Волны на границе пористо-упругого полупространства. I. Свободная граница
Проведен анализ особенностей распространения поверхностных волн в пористо-упругом насыщенном жидкостью полупространстве со свободной границей. Показано, что для полупространства с проницаемой границей существует только одна поверхностная волна, слабо затухающая вдоль направления, а ее фазовая скорос...
Gespeichert in:
| Datum: | 2005 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут гідромеханіки НАН України
2005
|
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/475 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Волны на границе пористо-упругого полупространства. 1. Свободная граница / Н.С. Городецкая // Акуст. вісн. — 2005. — Т. 8, N 1-2. — С. 28-41. — Бібліогр.: 21 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-475 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-4752008-10-20T17:41:45Z Волны на границе пористо-упругого полупространства. I. Свободная граница Городецкая, Н.С. Проведен анализ особенностей распространения поверхностных волн в пористо-упругом насыщенном жидкостью полупространстве со свободной границей. Показано, что для полупространства с проницаемой границей существует только одна поверхностная волна, слабо затухающая вдоль направления, а ее фазовая скорость незначительно увеличивается с частотой, стремясь к скорости поверхностной волны в эквивалентной однофазной среде. Основная часть энергии, которую переносит данная волна, сосредоточена в упругом скелете. Для непроницаемой границы существуют две поверхностные волны. Одна из них распространяется с фазовой скоростью, близкой к скорости поверхностной волны в полупространстве с проницаемой границей и затухает слабо. Вторая волна затухает сильно, и ее скорость в высокочастотном пределе стремится к скорости медленной продольной волны. Основная часть энергии, которую переносит слабо затухающая волна, сосредоточена в упругом скелете. Для сильно затухающей волны большая часть энергии сосредоточена в жидкости. Peculiarities of surface wave propagation in liquid-saturated porous-elastic half-space with a free boundary are analyzed. It is shown that there is only surface wave with low attenuation in propagation direction for the half-space with permeable boundary, and the wave phase velocity insignificantly increases with the increase of frequency, approaching phase velocity of the surface wave in the equivalent monophase medium. The most of energy transferred by this wave is concentrated in the elastic skeleton. If the half-space boundary is impermeable, the two surface waves occur. One of them propagates with phase velocity close to that of the surface wave in the half-space with permeable boundary, and is low-attenuating one. The second wave attenuates significantly, and its high-frequency limit is the velocity of the slow longitudinal wave. The greater part of energy transferred by the first wave is concentrated in the elastic skeleton. The most of energy of the significantly attenuating wave is concentrated in the liquid. 2005 Article Волны на границе пористо-упругого полупространства. 1. Свободная граница / Н.С. Городецкая // Акуст. вісн. — 2005. — Т. 8, N 1-2. — С. 28-41. — Бібліогр.: 21 назв. — рос. 1028-7507 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/475 539.3 ru Інститут гідромеханіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Проведен анализ особенностей распространения поверхностных волн в пористо-упругом насыщенном жидкостью полупространстве со свободной границей. Показано, что для полупространства с проницаемой границей существует только одна поверхностная волна, слабо затухающая вдоль направления, а ее фазовая скорость незначительно увеличивается с частотой, стремясь к скорости поверхностной волны в эквивалентной однофазной среде. Основная часть энергии, которую переносит данная волна, сосредоточена в упругом скелете. Для непроницаемой границы существуют две поверхностные волны. Одна из них распространяется с фазовой скоростью, близкой к скорости поверхностной волны в полупространстве с проницаемой границей и затухает слабо. Вторая волна затухает сильно, и ее скорость в высокочастотном пределе стремится к скорости медленной продольной волны. Основная часть энергии, которую переносит слабо затухающая волна, сосредоточена в упругом скелете. Для сильно затухающей волны большая часть энергии сосредоточена в жидкости. |
| format |
Article |
| author |
Городецкая, Н.С. |
| spellingShingle |
Городецкая, Н.С. Волны на границе пористо-упругого полупространства. I. Свободная граница |
| author_facet |
Городецкая, Н.С. |
| author_sort |
Городецкая, Н.С. |
| title |
Волны на границе пористо-упругого полупространства. I. Свободная граница |
| title_short |
Волны на границе пористо-упругого полупространства. I. Свободная граница |
| title_full |
Волны на границе пористо-упругого полупространства. I. Свободная граница |
| title_fullStr |
Волны на границе пористо-упругого полупространства. I. Свободная граница |
| title_full_unstemmed |
Волны на границе пористо-упругого полупространства. I. Свободная граница |
| title_sort |
волны на границе пористо-упругого полупространства. i. свободная граница |
| publisher |
Інститут гідромеханіки НАН України |
| publishDate |
2005 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/475 |
| citation_txt |
Волны на границе пористо-упругого полупространства. 1. Свободная граница / Н.С. Городецкая // Акуст. вісн. — 2005. — Т. 8, N 1-2. — С. 28-41. — Бібліогр.: 21 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT gorodeckaâns volnynagraniceporistouprugogopoluprostranstvaisvobodnaâgranica |
| first_indexed |
2025-07-02T04:15:53Z |
| last_indexed |
2025-07-02T04:15:53Z |
| _version_ |
1836507205835161600 |
| fulltext |
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2005. Том 8, N 1-2. С. 28 – 41
УДК 539.3
ВОЛНЫ НА ГРАНИЦЕ
ПОРИСТО-УПРУГОГО ПОЛУПРОСТРАНСТВА.
I. СВОБОДНАЯ ГРАНИЦА
Н. С. Г О РО Д ЕЦ К А Я
Институт гидромеханики НАН Украины, Киев
Получено 20.12.2004
Проведен анализ особенностей распространения поверхностных волн в пористо-упругом насыщенном жидкостью
полупространстве со свободной границей. Показано, что для полупространства с проницаемой границей существует
только одна поверхностная волна, слабо затухающая вдоль направления, а ее фазовая скорость незначительно
увеличивается с частотой, стремясь к скорости поверхностной волны в эквивалентной однофазной среде. Основная
часть энергии, которую переносит данная волна, сосредоточена в упругом скелете. Для непроницаемой границы
существуют две поверхностные волны. Одна из них распространяется с фазовой скоростью, близкой к скорости
поверхностной волны в полупространстве с проницаемой границей и затухает слабо. Вторая волна затухает сильно,
и ее скорость в высокочастотном пределе стремится к скорости медленной продольной волны. Основная часть
энергии, которую переносит слабо затухающая волна, сосредоточена в упругом скелете. Для сильно затухающей
волны большая часть энергии сосредоточена в жидкости.
Проведено аналiз особливостей поширення поверхневих хвиль у пористо-пружному насиченому рiдиною пiвпросторi
з вiльною межею. Виявлено, що для пiвпростору з проникною межею iснує лише одна поверхнева хвиля, яка слабо
загасає у напрямку поширення, а її фазова швидкiсть прямує до швидкостi поверхневої хвилi в еквiвалентному
однофазному середовищi. Основна частина енергiї, яка переноситься цiєю хвилею, зосереджена у пружному скелетi.
Для непроникної границi iснують двi поверхневi хвилi. Одна з них поширюється з фазовою швидкiстю, близькою
до швидкостi поверхневої хвилi у пiвпросторi з проникною межею i загасає слабо. Друга хвиля загасає швидко, i
її швидкiсть в областi високих частот прямує до швидкостi повiльної поздовжньої хвилi. Основна частина енергiї,
яку переносить слабо загасаюча хвиля, сконцентрована у пружному скелетi. Для швидко загасаючої хвилi бiльша
частина енергiї сконцентрована у рiдинi.
