Диффузия вихря в слое устойчиво стратифицированной жидкости

Статья содержит аналитическое pешение задачи турбулентной диффузии квазигоризонтального изолированного осесимметpичного вихpя. Квазигоризонтальность обуславливает малость вертикальной компоненты скорости, а медленное изменение во времени - малость радиальной компоненты. Случаи, где это предположение...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2006
Автор:	Лукьянов, П.В.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут гідромеханіки НАН України 2006
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/4763
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Диффузия вихря в слое устойчиво стратифицированной жидкости / П.В. Лукьянов // Прикладна гідромеханіка. — 2006. — Т. 8, № 3. — С. 63-77. — Бібліогр.: 24 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-4763
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-47632009-12-23T12:01:07Z Диффузия вихря в слое устойчиво стратифицированной жидкости Лукьянов, П.В. Статья содержит аналитическое pешение задачи турбулентной диффузии квазигоризонтального изолированного осесимметpичного вихpя. Квазигоризонтальность обуславливает малость вертикальной компоненты скорости, а медленное изменение во времени - малость радиальной компоненты. Случаи, где это предположение нарушается, оговариваются в разделе о вторичных течениях. На основании сделанных допущений задача сводится к одному линейному уравнению диффузии для вертикальной компоненты завихренности с различными вертикальной и горизонтальной диффузией. Вертикальная диффузия полагается приближенно постоянной [1], что типично только для устойчивой стратифицикации. Горизонтальная диффузия вычисляется по закону"четырех третей" Ричардсона, приближенно выполняющемуся для горизонтальных масштабов вихрей в диапазоне 10-1000 м [2, 3]. Гpаничные условия задачи стандартные. Граничные условия на свободной поверхности можно формулировать на поверхности невозмущенного слоя жидкости, так как показано, что величина искривления свободной поверхности мала по сравнению с глубиной слоя. Для моделирования начального распределения завихренности, по вертикальной координате используется специальное распределение, которое позволяет строго удовлетворить граничные условия и задавать в начальный момент вихрь различной толщины и расположения. По радиальной координате используется распределение в виде изолированного гауссиана [4-6]. Полное решение линейной задачи позволяет выделить процесс горизонтальной диффузии, для которого найдено автомодельное решение. Оно, для данного радиального распределения, соответствует условию сохранения третьего момента завихренности. Показано, что линейная модель справедлива, если число Фруда значительно меньше 1. Стаття мiстить аналiтичний розв'язок задачi турбулентної дифузiї квазiгоризонтального iзольованого вiсесиметричного вихора. Квазiгоризонтальнiсть обумовлює малiсть вертикальної компоненти швидкостi, а повiльний рух у часi - малiсть радiальної компоненти. Ситуацiї, коли це припущення порушується, обговеренi у роздiлi про другоряднi течiї. На пiдставi зроблених припущень задача зводиться до одного лiнiйного рiвняння дифузiї для вертикальной компоненти завихренностi з рiзними горизонтальною та вертикальною дифузiями. Вертикальна дифузiя вважається наближенно сталою [1], що є типовим для стiйкої стратифiкацiї. Горизонтальна дифузiя рахується за законом "чотирьох третин'' Рiчардсона, що наближенно виконується для горизонтальних масштабiв вихорiв у дiапазонi 10-1000 м [2, 3]. Граничнi умови задачi стандартнi. Граничнi умови на вiльнiй поверхнi можна формулювати на поверхнi незбуреного шара рiдини, так як показано, що величина викривлення вiльної поверхнi є дуже малою у порiвняннi iз товщiною шару рiдини. За радiальною координатою використовується розподiл у виглядi iзольованого гауссiану [4-6]. Повний розв'язок лiнiйної задачи дозволяє вiдокремити процес горизонтальної дифузiї, для якого знайдено автомодельний розв'язок. Вiн, для даного радiального розподiлу, вiдповiдає умовi збереження третього моменту завихреностi. Показано, що лiнiйна модель справедлива, якщо число Фруда значно менше за 1. This paper contains analytical solution for turbulent diffusion of an axisymmetric quasihorizontal isolated vortex. Quasihorizontality means small vertical velocities, and slow changing in time means also small radial velocities. The situations when these restrictions are broken are discussed in the section on secondary flows. On the base of made assumptions, the problem is reduced to an linear diffusion equation for vertical component of vorticity. The horizontal and vertical diffusions are different. The vertical diffusion is considered to be constant [1] that is only typical for stable stratification. Horizontal diffusion is calculated by Richardson Low of "four thirds'' that is approximately true for vortex scales range from 10 to 1000 m [2, 3]. The problem's boundary conditions are typical. The deformation of free surface for the problem is negligible in comparison with the thickness of the layer. So boundary conditions at free surface may be formulated at the surface of still fluid. For simulation of initial vorticity distribution on vertical coordinate, the special distribution that strictly meets boundary conditions is used. This distribution also affords to set vortex of various thickness and positions in the layer. On radial coordinate the distribution is taken as isolated Gaussian [4-6]. The solution of the linear problem affords splitting into two ones that correspond to horizontal and vertical diffusion processes. For the horizontal diffusion, the self-similar solution has been found. For certain radial distribution, this solution corresponds to conservation of vorticity third momentum. It is shown that linear model is valid when Froud number is significantly less than 1. 2006 Article Диффузия вихря в слое устойчиво стратифицированной жидкости / П.В. Лукьянов // Прикладна гідромеханіка. — 2006. — Т. 8, № 3. — С. 63-77. — Бібліогр.: 24 назв. — рос. 1561-9087 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/4763 301.17.15;301.07.13 ru Інститут гідромеханіки НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	Статья содержит аналитическое pешение задачи турбулентной диффузии квазигоризонтального изолированного осесимметpичного вихpя. Квазигоризонтальность обуславливает малость вертикальной компоненты скорости, а медленное изменение во времени - малость радиальной компоненты. Случаи, где это предположение нарушается, оговариваются в разделе о вторичных течениях. На основании сделанных допущений задача сводится к одному линейному уравнению диффузии для вертикальной компоненты завихренности с различными вертикальной и горизонтальной диффузией. Вертикальная диффузия полагается приближенно постоянной [1], что типично только для устойчивой стратифицикации. Горизонтальная диффузия вычисляется по закону"четырех третей" Ричардсона, приближенно выполняющемуся для горизонтальных масштабов вихрей в диапазоне 10-1000 м [2, 3]. Гpаничные условия задачи стандартные. Граничные условия на свободной поверхности можно формулировать на поверхности невозмущенного слоя жидкости, так как показано, что величина искривления свободной поверхности мала по сравнению с глубиной слоя. Для моделирования начального распределения завихренности, по вертикальной координате используется специальное распределение, которое позволяет строго удовлетворить граничные условия и задавать в начальный момент вихрь различной толщины и расположения. По радиальной координате используется распределение в виде изолированного гауссиана [4-6]. Полное решение линейной задачи позволяет выделить процесс горизонтальной диффузии, для которого найдено автомодельное решение. Оно, для данного радиального распределения, соответствует условию сохранения третьего момента завихренности. Показано, что линейная модель справедлива, если число Фруда значительно меньше 1.
format	Article
author	Лукьянов, П.В.
spellingShingle	Лукьянов, П.В. Диффузия вихря в слое устойчиво стратифицированной жидкости
author_facet	Лукьянов, П.В.
author_sort	Лукьянов, П.В.
title	Диффузия вихря в слое устойчиво стратифицированной жидкости
title_short	Диффузия вихря в слое устойчиво стратифицированной жидкости
title_full	Диффузия вихря в слое устойчиво стратифицированной жидкости
title_fullStr	Диффузия вихря в слое устойчиво стратифицированной жидкости
title_full_unstemmed	Диффузия вихря в слое устойчиво стратифицированной жидкости
title_sort	диффузия вихря в слое устойчиво стратифицированной жидкости
publisher	Інститут гідромеханіки НАН України
publishDate	2006
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/4763
citation_txt	Диффузия вихря в слое устойчиво стратифицированной жидкости / П.В. Лукьянов // Прикладна гідромеханіка. — 2006. — Т. 8, № 3. — С. 63-77. — Бібліогр.: 24 назв. — рос.
