Динамiка стацiонарного руху вихроджерела у стратифiкованому середовищi
Рассмотрена задача определения гидродинамических сил реакции произвольной устойчиво стратифицированной среды на стационарное движение плоского точечного вихреисточника. Получены общие выражения для составляющих гидродинамической силы. Разработан альтернативный метод определения дополнительной продол...
Gespeichert in:
| Datum: | 2006 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Інститут гідромеханіки НАН України
2006
|
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/4771 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Динамiка стацiонарного руху вихроджерела у стратифiкованому середовищi / О.Г. Стеценко // Прикладна гідромеханіка. — 2006. — Т. 8, № 4. — С. 66-77. — Бібліогр.: 19 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-4771 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-47712009-12-23T12:01:12Z Динамiка стацiонарного руху вихроджерела у стратифiкованому середовищi Стеценко, О.Г. Рассмотрена задача определения гидродинамических сил реакции произвольной устойчиво стратифицированной среды на стационарное движение плоского точечного вихреисточника. Получены общие выражения для составляющих гидродинамической силы. Разработан альтернативный метод определения дополнительной продольной составляющей гидродинамической силы - волнового сопротивления, который основан на использовании уравнения энергии возмущенного движения среды. В качестве иллюстрации представлены соответствующие линейные задачи для бесконечных двухслойной и линейно стратифицированных сред. Розглянута задача визначення гiдродинамiчних сил реакцiї довiльного стiйко стратифiкованого iдеального середовища на стацiонарний рух плоского точкового вихроджерела. Одержанi загальнi вирази для складових гiдродинамiчної сили. Розроблено альтернативний метод визначення додаткової поздовжньої складової сили - хвильового опору, який грунтується на використаннi рiвняння енергiї збуреного руху середовища. В якостi iлюстрацiї представленi вiдповiднi лiнiйнi задачi для безмежних двохшарового та лiнiйно стратифiкованого середовищ. The present study is devoted to a problem of determination of hydrodynamic forces resulting from a response of a randomly and stably stratified ideal medium to the vortex-source. General formulae for components of hydrodynamic force have been derived. An alternative method for determination of a additional longitudinal component of the force, wave resistance, has been developed, such method being based on the use of the equation of the energy of the disturbed motion of the medium. To illustrate the findings, corresponding linear problems for infinite two-lauered and linear stratified media have been presented. 2006 Article Динамiка стацiонарного руху вихроджерела у стратифiкованому середовищi / О.Г. Стеценко // Прикладна гідромеханіка. — 2006. — Т. 8, № 4. — С. 66-77. — Бібліогр.: 19 назв. — укр. 1561-9087 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/4771 551.511.001: 551.593 uk Інститут гідромеханіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Рассмотрена задача определения гидродинамических сил реакции произвольной устойчиво стратифицированной среды на стационарное движение плоского точечного вихреисточника. Получены общие выражения для составляющих гидродинамической силы. Разработан альтернативный метод определения дополнительной продольной составляющей гидродинамической силы - волнового сопротивления, который основан на использовании уравнения энергии возмущенного движения среды. В качестве иллюстрации представлены соответствующие линейные задачи для бесконечных двухслойной и линейно стратифицированных сред. |
| format |
Article |
| author |
Стеценко, О.Г. |
| spellingShingle |
Стеценко, О.Г. Динамiка стацiонарного руху вихроджерела у стратифiкованому середовищi |
| author_facet |
Стеценко, О.Г. |
| author_sort |
Стеценко, О.Г. |
| title |
Динамiка стацiонарного руху вихроджерела у стратифiкованому середовищi |
| title_short |
Динамiка стацiонарного руху вихроджерела у стратифiкованому середовищi |
| title_full |
Динамiка стацiонарного руху вихроджерела у стратифiкованому середовищi |
| title_fullStr |
Динамiка стацiонарного руху вихроджерела у стратифiкованому середовищi |
| title_full_unstemmed |
Динамiка стацiонарного руху вихроджерела у стратифiкованому середовищi |
| title_sort |
динамiка стацiонарного руху вихроджерела у стратифiкованому середовищi |
| publisher |
Інститут гідромеханіки НАН України |
| publishDate |
2006 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/4771 |
| citation_txt |
Динамiка стацiонарного руху вихроджерела у стратифiкованому середовищi / О.Г. Стеценко // Прикладна гідромеханіка. — 2006. — Т. 8, № 4. — С. 66-77. — Бібліогр.: 19 назв. — укр. |
| work_keys_str_mv |
AT stecenkoog dinamikastacionarnogoruhuvihrodžerelaustratifikovanomuseredoviŝi |
| first_indexed |
2025-07-02T07:58:48Z |
| last_indexed |
2025-07-02T07:58:48Z |
| _version_ |
1836521230310572032 |
| fulltext |
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2006. Том 8, N 4. С. ?? – ??
УДК 551.511.001: 551.593
ДИНАМIКА СТАЦIОНАРНОГО РУХУ ВИХРОДЖЕРЕЛА
У СТРАТИФIКОВАНОМУ СЕРЕДОВИЩI
О. Г. СТЕЦ Е Н К О
Iнститут гiдромеханiки НАН України, Київ
Одержано 12.08.2006
Розглянута задача визначення гiдродинамiчних сил реакцiї довiльного стiйко стратифiкованого iдеального середо-
вища на стацiонарний рух плоского точкового вихроджерела. Одержанi загальнi вирази для складових гiдродинамi-
чної сили. Розроблено альтернативний метод визначення додаткової поздовжньої складової сили – хвильового опору,
який грунтується на використаннi рiвняння енергiї збуреного руху середовища. В якостi iлюстрацiї представленi
вiдповiднi лiнiйнi задачi для безмежних двохшарового та лiнiйно стратифiкованого середовищ.
Рассмотрена задача определения гидродинамических сил реакции произвольной устойчиво стратифицированной
среды на стационарное движение плоского точечного вихреисточника. Получены общие выражения для составля-
ющих гидродинамической силы. Разработан альтернативный метод определения дополнительной продольной со-
ставляющей гидродинамической силы – волнового сопротивления, который основан на использовании уравнения
энергии возмущенного движения среды. В качестве иллюстрации представлены соответствующие линейные задачи
для бесконечных двухслойной и линейно стратифицированных сред.
The present study is devoted to a problem of determination of hydrodynamic forces resulting from a response of a randomly
and stably stratified ideal medium to the vortex-source. General formulae for components of hydrodynamic force have been
derived. An alternative method for determination of a additional longitudinal component of the force, wave resistance,
has been developed, such method being based on the use of the equation of the energy of the disturbed motion of the
medium. To illustrate the findings, corresponding linear problems for infinite two-lauered and linear stratified media have
been presented.
ВСТУП
Задачi про вимушений рух плоского точково-
го вихроджерела є визначальними в гiдродинамiцi
руху плоских тiл, зокрема, крилових профiлiв, у
лiнiйнiй постановцi. Їх результати є базовими в по-
становках вiдповiдних задач для довiльного пло-
ского профiля, обтiкання якого можна замiнити
обтiканням системи певним чином розподiлених
вихроджерел. В силу цього такi задачi викликають
як науковий, так i прикладний iнтерес. Достатньо
повний огляд робiт представленого напрямку до-
слiджень виконано в [1]. Враховуючи важливiсть
використання суден на пiдводних крилах, глiсую-
чих суден, а також використання крил в якостi
засобiв маневрування для пiдводних об’єктiв, осо-
бливе мiсце в данiй проблемi займає дослiдження
впливу на гiдродинамiчнi характеристики таких
тiл наявностi границь роздiлення середовищ. Та-
кими є вiльна поверхня рiдини, тверда стiнка або
поверхня рiзкої змiни густини середовища (стри-
бок густини). Саме такi схеми границь є предме-
том дослiдження бiльшостi виконаних робiт [2].