Peculiarities of surface wave propagation in liquid-saturated porous-elastic half-space with a free boundary are analyzed.
It is shown that there is only surface wave with low attenuation in propagation direction for the half-space with permeable
boundary, and the wave phase velocity insignificantly increases with the increase of frequency, approaching phase velocity
of the surface wave in the equivalent monophase medium. The most of energy transferred by this wave is concentrated
in the elastic skeleton. If the half-space boundary is impermeable, the two surface waves occur. One of them propagates
with phase velocity close to that of the surface wave in the half-space with permeable boundary, and is low-attenuating
one. The second wave attenuates significantly, and its high-frequency limit is the velocity of the slow longitudinal wave.
The greater part of energy transferred by the first wave is concentrated in the elastic skeleton. The most of energy of the
significantly attenuating wave is concentrated in the liquid.
ВВЕДЕНИЕ
Широкое практическое применение поверхно-
стных волн привело к формированию целого на-
учного направления, посвященного изучению их
возбуждения, распространения и обнаружения.
Поверхностные волны, начиная с работ Рэлея
(1885) и до настоящего времени, подробно исследу-
ются применительно к задачам сейсмологии, нера-
зрушающего контроля, акустоэлектроники и ряда
других направлений. Примечательно то, что для
различных приложений информативными являю-
тся существенно различные частотные диапазоны
поверхностной волны. Так, в сейсмологии практи-
ческое значение имеет частотный диапазон от 1 до
100 Гц для грунтов и порядка 100 кГц для горных
пород. Применительно к задачам лазерной техни-
ки используемый диапазон может быть расширен
до 1 МГц, а для медицинских приложений – до
3 МГц.
Традиционно поверхностная волна Рэлея изу-
чается в однофазном идеально упругом полупро-
странстве. Она распространяется вдоль свободной
поверхности и экспоненциально затухает в глуби-
ну [1]. Волна Рэлея энергию в глубину не пере-
носит, а ее существование обусловлено взаимодей-
ствием на свободной границе продольной и попере-
чной упругих волн. Однако во многих практичес-
ки важных ситуациях, особенно применительно к
задачам сейсмологии, необходимо учитывать нео-
днофазность среды. В настоящее время для описа-
ния волновых процессов в двухфазных (пористо-
упругих, насыщенных жидкостью) средах широ-
кое распространение получила теория, развитая
М. Био [2]. В ее рамках в пористо-упругой сре-
де существуют три распространяющиеся незави-
симо друг от друга волны: быстрая и медлен-
ная продольные, а также поперечная. На свобо-
дной границе пористо-упругого полупространства
за счет взаимодействия этих типов волн может
28 c© Н. С. Городецкая, 2005
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2005. Том 8, N 1-2. С. 28 – 41
быть сформирована поверхностная волна.
Важным моментом в теории Био является учет
различных механизмов затухания. Как правило,
учитывается затухание за счет взаимодействия ме-
жду собой упругой и жидкой фаз, а также затуха-
ние в каждой из фаз в отдельности. Учет дисси-
пации в среде приводит к тому, что поверхностная
волна затухает в направлении распространения и
переносит часть энергии в глубину. В литературе
принято называть поверхностные волны в пори-
стых средах, затухающие в направлении распро-
странения, псевдоповерхностными [3 – 5].
Одной из первых работ, в которых поверхно-
стные волны в пористо-упругом полупространстве
изучались на основе теории Био, стала статья [6],
в которой показано существование поверхностной
волны, образованной взаимодействием неодноро-
дной поперечной волны и только одной из про-
дольных волн (медленной или быстрой) на сво-
бодной границе пористо-упругого полупространс-
тва. В [7] описана поверхностная волна на свобо-
дной границе с учетом всех трех волн, которые
могут распространяться в пористо-упругой среде,
однако без учета затухания. Кроме того, здесь по-
верхностная волна найдена только для одного кон-
кретного соотношения параметров среды. В ис-
следовании [4] показана возможность существова-
ния трех поверхностных волн на границе контакта
пористо-упругого полупространства, насыщенно-
го жидкостью, и жидкости. Первая из них – дей-
ствительная (true) поверхностная волна (она ра-
спространяется со скоростью меньшей, чем ско-
рости всех объемных волн), вторая – псевдоволна
Стоунли (ее скорость больше, чем скорость наи-
меньшей объемной волны, но больше скоростей
остальных волн), а третья – псевдоволна Рэлея (ее
скорость меньше скорости поперечной волны). В
упомянутой работе рассматривался высокочасто-
тный диапазон, в котором объемные волны стано-
вятся практически незатухающими и среду мож-
но рассматривать как недиссипативную. В обла-
сти более низких частот такое приближение ста-
новится неправомерным. Экспериментальное под-
тверждение полученных здесь результатов приве-
дено в [8]. В статье [9] изучались поверхностные
волны на границе раздела пористо-упругого по-
лупространства, насыщенного воздухом, и возду-
ха. В этой работе учтено затухание в среде, обу-
словленное взаимодействием фаз. Для случая кон-
такта пористо-упругого полупространства и воз-
духа обнаружены три поверхностные волны. При
этом самая медленная поверхностная волна не яв-
ляется действительной (true) поверхностной вол-
ной и затухает сильнее всего. Вторая волна яв-
ляется псевдорэлеевской волной, а третья, самая
быстрая, поверхностная волна распространяется
со скоростью, немного меньшей скорости продоль-
ной волны, и обладает наименьшим затуханием. В
статье [10] предсказана и экспериментально найде-
на поверхностная волна рэлеевского типа на гра-
нице раздела пористо-упругой среды и воздуха.
Большой цикл исследований, посвященных по-
верхностным волнам в пористых средах, выполнен
K. Wilmanski и его сотрудниками [11 – 13]. Общим
для этих работ является то, что пористая среда
рассматривается в рамках теории смесей. Для слу-
чая свободного пористо-упругого полупространс-
тва в этих работах найдены два типа поверхно-
стных волн. Однако в них рассматривался только
один тип граничных условий – непроницаемая гра-
ница.
Данная работа посвящена изучению распро-
странения поверхностных волн в пористо-упругом
полупространстве со свободной границей. Пока-
зано, что в пористо-упругом заполненном вязкой
жидкостью полупространстве в случае непроница-
емой границы существуют две поверхностных вол-
ны, а в случае проницаемой – только одна.
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассмотрим пористо-упругое полупространство
(−∞<x<∞, z≥0) со свободной поверхностью
z=0. Векторы смещений упругого скелета u и
жидкости v удовлетворяют уравнениям движения
для упругой и жидкой фаз с учетом их взаимодей-
ствия:
µ∆u + (H − µ) graddiv u −C grad div w =
= ρ
∂2
u
∂t2
− ρf
∂2
w
∂t2
,
C grad div u −M grad div w =
= ρf
∂2
u
∂t2
− αρf
m
∂2
w
∂t2
− F
∂w
∂t
.
