Особенности распространения волновых пакетов в двухслойной жидкости конечной глубины
Исследуется распространение волновых пакетов на поверхности контакта двух жидких слоев с различными свойствами с учетом поверхностного натяжения. Методом многомасштабных разложений получено эволюционное уравнение в третьем приближении. Анализируется структура волнового пакета и проведено сравнение с...
Gespeichert in:
| Datum: | 2005 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут гідромеханіки НАН України
2005
|
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/4783 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Особенности распространения волновых пакетов в двухслойной жидкости конечной глубины / И. Т. Селезов, О. В. Авраменко, Ю. В. Гуртовый // Прикладна гідромеханіка. — 2005. — Т. 7, № 1. — С. 80-89. — Бібліогр.: 42 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-4783 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-47832009-12-24T12:00:37Z Особенности распространения волновых пакетов в двухслойной жидкости конечной глубины Селезов, И.Т. Авраменко, О.В. Гуртовый, Ю.В. Исследуется распространение волновых пакетов на поверхности контакта двух жидких слоев с различными свойствами с учетом поверхностного натяжения. Методом многомасштабных разложений получено эволюционное уравнение в третьем приближении. Анализируется структура волнового пакета и проведено сравнение с аналогичными волновыми пакетами в системах "полупространство - полупространство" и "слой - полупространство". Исследуется форма волнового пакета, а также условия резонанса второй гармоники. Представлены условия распространения волновых пакетов: ∩-образной и U-образной форм и установлены характерные особенности резонансной области для системы "слой - слой". Дослiджується поширення хвильових пакетiв на поверхнi контакту двох рiдинних шарiв з рiзними властивостями з урахуванням поверхневого натягу. Методом багатомасштабних розвинень отримано еволюцiйне рiвняння у третьому наближеннi. Аналiзується структура хвильового пакету i проведено порiвняння з аналогiчними хвильовими пакетами у системах "пiвпростiр - пiвпростiр" та "шар - пiвпростiр". Дослiджено форму хвильового пакету, а також умови резонансу другої гармонiки. Представлено умови поширення хвильових пакетiв: ∩-образної и U-образної форм i установленi характернi особливостi резонанcної областi для системи "шар - шар". Propagation of wave-packet at the interface of two layers of different properties is investigated with accounting of the surface tension. Using the method of multiple scale expansions the evolution equation is obtained in the third approximation. The structure of wave packats is analyzed and the comparison with analogous packats in the systems "half-space - half-space" and "layer - half-space" is carried out. The form of wave-packet and condition of the second harmonic resonance are investigated. The conditions of wave packet propagation of the ∩-form and U-form are presented and the characteristic features of resonant region for the system "layer-layer" are found. 