Исследование ползучести пластин сложной формы методом r-функций
На основании вариационного принципа Лагранжа, теории R-функций, метода Ритца в сочетании с методом Рунге-Кутта-Мерсона для интегрирования начальных задач по времени разработан метод расчета на ползучесть и длительную прочность пластинчатых элементов конструкций. Достоверность предложенных структурны...
Gespeichert in:
| Datum: | 2005 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України
2005
|
| Schriftenreihe: | Проблемы прочности |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/47689 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Исследование ползучести пластин сложной формы методом r-функций / А.Н. Склепус, Н.Г. Склепус // Проблемы прочности. — 2005. — № 3. — С. 104-110. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-47689 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-476892013-07-25T16:02:53Z Исследование ползучести пластин сложной формы методом r-функций Склепус, А.Н. Склепус, Н.Г. Научно-технический раздел На основании вариационного принципа Лагранжа, теории R-функций, метода Ритца в сочетании с методом Рунге-Кутта-Мерсона для интегрирования начальных задач по времени разработан метод расчета на ползучесть и длительную прочность пластинчатых элементов конструкций. Достоверность предложенных структурных формул для решения краевых задач и созданного программного обеспечения обоснована практической сходимостью полученных результатов при увеличении количества координатных функций, повышении точности вычисления элементов матрицы Ритца и точности интегрирования по времени и хорошим их согласованием с известными численными данными. Исследована ползучесть и повреждаемость пластин при изгибе в зависимости от условий закрепления и формы пластины. На основі варіаційного принципу Лагранжа, теорії R-функцій, методу Рітца в поєднанні з методом Рунге-Кутта-Мерсона для інтегрування початкових задач за часом розроблено метод розрахунку на повзучість і тривалу міцність пластинчастих елементів конструкцій. Вірогідність запропонованих структурних формул для розв’язання крайових задач і створеного програмного комплексу обгрунтована практичною збіжністю отриманих результатів при збільшенні кількості координатних функцій, підвищенні точності обчислення елементів матриці Рітца і точності інтегрування за часом та добрим їх узгодженням із відомими числовими даними. Досліджено повзучість і пошкоджуваність пластин при згині в залежності від умов закріплення та форми пластин. A new calculation technique is proposed for the analysis of creep and long-term durability of plate structural components, which is based on the Lagrange variational principle, the theory of R-functions and the Ritz method combined with the Runge-Kutta-Merson technique used for time integration of the initial problems. The reliability of proposed structural formulas as applied to boundary problem solution and incorporation into the software package is substantiatedby actual convergence of the results obtained with increased number of coordinate functions, improved accuracy of computation of the Ritz matrix elements and accuracy of time integration, as well as by close correlation between our results and available calculated ones. Creep and damage of plates under bending loading are analyzed for various edge fastening conditions and plate shapes. 2005 Article Исследование ползучести пластин сложной формы методом r-функций / А.Н. Склепус, Н.Г. Склепус // Проблемы прочности. — 2005. — № 3. — С. 104-110. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. 0556-171X http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/47689 539.3 ru Проблемы прочности Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Научно-технический раздел Научно-технический раздел |
| spellingShingle |
Научно-технический раздел Научно-технический раздел Склепус, А.Н. Склепус, Н.Г. Исследование ползучести пластин сложной формы методом r-функций Проблемы прочности |
| description |
На основании вариационного принципа Лагранжа, теории R-функций, метода Ритца в сочетании с методом Рунге-Кутта-Мерсона для интегрирования начальных задач по времени разработан метод расчета на ползучесть и длительную прочность пластинчатых элементов конструкций. Достоверность предложенных структурных формул для решения краевых задач и созданного программного обеспечения обоснована практической сходимостью полученных результатов при увеличении количества координатных функций, повышении точности вычисления элементов матрицы Ритца и точности интегрирования по времени и хорошим их согласованием с известными численными данными. Исследована ползучесть и повреждаемость пластин при изгибе в зависимости от условий закрепления и формы пластины. |
