Згин і стійкість склеєного криволінійного стрижня з початковими неправильностями
Отримано диференціальне рівняння згину криволінійного склеєного стрижня з початковими прогинами його елементів. Клейові шви працюють на зсув. Досліджено плоску форму стійкості, колапс і випинання складеного стрижня та знайдено формули для визначення критичних значень параметрів його елементів. Ро...
Gespeichert in:
| Datum: | 2005 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України
2005
|
| Schriftenreihe: | Проблемы прочности |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/47791 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Згин і стійкість склеєного криволінійного стрижня з початковими неправильностями / І.С. Зарівняк // Проблемы прочности. — 2005. — № 6. — С. 114-123. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-47791 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-477912013-08-01T13:52:58Z Згин і стійкість склеєного криволінійного стрижня з початковими неправильностями Зарівняк, І.С. Научно-технический раздел Отримано диференціальне рівняння згину криволінійного склеєного стрижня з початковими прогинами його елементів. Клейові шви працюють на зсув. Досліджено плоску форму стійкості, колапс і випинання складеного стрижня та знайдено формули для визначення критичних значень параметрів його елементів. Розглянуто деякі окремі випадки і наведено приклади. Получено дифференциальное уравнение изгиба криволинейного склеенного стержня с начальными прогибами его элементов. Клеевые швы работают на сдвиг. Исследовано плоскую форму устойчивости, прощелкивание и выпучивание составного стержня и получены формулы для определения критических значений параметров его элементов. Рассмотрены некоторые частные случаи и приведены примеры. We derived differential equation for bending of curvilinear adhesive-bonded rod with initial assemblage- induced displacements of its components. It is assumed adhesive-bonded seams work in shear. We discuss the planar form of stability, collapse and buckling of multipart rod and derive formulas for the assessment of critical values of its components’ parameters. 2005 Article Згин і стійкість склеєного криволінійного стрижня з початковими неправильностями / І.С. Зарівняк // Проблемы прочности. — 2005. — № 6. — С. 114-123. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. 0556-171X http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/47791 624.023 uk Проблемы прочности Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Научно-технический раздел Научно-технический раздел |
| spellingShingle |
Научно-технический раздел Научно-технический раздел Зарівняк, І.С. Згин і стійкість склеєного криволінійного стрижня з початковими неправильностями Проблемы прочности |
| description |
Отримано диференціальне рівняння згину криволінійного склеєного стрижня з початковими
прогинами його елементів. Клейові шви працюють на зсув. Досліджено плоску форму
стійкості, колапс і випинання складеного стрижня та знайдено формули для визначення
критичних значень параметрів його елементів. Розглянуто деякі окремі випадки і наведено
приклади. |
| format |
Article |
| author |
Зарівняк, І.С. |
| author_facet |
Зарівняк, І.С. |
| author_sort |
Зарівняк, І.С. |
| title |
Згин і стійкість склеєного криволінійного стрижня з початковими неправильностями |
| title_short |
Згин і стійкість склеєного криволінійного стрижня з початковими неправильностями |
| title_full |
Згин і стійкість склеєного криволінійного стрижня з початковими неправильностями |
| title_fullStr |
Згин і стійкість склеєного криволінійного стрижня з початковими неправильностями |
| title_full_unstemmed |
Згин і стійкість склеєного криволінійного стрижня з початковими неправильностями |
| title_sort |
згин і стійкість склеєного криволінійного стрижня з початковими неправильностями |
| publisher |
Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України |
| publishDate |
2005 |
| topic_facet |
Научно-технический раздел |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/47791 |
| citation_txt |
Згин і стійкість склеєного криволінійного стрижня з початковими
неправильностями / І.С. Зарівняк // Проблемы прочности. — 2005. — № 6. — С. 114-123. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. |
| series |
Проблемы прочности |
| work_keys_str_mv |
AT zarívnâkís zginístíjkístʹskleênogokrivolíníjnogostrižnâzpočatkoviminepravilʹnostâmi |
| first_indexed |
2025-07-04T07:49:18Z |
| last_indexed |
2025-07-04T07:49:18Z |
| _version_ |
1836701833183100928 |
| fulltext |
УДК 624.023
Згин і стійкість склеєного криволінійного стрижня з початковими
неправильностями
І. С. Зарівняк
Український державний університет водного господарства і природокористування,
Рівне, Україна
Отримано диференціальне рівняння згину криволінійного склеєного стрижня з початковими
прогинами його елементів. Клейові шви працюють на зсув. Досліджено плоску форму
стійкості, колапс і випинання складеного стрижня та знайдено формули для визначення
критичних значень параметрів його елементів. Розглянуто деякі окремі випадки і наведено
приклади.