work_keys_str_mv	AT lukʹânovpv diffuziâvihrâvsloeustojčivostratificirovannojžidkosti
first_indexed	2025-07-02T07:58:26Z
last_indexed	2025-07-02T07:58:26Z
_version_	1836521207480975360
fulltext	ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2006. Том 8, N 3. С. 63 – 77 УДК 301.17.15;301.07.13 ДИФФУЗИЯ ИЗОЛИРОВАННОГО КВАЗИДВУМЕРНОГО ВИХРЯ В СЛОЕ УСТОЙЧИВО СТРАТИФИЦИРОВАННОЙ ЖИДКОСТИ П. В. Л У К ЬЯ Н О В Институт гидромеханики НАН Украины, Киев Получено 24.08.2005 � Пересмотрено 30.06.2006 Статья содержит аналитическое pешение задачи турбулентной диффузии квазигоризонтального изолированного осесимметpичного вихpя. Квазигоризонтальность обуславливает малость вертикальной компоненты скорости, а ме- дленное изменение во времени – малость радиальной компоненты. Случаи, где это предположение нарушается, оговариваются в разделе о вторичных течениях. На основании сделанных допущений задача сводится к одному линейному уравнению диффузии для вертикальной компоненты завихренности с различными вертикальной и го- ризонтальной диффузией. Вертикальная диффузия полагается приближенно постоянной [1], что типично только для устойчивой стратифицикации. Горизонтальная диффузия вычисляется по закону “четырех третей” Ричардсо- на, приближенно выполняющемуся для горизонтальных масштабов вихрей в диапазоне 10–1000 м [2,3]. Гpаничные условия задачи стандартные. Граничные условия на свободной поверхности можно формулировать на поверхно- сти невозмущенного слоя жидкости, так как показано, что величина искривления свободной поверхности мала по сравнению с глубиной слоя. Для моделирования начального распределения завихренности, по вертикальной ко- ординате используется специальное распределение, которое позволяет строго удовлетворить граничные условия и задавать в начальный момент вихрь различной толщины и расположения. По радиальной координате использу- ется распределение в виде изолированного гауссиана [4-6]. Полное решение линейной задачи позволяет выделить процесс горизонтальной диффузии, для которого найдено автомодельное решение. Оно, для данного радиального распределения, соответствует условию сохранения третьего момента завихренности. Показано, что линейная модель справедлива, если число Фруда значительно меньше 1. Стаття мiстить аналiтичний розв’язок задачi турбулентної дифузiї квазiгоризонтального iзольованого вiсесиметри- чного вихора. Квазiгоризонтальнiсть обумовлює малiсть вертикальної компоненти швидкостi, а повiльний рух у часi – малiсть радiальної компоненти. Ситуацiї, коли це припущення порушується, обговеренi у роздiлi про другоряднi течiї. На пiдставi зроблених припущень задача зводиться до одного лiнiйного рiвняння дифузiї для вертикальной компоненти завихренностi з рiзними горизонтальною та вертикальною дифузiями. Вертикальна дифузiя вважає- ться наближенно сталою [1], що є типовим для стiйкої стратифiкацiї. Горизонтальна дифузiя рахується за законом “чотирьох третин” Рiчардсона, що наближенно виконується для горизонтальних масштабiв вихорiв у дiапазонi 10–1000 м [2, 3]. Граничнi умови задачi стандартнi. Граничнi умови на вiльнiй поверхнi можна формулювати на поверхнi незбуреного шара рiдини, так як показано, що величина викривлення вiльної поверхнi є дуже малою у порiвняннi iз товщiною шару рiдини. За радiальною координатою використовується розподiл у виглядi iзольованого гауссiану [4–6]. Повний розв’язок лiнiйної задачи дозволяє вiдокремити процес горизонтальної дифузiї, для якого знайдено автомодельний розв’язок. Вiн, для даного радiального розподiлу, вiдповiдає умовi збереження третього моменту завихреностi. Показано, що лiнiйна модель справедлива, якщо число Фруда значно менше за 1. This paper contains analytical solution for turbulent diffusion of an axisymmetric quasihorizontal isolated vortex. Quasi- horizontality means small vertical velocities, and slow changing in time means also small radial velocities. The situations when these restrictions are broken are discussed in the section on secondary flows. On the base of made assumptions, the problem is reduced to an linear diffusion equation for vertical component of vorticity. The horizontal and vertical diffusions are different. The vertical diffusion is considered to be constant [1] that is only typical for stable stratification. Horizontal diffusion is calculated by Richardson Low of “four thirds” that is approximately true for vortex scales range from 10 to 1000 m [2,3]. The problem’s boundary conditions are typical. The deformation of free surface for the problem is negligible in comparison with the thickness of the layer. So boundary conditions at free surface may be formulated at the surface of still fluid. For simulation of initial vorticity distribution on vertical coordinate, the special distribution that strictly meets boundary conditions is used. This distribution also affords to set vortex of various thickness and positions in the layer. On radial coordinate the distribution is taken as isolated Gaussian [4–6]. The solution of the linear problem affords splitting into two ones that correspond to horizontal and vertical diffusion processes. For the horizontal diffusion, the self-similar solution has been found. For certain radial distribution, this solution corresponds to conservation of vorticity third momentum. It is shown that linear model is valid when Froud number is significantly less than 1. ВВЕДЕНИЕ Морская среда, как правило, характеризуется наличием устойчивой вертикальной стратифика- ции. В таких условиях возникающая турбулен- тность, основные механизмы генерации которой можно найти в [1], приобретает квазигоризонталь- ный характер [7]. Это означает, что вертикаль- ная компонента скорости случайного вихревого движения становиться со временем пренебрежи- мо мала, так как подавляется стратификацией. При этом вектор завихренности направлен почти вертикально [7]. Динамика такого течения сопо- ставима с чисто двумерными вихрями, а структу- ра существенно трехмерна [5]. Относительная ма- лость изменения во времени горизонтального мас- штаба изолированных вихрей возможна при еще одном ограничении: радиальная компонента ско- рости должна быть также пренебрежимо мала по c© П. В. Лукьянов, 2006 63 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2006. Том 8, N 3. С. 63 – 77 сравнению с окружной. Наличие вертикальной стратификации и меха- низма турбулентной вязкости выходят за рам- ки условий теорем Гельмгольца о вихрях. Тем не менее, описывающийся уравнением теплопро- водности процесс диффузии обладает следующим свойством: возникшие в какой-то произвольный момент времени возмущения распространяются мгновенно на всю область. Это свойство следует из вида решения параболического уравнения. Фор- мально, следствие теоремы Гельмгольца о том, что вихрь должен начинаться и заканчиваться на гра- нице, выполнено качественно. Как же тогда объяс- нить те многочисленные