Наявнiсть стрибка густини в рiдинi, обумовле-
ного, наприклад, рiзким градiєнтом температури
або солоностi, вiдповiдає однiй з найпростiших
схем стратифiкованого середовища. В загально-
му випадку стiйко стратифiкованi середовища ма-
ють неперервний розподiл густини вздовж вер-
тикальної координати. В окремих випадках ре-
альний профiль розподiлу густини рiдини можна
апроксимувати, використовуючи схему шаруватої
стратифiкацiї, коли має мiсце один або декiлька
стрибкiв густини на границi шарiв, всерединi ко-
жного з яких густина рiдини стала.
Наявнiсть стратифiкацiї середовища за густи-
ною через механiзм гравiтацiї впливає як на кi-
нематичну картину обтiкання вихроджерела, так
i на його динамiчнi характеристики – вертикальну
пiдйомну силу Z та горизонтальну складовуX, якi
визначаються як густиною середовища в околi ви-
хроджерела, так i наявнiстю стратифiкацiї. Части-
на горизонтальної складової X, яка визначається
стратифiкацiєю (надалi вона позначатиметься як
хвильова складова ∆Xw), обумовлена генерацiєю
при русi вихроджерела внутрiшнiх хвиль. Тому
∆Xw є iнтегральною характеристикою енергетики
поля внутрiшнiх хвиль за рухомим збуренням.
Початок дослiджень стацiонарного руху ви-
хорiв та вихроджерел у стратифiкованих сере-
довищах вiдноситься до фундаментальних робiт
М.Є.Кочина [3, 4], в яких розглянуто лiнiйнi за-
дачi про рух вихроджерела бiля границi роздiлен-
ня напiвнескiнчених однорiдних середовищ рiзної
густини (в [3] верхнiй шар мав нульову густину).
Надалi практично у всiх роботах стосовно гiдроди-
намiки руху точкових особливостей розглядалися
лiнiйнi задачi лише для шарових схем стратифi-
66 c© О. Г. Стеценко, 2006
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2006. Том 8, N 4. С. ?? –??
кацiї. Так, в [5, 6] розв’язана задача про рух ви-
хроджерела пiд вiльною поверхнею важкої рiди-
ни скiнченої глибини, а в [7, 8] – про рух вихо-
ра бiля границi роздiлення двох шарiв, верхнiй з
яких має вiльну поверхню. В роботi [9] задача про
рух вихроджерела узагальнена на випадок довiль-
ної скiнченої кiлькостi шарiв рiдини, кожен з яких
має ще i свою швидкiсть набiгаючого потоку.
Середовища з неперервним розподiлом страти-
фiкацiї стали предметом розгляду для даного кла-
су задач у роботах [10, 11]. В [10] використано
iнтегральнi представлення поздовжньої складової
збуреної швидкостi для диполя, орiєнтованого в
напрямку руху вихора, та цiєї ж складової, гене-
рованої вихором в однорiдному середовищi, i гра-
ничний перехiд вiд вихрового обтiкання для стра-
тифiкованого середовища до потенцiального обтi-
кання вихора однорiдним потоком, який би задо-
вольнив розв’язок для диполя в околi центра ви-
хора та далеко вiд нього. Це дозволило одержати
розв’язок задачi для безмежного середовища з лi-
нiйною стратифiкацiєю при використаннi спроще-
ного варiанту рiвнянь руху в наближеннi Бусине-
ска. Загальна постановка лiнiйної задачi про ста-
цiонарний рух точкового вихора виконана в роботi
[11]. Запропонований там пiдхiд дозволяє ставити
вiдповiднi задачi для будь-якого стiйкого профi-
лю стратифiкацiї, включно з наявнiстю вiльної по-
верхнi, дна та скiнченої кiлькостi стрибкiв густи-
ни. Розглянутi ранiше схеми шаруватої стратифi-
кацiї є частинними випадками загальної постанов-
ки.
Визначення гiдродинамiчної сили, що дiє на ру-
хоме вихроджерело, є важливою складовою про-
блеми гiдродинамiки крила. У випадку однорiдно-
го середовища та в лiнiйних задачах для шарува-
тої стратифiкацiї ця сила при стацiонарному русi
визначається формулою Чаплигiна [12]
Z + iX = −ρc
2
∮
c
(
dχ
dz̄
)2
dz̄ , (1)
де χ = φ+ ψ – комплексний потенцiал; φ – потен-
цiальна функцiя; ψ – функцiя течiї; z̄ = x + iz –
комплексна змiнна; x i z – вiдповiдно горизоталь-
на i вертикальна координати; ρc – густина сере-
довища в шарi, де рухається вихроджерело. Для
довiльної стратифiкацiї з неперервним розполiлом
густини введення комплексного потенцiалу немо-
жливе, тому для визначення гiдродинамiчної си-
ли необхiдно знати в фiзичних координатах розпо-
дiл поля тиску i швидкостi в потоцi як результат
розв’язку вiдповiдної гiдродинамiчної задачi. Для
необмеженого лiнiйно стратифiкованого середови-
ща в [13] одержано розв’язок для гiдродинамiчної
сили, що дiє на рухомий вихор.
У данiй роботi одержано лiнiйне рiвняння для
функцiї течiї, яке описує збурення довiльного стiй-
ко стратифiкованого середовища, викликане виму-
шеним рухом точкового вихроджерела. Як i рiвня-
ння для випадку руху точкового вихора [11], во-
но в явнiй формi мiстить характеристики вихро-
джерела, що дозволяє для його розв’язання ви-
користовувати методи iнтегральних перетворень.
Одержанi загальнi вирази для складових гiдроди-
намiчної сили, яка дiє на вихроджерело. В якостi
iлюстрацiї розглянуто випадки руху вихроджере-
ла бiля границi роздiлення двох напiвнескiнчених
шарiв рiдини рiзної густини та його рух в нео-
бмеженому лiнiйно стратифiкованому середовищi.
Перша з цих задач розглянута в якостi тестової
для порiвняння з її розв’язком, одержаним мето-
дом [12].
1. МАТЕМАТИЧНЕ ФОРМУЛЮВАННЯ
ЗАДАЧI
Розглянемо рiвномiрний горизонтальний рух
плоского точкового вихроджерела (Г i Q – вiдпо-
вiдно iнтенсивнiсть вихора i потужнiсть джерела
маси) зi швидкiстю U у стiйко стратифiкованому
середовищi. Вiсь вихроджерела перпендикулярна
до напрямку руху i до напрямку дiї гравiтацiйних
сил.
У роботi [13] показано, що в лiнiйних задачах
збурений рух середовища, обумовлений стацiонар-
ним рухом вихора iнтенсивностi Г, еквiвалентний
руху середовища, обумовленому рухом вертикаль-
ного силового джерела потужностi ρ0∗UГ (ρ0∗ –
густина середовища на горизонтi руху джерела).