К лю чові слова : криволінійний стрижень, клейові шви, плоска форма згину,
початкові неправильності (прогини), колапс, випинання.
Стійкість прямолінійних складених стрижнів із детермінованими і ви
падковими початковими неправильностями (прогини) розлядалася в роботах
[1-4], криволінійних з абсолютно жорсткими зв’язками між елементами - в
[5]. Мета даної роботи - дослідження стійкості плоскої форми згину і
колапса склеєного шарового криволінійного стрижня під впливом почат
кових прогинів його елементів.
Припустимо, що склеєний криволінійний стрижень радіуса кривизни Я
нейтральної лінії до його пружного збирання мав початкові прогини w0 (я)
(у = 1, . . . , п + 1) окремих елементів (шарів), де п - кількість клейових швів.
При розгляді роботи елементів стрижня приймаються всі припущення теорії
згину монолітних криволінійних стрижнів [6]. Окрім того, товщини елемен
тів є величини вищого порядку малості в порівнянні з їх радіусами кривизни
Я у , жорсткостями клейових швів при згині нехтуємо. Отже, можна вважати,
що Я у = Я. По аналогії з роботою [2] згинальний момент зовнішніх сил
представимо у вигляді
де М і - момент внутрішніх сил при згині монолітного стрижня із загаль
ною нейтральною віссю; ту - момент в у-у елементі, зумовлений його
додатковим прогином за рахунок зсуву в клейових швах.
Аналогічно прогин стрижня представимо у вигляді суми двох прогинів:
де Wl - прогин стрижня із загальною нейтральною віссю при його згині під
дією моменту М і, W2 - додатковий прогин від згину стрижня під дією
п+1
(1)
= Wl + W2 , (2)
© І. С. ЗАРІВНЯК, 2005
114 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2005, № 6
Згин і стійкість склеєного криволінійного стержня
Відносне подовження волокна, яке знаходиться на відстані 2 від осі у-го
елемента, представимо у вигляді
є j = є ? + є ?■ (3)
Тут
,(і) _ є - Z jX - ZX
(2) dvj W2
є 3 = —;------------- z
3 ds R
( dv з d 2i
■ +
Rds ds2 (4)
dv w1
де є = — — — - відносне подовження волокна нейтральної лінії складеного
ds R
стрижня; x = —Т +
dv d wl
стрижня; x
Rds ds 2
dv + d 2(wl - w0 )
зміна кривизни нейтральної лінії монолітного
зміна кривизни j-ro елемента; v , v j
‘3 Rds ds2
дотичні зміщення точок нейтральної лінії складеного стрижня і кожного
елемента окремо; Zj - відстань від нейтральної лінії стрижня до осі у-го
елемента.
Припустимо, що поздовжні деформації невеликі і ними можна нехту-
dv Wi dv j W2
вати [3]. Тоді —— = — ; — — = ---- , а з (4) маємо
ds R ds R
є (1) = - Z .є j z з
wi d wi
R 2 + ~dSr
1
— z
wi d ( Wl - Wj )
R 2 + ds2
(5)
(2)
є 3 = - Z
2W2 ^ d W2
R 2 ds 2 (6)
Згідно з (6) згинальний момент m. визначається за формулою
тз = - D 3
1 2 W2 ^ d W2
\ R 2 ds 2 (7)
Згинальний момент M i з урахуванням початкових прогинів запишемо
так:
n+l
U i = £ ( M j + Pj Zj ).
3=1
(8)
Тут
U3 =ff E3 є j d̂ = -Di Wl
R 2
+
?2(Wi - Wj )
ds 2 (9)
ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2005, № 6 115
І. С. Зарівняк
р і = Я Е і с ? ̂ = - * 1*1
і
\
2 ̂Wl d Wl
Я 2 + 1 7 " (10)
де В у = Е у і у ; А у = Б ]^ у; Е у , ^ у, I у - відповідно модуль пружності,
площа поперечного перерізу і власний момент інерції у-го елемента.
З урахуванням (9), (10) залежність (8) набуде наступного вигляду:
М 1 = —В
І г2 \ п+1Wl + d Wl
- 2 М 0 •
/ 1=і
(11)
п+1
де В = 2 (В і + Аі * 1 ) - монолітна жорсткість стрижня при його згині у
1=1
2 0 d і
вертикальній площині; М і = —В у
1 ds2
- фіктивний згинальний момент,
що зумовлений початковим прогином у-го елемента.