(1)
Здесь m – пористость; w=m(u−v); H , µ, C, M –
комплексные коэффициенты, определяемые через
характеристики среды [14]:
H =
(Ks −Kb)
2
D −Kb
+Kb + 4µ/3,
D = Ks[1 +m(Ks/Kf − 1)],
M =
K2
s
D −Kb
, C =
Ks(Ks −Kb)
D −Kb
,
(2)
Н. С. Городецкая 29
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2005. Том 8, N 1-2. С. 28 – 41
где Ks – модуль всестороннего сжатия упругого
скелета; ρf – плотность жидкости; Kf – модуль
всестороннего сжатия жидкости; Kb – модуль все-
стороннего сжатия пористой среды; µ – модуль
сдвига пористой среды; α – извилистость. Посред-
ством величины α определяется коэффициент ди-
намической связи упругого скелета и жидкости
ρ12<0:
ρ12 = (1 − α)ρfm.
Здесь ρ – средняя плотность, связанная с плотно-
стями упругого скелета и жидкости соотношением
ρ = (1 −m)ρs +mρf
(ρs – плотность упругого скелета; ρf – плотность
жидкости). Кроме того, F =f(ω)(ρf νf)/Kpr , где
νf – кинематическая вязкость; Kpr – проницае-
мость; f(ω) – частотно зависимая функция, опре-
деляемая характером движения жидкости по по-
рам упругого скелета.
В насыщенной пористой среде при постоянном
отношении расхода жидкости к градиенту давле-
ния (течение Пуазейля) частотную зависимость
вязкого сопротивления потоку жидкости можно не
учитывать и считать f≈1, вплоть до частот, при
которых вязкие и инерционные силы имеют оди-
наковый порядок [2, 14]. В статье [2] М. Био пред-
положил, что характер изменения отношения си-
лы трения на межфазовых поверхностях к относи-
тельному расходу жидкости в зависимости от ча-
стоты в пористо-упругой среде должен быть таким
же, как и при течении вязкой жидкости в цилин-
дрической трубке постоянного сечения. Это пред-
положение позволило ввести корректирующую ча-
стотно зависимую функцию f в виде
f =
k T (k)
4(1 − 2T (k)/ik)
,
T (k) =
ber′(k) + ibei′(k)
ber(k) + ibei(k)
,
k = α2
√
ω/νf .
(3)
Функции ber(k) и bei(k) представляют собой дей-
ствительную и мнимую части функций Кельви-
на; ω – круговая частота; a2 – структурный коэф-
фициент. Параметр a2 имеет размерность длины,
зависит от размера и формы пор и определяется
экспериментально. В работе [2] a2 определяется в
следующем виде:
a2 = η
√
Kpr
m
, (4)
где η – коэффициент, учитывающий геометрию
пор. Согласно экспериментам, проведенным на ан-
самбле сфер, получено η=3.2 [15].
В случае отсутствия свободной границы
пористо-упругого полупространства возможны
два типа граничных условий – поверхность с
открытыми порами и поверхность с закрытыми
порами. Для случая открытых пор (проницаемая
граница) граничные условия представимы в
виде [16]:
τzz(x, 0) = 0, τxz(x, 0) = 0, σ(x, 0) = 0. (5)
Если же поры закрыты (непроницаемая граница),
граничные условия изменяются:
σzz(x, 0) = 0, τxz(x, 0) = 0,
σij = τij + σ δij ,
uz(x, 0) = vz(x, 0).
(6)
Здесь σij – тензор напряжений, приложенных к
пористо-упругой среде; τij – тензор напряжений,
приложенных к упругому скелету; σ=−mp0; p0 –
давление в жидкости,
2. ДИСПЕРСИОННЫЕ СООТНОШЕНИЯ
Раскладывая векторы смещений для поровой
жидкости и скелета на скалярный и векторный по-
тенциалы, получим волновые уравнения для бы-
строй и медленной продольных волн и поперечной
волны. Напомним, что в безграничной пористо-
упругой среде распространяются три типа волн:
быстрая продольная волна с фазовой скоростью
c1, медленная продольная волна с фазовой скоро-
стью c0 и поперечная волна с фазовой скоростью
c2. Фазовые скорости медленной продольной и по-
перечной волн всегда меньше скорости быстрой
продольной волны.
Решение этих уравнений будем искать в виде
плоской поверхностной волны, которая образуется
за счет взаимодействия на границе всех трех ти-
пов волн и распространяется вдоль свободной по-
верхности с экспоненциально затухающей вглубь
амплитудой. Такая волна описывается потенциа-
лами
φj = Aje
i(ξx−ωt)eαiz,
ψ = Bei(ξx−ωt)eαiz,
αi =
√
ξ2 − k2
i , j = 0, 1, i = 0, 1, 2.
(7)
30 Н. С. Городецкая
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2005. Том 8, N 1-2. С. 28 – 41
Здесь ξ – волновое число поверхностной волны;
k2
0,1 =
ω2z0,1
c2
=
ω2
c20,1
; c2 =
H
ρ
;
k2
2 =
ω2ρ
µ
(
Γ11 + Γ12M2 + (1 −M2)iΓ
)
=
ω2
c22
.
Величина z0,1 является корнем квадратного урав-
нения
A1z
2 −B1z +C1 = 0, (8)
A1 = q11q22 − q212;
B1 = Γ22q11 + Γ11q22 − 2Γ12q12 + iΓ;
C1 = Γ11Γ22 − Γ2
12 + iΓ.
В предыдущих соотношениях введены обозначе-
ния
q11 =
H − 2Cm+m2M
H
; q12 =
mC −m2M
H
;
q22 =
m2M
H
; M2 =
iΓ − Γ12
Γ22 + iΓ
;
Γ =
m2ρfνf
ρωKpr
; Γij =
ρij
ρ
;
ρ11 = (1 −m)ρs − ρ12 ; ρ22 = mρf − ρ12 .
Выполняя граничные условия (5) для случая
открытых пор, получим дисперсионное уравнение
(α1α2ξ
2 − β2)e1k
2
0 + (α0α2ξ
2 − β2)e1k
2
1+
+α2ξ
2k
2
2
2
(α0 − α1) = 0,
e1 =
1 − ν
1 − 2ν
, β = ξ2 − k2
2
2
.
(9)
Выражение в скобках первого слагаемого совпа-
дает с уравнением Рэлея для упругого полупро-
странства [17].
При переходе к эквивалентной однофазной
упругой среде уравнение (9) переходит в уравне-
ние Рэлея. Здесь следует отметить, что переход
к упругой среде нельзя осуществить изменением
только одного параметра (например, устремив по-
ристость к нулю). Это связано с тем, что в рам-
ках теории Био нет прямой связи между микро-
и макропараметрами, поэтому для описания сре-
ды вводится значительное количество эксперимен-
тально определяемых характеристик, некоторые
их которых взаимозависимы. В статье [18] отмеча-
ется, что произвольное изменение параметров сре-
ды приводит к нефизичным результатам.
Выполнение граничных условий (6) для случая
закрытых пор дает дисперсионное уравнение
α0α1α2ξ
2(M1 −M0)+
+ξ2(1 −M2)(α1τ0 − α0τ1)−
−β
(
α1τ0(1 −M1) − α0τ1(1 −M0)
)
= 0.
(10)
Здесь
M0,1 =
Γ11q22 − Γ12q12 −A1z0,1 + (q22 + q12)iΓ
Γ22q12 − Γ12q22 + (q22 + q12)iΓ
;
τ0,1 = ξ2 − H −Cm+M0,1Cm
2µ
k2
0,1.
Уравнение (10) при переходе к упругой среде так-
же переходит в уравнение Рэлея.
3. ЧИСЛЕННЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
Прежде всего, рассмотрим частный случай
пористо-упругой среды, поровое пространство ко-
торой заполнено невязкой жидкостью. При этом
будем пренебрегать диссипацией в упругом скеле-
те. Очевидно, что в такой среде диссипации энер-
гии не происходит, а коэффициенты дисперсион-
ных уравнений (9) и (10) – действительные чис-
ла. Заметим, что если указанные уравнения име-
ют действительные корни, то в пористо-упругом
полупространстве существует поверхностная вол-
на. Если в рассматриваемой пористо-упругой сре-
де поперечная волна является самой медленной,
т. е. c2<c0, то существует поверхностная волна с
фазовой скоростью меньшей, чем скорости объем-
ных волн, поскольку выражение в правой части
уравнения (9) в диапазоне изменения неизвестного
x=cr/c2 имеет разные знаки при x=0 и x=1. Если
c0<c2, то уравнение (9) может не иметь действи-
тельных корней или иметь их четное число, так
как его правая часть имеет один знак при x1 =0 и
x1 =1 (x1 =cr/c0).
Для примера рассмотрим конкретную пористо-
упругую среду, насыщенную жидкостью, с хара-
ктеристиками, взятыми из [19]:
• упругий скелет (песок) – ρs =2650 кг/м
3
,
Ks =3.6·1010 Па, µ=5·107 Па, ν=0.33,
m=0.3, Kpr =1.·10−10 м2, α=1.25;
• поровая жидкость (вода) – ρf =1000 кг/м
3
,
Kf =2.3·109 Па, νf =1.·10−6 м2 с−1;
Н. С. Городецкая 31
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2005. Том 8, N 1-2. С. 28 – 41
• поровая жидкость (нефть) – ρf =790 кг/м
3
,
Kf =7.25·108 Па, νf =2.1·10−6 м2 с−1.
При этом скорости объемных волн составляют:
для пористо-упругой среды песок – вода –
• c1 =1911.7 м/с, c0 =212.4 м/с, c2 =161.6 м/с;
• для пористо-упругой среды песок – нефть –
c1 =1203.8 м/с c0 =223.9 м/с c2 =162.1 м/с.
В случае свободной границы с открытыми по-
рами для пористо-упругой среды с указанными
характеристиками существует поверхностная вол-
на. Для среды песок – вода ее фазовая скорость
составляет cr =150.06 м/с, а для среды песок –
нефть – cr =150.68 м/с. Для проницаемой грани-
цы поровый заполнитель слабо влияет на ско-
рость поверхностной волны (изменение cr мень-
ше процента), хотя скорости объемных продоль-
ных волн изменяются значительно сильнее (для
быстрой продольной – на 37 %, а для медленной
продольной – на 5.4 %).
При замене двухфазной среды эквивалентной
однофазной с приведенными коэффициентами фа-
зовая скорость поверхностной волны может быть
оценена по известной аппроксимации [20]:
c
(1)
r
c2
=
0.87 + 1.12ν
1 + ν
. (11)
Здесь c2 =
√
µ/ρ; ρ=(1−m)ρs +mρf . Для среды
песок – вода c
(1)
r =142.0 м/с. Таким образом, ско-
рость поверхностной волны при замене двух-
фазной среды эквивалентной однофазной будет
меньше, чем скорость поверхностной волны в по-
ристом полупространстве с открытыми на грани-
це порами. При уменьшении плотности и модуля
всестороннего сжатия поровой жидкости скорости
поверхностной волны, найденные как в рамках мо-
дели Био, так и по модели эквивалентной однофа-
зной среды, увеличиваются. При этом c
(1)
r → cr.
В случае закрытых на границе пор скорость по-
верхностной волны равна:
• для среды песок – вода – cr =138.0 м/с,
• для среды песок – нефть – cr =144.2 м/с.
Для непроницаемой границы скорость поверхно-
стной волны существенно изменяется в зависи-
мости от параметров поровой жидкости. Таким
образом, скорость поверхностной волны в полу-
пространстве со свободной проницаемой границей
больше, чем в случае непроницаемой границы.
Для рассмотренных параметров пористо-
упругой среды скорость поперечной волны
меньше скорости медленной продольной волны.
В этом случае существует поверхностная волна,
образованная взаимодействием трех неодноро-
дных волн (быстрой и медленной продольных и
поперечной волны). Если скорость поперечной
волны оказывается больше скорости медленной
продольной волны, что возможно при увеличении
модуля сдвига (упругий скелет – горная поро-
да), то ситуация меняется. В этом случае для
свободного пористо-упругого полупространства
без учета затухания не существует поверхно-
стной волны, образованной взаимодействием
трех неоднородных волн. В то же время, квази-
поверхностная волна может быть образована за
счет взаимодействия двух неоднородных волн –
быстрой продольной и поперечной волн и одной
распространяющейся – медленной продольной
волны. Эта волна переносит энергию в глубину.
Оценим влияние затухания, обусловленного
относительным движением вязкой жидкости по
порам упругого скелета, на поведение поверхно-
стных волн. Учет диссипативных эффектов при-
водит к тому, что поверхностная волна затухает
вдоль направления распространения и переносит
часть энергии в глубину. Скорость ее распростра-
нения cr =ω/Re ξ и затухание вдоль направления
распространения Im ξ находятся из решения дис-
персионных уравнений (9) для случая проницае-
мой границы и (10) – для непроницаемой границы.
Дисперсионные уравнения решались численно
методом Ньютона. В качестве начального при-
ближения был выбран низкочастотный предел
указанных уравнений. Приближенное значений
корней уравнения (8) в низкочастотном пределе
(ω→0, Γ→∞) будет
z1 = 1 − i
Γ
(
q11q22 − q212 − Γ11q22 −
−Γ22q11 + 2Γ12q12 + Γ11Γ22 − Γ2
12
)
,
z0 =
iΓ
q11q22 − q212
+
+
Γ11q22 + Γ22q11 − 2Γ12q12
q11q22 − q212
− 1.
Для поперечной волны в низкочастотном пределе
получаем
k2
2 =
ωρ
µ
(
1 +
i
Γ
(Γ12 + Γ22)
2
)
.
В низкочастотном пределе часть дисперсионного
уравнения (9), имеющая порядок Γ, приобретает
32 Н. С. Городецкая
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2005. Том 8, N 1-2. С. 28 – 41
вид
(
2 − ω2
ξ2
1
c20s
)2
− 4
√
1 − ω2
ξ2
1
c20s
√
1 − ω2
ξ2
1
c20p
= 0 .
Здесь c0s =µ/ρ; c0p =H/ρ. В случае c2<c0 это
уравнение имеет действительный корень, который
и принимался за начальное приближение при ра-
счетах.
В качестве скелета рассматривалась также гор-
ная порода со следующими параметрами [19]:
ρs =2650 кг/м
3
, Ks =3.6·1010 Па, µ=2·1010 Па,
ν=0.33, m=0.3, Kpr =1.0·10−10 м2, α=1.25. Для
горной породы c0>c2, и в среде без затухания
поверхностной волны нет. При учете затухания
появляется поверхностная волна, которая зату-
хает вдоль направления распространения и пе-
реносит часть энергии в глубину. Для выбран-
ных параметров пористо-упругой среды в каче-
стве начального приближения принималась ско-
рость квази-поверхностной волны, найденная по
соотношению (11).