2005 Article Особенности распространения волновых пакетов в двухслойной жидкости конечной глубины / И. Т. Селезов, О. В. Авраменко, Ю. В. Гуртовый // Прикладна гідромеханіка. — 2005. — Т. 7, № 1. — С. 80-89. — Бібліогр.: 42 назв. — рос. 1561-9087 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/4783 532.59 ru Інститут гідромеханіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Исследуется распространение волновых пакетов на поверхности контакта двух жидких слоев с различными свойствами с учетом поверхностного натяжения. Методом многомасштабных разложений получено эволюционное уравнение в третьем приближении. Анализируется структура волнового пакета и проведено сравнение с аналогичными волновыми пакетами в системах "полупространство - полупространство" и "слой - полупространство". Исследуется форма волнового пакета, а также условия резонанса второй гармоники. Представлены условия распространения волновых пакетов: ∩-образной и U-образной форм и установлены характерные особенности резонансной области для системы "слой - слой". |
| format |
Article |
| author |
Селезов, И.Т. Авраменко, О.В. Гуртовый, Ю.В. |
| spellingShingle |
Селезов, И.Т. Авраменко, О.В. Гуртовый, Ю.В. Особенности распространения волновых пакетов в двухслойной жидкости конечной глубины |
| author_facet |
Селезов, И.Т. Авраменко, О.В. Гуртовый, Ю.В. |
| author_sort |
Селезов, И.Т. |
| title |
Особенности распространения волновых пакетов в двухслойной жидкости конечной глубины |
| title_short |
Особенности распространения волновых пакетов в двухслойной жидкости конечной глубины |
| title_full |
Особенности распространения волновых пакетов в двухслойной жидкости конечной глубины |
| title_fullStr |
Особенности распространения волновых пакетов в двухслойной жидкости конечной глубины |
| title_full_unstemmed |
Особенности распространения волновых пакетов в двухслойной жидкости конечной глубины |
| title_sort |
особенности распространения волновых пакетов в двухслойной жидкости конечной глубины |
| publisher |
Інститут гідромеханіки НАН України |
| publishDate |
2005 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/4783 |
| citation_txt |
Особенности распространения волновых пакетов в двухслойной жидкости конечной глубины / И. Т. Селезов, О. В. Авраменко, Ю. В. Гуртовый // Прикладна гідромеханіка. — 2005. — Т. 7, № 1. — С. 80-89. — Бібліогр.: 42 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT selezovit osobennostirasprostraneniâvolnovyhpaketovvdvuhslojnojžidkostikonečnojglubiny AT avramenkoov osobennostirasprostraneniâvolnovyhpaketovvdvuhslojnojžidkostikonečnojglubiny AT gurtovyjûv osobennostirasprostraneniâvolnovyhpaketovvdvuhslojnojžidkostikonečnojglubiny |
| first_indexed |
2025-07-02T07:59:11Z |
| last_indexed |
2025-07-02T07:59:11Z |
| _version_ |
1836521254382731264 |
| fulltext |
ISSN 1561 -9087 �ਪ« ¤ £÷¤à®¬¥å ÷ª . 2005. �®¬ 7 (79), N 1. �. 80 { 89��� 532.59����������� ��������������� ��������������� � ������������������� ����������������. �. ��������, �. �. �����������, �. �. ������������áâ¨âãâ £¨¤à®¬¥å ¨ª¨ ��� �ªà ¨ë, �¨¥¢���¨à®¢®£à ¤áª¨© £®á㤠àáâ¢¥ë© ¯¥¤ã¨¢¥àá¨â¥â�®«ã祮 22.08.2004�áá«¥¤ã¥âáï à á¯à®áâà ¥¨¥ ¢®«®¢ëå ¯ ª¥â®¢ ¯®¢¥àå®á⨠ª®â ªâ ¤¢ãå ¦¨¤ª¨å á«®¥¢ á à §«¨ç묨 ᢮©-á⢠¬¨ á ãç¥â®¬ ¯®¢¥àå®á⮣® â殮¨ï. �¥â®¤®¬ ¬®£®¬ áèâ ¡ëå à §«®¦¥¨© ¯®«ã祮 í¢®«î樮®¥ ãà ¢-¥¨¥ ¢ âà¥â쥬 ¯à¨¡«¨¦¥¨¨. � «¨§¨àã¥âáï áâàãªâãà ¢®«®¢®£® ¯ ª¥â ¨ ¯à®¢¥¤¥® áà ¢¥¨¥ á «®£¨ç묨¢®«®¢ë¬¨ ¯ ª¥â ¬¨ ¢ á¨á⥬ å "¯®«ã¯à®áâà á⢮ - ¯®«ã¯à®áâà á⢮" ¨ "á«®© - ¯®«ã¯à®áâà á⢮". �áá«¥¤ã¥â-áï ä®à¬ ¢®«®¢®£® ¯ ª¥â , â ª¦¥ ãá«®¢¨ï १® á ¢â®à®© £ ମ¨ª¨. �।