натурные измерения ви- хрей в морях и океанах, которые указывают на изолированный характер областей завихренности? Ответ состоит в том, что за бесконечно малый про- межуток времени (почти мгновенно) границ обла- сти достигают бесконечно малые по амплитуде во- змущения (в десятки тысяч, а то и в миллионны раз меньшие амплитуды начального возмущения). Скорость же распространения основных энергоне- сущих мод конечна. И во многих случаях началь- ной энергии вихря оказывается недостаточно, что- бы возмущения, сопоставимые по амплитуде с на- чальными, могли достичь границ области, в част- ности свободной поверхности. Вихрь просто диф- фундирует внутри слоя. Диффузия вихря в условиях океана анизотро- пна. Ее скорости в вертикальном и горизонталь- ном направлениях различны и во много раз боль- ше скорости молекулярной диффузии. Выделя- ют три режима турбулентной диффузии: линей- ный, инерционный и режим “броуновского” дви- жения [2]. Для вертикальных масштабов, рав- ных десяткам и первым сотням метров, линейный и инерционный режимы проходят очень быстро. Основным является режим броуновского движе- ния. Этот режим характеризуется постоянством коэффициента турбулентной диффузии. Поэтому в рамках данной работы коэффициент вертикаль- ной диффузии будет приниматься постоянным. Что касается горизонтальной диффузии в море, то здесь основным оказывается инерционный ре- жим, характеризующийся квадратичной зависи- мостью роста коэффициента диффузии во време- ни. На основании этого получается известный “за- кон четырех третей” Ричардсона. С целью упрощения задачи рассматривается только вихрь, вертикальные размеры которого мо- гут варьироваться от десятков сантиметров до де- сятков метров, горизонтальные – от десятков ме- тров до первых нескольких километров. При этом отношение вертикального масштаба вихря к гори- зонтальному всегда мало. Поправка, связанная с кривизной Земли, для указанных масштабов ни- чтожно мала. Влияние силы Кориолиса также пренебрежимо мало. В работах [6, 8-10] показано, что для данного процесса эффектом внутренних волн можно пре- небречь. На динамику вихря также могут вли- ять приливы и отливы, минимальный масштаб времени которых состаляет 50000 секунд. В то же время, продолжительность процесса диффузии мелкомасштабных областей варьируется десятка- ми минут [11]. Следовательно, приведенные ниже результаты справедливы не только для зон отсут- ствия приливов и отливов, но и для зон с их нали- чием в периоды времени, когда действие прилив- ных сил минимально. Основным результатом работы есть линейная модель диффузии вихря, сформулированная в терминах вертикальной компоненты завихренно- сти. В специальном разделе оговариваются огра- ничения этой модели, при которых вторичные (ра- диальные и вертикальные) течения пренебрежимо малы. 1. ОБЩАЯ ФОРМУЛИРОВКА ЗАДАЧИ 1.1. Общие уравнения. Рассмотрим компактную осесимметричную область завихренности в слое конечной толщины устойчиво стратифицированной жидкости. Ком- пактность означает экспоненциальное убывание амплитуды завихренности с расстоянием от центра вихря (рис. 1). Пусть нижняя граница этого слоя – твердая поверхность, подобная дну, а верхняя граница представляет собой свободную поверхность. Формулировка задачи для осе- симметричного вихря удобна в цилиндрической системе координат. Однако, как станет ясно в ходе изложения, формулировка и решение будут также полезны и в прямоугольной декартовой системе координат: основное уравнение для диффузии завихренности легко получается из уравнений движения в прямоугольной декартовой системе координат и лишь затем – его аналог в цилиндрической системе. Ось Oz направим вверх, а начало координат (z = 0) разместим на дне. В цилиндрической си- стеме координат уравнения, описывающие турбу- лентное движение несжимаемой жидкости с пере- менной плотностью, которая определяется темпе- 64 П. В. Лукьянов ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2006. Том 8, N 3. С. 63 – 77 Рис. 1. Типичное вертикальное распределение максимума вертикальной компоненты завихренности в начальный момент времени ратурой и/или концентрацией соли, имеют следу- ющий вид [12]: ρ dVr dt = −1 r ( −ρV ′ ε 2 ) + +µ ( ∂2Vr ∂r2 + 1 r ∂Vr ∂r + 1 r2 ∂2Vr ∂ε2 + ∂2Vr ∂z2 ) − −∂p ∂r − ( Vr r2 + 2 r2 ∂Vε ∂ε ) + 1 r ∂ ∂r ( −rρV ′ r 2 ) + + 1 r ∂ ∂ε ( −ρV ′ r V ′ ε ) + ∂ ∂z ( −ρV ′ r V ′ z ) , (1) ρ dVε dt = = µ ( ∂2Vε ∂r2 + 1 r ∂Vε ∂r + 1 r2 ∂2Vε ∂ε2 + ∂2Vε ∂z2 ) − −µ ( Vε r2 − 2 r2 ∂Vr ∂ε ) + 2 r ( −ρV′ rV ′ ε ) + + ∂ ∂r ( −ρV ′ r V ′ ε ) + 1 r ∂ ∂ε ( −ρV ′ ε 2 ) − −1 r ∂p ∂ε + ∂ ∂z ( −ρV ′ ε V ′ z ) , (2) ρ dVz dt = −ρg + +µ ( ∂2Vz ∂r2 + 1 r ∂Vz ∂r + 1 r2 ∂2Vz ∂ε2 + ∂2Vz ∂z2 ) + + 1 r ∂ ∂r ( −ρrV ′ r V ′ z ) + 1 r ∂ ∂ε ( −ρV′ zV ′ ε ) − −∂p ∂z + ∂ ∂z ( −ρV ′ z 2 ) , (3) ∂ ∂r ( rVr ) + 1 r ∂ ∂ε ( rVε ) + ∂ ∂z ( rVz ) = 0, (4) ∂ρ ∂t + Vr ∂ρ ∂r + Vε r ∂ρ ∂ε + Vz ∂ρ ∂z = = χ ( 1 r ∂ ∂r ( r ∂ρ ∂r ) + 1 r2 ∂2ρ ∂ε2 + ( ∂2ρ ∂z2 )) + + ∂ ∂z ( −V ′ z ρ ′ ) + 1 r ∂ ∂r ( −rV ′ r ρ ′ ) + + 1 r ∂ ∂ε ( −V ′ ε ρ ′ ) . (5) где: dVr dt = ∂Vr ∂t + Vr ∂Vr ∂r + Vε r ∂Vr ∂ε + Vz ∂Vr ∂z − V 2 ε r , dVε dt = ∂Vε ∂t + Vr ∂Vε ∂r + Vε r ∂Vε ∂ε + Vz ∂Vε ∂z + VrVε r , dVz dt = ∂Vz ∂t + Vr ∂Vz ∂r + Vε r ∂Vz ∂ε + Vz ∂Vz ∂z ; Vr , Vε, Vz , p, ρ – осредненные значения компонент вектора скорости, отклонения давления и плотнос- ти соответственно от состояния устойчивой линей- ной стратификации (используется осреднение по достаточно большому промежутку времени, чтобы выполнялись все условия теоремы эргодичности и имела место независимость от способа осреднене- ния); g – гравитационная постоянная; µ – динами- ческий коэффициент молекулярной вязкости; χ – коэффициент молекулярной диффузии поля плот- ности; значок ′ обозначает пульсацию соответству- ющей величины. В прямоугольных декартовых координатах (обозначим через Vx, Vy, W компоненты вектора скорости) будут: ρ ( ∂Vx ∂t + Vx ∂Vx ∂x + Vy ∂Vx ∂y + W ∂Vx ∂z ) = = −∂p ∂x + µ ( ∂2Vx ∂x2 + ∂2Vx ∂y2 + ∂2Vx ∂z2 ) + + ∂ ∂x ( −V ′ xV ′ x ) + ∂ ∂y ( −V ′ xV ′ y ) + ∂ ∂z ( −V ′ xW ′ ) , (6) ρ ( ∂Vy ∂t + Vx ∂Vy ∂x + Vy ∂Vy ∂y + W ∂Vy ∂z ) = = −∂p ∂y + µ ( ∂2Vy ∂x2 + ∂2Vy ∂y2 + ∂2Vy ∂z2 ) + П. В. Лукьянов 65 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2006. Том 8, N 3. С. 63 – 77 + ∂ ∂x ( −ρV ′ y V ′ x ) + ∂ ∂y ( −ρV ′ y V ′ y ) + + ∂ ∂z ( −ρV ′ y W ′ ) , (7) ρ ( ∂W ∂t + Vx ∂W ∂x + Vy ∂W ∂y + W ∂W ∂z ) = = −∂p ∂z − ρg + µ ( ∂2W ∂x2 + ∂2W ∂y2 + ∂2W ∂z2 ) + + ∂ ∂x ( −ρW ′ V ′ x ) + + ∂ ∂y ( −ρW ′ V ′ y ) + ∂ ∂z ( −ρW ′ W ′ ) , (8) ∂Vx ∂x + ∂Vy ∂y + ∂W ∂z = 0, (9) ∂ρ ∂t + Vx ∂ρ ∂x + Vy ∂ρ ∂y + W ∂ρ ∂z = = χ ( ∂2ρ ∂x2 + ∂2ρ ∂y2 + ∂2ρ ∂z2 ) + + ∂ ∂x ( −ρ ′ V ′ x ) + ∂ ∂y ( −ρ ′ V ′ y ) + ∂ ∂z ( −ρ ′ W ′ ) . (10) Отметим, что в приведенных уравнениях пуль- сации поля плотности учтены лишь в уравнении для диффузии плотности. В уравнениях движе- ния их обычно не учитывают в силу их малости по сравнению со стандартным значением плотнос- ти. Для замыкания приведенных