| format |
Article |
| author |
Склепус, А.Н. Склепус, Н.Г. |
| author_facet |
Склепус, А.Н. Склепус, Н.Г. |
| author_sort |
Склепус, А.Н. |
| title |
Исследование ползучести пластин сложной формы методом r-функций |
| title_short |
Исследование ползучести пластин сложной формы методом r-функций |
| title_full |
Исследование ползучести пластин сложной формы методом r-функций |
| title_fullStr |
Исследование ползучести пластин сложной формы методом r-функций |
| title_full_unstemmed |
Исследование ползучести пластин сложной формы методом r-функций |
| title_sort |
исследование ползучести пластин сложной формы методом r-функций |
| publisher |
Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України |
| publishDate |
2005 |
| topic_facet |
Научно-технический раздел |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/47689 |
| citation_txt |
Исследование ползучести пластин сложной формы методом
r-функций / А.Н. Склепус, Н.Г. Склепус // Проблемы прочности. — 2005. — № 3. — С. 104-110. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. |
| series |
Проблемы прочности |
| work_keys_str_mv |
AT sklepusan issledovaniepolzučestiplastinsložnojformymetodomrfunkcij AT sklepusng issledovaniepolzučestiplastinsložnojformymetodomrfunkcij |
| first_indexed |
2025-07-04T07:40:00Z |
| last_indexed |
2025-07-04T07:40:00Z |
| _version_ |
1836701241775751168 |
| fulltext |
УДК 539.3
Исследование ползучести пластин сложной формы методом
^-функций
А. Н. Склепус, Н. Г. Склепус
Национальный технический университет “Харьковский политехнический институт”,
Харьков, Украина
На основании вариационного принципа Лагранжа, теории К-функций, метода Ритца в
сочетании с методом Рунге-Кутта-Мерсона для интегрирования начальных задач по вре
мени разработан метод расчета на ползучесть и длительную прочность пластинчатых
элементов конструкций. Достоверность предложенных структурных формул для решения
краевых задач и созданного программного обеспечения обоснована практической сходи
мостью полученных результатов при увеличении количества координатных функций, повы
шении точности вычисления элементов матрицы Ритца и точности интегрирования по
времени и хорошим их согласованием с известными численными данными. Исследована
ползучесть и повреждаемость пластин при изгибе в зависимости от условий закрепления и
формы пластины.
Ключевые слова: интегрирование начальных задач, метод расчета, краевые
задачи, программное обеспечение.
Многие элементы таких современных энергетических установок, как
реакторы, турбогенераторы, теплообменные аппараты, высокотемператур
ные газовые генераторы и другие, работают в условиях, когда имеет место
ползучесть конструкционных материалов. Развиваясь в конструкциях во
времени, необратимые деформации ползучести сопровождаются деграда
цией внутренней структуры материала и накоплением повреждений, кото
рые приводят к разрушению. Актуальные проблемы механики деформи
рованных тел решаются путем создания методов расчета длительной проч
ности, надежности и долговечности конструкций и тесно связаны с реше
нием задач ползучести. Большинство существующих методов расчета на
ползучесть пластин сложной геометрической формы основано на приме
нении дискретных численных методов, например метод конечных элемен
тов, метод конечных разностей и др. Современное развитие теории К-функ-
ций позволяет проводить расчеты на ползучесть на основе аналитического
представления решений краевых задач в виде структурных формул.
Полагаем, что пластина толщины И произвольной формы ^ находится
под действием поперечной нагрузки д(X1,X2 , t ) при постоянной темпера
туре.
Проблема исследования напряженно-деформированного состояния плас
тин, в частности, при ползучести может быть сформулирована как задача
нахождения стационарного значения функционала Лагранжа, заданного на
кинематически возможных скоростях перемещений:
© А. Н. СКЛЕПУС, Н. Г. СКЛЕПУС, 2005
104 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2005, № 3
Исследование ползучести пластин сложной формыЬ М 11V 11 ~Ь М1 22 V 22 ~Ь 2ММ12 V 12) ̂Х1 $Х 2 - я с у й х ^ х 2. /1)
В функционале (1) введены следующие обозначения: У - скорость прогиба;
С Е г 2 г Е г 2 V л 2Е22
В 11 = В 22 = ]-—̂ В 33 = -^; в 44 = 1 (г—̂; (2)(Л )(1̂ ) (Л)(1̂ ) (Л)(1̂ )
■ С Ег ■ г Ег
М 11 = / 7.- (̂ Р 11 ЬЛ>Р 22 ̂ М 22 = / “- ̂( Р 22 + ‘»Р пМг;(Л)(1̂ ) №(1̂ ) (3)
М 12 = 2/ Сгр 12 ,̂(Л)
где р и , р 22, Р 12 - скорости деформаций ползучести; £ - модуль упру
гости; С - модуль сдвига; V - коэффициент Пуассона. Точка над символом
обозначает производную по времени, запятая в нижнем правом индексе -
дифференцирование по соответствующей координате.
