Моделирование затухающей памяти формы траектории в теории простых материалов с упругопластическим поведением. Сообщение 2. Бесконечно малые деформации

Для близких к пропорциональным и мало отличающихся от ненапряженной и недеформиро- ванной конфигурации процессов деформирования, в которых пластические деформации имеют место сразу после приложения нагрузки и монотонно увеличиваются при деформировании, разработана математическая теория строгого п...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2004
Автор:	Лепихин, П.П.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України 2004
Назва видання:	Проблемы прочности
Теми:	Научно-технический раздел
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/47136
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Моделирование затухающей памяти формы траектории в теории простых материалов с упругопластическим поведением. Сообщение 2. Бесконечно малые деформации / П.П. лепихин // Проблемы прочности. — 2004. — № 6. — С. 87-98. — Бібліогр.: 13 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-47136
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-471362013-07-10T07:13:03Z Моделирование затухающей памяти формы траектории в теории простых материалов с упругопластическим поведением. Сообщение 2. Бесконечно малые деформации Лепихин, П.П. Научно-технический раздел Для близких к пропорциональным и мало отличающихся от ненапряженной и недеформиро- ванной конфигурации процессов деформирования, в которых пластические деформации имеют место сразу после приложения нагрузки и монотонно увеличиваются при деформировании, разработана математическая теория строгого построения и специализации определяющих соотношений упрочняющихся упругопластических материалов с затухающей памятью формы траектории первого порядка. Деформации - бесконечно малые. Тип симметрии материала - произвольный. Использованы построенные ранее автором определяющие соотношения линейной теории упругопластичности для конечных деформаций. Принято условие малости мер деформации в течение всего "прошлого ”. Особое внимание уделено изотропным материалам. Установлены условия приведения построенных соотношений к одному из вариантов эндохронной теории пластичности. Для процесів деформування, що близькі до пропорційних і мало відрізняються від ненапруженої і недеформованої конфігурації, при нескінченно малих деформаціях розроблено математичну теорію строгої побудови і спеціалізації визначальних співвідношень зміцнюваних пружно-пластичних матеріалів зі згасаючою пам’яттю форми траєкторії першого порядку, які мають пластичні деформації зразу після прикладення навантаження, котрі монотонно збільшуються при деформуванні. Деформації - нескінченно малі. Тип симетрії матеріалу - довільний. Використано побудовані раніше автором визначальні співвідношення лінійної теорії пружно-пластичності для кінцевих деформацій. Прийнято умову малості мір деформації на протязі всього “минулого”. Особливу увагу зосереджено на ізотропних матеріалах. Установлено умови приведения побудованих співвідношень до одного з варіантів ендохронної теорії пластичності. A mathematical theory of exact construction and specialization of determining relations for hardening elastic-plastic materials with fading trajectory form memory of the first order has been elaborated for the deformation processes close to proportional ones and closely approximated to unstressed and undeformed configuration of the deformation processes, wherein plastic strains occur immediately after load application and increase monotonically in the course of deformation. The strains are infinitesimal. The type of the material symmetry is arbitrary. The defining relations of the linear theory of elastoplasticity constructed by the author earlier for finite strains are used. The condition of smallness of the strain measures during the entire “past” has been adopted. Special attention has been given to isotropic materials. The conditions of reducing the constructed relations to one of the versions of the endochronic theory of plasticity have been established. 2004 Article Моделирование затухающей памяти формы траектории в теории простых материалов с упругопластическим поведением. Сообщение 2. Бесконечно малые деформации / П.П. лепихин // Проблемы прочности. — 2004. — № 6. — С. 87-98. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. 0556-171X http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/47136 539.37 ru Проблемы прочности Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Научно-технический раздел Научно-технический раздел
spellingShingle	Научно-технический раздел Научно-технический раздел Лепихин, П.П. Моделирование затухающей памяти формы траектории в теории простых материалов с упругопластическим поведением. Сообщение 2. Бесконечно малые деформации Проблемы прочности
description	Для близких к пропорциональным и мало отличающихся от ненапряженной и недеформиро- ванной конфигурации процессов деформирования, в которых пластические деформации имеют место сразу после приложения нагрузки и монотонно увеличиваются при деформировании, разработана математическая теория строгого построения и специализации определяющих соотношений упрочняющихся упругопластических материалов с затухающей памятью формы траектории первого порядка. Деформации - бесконечно малые. Тип симметрии материала - произвольный. Использованы построенные ранее автором определяющие соотношения линейной теории упругопластичности для конечных деформаций. Принято условие малости мер деформации в течение всего "прошлого ”. Особое внимание уделено изотропным материалам. Установлены условия приведения построенных соотношений к одному из вариантов эндохронной теории пластичности.