áâ ¢«¥ë ãá«®¢¨ï à á¯à®áâà ¥¨ï¢®«®¢ëå ¯ ª¥â®¢: \-®¡à §®© ¨ [-®¡à §®© ä®à¬ ¨ ãáâ ®¢«¥ë å à ªâ¥àë¥ ®á®¡¥®á⨠१® ᮩ ®¡« á⨤«ï á¨á⥬ë "á«®© - á«®©".�®á«i¤¦ãõâìáï ¯®è¨à¥ï 墨«ì®¢¨å ¯ ª¥â÷¢ ¯®¢¥àå÷ ª®â ªâã ¤¢®å à÷¤¨¨å è à÷¢ § à÷§¨¬¨ ¢« á⨢®áâï-¬¨ § ãà åã¢ ï¬ ¯®¢¥à奢®£® âï£ã. �¥â®¤®¬ ¡ £ ⮬ áèâ ¡¨å ஧¢¨¥ì ®âਬ ® ¥¢®«îæ÷©¥ à÷¢ïï ãâà¥â쮬㠡«¨¦¥÷. � «÷§ãõâìáï áâàãªâãà 墨«ì®¢®£® ¯ ª¥âã ÷ ¯à®¢¥¤¥® ¯®à÷¢ïï § «®£÷稬¨ 墨«ì®-¢¨¬¨ ¯ ª¥â ¬¨ ã á¨á⥬ å "¯i¢¯à®áâià - ¯i¢¯à®áâià" â "è à - ¯i¢¯à®áâià". �®á«÷¤¦¥® ä®à¬ã 墨«ì®¢®£® ¯ ª¥âã, â ª®¦ 㬮¢¨ १® áã ¤à㣮ù £ ମ÷ª¨. �।áâ ¢«¥® 㬮¢¨ ¯®è¨à¥ï 墨«ì®¢¨å ¯ ª¥â÷¢: \-®¡à §®ù ¨ [-®¡à §®ù ä®à¬ ÷ ãáâ ®¢«¥÷ å à ªâ¥à÷ ®á®¡«¨¢®áâ÷ १® c®ù ®¡« áâ÷ ¤«ï á¨á⥬¨ "è à - è à".Propagation of wave-packet at the interface of two layers of di�erent properties is investigated with accounting of thesurface tension. Using the method of multiple scale expansions the evolution equation is obtained in the third approxi-mation. The structure of wave packats is analyzed and the comparison with analogous packats in the systems "half-space- half-space" and "layer - half-space" is carried out. The form of wave-packet and condition of the second harmonicresonance are investigated. The conditions of wave packet propagation of the \-form and [-form are presented and thecharacteristic features of resonant region for the system "layer-layer" are found.���������§ã票¥ ¥«¨¥©ëå ¢®«®¢ëå ¯à®æ¥ác®¢ ¢¬®£®á«®©ëå ¨ áâà â¨ä¨æ¨à®¢ ëå á। å¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ¡®«ì让 ®¡é¥ä¨§¨ç¥áª¨© ¨ ¯à¨-ª« ¤®© ¨â¥à¥á ¨ ï¥âáï ¯à¥¤¬¥â®¬ ¬®£®ç¨-á«¥ëå ¨áá«¥¤®¢ ¨©. �ãâ२¥ ¢®«ë ¢ á¨-á⥬ å, á®áâ®ïé¨å ¨§ ¦¨¤ª®á⥩ á à §ë¬¨ ᢮©-á⢠¬¨, ®â®áïâáï ª £¨¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª¨¬ § ¤ ç ¬ãª § ®£® ª« áá . �ãâ२¥ ¢®«ë ¡®«ì让 ¬¯«¨âã¤ë, ª®â®àë¥ íä䥪⨢® ¯®¤¤¥à¦¨¢ îâ᢮î ä®à¬ã ¡®«ìè¨å à ááâ®ï¨ïå ¯à¨ ¨å à á-¯à®áâà ¥¨¨, ç áâ® ¡«î¤ îâáï ¢ ⬮áä¥à¥ ¨®ª¥ ¥. �â® «¥£ª® ¢®á¯à®¨§¢®¤¨âáï ¨ ¢ íªá¯¥à¨-¬¥â å.�¥«¨¥©®áâì ¨ ¤¨á¯¥àá¨ï { ¤¢ ä㤠¬¥â «ì-ëå ¬¥å ¨§¬ ¯à¨ à á¯à®áâà ¥¨¨ £à ¢¨â æ¨-®ëå ¢®« ¢ ¦¨¤ª®áâïå. �®à®è® ¨§¢¥áâ®, ç⮥«¨¥©®áâì ¨¬¥¥â ⥤¥æ¨î ª ãªàã票î ä®à-¬ë ¢®«ë, ¢ â® ¢à¥¬ï ª ª ¤¨á¯¥àá¨ï { íâ® ¯à®-⨢®¯®«®¦ë© íä䥪â, ¨¬¥î騩 ⥤¥æ¨î ᣫ -¦¨¢ ¨ï ä®à¬ë ¢®«ë, â. ¥. 㬥ìè¥¨ï £à -¤¨¥â®¢ ¢®«®¢®© ¯®¢¥àå®áâ¨. � ¨¡®«¥¥ § ¬¥ç -⥫쮥 ¥¨¥ ¡«î¤ ¥âáï ¯à¨ ¡ « ᥠíâ¨å íä-䥪⮢, ª®£¤ ä®à¬¨àã¥âáï 㥤¨¥ ï ¢®« (á®-«¨â®), à á¯à®áâà ïîé ïáï ¡¥§ ¨§¬¥¥¨ï ä®à-
¬ë. �®«¨â® å à ªâ¥à¨§ã¥âáï â६ï ᢮©á⢠¬¨:¯¥à¬ ¥â®áâìî { ¯®áâ®ïá⢮¬ ä®à¬ë ¯à¨ à á-¯à®áâà ¥¨¨, ¨¢ ਠâ®áâìî ¯® ®â®è¥¨î ªá®ã¤ à¥¨ï¬ ¨ ãá⮩稢®áâìî.� á«ãç ¥ ¤¢ãåá«®©®© ¦¨¤ª®áâ¨, ª®£¤ ¢¥àåïï¨ ¨¦ïï ¦¨¤ª®á⨠ª®¥ç®© £«ã¡¨ë, ¯®ï¢«ï¥â-áï ¥é¥ ®¤¨ ¯ à ¬¥âà { ®â®è¥¨¥ £«ã¡¨ h2=h1.�â®â ¯ à ¬¥âà ¬®¦¥â áãé¥á⢥® ¢«¨ïâì ¡ -« á ¥«¨¥©ëå ¨ ¤¨á¯¥àᨮëå íä䥪⮢ ¨,á«¥¤®¢ ⥫ì®, ãá⮩稢®áâì ¨ í¢®«îæ¨î ¢®«-®¢ëå ¯ ª¥â®¢ ¯à¨ ¨å à á¯à®áâà ¥¨¨ ¢¤®«ì ¯®-¢¥àå®áâ¨ à §¤¥« .�®«ì訥 âà㤮á⨠¬ ⥬ â¨ç¥áª®£® å à ªâ¥-à , ¢áâà¥ç î騥áï ¯à¨ à¥è¥¨¨ § ¤ ç â®ç®©¢®«®¢®© ⥮ਨ, ¯à¨¢®¤ïâ ª ¥®¡å®¤¨¬®áâ¨ à §-¢¨â¨ï à §«¨ç®£® த ¯à¨¡«¨¦¥ëå ¥«¨¥©-ëå ⥮਩. � १ã«ìâ ⥠¨â¥á¨¢® à §¢¨¢ -«¨áì ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨¥ ¯®¤å®¤ë, ¨ ®¨ ¯® áãé¥áâ¢ã¤®¬¨¨àãîâ ¢ ¯à®¢¥¤¥¨¨ ª®«¨ç¥á⢥®£® ¨ ª ç¥-á⢥®£® «¨§ ¥¨©. �¨à®ª®¥ à á¯à®áâà -¥¨¥ ¯®«ã稫¨ à §«¨çë¥ ¢ ਠâë ᨬ¯â®â¨-ç¥áª¨å ¯®¤å®¤®¢ �ãáᨥ᪠, �®à⥢¥£ ¨ ¤¥ �à¨-§ , �ਤà¨åá , � å ஢ ¨ ¤à.�®¢à¥¬¥ ï ⥮à¨ï ᮫¨â®ëå à¥è¥¨© ¢§ ç¨â¥«ì®© á⥯¥¨ ®¯¨à ¥âáï ª« áá¨ç¥áª¨¥à¥è¥¨ï, ¯®«ãç¥ë¥ ¢ à ¬ª å ¯à¨¡«¨¦¥ëå80 c