Вначале рассмотрим проницаемую свободную
границу (поры на границе открыты). На рис. 1, а
представлена зависимость нормированной фазо-
вой скорости поверхностной волны для различ-
ных пористо-упругих сред от безразмерной часто-
ты. Кривая 1 соответствует пористо-упругой сре-
де песок – вода, а кривая 2 – среде горная порода –
вода. Скорость поверхностной волны нормирована
на c, а частота – на критическую частоту: Ω=ω/ωc
(ωc =mνf/Kpr).
Как следует из графика, скорость поверхно-
стной волны незначительно изменяется с часто-
той. Для области низких частот характерно не-
значительное уменьшение скорости поверхностной
волны. На рис. 1, б представлены частотные зави-
симости нормированной скорости поверхностной
волны для сред песок – вода (кривая 1) и песок –
нефть (кривая 2) (ω, рад/с). Прежде всего отме-
тим, что фазовая скорость поверхностной волны
изменяется в зависимости от параметров поровой
жидкости. Характерной особенностью обеих кри-
вых является существование минимума скорости.
При этом в обоих случаях уменьшение скорости
поверхностной волны относительно скорости на
частоте ω=10 рад/с составляет не более 1.5 %.
Заметим, однако, что минимум скорости наблю-
дается на различных частотах. На рис. 1, в кри-
вая 1 представлена в увеличенном масштабе. Та-
кое же незначительно уменьшение скорости по-
верхностной волны в области низких частот отме-
чалось в [12]. Снижение скорости поверхностной
волны на свободной границе пористо-упругого по-
0 1 2 3
c r
/c
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
1
2
а
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000
c r
/c
0.08
0.09
0.1
0.11
0.12
0.13
0.14
1
2
б
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000
c r
/c
0.08
0.081
0.082
0.083
0.084
0.085
1
в
Рис. 1. Проницаемая граница. Зависимость
фазовой скорости поверхностной волны от частоты:
а – 1 – песок– вода, 2 – горная порода – вода;
б – 1 – песок– вода, 2 – песок– нефть;
в – песок– вода (фрагмент
в увеличенном масштабе)
Н. С. Городецкая 33
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2005. Том 8, N 1-2. С. 28 – 41
0 1 2 3
Im
0
0.5
1
1.5
2
2.5
1
2
Рис. 2. Проницаемая граница. Зависимость затухания
поверхностной волны от частоты:
1 – песок – вода, 2 – горная порода – вода
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
Q
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
2
1
Рис. 3. Проницаемая граница. Зависимость затухания
за цикл поверхностной волны от частоты:
1 – песок – вода, 2 – горная порода – вода
лупространства на низких частотах обусловлено
значительной дисперсией медленной продольной
волны. В низкочастотном пределе фазовые скоро-
сти быстрой продольной и поперечной волн стре-
мятся к постоянным величинам, а фазовая ско-
рость медленной продольной волны – к нулю как√
ω [2].
Отметим, что для упругого скелета – горной по-
роды – эффект уменьшения фазовой скорости в
низкочастотной области существенно меньше, чем
для песка. В низкочастотном пределе среди объем-
ных волн пористо-упругой среды самой медленной
для горной породы является медленная продоль-
ная волна, а для песка – поперечная.
При дальнейшем увеличении частоты фазовая
скорость поверхностной волны медленно увеличи-
вается для всех рассмотренных сред (рис. 1).
Скорость поверхностной волны для рассмотрен-
ных сред во всем частотном диапазоне всегда
меньше скорости поперечной волны. При сравне-
нии скорости поверхностной волны со скоростью
медленной продольной волны наблюдается иная
ситуация. Поскольку скорость поверхностной вол-
ны слабо зависит от частоты, а скорость медлен-
ной продольной волны – сильно, то можно выде-
лить диапазоны частот, в которых скорость по-
верхностной волны больше скорости медленной
продольной волны (низкие частоты) и диапазоны,
в которых cr<c0. Однако данная зависимость на-
блюдается не для всех сред.
На рис. 2 представлена частотная зависимость
затухания поверхностной волны вдоль направле-
ния распространения (Im ξ) для рассмотренных
пористо-упругих сред. Кривая 1 соответствует
пористо-упругой среде песок – вода, а кривая 2 –
горная порода – вода. Заметим, что для упругого
скелета “песок” (в среде без диссипации существу-
ет поверхностная волна) при ω→0 затухание так-
же стремится к нулю. Когда упругим скелетом
является горная порода (в среде без диссипации
не существует поверхностной волны, образованной
тремя неоднородными волнами), нулевое значение
затухания не соответствует нулевой частоте. За-
тухание поверхностной волны зависит от частоты,
увеличиваясь с ее ростом. Модуль сдвига упруго-
го скелета значительно влияет на величину затуха-
ния – оно уменьшается с ростом µ (кривая 2 лежит
ниже кривой 1). Кроме того, затухание резко воз-
растает при увеличении кинематической вязкости
поровой жидкости (νf). Поверхностная волна все-
гда затухает вдоль направления распространения
слабее, чем медленная продольная волна, однако
ее затухание может быть как больше, так и мень-
ше затухания поперечной и быстрой продольной
волн, в зависимости от частотного диапазона.
Важной характеристикой волновых процессов
может служить их затухание за цикл. В рабо-
тах [2, 21] эта величина определяется следующим
образом:
Q(ω) = 2
Im ξ
Re ξ
. (12)
На рис. 3 представлена частотная зависимость Q.
Кривая 1 соответствует среде песок – вода, а кри-
вая 2 – горная порода – вода. Характерная особен-
ность обеих зависимостей – наличие максимума.
Однако для разных упругих скелетов (песок – кри-
вая 1 или горная порода – кривая 2) максимумы
наблюдаются на разных частотах. Отметим, что
для всех пористо-упругих сред максимум Q для
34 Н. С. Городецкая
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2005. Том 8, N 1-2. С. 28 – 41
z/
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
u i
-1
-0.5
0
0.5
1
1
2
z/
0 0.05 0.1
u i
-1
-0.5
0
0.5
1
1
2
а б
Рис. 4. Зависимость действительных частей амплитуд смещения от частоты:
сплошная – Ω = 0.16−02, ◦ – Ω = 1.0, штриховая – отраженное поле;
1 – ux(z, ξ)/ux(0, ξ), 2 – uz(z, ξ)/uz(0, ξ)
а – песок– вода, б – горная порода – вода;
быстрой продольной волны соответствует частоте
Ω=1 [2], а для медленной продольной волны ча-
стотная зависимость Q является монотонно спа-
дающей.
Переходя к анализу кинематических особенно-
стей поверхностной волны, приведем выражения
для смещений упругого скелета поверхностной
волны с учетом затухания:
ux = iAξ
(
eα1z − γ0e
α0z + γ1
β
ξ2
eα2z
)
×
×ei(ξx−ωt),
uz = A
(
α1e
α1z − γ0α0e
α0z + γ1
β
α2
eα2z
)
×
×ei(ξx−ωt),
(13)
γ0 =
k2
2 − 2e1k
2
1
k2
2 − 2e1k
2
0
;
γ1 = 2e1
k2
1 − k2
0
k2
2 − 2e1k2
0
.
Здесь смещения определены с точностью до прои-
звольной постоянной A. Поскольку диссипация в
среде учитывается, то поверхностная волна зату-
хает в направлении распространения и переносит
часть энергии в глубину. Компоненты смещения в
выражениях (13) сдвинуты по фазе на π/2, следо-
вательно, траекториями движения частиц в волне
будут эллипсы. На рис. 4 представлены зависимо-
сти действительных частей амплитуд смещений в
поверхностной волне от глубины. Их амплитуды
нормированы на значение соответствующей ком-
поненты смещения на поверхности (z=0), а глу-
бина отложена в долях длины волны (λ=c2π/ω).