format	Article
author	Лепихин, П.П.
author_facet	Лепихин, П.П.
author_sort	Лепихин, П.П.
title	Моделирование затухающей памяти формы траектории в теории простых материалов с упругопластическим поведением. Сообщение 2. Бесконечно малые деформации
title_short	Моделирование затухающей памяти формы траектории в теории простых материалов с упругопластическим поведением. Сообщение 2. Бесконечно малые деформации
title_full	Моделирование затухающей памяти формы траектории в теории простых материалов с упругопластическим поведением. Сообщение 2. Бесконечно малые деформации
title_fullStr	Моделирование затухающей памяти формы траектории в теории простых материалов с упругопластическим поведением. Сообщение 2. Бесконечно малые деформации
title_full_unstemmed	Моделирование затухающей памяти формы траектории в теории простых материалов с упругопластическим поведением. Сообщение 2. Бесконечно малые деформации
title_sort	моделирование затухающей памяти формы траектории в теории простых материалов с упругопластическим поведением. сообщение 2. бесконечно малые деформации
publisher	Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України
publishDate	2004
topic_facet	Научно-технический раздел
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/47136
citation_txt	Моделирование затухающей памяти формы траектории в теории простых материалов с упругопластическим поведением. Сообщение 2. Бесконечно малые деформации / П.П. лепихин // Проблемы прочности. — 2004. — № 6. — С. 87-98. — Бібліогр.: 13 назв. — рос.
series	Проблемы прочности
work_keys_str_mv	AT lepihinpp modelirovaniezatuhaûŝejpamâtiformytraektoriivteoriiprostyhmaterialovsuprugoplastičeskimpovedeniemsoobŝenie2beskonečnomalyedeformacii
first_indexed	2025-07-04T06:48:08Z
last_indexed	2025-07-04T06:48:08Z
_version_	1836697978632404992
fulltext	УДК 539.37 М о д ел и р о в ан и е зату х аю щ ей п а м я т и ф о р м ы т р а е к т о р и и в теори и п р о с т ы х м а т е р и а л о в с у п р у г о п л а с т и ч е с к и м п о в е д е н и е м . С ообщ ение 2. Б еск о н еч н о м а л ы е д еф о р м ац и и П. П. Лепихин Институт проблем прочности им. Г. С. Писаренко НАН Украины, Киев, Украина Для близких к пропорциональным и мало отличающихся от ненапряженной и недеформиро- ванной конфигурации процессов деформирования, в которых пластические деформации имеют место сразу после приложения нагрузки и монотонно увеличиваются при деформи ровании, разработана математическая теория строгого построения и специализации опре деляющих соотношений упрочняющихся упругопластических материалов с затухающей памятью формы траектории первого порядка. Деформации - бесконечно малые. Тип сим метрии материала - произвольный. Использованы построенные ранее автором определя ющие соотношения линейной теории упругопластичности для конечных деформаций. При нято условие малости мер деформации в течение всего "прошлого ”. Особое внимание уделено изотропным материалам. Установлены условия приведения построенных соотно шений к одному из вариантов эндохронной теории пластичности. Ключевые слова: рациональная механика континуума, определяющее соотно шение, активное деформирование, простой упругопластический материал, бесконечно малые деформации, анизотропия, затухающая память формы траектории, эндохронная теория пластичности. Ранее [1] предложена