Многозначные решения общей задачи теории относительного движения жидкости

Исходная общая задача теории относительного движения жидкости в виде уравнения Лапласа с граничными и начальными условиями переформулирована как начально-краевая задача для системы двух уравнений, состоящей из уравнения Лагранжа-Коши и уравнения Лапласа. Установлена гиперболичность уравнения Лагранж...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2006
Автор:	Золотенко, Г.Ф.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут гідромеханіки НАН України 2006
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/4745
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Многозначные решения общей задачи теории относительного движения жидкости / Г.Ф. Золотенко // Прикладна гідромеханіка. — 2006. — Т. 8, № 1. — С. 22-30. — Бібліогр.: 8 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-4745
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-47452009-12-23T12:00:44Z Многозначные решения общей задачи теории относительного движения жидкости Золотенко, Г.Ф. Исходная общая задача теории относительного движения жидкости в виде уравнения Лапласа с граничными и начальными условиями переформулирована как начально-краевая задача для системы двух уравнений, состоящей из уравнения Лагранжа-Коши и уравнения Лапласа. Установлена гиперболичность уравнения Лагранжа-Коши для квазипотенциала относительной скорости жидкости. Показано, что свободная поверхность жидкости является характеристикой этой формы уравнения Лагранжа-Коши. Доказана возможность существования многозначных решений рассматриваемой задачи и приведен пример такого решения (задача о "летящем цилиндре''). Сформулированы условия совместности данных Коши на свободной поверхности жидкости как на характеристике. Вихiдну загальну задачу теорiї вiдносного руху рiдини у виглядi рiвняння Лапласа з граничними та початковими умовами переформульовано як початково-крайову задачу для системи двох рiвнянь, що складається з рiвняння Лагранжа-Кошi та рiвняння Лапласа. Встановлено гiперболiчнiсть рiвняння Лагранжа-Кошi для квазiпотенцiала вiдносної швидкостi рiдини. Показано, що вiльна поверхня є характеристикою цiєї форми рiвняння Лагранжа-Кошi. Доведено можливiсть iснування багатозначних розв'язкiв задачi, що розглядається, та наведено приклад такого розв'язку (задача про "лiтаючий цилiндр''). Сформульовано умови сумiсностi даних Кошi на вiльнiй поверхнi рiдини як на характеристицi. The input general problem of the theory of relative fluid motion for Laplace equation with initial and boundary conditions is reformulated as an initial-boundary value problem for the system of two equations consisting of Lagrange - Cauchy equation and Laplace equation. It is established that Lagrange - Cauchy equation for quasipotential of relative fluid motion is hyperbolic. It is shown that the free surface of a fluid is the characteristic of this form of Lagrange - Cauchy equation. The possibility of existence of many-valued solutions of a considered problem is proved and the example of such solution is given (the problem on "the flying cylinder''). Conditions of compatibility of Cauchy data on a liquid free surface considered as the characteristic are formulated. 2006 Article Многозначные решения общей задачи теории относительного движения жидкости / Г.Ф. Золотенко // Прикладна гідромеханіка. — 2006. — Т. 8, № 1. — С. 22-30. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. 1561-9087 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/4745 532.5:517.958 ru Інститут гідромеханіки НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	Исходная общая задача теории относительного движения жидкости в виде уравнения Лапласа с граничными и начальными условиями переформулирована как начально-краевая задача для системы двух уравнений, состоящей из уравнения Лагранжа-Коши и уравнения Лапласа. Установлена гиперболичность уравнения Лагранжа-Коши для квазипотенциала относительной скорости жидкости. Показано, что свободная поверхность жидкости является характеристикой этой формы уравнения Лагранжа-Коши. Доказана возможность существования многозначных решений рассматриваемой задачи и приведен пример такого решения (задача о "летящем цилиндре''). Сформулированы условия совместности данных Коши на свободной поверхности жидкости как на характеристике.
format	Article
author	Золотенко, Г.Ф.
spellingShingle	Золотенко, Г.Ф. Многозначные решения общей задачи теории относительного движения жидкости
author_facet	Золотенко, Г.Ф.
author_sort	Золотенко, Г.Ф.
title	Многозначные решения общей задачи теории относительного движения жидкости
title_short	Многозначные решения общей задачи теории относительного движения жидкости
title_full	Многозначные решения общей задачи теории относительного движения жидкости
title_fullStr	Многозначные решения общей задачи теории относительного движения жидкости
title_full_unstemmed	Многозначные решения общей задачи теории относительного движения жидкости
title_sort	многозначные решения общей задачи теории относительного движения жидкости
publisher	Інститут гідромеханіки НАН України
publishDate	2006
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/4745
citation_txt	Многозначные решения общей задачи теории относительного движения жидкости / Г.Ф. Золотенко // Прикладна гідромеханіка. — 2006. — Т. 8, № 1. — С. 22-30. — Бібліогр.: 8 назв. — рос.