Рассмотрим граничные условия для некоторых типов закрепления
пластины.
1. Жесткая заделка:
V = 0; (4)
У п = ° (5)
2. Шарнирное опирание:
V = 0; (6)
( — В 11У ,пп — В 11У ,гт ) = М пп , (7)
где МПп определяется формулой
М Пп = ^ П « 2 + 2Мї і п1п2 + М С22п I- (8)
Для функционала ( 1 ) статические граничные условия являются естест
венными.
Поскольку функционал ( 1 ) сформулирован для скоростей искомых
функций, а необходимо найти значения самих функций в произвольный
момент времени, в алгоритм решения задачи ползучести кроме процедуры
решения краевых задач, сформулированных для скоростей, должна быть
включена процедура интегрирования задачи по времени.
Суть предложенного метода состоит в решении систем дифференци
альных уравнений с правой частью, получаемой из решения задачи о стаци-
ISSN 0556-171Х. Проблемыг прочности, 2005, № 3 105
А. Н. Склепус, Н. Г. Склепус
онарном значении функционала (1). Для интегрирования по времени исполь
зуется схема Рунге-Кутта-Мерсона (РКМ) с автоматическим выбором шага
[1]. Реализованный в работе метод является модификацией метода Рунге-
Кутта четвертого порядка точности, который позволяет принимать решение
об изменении шага интегрирования в зависимости от получаемой погреш
ности.
Предположим, что в начальный момент времени присутствуют только
упругие деформации. Тогда начальные условия для искомых функций в
момент времени г = 0 находятся из решения линейной задачи упругого
деформирования пластины.
Краевые задачи в начальный момент времени и на каждом временном
шаге решаются вариационно-структурным методом.
Конструктивные возможности теории ^-функций позволяют построить
структуру решения краевой задачи [2] в виде формулы
и = В (Ф , о 1, р j ), (9)
где Ф - неопределенная компонента структуры; функции о 1 относятся к
описанию участков границ области Э^ {, на которых сформулированы крае
вые условия задачи; <р j• - известные нагружающие функции, задаваемые
при постановке задачи. Структура решения точно удовлетворяет краевым
условиям задачи независимо от выбора неопределенной компоненты Ф.
При дискретизации функционала неопределенная компонента структуры
решения Ф выбирается в виде степенного полинома
N
Ф(х 1,х 2 ) = ^ С ых \ х 2. ( 10)
к ,1=0
Таким образом, исходная задача сводится к нахождению неопределен
ных коэффициентов С м . Для этого авторы применяют метод Ритца.
Чтобы протестировать предложенный метод, рассмотрим задачу об
_2
изгибе жестко защемленной квадратной пластины со стороной а = 8-10 м,
_3
толщиной к = 3-10 м под действием постоянной поперечной равномерно
распределенной нагрузки д = 0,3 МПа, которая была комплексно исследо
вана методом Власова-Канторовича [3]. Определяющие уравнения ползу
чести и повреждаемости имеют вид
• 3 л _п_1 ^ к1 •, г, ° IР и = ~ А о ; ------------- ; а = В ----------- —, (11)
к1 2 1 (1— а г ) “ (1— ё г )ф
3 1
где 0 1 V 2 Б к18к1 - интенсивн°сть напряжений; Б ы = о к1 _ 3 ( о пп)(5к1 -
компоненты девиатора напряжений; А, В , п , т, %, ф , г - параметры мате
риала.