математическая теория строгого построения и специализации общих определяющих соотношений простых по Ноллу упроч няющихся упругопластических материалов с затухающей памятью формы траектории, в которых пластические деформации имеют место сразу после приложения нагрузки и монотонно увеличиваются в процессе деформи рования. Деформации и тип симметрии материала - произвольные. Для близких к пропорциональным и мало отличающихся от ненапряженной и недеформированной конфигурации непрерывных кусочно-непрерывно диф ференцируемых процессов деформирования построены физические урав нения материалов, которые не обладают памятью формы траектории, со слабой затухающей памятью, с затухающей памятью п-го порядка. На осно ве построенных определяющих соотношений получены зависимости для конечных деформаций изотропных материалов. В настоящей работе с использованием физических уравнений линейной теории упругопластичности при конечных деформациях [1] посредством принятия условия малости мер деформации в течение всего “прошлого” для двух отмеченных выше процессов деформирования разработана математи ческая теория строгого построения и специализации определяющих соотно шений упрочняющихся упругопластических материалов с затухающей памя тью формы траектории первого порядка для бесконечно малых деформаций. Тип симметрии материала - произвольный. Особое внимание уделено изо тропным материалам. Определены условия приведения построенных соотно шений к одному из вариантов эндохронной теории пластичности. © П. П. ЛЕПИХИН, 2004 0556-171Х. Проблемы прочности, 2004, № 6 87 П. П. Лепихин В качестве исходного соотношения выберем следующее [1]: £ Т(£) = g(С(£)) + / к (^)К (С (£ ),^ )[С £ ( - Ср (^ + о( С £ ( - С £ ( ) . (1) Здесь Т - тензор напряжений Коши; g - тензорная функция тензорного аргумента; С - правый тензор Коши-Грина; к - забыватель, или функция влияния; ядро К - тензор четвертого ранга, / К (С ( £ ), ̂ )\|2 ^ < х ; (2) £ - длина дуги траектории тензора деформаций Грина второго типа Е = = 0,5(С - 1) в конце процесса деформирования; 1 - единичный тензор; ^ = £ — £' (0< ^ < £); £' - длина дуги траектории тензора Е в прошлом для материальной точки X, определяемая так: £ '(с) = ^ \|Е(г')\| Ос' = / \|Е(с')\| Ос', (3) — ” Ь где \| Е \| = д/гт(Е Е т ) - норма тензора Е ; гг.А - след некоторого тензора А; \|\| \|\| и \| \| - полунорма и норма соответственно [2]. При записи (3) предполагалось, что все процессы деформирования начинаются в некоторый момент времени г о из ненапряженного и недефор- мированного начального состояния к о, при г < г о материал находится в таком же начальном состоянии. При этом £' = 0, если с < ^ , и £' = £, если с = г. (Здесь и далее верхний индекс “т” обозначает транспонированный тензор.) В уравнении (1) ошибка о( С £ (^) — С £,(^ ) ) стремится к нулю быстрее, чем запоминание С £ (^) — С £ (^) разности между истинной историей С £ = С £ (^) = С(£ — ^ ) и соответствующей историей пропорционального де формирования Ср = С £ (^ ) = С р (£ — ^); £ - фиксировано, ^ > 0 . Здесь и далее нижний индекс “р” обозначает, что соответствующий объект относит ся к процессам пропорционального деформирования, когда [1] С £р = 1 + р£ Пр (Ср (£ р ) - 1), Я £р = 1, о р < £ р , (4) о о где £ р 2 С р (£ р ) 1 88 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2004, № 6 Моделирование