work_keys_str_mv	AT zolotenkogf mnogoznačnyerešeniâobŝejzadačiteoriiotnositelʹnogodviženiâžidkosti
first_indexed	2025-07-02T07:57:36Z
last_indexed	2025-07-02T07:57:36Z
_version_	1836521154605481984
fulltext	ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2006. Том 8, N 1. С. 22 – 30 УДК 532.5:517.958 МНОГОЗНАЧНЫЕ РЕШЕНИЯ ОБЩЕЙ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ Г. Ф. З ОЛ О ТЕН К О Институт математики НАН Украины, Киев Получено 24.06.2005 Исходная общая задача теории относительного движения жидкости в виде уравнения Лапласа с граничными и на- чальными условиями переформулирована как начально-краевая задача для системы двух уравнений, состоящей из уравнения Лагранжа–Коши и уравнения Лапласа. Установлена гиперболичность уравнения Лагранжа–Коши для квазипотенциала относительной скорости жидкости. Показано, что свободная поверхность жидкости является хара- ктеристикой этой формы уравнения Лагранжа–Коши. Доказана возможность существования многозначных реше- ний рассматриваемой задачи и приведен пример такого решения (задача о “летящем цилиндре”). Сформулированы условия совместности данных Коши на свободной поверхности жидкости как на характеристике. Вихiдну загальну задачу теорiї вiдносного руху рiдини у виглядi рiвняння Лапласа з граничними та початковими умовами переформульовано як початково-крайову задачу для системи двох рiвнянь, що складається з рiвняння Лагранжа–Кошi та рiвняння Лапласа. Встановлено гiперболiчнiсть рiвняння Лагранжа–Кошi для квазiпотенцiала вiдносної швидкостi рiдини. Показано, що вiльна поверхня є характеристикою цiєї форми рiвняння Лагранжа– Кошi. Доведено можливiсть iснування багатозначних розв’язкiв задачi, що розглядається, та наведено приклад такого розв’язку (задача про “лiтаючий цилiндр”). Сформульовано умови сумiсностi даних Кошi на вiльнiй поверхнi рiдини як на характеристицi. The input general problem of the theory of relative fluid motion for Laplace equation with initial and boundary conditions is reformulated as an initial-boundary value problem for the system of two equations consisting of Lagrange - Cauchy equation and Laplace equation. It is established that Lagrange - Cauchy equation for quasipotential of relative fluid motion is hyperbolic. It is shown that the free surface of a fluid is the characteristic of this form of Lagrange - Cauchy equation. The possibility of existence of many-valued solutions of a considered problem is proved and the example of such solution is given (the problem on “the flying cylinder”). Conditions of compatibility of Cauchy data on a liquid free surface considered as the characteristic are formulated. ВВЕДЕНИЕ Исходная общая начально-краевая задача нели- нейной теории волн в рамках модели идеальной однородной несжимаемой жидкости имеет, как известно, вид ∆Φ(r, t) = 0, r ∈ Ω, t ∈ [t0, t1), (1) ∂Φ ∂ν = (v0 + ω × r) · ν, r ∈ S, (2) ∂Φ ∂ν = (v0 + ω × r) · ν − ft √ (∇f)2 , r ∈ Σ, (3) ∂Φ ∂t + 1 2 (∇Φ)2 −∇Φ · (v0 + ω × r)− −g0 · r + p0 ρ = F0(t), r ∈ Σ, (4) Φ(r, t0) = Φ0(r), f(r, t0) = f0(r), (5) где t – время; t0, t1 – начальный и конечный мо- менты времени; x, y, z – пространственные коорди- наты; r = (x, y, z) – радиус-вектор жидкой части- цы; Φ(x, y, z, t) – потенциал абсолютной скорости жидкости, взятый в подвижной системе координат Oxyz; Ω – занятая жидкостью область; Σ – свобо- дная поверхность жидкости; f(x, y, z, t) – задаю- щая свободную поверхность функция; S – твердая граница жидкой области; ν – орт внешней нормали к свободной поверхности; v0 и ω(t) – векторы по- ступательной и угловой скоростей подвижной сис- темы координат Oxyz соответственно; Φ0(x, y, z) и f0(x, y, z) – начальные значения искомых функ- ций; ρ – плотность жидкости; p0 – значение дав- ления на свободной поверхности; g0 – вектор уско- рения силы тяжести; F0(t) – произвольная функ- ция времени; ∇ = (∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z) – опера- тор градиента по пространственным переменным; ∆ – оператор Лапласа по x, y, z. В случае без- граничной жидкости эти соотношения дополняю- тся известными условиями на бесконечности, а в случае ограниченной области Ω — интегральным условием постоянства объема жидкости. В терминах математической физики эта задача классифицируется как задача для уравнения Ла- пласа ∆Φ = 0 в изменяющейся со временем обла- сти Ω, с условиями Неймана на твердой части гра- ницы, кинематическим и динамическим условия- ми на свободной поверхности Σ, а также началь- ными условиями в момент t = t0. Одна из специфических особенностей задачи (1) 22 c© Г. Ф. Золотенко, 2006 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2006. Том 8, N 1. С. 22 – 30 – (5) заключается в том, что решениe эллиптиче- ского уравнения (т. е. уравнения Лапласа) ока- зывается колебательным по времени, т.