уравнений исполь- зуем градиентную модель Буссинеска, согласно которой −V ′ i V ′ j = Aj ∂Vi ∂xj , −ρ′V ′ j = Bj ∂ρ′ ∂xj . (11) В выражениях (11) Aj Bj – коэффициенты тур- булентной диффузии соответственно скорости и плотности в j-м направлении. Поле плотности можно представить в виде сум- мы трех составляющих: ρ = ρ0 + ρst + ρ̃, где три компоненты в порядке их следования обо- значают стандартную плотность жидкости, по- ле плотности, соответствующее устойчивой верти- кальной стратификации, а также отклонение от этого состояния; ρst = ρst(z). В случае линейной стратификации d2ρst dz2 = 0. Для морской воды справедливо следующее со- отношение: ρst + ρ̃ << ρ0 , на котором основано широко известное приближе- ние Буссинеска. Оно также будет учтено ниже. При устойчивой вертикальной стратификации вертикальный коэффициент турбулентной диф- фузии постоянен (KZ = const), что соответству- ет слабому вертикальному перемешиванию [14]. Из экспериментальных данных KZ = 0.0005 м2/с. Это значение не противоречит тому, что порядок вертикальной турбулентной диффузии 10−3 м2/с [15]. Горизонтальные коэффициенты турбулен- тной диффузии описываются законом Ричардсо- на “четырех третей” и зависят от соответствую- щих масштабов явления (вихря) в каждый момент времени [14]. Для осесимметричного вихря Kx = Ky = KL(t) = Kr(t) = Cε1/3(L(t)) 4/3 , что согласуется с данными натурных эксперимен- тов [3]. Здесь ε – скорость диссипации турбулен- тной энергии в единице массы. Для горизонталь- ного размера вихря, меняющегося в пределах от 10 до 1000 м, ε = 10−8 м2/с−3 и константа C ≈ 0.1 [3]. В цитированной работе указано, что оценки ε мож- но гарантировать с точностью до множителя 1.5– 2. Как видно, в выражении для горизонтальной турбулентной диффузии присутствуют три вели- чины. Одна – L(t) – определяется вихрем. Вторая – ε – характеризует фоновую турбулентность, не зависящую от данного вихря. Третья – констан- та C – позволяет связать два независимых объек- та (конкретный вихрь и фоновую турбулентность) в подтвержденную экспериментально закономер- ность роста горизонтальных коэффициентов тур- булентной диффузии – закон Ричардсона. Полага- ется, что в фоновой турбулентности характерный масштаб энергонесущих вихрей значительно мень- ше размера исследуемого вихря. И хотя они вносят основной вклад в диффузию, точно никто не зна- ет, во сколько раз масштабы этих вихрей меньше масштаба данного вихря (диффундирующей обла- сти). Однако очевидно, что чем больше масштаб диффундирующей области (вихря), тем больше масштаб вихрей, вносящих основной вклад в тур- булентную диффузию указанной области. Поэто- му единственный выход – использование получен- ной экспериментально константы C и закона в це- лом. Подставляя приведенные данные в формулу для 66 П. В. Лукьянов ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2006. Том 8, N 3. С. 63 – 77 KL, получаем зависимость KL = 2.1710−4L4/3 с точностью до множителя 1.14–1.26. Такой же за- кон, но с другой константой, используется в насто- ящее время в прикладных задачах и для меньших масштабов [16]. В соответствии со сказанным, уравнения (1)- (3),(5) преобразуются к виду: ρ dVr dt = − 1 ρ0 ∂p ∂r + +ν ( ∂2Vr ∂r2 + 1 r ∂Vr ∂r + 1 r2 ∂2Vr ∂ε2 + ∂2Vr ∂z2 ) − − ( Vr r2 + 2 r2 ∂Vε ∂ε ) + 1 r ∂ ∂r ( rKr(t) ∂Vr ∂r ) + + Kε(t) r ∂2Vr ∂ε2 + Kz ∂2Vr ∂z2 + Kε r ∂Vε ∂ε , (12) ρ dVε dt = −∂p ∂ε + +ν ( ∂2Vε ∂r2 + 1 r ∂Vε ∂r + 1 r2 ∂2Vε ∂ε2 + ∂2Vε ∂z2 ) − − ( Vε r2 − 2 r2 ∂Vr ∂ε ) + Kr(t) ∂2Vε ∂r2 + + Kε(t) r ∂2Vε ∂ε2 + Kz ∂2Vε ∂z2 + 2Kr(t) r ∂Vε ∂r , (13) ρ dVz dt = −∂p ∂z − ρg ρ0 + +ν ( ∂2Vz ∂r2 + 1 r ∂Vz ∂r + 1 r2 ∂2Vz ∂ε2 + ∂2Vz ∂z2 ) + + 1 r ∂ ∂r ( rKr ∂Vz ∂r + 1 r ∂Vz ∂ε + Kz ∂2Vz ∂z2 ) , (14) ∂ρ ∂t + Vr ∂ρ ∂r + Vε r ∂ρ ∂ε + Vz ∂ρ ∂z = = χ ( 1 r ( ∂ ∂r ( r ∂ρ ∂r ) + 1 r2 ∂2ρ ∂ε2 ) + ∂2ρ ∂z2 ) + + 1 r ∂ ∂r ( rχr ∂ρ ∂r ) + χε r ∂2ρ ∂ε2 + χz ∂2ρ ∂z2 . (15) В уравнениниях (12)–(15) ν – кинемати- ческий коэффициент молекулярной вязкости; (Kr , Kε, Kz) – коэффиценты турбулентной диф- фузии; (χr , χε, χz) – коэффициенты турбулентной диффузии поля плотности. Уравнения (6)–(8), (10) трансформируются так- же к виду: ∂Vx ∂t + Vx ∂Vx ∂x + Vy ∂Vx ∂y + W ∂Vx ∂z = − 1 ρ0 ∂p ∂x + +ν ( ∂2Vx ∂x2 + ∂2Vx ∂y2 + ∂2Vx ∂z2 ) + +Kx(t) ∂2Vx ∂x2 + Ky(t) ∂2Vx ∂y2 + Kz ∂2Vx ∂z2 , (16) ∂Vy ∂t + Vx ∂Vy ∂x + Vy ∂Vy ∂y + W ∂Vy ∂z = − 1 ρ0 ∂p ∂y + +ν ( ∂2Vy ∂x2 + ∂2Vy ∂y2 + ∂2Vy ∂z2 ) + +Kx(t) ∂2Vy ∂x2 + Ky(t) ∂2Vy ∂y2 + Kz ∂2Vy ∂z2 , (17) ∂W ∂t + Vx ∂W ∂x + Vy ∂W ∂y + W ∂W ∂z = −∂p ∂z − −ρg ρ0 + ν ( ∂2W ∂x2 + ∂2W ∂y2 + ∂2W ∂z2 ) + +Kx(t) ∂2W ∂x2 + Ky(t) ∂2W ∂y2 + Kz ∂2W ∂z2 , (18) ∂ρ ∂t + Vx ∂ρ ∂x + Vy ∂ρ ∂y + W ∂ρ ∂z = = χ ( ∂2ρ ∂x2 + ∂2ρ ∂y2 + ∂2ρ ∂z2 ) + +χx(t) ∂2ρ ∂x2 + χy(t) ∂2ρ ∂y2 + χz ∂2ρ ∂z2 . (19) В последней системе уравнений коэффициен- ты турбулентной вязкости и турбулентной диффу- зии плотности обозначены, как прежде, согласно выражениям (11). 1.2. Формулировка граничных условий Сформулируем граничные для приведенных уравнений в цилиндрических и прямоугольных де- картовых координатах: 1) на дне (z = 0) – равенство нулю всех компо- нент скорости и градиента отклонения плотности: Vx = 0, Vy = 0, Vr = 0, Vε = 0, Vz = W = 0, ∂ρ ∂z = 0; (20) 2) на свободной поверхности – oценке искрив- ления свободной поверхности посвящен шестой раздел. Это искривление пренебрежимо мало по сравнению с глубиной. Поэтому граничное условие на свободной поверхности можно сформулировать как условие при z = h. а) отсутствие касательных напряжений – в ци- линдрических координатах: П. В. Лукьянов 67 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2006. Том 8, N 3. С. 63 – 77 ρ0KL(t) ( 1 r ∂Vz ∂ε − ∂Vε ∂z ) = 0, (21) ρ0KL(t) ( 1 r ∂Vr ∂z − ∂Vz ∂r ) = 0; (22) – в прямоугольных декартовых координатах: ρ0KL(t) ( ∂Vy ∂z − ∂W ∂y ) = 0, (23) ρ0KL(t) ( ∂W ∂x − ∂Vx ∂z ) = 0; (24) б) кинематическое условие непокидания жидки- ми частицами свободной поверхности: – в цилиндрических координатах: ∂ζ ∂t + Vr ∂ζ ∂r + 1 r Vε ∂ζ ∂ε = Vz; (25) – в декартовых координатах: ∂ζ ∂t + Vx ∂ζ ∂x + Vy ∂ζ ∂y = W, (26) где ζ – отклонение свободной поверхности; в) равентсво нулю отклонений давления и плот- ности: p\|z=h = 0, ρ\|z=h = 0. (27) Следует отметить, что равенство нулю гради- ента отклонений плотности на дне очевидно для возмущений поля плотности, обусловленных по- лем солености. Во всех известных автору источни- ках градиенты температурных возмущений также принимают равными нулю, что на самом деле лишь соответствует пренебрежимой малости по- следних. Считаются также известными начальные рас- пределения всех искомых функций. 