затухающей памяти формы траектории Уравнение (1) справедливо для процессов чистого растяжения без вра щения, когда история изменения тензора поворота Я £ = 1. Отметим, что С = Г тГ; Г = Я и - градиент деформации (и - правый тензор растяжения). Для произвольных процессов деформирования, как следует из данных [1, 2], тензор напряжений Коши на основе (1) может быть определен следующим образом: Т(£) = Я (£ Х ( С ( £)) + / Н(п)К (С (£ ),п)[С£(п) - С £ (п )Щ + + о( С £(п) - С р (п) )г Я т (£). (5) При разработке теории бесконечно малых деформаций упругопласти ческих материалов с затухающей памятью формы траектории с помощью уравнения (1) аналогично, как это сделано для вязкоупругих материалов [2], будем строить семейства смещений, которые соответствуют малым мерам деформации в течение всего прошлого. Полагаем Н = Уи = Г - 1 ; (6) Е = 2 (Н + Н т ); Я = ^ ( Н - Н т ), (7) где и - вектор перемещения; Е и Я - тензоры бесконечно малых деформации и поворота. Через £ обозначим наименьшую верхнюю грань норм градиента сме щения Н, соответствующих всем деформациям, которым подвергался мате риал: £ = !Шр\| Н £ ( п) \|. (8) п>0 у ' 0 Рассмотрим семейства историй градиента при £ ^ 0. С использованием данных [2] можно показать, что С £ (п) - С £( п) = 2[Е(£ - п ) - Е р (£ - п)] + 0(£ 2 ) = 0(£). (9) Таким образом, С £ (п) - С р (п) = 0(£) при £ ^ 0 . Подставив (9) в (1), получим Т(£) = g (С(£)) + 2 / Н(п)К (С (£ ),п)[Е(£ - п ) - Е р ( £ - п)]йп + о(£). (10) 0 0556-171Х. Проблемы прочности, 2004, № 6 89 П. П. Лепихин В случае бесконечно малых деформаций можно показать, что замена С на 1 в К ( С( £ ) , приводит к ошибке порядка о(£) [3]. Учитывая это, а также связь правого тензора Коши-Грина с тензором бесконечно малой де формации в виде С( £) = 1 + 2Е( £) + 0( £ 2 ) = 1 + 0( £), (11) соотношение (10) можно преобразовать следующим образом: Т(£) = g (Е(£)) + 2 / к(ц)К (1 ,ц)[Е(£ - ц ) - Е р ( £ - ц)] —ц + о(£). (12) о В отличие от работы [2], где для получения определяющего соотно шения теории бесконечно малых деформаций вязкоупругого тела использо валась линеаризация функции g, описывающей упругое поведение, при за писи (12) в силу физической нелинейности поведения упругопластического материала, в том числе и при пропорциональном деформировании, которое здесь этот член описывает, подобная линеаризация не может быть применена. Введем обозначение: М ( ц) = - 2 / к( г )К (1, г ) —г; М (ц) = — М ( ц ) = 2Н(ц )К (1 , ц), (13) Ц / где М (ц) - функция забывания. С учетом разрывности тензорной функции М ( £) при £ = 0 и данных [4] можем записать —М (ц) = М (ц)—ц + М ( ц ) д ( ц - 0)—ц, (14) где д - д-функция Дирака. Учитывая, что в рамках теории бесконечно малых деформаций соотно шение (4) при принятой параметризации принимает вид Е р( £ - , / ) = [ 1 - \| Е р(£) + 0(£ ) , 0 < ^ < £ , (15) и, используя (14), соотношение (12) можно представить так: Т( £) = g (Е( £)) + / й М ( ̂ ) Е( £ - ^ ) - І 1 - І Е( £) + о( £). (16) При построении (16) учитывалось, что Е р (£) = Е(£). Другую форму соотношений, определяющих напряжения, можно полу чить из (16) заменой переменной г = £ - ц и интегрированием по частям: 0 90 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2004, № 6 Моделирование затухающей памяти формы траектории ~ 1 * ~ * Т() = g(Е()) - - / М (* - г)[Е(* )]ёг + / М (* - г ) * 0 0 В случае М = 0 соотношения (16), (17) сводятся, если отбросить попра вочные члены, к реакции упругопластического материала при пропорци ональном деформировании. Большой практический интерес представляют изотропные формы упругопластических соотношений между напряжениями и деформациями. В этом случае нелинейная g(E()) и линейная М[ ] тензорные функции - изотропные. Каждая линейная изотропная тензорная функция Ь [А ] согласно [3] может быть представлена в виде Ь [А ] = л 0( &А )1 + л 1А (18) (ло, Л 1 - константы), нелинейная изотропная тензорная функция ^(Е ()) в соответствии с [2] - ё (Е( * )) = Р 11 + Р 2Е( * ) + Р 3Е2( * X (19) где Р 1 = Р I (£ о = гЕ( ), ггЕ2( ), ггЕ3( )), I = 1, ...,3. (20) С использованием (18) и (19), отбросив поправочный член, из (17) получим Т( ) = Р 11 + Р 2 Е ( ) + Р 3 Е 2( ) - ^ / л 0 ( - г )ёг1 - * 0 1 * ~ ̂ * ёЕ( г ) * dE( г ) - " * / Л 1 ( * - г ) ё г Е ( ) + / л 0 ( - г ) * т — — ёг1 + / л 1 ( * - г ) — — ёг. (21) * 0 0 йг 0 йг Разложив тензоры напряжений и бесконечно малых деформаций в соотношении (21) на шаровую и девиаторную составляющие и приравняв соответствующие составляющие в правой и левой части полученного соотно шения, запишем Э( * ) = Р 2е( * ) + Р 3^е 2( * ) - 3 ( 1ге 2( * ))1) - ;1 / Л1( * - г )ёге( * ) + ёЕ( г ) ёг + о( £). (17) + / Л1(* - г )^е^ ё г = Р2е(* ) + Р 3̂ е 2(* ) - 2 ( 1 2е ())1) - 0556-171Х. Проблемы прочности, 2004, N 6 91 П. П. Лепихин где 1 г Г Іїеі х) _ Т і Л і(Г - х ) а х е ( Г) + / л і (Г - х ) — — ах; (2 2 ) г о о ах то( г) - {гТ(г) - 3Р і + р 2 £ о + Р з \ {ге 2( г) + 3 £ 2( г) Эе0( г ) г _ , Г _ , а«0(х) ■— г— і л о (Г - х )ах + з / л о (Г - х ) /̂х ах , (23) Р 2 - Р 2 + з р з£о; (24) ~ і е — Е — з £ о 1 - девиатор тензора бесконечно малых деформаций (далее - 1 девиатор деформаций); тензор 3 £ о 1 представляет собой шаровую состав- 1 ляющую тензора деформации, скаляр 3 £ о - среднюю деформацию; _ 1 ~ л о — 3 [3л о + 2~ 1 ]; (25) ~ ^ 1 ~ 1 = - у ; (26) 1 8 = Т ---- Г0 1 - девиатор напряжений; 12 - второй инвариант девиатора 3 е 1 деформаций; тензор 3 То 1 представляет собой шаровую составляющую 1 тензора напряжений, скаляр 3 Т о - среднее напряжение. При выполнении условия (8 ) не различают отсчетную, разгруженную и актуальную конфигурации, и, как следует, например, из [5], с точностью до бесконечно малых второго порядка малости в упругопластическом мате риале полные деформации можно разделить так: Е = Е е + Е р , (27) где Е е и Е р - тензоры бесконечно малых упругих и пластических дефор маций соответственно; здесь и далее верхние индексы “е” и “р ” обозначают упругие и пластические составляющие объекта. 92 ТХОТ 0556-171Х. Проблемы прочности, 2004, N 6 Моделирование затухающей памяти формы траектории Применив разложение тензоров в уравнении (27) на девиаторные и ша ровые составляющие и приравняв соответствующие составляющие в правой и левой части, получим е = е е + е Р ; (28) £ о = £ 0 + £ 0 • (29) В общем случае при деформировании реальных материалов с упруго пластическим поведением [6] имеем £ о ^ 0; (30) £ 0 0. (31) Для несжимаемого в разгруженном состоянии (пластически несжима емого) упругопластического материала запишем £ Р = 0. (32) Тогда из соотношения (29) получим £ 0 = £ 0- (33) При этом Е Р = е Р . (34) Как следует из (34), тензор пластических деформаций