Тодi в системi координат xoz, яка рухається ра-
зом з вихроджерелом, причому додатнiй напрям
горизонтальної вiсi x направлено в сторону, проти-
лежну напрямку вектора швидкостi руху, а вiсь z
направлена вгору, лiнеаризованi рiвняння, якi опи-
сують стацiонарний рух стратифiкованого середо-
вища в наближеннi Бусинеска, представляються у
виглядi:
ρ0(z)U
∂u
∂x
+
∂p
∂x
= 0, (2)
ρ0(z)U
∂w
∂x
+
∂p
∂z
+ gρ =
= ρ0∗UΓδ(x− x0)δ(z − z0), (3)
U
∂ρ
∂x
+
dρ0
dz
w = 0, (4)
∂u
∂x
+
∂w
∂z
= Qδ(x− x0)δ(z − z0). (5)
О. Г. Стеценко 67
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2006. Том 8, N 4. С. ?? – ??
Тут u, w, p i ρ – вiдповiдно збуренi горизонталь-
на i вертикальна складовi швидкостi, тиск i гу-
стина; ρ0(z) – незбурений профiль розподiлу гу-
стини середовища; g – прискорення сили тяжi-
ння; x0, z0 – координати центру вихроджерела;
δ(x− x0), δ(z − z0) – дельта-функцiї Дiрака.
Введення функцiї течiї
Ψ = Uz + ψ(x, z)
такої, що
u =
∂ψ
∂z
, w = −∂ψ
∂x
,
систему рiвнянь (2)–(5) зводить до одного рiвнян-
ня вiдносно ψ(x, z)
∂
∂x
∆ψ − N2
g
∂2ψ
∂x∂z
+
N2
U2
∂ψ
∂x
=
= Q
N2
U2
δ(x − x0)δ(z − z0) −
−Γδ
′
(x− x0)δ(z − z0) −Qδ(x− x0)δ
′
(z − z0), (6)
де (’) означає похiдну по вiдповiднiй координатi;
∆ =
∂2
∂x2
+
∂2
∂z2
– двовимiрний оператор Лапласа;
N(z) – частота Брента-Вяйсяля, яка знаходиться
як
N(z) =
(
− g
ρ0
dρ0
dz
)
1
2
.
Величина ∆ψ визначає завихоренiсть ζ(x, z) i, як
видно з рiвняння (6), рух рiдини є вихровим в усiй
областi середовища, на вiдмiну вiд однорiдної рi-
дини, де ∆ψ = 0 скрiзь, крiм центра вихроджере-
ла.
Якщо покласти Q = 0 , то з (6) випливає рiвня-
ння
∆ψ +
N2
g
∂ψ
∂z
+
N2
U2
∂ψ
∂x
= = −Γδ(x− x0)δ(z − z0).
(7)
В роботi [11] показано, що рiвняння (7) описує
стацiонарний рух плоского точкового вихора iн-
тенсивнiстю Г. Таким чином, одержане рiвняння
(6) описує рух точкового вихроджерела.
Спрощений варiант наближення Бусинеска, ко-
ли в iнерцiйних складових рiвнянь Ейлера не вра-
ховується змiннiсть густини середовища по коор-
динатi z, дає таке рiвняння вiдносно ψ:
∂
∂x
∆ψ +
N2
U2
∂ψ
∂x
= −Γδ
′
(x− x0)δ(z − z0) −
−Qδ(x− x0)δ
′
(z − z0). (8)
Лiнеаризованi граничнi умови для ψ визнача-
ються iз виконання кiнематичних i динамiчних
умов на границях середовища:
– на вiльнiй поверхнi – непокидання її власними
частинками i рiвнiсть нулю збуреного тиску;
– на поверхнi стрибка густини – неперервнiсть
змiщень i тиску;
– на горизонтальному днi – рiвнiсть нулю вер-
тикальної складової швидкостi.
В термiнах функцiї течiї вони мають вигляд:
на вiльнiй поверхнi
U
∂η
∂x
+
∂ψ
∂x
= 0 , (9)
U2 ∂
2ψ
∂x∂z
− g
∂ψ
∂x
= 0 , (10)
де η – амплiтуда поверхневої хвилi;
на границi стрибка густини i-того i i+1-го шарiв
∂ψi
∂x
=
∂ψi+1
∂x
, (11)
U2 ∂
2ψi
∂x∂z
− g
∂ψi
∂x
= κ
(
U2 ∂
2ψi+1
∂x∂z
− g
∂ψi+1
∂x
)
, (12)
де
κi =
ρi+1(zi − 0)
ρi(zi + 0)
;
на днi
∂ψ
∂x
= 0. (13)
До цих умов додаються умови на нескiнченостi:
∂ψ
∂x
,
∂ψ
∂z
− обмеженi при x→ ∞,
∂ψ
∂x
,
∂ψ
∂z
→ 0 при x → −∞. (14)
Останнє спiввiдношення вiдповiдає вiдсутностi
збурень в нескiнченостi перед рухомим вихродже-
релом.
Для безмежного середовища для всiх x повиннi
виконуватись також умови
∂ψ
∂x
,
∂ψ
∂z
→ 0 при z → ±∞. (15)
Всi задачi про рух вихроджерела у багатошаро-
вому середовищi описуються в рамках представле-
ної загальної постановки, якщо в кожному iз шарiв
покласти N = 0.
Сформульована лiнiйна задача дозволяє описа-
ти стацiонарний рух точкового вихроджерела у
довiльному стiйко стратифiкованому середовищi.
Неважко бачити, що на основi рiвнянь (6) або (8),
використовуючи апарат теорiї функцiй Грiна та
метод iнтегральних перетворень, можна розв’яза-
ти задачу про стацiонарний рух довiльної системи
вихроджерел.
68 О. Г. Стеценко
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2006. Том 8, N 4. С. ?? –??
2. ГIДРОДИНАМIЧНА СИЛА,
ЩО ДIЄ НА ВИХРОДЖЕРЕЛО
Гiдродинамiчну силу реакцiї (горизонтальна X-
та вертикальна Z-складовi) середовища на стацiо-
нарний рух вихроджерела можна визначити, за-
стосувавши до рiдкого об’єму, який знаходиться
всерединi довiльного контура c, що охоплює ви-
хроджерело, теорему про змiну кiлькостi руху. У
вибранiй системi координат, що рухається разом з
вихроджерелом, застосування цiєї теореми в прое-
кцiях на осi координат дає вирази для X i Z через
iнтеграли по контуру c [14]:
X = −
∮
c
p cos θds−
∮
c
m(U + u)ds , (16)
Z = −
∮
c
p sin θds−
∮
c
mwds, (17)
де θ – кут мiж нормаллю до елемента контура ds
та вiссю x; m = [ρ0(z)+ρ(x, z)][(U+u) cos θ+w sin θ]
– маса рiдини, яка протiкає через вiдрiзок конту-
ра ds за одиницю часу. Вирази (16), (17) рiвнi по
модулю i протилежнi за знаком складовим сили, з
якою вихроджерело дiє на навколишнє середови-
ще [14].
У випадку однорiдного iдеального середовища,
густина якого ρc, величина збуреного тиску ви-
значається через швидкiсть з iнтегралу Бернуллi,
справедливого вздовж лiнiї течiї:
p = −ρc
[
Uu+
1
2
(u2 + w2)
]
.