�. �. �¥«¥§®¢, �. �. �¢à ¬¥ª®, �. �. �ãà⮢ë©, 2005
ISSN 1561 -9087 �ਪ« ¤ £÷¤à®¬¥å ÷ª . 2005. �®¬ 7 (79), N 1. �. 80 { 89¬®¤¥«¥© ¯®¢¥àå®áâëå ¢®« ¥®£à ¨ç¥®©¦¨¤ª®áâ¨, â ª¦¥ ®¢ë¥ १ã«ìâ âë, ¯®«ã-ç¥ë¥ ¯à¨ à¥è¥¨¨ ¯à®¡«¥¬ ®¡®á®¢ ¨ï ¯à¨¡«¨-¦¥ëå ¬®¤¥«¥©. � à ¡®â¥ [1] ¤ ®¡§®à á®áâ®-ï¨ï ¨áá«¥¤®¢ ¨© ¥«¨¥©ëå ¡¥§¢¨åॢëå ¯®-¢¥àå®áâëå £à ¢¨â 樮ëå ¢®« ¢ ¦¨¤ª®á⨡¥áª®¥ç®© £«ã¡¨ë. �¡é¨¥ ¯®«®¦¥¨ï ¨ ¯®¤-å®¤ë ª 䨧¨ª®-¬ ⥬ â¨ç¥áª®¬ã ¬®¤¥«¨à®¢ ¨î¨ à¥è¥¨î ¥«¨¥©ëå ¢®«®¢ëå § ¤ ç ¨§«®¦¥ë¢ [2]. �áá«¥¤®¢ ¨¥ ãáâ ®¢¨¢è¨åáï ¢®« ¯à¥¤®-áâ ¢«ï¥â ¢®§¬®¦®áâì ¯®«ãç¨âì ¢ ¦ë© १ã«ì-â â ¢ à¥è¥¨¨ ¥«¨¥©ëå § ¤ ç ® áãé¥á⢮¢ ¨¨¤¢ã¬¥àëå ¯¥à¨®¤¨ç¥áª¨å ¯à®£à¥áᨢëå ¢®« [3].� â®ç®© ⥮ਨ ¥ãáâ ®¢¨¢è¨åáï ¢®«®¢ëå ¤¢¨-¦¥¨© ¯®«ãç¥ë १ã«ìâ âë, ®â®áï騥áï ª à¥- «¨§ 樨 ª à⨠¢®«®¢ëå ¤¢¨¦¥¨© ¤«ï ¬ «ë娫¨ ¡®«ìè¨å § 票© ¢à¥¬¥¨, ª®â®àë¥ ¢á¥áâ®-஥ ®á¢¥é¥ë ¢ ¬®®£à 䨨 [4].�¥â®¤ ¬®£®¬ áèâ ¡¨å à §«®¦¥¨© ¡ë«ãá¯¥è® ¯à¨¬¥¥ �. � ᨬ®â® ¨ �. �® [5] ¤«ï ¯®-«ãç¥¨ï ¥«¨¥©®£® ãà ¢¥¨ï �।¨£¥à , ®¯¨-áë¢ î饣® í¢®«îæ¨î £à ¢¨â 樮ëå ¢®«®¢ëå¯ ª¥â®¢ ª®¥ç®© ¬¯«¨âã¤ë ¯®¢¥àå®á⨠¦¨¤-ª®£® á«®ï. �⬥⨬ ¥ª®â®àë¥ ¨§ à ¡®â, ¢¥áè¨åáãé¥áâ¢¥ë© ¢ª« ¤ ¢ ¨§ã票¥ 㪠§ ®© ¯à®-¡«¥¬ë: �. �¥£ãà ¨ �¦. � ¬¬ ª [6], �. �¥ ¨ �.�¥©ª [7], �. �¡«®¢¨æ ¨ �. �¥£ãà [8], �¦. �̈ §¥¬ [9],�. �å â £ à [10], �. � ¬¡ [11], �. �. �¥«¥§®¢ ¨ �.�. �®àáã᪨© [12, 13]. � ç¨â¥«ì®¥ ª®«¨ç¥á⢮¯ã¡«¨ª 権, ¯à¨¬¥à, [14{16] ¯®á¢ïé ¥âáï à á-¯à®áâà ¥¨î ¢®«®¢ëå ¯ ª¥â®¢ ¢ ¦¨¤ª¨å á। åá ãç¥â®¬ ¯®¢¥àå®á⮣® â殮¨ï. �ਠà áᬮ-â२¨ ¡®«ìè¨å ¢®« ¢ ®ª¥ ¥ ¢ ¥ª®â®àëå á«ãç -ïå ¯®¢¥àå®áâë¬ â殮¨¥¬ ¬®¦® ¯à¥¥¡à¥çì,®¤ ª® ¤«ï íªá¯¥à¨¬¥â «ìëå ¨áá«¥¤®¢ ¨© ¤¢ãå-á«®©ëå á¨á⥬ ¢ « ¡®à â®àëå ãá«®¢¨ïå ä ªâ®à¯®¢¥àå®á⮣® â殮¨ï ¨£à ¥â § ç¨â¥«ìãî஫ì. � §«¨çë¥ á¯¥ªâë ¯à®¡«¥¬ë ¥«¨¥©ëå¢ãâà¥¨å ¢®« ®á¢¥é¥ë ¢ à ¡®â å, ®¯ã¡«¨ª®-¢ ëå ¢ ¯®á«¥¤¥¥ ¢à¥¬ï, [17{23].�â âìï � ©äí [24] ᮤ¥à¦¨â ®¡áâ®ï⥫ìë© «¨§ ¢®«®¢ëå ¤¢¨¦¥¨© ¯®¢¥àå®á⨠ª®-⠪⠤¢ãå ¯®«ã¡¥áª®¥çëå ¦¨¤ª®á⥩ á ãç¥â®¬¯®¢¥àå®á⮣® â殮¨ï. � «®£¨ç ï § ¤ ç ® à á¯à®áâà ¥¨¨ ¢®«®¢ëå ¯ ª¥â®¢ ¯®¢¥àå-®á⨠ª®â ªâ ¦¨¤ª®£® ¯®«ã¯à®áâà á⢠¨ ¦¨¤-ª®£® á«®ï ¤ ¨¬ ¨§ãç « áì ¢ [25], £¤¥ ®¡á㦤 -« áì ¯à®¡«¥¬ ãá⮩稢®á⨠¢®«®¢ëå ¯ ª¥â®¢ ¢á¨á⥬¥ "á«®© - ¯®«ã¯à®áâà á⢮" ¬¥â®¤®¬ ¬®-£®¬ áèâ ¡ëå à §«®¦¥¨© ¤® âà¥â쥣® ¯®à浪 , â ª¦¥ ¢ [26] ¤«ï á«ãç ï ¬ «ëå ç áâ®â. � áâ -âìïå, ®¯ã¡«¨ª®¢ ëå ¢ ¯®á«¥¤¥¥ ¢à¥¬ï, à áᬮ-âà¥ë à §«¨çë¥ á¯¥ªâë ç¥â¢¥à⮣® ¯à¨¡«¨¦¥-¨ï ¯à®¡«¥¬ë í¢®«î樨 ¥«¨¥©ëå ¢®«®¢ëå ¯ -
ª¥â®¢, â ª¨¥ ª ª í¢®«î樮®¥ ãà ¢¥¨¥ ¯à¨ ®ª®-«®ªà¨â¨ç¥áª¨å ¢®«®¢ëå ç¨á« å [27, 28], í¢®«îæ¨-®®¥ ãà ¢¥¨¥ ¯à¨ ¢®«®¢ëå ç¨á« å, ¤ «¥ª¨å ®âªà¨â¨ç¥áª®£® [29{31], ¨áá«¥¤®¢ ¨¥ ãá⮩稢®áâ¨à¥è¥¨© 㪠§ ëå ãà ¢¥¨© [32, 33]. �¡« áâ¨à¥§® á ¢â®à®© £ ମ¨ª¨, ¯à ¢«¥¨¥ à á¯à®-áâà ¥¨ï ¢®«, ä®à¬ ¢®«®¢®£® ¯ ª¥â ¢ á¨á⥬¥"á«®© { ¯®«ã¯à®áâà á⢮" ®¯¨á ë ¢ áâ âì¥ [34].O⬥⨬ â ª¦¥ à ¡®âë [35{40].� áâ®ï饩 áâ âì¥ ¯à®¢¥¤¥® ¨áá«¥¤®¢ ¨¥ «®£¨çëå ®á®¡¥®á⥩ à á¯à®áâà ¥¨ï ¢®«-®¢ëå ¯ ª¥â®¢ ¢ á¨á⥬¥, á®áâ®ï饩 ¨§ ¤¢ãå ¦¨¤-ª¨å á«®¥¢. �஢¥¤¥® áà ¢¥¨¥ á à ¥¥ ¯®«ãç¥-묨 १ã«ìâ â ¬¨ ¤«ï á¨á⥬ "á«®© { ¯®«ã¯à®-áâà á⢮" ¨ "¯®«ã¯à®áâà á⢮ { ¯®«ã¯à®áâà -á⢮".1. ���������� ������ � �������������áá«¥¤ã¥âáï § ¤ ç ® à á¯à®áâà ¥¨¨ ¤¢ã¬¥à-ëå ¢®«®¢ëå ¯ ª¥â®¢ ª®¥ç®© ¬¯«¨âã¤ë ¯®¢¥àå®á⨠ª®â ªâ ¤¢ãå ¦¨¤ª¨å á«®¥¢
1 == f(x; y; z) : jxj < 1; jyj < 1;�h1 � z < 0g ¨
2 = f(x; y; z) : jxj < 1; jyj < 1; 0 � z � h2gá ¯«®â®áâﬨ �1 ¨ �2 ᮮ⢥âá⢥®. �ç¨âë¢ -¥âáï ᨫ ¯®¢¥àå®á⮣® â殮¨ï. �¨« â殮-á⨠¯¥à¯¥¤¨ªã«ïàa ª ¯®¢¥àå®á⨠ª®â ªâ ¢ -¯à ¢«¥¨¨, ¯à®â¨¢®¯®«®¦®¬ ª ¢¥à⨪ «ì®© ®á¨z (à¨á. 1). �¨¤ª®á⨠áç¨â îâáï ¥á¦¨¬ ¥¬ë¬¨.