является деви- атором. С учетом данных [2] при достаточно малых деформациях любых упруго пластических материалов можно принять, что упругая составляющая тен зора полных деформаций связана с тензором напряжений законом Гука. Тогда 8 = 2&е е; (35) Т 0 = 3К£ 0, (36) где & и К - зависящие от пластической деформации модули сдвига и объемного сжатия. Причем при нулевом значении тензора упругих дефор маций тензор напряжений также нулевой, что следует из определений разгруженной конфигурации и тензора упругих деформаций. При записи (35) и (36) полагали, что в процессе деформирования упругопластических материалов сохраняется изотропия упругих свойств с изменением последних в процессе активного деформирования. Зависимость ISSN 0556-171Х. Проблемыг прочности, 2004, № 6 93 П. П. Лепихин упругих свойств ряда материалов с упругопластическим поведением от пластической деформации обнаружена экспериментально [7-9]. Система тические исследования влияния пластической деформации на упругие свой ства материала в настоящее время отсутствуют. Если пренебречь зависимостью упругих свойств от пластической де формации, то из (35), (36) получим где Б и К - не зависящие от пластической деформации модули сдвига и объемного сжатия. Примем, что средняя деформация не влияет на девиатор напряжений, а девиатор деформаций - на среднее напряжение. Как отмечалось, например, в [10], для малых средних деформаций материалов, проявляющих упруго пластическое поведение, такое предположение получило экспериментальное подтверждение в широком диапазоне изменения средних напряжений. Тогда физическое уравнение (22) можно записать так: (р { ( I =1, ...,3) зависят только от £0(£)). Отметим, что для ненапряженной и недеформированной отсчетной конфигурации 8 = 2 в е е; (37) (38) (39) где р 2 и р 3 определяются инвариантами гте 2(£), гте 3(£), (40) уравнение (23) - в виде Т0(£) = 3р 1 + р 2£0(£) + 3 р 3£0(£) (41) £ о (0 ) = 0, Т о (0 ) = 0. (42) 94 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2004, № 6 Моделирование затухающей памяти формы траектории С целью дальнейшего упрощения определяющих соотношений пред положим, что особенностью тензорного пространства, связанной с произве дением тензоров [11], при построении определяющих соотношений можно пренебречь. Тогда уравнение (39) примет вид 1 г Г ё е( г ) 8(1) = <Р 2Є(Г ) “ Г І М1 (Г — г )^ГЄ(Г ) + ] Л і ( Г - Г ^ - ^ — йх = С Л ( г ) = ^ 2 е(Г) + І М 1( Г —г ^ ^ — ёг, (43) 1 Г ІТЄ 2(Г); ^ 2 = <Р 2 — т / м 1 ( Г —г)ёг.где <р 2 зависит от 5 0 Уравнение (43) с определяемым инвариантом № е 2(£) коэффициентом, как следует из [12], в случае независимости девиатора напряжений 8(£) от £ о справедливо также, когда напряжения в упругопластическом материале зависят от особенностей тензорного пространства, связанных с произведе нием тензоров, однако тензор Е имеет одну пару равных главных значений. Предположив материал пластически несжимаемым, когда справедливо соотношение (33), из уравнения (41) при выполнении условия (38) с учетом данных [13] приходим к закону упругого изменения объема: 0 0 0 То( £) = 3К£ о( £). (44) Приняв Я £ ^ 1, с учетом известного в рамках теории бесконечно малых деформаций представления тензора поворота [2] Я (£) = 1 + Я ( £) + 0( £ 2 ) = 1 + 0( £) (45) и зависимости (5) можно заключить, что с точностью до бесконечно малых второго