Тодi вирази для X i Z набирають вигляду, який
визначає цi величини через компоненти збуреної
швидкостi:
X = −ρc
{
U
∮
c
(u cos θ +w sin θ)ds−
−1
2
∮
c
[
(u2 − w2) cos θ+ uw sin θ
]
ds
}
,
Z = ρc
{
U
∮
c
(u sin θ − w cos θ)ds+
+
1
2
∮
c
[
(u2 − w2) sin θ − uw cos θ
]
ds
}
.
Саме такi вирази для X i Z випливають з класи-
чного результату Чаплигiна (1), якщо там покла-
сти dz∗ = dx+idz = − sin θds+i cos θds i при обходi
контура c в напрямку проти годинникової стрiлки
видiлити дiйсну i уявну частини.
Для випадку шарової стратифiкацiї наведенi ви-
рази для складових гiдродинамiчної сили можуть
бути використанi (за умови, що весь контур iнте-
грування знаходиться в межах того шару, в якому
рухається вихроджерело) пiсля замiни в них ρc на
густину середовища в даному шарi. Слiд вiдмiти-
ти, що наведенi вирази для сили є унiверсальними
як для лiнiйних, так i для нелiнiйних задач.
Для середовищ з неперервним розподiлом густи-
ни ρ0(z) для визначення X i Z необхiдно застосо-
вувати пiдхiд з використанням спiввiдношень (16),
(17).
Можна показати, що в лiнiйних задачах збуре-
ного руху стратифiкованого середовища має мiсце
аналог iнтеграла Бернуллi. Для цього зручно ви-
користати рiвняння кiлькостi руху в наближеннi
Бусинеска у формi Громека-Ламба:
−ρ0(z)~V × rot~V + ~g
(
ρ−
~V 2
2g
dρ0
dz
)
+
+grad
[
p+
1
2
ρ0(z)~V
2
]
= 0 , (18)
де ~V = (U + u, w).
Для плоских задач пiсля введення функцiї течiї
ψ(x, z) лiнеаризована система рiвнянь (4) та (18)
зводиться до вигляду
∂Π
∂x
= 0 , (19)
∂Π
∂z
= −gρ+
(
1
2
U2 + Uu
)
dρ0
dz
+ Uρ0(z)∆ψ , (20)
U
∂ρ
∂x
− dρ0
dz
∂ψ
∂x
= 0,
де Π = p+
1
2
ρ0(z)[(U + u)2 +w2]. Тут вираз для П
не лiнеаризований по швидкостi; як можна показа-
ти, в залежностi вiд вибору контура iнтегрування
в виразах (16), (17) може бути необхiднiсть вико-
ристання його в загальнiй формi.
Справдi, в малому околi центра вихроджерела
справедливим є представлення
u(x, z) =
−Γ(z − z0) +Q(x− x0)
2π[(x− x0)2 + (z − z0)2]
+ ũ(x, z), (21)
w(x, z) =
Γ(x− x0) +Q(z − z0)
2π[(x− x0)2 + (z − z0)2]
+ w̃(x, z) , (22)
де першi складовi вiдповiдають розв’язку для
однорiдного безмежного середовища. В даному
околi вони можуть бути як завгодно великими
О. Г. Стеценко 69
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2006. Том 8, N 4. С. ?? – ??
(при r =
√
(x− x0)2 + (z − z0)2) → 0. Саме харак-
тер представлення (21), (22) для випадкiв, коли
контур iнтегрування в (16), (17) береться у вигля-
дi кола нескiнчено малого радiуса навколо центра
вихроджерела, i спонукає у виразах для Π(x, z) за-
лишати складовi другого порядку по u i w.
З рiвняння (4), використовуючи умову ρ → 0
при x → −∞, в результатi iнтегрування по x має-
мо:
ρ =
1
U
dρ0
dz
ψ. (23)
З iншого боку, вiдповiдно до результату роботи
[11], в лiнiйних задачах стратифiкованої рiдини
для ψ(x, z) має мiсце рiвняння руху (7) з нульо-
вою правою частиною в усiй областi, окрiм точки
– центра вихроджерела. Тодi з рiвняння (7) вихо-
дить:
∆ψ =
N2
g
∂ψ
∂z
− N2
U2
ψ. (24)
Пiдстановка (23), (24) у рiвняння (20) дає
∂Π
∂z
=
1
2
U2dρ0
dz
. (25)
Враховуючи, що Π → 1
2
U2ρ0 при x → −∞, з
(19) i (25) випливає, що в усiй областi збуреного
середовища виконується спiввiдношення
Π(x, z) =
1
2
U2ρ0(z) ,
що i є аналогом iнтеграла Бернуллi для однорiдно-
го баротропного середовища. На вiдмiну вiд класи-
чного iнтегралу Бернуллi, який має мiсце вздовж
лiнiї течiї, цей iнтеграл виконується для довiльних
x при фiксованому z. З нього випливає такий зв’я-
зок мiж збуреними тиском i швидкiстю:
p = −ρ0(z)
[
Uu+
1
2
(
u2 + w2
)
]
. (26)
На пiдставi (16), (17) та (26) мають мiсце такi
загальнi вирази для X i Z:
X = −U
∮
c
ρ0(z)(u cos θ +w sin θ)ds−
−U
∮
c
ρ(2u cos θ +w sin θ)ds−
−
∮
c
ρ0(z)
[
1
2
(u2 − w2) cos θ + uw sin θ
]
ds , (27)
Z = U
∮
c
ρ0(z)(u sin θ − w cos θ)ds−
−U
∮
c
ρw cos θds+
+
∮
c
ρ0(z)
[
1
2
(u2 − w2) sin θ − uw cos θ
]
ds. (28)
Якщо контур iнтегрування вибрати у виглядi
кола нескiнчено малого радiуса, то другi складо-
вi у (27), (28) прямують до нуля в силу того, що
там ρ→ 0, при тому, що циркуляцiя швидкостi по
цьому контуру скiнченна. Тодi складовi X та Z ви-
значаються з виразiв (27) та (28), в яких вiдсутнi
другi складовi.
3. АЛЬТЕРНАТИВНИЙ МЕТОД
ВИЗНАЧЕННЯ ХВИЛЬОВОГО ОПОРУ
Додаткову горизонтальну складову ∆Xw, об-
умовлену генерацiєю внутрiшнiх хвиль (хвильовий
опiр) можна визначити в iнший спосiб, якщо вра-
хувати, що ця величина дорiвнює величинi енер-
гiї збуреного середовища, яка породжується рухо-
мим вихроджерелом на одиницi шляху. Такий пiд-
хiд застосовано ранiше при визначеннi хвильового
опору, обумовленого рухомим джерелом маси [15].
Якщо помножити кожне з системи рiвнянь (2)–
(5) вiдповiдно на u, w,−gρ(dρ0/dz)
−1 i p i потiм до-
дати їх лiвi i правi частини, то результатом цього
буде рiвняння для енергiї збуреного руху:
U
∂E
∂x
+div(p~v) = = (ρ0∗UΓw+Qp)δ(x−x0)δ(z−z0) ,
(29)
де E =
1
2
ρ0(z)(u
2 +w2)− 1
2
gρ2(dρ0/dz)
−1 – енергiя
збуреного руху елементарного об’єму; ~v = (u, w).
Для стiйко стратифiкованого середовища dρ0/dz
скрiзь вiд’ємне, отже, E завжди додатня величи-
на.