е. имеет все признаки решений гиперболического (волново- го) уравнения. Анализ причин возникновения это- го любопытного обстоятельства в случае линей- ных волн на поверхности безграничной жидкости показывает, что колебательный характер реше- ния эллиптического уравнения является следстви- ем кинематического и диамического условий на свободной поверхности жидкости, которые в ходе решения задачи сводятся к классическому урав- нению колебаний осциллятора. Точнее, в линей- ном случае кинематическое и динамическое усло- вия (3), (4) принимают на свободной поверхности f(x, y, z, t) = z − ζ(x, y, t) = 0 соответственно вид [1, cтр. 405] ∂Φ ∂z = ∂ζ ∂t , ζ = − 1 g ∂Φ ∂t , (z = 0), где g – величина вектора g0 ускорения силы тя- жести. Отсюда после соответствующих преобра- зований (дифференцирований и подстановок) для временнóй составляющей решения T (t) в методе разделения переменных получается классическое уравнение осциллятора: d2T dt2 + σ2T = 0, где σ – собственная частота колебаний жидкости. Это уравнение и определяет изменение со време- нем потенциала (а значит, и поля скоростей жид- кости) в каждой отдельной точке пространства (x, y, z). Уравнение же Лапласа “отвечает” за ра- спределение этого потенциала во всей пространс- твенной области Ω(t). Таким образом, гиперболический (колебатель- ный) характер решения уравнения эллиптическо- го типа обусловлен в случае линейной волновой задачи условиями на свободной поверхности жид- кости. При этом оказывается [1, стр. 407], что ре- шение единственно. Цель настоящей работы – по- казать, что в нелинейном случае решения общей волновой задачи (1) – (5) также имеют гиперболи- ческий характер, однако, в отличие от линейного случая, они могут быть многозначными. 1. ПОСТАНОВКА ВОПРОСА Динамическое условие представляет собой инте- грал Лагранжа–Коши, который рассматривается, во-первых, в точках свободной поверхности, и, во- вторых, при фиксированном давлении p = p0. В свою очередь, интеграл Лагранжа–Коши являе- тся, как известно, промежуточным соотношением в процессе решения гидродинамических уравне- ний Эйлера (при потенциальных внешних силах). Этот интеграл заменяет систему трех скалярных уравнений Эйлера относительно компонент ско- рости и давления одним скалярным уравнением относительно потенциала скорости и того же дав- ления. Следовательно, решения исходной задачи (1) – (5) должны удовлетворять интегралу Ла- гранжа – Коши не только на свободной поверхно- сти, но и в любой точке жидкого объема. Поэтому, по существу, исходной задачей является не (1) — (5), а задача в виде системы двух уравнений с ча- стными производными: ∂Φ ∂t + 1 2 (∇Φ)2−∇Φ·(v0+ω×r)−g0+ P (r, t) ρ = F0(t), (6) ∆Φ(r, t) = 0, (7) с граничным условием P (r, t) = p0, r ∈ Σ, (8) прежними условиями на твердой стенке (2) и на свободной поверхности (3), а также начальными условиями (5). Здесь P (r, t) – неизвестное давле- ние как функция пространственных переменных и времени. В системе уравнений (6), (7) второе урав- нение относится к эллиптическому типу, а первое, насколько известно, не классифицировано. Поэто- му возникает задача определения типа этого урав- нения. Прежде всего заметим, что кроме неизвестных потенциала скорости и давления, первое уравне- ние (т. е. интеграл Лагранжа–Коши) содержит также неизвестную произвольную функцию вре- мени. Таким образом, это уравнение является не- доопределенным, поскольку зависит от трех иско- мых функций. Его особенностью является то, что оно содержит только производные от потенциала скорости, но не содержит самого потенциала, а в отношении давления наоборот – содержит только давление и не содержит производных от него. Если давление и произвольную функцию време- ни считать известными, то интеграл Лагранжа– Коши можно рассматривать как нелинейное урав- нение с частными производными 1-го порядка относительно потенциала скорости. В дальнейшем интеграл Лагранжа – Коши, трактуемый как диф- ференциальное уравнение, для краткости называ- ется основным уравнением. Его интегрированием должно заканчиваться решение исходной системы Г. Ф. Золотенко 23 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2006. Том 8, N 1. С. 22 – 30 гидродинамических уравнений Эйлера, однако это – сложная задача. Ниже решается задача классификации основно- го уравнения, т.е. выясняется, является оно па- раболическим, гиперболическим, эллиптическим или, возможно, некоторого смешанного типа. Эта задача представляется важной, поскольку уравне- ния перечисленных классов решаются, как изве- стно, совершенно разными методами. Классифи- кация проводится на основе теории характеристик [2]. Уравнения в частных производных именно 1- го порядка, описывающие гиперболические волны, рассматривались в [3]. Интеграл Лагранжа – Ко- ши в форме, используемой в настоящей работе, приведен в [4]. Современное состояние проблемы разрешимости уравнений гидродинамики освеще- но в обзоре [5]. Линейное уравнение 1-го порядка, часто встречающееся в гидродинамике и описыва- ющее, в частности, свободную поверхность жидко- сти, решалось в [6]. 