порядка малости полученные для чистого растяжения без вращения в случае бесконечно малых деформаций выражения для напряжений не изменяются и, следовательно, применимы для моделирования общего слу чая деформирования. Далее в качестве исходного используем полученное в [1] определяющее соотношение, справедливое для чистого растяжения без вращения и мало отличающихся от отсчетной истории траекторий: £ Т(£) = / % ) К 1(1,у)[С £(у) - 1с(у )Щ + о(\|\| С £(у) - 1 1\|), (46) о где 1с(у) = 1 - история постоянной функции, значение которой всегда равно 1. ТХОТ 0556-171Х. Проблемы прочности, 2004, N 6 95 П. П. Лепихин Для произвольных процессов деформирования, как следует из данных [1, 2], тензор напряжений Коши, зная (46), может быть определен так: Т() = я ( ) \| / й ( п )К 1(1, п )[С * (п) - 1с (п № + о(\|\| С * (п) - 1 \| \| ) \|к Т (). (47) Для бесконечно малых деформаций с учетом (11) получим С (п) - 1с (п) = С( * - п) - 1 = 2Е( * - п) + 0( £ 2 ) = 1 + 0( е). (48) Подставив (48) в (46), имеем * Т( ) = 2 / К( п)К 1(1, п )[Е( - п Ж п + о( е). (49) о Обозначим функцию забывания М 1 (п) следующим образом: 00 й М 1 (п) = - 2 / К г)К 1 (1 ,г)йг, 1 (п) = ~ г М 1 (п) = 2К(п)К 1 (1, п ). (50) п ' Учитывая разрывность тензорной функции М 1 () при = 0, как и ранее, можем записать йМ 1(п) = М 1(пМп + М 1(п Ж п - 0)йп. (51) Тогда с учетом (51) соотношение (49) примет вид * Т() = / й М 1 ( п ) [ Е ( - п ) ] + о(£). (52) Принимая во внимание данные [4] и используя интегрирование д-функ- ции Дирака, входящей в дифференциал функции забывания а м 1 (^), можно, пренебрегая поправочным членом, переписать (52) в виде ~ Г ~ Т( Г) — м 1 (о) [Е( Г) ] + / м 1 ( ̂ )[Е( Г - ^ . (53) Иные способы перехода от (52) к (53) отмечены в [4]. Другую форму соотношений, определяющих напряжения, можно полу чить из (53) заменой переменной г = * - п и интегрированием по частям: Т () = / М 1 ( - г ) -йГ [Е( г )]йг. (54) о йг 96 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2004, N 6 о о Моделирование затухающей памяти формы траектории Отметим, что соотношение (54) по форме совпадает с одной из форм общих вязкоупругих определяющих законов при малых деформациях [4]. Для изотропного материала линейная изотропная тензорная функция О ~ M>(£ —с) — [Е(с)] имеет представление (18). 1 а. Осуществляя процедуру, аналогичную той, с помощью которой выше определены девиаторные и шаровые компоненты тензора напряжений, (54) можно преобразовать к виду s (£) = 2/ ~ i( [e (* )]dt; (55) To( £) = 3/ ~ o( ) l> о(*)]d t (56) Соотношения (55), (56) совпадают с зависимостями эндохронной теории пластичности [13], если в них принять внутреннее время z = £, z о = 0. Для пластически несжимаемого материала, когда согласно [13] ~ о (£ — t ) = const = K , где K - модуль объемного сжатия, соотношение (56) преобразуется следующим образом: То( £) = 3Ke о( £). (57) При этом зависимость (55) остается без изменения. Для деформирования по мало отличающимся от отсчетной истории траекториям, когда R £ ^ 1, с учетом (45) и (47) можно заключить, что с точностью до бесконечно малых второго порядка малости полученные для чистого растяжения без вращения при бесконечно малых деформациях выражения для напряжений не изменятся и, следовательно, могут приме няться для описания общего случая деформирования. Р е з ю м е Для процесів