2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ 2.1. Формулировка задачи в прямоугольных де- картовых координатах На основании вышеизложенных предположений о малости радиальной и вертикальной компо- нент скорости систему уравнений (16)–(19) можно упростить до системы трех уравнений относитель- но возмущений давления, плотности и вертикаль- ной компоненты завихренности. Для этого нужно представить Vx = −y r Vε, Vy = x r Vε, W = 0. Последние соотношения по форме напоминают вращательное движение абсолютно твердого тела. На самом деле это всего лишь формулы пересче- та горизонтальных компонент скорости из цилин- дрической системы (Vr, Vε, Vz) в декартовую пря- моугольную (Vx, Vy, W ). Если все точки абсолю- тно твердого тела движутся при вращении отно- сительно неподвижной оси с одинаковой угловой скоростью, то в случае данного вихря угловая скорость изменяется вместе с расстоянием до оси вращения. Более того, за счет диффузии область завихренности изменяется во времени (масштабы вихря растут), что никак не напоминает абсолю- тно твердое тело. Подстановка приведенных соотношений в кон- вективные члены уравнения для плотности дает: Vx ∂ρ ∂x + Vy ∂ρ ∂y = Vx ∂ρ ∂r ∂r ∂x + Vy ∂ρ ∂r ∂r ∂y = = Vε ∂ρ ∂r ( −yx/r2 + xy/r2 ) = 0. Проведем аналогичную процедуру в уравнении для Vx. Имеем: ∂Vx ∂x = −y ∂ ∂x ( 1 r ) Vε − y r ∂Vε ∂x = = yx r3 Vθ − xy r2 ∂Vε ∂r , ∂Vx ∂y = − ( 1 r − y2 r3 ) Vε − y2 r2 ∂Vε ∂r = = −x2 r3 Vε − y2 r2 ∂Vε ∂r , тогда конвективная часть этого уравнения будет Vx ∂Vx ∂x + Vy ∂Vx ∂y = − x r2 V 2 ε . По аналогии в уравнении для Vy имеем: Vx ∂Vy ∂x + Vx ∂Vy ∂y = − y r2 V 2 ε . Дифференцируя уравнение (16) по y, а уравне- ние (17) по x, с учетом приведенных преобразова- ний получаем: 68 П. В. Лукьянов ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2006. Том 8, N 3. С. 63 – 77 ∂ ∂y ( − x r2 V 2 ε ) − ∂ ∂x ( − y r2 V 2 ε ) = 0. Тогда система уравнений (16)–(19) преобразуе- тся к виду: ∂ωz ∂t = KL(t) ( ∂2ωz ∂x2 + ∂2ωz ∂y2 ) + Kz ∂2ωz ∂z2 , (28) 0 = − 1 ρo ∂p ∂z − ρ ρo g, (29) ∂ρ ∂t = χL(t) ( ∂2ρ ∂x2 + ∂2ρ ∂y2 ) + χz ∂2ρ ∂z2 . (30) Уравнение (28) описывает турбулентную диф- фузию осесимметричного квазигоризонтального вихря, основной характеристикой которого являе- тся вращение жидких частиц с угловой скоростью ωz(x, y, z, t) при указанном во введении ограниче- нии на характер турбулентности. Как видно из уравнения (28), вихрь вырождается под действием турбулентных горизонтальной (KL) и вертикаль- ной (Kz) диффузий. Зная распределенние вертикальной компонен- ты завихренности, всегда можно найти вид ази- мутальной скорости. В свою очередь, по заданой азимутальной скорости определяются поля возму- щений давления и плотности. Сформулируем граничные условия для функ- ции вертикальной компоненты завихренности. Граничное условие (20) трансформируется в ωz\|z=0 = 0. (31) В силу малости вертикальной компоненты ско- рости и пространственной анизотропии (горизон- тальный масштаб во много раз больше вертикаль- ного) уравнения (23)–(24) для данной задачи мож- но с большой точностью заменить на приближен- ное равенство нулю вертикального градиента го- ризонтальных компонент скорости: ∂Vx ∂z = 0, ∂Vy ∂z = 0, (32) из которого легко получается соответствующее условие для завихренности: ∂ωz ∂z \|z=h = 0. (33) Для замыкания постановки математической за- дачи необходимо задать начальное распределение ωz в вихре, которое должно удовлетворять обоим граничным условиям (31) и (33). Кроме того, ази- мутальная скорость должна удовлетворять усло- вию Vε(r = 0) = 0. Поскольку работа посвящена изолированному вихрю, распределение всех характеристик должно экспоненциально убывать с ростом расстояния от центра. В известной книге Сэффмэна такие вихри называются компактными [18], так как движение в них фактически сосредоточено в ограниченном пространстве первых 3–4 характерных масштабов вихря. В то же время, решение задачи диффузии с постоянным коэффициентом однозначно пока- зывает, что при координате r должна стоять сте- пень, равная 2, и это ограничивает класс функций для задания начального радиального распределе- ния завихренности. Нетрудно проверить, что следующее начальное распределение удовлетворяет всем требованиям и имеет для z0 − a2 ≤ z ≤ z0 + a1 вид ω z \|t=0 = 1 2 ( ∂Vy ∂x − ∂Vx ∂y ) \|t=0 = = Vo Lo ( 1 − α2 x2 + y2 L2 ) exp ( −α2 x2 + y2 L2 ) × × ( a1 + a2 2 )−4 (z − (zo + a1)) 2 (z − (zo − a2)) 2 . (34) Здесь a1 + a2 – начальная толщина вихря; α – произвольная константа; Vo, Lo – начальная ам- плитуда скорости и горизонтальный масштаб ви- хря соответственно; z0 – горизонт расположения вихря. Важно отметить, что в соотношении (34) не слу- чайно коэффициенты при x2 + y2 как в скобках, так и в экспоненте совпадают. Их неравенство вле- чет за собой выражение для скорости с неустра- нимой особенностью в нуле. Радиальное распреде- ление в последнем соотношении при α = 1 соот- ветствует виду автомодельного решения задачи о молекулярной диффузии [19]. 2.2. Решение задачи в прямоугольных декарто- вых координатах Для решения уравнения (28) удобно сначала от- делить вертикальную координату. Искомое реше- ние представим в виде ωz = Ω(x, y, t)Z(z) (35) П. В. Лукьянов 69 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2006. Том 8, N 3. С. 63 – 77 и, подставив его в выражение (10), получим: ∂Ω ∂t Z(z) − KL(t) ( ∂2Ω ∂x2 + ∂2Ω ∂y2 ) Z(z)− −Kz ∂2Z(z) ∂z2 Ω = 0. Согласно методу разделения переменных ( ∂Ω ∂t − KL(t) ( ∂2Ω ∂x2 + ∂2Ω ∂y2 )) Ω−1 = = Kz ∂2Z(z) ∂z2 Z(z) −1 = −m2, где m – произвольная постоянная. По координате z получаем следующую краевую задачу: Kz d2Z(z) dz2 = −m2Z(z); Z(0) = 0; dZ(z) dz \|z=0 = 0, решением которой будет полная система собствен- ных функций: Zn3 (z) = sin λ(n3)z, где λ(n3) = π(2n3 + 1)/2h. Откуда находим m2 = Kzλ2(n3). Подставляя m2 в уравнение для Ω, имеем: ∂Ω ∂t = KL(t) ( ∂2Ω ∂x2 + ∂2Ω ∂y2 ) − Kzλ 2(n3)Ω. (36) Если бы KL(t) определялся явной функцией времени, можно было бы искать аналитическое ре- шение, но KL(t) определяется на каждом шаге по времени численно. Быстрое затухание завихрен- ности с расстоянием от оси вращения позволяет за критерий выбора горизонтального масштаба ви- хря использовать уменьшение амплитуды в N раз. Так, в работе [20] используется N = 10. Сравне- ние с автомодельным решением (см. 4 раздел) ука- зывает, что за масштаб вихря можно приближен- но выбирать область, где значения завихренности больше 1/50 от своего максимума. Бесконечную область можно всегда заменить на конечную (x, y) ∈ [−l; l] × [−l; l], учитывая при этом любую наперед заданную (требуемую) точ- ность решения через двумерный ряд Фурье: Ω = ∑ n12,n2 T (n1, n2, n3, t) exp[iπ (n1x l + n2y l ) ]. Подстановка Ω в уравнение (36) дает: dT dt = − [ π2 l2 KL(t) ( n2 1 + n2 2 ) + Kzλ2(n3) ] T. Представим T (n1, n2, n3, t) = = Th (n1, n2, t) exp ( −Kzλ2(n3) ) , (37) тогда получим следующее уравнение для Th (n1, n2, t): dTh dt = −π2 l2 KL(t) ( n2 1 + n2 2 ) Th. Решение этого уравнения есть Th(n1, n2, t) To(n1, n2) = = exp  −π2 l2 ( n1 + n2 2 ) t∫ o KL(τ )dτ   . Общее решение в произвольный момент времени будет: ωz = ∑ n3 C(n3) sin [λ (n3) z] Ω(n3), или, подставляя соотношение для Ω(n3), получа- ем: ωz = ∑ n3 ∑ n1,n2 To(n1, n2) exp [ iπ (n1x l + n2y l )] × × exp  − t∫ 0 π2 l2 ( n2 1 + n2 2 ) KL(τ )dτ  × × exp [ −λ2 (n3)Kzt ] C(n3) × sin [λ (n3) z] . Вынеся за знак двукратной суммы все множи- тели, не зависящие от чисел (n1, n2), окончательно получаем: ωz = ∑ n1,n2 Th(n1, n2, 0) exp [ iπ (n1x l + n2y l )] × × exp  −π2 l2 ( n2 1 + n2 2 ) t∫ 0 KL(τ )dτ  × (38) 70 П. В. Лукьянов ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2006. Том 8, N 3. С. 63 – 77 × ∑ n3 C(n3) exp [ −λ2 (n3)Kzt ] sin [λ (n3) z] , где C(n3) определяются из начального распреде- ления (34). Решение (38) показывает, что процессы диффу- зии в вертикальном и горизонтальном направле- ниях происходят в рамках линейной модели неза- висимо. Откуда следует, что при разделении пере- менных решение можно представить в виде прои- зведения двух решений, соответствующих гори- зонтальной и вертикальной диффузиям вихря. 