Тепер рівняння (1) з урахуванням (7), (11) запишемо так:
В
і 2 Wl d Wl
Я 1 +
п+1 і ,2 ''
+ 2 в ] ̂ ^
, 2 у \ Я 2 dS2 ,
п+1
= м — 2 м 0 .
1=1
(12)
Установимо зв’язок між прогинами Wl і '̂ 2 - Для цього кут зсуву в у-у
клейовому шарі (у = 1,..., п) виразимо через переміщення иу^ у-го і и
(у + 1)-го елементів стрижня на поверхнях, що прилягають до клейового
шару:
У і =
(н) (в)
и 1 — и1+1 (13)
де ̂і - товщина 1-го клейового шару.
Диференціюючи (13) по з, отримаємо
ds
, (н) _ с (в)
£ 1+1
і
' з
\
W2 d 2 ̂ 2 \
к 2 + ~ Т ЇГ
де Гі - відстань між осями 1-го і (і + 1)-го елементів.
Приймаючи до уваги закон Гука у у = q l /Є у , де ql - зусилля зсуву в
1 -му клейовому шарі; Є у - модуль зсуву у-го клейового шару, отримаємо
^ 1
ds
Г1Є 1
\
W2 d 2 ̂ 2 \
Я 2 + И ї г
(14)
116 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2005, № 6
Згин і стійкість склеєного криволінійного стержня ...
Погонні зусилля зсуву в клейових швах зв’язані з нормальними напру
женнями а у в центрах ваги елементів залежностями
йо і
9 = П і ^ Г ;
йо і
йя
йо і
йо 2
йя
9п = Я 1~ Т + Я
йо 2 йо п
■ + А + Я , п
йя йя
(15)
З урахуванням (5) формули (15) запишемо наступним чином:
і ^2
Г1
W1 й W
1 +
Я 2 йя 2 йя4
О і
41
W2 й W2
Я 2 + Я * 32
Я Е 21 + Я 2 Е 2 2 2 + ... + Я пЕпг, і 2 Wl + й Wl
Я 2 йя 2 йя 4
О ,
4 п
і
(16)
W2 й W2
Я 2 +
Підсумуємо ліві і праві частини рівнянь (16) і розділимо результат
додавання на кількість швів. У результаті отримаємо
і 2
Бг
й w 1
Я 2 йя 2
+
г4 \ й Wl
йя
= - о .
2W2 й W 2
Я 2 + " * г
(17)
де
1 і о
о к = —\ + + ... +
п \4 1 42 п
1 і Б 1Е 1 г 1
Б к = - \ - ^ ^ + ... +
Е1Е 121 + Е2Е 2 2 2 + - + Е пЕ пг п
Замінимо в рівнянні (12) н’1 і ^ на ^ з урахуванням (2) і (17). У
результаті отримаємо диференціальне рівняння зігнутої осі криволінійного
склеєного складеного стрижня з початковими прогинами:
п+1
7=1
й 2 W
Я 2 йя 2
+
й w
йя
п+1
2 = Р
7=1
( w й w
п \ — т +Я2 йя
м -
п+1
2
7=1
м 0 . (18)
п
гп
ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2005, № 6 117
І. С. Зарівняк
ї 4 0А а w j О,0 гч ] о к ■ ■ ■де q j = О 7 -----р = ----------- ; q - інтенсивність нормально розподіленого
йя В к
навантаження.
Якщо Я = «>, то з (18) випливає рівняння згину прямолінійного скла
деного стрижня [2].
Приклад 1. Знайдемо прогин шарнірно закріпленого криволінійного
складеного стрижня, що зумовлений початковим прогином 7-го елемента:
0 2жя
™7 = І ] я п ~ (0 - 5 - І),
де І - довжина стрижня; / ] - амплітуда початкового прогину.
Розв’язуючи рівняння (18) за відсутності зовнішніх зусиль і задоволь
няючи граничні умови
й 2 w
= ----2- = 0 при 5 = 0, 5 = І ,
йя
знайдемо
4л 2 Я 2 (4л 2 + В І2 )£ . . / . . 2лз
™ = -------------------Т------------------------ \ 8Іп ~ . (19)
(4 л 2Я 2 - І2)
н+1
4л 2 ^ V ] + Р І2 V
\ ] =1
І
При цьому дотичні переміщення на кінцях стрижня відсутні, оскільки
І
згідно з [6] маємо ф кйя = 0. У випадку прямолінійного стрижня (Я = оо)
0
розв’язок (19) перепишемо наступним чином:
(4* 2 + Р І2) ; , 2л* (20)
к = ------~ 1 ---------------- 8Ш~ ' (20)
4л 2 ^ В і + Р І2 В
]=1
Якщо зв’язки на зсув не працюють (Р = о), то з (19) і (20) відповідно
отримаємо
4л 2Я 20 ]/ і 2Л5 В і 2ЛЯ
к = ----- :—:----- :---- э т ——; к = ----- Т; яп ——.