2. ОБЩАЯ ГИДРОДИНАМИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА КОШИ Рассматривается идеальная несжимаемая жид- кость постоянной плотности ρ, совершающая неко- торое движение в поле силы тяжести. Это движе- ние описывается в подвижной декартовой системе координат Oxyz, начало O и ориентация осей x, y, z которой произвольны. Жидкость занимает про- странственную область Ω и в общем случае погру- жена в некоторую бóльшую область (полость) Π, так что Ω ⊆ Π ⊆ R3. В частном случае, когда Ω = Π = R3, жидкость безгранична по всем направлениям и не имеет свободной поверхности. В этих предположе- ниях задача Коши для 3-мерных уравнений Эйле- ра при неподвижной системе координат Oxyz ис- следовалась во всей полноте Н.М.Гюнтером [7]. При условии Ω = Π ⊆ R3 жидкость также не имеет свободной поверхно- сти, но ограничена по объему и целиком за- полняет некоторую полость (знаменитая задача Н.Е.Жуковского). В дальнейшем изучается слу- чай, когда Ω ⊂ Π ⊂ R3. (9) Физически это означает, что жидкость имеет сво- бодную поверхность (это обстоятельство отража- ется первым знаком включения) и находится в по- лости конечных размеров (второй знак включе- ния). В предположении, что абсолютное движение жидкости является безвихревым (при подходящих начальных условиях такое движение возможно, поскольку силы тяжести имеют потенциал), будем представлять интеграл Лагранжа – Коши в наибо- лее естественном для случая подвижной полости виде [4]: ∂ψ ∂t + 1 2 (∇ψ)2−∇ψ·(ω×r)−(g0−w0)·r+ 1 ρ P0 = C(t), (10) (x, y, z) ∈ Ω(t), t ∈ [t0, t1), (11) где в дополнение к ранее принятым обозначениям ψ(x, y, z, t) – квазипотенциал относительной ско- рости жидкости; w0(t) – вектор абсолютного уско- рения начала O подвижной системы координат; P0(x, y, z, t) – известная функция, задающая поле давлений в жидкости; C(t) – новая произвольная функция времени. Замечание. В условиях (11), задающих область изменения независимых переменных, использова- но обозначение Ω(t) вместо Ω из (9), чтобы подчер- кнуть изменчивость области определения интегра- ла Лагранжа–Коши и, следовательно, то, что этот интеграл должен быть определен в любой точке охватывающей области Π, а не только в точках области Ω. В соотношении (10) известными считаются ве- личины ω(t), g0, w0(t), P0(x, y, z, t) и C(t), а иско- мой — функция ψ(t). Для уравнения (10) формулируется общая за- дача Коши. Она заключается в поиске решения этого уравнения, удовлетворяющего на некоторой заданной начальной гиперповерхности B = {(x, y, z, t0) : ϕ(x, y, z, t0) = 0} пространства-времени R4 3 (x, y, z, t) условию ψ(x, y, z, t0) ∣ ∣ ∣ B = ψ0(x, y, z). (12) Здесь ψ0(x, y, z) и ϕ(x, y, z, t0) – известные функ- ции. В частном случае начальная поверхность B может совпадать со свободной поверхностью Σ(t0), и тогда ϕ(x, y, z, t0) = f(x, y, z, t0). Если ϕ(x, y, z, t0) ≡ t0, то B = {(x, y, z, t0) : t0 = 0} и начальные условия задают значения квазипотен- циала ψ на гиперплоскости t0 = 0 пространства- 24 Г. Ф. Золотенко ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2006. Том 8, N 1. С. 22 – 30 времени R4, совпадающей со всем 3-мерным про- странством (x, y, z). В общем же случае началь- ные условия задаются на гиперповерхности t = t0(x, y, z) из R4, где t0(x, y, z, t) – решение урав- нения ϕ(x, y, z, t0) = 0 относительно переменной t0. В этом случае зна- чения потенциала задаются не во всем 3-мерном пространстве (x, y, z), а лишь в области определе- ния функции t0(x, y, z). Ниже устанавливается тип основного уравнения (10) в области Ω(t) × [t0, t1). 3. ЭКВИВАЛЕНТНАЯ СИСТЕМА КВАЗИЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Имея в виду применение метода характеристик, построим для основного уравнения (10) эквива- лентную систему квазилинейных уравнений. Введем обозначения: x1 = x, x2 = y, x3 = z, x4 = t, p1 = ∂ψ ∂x , p2 = ∂ψ ∂y , p3 = ∂ψ ∂z , p4 = ∂ψ ∂t . (13) Тогда основное уравнение (10) представится в сле- дующем стандартном виде: F (x1, x2, x3, x4, ψ, p1, p2, p3, p4) = 0, (14) где F = p4 + 1 2 (p2 1 + p2 2 + p2 3 ) − (x3ωy − x2ωz)p1− −(x1ωz − x3ωx)p2 − (x2ωx − x1ωy)p3 −C(x4)− −(gx −wx)x1 − (gy − wy)x2 − (gz − wz)x3+ + 1 ρ P0(x1, x2, x3, x4). (15) В формуле (15) величины (gx, gy, gz), (ωx, ωy, ωz) и (wx, wy, wz) обозначают проекции векторов g0, ω и w0 на оси x, y, z (а не производные). Эти прое- кции зависят только от времени x4 = t. Заметим также, что в уравнении Лагранжа–Коши в форме (14) функция F не зависит от искомой функции ψ, но зависит от ее частных производных. Продифференцируем уравнение (14) по пере- менным xk, используя соотношения dF dxk = ∂F ∂xk + ∂F ∂ψ ∂ψ ∂xk + 4 ∑ i=1 ∂F ∂pi ∂pi ∂xk , ∂F ∂ψ = 0, ∂pi ∂xk = ∂pk ∂xi . В результате получим следующую систему 4-х уравнений в частных производных относительно величин pi: a1 ∂p1 ∂x1 + a2 ∂p1 ∂x2 + a3 ∂p1 ∂x3 + a4 ∂p1 ∂x4 = b1, a1 ∂p2 ∂x1 + a2 ∂p2 ∂x2 + a3 ∂p2 ∂x3 + a4 ∂p2 ∂x4 = b2, a1 ∂p3 ∂x1 + a2 ∂p3 ∂x2 + a3 ∂p3 ∂x3 + a4 ∂p3 ∂x4 = b3, a1 ∂p4 ∂x1 + a2 ∂p4 ∂x2 + a3 ∂p4 ∂x3 + a4 ∂p4 ∂x4 = b4, (16) где коэффициенты ai при производных и правые части bi являются функциями от независимых пе- ременных xi и зависимых переменных pi, опреде- ляемыми соотношениями a1 = p1−(x3ωy−x2ωz), a2 = p2−(x1ωz−x3ωx), a3 = p3 − (x2ωx − x1ωy), a4 = 1; (17) b1 = ωzp2 − ωyp3 + (gx −wx) − 1 ρ ∂P0 ∂x1 , b2 = ωxp3 − ωzp1 + (gy − wy) − 1 ρ ∂P0 ∂x2 , b3 = ωyp1 − ωxp2 + (gz −wz) − 1 ρ ∂P0 ∂x3 , b4 = (x3ω • y − x2ω • z )p1 + (x1ω • z − x3ω • x)p2+ +(x2ω • x − x1ω • y)p3 + (g•x − w• x)x1 + (g•y − w• y)x2+ +(g•z −w• z)x3 − − 1 ρ ∂P0 ∂x4 + C•(x4). (18) Точка в формуле для b4 обозначает дифференци- рование по времени x4 = t. Система уравнений (1) является квазилиней- ной, поскольку в ней коэффициенты при старших производных (1-го порядка) от искомых функций зависят от этих функций. 4. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФОРМА Построим характеристическую форму, с помо- щью которой затем классифицируем рассматрива- емую задачу Коши. Используем обозначения Р.Куранта [2, cтр.177] и представим систему квазилинейных уравнений (1) в следующем матричном виде: n ∑ i=1 Aiui + b = 0, n = 4. (19) Г. Ф. Золотенко 25 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2006. Том 8, N 1. С. 22 – 30 Здесь u – 4-мерный вектор неизвестных величин, причем u = (u1, u2, u3, u4) = (p1, p2, p3, p4), ui – вектор частных производных от u, т.е. ui = ∂u ∂xi = (u1 xi , u2 xi , u3 xi , u4 xi ), Ai – диагональные 4 × 4-матрицы вида Ai = diag [ai, ai, ai, ai], b = (b1, b2, b3, b4) – вектор правых частей уравне- ния (1). Введем в рассмотрение характеристическую ма- трицу A на некотором многообразии M = {(x1, x2, x3, x4) : φ(x1, x2, x3, x4) = 0} ⊂ R4, определяемую соотношением A = A1φ1 +A2φ2 +A3φ3 +A4φ4. (20) Здесь φi = ∂φ/∂xi – частные производные ска- лярной функции φ(x1, x2, x3, x4), задающей мно- гообразие M . Замечание. Характеристическая матрица A за- висит от многообразия M , так как содержит прои- зводные φi = ∂φ/∂xi. Матрицы Aiφi в формуле (20) являются, очеви- дно, диагональными. Поэтому матрица A как сум- ма дигональных матриц также будет диагональ- ной. Вводя в рассмотрение векторы a = (a1, a2, a3, a4), gradφ = (φ1, φ2, φ3, φ4) (заметим, что оператор grad отличен от ранее вве- денного оператора ∇, поскольку действует по 4-м переменным, а не по трем), представим матрицу A в виде A = diag [a · gradφ, a · gradφ, a · gradφ, a · gradφ], (21) где точка обозначает скалярное произведение ве- кторов. Формула (21) позволяет легко найти характери- стическую форму задачи, которая по определению равна детерминанту матрицы A. Вычислив этот детерминант и обозначив через Q(φ1, φ2, φ3, φ4) искомую характеристическую форму, получаем равенство Q(φ1, φ2, φ3, φ4) = (a · gradφ)4, (22) где компоненты вектора a задаются формулами (17), а функция φ определяет многообразие M . Расписав в равенстве (22) скалярное произведение векторов с учетом соотношения (17) и заменив pi обозначениями Куранта ui, получим окончатель- ное выражение для характеристической формы в виде Q(φ1, φ2, φ3, φ4) = {[u1 − (x3ωy − x2ωz)]φ1+ +[u2 − (x1ωz − x3ωx)]φ2+ +[u3 − (x2ωx − x1ωy)]_3 + φ4} 4. (23) Замечание. Формула (23) конкретизирует из- вестное выражение характеристической формы на случай уравнения Лагранжа–Коши. Физиче- ски функции u1, u2, u3 означают потенциальные составляющие относительной скорости жидкости, так как u1 = p1 = ∂ψ ∂x , u2 = p2 = ∂ψ ∂y , u3 = p3 = ∂ψ ∂z . В свою очередь, производные φ1, φ2, φ3 геометри- чески являются компонентами нормали к гипер- поверхности M , рассматриваемой в пространстве R3 в момент времени t. Заметим также, что фор- ма Q не зависит от ускорений g0, w0(t) и давления P0(x, y, z, t), так как не содержит компонент векто- ра b. Отсюда следует, что эти ускорения и давле- ние не влияют на тип уравнения Лагранжа–Коши. 5. ТИП И ХАРАКТЕРИСТИКИ УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА – КОШИ Тип уравнения Лагранжа–Коши, как следует из теории характеристик, зависит от свойств не- линейного однородного (по переменным φi) алге- браического уравнения вида Q(φ1, φ2, φ3, φ4) = 0. (24) Из выражения (22) для характеристической фор- мы Q следует, что уравнение (24) имеет один ве- щественный 4-кратный корень для φ4 вида φ4 = −(a1φ1 + a2φ2 + a3φ3) (25) при произвольных остальных величинах φ1, φ2, φ3. Кратность этого корня, равная 4, отражает то, что компоненты ui вектора u удовлетворяют системе (1) четырех уравнений, каждое из которых опре- деляется одним и тем же дифференциальным опе- ратором Li[·] и имеет вид Li[u i] = a1 ∂ui ∂x1 + a2 ∂ui ∂x2 + a3 ∂ui ∂x3 + a4 ∂ui ∂x4 − bi = 0, i = 1, 2, 3, 4. (26) 26 Г. Ф. Золотенко ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2006. Том 8, N 1. С. 22 – 30 Этому уравнению соответствует характеристиче- ская форма Qi(φ1, φ2, φ3, φ4) = a1φ1 + a2φ2 + a3φ3 + a4φ4, которая, очевидно, обращается в нуль при усло- вии (25). Но поскольку в случае (26) число уравне- ний совпадает с числом вещественных корней ха- рактеристической формы, уравнение (26), а с ним и система квазилинейных уравнений (1) являются вполне гиперболическими [см. 2, стр.178] Далее, согласно общему определению теории квазилиненйых систем уравнений, любая гиперпо- верхность будет характеристикой уравнения Ла- гранжа – Коши, если на этой гиперповерхности обращается в нуль характеристическая форма Q. Докажем следующее утверждение. Свободная поверхность Σ(t) жидкости явля- ется характеристической поверхностью уравне- ния Лагранжа – Коши для относительного