2.3. Решение в цилиндрической системе коор- динат Уранение (28) в цилиндрической системе коор- динат примет вид ∂ωz ∂t = KL(t) 1 r ∂ ∂r (rωz) + Kz ∂2ωz ∂z2 . (39) По координате z используются граничные усло- вия (31), (33). По радиальной координате ωz дол- жна удовлетворять следующим двум условиям: ωz(r = 0) = const, ωz(r = ∞) = 0. (40) Начальное распределение ωz(t = 0) = ω0 z(r, z) считается известным. Как и ранее, процессы диффузии в радиальном и вертикальном направлениях разделяются и за- дача сводится к решению уравнения вида d2G dr2 + 1 r dG dr + α2G = 0 (41) с граничными условиями G(0) = const, G(∞) = 0. Решение (41) можно также найти в виде степен- ного ряда, причем для коэффициентов gk этого ря- да получается следующее рекуррентное соотноше- ние gk = −α2gk−2 k2 , k = 2, 4, ... (42) При этом g0 = G(0). В то же время, решением уравнения (41) есть функции Бесселя. С учетом выполнения гранич- ного условия на бесконечности это решение имеет вид G(r) = J0 (\|α\|r) = ∞∑ k=0 (−1) k (αr 2 )2k (k!)2 . Покажем, что полученный ряд и решение в виде функции Бесселя первого рода нулевого индекса совпадают. Действительно, J0 (\|α\|r) = 1 − α2r2 4 + α4r4 64 − α6r6 64 · 62 + ... Такой же ряд получается согласно выражению (42). Общее решение уравнения (39) можно предста- вить в виде ωz(r, z, t) = Fr(r, t)Fz(z, t), где Fr(r, t) = ∞∫ 0 A(α)J0(αr)× × exp  − t∫ 0 (KL(τ ))dτα2  dα; Fz(z, t) совпадает с соответствующей частью ре- шения в декартовых координатах. Коэффициенты A(α) определяются из началь- ного условия ∞∫ 0 A(α)J0(αr)dα = Fr(r, 0). Для используемого в данной работе начально- го распределения (34), а также забегая наперед (см. раздел 4), в случае KL(t) = KL(0)t2 решение Fr(r, t) получается в явном виде: Fr(r, t) = T0 3 ∞∫ 0 {J0 ( r √ ξ ) exp ( −KL(0)t3 3 ξ ) × × [ 1F1 ( 1; 1;−ξ 3 ) − 1F1 ( 1; 2;−ξ 3 )] }dξ. Полученное решение – довольно непростое и по- этому в прикладных задачах удобнее использовать решение в декартовой системе. П. В. Лукьянов 71 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2006. Том 8, N 3. С. 63 – 77 3. АВТОМОДЕЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ Для получения автомодельного решения рас- смотрим для каждой отдельной вертикальной мо- ды n3 уравнение (36) в безразмерном виде: ∂Ωn3 ∂t = K(t) Reo ( ∂2Ωn3 ∂x2 + ∂2Ωn3 ∂y2 ) − −ελ2 (n3) Reo Ωn3. (43) Здесь ε = KzK−1 o δ−2; δ = lv l−1 h , lv и lh – соответ- ственно вертикальный и горизонтальный масшта- бы вихря; Reo = K0 (V0R0) −1 = const; R 1/3 0 V −1 0 – число Рейнольдса в начальный момент; KL(t) = = Reot γ . В последних соотношениях R0, K0 – на- чальный радиус вихря и соответствующее ему зна- чение коэффициента турбулентной диффузии. Подстановка Ωn3 = Ω̂ exp (−ελ2(n3) Reo t ) , подобная (37), преобразует уравнение (43) в урав- нение, которое в полярных координатах имеет сле- дующий вид: ∂ω ∂t = KL(t) Re0 1 r ∂ ∂r r ∂ω ∂r . Автомодельное решение этого уравнения ище- тся в виде ω = taΩ̂(η), где η = tbr – автомодельная переменная. Для определения a, b и γ необходимы три усло- вия: 1. Условие автомодельности, которое в данной задаче эквивалентно равенству нулю степени при переменной t, что и позволяет преобразовать урав- нение в частных производных от двух переменных (t, r) к автомодельному дифференциальному урав- нению от одной независимой (автомодельной) пе- ременной. 2. Закон сохранения одного из моментов зави- хренности: ∞∫ 0 ωrndr = const. 3. Закон зависимости коэффициента горизон- тальной диффузии KL(t) = const(ro(t)) 4/3, где ro(t) – радиус ядра вихря, характеризующийся завихренностью одного знака. Индекс ноль соот- ветствует нулю функции ω. Из перечисленных трех условий находим, что b = −1.5; a = b(n + 1); γ = 2. То, что коэффи- циент диффузии растет пропорционально квадра- ту времени (γ = 2), подтверждает правильность полученного решения, так как закон Ричардсона “четырех третей” соответствует инерционному ре- жиму турбулентности, характеризующемуся ква- дратичной зависимостью [2], что, забегая наперед, подтверждают результаты численного моделиро- вания (представленные на рис. 4). Исходное урав- нение сводится к следующему: d2Ω̂ dη2 + ( 1 η + 3 2 η ) dΩ̂ dη + 3(n + 1) 2 Ω̂ = 0. (44) Общее решение (44) имеет вид: Ω̂ = ∞∑ k=1,3,... Akηk−1, (45) где Ak+2 = − 3(k + n) 2(k + 1)2 Ak, k = 1, 3, ... В момент безразмерного времени t = 1 различие между безразмерной радиальной координатой r и автомодельной переменной η = tbr исчезает. Как показал численный эксперимент, именно к этому моменту времени начальное распределение в виде ωz = ( 1 − α2r2 ) exp ( −α2r2 ) (46) для различных α (α = √ 3/2; 1; 1, 2) ложится на одну кривую. Начальное радиальное распределе- ние скорости имеет соответственно вид Vθ = 2α2r exp ( −α2r2 ) . (47) Выражения (46) и (47) физичны. Легко прове- рить, что третий момент завихренности не равен нулю, а также, что Ω̂ = ( 1 − 3 4 η2 ) exp ( −3 4 η2 ) (48) есть решение уравнения (44) для значения n = 3. На рис. 2 показано, что ряд (45) действитель- но сходится к автомодельному решению (48). Так, 72 П. В. Лукьянов ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2006. Том 8, N 3. С. 63 – 77 Рис. 2. Зависимость радиального распределения завихренности: маркеры соответствуют выражению (36); линия – приближение автомодельного решения, полученное из условия (33) с удержанием двух десятков членов этого ряда при удержании первых двух десятков членов ря- да последний сходится к аналитическому реше- нию практически по всему масштабу вихря. Ра- зличие начинается при η > 2.8−2.9. Кривая начи- нает отклоняться вниз от оси абсцисс, в то время как маркеры сливаются с ней. Чем больше значе- ние автомодельной координаты, тем больше чле- нов ряда (45) нужно удерживать для сходимости его к (48). Исходя из вышеизложенного, автомодельное ре- шение имеет следующий вид: Ω̂(r, t) = ωot −6 ( 1 − 3r2 4t6 ) exp ( −3r2 4t6 ) , (49) a полное автомодельно-аналитическое решение трехмерной задачи соответственно будет ω̂(r, z, t) = ωot −6 ( 1 − 3r2 4t6 ) exp ( −3r2 4t6 ) × × ∑ n3 C(n3) exp [ −λ2(n3) ε Reo t ] sin [λ(n3)z] . Сравним полученное автомодельное решение Ω̂(r, t) с его аналогом ωc для случая постоянного коэффициента горизонтальной диффузии ν . Этот аналог, как известно [21], имеет вид: ωc(r, t) = Г 8πνt exp ( − r2 4νt ) , (50) где Г – циркуляция в начальный момент. Из сравнения соотношений (50) и (49) видно, что полученное решение гораздо быстрее убывает во времени (t−6), чем в случае постоянной диф- фузии (t−1). Этот результат довольно неожидан- ный: скорость затухания амплитуды завихренно- сти очень велика. Сравнение с результатами чис- ленных расчетов ниже подтвердит это. Из уравне- ний (29) и уравнения циклострофического баланса можно получить характер зависимости во времени для поля возмущений плотности. Скорость выро- ждения последних ∼ t−3, что согласуется с рабо- той [2], где получены автомодельные зависимости для задачи о мгновенном источнике примеси. Для полноты изложения следует отметить, что автомодельное решение можно также найти и для окружной компоненты скорости. Однако оно так- же нефизично. По той же самой причине, что и раньше – на оси вихря получается конечная ско- рость. 