(4 л 2Я 2 - І2)В І І
Дослідимо стійкість плоскої форми згину криволінійного склеєного
складеного стрижня під дією початкових прогинів к 0 = к ] / ] (я) на основі
статичного критерію, де к ] - параметр; / ] (я) - відома функція. Для цього
використаємо рівняння рівноваги [5]:
118 0556-171Х. Проблемы прочности, 2005, N 6
Згин і стійкість склеєного криволінійного стержня
в т
к ж-
в
\
( м ‘ 2
\Я 2 ds 2
. . 9 ^ du
ds Rds
(21)
де В т , С - жорсткість при згині стрижня в горизонтальній площині і
жорсткість при крученні; в - кут повороту перерізу стрижня; и - прогин
стрижня в площині найменшої жорсткості.
Виключимо и з першого і третього рівнянь (21), і для кута в отри
маємо залежність
ВтС
d 2 и о 1 о С
м і - Ц - Т , " і - м і - 1 я і > = 0. (22)
Апроксимуючи в у вигляді в = аБ (х), де а - деякий невизначений
параметр; Б (х) - змінна частина прогину, на основі методу Бубнова-Гальор-
кіна запишемо
/ в . с
ds
в т
к
Fds = 0. (23)
Представимо М ®, д® через початкові прогини, і для визначення кри
тичного параметра к ^ отримаємо рівняння
де
і ( а 2
‘ з 2 1 ‘ з 4
/ і 1 ‘ У
Б 2 ‘ з;
]
о у ‘ з 2 1 ‘ з 4 !
Б 2 ‘ з;
сі = В т С
( Г ‘ 2 Б 1 Л 2
1 І Б — г- ‘ з Л---- т- І Б ‘ з
( о ‘ з 2 Т 2 *0
о
о
ЙХ# 0556-171Х. Проблемы прочности, 2005, № 6 119
I. C. Зарівняк
Приклад 2. Розглянемо стійкість шарнірно закріпленого криволінійного
А ЛЯ
складеного стрижня з початковим прогином у-го елемента '№ ,■ = к ,• зіп ——.
Із рівняння (23) маємо
k jkp = 2 f i l
4l(B m + C ) ± д /іб /2 (B m + C )2 + 2 7 л 2B mC ( л 2R 2 - l 2)
9 л 3 R D j (f i l2 + л 2 )
l
. (24)
Для прямолінійного стрижня (Я = ю) з (24) отримаємо
2 /3/ ^ З Б т Є
k jkp ± 3 л D j (f i l2 + л 2)
(25)
Якщо зв’язки на зсув не працюють (3 = те), то
2 Ц ЗВтС
При l = л R з (24) випливає
при fi = <x -
= 16fiR J ( Bm + C )
jkp 9 лD J■ (fiR 2 + 1)
16R( Bm + C )
k jkp 9лD j
При дослідженні форми випинання поступаємо аналогічно роботі [7].
Для цього від рівняння (18) перейдемо до рівняння
n+1
2 D jl
j=1
a w a w
R 2 ds ds 4
= fi D ll
( ,2 w d w
\ R 2 + ds2
+ Sw
або
n+1 ,4 (n+1d w
j =1 ds
+ 2 D j - f i R 2 D
\ j =1
d 2 w
- f i ( D + SR 2 )w = 0. (26)
У результаті розв’язку рівняння (26) отримаємо
w = C 1Є + C 2 e ^lS + C 3 sin Я 2 s + C 4 cos Я 2 s,
120 ISSN 0556-171X. Проблеми прочности, 2005, № 6
Згин і стійкість склеєного криволінійного стержня
ДЄ
^1,2 = (27)
2R 2 ^ D j
j =1
Задовольняючи умови на лівому кінці (s = 0) арки, необхідно, щоб
C 1 = C 2 = C з = 0, на правому кінці (s = І) - щоб sin X 2 s = 0. Для нероз-
. . . „ . . 2 л :
тягнутої осі арки наименшии корінь цього рівняння X2 = — .