Iнтегрування рiвняння (29) по довiльному ци-
лiндричному об’єму τ одиничної довжини, який
мiстить вихроджерело, з врахуванням вiдомої рiв-
ностi [16]
∫
τ
div(p~v)dτ =
∫
σ
pn~ndσ ,
де pn = ~np, а ~n – зовнiшня нормаль до поверхнi
σ видiленого об’єму, дає спiввiдношення
U
∫
τ
∂E
∂x
dτ +
∫
σ
pn~ndσ =
= ρ00UΓ
∫
τ
wδ(x− x0)δ(z − z0)dτ +
70 О. Г. Стеценко
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2006. Том 8, N 4. С. ?? –??
+Q
∫
τ
pδ(x− x0)δ(z − z0)dτ.
Але при стацiонарному русi
∂E
∂x
= 0. Тодi у вiд-
повiдностi до рiвняння збереження енергiї потiк
енергiї через оточуючу вихроджерело поверхню
дорiвнює витратам енергiї в одиницю часу, а ви-
трати енергiї на одиницю шляху визначають хви-
льовий опiр. Отже
∆Xw =
∫
τ
(
ρ00Γw +
Qp
U
)
δ(x− x0)δ(z − z0)dτ.
(30)
У розглянутiй двовимiрнiй задачi iнтегруван-
ня по об’єму зводиться до iнтегрування по площi
областi, яка оточує вихроджерело. Важливо вiд-
мiтити, що тиск p у рiвняннi (30) представлений у
лiнiйному наближеннi, що випливає з постановки
задачi.
4. ПРИКЛАДИ ВИЗНАЧЕННЯ
ГIДРОДИНАМIЧНИХ СИЛ
4.1. Рух вихроджерела бiля границi роз-
дiлу середовищ рiзної густини
Ця класична задача розв’язана в [4], а в робо-
тi [17] найбiльш повно дослiджена динамiка реа-
кцiї середовища на вихроджерело, що рухається
як нижче, так i вище границi роздiлу середовищ.
Для iлюстрацiї ефективностi запропонованого тут
пiдходу до розв’язання розглянутого класу задач
ця задача розглянута в якостi тестової.
Рис. 1. Схема руху вихроджерела бiля стрибка
густини
Нехай вихроджерело знаходиться вище границi
роздiлу середовищ на вiддалi h вiд нижнього шару
i на нього набiгає потiк зi швидкiстю U . Схема ру-
ху набiгаючого потоку та вибрана система коорди-
нат з початком, що знаходиться на границi роздiлу
i вiссю z, що проходить через центр вихроджерела,
наведено на рис. 1. Густина верхнього шару ρ1, а
нижнього ρ2, при цьому κ = ρ2/ρ1 ≥ 1. Якщо по-
значити збурену функцiю течiї у верхньому шарi
як ψ1, а в нижньому – як ψ2, то для їх знаходже-
ння необхiдно розв’язати задачу
∂
∂x
∆ψ1 = −Γδ
′
(x)δ(z − h) −Qδ(x)δ
′
(z − h) , (31)
∆ψ2 = 0 (32)
з граничними умовами, що випливають з спiввiд-
ношень (11), (12) при i = 1 та (14)–(15).
Розв’язок задачi знаходиться у виглядi (i = 1, 2)
iнтегрального перетворення Фур’є:
ψi =
Γ
2π
∞
∫
−∞
eikxψ̄i1dk+
Q
2π
∞
∫
−∞
eikxψ̄i2dk. (33)
Для знаходження ψ̄ij(k, z) необхiдно розв’язати
систему рiвнянь (j = 1, 2)
ψ̄
′′
11 − k2ψ̄11 = −δ(z − h) , (34)
ψ̄
′′
21 − k2ψ̄21 = 0 , (35)
ψ̄
′′
12 − k2ψ̄12 =
i
k
δ
′
(z − h) , (36)
ψ̄
′′
22 − k2ψ̄22 = 0 (37)
з граничними умовами при z = 0
ψ̄i1 = ψ̄i2 , (38)
U2ψ̄
′
i1 − gψ̄i1 = κ(U2ψ̄
′
i2 − gψ̄i2) , (39)
та на нескiнченостi
ψ̄i1 → 0 при z → +∞ , (40)
ψ̄i2 → 0 при z → −∞ . (41)
Розв’язок даної задачi дає такi представлення
для ψ̄ij
ψ̄11 = C1e
−|k|z + ψ̄1∗ ,
ψ̄1∗ =
H(h − z)
2|k|
[
e|k|(z−h) − e−|k|(z−h)
]
,
ψ̄21 = C2e
|k|z ,
ψ̄12 = iC1
|k|
k
e−|k|z + ψ̄2∗ ,
ψ̄2∗ =
iH(h − z)
2k
[
e|k|(z−h) + e−|k|(z−h)
]
,
ψ̄22 = C3e
|k|z ,
О. Г. Стеценко 71
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2006. Том 8, N 4. С. ?? – ??
де H(h− z) – одинична функцiя Хевiсайда;
C1 =
C11 +C12
2|k| [(κ+ 1)U2|k| − g(κ − 1)]
;
C11 = g(κ− 1)(e|k|h − e−|k|h) ;
C12 = −|k|U2
[
(κ+ 1)e|k|h − (κ− 1)e−|k|h
]
;
C2 = C1 −
1
2|k|
(
e|k|h − e−|k|h
)
;
C3 = i
|k|
k
C1 −
i
2k
(
e|k|h + e−|k|h
)
.
Тодi з врахуванням парностi ψ̄i1 i, вiдповiдно,
непарностi ψ̄i2 по k, для ψi(x, z) мають мiсце пред-
ставлення
1. Для ψ1(x, z) в областi z > 0
а) в областi z > h
ψ1(x, z) = −κ− 1
2π
ψ11 +
1
2π
ψ12, (42)
ψ11 = Re
∞
∫
0
(Γ − iQ)
(
U2k − g
)
e−k(z+h)+ikx
k [(κ+ 1)U2k − g(κ − 1)]
dk,
ψ12 = Re
∞
∫
0
Γ + iQ
k
e−k(z−h)+ikxdk,
б) в областi 0 ≤ z < h
ψ1(x, z) = ψ11 +
1
2π
ψ13 , (43)
ψ13 = Re
∞
∫
0
Γ − iQ
k
ek(z−h)+ikxdk.
2. Для ψ2(x, z) в областi z < 0
ψ2(x, z) = −U
2
π
Re
∞
∫
0
(Γ − iQ)ek(z−h)+ikx
[(κ+ 1)U2k − g(κ− 1)]
dk.
(44)
Розв’язок (42)–(44) не задовольняє умовi зату-
хання (14). Щоб її виконати, необхiдно визначи-
ти асимптотику розв’язку (42)–(44) при x → −∞
i вiповiдно вiдняти їх вiд цих розв’язкiв. Вiдмiче-
ну асимптотику складають незатухаючi внутрiшнi
хвилi, якi, як видно з пiдiнтегральних виразiв ψi,
вiдповiдають наявностi там простого полюса kп в
комплекснiй k-площинi, де
kп =
g(κ− 1)
U2(κ+ 1)
. (45)
Обхiд знизу полюсiв (45) при iнтегруваннi у k
-площинi в виразах (42)-(44) дає в областi x < 0
при x→ −∞:
ψ1 → −Re
[
i
κ+ 1
e−kп(z+h)(Γ − iQ)eiκпx
]
,
ψ2 → −Re
[
i
κ+ 1
e−kп(z−h)(Γ − iQ)eiκпx
]
.