Кривая 1 соответствует ux(z, ξ)/ux(0, ξ), а кри-
вая 2 – uz(z, ξ)/uz(0, ξ). Линиями показаны сме-
щения на частоте Ω = 0.16−2, а кружочками – на
частоте Ω = 1.0. Для среды горная порода – вода
смещения представлены на рис. 4, а, а для сре-
ды песок – вода – на рис. 4, б. Из графиков видно,
что обе компоненты смещения монотонно убыва-
ют с глубиной. Характерной особенностью поверх-
ностной волны в пористо-упругом полупространс-
тве является то, что смещение, параллельное по-
верхности, не изменяет знака (т. е. направление
вращения не меняется с глубиной). Кроме того,
в отличие от поверхностной волны в однородном
упругом полупространстве, компонента нормаль-
ного к поверхности смещения не имеет интервалов
возрастания. При изменении частоты форма сме-
щения меняется незначительно. Однако, если для
среды горная порода – вода (µ=2·1010 Па) форма
смещения совпадает с графической точностью для
обеих приведенных частот, то для среды песок –
вода (µ=5·107 Па) все же видны незначительные
изменения формы смещения с частотой.
Важной характеристикой поверхностной волны
является отношение компонент смещений на по-
верхности. На рис. 5 представлена частотная за-
висимость отношения ux(0, ξ)/uz(0, ξ) для среды
песок – вода. Как следует из графика, отношение
Н. С. Городецкая 35
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2005. Том 8, N 1-2. С. 28 – 41
0 1 2 3 4 5
u x
/u
z
0.58
0.6
0.62
0.64
Рис. 5. Зависимость отношения компонент смещений
на границе от частоты
z/
0 0.05 0.1 0.15
W
/W
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1
2
Рис. 6. Зависимость среднего потока мощности
вдоль направления распространения от глубины
смещений с частотой изменяется очень незначи-
тельно, а в высокочастотном пределе оно стреми-
тся к постоянной величине.
Для энергетического анализа поверхностной
волны рассмотрим среднюю за период величину
потока мощности вдоль границы Wx. Для гармо-
нических процессов
Wx = − iω
4
(τxxũx + τxzũz + σũx−
−τ̃xxux − τ̃xzuz − σ̃ux).
Здесь символ˜означает комплексное сопряжение.
Компоненты вектора перемещений определяются
выражениями (13), а напряжения задаются соо-
тношениями
τxx
2µ
=−A
[
eα1z
(
α2
1+
H
2µ
k2
1(q11+q12M1)
)
−
−eα1zγ0
(
α2
0+
H
2µ
k2
0(q11+q12M0)
)
+
+eα1zβγ1
]
,
τxz
2µ
=2iξA
[
α2
1e
α1z−α2
0γ0e
α0z+γ1
β
ξ2
eα2z
]
,
σ
2µ
=−AH
2µ
(q12+q22M1)k
2
1
[
eα1z−eα0z
]
.
(14)
Множитель ei(ξx−ωt) в формулах (14) опущен. На
рис. 6 приведены кривые распределения величины
W/W0 по глубине для среды песок – вода. Кривая 1
соответствует частоте Ω=0.16−2, а кривая 2 – ча-
стоте Ω=1.0. Средний поток мощности нормиро-
ван на средний поток мощности на поверхности
z=0. Как видно из графиков, практически вся
энергия, переносимая поверхностной волной, со-
средоточена в слое толщиной 0.1λ. При этом почти
вся энергия переносится в упругом скелете (до-
ля энергии в жидкости существенно меньше). При
увеличении частоты область, в которой сосредото-
чена энергия поверхностной волны, уменьшается.
Рассмотрим пористо-упругое полупространство
с непроницаемой границей. На рис. 7 представле-
на частотная зависимость нормированной скоро-
сти поверхностной волны для случая закрытых
пор. Кривые 1 и 2 соответствуют среде песок –
вода. Прежде всего отметим, что для непроницае-
мой свободной границы существуют две поверхно-
стных волны, распространяющиеся с существенно
различными фазовыми скоростями. На рис. 8 по-
казана частотная зависимость затухания вдоль на-
правления распространения для случая закрытых
пор. Нумерация кривых соответствует рис. 6.
Поверхностная волна, соответствующая кри-
вой 2, затухает значительно меньше, чем волна,
соответствующая кривой 1. Исходя из этого, в
дальнейшем поверхностную волну, которая опи-
сывается кривой 2, будем называть слабо затухаю-
щей, а кривой 1 – быстро затухающей. В высоко-
частотном пределе фазовая скорость слабо зату-
хающей поверхностной волны стремится к скоро-
сти поверхностной волны в эквивалентной одно-
фазной среде с учетом затухания. Фазовая ско-
рость быстро затухающей поверхностной волны на
высоких частотах стремится к скорости медленной
продольной волны. Отметим, что в высокочасто-
36 Н. С. Городецкая
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2005. Том 8, N 1-2. С. 28 – 41
тном пределе скорости объемных волн в пористо-
упругой среде стремятся к постоянным величи-
нам. Сравнивая рис. 1 и 7, отметим, что скорость
слабо затухающей поверхностной волны на свобо-
дной непроницаемой границе отличается от скоро-
сти поверхностной волны на проницаемой границе
всего на 2÷3 % и слабо зависят от частоты. Для
обоих типов свободной границы скорость имеет
минимум. Для проницаемой границы он составля-
ет cr/c=0.0805 и наблюдается на частоте Ω=0.26,
а для проницаемой cr/c=0.0797 и наблюдается
на значительно более высокой частоте – Ω=0.82.
Отметим, что тип свободной границы практически
не влияет на скорость поверхностной волны.
Сравнение рис. 2 и 8 показывает, что слабо за-
тухающая поверхностная волна затухает в направ-
лении распространения слабее, чем поверхностная
волна в пористо-упругом полупространстве с про-
ницаемой границей, однако это отличие также не-
значительно – до 10 % в рассмотренном диапазоне
частот.
На рис. 9 представлена частотная зависимость
затухания за цикл. Кривая 1 соответствует быстро
затухающей волне, а 2 – слабо затухающей. Зату-
хание за цикл быстро затухающей волны монотон-
но спадает с ростом частоты (аналогично Q для
медленной продольной волны). Для быстро зату-
хающей волны Q наблюдается максимум на ча-
стоте Ω=0.8. Напомним, максимум Q для поверх-
ностной волны в полупространстве с проницаемой
границей наблюдается на более высокой частоте –
Ω>1.
Компоненты смещения упругого скелета поверх-
ностных волн для непроницаемой границы имеют
вид
ux = iξA
[
eα1z−eα0zem
α1
α0
−eα2zα1α2en
]
×
×ei(ξx−ωt),
uz =Aα1
[
eα1z−eα0zem−eα2zen
]
×
×ei(ξx−ωt),
(15)
em =
(1 −M1)β − ξ2(1 −M2)
(1 −M0)β − ξ2(1 −M2)
,
en =
M1 −M0
(1 −M0)β − ξ2(1 −M2)
.