4. РЕЗУЛЬТАТЫ ЧИСЛЕННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ Важно отметить, что начальное вертикальное распределение завихренности (34) позволяет моде- лировать вихрь на произвольном горизонте и лю- бой толщины, вплоть до толщины слоя жидкости (см. кривые I, рис. 3). С течением времени в дви- жение вовлекается вся водная толща (кривые II, рис. 3). Первая мода (соответствующая n3 = 0) за- дает развитое вихревое движение, когда максимум находится на поверхности. Важными моментами для результатов числен- ного моделирования являются оправдание исполь- зования в модели переменного во времени коэф- фициента диффузии и проверка закона затухания t−6 автомодельного решения. На рис. 4 представлен рост во времени коэффи- циента горизонтальной диффузии, соответствую- щий следующим начальным данным: глубина – 50 м, характерный масштаб вихря – 100 м, толщи- на вихря – 10 м. Прямая линия в приведенной си- стеме координат подтверждает квадратичный ха- рактер роста: KL(t) = KL(0)(1 + t)2, (51) и указывает на необходимость использования пе- ременного коэффициента диффузии. Подставив последнее выражение в формулу (38), получим аналитическое решение ωz = ∑ n1,n2 Th(n1, n2, 0) exp [ iπ (n1x l + n2y l )] × П. В. Лукьянов 73 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2006. Том 8, N 3. С. 63 – 77 Рис. 3. Эволюция во вемени вертикального распределения ωz: a – начальный вихрь в два раза тоньше слоя и находится посредине слоя; b – пример приповерхностного вихря с начальной толщиной, в пять раз меньшей толщины слоя жидкости × exp [ −π2 l2 ( n2 1 + n2 2 ) KL(0) ( t + t2 + t3 3 )] × × ∑ n3 C(n3) exp [ −λ2 (n3)Kzt ] sin [λ (n3) z] . Было проведено сравнение с автомодельным решением. Расчетная область менялась по ка- ждой из горизонтальных координат трижды: [−20; 20], [−40; 40], [−80; 80]. При этом вихрь в на- чальный момент сосредоточен в области [−3; 3] по каждой из координат (x, y). Количество членов ря- да также увеличивалось. Оно задавалось соответ- ственно равными 32, 64, 128. Указанные разме- ры расчетной области и количества членов ряда выбирались максимальными в том смысле, что их дальнейшее увеличение уже не влияло на резуль- таты. Важным моментом является правильность задания радиуса вихря для вычисления коэффи- циента диффузии. Результаты численных расче- тов изменения во времени амплитуды завихренно- Рис. 4. Полученная в ходе численного эксперимента зависимость от безразмерного времени t квадратного корня отношения коэффициента горизонтальной диффузии к своему начальному значению (51) сти и сравнение их с автомодельным решением по- казали, что за критерий величины радиуса вихря можно выбирать падение амплитуды в 50 раз. Как видно из рис. 2, это соответствует полному радиу- су (естественно, приближенно) вихря. Показатель степени приблизительно равен -5.5. Это неплохо согласуются с законом t−6. Возникает вопрос, как долго длится процесс турбулентной диффузии, если за безразмерное время, равное 1, возмущения в вихре успевают за- тухнуть во много раз. Для оценки времени жизни вихря t нужно воспользоваться следующей фор- мулой: t = 2πR0 V0 t ′ ∫ 0 R∗(τ ) V∗(τ ) dτ, Здесь V0, R0, V∗(τ ), R∗(τ ) – максимальные значе- ние скорости и радиуса в начальный и в прои- звольный моменты времени τ соответственно. Оценка показала, что время жизни вихря при t ′ = 1 соответствует 16πR0/V0 секунд. Для хара- ктерных масштабов V0 = 1 м/с; R0 = 100 м полу- чаем 1600π секунд или около 84 минут. Следовательно, время жизни исследуемых в данной работе масштабов вихрей в реальном оке- ане исчисляется десятками (и может первыми со- тнями) минут и совпадает с известными оценками для времени жизни мелкомасштабных неодноро- дностей [11]. 74 П. В. Лукьянов ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2006. Том 8, N 3. С. 63 – 77 Рис. 5. Зависимость амплитуды завихренности от времени: сплошная линия соответствует автомодельному закону t−6, маркеры – численной модели 5. ОЦЕНКА ВТОРИЧНЫХ ТЕЧЕНИЙ Если вихрь достигает дна, нарушается цикло- строфический баланс. В результате появляется движение в радиальном и, следовательно, в вер- тикальном направлениях. Для количественной характеристики радиаль- ного и вертикального течений удобно ввести в рас- смотрение два безразмерных параметра [22]: qr(t) = Ek,r(t) Ek,θ(t) и qz(t) = Ek,z(t) Ek,θ(t) , где qr(t), qz(t) – отношение кинетической энергии радиальной и вертикальной компонент скорости соответственно к ее аналогу для окружной ком- поненты. Численно решены нелинейные уравнения (16)– (19). В начальный момент вихрь задавался из ре- шения линейной задачи. Рассмотрен следующий типичный случай: lv = 10 м, R = lh = 100 м, H = 20 м, z0 = 5 м, N=0.01 c−1, Fr0 = V0/(Nlv) = 1, Re0 = 2000, δ = 0.1. Как видно из рис. 6, за безразмерное время, рав- ное двум, относительная энергия вторичного (ра- диального) течения возрастает до 10%. В дальней- шем этот рост продолжается, но сами амплитуды скорости значительно (в несколько раз) падают. После t = 3.5 даже относительная величина qr так- же убывает. Для выяснения роли стратификации был рас- Рис. 6. Эволюция qr(t) придонного вихря при Fr=1. Квадратные маркеры соответствуют δ = 0.1, крестики – δ = 0.02 смотрен случай, когда силы плавучести в 4 раза превышали инерционные: Fr = 0.25. Кроме того, вихрь задавался относительно тоньше – lv = 20 м, R = 500 м. Максимальное значение qr достигло 0.012, то есть немногим более 1%. Поскольку в предыдущем случае изменены сра- зу два безразмерных параметра (δ и Fr), для выя- снения роли каждого из них был рассмотрен еще один случай. Вновь влияние стратификации было ослаблено в 4 раза (Fr = 1), а вихрь задавался еще более тонким (δ = 1/50). Маркеры в виде кре- стиков на рис. 6 указывают на то, что даже при достаточно сильно сплющенных вихрях при усло- вии равенства порядков сил инерции и плавучести Fr = 1 энергия вторичных течений может дости- гать 15%, что на порядок больше, чем в случае, ко- гда сила плавучести доминирует над силой инер- ции Fr = 0.25. Следовательно, линейная модель справедлива для всех случаев, когда сила плавучести зна- чительно превышает силу инерции. Кроме того, роль вторичных течений ослабевает с уменьшени- ем относительной толщины вихря, что согласуется с работой [22]. 