l
Враховуючи умову рівноваги арки S — = f q0ds і залежність (27),
R
знай
демо
16л 4 R 3 + 4л 21z
k (1) = k jkp
n+1
PDR 2 - J Dj
j =1 )
PD l4
P R 313 D j
d 3f , (l) d f j (0)
ds - ds 3
0 • л sДля початкового прогину Wj = k j sm_^ запишемо
k (1) = kjkp
n+1
PDR 2 - J D j
j =1 )
- PD lA
2PR 3л 3 D j
Якщо зв’язки на зсув не працюють ф = а>), то з останніх залежностей
отримаємо формулу
(і) = (4л 2Я 2 - ї 2) ї2В
і к 2л 3 Я 3 В ,■ '
Тепер дослідимо іншу форму втрати стійкості - колапс пологої арки.
Припустимо, що тільки один у-й елемент арки до її пружного збирання мав
вищезазначений початковий прогин у . Згин осі складеної арки описується
диференціальним рівнянням (18), де
i j = k j D j y sinT ; M j = - k j D j Y sinT •
l
0
ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2005, № 6 121
І. С. Зарівняк
У результаті розв’язку цього рівняння отримаємо
л 2 R 2(л 2 + ß l 2 ) k jDj j ns
(л 2R 2 - l 2 )
n+1
sm-
ß l 2 D + л 2 2 D j
j =1 У
Для нерухомих шарнірів у випадку виникнення розпору Н рівняння
для осі арки буде
w(1) =
л 2R 2 (л 2 + ß l 2 ) k , D j 1 ns
sm-
(лR 2 - l 2) ß l 2 D + л 2 2 D j
j =1 )
Аналогічно, як і в роботі [3], визначимо
l
(л 2 R — l 2)
D
n+1
ß l 2 D + л 2 2 D ]
j =1 у
k j 2(1 ° ° \ B (a — 2) л ^ ̂ 2 + ß l 2 )D y
звідки при а = 3 отримаємо
4( л 2 R 2 — l 2)
k (2) = —■ k jkp
n+1
ß l 2 D + л 2 2 D j
j =1 У
л 2 R 2( л 2 + ß l 2)Dj
(28)
Якщо зв’язки на зсув не працюють (З = ю), то з (28) випливає формула
(2) = _ 4(Л 2Я 2 - 12)В [В
^ „ 2 „ 2л А R LD j B
Отже, отримані залежності можуть використовуватися для визначення
критичних значень параметрів конструктивних початкових прогинів еле
ментів криволінійного складеного стрижня, що виготовляється методом пруж
ного збирання, а також для оцінки допустимих технологічних неправиль
ностей цих елементів.
Р е з ю м е
Получено дифференциальное уравнение изгиба криволинейного склеенного
стержня с начальными прогибами его элементов. Клеевые швы работают на
122 ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2005, № 6
l
Згин і стійкість склеєного криволінійного стержня
сдвиг. Исследовано плоскую форму устойчивости, прощелкивание и выпу
чивание составного стержня и получены формулы для определения крити
ческих значений параметров его элементов. Рассмотрены некоторые част
ные случаи и приведены примеры.
1. Заривняк И. С. Устойчивость плоской формы изгиба составного стерж
ня со случайными начальными неправильностями // Изв. вузов. Стр-во
и архитектура. - 1988. - № 5. - С. 32 - 35.
2. Заривняк И. С. Изгиб склеенного составного стержня со случайными
неправильностями // Вопр. механики деформируемого твердого тела. -
1982. - Вып. 3. - С. 99 - 106.
3. Заривняк И. С., Минчук А. И. К определению опасного состояния
составного стержня со случайными неправильностями // Изв. вузов.
Стр-во и архитектура. - 1990. - № 4. - С. 26 - 30.
4. Шеломов Н. А., Заривняк И. С. Устойчивость плоской формы изгиба
составного стержня под воздействием начальных неправильностей //
Пробл. прочности. - 1983. - № 4. - С. 43 - 47.
5. Заривняк И. С., Заривняк Г. Р. Устойчивость плоской формы изгиба
криволинейного составного стержня с учетом начальных неправиль
ностей // Там же. - 1986. - № 2. - С. 42 - 44.
6. Тимошенко С. П. Устойчивость упругих систем. - М.: Госиздат, 1955. -
567 с.
7. Заривняк И. С. Устойчивость составной круговой пологой арки с уче
том начальных прогибов // Изв. вузов. Стр-во. - 1992. - № 9-10. - С. 23
- 25.
Поступила 07. 07. 2003
ISSN 0556-171Х. Проблемыг прочности, 2005, № 6 123
|