деформування, що близькі до пропорційних і мало відрізня ються від ненапруженої і недеформованої конфігурації, при нескінченно малих деформаціях розроблено математичну теорію строгої побудови і спеціалізації визначальних співвідношень зміцнюваних пружно-пластичних матеріалів зі згасаючою пам’яттю форми траєкторії першого порядку, які мають пластичні деформації зразу після прикладення навантаження, котрі монотонно збільшуються при деформуванні. Деформації - нескінченно малі. Тип симетрії матеріалу - довільний. Використано побудовані раніше автором визначальні співвідношення лінійної теорії пружно-пластичності для кінце вих деформацій. Прийнято умову малості мір деформації на протязі всього “минулого”. Особливу увагу зосереджено на ізотропних матеріалах. Установ- ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2004, № 6 91 П. П. Лепихин лено умови приведения побудованих співвідношень до одного з варіантів ендохронної теорії пластичності. 1. Лепихин П. П. Моделирование затухающей памяти формы траектории в теории простых материалов с упругопластическим поведением. Сообщ. 1. Конечные деформации // Пробл. прочности. - 2004. - № 5. - С. 63 - 77. 2. Truesdell C. A First Course in Rational Continuum Mechanics. - Baltimore: The Johns Hopkins University, 1972. - 372 p. 3. Truesdell C. and Noll W. The Non-Linear Field Theories of Mechanics. - Springer, 1992. - 591 p. 4. Christensen R. M. Theory of Viscoelasticity. An Introduction. - New York; London: Academic Press, 1971. - 338 p. 5. Casey /.A pprox im ate kinematical relation in plasticity // Int. J. Solids Struct. - 1985. - 21, No. 7. - P. 671 - 682. 6. Коларов Д., Балтов А., Бончева H. Механика на пластичните среди. - София: Изд-во на българската академия на науките, 1975. - 302 c. 7. Жуков А. М. Некоторые особенности поведения металлов при упруго пластическом деформировании // Вопросы теории пластичности. - М.: Изд-во АН СССР, 1961. - С. 30 - 57. 8. Ленский В. С. Экспериментальная проверка основных постулатов общей теории упругопластических деформаций // Вопросы теории пластич ности. - М.: Изд-во АН СССР, 1961. - С. 58 - 82. 9. Шишмарев О. А., Кузьмин Е. Я. О зависимости упругих постоянных металла от пластической деформации // Изв. АН СССР. Механика и машиностроение. - 1961. - № 3. - С. 167 - 169. 10. Поздеев А. А., Трусов П. В., Няшин Ю. И. Большие упругопластические деформации: теория, алгоритмы, приложения. - М.: Наука, 1986. - 232 с. 11. Новожилов В. В. О формах связи между напряжениями и деформа циями в первоначально изотропных неупругих телах (геометрическая сторона вопроса) // Прикл. математика и механика. - 1963. - 27, вып. 5. - С. 794 - 812. 12. Лепихин П. П. Моделирование пропорционального деформирования простых по Ноллу материалов с упругопластическим поведением. Сообщ. 2. Анализ определяющих соотношений и сопоставление их с экспериментами // Пробл. прочности. - 1998. - № 6. - С. 43 - 55. 13. Valanis K. C. A theory of viscoplasticity without a yield surface. Pt. 1. General theory // Arch. Mech. - 1971. - 23, No 4. - P. 517 - 533. Поступила 05. 02. 2004 98 ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2004, № 6

Моделирование затухающей памяти формы траектории в теории простых материалов с упругопластическим поведением. Сообщение 2. Бесконечно малые деформации

Репозитарії

Схожі ресурси