�¨á. 1. �®áâ ®¢ª § ¤ ç¨� ⥬ â¨ç¥áª ï ¯®áâ ®¢ª § ¤ ç¨ ¨¬¥¥â ¢¨¤r2'j = 0 ¢
j; (1)�;t � 'j;z = �'j;x�;x z = � (x; t) ; (2)'1;t � �'2;t + (1� �) � + 12 h(r'1)2 � � (r'2)2i��T �1 + �2;x��3=2 �;xx = 0 z = � (x; t) ; (3)�. �. �¥«¥§®¢, �. �. �¢à ¬¥ª®, �. �. �ãàâ®¢ë© 81
ISSN 1561 -9087 �ਪ« ¤ £÷¤à®¬¥å ÷ª . 2005. �®¬ 7 (79), N 1. �. 80 { 89'1;z = 0 ¯à¨ z = �h1; (4)'2;z = 0 ¯à¨ z = h2; (5)£¤¥ j = 1; 2; � = �2=�1 { ®â®è¥¨¥ ¯«®â®á⥩;�(x; t) { ®âª«®¥¨¥ ¯®¢¥àå®á⨠®â ¥¥ ¥¢®§¬ã-饮£® á®áâ®ï¨ï z = 0.�¥§à §¬¥àë¥ ¢¥«¨ç¨ë ¢¢¥¤¥ë á ¯®¬®éìîå à ªâ¥à®© ¤«¨ë L; å à ªâ¥à®£® ¢à¥¬¥¨(L=g)1=2; ¯«®â®á⨠¨¦¥© ¦¨¤ª®á⨠�1; ã᪮à¥-¨ï ᢮¡®¤®£® ¯ ¤¥¨ï g. �¥§à §¬¥àë© ª®íää¨-樥⠯®¢¥àå®á⮣® â殮¨ï ¯à¨ í⮬ ¨¬¥¥â¢¨¤ T � = T=(L2�g) (§¢¥§¤®çª ®¯ãé¥ ).�«ï ®¯à¥¤¥«¥¨ï ¯à¨¡«¨¦¥®£® à¥è¥¨ï § ¤ -ç¨ (1){(5) ¤«ï ¬ «ëå, ® ª®¥çëå ¬¯«¨âã¤, ¯à¨-¬¥¨¬ ¬¥â®¤ ¬®£®¬ áèâ ¡ëå à §«®¦¥¨© [41]:�(x; t) = 3Xn=1 "n�n(x0; x1; x2; t0; t1; t2) +O("4); (6)�j(x; z; t)= 3Xn=1"n�jn(x0; x1; x2; z; t0; t1; t2)+O("4);(7)£¤¥ " { ¬ «ë© ¡¥§à §¬¥àë© ¯ à ¬¥âà; xn = "nx;tn = "nt { ¬ áèâ ¡ë¥ ¯¥à¥¬¥ë¥.�®¤áâ ¢«ïï ¢ëà ¦¥¨ï (6){(7) ¢ (1){(5) ¨ ¯à¨-à ¢¨¢ ï ª®íää¨æ¨¥âë ¯à¨ ®¤¨ ª®¢ëå á⥯¥ïå"; ¯®«ãç ¥¬:¯®à冷ª "�j1;x0x0 + �j1;zz = 0; (8)�1;t0 � �j1;z = 0 z = 0; (9)�11;t0 � ��21;t0 + (1 � �)�1 ��T�1;x0x0 = 0 z = 0; (10)�11;z = 0 z = �h1; (11)�21;z = 0 z = h2; (12)¯®à冷ª "2�j2;x0x0 + �j2;zz = �2�j1;x0x1 ; (13)�2;t0 � �j2;z == �1�j1;zz � �1;t1 � �j1;x0�1;x0 z = 0; (14)�12;t0 � ��22;t0 + (1� �)�2 � T�2;x0x0 == ��11;t1 + ��21;t1 + 2T�1;x0x1 ��0:5(�211;x0 + �211;z) + 0:5�(�221;x0 + �21;z2)���1�11;t0z + ��1�21;t0z z = 0; (15)�12;z = 0 z = �h1; (16)�22;z = 0 z = h2; (17)¯®à冷ª "3�j3;x0x0 + �j3;zz== �2�j1;x0x2�2�j2;x0x1��j1;x1x1 ; (18)
�3;t0 � �j3;z = ��1;t2 � �2;t1 + �1�j2;zz + �2�j1;zz ++0:5�21�j1;zzz��j1;x0�2;x0��j2;x0�1;x0��j1;x1�1;x0���j1;x0�1;x1 � �1�j1;x0z�1;x0 z = 0; (19)�13;t0 � ��23;t0 + (1� �)�3 � T�3;x0x0 == �(�11;t2 + �12;t1) + �(�21;t2 + �22;t1) ++2T (�1;x0x2 + �2;x0x1) + T�1;x1x1 ��(�11;x0�12;x0 + �11;x0�11;x1 + �1�11;x0�11;x0z) ++�(�21;x0�22;x0 + �21;x0�21;x1 + �1�21;x0�21;x0z)��(�11;z�12;z + �1�11;z�11;zz) ++�(�21;z�22;z + �1�21;z�21;zz) ��(�2�11;t0z + �1�12;t0z + 0:5�21�11;t0zz) ++�(�2�21;t0z + �1�22;t0z + 0:5�21�21;t0zz) � (20)��1�11;t1z + ��1�21;t1z�1:5T�1;x0x0�21;x0 z = 0;�13;z = 0 z = �h1; (21)�23;z = 0 z = h2: (22)� ª¨¬ ®¡à §®¬, ¯®«ãç¥ë «¨¥©ë¥ § ¤ ç¨ ¯¥à-¢ëå âà¥å ¯à¨¡«¨¦¥¨© ®â®á¨â¥«ì® ¥¨§¢¥áâëåäãªæ¨© �1, �11, �21, �2, �12, �22, �3, �13, �23, ª®-â®àë¥ ï¢«ïîâáï á« £ ¥¬ë¬¨ ¢ ¬®£®¬ áèâ ¡ëåà §«®¦¥¨ïå ¯®â¥æ¨ «®¢ �1, �2 (7) ¨ ¢ à §«®¦¥-¨¨ ®âª«®¥¨ï ¯®¢¥àå®á⨠ª®â ªâ ¦¨¤ª®á⥩á à §«¨ç묨 ᢮©á⢠¬¨ � (6). �¥è¥¨¥ § ¤ 稯¥à¢®£® ¯®à浪 (8){(12) ¨é¥âáï ¢ ¢¨¤¥ ¡¥£ãé¨å¢®« �1 = A exp i� +A exp(�i�); (23)�11=�i!k [A exp i� � A exp(�i�)] chk(h1+z)shkh1 ; (24)�21 = i!k [A exp i� � A exp(�i�)] chk(h2 � z)shkh2 ; (25)£¤¥ A { ¢¥«¨ç¨ , ᮯà殮 ï ª®¬¯«¥ªá®© ®£¨¡ -î饩 ¢®«®¢®£® ¯ ª¥â A; � = kx0�!t0; k { ¢®«®-¢®¥ ç¨á«® ¨ ! { ç áâ®â æ¥âà ¢®«®¢®£® ¯ ª¥â .�®¤áâ ®¢ª à¥è¥¨© (23){(25) ¢ (10) ¯à¨¢®¤¨â ª¤¨á¯¥àᨮ®¬ã ãà ¢¥¨î!2 = k(1� � + Tk2)cthkh1 + �cthkh2 : (26)K ª ¨ ¢ á«ãç ¥ à á¯à®áâà ¥¨ï ¢®« ¢¤®«ì ¯®-¢¥àå®á⨠ª®â ªâ ¤¢ãå ¯®«ã¯à®áâà á⢠[28], â ª¦¥ ¢ á¨á⥬¥ "á«®© - ¯®«ã¯à®áâà á⢮" [33],¢ à áᬠâਢ ¥¬®© á¨á⥬¥ "á«®© - á«®©" ¯®¢¥àå-®áâì ª®â ªâ «¨¥©® ãá⮩稢 ¨«¨ ¥ãá⮩-稢 ¢ § ¢¨á¨¬®á⨠®â ⮣®, ï¥âáï k ¡®«ìè¥82 �. �. �¥«¥§®¢, �. �. �¢à ¬¥ª®, �. �. �ãà⮢ë©