На рис. 10 представлено распределение действи-
тельных частей амплитуд компонент смещения
0 1 2 3
c r
/c
0
0.05
0.1
0.15
1
2
Рис. 7. Непроницаемая граница. Зависимость
фазовой скорости от частоты
0 1 2 3
Im
0
2
4
6
8
1
2
Рис. 8. Непроницаемая граница. Зависимость
затухания поверхностных волн от частоты
0 1 2 3
Q
0
0.5
1
1.5
2
1
2
Рис. 9. Непроницаемая граница. Зависимость
затухания за цикл поверхностных волн от частоты
Н. С. Городецкая 37
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2005. Том 8, N 1-2. С. 28 – 41
z/
0 0.05 0.1 0.15 0.2
u i
-0.5
0
0.5
1
1.5
1
2
3
4
а
z/
0 0.005 0.01 0.015 0.02
u i
-0.5
0
0.5
1
1
2
б
z/
0 0.1 0.2 0.3 0.4
u i
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
3
4
в
Рис. 10. Зависимость действительных частей
амплитуд смещения от частоты:
1, 3 – ux(z, ξ)/ux(0, ξ); 2, 4 – uz(z, ξ)/uz(0, ξ);
а – слабо затухающая волна
(1, 2 – Ω = 0.16−02; 3, 4 – Ω = 1.0),
б – быстро затухающая волна (Ω = 0.16−2),
в – быстро затухающая волна (Ω = 1.0)
в зависимости от нормированной глубины (z/λ).
Рис. 10, а описывает слабо затухающую волну,
кривые 1 и 3 соответствуют ux(z, ξ)/ux(0, ξ), а кри-
вые 2 и 4 – uz(z, ξ)/uz(0, ξ). Кривые 1 и 2 постро-
ены для частоты Ω = 0.16−2, а кривые 3 и 4 –
для частоты Ω=1.0. Из графиков видно, что сме-
щение, нормальное к границе, вначале монотонно
возрастает, а затем монотонно убывает с глубиной.
Смещение, параллельное границе, меняет знак с
глубиной. При распространении волны вдоль гра-
ницы вращение частиц происходит против часо-
вой стрелки, а при перемене знака ux меняется
на обратное. Отмеченные особенности кинемати-
ки частиц являются общими для слабо затухаю-
щей волны в пористо-упругом полупространстве с
непроницаемой границей и для рэлеевской волны
в упругом полупространстве. Отличия носят коли-
чественный характер. Слабо затухающая поверх-
ностная волна сосредоточена в узком слое вбли-
зи границы (порядка 0.2λ). Глубина проникнове-
ния слабо затухающей волны в полупространстве
с непроницаемой границей незначительно больше,
чем для поверхностной волны в полупространстве
с проницаемой границей.
В то же время, наблюдаемая кинематика ча-
стиц в рассматриваемой волне существенно отли-
чается от движения частиц в поверхностной волне
в пористо-упругом полупространстве с проницае-
мой границей (см. рис. 4, б). Для поверхностной
волны в полупространстве с непроницаемой гра-
ницей дисперсия более выражена, чем для волны в
полупространстве с проницаемой границей. Одна-
ко с изменением частоты характер зависимостей
амплитуд смещений от глубины остается тем же, а
меняются лишь количественные характеристики.
На рис. 10, б представлены действительные ча-
сти амплитуд смещения для быстро затухающей
волны на частоте Ω=0.16−2. Рис. 10, в соответ-
ствует частоте Ω=1.0. Кривые 1 и 3 соответствуют
ux(z, ξ)/ux(0, ξ), а кривые 2 и 4 – uz(z, ξ)/uz(0, ξ).
Прежде всего отметим, что для быстро зату-
хающей волны можно выделить частотный диа-
пазон, в котором наблюдается увеличение степе-
ни прохождения в глубину с ростом частоты. Для
области низких частот (Ω=0.16−2) слабо затухаю-
щая поверхностная волна проходит на глубину до
0.2λ, а быстро затухающая – на глубину до 0.01λ.
На высоких частотах (Ω=1.0) быстро затухающая
волна проходит на глубину 0.3λ, а слабо затухаю-
щая волна – до 0.15λ. Характерным для быстро за-
тухающей волны является изменение кинематики
частиц при изменении частоты. В отличие от сла-
бо затухающей волны, в данном случае с ростом
частоты наблюдаются не только количественные,
38 Н. С. Городецкая
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2005. Том 8, N 1-2. С. 28 – 41
но и качественные отличия в поведении действи-
тельных частей амплитуд смещений.
Энергетические характеристики поверхностных
волн в полупространстве с непроницаемой грани-
цей даны на рис. 11. Рис. 11, а описывает изме-
нение величины W/W0 по глубине для слабо за-
тухающей волны. Кривая 1 приведена для часто-
ты Ω=0.16−2, а кривая 2 – для Ω=1.0. Как и
для поверхностной волны в полупространстве с
проницаемой границей, энергия слабо затухающей
волны сосредоточена в слое толщиной 0.1λ. При
увеличении частоты энергия поверхностной волны
проникает на меньшую глубину. Типичной особен-
ностью распределения энергии слабо затухающей
волны является изменение характера монотонно-
сти в тонком приповерхностном слое. Для этой
волны практически вся энергия сосредоточена в
упругом скелете.
Рис. 11, б и в описывают быстро затухающую
волну. Рис. 11, б построен для частоты Ω=0.16−2,
а рис. 10, в – для Ω=1.0. Для быстро затухающей
волны характерным является существование ча-
стотного диапазона, в котором слой, сосредотачи-
вающий основную часть энергии, увеличивается
с ростом частоты. Отличительной особенностью
быстро затухающей волны является то, что значи-
тельная часть ее энергии сосредоточена в жидкой
фазе. На рис. 12 представлено распределение энер-
гии по фазам при изменении глубины. Рис. 12, а
построен для частоты Ω=0.16−2, а рис. 12, б –
для Ω=1.0. Кривая 1 описывает нормированный
поток мощности (W1/W0) в упругом скелете, а
кривая 2 – в жидкости. Как видно из графиков,
в жидкой фазе средний поток мощности внача-
ле возрастает, а затем наступает экспоненциаль-
ный спад. С ростом частоты такой характер зави-
симости сохраняется. Частота является определя-
ющим фактором для глубины проникновения по-
верхностной волны в пористо-упругую среду. Для
упругой фазы наблюдается изменение характера
нормированного потока мощности в зависимости
от глубины при изменении частоты. С ростом ча-
стоты проявляются осциллирующие зависимости
W2/W0 от z/λ.
Приведенные кривые для смещений частиц и
плотности потока мощности единственной волны в
полупространстве с проницаемой границей и для
двух волн в полупространстве с непроницаемой
границей иллюстрируют, что рассмотренные вол-
ны локализованы в приповерхностном слое, то-
лщина которого составляет порядка 0.2λ (λ =
= 2π/ω
√
H/ρ). В то же время, для среды песок –
вода длина поверхностной волны в полупространс-
тве с проницаемой границей не превышает 0.1λ
z/
0 0.05 0.1
W
/W
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1
2
а
z/
0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01
W
/W
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
б
z/
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25
W
/W
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
в
Рис. 11. Изменение среднего за период
потока мощности вдоль направления
распространения с глубиной:
а – слабо затухающая волна (1 – Ω = 0.16−2, 2 – Ω = 1.0),
б – быстро затухающая волна (Ω = 0.16−2),
в – быстро затухающая волна (Ω = 1.0)
Н. С. Городецкая 39
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2005. Том 8, N 1-2. С. 28 – 41
z/
0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01
W
i/W
0
0
0.2
0.4
0.6
1
2
z/
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25
W
i/W
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
1
2
а б
Рис. 12. Распределение потока мощности по глубине:
1 – в упругом скелете, 2 – в жидкости;
а – Ω = 0.16−2, б – Ω = 1.0
(см. рис. 1). В свою очередь, в полупространстве
с непроницаемой границей длины обеих поверхно-
стных волн не превышают 0.15λ (см. рис. 6). Та-
ким образом, все эти волны локализованы в слое
толщиной меньше, чем их длины волн, т. е. явля-
ются типично поверхностными.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В пористо-упругом насыщенном жидкостью по-
лупространстве со свободной границей, рассма-
триваемом без учета диссипативных эффектов, су-
ществует поверхностная волна. В случае, когда са-
мой низкой является скорость поперечной волны
в бесконечной пористо-упругой среде, поверхно-
стная волна образуется тремя неоднородными вол-
нами, которые распространяются вдоль свободной
границы и затухают в глубину. Для рассмотрен-
ных параметров пористо-упругих сред скорость
поверхностной волны в случае проницаемой гра-
ницы больше, чем для непроницаемой границы.