дви- жения жидкости. Для доказательства положим, что уравнение свободной поверхности Σ(t) жидкости имеет вид f(x, y, z, t) = 0. Найдем полную производную от обеих частей это- го равенства, учитывая, что координаты x, y, z жидкой частицы, все время находящейся на по- верхности Σ(t), зависят от времени. Имеем df dt = ∂f ∂x dx dt + ∂f ∂y dy dt + ∂f ∂z dz dt + ∂f ∂t = 0. (27) Но производные от x, y, z по времени представля- ют собой проекции относительной скорости жид- кости на оси подвижной системы координат Oxyz, поэтому, как известно, можно написать dx dt = ∂ψ ∂x − (zωy − yωz), dy dt = ∂ψ ∂y − (xωy − zωx), dz dt = ∂ψ ∂x − (yωx − xωy). Подставляя эти выражения в уравнение (27), используя формулы (13), (17) и возвращаясь к обо- значениям Куранта, получаем равенство f4 = −(a1f1 + a2f2 + a3f3), которое с точностью до обозначений f и φ совпа- дает с корнем (25) характеристической формы Q. Отсюда вытекает доказываемое утверждение. Рассмотрим теперь подробнее соотношение (25) в предположении, что многообразие M при t = t0 совпадает с начальной поверхностью B, т.е. φ(x1, x2, x3, x4) ∣ ∣ ∣ x4=t0 = ϕ(x, y, z, t0) = 0. Это уравнение задает реальную поверхность в 3- мерном пространстве R3 с вектором нормали ϕ1(x, y, z, t0) = ∂ϕ(x, y, z, t0) ∂x , ϕ2(x, y, z, t0) = ∂ϕ(x, y, z, t0) ∂y , ϕ3(x, y, z, t0) = ∂ϕ(x, y, z, t0) ∂z . В то же время, производная ϕ4 = ∂ϕ/∂t при t = t0 определяет скорость ∂ϕ(x, y, z, t0) ∂t изменения со временем поверхности B. Ясно, что производные функции ϕ по пространственным пе- ременным связаны с ее производной по t соотно- шением (25) не для всякой поверхностиB. Если же поверхность B такова, что на ней это соотношение выполняется, то эта начальная поверхность явля- ется характеристикой. При этом выражение (25) в момент t = t0 превращается (после подстановки ai из (17) и замены ϕ на f) в равенство f0 t = − { [ψ0 x − (x3ω 0 y − x2ω 0 z)]f0 x+ +[ψ0 y − (x1ω 0 z − x3ω 0 x)]f0 y + +[ψ0 z − (x2ω 0 x − x1ω 0 y)]f0 z } , (28) где верхний индекс 0 означает, что соответствую- щие функции рассматриваются в момент t = t0. Соотношение (28) связывает производные по x, y, z от начального квазипотенциала ψ0(x, y, z) и начальной поверхности f0(x, y, z) = f(x, y, z, t0) из условий Коши (12) в случае, когда начальная по- верхность B совпадает с характеристикой. Приме- чательно, что это равенство включает также прои- зводную ft от функции f(x, y, z, t) по времени в момент t = t0, которая обычно не требуется в слу- чае нехарактеристической начальной поверхности B. Отсюда вытекает следующий вывод. При определении начальных условий Коши на свободной поверхности (т. е. на характеристике) Г. Ф. Золотенко 27 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2006. Том 8, N 1. С. 22 – 30 необходимо задавать не только начальные значе- ния искомых квазипотенциала ψ0(x, y, z) и свобо- дной поверхности f0(x, y, z), но и начальные зна- чения их производных (для квазипотенциала за- даются производные только по пространствен- ным переменным ψ0 x, ψ0 y, ψ 0 z , а для свободной по- верхности – одновременно по пространственным переменным f0 x , f0 y , f0 z и по времени f0 t (x, y, z) = ∂f(x, y, z, t0)/∂t). При этом должно выполняться дополнительное условие (28) совместности на- чальных значений этих производных. Замечание. Дополнительное условие совместно- сти производных аналогично известному в гидро- механике требованию, чтобы начальное значение ψ0(x, y, z) решения уравнения Лапласа ∆ψ = 0 также удовлетворяло уравнению Лапласа, т. е. ∆ψ0 = 0. Наконец, сформулируем следующий основной результат. Общая задача Коши (10)–(12) для уравнения Лагранжа–Коши теории относительного движе- ния жидкости всегда имеет решение ψ(x, y, z, t). При этом, если начальная поверхность B ⊂ R4 не является характеристической, решение ψ(x, y, z, t) единственно, в противном случае ре- шение многозначно. Справедливость этого утверждения вытекает из гиперболичности уравнения Лагранжа – Коши [2, стр. 177]. При этом предполагается, что все встре- чающиеся здесь функции непрерывны вместе с их производными нужных порядков, а рассмотрения проводятся “в малом”. Многозначность означает, что существует более одного решения ψ(x, y, z, t), принимающего на на- чальной поверхности B заданные значения ψ0(x, y, z) = ψ(x, y, z, t0(x, y, z)), где t0(x, y, z) – решение уравнения f(x, y, z, t0) = 0, определяющего начальную поверхность B при ее совпадении в момент t0 со свободной поверхностью Σ(t0) жидкости. 