ISSN 1561 -9087 �ਪ« ¤ £÷¤à®¬¥å ÷ª . 2005. �®¬ 7 (79), N 1. �. 80 { 89¨«¨ ¬¥ìè¥ ªà¨â¨ç¥áª®£® ¢®«®¢®£® ç¨á« kc == [(� � 1)=T ]1=2.�®¤áâ ¢«ïï à¥è¥¨ï (23){(25) ¢ § ¤ çã ¢â®à®£®¯®à浪 (13){(17), ¯à¨å®¤¨¬ ª á¨á⥬¥�12;x0x0+�12;zz=�2!A;x1chk(h1+z)shkh1 exp i�+cc; (27)�22;x0x0+�22;zz=2!A;x1 chk(h2�z)shkh2 exp i�+cc; (28)�2;t0��12;z= (29)= �A;t1expi��2i!kA2cthkh1 exp2i� + cc z=0;�2;t0��22;z= (30)= �A;t1expi�+2i!kA2cthkh2 exp2i� + cc z=0;�12;t0 � ��22;t0 + (1� �)�2 � T�2;x0x0 = (31)= i[2TkA;x1 + !k (cthkh1 + �cthkh2)A;t1 ] exp i� ++!2[ 2�cthkh1cth2kh1��(2�cthkh2cth2kh2)]��A2 exp 2i� + 1� cth2kh1 � �(1� cth2kh2) + cc z=0;£¤¥ cc ®§ ç ¥â ª®¬¯«¥ªá® ᮯà殮ãî ¢¥«¨ç¨ãª ¯à¥¤è¥áâ¢ãî騬 á« £ ¥¬ë¬.� á⮥ à¥è¥¨¥ á¨á⥬ë (27){(31), § ¯¨á ®¥ç¥à¥§ ¥¨§¢¥áâë¥ ª®íää¨æ¨¥âë, ¯®¤áâ ¢«ï¥¬ ¢¤¨ää¥à¥æ¨ «ìë¥ ãà ¢¥¨ï (27) ¨ (28) ¨ ¢ £à -¨çë¥ ãá«®¢¨ï (29){(31), ¤ «¥¥ ¯à¨à ¢¨¢ ¥¬ ¢ë-à ¦¥¨ï ¯à¨ ®¤¨ ª®¢ëå äãªæ¨ïå, çâ® ¯à¨¢®¤¨âª ¤¢ã¬ ¥§ ¢¨á¨¬ë¬ á¨á⥬ ¬ ®â®á¨â¥«ì® ¥-®¯à¥¤¥«¥ëå ª®íää¨æ¨¥â®¢. �¨á⥬ , ¯®«ãç¥- ï ¯®á«¥ ¯à¨à ¢¨¢ ¨ï ¢ëà ¦¥¨© ¯à¨ äãªæ¨¨exp i�, ï¥âáï ¥á®¢¬¥á⮩, ¯à¨ç¥¬ ¥¥ ãá«®¢¨¥à §à¥è¨¬®á⨠¨¬¥¥â ¢¨¤2�cthkh1 + �cthkh2�!kA;t1 + (32)+h2Tk + �!k �2(cthkh1 � kh1(1� cth2kh1) ++�(cthkh2 � kh2(1� cth2kh2)))iA;x1 = 0:� á⮥ à¥è¥¨¥ § ¤ ç¨ ¢â®à®£® ¯®à浪 ¬®¦®§ ¯¨á âì ¢ ¢¨¤¥�2= !2(1� cth2kh1 � �(1 � cth2kh2))1�� AA+ (33)+�A2 exp 2i�+ cc;�12= 1k ��!k (1 + kh1cthkh1)A;x1� chk(h1 + z)shkh1 +
+A;t1 � !(z + h1)A;x1 shk(h1 + z)shkh1 � exp i� +(34)+i!k �kcthkh1 � ��A2 ch2k(h1 + z)sh2kh1 exp 2i�+cc;�22=�1k ��!k (1 + kh2cthkh2)A;x1� chk(h2 � z)shkh2 ++A;t1 + !(z � h2)A;x1 shk(h2 � z)shkh2 � exp i� + (35)+i!k �kcthkh2 + ��A2 ch2k(h2 � z)sh2kh2 exp 2i�+cc;£¤¥� = (1:5cth2kh1 � 0:5� �(1:5cth2kh2 � 0:5))!22!2(cth2kh1 + �cth2kh2)� k(1� � + 4Tk2) :(36)�¡à ⨬áï ª ¢ë¢®¤ã ãá«®¢¨ï à §à¥è¨¬®á⨠§ -¤ ç¨ âà¥â쥣® ¯à¨¡«¨¦¥¨ï. � ç « ¯®¤áâ ¢¨¬à¥è¥¨ï ¯¥à¢®£® (23){(25) ¨ ¢â®à®£® ¯®à浪 (33){(36) ¢ § ¤ çã âà¥â쥣® ¯à¨¡«¨¦¥¨ï (18){(22). �१ã«ìâ ⥠¯®«ãç ¥¬�13;x0x0 + �13;zz = � � 2!A;x2 chk(h1 + z)shkh1 ��2iA;t1x1 chk(h1 + z)shkh1 ��i!k h1 + 2kh1cthkh1iA;x1x1 chk(h1 + z)shkh1 ++2i!(z + h1)A;x1x1 shk(h1 + z)shkh1 � exp i�++8!(kcthkh1 � �)ch2k(h1 + z)sh2kh1 AA;x1 exp 2i� ++cc ¢
1; (37)�23;x0x0 + �23;zz = �2!A;x2 chk(h2 � z)shkh2 ++2iA;t1x1 chk(h2 � z)shkh2 ++i!k h1 + 2kh2cthkh2iA;x1x1 chk(h2 � z)shkh2 ++2i!(z � h2)A;x1x1 shk(h2 � z)shkh2 � exp i�++8!(kcthkh2 + �)ch2k(h2 � z)sh2kh2 AA;x1 exp 2i� ++cc ¢
2; (38)�. �. �¥«¥§®¢, �. �. �¢à ¬¥ª®, �. �. �ãàâ®¢ë© 83
ISSN 1561 -9087 �ਪ« ¤ £÷¤à®¬¥å ÷ª . 2005. �®¬ 7 (79), N 1. �. 80 { 89�3;t0 � �13;z == n�A;t2 � i!k[3(2cthkh1cth2kh1 � 1:5)k ++!2cthkh1(1� cth2kh1 � �(1 � cth2kh2))1�� ++(cthkh1 + 2cth2kh1)�]A2Ao exp i�++n2(kcthkh1 � �)AA;t1 ��2![cthkh1 + kh1(1� cth2kh1)]AA;x1o exp 2i�++1:5k!i[k(4cth2kh1cthkh1 � 1)��2�(cthkh1 + 2cth2kh1)]A3 exp 3i�� (39)�2!cthkh1AA;x1 ��!2(1 � cth2kh1 � �(1� cth2kh2))1�� AA;t1 + cc z = 0;�3;t0 � �23;z == n�A;t2 � i!k[(2cthkh2cth2kh2 � 1:5)k��!2(1� cth2kh1 � �(1 � cth2kh2))1�� cthkh2 ++(cthkh2 + 2cth2kh2)�]A2Ao exp i�++n� 2(kcthkh2 +�)AA;t1 ++2![cthkh2 + kh2(1� cth2kh2)]AA;x1o exp 2i�++1:5k!i[k(4cth2kh2cthkh2 � 1) ++2�(cthkh2 + 2cth2kh2)]A3 exp 3i� + (40)+2!cthkh2AA;x1 ��!2(1� cth2kh1 � �(1 � cth2kh2))1�� AA;t1 + cc z = 0;�13;t0 � ��23;t0 + (1� �)�3 � T�3;x0x0 == n[3� 2cthkh1cth2kh1 ���(3 � 2cthkh2cth2kh2)]!2���2:5[cthkh1 + 0:8cthkh2(1� cthkh1cth2kh1) ++�cthkh2 ++0:8�cthkh2(1�cthkh2cth2kh2)]!2k+ 1:5Tk4+