106 0556-171Х. Проблемы прочности, 2005, N2 3
Исследование ползучести пластин сложной формы
Для алюминиевого сплава Д16АТ при температуре 300° С установлены
следующие параметры: А = 0,335• 10_7 М П а~п/ч; В = 1,9-10_7 М П а~т/ч;
п = т = х = Ф = 3; г = 1,4. Упругие постоянные: Е = 65 ГПа, V = 0,3.
Один из основных вопросов, возникающих при применении теории
Я-функций для решения различных краевых задач, связан с необходимостью
построения структур решения. Структура решения, удовлетворяющая усло
виям (4), (5), имеет вид
V = т 2 Ф. (12)
В таблице для двух моментов времени г приведены данные для про
гиба и изгибающих моментов посередине жестко защемленной стороны
пластины и в центре в зависимости от количества координатных функций в
структурной формуле (12). Количество координатных функций 10 соответ
ствует степени полинома N = 6, 15 - N = 8, 21 - N = 10. При вычислении
коэффициентов матриц Ритца число узлов интегрирования во всех случаях
равнялось 196.
Данные о стабилизации решений при разном количестве координатных функции
Количество
координатных
функций
г, ч ^ к - 102 м / г • 105,
Н-м
•10
•м
а-
І
10 0 3,225 -9,856 5,008
50 93,300 -4,502 3,452
15 0 3,226 -9,929 5,172
50 101,400 -4,528 3,407
21 0 3,226 -9,933 5,165
50 101,800 -4,496 3,411
Анализ данных таблицы свидетельствует о хорошей сходимости при
ближенных решений. Кроме того, на рис. 1 показан рост максимальных
прогибов во времени в центре пластины и изменение во времени изги
бающих моментов посередине жестко закрепленной стороны (кривые 1) и в
центре пластины (кривые 2). Данные, полученные методом Власова-Канто
ровича и методом Я-функций свидетельствуют о достаточно хорошем их
соответствии.
Рассмотрим пластину размера а X а, выполненную из титана (ІМІ834)
[4]. Характер нагрузки показан на рис. 2, причем аі = 0,2а, величина
равномерной поперечной нагрузки д = 100 МПа. В данном примере иссле
дуется влияние способа закрепления пластины на ползучесть. Рассматри
ваются два варианта закрепления:
1) пластина жестко закреплена на круговых и шарнирно оперта на
прямых гранях;
2) пластина жестко защемлена на прямых и шарнирно оперта на круго
вых гранях.
ТХОТ 0556-171Х. Проблемы прочности, 2005, N2 3 107
А. Н. Склепус, Н. Г. Склепус
Л/ц-10 , Н-м
1
0,5
0
-0,5
-1
2
----
1
'/
О 10 20 30
а
40 Ч 10 20 30
б
40 (, ч
Рис. 1. Рост максимальных прогибов во времени (а) и зависимость изгибающих моментов от
времени (б) в квадратной пластине. (Сплошные линии - метод Л-функций, штриховые -
метод Власова-Канторовича.)
Рис. 2. Пластина сложной формы под действием локально распределенной нагрузки (заштри
хованная площадка).
Определяющие соотношения для титана при температуре 650° С следу
ющие [4]:
з Я_1 ■ в о т
Р и = ~ Ао П 1----- — , СІ = ------ — , (13)
2 1 (1_ й ) п (1_ й )ф
где А = 5,623 • 10_ 18 МПа _п/ч; п = 5,911; В = 1,921 -10_ 16 МПа _т /ч; т =
= 5,416; ф = 4,8; « = 0; Е = 89,5 ГПа; у = 0,3.
Для моделирования применена ^-функция о , приведенная к параметри
ческому виду заданием значений а и с (рис. 2):
о (х ̂ X 2 ) = о 1 А0 ° 2 Л0 ° з , (14)
где Л0 - операция ^-конъюнкция [2]:
/ 1 Л0 / 2 = /1 + / 2 _ V / 12 + / 22 ; о 1 = 2а (а 2 _ х 2 ) ;
о 2 = 2 Г((х 1 + й 1)2 + х 2 _ г 2); о з = ((х 1 _ й 1)2 + х 2 _ г 2);
108 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2005, № 3
Исследование ползучести пластин сложной формы
1 2 2 г = — ( с + а ); йл = а + г — с.