Вiднiмаючи цi складовi вiд ψ1(x, z) i ψ2(x, z) для
всiх x та враховуючи наявнiсть вiдомих iнтеграль-
них представлень [18]
∞
∫
0
e−bk sin(ak)dk =
a
a2 + b2
,
∞
∫
0
e−bk cos(ak)dk =
b
a2 + b2
,
для компонент збуреної швидкостi можна отрима-
ти такий фiзичний розв’язок:
а) у верхньому шарi в єдинiй формi
u1 = u0 +
kпA1
κ+ 1
e−kп(z+h) +
+
κ− 1
2π
∞
∫
0
A2(U
2k − g)e−k(z+h)
(κ+ 1)U2k − g(κ − 1)
dk , (46)
w1 = w0 +
kпA2
κ+ 1
e−kп(z+h) −
−κ− 1
2π
∞
∫
0
A1(U
2k − g)e−k(z+h)
(κ+ 1)U2k − g(κ − 1)
dk , (47)
де
u0 =
−Γ(z − h) +Qx
2π [x2 + (z − h)2]
,
w0 =
Γx+Q(z − h)
2π [x2 + (z − h)2]
,
A1 = Γ sin(kx) −Q cos(kx) ,
A2 = Γ cos(kx) +Q sin(kx)
вiдповiдають розв’язку задачi для руху вихро-
джерела у безмежному однорiдному середовищi;
б) у нижньому шарi
u2 = − kпA1
κ + 1
ekп(z−h) +
72 О. Г. Стеценко
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2006. Том 8, N 4. С. ?? –??
+
U2
π
∞
∫
0
A2ke
k(z−h)
(κ+ 1)U2k − g(κ − 1)
dk ,
w2 = − kпA2
κ+ 1
ekп(z−h) +
+
U2
π
∞
∫
0
A1ke
k(z−h)
(κ+ 1)U2k − g(κ− 1)
dk.
Рис. 2. Залежнiсть хвильового опору вiд числа Фруда
[17]
Для обчислення складових гiдродинамiчної си-
ли, що дiє з боку середовища на вихроджерело, в
якостi контура iнтегрування навколо вихроджере-
ла в (46), (47) використовується коло нескiнчено
малого радiуса, центр якого спiвпадає з центром
вихроджерела. На такому контурi ρ → 0 i другi
складовi в (27), (28) прямують до нуля. Врахову-
ючи, що має мiсце представлення
∞
∫
0
(kU2 − g)e−2kh
(κ− 1)2k − g(κ− 1)
dk =
1
2h(κ+ 1)
−
− 2g
κ+ 1
∞
∫
0
e−2kh
(κ− 1)U2k − g(κ− 1)
dk ,
використання у (27), (28) виразiв (46), (47) при
x→ 0, z → 0 дає такi результати для X i Z:
X = −ρ1UQ+ ∆Xw , (48)
Z = −ρ1UΓ + ∆Zw , (49)
де
∆Xw =
ρ1kп
κ+ 1
(Γ2 +Q2)e−2kпh , (50)
∆Zw = −ρ1(κ− 1)
π(κ + 1)
(Γ2 +Q2)Bz1,
Bz1 =
1
4h
− g
U2(κ+ 1)
∞
∫
0
e−2kh
k − kп
dk.
Складовi ∆Xw i ∆Zw характеризують вплив
стратифiкацiї (κ 6= 1), яка обумовлює додатко-
ву поздовжню складову ∆Xw (хвильовий опiр) та
змiну пiдйомної сили на величину ∆Zw. Результа-
ти (48), (49) повнiстю спiвпадають з вiдповiдними
результатами роботи [17], в якiй ця задача ров’я-
зувалась методом [12].
Рис. 3. Залежнiсть додаткової пiд’йомної сили вiд
числа Фруда [17]
Якщо вихроджерело рухається в нижньому ша-
рi на вiддалi h вiд границi роздiлу, то аналогiчним
шляхом знаходиться розв’язок для поля швидко-
стi i вiдповiдно вираховуються гiдродинамiчнi си-
ли, в результатi чого для X i Z мають мiсце вирази
[17]:
X = −ρ2UQ+ ∆Xw , (51)
Z = −ρ2UΓ + ∆Zw , (52)
∆Xw =
ρ1κkп
κ+ 1
(Γ2 +Q2)e−2kпh , (53)
∆Zw = −ρ2κ(κ − 1)
π(κ+ 1)
(Γ2 +Q2)Bz2 ,
Bz2 =
1
4h
+
g
U2(κ+ 1)
∞
∫
0
e−2kh
k − kп
dk.
Першi складовi виразiв для X i Z вiдповiдають
розв’язку при русi вихроджерела у безмежному
однорiдному середовищi. Величини ∆Xw i ∆Zw
характеризуються безрозмiрними параметрами κ
О. Г. Стеценко 73
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2006. Том 8, N 4. С. ?? – ??
i числом Фруда Fr = U/
√
gh. Для випадку руху
вихроджерела нижче лiнiї роздiлу середовищ на
рис. 2 i 3 наведенi залежностi величин
∆Cx =
∆Xwh
ρ2(Γ2 +Q2)
; ∆Cz =
∆Zwh
ρ2(Γ2 +Q2)
вiд Fr для рiзних значень κ [17]. На них кривi
1 – 5 вiдповiдають наступним значенням κ:
∞, 5, 2.5, 5/3, 1.25. Як видно, зi зростанням
величини κ як ∆Cx, так i ∆Cz помiтно змiнюю-
ться. При цьому максимуми хвильового опору i
змiни пiдйомної сили змiщуються в бiк менших
значень Fr. Отже, змiна величини κ може iстотно
вплинути на гiдродинамiчнi характеристики
вихроджерела.
4.2. Рух вихроджерела в безмежному лi-
нiйно стратифiкованому середовищi
Розглядається випадок спрощеного варiанту на-
ближення Бусинеска, коли в рiвняннях (2), (3)
змiннiсть ρ0(z) враховується лише в членi з плаву-
чiстю. В цьому випадку для ψ(x, z) використову-
ється рiвняння (7). У випадку лiнiйного профiлю
стратифiкацiї
ρ0(z) = ρ00(1 − βz)
частота Брента-Вяйсяля N2 = βg = const. Позна-
чаючи α = N/U , з (8) має мiсце рiвняння
∂
∂x
∆ψ + α2 ∂ψ
∂x
= −Γδ
′
(x− x0)δ(z − z0) −
−Qδ(x− x0)δ
′
(z − z0), (54)
яке розв’язується з граничними умовами (14),
(15). Його розв’язок шукається у виглядi Фур’є-
представлення
ψ(x.z) =
1
4π2
∞
∫
−∞
eikxdk1
∞
∫
−∞
eikzψ̄(k1, k2)dk2. (55)
З (54), (55) для функцiї-образу ψ̄(k1, k2) отри-
мується вираз
ψ̄ =
k1Γ + k2Q
k1(k
2
1 + k2
2 − α2)
= ψ̄1 + ψ̄2 , (56)
де перша складова вiдповiдає задачi про рух ви-
хора, а друга – задачi про рух джерела.
В силу лiнiйностi задачi ψ(x, z) можна предста-
вити у виглядi суми
ψ(x.z) = ψ
Γ
(x, z) + ψ
Q
(x, z) .