6. ПРИМЕР – “ЛЕТЯЩИЙ ЦИЛИНДР” Полученные результаты проливают свет на при- роду многозначности решения задачи, условно на- званной “летящий цилиндр” и заключающейся в следующем [8]. Рассматривается абсолютно твердый прямой круговой цилиндр, частично заполненный идеаль- ной однородной несжимаемой жидкостью и летя- щий в поле силы тяжести. Его движение происхо- дит в неподвижной системе координат O∗ξ, η, ζ, ось O∗ζ которой направлена по вектору g0 уско- рения силы тяжести, т. е. в проекциях на эти оси: g0 = (0, 0,−g). С цилиндром жестко связана система координат Oxyz с началом O в его геометрическом центре и осьюOx, совпадающей с его центральной продоль- ной осью. Считается, что при движении цилиндра ось Ox остается все время перпендикулярной вер- тикальной плоскости O∗ηζ, а векторы v0(t) и ω(t) его поступательного и вращательного движения в проекциях на оси ξ, η, ζ имеют вид v0(t) = (0, vη +wηt, vζ +wζt), ω(t) = (α•(t), 0, 0), (29) где vη, vζ и wη = const, wζ = const – проекции на оси η, ζ векторов абсолютной начальной скоро- сти v0 и абсолютного ускорения w0 точки O со- ответственно; α(t) – угол между осями Oy и Oη (α > 0 при поворотах системы координат Oxyz вокруг оси Ox против хода часовой стрелки). Точ- ка у α обозначает дифференцирование по времени. Таким образом, летящий цилиндр все время остае- тся горизонтальным, двигаясь с постоянным уско- рением перпендикулярно своей продольной оси и одновременно вращаясь вокруг нее. Одним из возможных режимов движения жид- кости при перемещениях цилиндра по закону (29) является ее квазитвердое вращение, при котором все жидкие частицы движутся по круговым ор- битам (параллельным плоскости Oyz и имеющим центры на оси Ox) с одинаковой угловой скоро- стью ω(t). Соответствующее точное аналитическое решение имеет вид (плоская задача) ψ(y, z, t) ≡ 0, ζ(y, t) = h(t) + k(t)y. (30) Здесь ζ(y, t) – функция, задающая явно свобо- дную поверхность жидкости согласно уравнению f(y, z, t) = z − ζ(y, t) = 0, а коэффициенты h(t) и k(t) определяются формулами h(t) = h0 √ 1 + k2(t) 1 + k2 0 , (31) k(t) = wη cosα(t) + (g + wζ) sinα(t) wη sinα(t) − (g +wζ) cosα(t) , (32) где h0, k0 – некоторые постоянные. Геометрически ζ(y, t) задает прямую в плоскости Oyz, h(t) – точку пересечения этой прямой с осью z, а k(t) – угло- вой коэффициент этой прямой. Здесь не приведе- но входящее в решение выражение для произволь- ной функции C(t), которое выбирается очевидным 28 Г. Ф. Золотенко ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2006. Том 8, N 1. С. 22 – 30 образом из динамического условия при подстанов- ке в него приведенных значений h(t), k(t). Решение (30) – многозначно. Это значит, что существует целое множество наборов параметров {wη, wζ, α(t)} таких, что каждому из них соответ- ствует своя пара функций (h(t), k(t)), удовлетво- ряющих одним и тем же начальным условиям: h(t0) = h0, k(t0) = k0. Действительно, h(t0) = h0 при любом k(t). В то же время, если в начальный момент k0 = wη cosα0 + (g + wζ) sinα0 wη sinα0 − (g + wζ) cosα0 , (α0 = α(t0)), то это значение k0 может быть обеспечено подхо- дящим выбором ускорений wη, wζ и начального угла поворота α0. В частности, чтобы обеспечить нулевое начальное значение углового коэффици- ента, эти параметры должны быть связаны соот- ношением wη = −(g +wζ)tgα0. Таким образом, коротко говоря, начальное усло- вие (h0, k0) одно, а решений, удовлетворяющих этому начальному условию, – целое множество. Эти решения функционально задаются одинаково, но разнятся между собой значениями параметров объединяющей их функции. Поскольку функция, задающая это множество решений, одна, можно сказать, что решение у рассматриваемой задачи одно, но многозначно. Рассмотрим теперь многозначное решение (30) в свете сформулированных выше теоретических результатов. В данном конкретном случае общая начально-краевая задача (6)–(8), (2), (3), (5) при- нимает следующий вид: уравнение Лагранжа–Коши – ψt+ 1 2 (∇ψ)2+α•(t)(zψy−yψz)−y[gy−v • y +α•(t)vz ]− −z[gz − v•z − α•(t)vy ] + 1 ρ P (y, z, t) = C(t), (33) уравнение неразрывности – ∆ψ(y, z, t) = 0, условие непротекания – ∂ψ ∂ν = 0, (y, z) ∈ S, кинематическое условие – ζt +α•(t)ζζy +ψyζy −ψz = −α•(t)y, (y, z) ∈ Σ(t), (34) динамическое условие – P (y, z, t) = p0, (y, z) ∈ Σ(t), начальные условия – ψ(y, z, t0) = ψ0(y, z), ζ(y, t0) = ζ0(y). (35) Здесь ψt, ψy, ψz, ζy , ζt – частные производные функций ψ, ζ; gy, gz и vy, vz – проекции постоян- ных по направлению векторов g0 и v0(t) соответ- ственно на вращающиеся оси Oyz; ζ0(y) – началь- ная форма свободной поверхности жидкости. Положим временно, что распределение давле- ния внутри жидкости известно, т. е. P (y, z, t) = P0(y, z, t), и в этом предположении построим для уравнения Лагранжа–Коши (33) характеристиче- скую форму (23). Используя связь между переменными x1, x2, x3, x4 и x, y, z, t, находим, что в данном случае форма (23) имеет вид Q(ϕy, ϕz, ϕt) = {[ψy + zα•(t)]ϕy+ +[ψz − yα•(t)]ϕz + ϕt} 4, где ϕy, ϕz, ϕt – производные функции ϕ(y, z, t), определяющей начальную поверхность B. Пола- гая поверхность B совпадающей со свободной по- верхностью Σ(t) и заменяя ϕ на f = z − ζ(y, t), из последнего соотношения получаем формулу Q(ζy, ζz, ζt) = {[ψy+zα •(t)](−ζy)+[ψz−yα •(t)]−ζt} 4. Отсюда, рассматривая алгебраическое уравнение (24), находим его корень (25): ζt = −(ψy + zα•(t))ζy + ψz − yα•(t). Как и в общем случае, это соотношение опреде- лит именно характеристику, если частные прои- зводные по пространственным переменным от ква- зипотенциала ψy, ψz будут определены в точках (y, z) ∈ Σ(t) этой поверхности. Но поскольку на свободной поверхности выполняется равенство z = ζ, последнее соотношение в точках (y, z) хара- ктеристики будет иметь вид ζt = −(ψy + ζα•(t))ζy + ψz − yα•(t). (36) Сравнение выражения (36) c (34) показывает, что кинематическое условие на свободной поверхности Σ(t) является дифференциальным уравнением ха- рактеристики уравнения Лагранжа–Коши. Замечание. Если мы хотим рассматривать при t = t0 характеристику, начальные функции ψ0, ζ0 должны быть согласованы с кинематическим Г. Ф. Золотенко 29 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2006. Том 8, N 1. С. 22 – 30 условием (34), т.