Независимо от того, проницаема граница или нет,
скорость поверхностной волны будет меньше ско-
рости поперечной волны и аппроксимируется ско-
ростью волны Рэлея в эквивалентной однофазной
среде с точностью до 10 %. Скорость поверхно-
стной волны слабо изменяется при изменении фи-
зических параметров поровой жидкости (в преде-
лах 6 % для рассмотренных случаев).
Если медленная продольная волна в пористо-
упругой среде без затухания – самая медленная,
то поверхностной волны как волны, не перенося-
щей энергии в глубину, не существует. Существует
квази-поверхностная волна, образованная неодно-
родными поперечной и быстрой продольной волна-
ми. В то же время, медленная продольная волна
остается распространяющейся и переносит энер-
гию в глубину.
При учете затухания, обусловленного движени-
ем вязкой жидкости по поровому пространству,
волновая картина существенно изменяется в за-
висимости от того, проницаема граница или нет.
Для проницаемой границы существует одна по-
верхностная волна, слабо затухающая вдоль на-
правления распространения. Ее фазовая скорость
незначительно увеличивается с частотой и стре-
мится к скорости поверхностной волны в эквива-
лентной однофазной среде. Затухание волны уве-
личивается с ростом частоты и определяется вяз-
костными характеристиками поровой жидкости.
Основная часть энергии, которую переносит дан-
ная волна, сосредоточена в упругом скелете.
Для непроницаемой границы существуют две
поверхностные волны. Одна из них распространя-
ется с фазовой скоростью, близкой к скорости по-
верхностной волны в полупространстве с проница-
емой границей, а скорость второй волны в высоко-
частотном пределе стремится к скорости медлен-
ной продольной волны. Характер затухания двух
поверхностных волн в пористо-упругом полупро-
странстве с непроницаемой границей существенно
отличается: одна волна затухает слабо, а вторая –
сильно. Кинематика частиц в слабо затухающей
поверхностной волне аналогична кинематике в по-
верхностной волне в упругом полупространстве.
Основная доля энергии, переносимая этой волной,
сосредоточена в упругом скелете. Глубина прони-
кновения волны уменьшается с частотой.
40 Н. С. Городецкая
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2005. Том 8, N 1-2. С. 28 – 41
Для быстро затухающей волны характерно уве-
личение глубины проникновения с ростом часто-
ты. Основная часть энергии, которую переносит
эта волна, сосредоточена в жидкой фазе.
1. Фарнелл Дж. Свойства упругих поверхностных
волн // Физическая акустика / Под ред. У. Мэзо-
на. Том VI.– М.: Мир, 1973.– С. 137–202.
2. Biot M. A. Theory of propagation of elastic waves in
fluid-saturated porous solid // J. Acoust. Soc. Amer.–
1956.– 28, N 2.– P. 168–191.
3. Phinney R. A. Propagation of leaking interface
waves // Bull. Seismol. Soc. Amer.– 1961.– 51, N 4.–
P. 527–555.
4. Feng S., Johnson D. L. High-frequency acoustic
properties of a fluid/porous solid interface. I. New
surface mode // J. Acoust. Soc. Amer.– 1983.– 74,
N 3.– P. 906–914.
5. Chao G., Smeulders M. M J., van Dongen M. E. H.
Shock induced borehole waves in porous formation:
Theory and experiment // J. Acoust. Soc. Amer.–
2004.– 116, N 2.– P. 693–702.
6. Jones J. P. Rayleigh waves in a porous, elastic,
saturated solid // J. Acoust. Soc. Amer.– 1961.– 33,
N 7.– P. 959–962.
7. Tajuddin M. Rayleigh waves in a poroelastic half-
space // J. Acoust. Soc. Amer.– 1984.– 75, N 3.–
P. 682–684.
8. Mayer M. J., Nagy P. B., Adler L., Bonner B. P.,
Streit R. Excitation of surface waves of different
modes at fluid-porous solid interface // J. Acoust.
Soc. Amer.– 1986.– 79, N 2.– P. 249–252.
9. Attenborough K., Chen Yu. Surfacewaves at an
interface between air and an air-filled poroelastic
ground // J. Acoust. Soc. Amer.– 1990.– 87, N 3.–
P. 1010–1016.
10. Allard J. F., Jansens G., Vermeir G., Lauriks W.
Frame-borne surface waves in air-saturated porous
media // J. Acoust. Soc. Amer.– 2002.– 111, N 2.–
P. 690–696.
11. Wilmanski K. Propagation of sound and surface
waves in porous materials // WIAS-Preprint.– 2001.–
N. 684.– P. 1–12.
12. Albert B. Modelling of surface waves in poroelastic
saturated materials by means of a two component
continuum.– Lecture notes // WIAS-Preprint.–
2004.– N 952.– P. 1–44.
13. Edelman I., Wilmanski K Asymptotic analysis of
surface waves at vacuum/porous medium and li-
quid/porous medium interfaces // Cont. Mech.
Thermodyn.– 2002.– 14 N 1.– P. 25-44.
14. Столл Р. Д. Акустические волны в водонасыщен-
ных осадках // Акустика морских осадков.– М.,
1977.– С. 28–46.
15. Badiey M., Cheng A.H.-D., Mu Y. From geology
to geoacoustics Evaluation of Biot – Stoll sound
speed and attaniation for shallow water acoustics //
J. Acoust. Soc. Amer.– 1998.– 103, N 1.– P. 309–320.
16. Deresiewicz H., Skalak R. On uniqueness in dynamic
poroelasticity // Bull. Seism. Soc. Amer.– 1963.– 53,
N 4.– P. 783–788.
17. Гринченко В. Т., Мелешко В. В. Гармонические ко-
лебания и волны в упругих телах.– К.: Наук. дум-
ка, 1981.– 284 с.
18. Stoll R. D. Comments on “Biot model of sound
propagation in watersaturated sand” // J. Acoust.
Soc. Amer.– 1998.– 103, N 5, Pt 1.– P. 2723–2725.
19. Yamamoto T. Acoustic propagation in the ocean wi-
th a poro-elastic bottom // J. Acoust. Soc. Amer.–
1998.– 103, N 1.– P. 309–320.
20. Бергман Л. Ультразвук и его применение в науке
и технике.– М.: ИИЛ, 1957.– 726 с.
21. Аки К., Ричардс П. Количественная сейсмология.
Теория и методы. Том. 1.– М.: Мир, 1983.– 520 с.
Н. С. Городецкая 41
|