2с
В расчетах принимаем а = 0,04 м; с = 0,002 м; толщина к = 0,01 м.
Для данной задачи использовалась структурная формула, удовлетво
ряющая главным граничным условиям (4)—(6):
2
V = Ш ̂ 0 Ш 20 Ф ,
где ш ю = 0 - уравнение жестко защемленной границы пластины; ш 20 = 0 -
уравнение шарнирно опертого участка границы.
Для закрепления пластин 1 и 2 (рис. 3) соответственно имеем
Шю = Ш2 Л0 Ш3, Ш20 = Шл;
Шю — Ш1, Ш20 — Ш2 Л0 Шз .
Результаты получены с использованием 21 координатной функции в
формуле (15), количество узлов интегрирования по области равнялось 256,
по толщине - 8.
0 2000 4000 *. ч 0 2000 4000 ',ч
0 2000 4000 Г, ч
в
Рис. 3. Рост максимальных прогибов (а), деформаций (б) и повреждаемости (в) в пластинах
сложной формы: 1 - пластина 1; 2 - пластина 2.
На рис. 3 представлены результаты расчетов пластин 1 и 2. Из рис. 3,а
видно, что пластина 1 является более жесткой конструкцией, чем пластина 2.
Анализ результатов расчетов ползучести пластин показал, что деформации и
повреждаемость максимальны на поверхности пластин в центре заделки.
0556-171Х. Проблемыг прочности, 2005, № 3 109
A. H. Склепус, H. Г. Склепус
Рост деформаций £п в центре заделки пластины 1 и є 22 в центре заделки
пластины 2 иллюстрирует рис. 3,6. На рис. 3,в показан рост повреждаемости
в соответствующих точках. Сравнение данных, приведенных на рис. 3,6,в,
свидетельствует, что в пластине 1 на жестко защемленных круговых гранях
деформации и повреждаемость увеличиваются быстрее, чем в пластине 2 на
жестко защемленных прямых гранях. Результаты исследования указывают
на то, что пластина 1, которая с течением времени становится более жест
кой, чем пластина 2, разрушается быстрее.
Метод исследования ползучести пластин реализован в виде комплекса
программ на языке C++ и опробован при решении конкретных примеров.
Данная методика обладает значительной универсальностью, точностью и
позволяет исследовать ползучесть пластин сложной формы.
Р е з ю м е
На основі варіаційного принципу Лагранжа, теорії ^-функцій, методу Рітца
в поєднанні з методом Рунге-Кутта-Мерсона для інтегрування початкових
задач за часом розроблено метод розрахунку на повзучість і тривалу міц
ність пластинчастих елементів конструкцій. Вірогідність запропонованих
структурних формул для розв’язання крайових задач і створеного про
грамного комплексу обгрунтована практичною збіжністю отриманих ре
зультатів при збільшенні кількості координатних функцій, підвищенні точ
ності обчислення елементів матриці Рітца і точності інтегрування за часом
та добрим їх узгодженням із відомими числовими даними. Досліджено
повзучість і пошкоджуваність пластин при згині в залежності від умов
закріплення та форми пластин.
1. Золочевский A. A., Морачковский О. К. Исследование ползучести тонко
стенных оболочек при нестационарном нагружении // Прикл. механика.
- 1982. - 17, № 9. - С. 47 - 50.
2. Рвачев В. Л., Курпа Л. В., Склепус Н. Г., Учишвили Л. Б. Метод
^-функции в задачах об изгибе и колебаниях пластин сложной формы //
Киев: Наук. думка, 1973. - 123 с.
3. Altenbach H., Morachkovsky O., Naumenko K., and Sychov A. Geometrically
nonlinear bending of thin-walled shells and plates under creep-damage
conditions // Arch. Appl. Mech. - 1997. - 67. - P. 339 - 352.
4. Hyde T. H., Xia L., and Becker A. A. Prediction of creep failure in aeroengine
materials under multi-axial stress states // Int. J. Mech. Sci. - 1996. - 38,
No. 4. - P. 385 - 403.
Поступила 12. 06. 2003
110 ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2005, № 3
|