е. должно выполняться соотноше- ние ζ∗t +α•(t0)ζ ∗ζ∗y +ψ∗ yζ ∗ y−ψ ∗ z = −α•(t0)y, (y, z) ∈ Σ0, (37) где ψ∗ y , ψ∗ z и ζ∗t , ζ∗y – значения частных произво- дных заданных функций ψ0 и ζ0 в точках (y, z, t0) начальной поверхности Σ0. При других ψ0 и ζ0 (т. е. не удовлетворяющих этому условию) начальная поверхность не будет характеристикой. То обстоятельство, что свободная поверхность Σ(t) является характеристикой, приводит (при на- чальных условиях (35) c дополинтельным услови- ем согласованности (37)) к многозначности реше- ния гидродинамической задачи Коши, что и под- тверждает дальнейшее решение задачи о летящем цилиндре. Действительно, подстановка выражений (30) в кинематическое условие (или, что то же, в урав- нение характеристик) (34) дает соотношение (k• + ωk2 + ω)y = −(h• + hkω), (ω = α•(t)). В этом равенстве левая часть, зависящая от y, мо- жет быть равна зависящей только от t правой ча- сти тогда и только тогда, когда { k• + ωk2 + ω = 0, h• + hkω = 0. (38) Последние два равенства представляют собой сис- тему двух нелинейных обыкновенных дифферен- циальных уравнений относительно двух функций k(t) и h(t). Непосредственно проверяется, что вто- рое из уравнеий (38) превращается в первое, если h(t) выражается через k(t) по формуле (31). В свою очередь, первое из этих уравнений имеет об- щее решение, определяемое формулой (32). Но по- скольку величины wη, wζ не входят в первое из уравнений (38), они являются произвольными по- стоянными решения (31) (производная функции α(t) – параметр этого уравнения). Наличие же в общем решении уравнения 1-го порядка двух прои- звольных постоянных, вместо обычной одной, при- водит к тому, что любому начальному условию k(t) ∣ ∣ t=t0 = k0 соотвествует бесконечно много ре- шений (32), отвечающих тем парам постоянных (wη, wζ), которые удовлетворяют этому началь- ному условию. Другими словами, решение (32) задачи Коши для рассматриваемого нелинейного уравнения 1-го порядка является многозначным. Отсюда вытекает многозначность решения задачи о летящем цилиндре, что и требовалось доказать. ЗАКЛЮЧЕНИЕ В настоящей работе исходная общая зада- ча теории относительного движения жидкости в виде уравнения Лапласа с граничными и начальными условиями переформулирована как начально-краевая задача для системы двух урав- нений, состоящей из уравнения Лагранжа–Коши и уравнения Лапласа. Установлена гиперболичность уравнения Лагранжа–Коши для квазипотенциала относительной скорости жидкости. Показано, что свободная поверхность жидкости является хара- ктеристикой этой формы уравнения Лагранжа– Коши. Доказана возможность существования мно- гозначных решений рассматриваемой задачи и приведен пример такого решения (полное решение задачи о “летящем цилиндре”). Сформулированы необходимые дополнительные начальные условия задачи Коши, если начальные значения квазипо- тенциала задаются не на произвольной начальной гиперповерхности ϕ(x, y, z, t0) = 0, а на характери- стике f(x, y, z, t) = 0 в ее начальном положении, т. е. при t = t0. Возвращаясь к системе двух уравнений, те- перь ее можно классифицировать как смешан- ную гиперболо-эллиптическую систему. Посколь- ку в ней эллиптическое уравнение (уравнение Ла- пласа) не содержит производных по времени, ха- рактер ее решений во временнóй области пол- ностью определяется гиперболической составляю- щей. Этим объясняется природа волновых движе- ний жидкости как в линейном, так и в нелинейном случаях. 1. Кочин Н. Е.,Кибель И. А.,Розе Н. В. Теоретическая гидромеханика. Часть первая.– М.: ГИТТЛ, 1955.– 556 с. 2. Курант Р. Уравнения с частными производными.– М.: Мир, 1964.– 830 с. 3. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны.– М.: Мир, 1977.– 622 с. 4. Луковский И. А., Золотенко Г. Ф. Численное моде- лирование колебаний жидкости в закрытом подви- жном прямоугольном сосуде // Гидромеханика.– 1998.– 72.– С. 72–87. 5. Юдович В. И. О проблемах и перспективах совре- менной математической гидродинамики // Успехи механики.– 2002.– 1,N 1.– С. 61–102. 6. Гюнтер Н. М. Об уравнении ∂v ∂t +u∂v ∂x +v ∂v ∂y +w ∂v ∂z = f // Матем. сб..– 1925.– 32,N 2.– С. 279–304. 7. Гюнтер Н. М. Об основной задаче гидродинами- ки // Изв. физ.-мат. инст. им.В.А.Стеклова. Т.2.– 1927.– 32,N 2.– С. 1–168. 8. Золотенко Г. Ф. Точное решение одной нелиней- ной начально–краевой задачи гидродинамики.– В кн.: Проблеми динамiки та стiйкостi багатовимiр- них систем.– К.: Iнст. матемтики НАНУ, 2003.– 57– 74 с. 30 Г. Ф. Золотенко

Многозначные решения общей задачи теории относительного движения жидкости

Репозитарії

Схожі ресурси