6. ОЦЕНКА ВЕЛИЧИНЫ ИСКРИВЛЕНИЯ СВОБОДНОЙ ПОВЕРХНОСТИ Хорошо известно, что свободная поверхность П. В. Лукьянов 75 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2006. Том 8, N 3. С. 63 – 77 вращающейся жидкости деформируется (искрив- ляется). Обозначим отклонение свободной поверх- ности H = H(r, t). Для оценки величины искривления используе- тся уравнение гидростатического баланса (8) вме- сте с уравнением циклострофического баланса, ко- торое в цилиндрической системе координат (r, θ, z) имеет вид −V 2 θ r = −1 ρ ∂p ∂r . (52) Полагая z = h в выражении для Vθ, из уравне- ний балансов получаем необходимое соотношение V 2 θ (r, h, t) gr = ∂h(r, t) ∂r , (53) интегрируя которое, находим H(r, t) = 1 g r∫ o V 2 θ (ξ, h, t) ξ dξ + φ(t). (54) Для оценки сверху H(r, t) в выражении (54) сле- дует заменить V 2 θ (ξ, h, t) на максимальное значе- ние Vθ, равное в начальный момент [22]: Vθ = V 2 0 r r2 0 exp ( −r2 r2 0 ) , (55) где r0, V0 – начальные масштаб вихря и амплитуда скорости соответственно. Подставляя выражение (55) в (54), получаем: Hmax(r) = V 2 0 g ( 1 − exp ( −r2 r2 0 )) +H(r = 0). (56) Отклонение свободной поверхности будет H(r = ∞) − H(r = 0) = V 2 0 g . В работах [23]- [24] получена оценка для величи- ны искривления свободной поверхности на основе интеграла Бернулли в виде H = V 2/2g. Как видно, эта оценка не противоречит полученной выше, а более того, она уменьшает еще в два раза величи- ну искривления свободной поверхности. Поскольку скорости наблюдающихся на поверх- ности океана течений имеют порядок 1–2 м/с, то для среднего значения 1.5 м/с получим H = 10 см, что есть пренебрежимо малая величина по срав- нению с типичными вертикальными масштабами (10 м и более). ВЫВОДЫ 1. Поставлена и решена задача о диффузии изо- лированного вихря. По вертикальной координате задано начальное распределение, которое точно удовлетворяет нулевым граничным условиям как на свободной поверхности, так и на дне водоема. 2. Получено автомодельное решение, соответ- ствующее условию сохранения третьего момента для заданного радиального распределения зави- хренности. 3. Результаты численного моделирования ука- зывают на необходимость использования перемен- ного коэффициента турбулентной диффузии, а также на хорошее согласование с законом t−6 авто- модельного решения для скорости затухания ам- плитуды завихренности. 4. На основе численного решения полной (нели- нейной) задачи показано, что вторичные течения существенны лишь в тех случаях, когда вихрь на- ходится в непосредственной близости от дна и ли- шь при силе плавучести одного порядка или мень- ше силы инерции (Fr ≈ 1 или Fr > 1). Выражаю признательность докт. физ.-мат. наук В.С. Мадеричу за ряд консультаций по поводу ста- тьи, а также особо благодарю его за предложение найти автомодельное решение. Благодарю академика В.Т. Гринченко за ряд критических замечаний по стилю изложения. 1. Монин А.С., Озмидов Р.В. Океанская турбулентность.– Л.: Гидрометеоиздат, 1981.– 320 с. 2. Монин А.С. О взаимодействии между вертикаль- ной и горизонтальной диффузией примесей в мо- ре // Океанология.– 1969.– т.9, N1.– С. 76-81. 3. Окубо А., Озмидов Р.В. Эмпирическая зави- симость коэффициента горизонтальной турбулен- тной диффузии в океане от масштаба явления // ФАО.– 1970.– т. VI N5.– С. 534-536. 4. Carton X.J., McWilliamsBaroclinic and barotropic instabilities of axisymmetric vorticies in a quasi- geostrophic model. 1989. Mesoscale//Synoptic Coherent Structures in Geophysical Turbulence. J.C.J. Nihoul and B.M. Jamart (Eds.), Elsevier. - 1989.- P. 225-244. 5. Beckers M. Dynamics of Vorticies in a Stratified Fluid. Ph.Dr. thesis..– Eindhoven, The Netherlands: Eindhoven University of Technology, 1999.– 145 p. 6. Beckers M., Verzicco R., Clercx H.J.H. and Heijst G.J.F. van. Dynamics of pancake-like vorticies in a stratified fluid: experiments, model and numerical si- mulations // J.Fluid Mech.– 2001.– V. 433.– P. 1-27. 7. Pearson H.J., Linden P.F. The final stage of decay of turbulence in stably stratified fluid // J.Fluid Mech.– 1983.– V. 134.– P. 195-203. 76 П. В. Лукьянов ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2006. Том 8, N 3. С. 63 – 77 8. Flor J.B., Heijst G.J.F. van, Delfos R. Decay of di- polar vortex structures in stably stratified fluid // Phys. Fluids.– 1995.– 7, N 2.– P. 374-383. 9. Flor J.B., Heijst G.J.F. van Stable and unstable monopolar vortices in a stratified fluid // J. Fluid Mech.– 1996.– V. 311.– P. 257-287. 10. Trieling R.R., Heijst G.J.F. van Decay of monopolar vortices in a stratified fluid // Fluid Dynamics Research.– 1998.– 23.– P. 27-43. 11. Каменкович В.М., Кошляков М.Н., Монин А.С. Синоптические вихри в океане.– Л.: Гидрометеои- здат, 1987.– 512 с. 12. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа.– М.: Наука, 1989.– 840 с. 13. Динамика океана /Под ред. Ю.П. Доронина.– Л.: Гидрометеоиздат, 1980.– 304 c. 14. Озмидов Р.В. Диффузия примесей в океане..– Л.: Гидрометеоиздат, 1986.– 280 с. 15. Физика океана./ Под ред. Ю.П. Доронина. Л.: Ги- дрометеоиздат, 1978.– 296 c. 16. Кушнир В.М., Федоров С.В. Диффузия вещества с нейтральной плавучестью из подводного тру- бопровода при воздействии квазистационарных и волновых течений // Прикл. гидр.– 2005.– T. 79, N1.– С. 43-49. 17. Стеценко А.Г., Лукьянов П.В. Динамика вихре- вых структур в стратифицированной среде.– Ки- ев: ИГМ НАНУ, 2003.– 125 с. 18. Сэффмэн Ф. Дж. Динамика вихрей.– М.: Научный мир, 2000.– 375 с. 19. Satijn M.P., Buren M.G. van, Clercx H.J.H., and Heijst G.J.F. van Vortex models based on similarity solutions of the two-dimensional diffusion equation // Phys. Fluids.– 2004.– V. 16, N 11.– P. 3997-4011. 20. Голивец С.В., Кошляков М.Н. Циклонические вихри субантарктического фронта и образова- ние антарктической промежуточной воды // Океанология.– 2003.– T. 43, N3 .– С. 325-338. 21. Седов Л.И. Методы подобия и размерности в механике.– М.: Наука, 1987.– 430 с. 22. Satijn M.P., Cense A. W., Verzicco R., Clercx H.J.H., Heijst G.J.F. van Three-dimensional structure and decay properties of vortices in shallow fluid layers // Phys. Fluids.– 2001.– V. 13, N 7.– P. 1932-1945. 23. L.R.M. Maas. Nonlinear and free-surface effects on the spin-down of barotropic axisymmetric vortexes // J. Fluid Mech.– 1993.– V.246.– P. 117-141. 24. O’Donnell L., Linden P.F. Free-surface effects on the spin-up of fluid in rotating cylinder // J. Fluid Mech.– 1991.– V.232.– P. 439-453. П. В. Лукьянов 77

Диффузия вихря в слое устойчиво стратифицированной жидкости

Репозитарії

Схожі ресурси