластины (аналог удель
ной прочности):
Е 1 ( 1 _ ^ 2 1 ) + Е 2 (1 _ ^ 1 2 )К =
2 рт]d 1 + d 2 - d 4 (31)
Пример 2. qxy = 0.
При нагружении панели только нормальными усилиями N x и N y
уравнения (2 0 )-( 2 2 ) преобразуются к виду
Ф пр = COS4 p (d i£ 2 + d 2 £ 2 + d 4 £x£ y ) + sin4 p (d i£2y + d 2 £ 2 + d 4 £x£ y ) +
+ sin2 p c o s 2 p [(4 d 3 + d 4 ) ( £ 2 + £3y) + 2£x£ y (d 1 + d 2 - 4d3) ] - 1 = 0; (32)
ЭФ np 2 2 2--------= - 2 sin2 p cos p ( d x + d 2£ y + d 4£x£ y) +Эр у у
2 2 2 + 2 sin2 p sin p (d j£ y + d 2£x + d 4£x£ y) +
+ sin2cos2p[(4d 3 + d 4 ) ( £ 2 + £ 2y ) + 2£x£ y (d 1 + d 2 - 4d 3 )]= 0; (3 3 )
Э 2 Фnp 2 2 2 2------= 4(dj£x + d 2£ y + d 4£x£ y)cos p(4sin p - 1) +
Эр 2
+ 4(d 1 £ 2 + d 2 £ 2 + d 4£x£ y)sin 2 p (4cos 2 p - 1) +
+ 2cos4<p[(4dз + й 4 ) ( £ 2 + £2 ) + 2гх£ у(й + й 2 - 4й3)]. (3 4 )
На рис. 3 показаны графики функции (32) и типы оптимальных струк
тур КМ. Из всех структур наибольший интерес для рассматриваемого слу
чая нагружения представляет структура, включающая слои 0 и л / 2 (рис. 3,а).
Поскольку Ф пр(0) = Ф пр (л /2), из уравнения (32) получим
( й 1 — й 2 )(£ х - £ у )(£ х + £ у ) = 0 (35)
Выполнение условия — й 2 = 0 является возможным при довольно
специфическом соотношении физико-механических характеристик КМ слоев
и маловероятным, особенно, учитывая разброс свойств материалов.
ТХОТ 0556-171Х. Проблемы прочности, 2004, N 6 41
Я. С. Карпов
Рис. 3. К анализу оптимальных структур КМ при нагружении панели нормальными уси
лиями.
Следующим вариантом решения уравнения (35) будет:
£ — £ — £о х о у о , (36)
по форме совпадающее с условием армирования каждого слоя по траек
ториям главных напряжений [1 , 2 ].
Подставив (36) в систему (32)-(34), после преобразований получим
£ (^ + d 2 + d 4 ) _ 1 — 0 ;
ЭФ пр
Эр — 0 ;
Э 2 Ф пр
Эр'
— 0 . (37)
Для определения средних деформаций пакета запишем уравнения физи
ческого закона в виде
£ хВ ц + £ ув 1 2 — ;
(38)
Р хВ 1 2 Р 22 — NУВ 22
Сложив эти два уравнения с учетом (36), получим формулу для нахож
дения р :
Nx + N y
----------Х-------У---------------- . (39)
^ ^ 1 [Е 1 (1+ ^ 2 1 ) + Е 2 (1+ Ц 1 2 )]
/—1
Из уравнений (37) и (39) видно, что критерий прочности не учитывает
величину угла армирования, т.е. при £ х — £ у — 0 любые структуры являются
равнопрочными и оптимальными. Таким образом, получено доказательство,
что армирование по траекториям главных напряжений (36) приводит при
определенных условиях нагружения к конструкции минимальной массы. В
монографии [1 ] разработана теория проектирования оболочек вращения при
осесимметричном нагружении на основе критерия отсутствия касательных
напряжений в слоях. Условие (36) [1] получено на основе теории упругости
слоистых КМ. Вышеизложенное свидетельствует о том, что указанные конст
рукции относятся к классу равнопрочных и являются оптимальными.
Параметры структуры таких КМ определяются из следующих уравне
ний:
42 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2004, N 6
Оптимизация структуры композиционного материала
Мх (В 22 + В12) - М у (В п + В 12) = 0;
( Мх + Му ) (^1 + 2 + 4 )
/ п ^2
,• [Е1(1 + Ц 21 ) + Е 2(1+ ^12)]
V1-1
- 1 - 0 . (40)
Анализ системы показывает, что усилия Ых и N у должны быть
одного знака и ни одно из них не может быть нулевым. Ранее [4] подробно
рассмотрены условия существования решения системы (40), полученного на
основании других предпосылок (равенство нулю касательных напряжений
во всех слоях).