Складова ψ
Γ
(x, z) вiдповiдає збуренням вiд руху
точкового вихора. Ров’язок для неї вiдомий [10, 11]
ψ
Γ
(x, z) =
Γ
2π
∞
∫
α
cos(kz)√
k2 − α2
e−|x|
√
k2−α2
dk −
−ΓH(x)
π
α
∫
0
sin(x
√
α2 − k2)√
α2 − k2
cos(kz)dk , (57)
де H(x) – одинична функцiя Хевiсайда.
Подiбно до розв’язку для ψ
Γ
(x, z) в [11] знаходи-
ться розв’язок для ψ
Q
(x, z). Пiдiнтегральна функ-
цiя ψ̄
Q
має вигляд
ψ̄
Q
=
k2Q
k1(k2
1 + k2
2 − α2)
з простими полюсами в комплекснiй k2-площинi
k21 =
√
α2 − k2
1 , k2 = −
√
α2 − k2
1 ,
причому при |k1| ≤ α цi полюси розташованi на
дiйснiй осi k2-площини, а при |k1| ≥ α – вiдповiдно
на уявнiй осi.
Застосування апарату теорiї лишкiв стосовно
ψ̄
Q
, яка задовольняє умовам леми Жордана, при-
водить до такого розв’язку для ψ
Q
(x, z), який за-
довольняє необхiдним граничним умовам:
ψ
Q
(x, z) = −QS(z)
2π
∞
∫
α
sin(kx)
k
e−|z|
√
k2−α2
dk −
−QH(x)S(z)
π
α
∫
0
sin(kx) cos(z
√
α2 − k2)
k
dk , (58)
де S(z) – знакова функцiя z.
На пiдставi розв’язкiв (57), (58) поле швидкостi,
викликане рухом вихроджерела, описується насту-
пними виразами:
u(x, z) = u
Γ
+ u
Q
, (59)
u
Γ
=
ΓH(x)
π
α
∫
0
k sin(x
√
α2 − k2)√
α2 − k2
sin(kz)dk −
− Γ
2π
∞
∫
α
k sin(kz)√
k2 − α2
e−|x|
√
k2−α2
dk ,
u
Q
=
Q
π
[H(x)S(z)uQ1 + uQ2] ,
74 О. Г. Стеценко
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2006. Том 8, N 4. С. ?? –??
uQ1 =
α
∫
0
√
α2 − k2 sin(kx) sin(z
√
α2 − k2)
k
dk ,
uQ2 =
1
2
∞
∫
α
√
k2 − α2 sin(kx)
k
e−|z|
√
k2−α2
dk ,
w(x, z) = w
Γ
+w
Q
, (60)
w
Γ
=
ΓH(x)
π
α
∫
0
cos(x
√
α2 − k2) cos(kz)dk +
+
ΓS(x)
2π
∞
∫
α
cos(kz)e−|x|
√
k2−α2
dk ,
w
Q
=
QH(x)S(z)
π
α
∫
0
cos(kx) cos(z
√
α2 − k2)dk +
+
QS(xz)
2π
∞
∫
α
cos(kx)e−|z|
√
k2−α2
dk.
Для визначення складових гiдродинамiчної си-
ли X i Z, що дiють на вихроджерело, як i в по-
передньому випадку, в якостi контура iнтегруван-
ня вибирається коло нескiнчено малого радiуса з
центром, що спiвпадає з центром вихроджерела. В
околi цього центра (при x, z → 0) можна отримати
оцiнки iнтегралiв у виразах (59), (60).
Якщо в iнтегралi
J1 =
∞
∫
α
k sin(kz)√
k2 − α2
e−|x|
√
k2−α2
dk
зробити замiну змiнної k1 =
√
k2 − α2 , то вiн на-
бирає вигляду
J1 =
∞
∫
α
sin(z
√
k2
1 + α2)e−|x|k1dk1.
Якщо ввести велике значення k∗ � α, то
J1 =
k∗
∫
0
sin(z
√
k2
1 + α2)e−|x|k1dk1 +
+
∞
∫
0
sin(k1z)e
−|x|k1dk1 −
k∗
∫
0
sin(k1z)e
−|x|k1dk1.
При x, z → 0 (при цьому x 6= 0, z 6= 0) перша i
третя складовi в правiй частинi виразу J1 як зав-
годно малi, а друга складова визначається в [18].
Вiдповiдно до цього в околi центра вихроджерела
з точнiстю до нескiнчено малих:
J1 =
z
x2 + z2
.
Аналогiчно можна показати, що в малому околi
центра вихроджерела:
J2 =
∞
∫
α
√
k2 − α2 sin(kx)
k
e−|z|
√
k2−α2
dk =
x
x2 + z2
,
J3 =
∞
∫
α
cos(kz)e−|x|
√
k2−α2
dk =
x
x2 + z2
− α ,
J4 =
∞
∫
α
cos(kx)e−|z|
√
k2−α2
dk =
z
x2 + z2
− α ,
J5 =
∞
∫
α
cos(kz) cos(x
√
α2 − k2)dk = α ,
J6 =
∞
∫
α
cos(kx) cos(z
√
α2 − k2)dk = α.
Iншi складовi у виразах (59), (60) є нескiнчено ма-
лими. В результатi для u(x, z) i w(x, z) в околi цен-
тра вихроджерела мають мiсце представлення
u(x, z) =
−Γz +Qx
2π(x2 + z2)
, (61)
w(x, z) =
Γx+Qz
2π(x2 + z2)
+
α
2π
[Γ +QS(xz)]. (62)
Пiдстановка u i w з виразiв (60), (61) у (27), (28)
для складових X i Z дає наступний результат:
X = −ρ00UQ+ ∆Xw , ∆Xw =
1
2π
ρ00Γ
2α , (63)
Z = −ρ00UΓ + ∆Zw, ∆Zw =
ρ00ΓQα
4π
(
3
2
− 1
π
)
. (64)
Як видно з (63), (64), для лiнiйного профiлю гу-
стини хвильовий опiр визначається лише iнтенсив-
нiстю вихора, а додаткова пiдйомна сила має мiсце
лише при одночаснiй вiдмiнностi вiд нуля Г i Q.
В реальних водних i повiтряних середовищах ве-
личини ∆Xw i ∆Zw дають незначний вклад у вели-
чиниX i Z вiдповiдно, оскiльки величина N стано-
вить величину порядка 10−2−10−5 i при U порядка
метрiв у секунду величина α ∼ 10−2 − 10−5 м−1.
Так, якщо покласти для морської води ρ00 ≈
≈1003 кг/м3, N = 10−2 с−1, то для Q = Γ =
=1 м2/c, U = 1 м/с величина ∆Xw ≈ 1.59 Н/м,
О. Г. Стеценко 75
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2006. Том 8, N 4. С. ?? – ??
∆Zw ≈ 0.94 Н/м, а X = –1003 Н/м + 1.59 Н/м =
= –1001.41 Н/м i Z = –1003 Н/м + 0.94 Н/м =
= –1002.06 Н/м. Однак, в середовищах з сильною
стратифiкацiєю вiдносний вклад величин ∆Xw i
∆Zw може помiтно зрости, особливо для процесiв
з великими значеннями Г i Q i малими значеннями
швидкостi руху.