+!4((1� cth2kh1 � �(1� cth2kh2))]A2A ++k�1(cthkh1 + �cthkh2)(i!A;t2 �A;t1t1)��!k�1[(cthkh1 + �cthkh2)k�1 ��h1(cth2kh1 � 1)� �h2(cth2kh2 � 1)]A;t1x1 ++2iTkA;x2 + TA;x1x1o exp i�++n[2!�ik�1(cthkh1 + �cthkh2)��i!(cth2kh1 � 3 + 2cthkh1cth2kh1) ++i!�(cth2kh2 � 3 + 2cthkh2cth2kh2)]AA;t1 ++[8iTk�+ i!2h1cthkh1(cth2kh1 � 1) ++i�!2h2cthkh2(cth2kh2 � 1)]AA;x1o exp 2i�++n� 0:5[cthkh1(11� 4cthkh1cth2kh1) ++�cthkh1(11� 4cthkh2cth2kh2)]k!2 ++!2�[7� 2cthkh1cth2kh1 ���(7 � 2cthkh2cth2kh2)]� 1:5Tk4oA3 exp 3i���i![(cth2kh1 � 1)(h1!cthkh1AA;x1 + AA;t1)���(cth2kh2 � 1)(h2!cthkh2AA;x1 +AA;t1)] ++cc z = 0: (41)� ª ¨ ¢® ¢â®à®¬ ¯à¨¡«¨¦¥¨¨, ¯®áª®«ìªã ®¤®à®¤- ï ç áâì § ¤ ç¨ âà¥â쥣® ¯®à浪 ¨¬¥¥â ¥âà¨-¢¨ «ì®¥ à¥è¥¨¥, â® ¥®¤®à®¤ ï § ¤ ç âà¥-â쥣® ¯®à浪 ¨¬¥¥â à¥è¥¨¥ ⮣¤ ¨ ⮫쪮 â®-£¤ , ¥á«¨ ¢ë¯®«ï¥âáï ãá«®¢¨¥ à §à¥è¨¬®áâ¨2i!k (cthkh1 + �cthkh2)A;t2 ++ih2Tk + (cthkh1 � kh1(1� cth2kh1) ++�cthkh2 � �kh2(1� cth2kh2))!2k2 iA;x2 ��1k (cthkh1 + �cthkh2)A;t1t1 ++hT � !2k3 [cthkh1 � kh1(1� cth2kh1)��k2h21cthkh1(1� cth2kh1) ++�(cthkh2 � kh2(1 � cth2kh2)��k2h22cthkh2(1� cth2kh2))]iA;x1x1 ��2!k2 hcthkh1 � kh1(1 � cth2kh1) ++�(cthkh2 � kh2(1 � cth2kh2))iA;x1t1 == 2IA2A; (42)84 �. �. �¥«¥§®¢, �. �. �¢à ¬¥ª®, �. �. �ãà⮢ë©
ISSN 1561 -9087 �ਪ« ¤ £÷¤à®¬¥å ÷ª . 2005. �®¬ 7 (79), N 1. �. 80 { 89£¤¥I = 0:5n�!2[3cth2kh2 � 1� �(3cth2kh2 � 1)]��1:5Tk4 + 2k!2[cthkh1(3� 2cth2kh1cthkh1) ++�cthkh2(3� 2cth2kh2cth2kh2)] + (43)+ !4(1� �) (1� cth2kh1 � �(1 � cth2kh2))2o:�®®â®è¥¨ï (32) ¨ (42) á¢ï§ë¢ îâ ç áâ륯ந§¢®¤ë¥ ¯® ¬ áèâ ¡ë¬ ¯¥à¥¬¥ë¬. �âãá¢ï§ì ¬®¦® § ¯¨á âì ¢ ¡®«¥¥ ª®¬¯ ªâ®¬ ¢¨¤¥,¥á«¨ ¢ ®â¤¥«ì®á⨠à áᬠâਢ âì ¤¢ á«ãç ï: § ç¨â¥«ì®¬ ®â¤ «¥¨¨ ®â ¢®«®¢®£® ç¨á« kc (⮥áâì ¥á«¨ ! >> 0) ¨ ¯à¨ ¢®«®¢ëå ç¨á« å ¡«¨§ª¨åª ªà¨â¨ç¥áª®¬ã (â® ¥áâì ¯à¨ ! � 0). �«ï ã¯à®-饨ï ãá«®¢¨ï à §à¥è¨¬®á⨠(32) § ¤ ç¨ ¢â®à®£®¯®à浪 ¯à®¤¨ää¥à¥æ¨à㥬 (26) ¯® k ¨ ¯®«ã稬2!!0(cthkh1 + �cthkh2) ++!2(h1(1� cth2kh1) + �h2(1� cth2kh2)) == 1� � + 3Tk2; (44)£¤¥ !0 = d!=dk { £à㯯®¢ ï ᪮à®áâì. �â ª, á®®â-®è¥¨¥ (32) ¬®¦¥â ¡ëâì ¯¥à¥¯¨á ® ¢ ¢¨¤¥A;t1 + !0A;x1 = 0: (45)�«ï ã¯à®é¥¨ï ãá«®¢¨ï à §à¥è¨¬®á⨠(42) § ¤ ç¨âà¥â쥣® ¯®à浪 ¯à®¤¨ää¥à¥æ¨à㥬 ¢ëà ¦¥¨¥(44) ¯® k:(cthkh1+�cthkh2)!!00=�(cthkh1 + �cthkh2)!02 ��2(h1(1� cth2kh1) + �h2(1� cth2kh2))!!0 ++(h21cthkh1(1 � cth2kh1) ++�h22cthkh2(1� cth2kh2))!2 + 3Tk; (46)£¤¥ !00 = d2!=dk2:�ᯮ«ì§®¢ ¢ ¯®«ãç¥ë¥ ¢ëà ¦¥¨ï (44) ¨ (46)¤«ï ¯à®¨§¢®¤ëå !0 ¨ !00, ¯¥à¥¯¨è¥¬ ãá«®¢¨¥ à §-à¥è¨¬®á⨠(42) ¢ ¢¨¤¥A;t2 + !0A;x2 � 0:5i!00A;x1x1 = (47)= �ik!�1(cthkh1 + �cthkh2)�1IA2A:�®¬®¦¨¬ á®®â®è¥¨ï (45) ¨ (47) ", "2 á®®â-¢¥âá⢥® ¨ ¯à¨¡ ¢¨¬ ®¤® ª ¤à㣮¬ã. �ç¨âë¢ ï¨§¢¥áâë¥ ¢ëà ¦¥¨ï ¤«ï ç áâëå ¯à®¨§¢®¤ëåA;t, A;x ¨ A;xx, ¯®«ãç ¥¬ ¨áª®¬®¥ í¢®«î樮®¥ãà ¢¥¨¥A;t + !0A;x � 0:5i!00A;xx = (48)= �i"2k!�1(cthkh1 + �cthkh2)�1IA2A:
� ª¨¬ ®¡à §®¬, «®£¨ç® à ¥¥ à áᬮâà¥-ë¬ § ¤ ç ¬ ® à á¯à®áâà ¥¨¨ ¢®«®¢ëå ¯ ª¥-⮢ ¢¤®«ì ¯®¢¥àå®á⨠ª®â ªâ ¤¢ãå ¯®«ã®£à -¨ç¥ëå ¦¨¤ª¨å á। ¨ ¢¤®«ì ¯®¢¥àå®á⨠ª®-â ªâ á«®ï ¨ ¯®«ã¯à®áâàaá⢠, ¢ ¯à¥¤áâ ¢«¥®©§¤¥áì ®¢®© § ¤ ç¥ ¯®«ã祮 ¥«¨¥©®¥ ãà ¢¥-¨¥ �।¨£¥à ¢â®à®£® ¯®à浪 .�®á«¥ § ¬¥ë ¥§ ¢¨á¨¬ëå ¯¥à¥¬¥ëå x ¨ t � = x� !0t; � = t (49)§ ¯¨è¥¬ í¢®«î樮®¥ ãà ¢¥¨¥ (48) ¢ ¢¨¤¥A;� � 0:5i!00A;�� = i"2!�1I0A2A; (50)£¤¥ I0 = �k(cthkh1 + �cthkh2)�1I.�à ¢¥¨¥ (50) ¤ ¥â â ª¨¥ à¥è¥¨ï, ª®â®àë¥ ¨§-¬¥ïîâáï ⮫쪮 á â¥ç¥¨¥¬ ¢à¥¬¥¨:A = a exp(i"2!