Рассмотрим последний вариант решения уравнения (35):
£х + £ у = 0 ИЛИ £х = —£ у = £. (41)
Подставив (41) в систему (32)-(34), получим
Ф пр = £ 2 С082 2 р (dl + d 2 — 4^з — d 4 ) + 4£2 d 3 — 1 = 0;пР
Ф'пр = —2£2 8Іп4р(d 1 + d 2 — 4d3 — d 4) + 4£2d 3 — 1= 0;
Ф'Пр = —8£2 соэ4р(d 1 + d 2 — 4d3 — d 4) + 4£2d 3 — 1= 0.
(42)
Сложив уравнения (38) с учетом (41), получим формулу для опреде
ления деформаций
+ N у
^ ( 5 і сов2р і (Е 1 — Е 2 )
і=1
которая для структуры [0 , л / 2 ] принимает вид
(43)
= = Мх + Му _
■£ у £ (51 — 5 2)(Ё1 — Ё2)-
(44)
Из выражения (41) с учетом (8 ) и (9) следует необходимое соотношение
между параметрами структуры [0 , л / 2 ]
Мх [51Е 2(1 Ц 12 ) + 5 2Е 2(1 Ц 21 )] +
+ М у [51Е 1(1 — Ц 21 ) + 5 2Е 2 (1 — Ц 12 )] = 0 (45)
Для определения толщин $ 1 и д 2 к уравнению (45) необходимо
добавить первое из системы (42) с учетом (44):
ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2004, № 6 43
Я. С. Карпов
(дц - д 2 )2( Е ц - Е 2 ) 2
(46)
Из зависимости (45) следует, что усилия Шх и Жу должны быть
разного знака и ненулевыми. Кроме того, поскольку толщины являются,
безусловно, положительными величинами, решение уравнений (45) и (46)
существует при вполне определенных соотношениях между нагрузками и
свойствами материалов.
В целом оптимальная структура включает слои с углами армирования 0
и л / 2 только при выполнении условия (26).
Рассмотренные выше примеры показывают, что аналогично можно, во-
первых, исследовать, при каких условиях нагружения реализуются те или
иные структуры КМ, и, во-вторых, найти оптимальную структуру при задан
ных усилиях Шх, N у и дху.
Поскольку параметры оптимальной структуры зависят от физико-меха
нических свойств КМ, то очевидно, что методика позволяет получить также
критерии выбора материала слоев.
Выше разработана теория проектирования структуры слоистого КМ,
удовлетворяющего только условиям прочности. Если спроектированный КМ
не обеспечивает требуемый уровень критических усилий детали, то необхо
димо увеличивать толщину пакета, так как при найденной толщине д 2 не
существует других структур, для которых выполнялось бы условие проч
ности (2). Увеличение толщины пакета приводит к образованию интервала
углов армирования, в пределах которого любой угол и любое их сочетание
обеспечивают прочность конструкции. На рис. 4,а для наглядности это
показано для случая нагружения чистым сдвигом, где штриховая линия -
выполнение критерия устойчивости (3) для р = л / 4; сплошная - критерия
прочности (23).
Рис. 4. К определению оптимальной структуры КМ с учетом прочности и устойчивости.
Сформулируем следующую задачу: существует ли в интервале допус
тимых по прочности углов армирования такой угол р или система [± р ],
для которых имеется максимальный запас по устойчивости панели при
заданной толщине пакета.
Флр̂ 1
б
Ф
а
44 ISSN 0556-171Х. Проблемыг прочности, 2004, № 6
Оптимизация структурыы композиционного материала ...
Для решения задачи запишем неравенство (3) в виде
N x N
Ф уст = 1 + +уст N x N y
2
qxy
> 0
qxy
(47)
кр
и будем искать ее максимум при = const.
Формулы для расчета критических усилий могут быть представлены в
следующем каноническом виде [3]:
( Nxкр, N Укр, qxyкр) ( Kx , K y , Kxy ) аь (48)
где К х, К у, К ху - коэффициенты опирания.
Для пакета слоев с симметрией относительно срединной поверхности
цилиндрические жесткости определяются по формулам
D 1 = D 11; D 2 = D 22;
Здесь
i=1
D 3 = D 12 + 2D 33-
i—1
D ki = 3 S bki 3 S < 5 ?
VM j = 1 !
(49)
(50)
где
— 4 — 4 — 2 2 2b11 = E 1 cos р i + E 2 sin р i + 2E1 л 21 sin р i cos р i + G 12 sin 2р i ;
b 1 2 = (E 1 + E 2 — 2 E 1 л 2 1 ) sin2 р i cos2 р i + E 1 л 2 1 — G 1 2 sin2 2р i ;
— 4 — 4 — 2 2 2b22 = E 1 sin р j- + E 2 cos р j- + 2E1 л 21 sin р cos р + G12 sin 2р ;
b33 = (E + E 2 — 2 E 1 л 2 1 )sin2 р i cos2 р i + G l2 Cos2 2 р i .
(51)
Коэффициенты опирания могут быть представлены функциями от отно
шения жесткостей и параметров волнообразования Ят и Я„:
( D 1 D 2 D 3 D 3
(K x , K y , ̂ y ) = f l ^ 1 , ^ 2 , ^ 3 , ^ 1 , Я m , Я,
D 2 D 1 D 1 D 2
(52)
С учетом этих зависимостей производная от Ф уст по р будет равна
ЭФ,
Эр
уст 2 2- sin р cos р (L1 cos р + L2 sin р ), (53)
кр кр
n
где Ьц, ^ 2 - коэффициенты, получаемые в результате преобразований.