Неважко переконатись, що використання
розв’язкiв для w(x, t) i p(x, z) = ρ00Uu(x, z) в
рiвняннi (30) дозволяє одержати вирази для ∆X,
якi спiвпадають з (50) i (63). Справдi, з (30)
випливає, що
∆Xw = ρ00 [Γw(x0, z0) −Qu(x0, z0)] (65)
для функцiй u(x, z) i w(x, z), якi не мають осо-
бливостi в точцi x0, z0. Однак для точкового ви-
хроджерела ця точка є особливою, оскiльки тут
компоненти швидкостi мають представлення (21),
(22). Цю особливiсть, однак, можна усунути. В по-
лярнiй системi координат r, θ такiй, що x − x0 =
= r cos θ, z − z0 = r sin θ, при використаннi рiвня-
ння (30) з перерiзом τ у виглядi круга з радiусом
r, має мiсце представлення (r∗ як завгодно мале,
але > 0):
J10 =
∫
τ
(x − x0)δ(x − x0)δ(z − z0)
(x− x0)2 + (z − z0)2
dxdz =
=
(
1
r∗
− 1
r
)
2π
∫
0
cos θδ(cos θ)δ(sin θ)dθ , (66)
J20 =
∫
τ
(z − z0)δ(x − x0)δ(z − z0)
(x− x0)2 + (z − z0)2
dxdz =
=
(
1
r∗
− 1
r
)
2π
∫
0
sin θδ(cos θ)δ(sin θ)dθ. (67)
Але, в силу вiдомих спiввiдношень для дельта-
функцiй [19]
δ(sin θ) = δ(θ) + δ(θ − π) ,
δ(cos θ) = δ
(
θ − π
2
)
+ δ
(
θ − 3π
2
)
випливає, що при r → 0 (але r > r∗)
J10 = 0 , J20 = 0.
Отже, для визначення ∆Xw при русi вихродже-
рела можна використовувати вираз (65) з враху-
ванням того, що вклад вiд J10 i J20 нульовий. Пiд-
становка розв’язкiв для u1(x, z) i w1(x, z) з (46),
(47) або u(x, z) i w(x, z) з (61), (62) у (65) з вра-
хуванням (66), (67) дає результати для ∆Xw, якi
спiвпадають, вiдповiдно, з розв’язками (50) i (63).
ЗАКЛЮЧЕННЯ
Результати роботи [11] дозволяють ставити за-
дачi про збурене гiдродинамiчне поле, виклика-
не стацiонарним рухом плоских точкових вихорiв
у стiйко стратифiкованому середовищi з довiль-
ним розподiлом стратифiкацiї. Виконанi в данiй
роботi дослiдження узагальнюють цi результати
на випадок руху вихроджерела, що представляє
прямий iнтерес при вивченнi руху плоских профi-
лiв (крил). При цьому розглянута одна з голов-
них проблем вивчення такого руху – визначення
гiдродинамiчних сил, що дiють на такi тiла. Як
випливає з виконаних дослiджень, у лiнiйному на-
ближеннi для стацiонарного руху стратифiковано-
го середовища має мiсце аналог iнтеграла Бернул-
лi, який явно зв’язує величину збуреного тиску зi
збуреною швидкiстю тим самим виразом, що i для
однорiдного середовища з замiною в ньому сталої
густини на локальне значення густини, вiдповiд-
не незбуреному профiлю. Цей результат дозволяє
виразити величину гiдродинамiчної сили, що дiє
на вихроджерело, як i в однорiднiй рiдинi, через
збурену швидкiсть середовища.
Розроблено ефективний альтернативний метод
визначення додаткової горизонтальної складової
гiдродинамiчного опору (хвильового опору, об-
умовленого стратифiкацiєю), який простiший вiд
методу, що використовує iнтегрування вздовж
контуру навколо вихроджерела. Ця складова є
iнтегральною характеристикою енергетики збуре-
них внутрiшнiх хвиль за рухомим вихроджерелом.
Виконанi дослiдження дозволяють розглядати
задачi визначення впливу стратифiкацiї рiдкого
середовища на гiдродинамiчнi характеристики ру-
хомих плоских тiл. Наведенi приклади показують,
що цей вплив, в залежностi вiд характеру страти-
фiкацiї i режиму руху, може бути iстотним.
1. Степанянц Ю.А., Стурова И.В., Теодорович Э.
В. Линейная теория генерации поверхностных
и внутренних волн // Итоги науки и техники,
МЖГ, М.: ВИНИТИ.– 1987.– 21.– С. 92-179.
2. Басин М.А., Шадрин.В.П. Гидро-аэродинамика
крыла вблизи границы раздела сред.– Л.: Судо-
строение, 1980.– 304 с.
3. Кочин Н.Е. О волновом сопротивлении и подъем-
ной силе погруженного в жидкость тела: Собр.
соч..– М.– Л.: Из-во АН СССР, 1949.– T.2.– 105-
182 с.
4. Кочин Н.Е. О влиянии рельефа земли на волны на
поверхности раздела двух масс жидкости разной
плотности (статья 2).- Собр. соч..– М.: Из-во АН
СССР, 1949.– T. 1.– 467-477 с.
5. Тихонов А.Н. Плоская задача о движении крыла
под свободной поверхностью тяжелой жидкости
76 О. Г. Стеценко
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2006. Том 8, N 4. С. ?? –??
конечной глубины // Изв. АН СССР, ОТН.– 1940.–
№4.– С. 57-78.
6. Хаскинд М.Д. О поступательном движении тел
под свободной поверхностью тяжелой жидкости
конечной глубины // ПММ.– 1945.– 9, Bып.1.–
С. 67-78.
7. Войценя В.С. Плоская задача о поступательном
движении тела под поверхностью раздела двух
жидкостей // Тр.Новочеркасского политехн. ин-
та.– 1959.– N 104.– С. 95-111.
8. Войценя В.С. О поступательном движении те-
ла под поверхностью раздела двух жидкостей //
Изв.вузов. Математика.– 1963.– N 2.– С. 20-30.
9. Горлов С.И. Решение линейных задач о равно-
мерном движении вихреисточника в многослойной
жидкости // Изв. АН СССР, МЖГ.– 1995.– N 31.–
С. 127-132.
10. Janowitz G.S. Line singularities in unbounded strati-
fied fluid // J.Fluid Mech.– 1974.– 66, 3.– P. 455-464.
11. Стеценко О.Г. Лiнiйна задача про стацiонарний
рух вихора у стратифiкованому середовищi //
ПГМ.– 2004.– 6(78), N 1.– С. 62-68.
12. Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая
гидромеханика.– М.: Физматгиз, 1963, т.1.– 583 с.
13. Стеценко О.Г. Гiдродинамiчна сила, що дiє на пло-
ский вихор при його стацiонарному русi у страти-
фiкованому середовищi // ДНАН України.– 2005.–
N 18.– С. 56-62.
14. Повх И.Л. Техническая гидромеханика.– Л.: Ма-
шиностроение, 1969.– 524 с.
15. Городцов В.А., Теодорович Э.В. Плоская задача
для внутренних волн, порождаемых движущим-
ся сингулярным источником // МЖГ.– 1981.– 2.–
С. 77-83.
16. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа.– М.:
Наука, ГРФМЛ, 1979.– 736 с.
17. Горлов С.И. Линейная задача о движении вихреи-
сточника вблизи границы раздела двух сред //
ПМТФ.– 1997.– 38, N 2.– С. 68-72.
18. Прудников А.П., Брачков Ю.А., Маричев О.М.
Интегралы и ряды.– М.: Наука, ГРФМЛ, 1981.–
798 с.
19. Арсенин В.Я. Математическая физика. Основные
уравнения и специальные функции.– М.: Наука,
ГРФМЛ, 1966.– 367 с.
О. Г. Стеценко 77
|