0556-171Х. Проблемы прочности, 2004, N 6 45
Я. С. Карпов
Анализ выражения (53) показывает, что функция Ф уст имеет два или
три экстремума, т.е. оптимальными по устойчивости могут быть структуры
[0], [я/2], [0, я / 2], [±р] или граничные значения интервала углов армиро
вания, в пределах которого выполняется критерий прочности (рис. 4,6).
Таким образом, оптимальная по устойчивости и прочности структура КМ
включает не более двух семейств углов армирования. Это очень важный вы
вод, потому что разрешена задача выбора последовательности укладки слоев
в пакете, вызывающей наибольшие трудности математического характера.
После удовлетворения ограничения по устойчивости необходимо про
верить выполнение условия (4) по прогибу. Если оно не соблюдается, сле
дует увеличить толщину пакета (возможности варьирования углами армиро
вания исчерпаны ограничениями по прочности и устойчивости). Для даль
нейшего анализа запишем выражение (4) в виде
а 2 Ь 2
Ф „ = ^ 0 — К ^ Р ~ т ^ = ^ 0. (54)
л1 и 1и 2
Математическая зависимость коэффициента опирания по структуре
аналогична выражению (52). Из предыдущих этапов проектирования извест
на толщина пакета, из условий прочности и устойчивости - допустимый
интервал углов армирования.
Сравнение зависимостей (47) и (54) свидетельствует, что в принци
пиальном аспекте удовлетворение ограничения на максимальный прогиб
приведет к таким же результатам относительно структуры КМ панели.
Очевидно, что экстремум функции (54) внутри допустимого интервала углов
армирования достигается при другом значении р.
После нахождения максимума функции (47), естественно, появляется
возможность уменьшения толщины до тех пор, пока с минимальным запа
сом не будут выполняться условия прочности и устойчивости. Аналогичное
утверждение справедливо также для ограничения на максимальный прогиб
панели.
В ы в о д ы
1. Разработана методика поиска критических параметров структуры КМ
- количество слоев, углы армирования и последовательность укладки слоев
в пакете.
2. Показано, что количество равнопрочных слоев с различными углами
армирования не может превышать трех. В зависимости от характера внеш
них нагрузок и их величины оптимальными могут быть структуры [± р ],
[±р 1 , ± р 2 ], [0], [я /2], [0, я /2 ], [0, ± р ] , [я /2, ± р ], [0, я / 2, ± р ].
3. Разработана эффективная методика определения оптимальной струк
туры слоистого КМ для обеспечения требований по устойчивости и прогибу
в интервале углов армирования с допустимым ограничением по прочности.
4. Установлено, что при определенном сочетании нормальных усилий
(при отсутствии касательных) известный принцип армирования по траекто
риям главных напряжений приводит к структурам композиционного мате
риала с минимальной массой и равнопрочными слоями.
46 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2004, № 6
Оптимизация структуры композиционного материала
5. Предложенная методика позволяет достаточно легко выполнить тре
бование о кратности толщины целому (или четному) количеству монослоев
армирующего материала.
Р е з ю м е
Запропоновано теоретичний підхід до проектування структури шаруватого
композиційного матеріалу панелей мінімальної маси (кількість шарів, їх
товщина та кути армування) при обмеженнях на міцність, стійкість і прогин.
Виведено залежності для визначення можливої кількості рівноміцних шарів
у пакеті, для яких критерій міцності виконується у вигляді рівності. Сфор
мульовано і розв’язано задачу оптимізації структури композиційного мате
ріалу, що складається з рівноміцних шарів. Показано, що в залежності від
характеру і величини навантаження оптимальними є структури [0], [90],
[0, 90], [± р ], [ ± р !, ± р 2 ], [0, ± р ] , [90, ± р ] , [0, 90, ± р ]. Отримано необхід
ні і достатні системи рівнянь для визначення проектних параметрів. Розгля
нуто деякі приклади та окремі випадки навантаження.
1. Образцов И. Ф., Васильев В. В., Бунаков В. А. Оптимальное армирова
ние оболочек вращения из композиционных материалов. - М.: Машино
строение, 1997. - 144 с.
2. Васильев В. В. Некоторые вопросы оптимального проектирования мате
риалов // Актуальные проблемы авиационной науки и техники. - М.:
Машиностроение, 1984. - С. 66 - 77.
3. Васильев В. В. Механика конструкций из композиционных материалов.
- М.: Машиностроение, 1988. - 272 с.
4. Карпов Я. С., Муравицкий О. С. Проектирование оболочек вращения из
композиционных материалов. Учеб. пособие. - Харьков: ХАИ, 1997. -
88 с.
Поступила 14. 04. 2003
ISSN 0556-171Х. Проблемыг прочности, 2004, № 6 47
|