�1I0a2�); (51)£¤¥ a { ¯®áâ®ï ï. � ¬¥ïï A ¢ ¢ëà ¦¥¨ïå (23)¨ (33) ¨ ¤ «¥¥ ¯®¤áâ ¢«ïï १ã«ìâ â ¢ (6), ¥á«®¦-® ¯®«ãç¨âì ¢ëà ¦¥¨¥ ¤«ï ®âª«®¥¨¥ ¯®¢¥àå®-á⨠�(x; t) = "a cos(kx� b!t) ++"2a2�!2(1� cth2kh1 � �(1 � cth2kh2))1�� ++�cos 2(kx� b!t)�+ O("3); (52)£¤¥ b! = ! � "2!�1a2I0. �ëà ¦¥¨¥ (52) ¥ ¨¬¥¥âá¬ëá« ¯à¨ ! ! 0 (¢¡«¨§¨ ¢®«®¢®£® ç¨á« kc), â ª¦¥ ¯à¨ ãá«®¢¨¨ �!1.2. ������ ����� ��������� �������®à¬ ¢®«®¢®£® ¯ ª¥â ¢o ¢â®à®¬ ¯à¨¡«¨¦¥-¨¨ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ä®à¬ã«®© (52). �¥£ª® ¢¨¤¥âì,çâ® ¤«ï ®¯à¥¤¥«¥¨ï ä®à¬ë ¯®¢¥àå®á⨠ª®â ª-â � (x; t) ¢ ¦¥ § ª ¢¥«¨ç¨ë � (�; k; h), ª®â®-àë© ¨§¬¥ï¥âáï ¯à¨ ¯¥à¥å®¤¥ ç¥à¥§ ªà¨¢ãî L1,¢¤®«ì ª®â®à®© � (�; k; h) = 0, ¨«¨ ¯à¨ ¯¥à¥å®¤¥ç¥à¥§ ªà¨¢ãî L2, ¢¤®«ì ª®â®à®© � (�; k; h) ! 1.�ç¨âë¢ ï ä®à¬ã«ã (36), ãà ¢¥¨ï íâ¨å ªà¨¢ëå ¢¥ï¢®© ä®à¬¥ ¨¬¥îâ ¢¨¤L1 : (53)(1:5cth2kh1 � 0:5� �(1:5cth2kh2 � 0:5))!2 = 0;L2 : (54)2!2(cth2kh1 + �cth2kh2)� k(1� � + 4Tk2) = 0:�. �. �¥«¥§®¢, �. �. �¢à ¬¥ª®, �. �. �ãàâ®¢ë© 85
ISSN 1561 -9087 �ਪ« ¤ £÷¤à®¬¥å ÷ª . 2005. �®¬ 7 (79), N 1. �. 80 { 89
�¨á. 2. �¡« á⨠á à §«¨ç®© ä®à¬®© ¢®«(S1, S3 S-ä®à¬ ; S2, S4 T-ä®à¬ )¯à¨ h2 = 1 ¨ â®«é¨ å ¨¦¥£® á«®ï: { h1 = 10, ¡ { h1 = 2:23, ¢ { h1 = 2, £ { h1 = 1:73
�¨á. 3. �à ¨æë ®¡« á⥩ á à §«¨ç®© ä®à¬®© ¢®«¯à¨ h2 = 1 ¨ â®«é¨ å ¨¦¥£® á«®ï h1 = 10(èâà¨å-¯ãªâ¨à), h1 = 2 (ᯫ®è ï «¨¨ï), h1 = 1:73(èâà¨å®¢ ï)�à 䨪¨ L1 ¨ L2 ¨§®¡à ¦¥ë à¨á. 2 ¯à¨ä¨ªá¨à®¢ ®¬ § 票¨ ⮫é¨ë ¢¥à奣® á«®ïh2 = 1 ¨ ¯à¨ à §«¨çëå § 票ïå ⮫é¨ë ¨¦-¥£® á«®ï.�ਠ¡®«ìè¨å § 票ïå h1 ( ¯à¨¬¥à h1 = 10)ªà¨¢ë¥ ¯¥à¥á¥ª îâáï ¨ à §¤¥«ïîâ ¯«®áª®áâì �; k ç¥âëॠ®¡« á⨠S1, S2, S3, S4. � ®¡« áâïå S1¨ S3 ¨¬¥¥â ¬¥áâ® ¢®«ë á § ®áâà¥ë¬¨ £à¥¡ï-¬¨ ¨ § â㯫¥ë¬¨ ¯®¤®è¢ ¬¨, ¢ ®¡« áâïå S2 ¨S4 { ¢®«ë á § â㯫¥ë¬¨ £à¥¡ï¬¨ ¨ § ®áâà¥-묨 ¯®¤®è¢ ¬¨. � ª®¥ ¥¨¥ 㦥 ¡ë«® ®â¬¥-祮 ¢ ¯à¥¤¥«ì®¬ á«ãç ¥ ¯à¨ h1 ! 1, â. ¥. ¢á¨á⥬¥ "á«®©{¯®«ã¯à®áâà á⢮" [42]. �«¥¤®¢ -⥫ì®, ¯à¨ ¡®«ìè¨å § 票ïå ⮫é¨ë ¨¦¥£®á«®ï ¤«ï ª ¯¨««ïà®-£à ¢¨â 樮ëå ¢®« ¨¬¥¥â¬¥áâ® ¢«¨ï¨¥ ¯®¢¥àå®á⮣® â殮¨ï, ¢ëà -¦ î饥áï ¢ áâ६«¥¨¨ ᣫ ¤¨âì ¢®«®¢ãî ª à-â¨ã.�ਠ㬥ì襨¨ ⮫é¨ë ¨¦¥£® á«®ï â®ç-ª ¯¥à¥á¥ç¥¨ï ªà¨¢ëå L1 ¨ L2 (�0; k0) ®¯ã᪠¥â-áï ¨¦¥ ¨ ¯à¨¡«¨§¨â¥«ì® ¯à¨ § 票¨ ⮫é¨-ë h1 = 2:23 â®çª ¯¥à¥á¥ç¥¨ï 室¨âáï £®-ਧ®â «ì®© ª®®à¤¨ ⮩ ®á¨. � ª¨¬ ®¡à §®¬,®¡« á⥩ á å à ªâ¥à®© ä®à¬®© ®áâ ¥âáï âà¨: S1,S2, S3. � ¦¤ ï ¨§ ¨å ¨¬¥¥â ⥠¦¥ ᢮©á⢠, ç⮨ ¢ á«ãç ¥ ¡®«ìè¨å â®«é¨ ¨¦¥£® á«®ï. �à¨¥é¥ ¡®«ì襬 㬥ì襨¨ ⮫é¨ë ¨¦¥£® á«®ïªà¨¢ ï L2 ¢ë室¨â § ¯à¥¤¥«ë ¯¥à¢®£® ª¢ ¤à â ¯«®áª®á⨠(�; k), çâ® ¯à®¨á室¨â ¯à¨¡«¨§¨â¥«ì®¯à¨ h1 = 1:73.�ਠ¬ «ëå â®«é¨ å ¨¦¥£® á«®ï h1 < 1:7386 �. �. �¥«¥§®¢, �. �. �¢à ¬¥ª®, �. �. �ãà⮢ë©
ISSN 1561 -9087 �ਪ« ¤ £÷¤à®¬¥å ÷ª . 2005. �®¬ 7 (79), N 1. �. 80 { 89®áâ ¥âáï «¨èì ¤¢¥ ®¡« á⨠S2, S3. �â® ®§ ç ¥â,çâ® ¯à¨ § 票ïå ⮫é¨ë ¨¦¥£® á«®ï h1 <1:73 ¨ ¢¥à奣® h2 = 1, ¢®«®¢ë¥ ¯ ª¥âë ¯à¨¨¬ -îâT-®¡à §ãî ä®à¬ã ¤«ï ®¡è¨à®© ®¡« á⨠S2, ¨â®«ìª® ¢ 㧪®© ®¡« á⨠S3 ¨¬¥îâS-®¡à §ãî ä®à-¬ã. � ¬¥â¨¬, ®¤ ª®, ç⮠䨧¨ç¥áª®¥ § 票¥¢ £¨¤à®¬¥å ¨ª¥ ¨¬¥¥â 㧪 ï ¯®«®á , ®â¢¥ç îé ï®â®è¥¨î ¯«®â®á⥩ 0:9 � � � 1, â. ¥ £à ¢¨â -æ¨®ë¥ ¢®«ë ¯®¢¥àå®á⨠ª®â ªâ ¤¢ãå á«®-¥¢ ¢ âãàëå ãá«®¢¨ïå ¨¬¥îâ S-®¡à §ãî ä®à-¬ã, ª ¯¨««ïàë¥ { T-®¡à §ãî ä®à¬ã.�¥§ã«ìâ âë, ¯à¥¤áâ ¢«¥ë¥ ¢ëè¥, ¬®£ãâ ¡ëâì¨á¯®«ì§®¢ ë ¯à¨ ¨áá«¥¤®¢ ¨¨ ¤à㣨å á« ¡®¥«¨-¥©ëå § ¤ ç ¢ ¤à㣨å à §¤¥« å ¯à¨ª« ¤®© ¬ â¥-¬ ⨪¨ ¨ 䨧¨ª¨. � à¨á. 3 ¯à¨¢®¤¨âáï ¢¨¤ ªà¨-¢ëå L1 ¨ L2 ¯à¨ �2 < k < 2 ¨ �1 < � < 1 ¤«ï§ 票ï ⮫é¨ë ¢¥à奣® á«®ï h2 = 1, ¨¦¥-£® h1 = 10, h1 = 2 ¨ h1 = 1:73.3. �������� ������ ���������� ®ªà¥áâ®á⨠ªà¨¢®© L2 ¢®§¨ª ¥â â ª §ë-¢ ¥¬ë© १® á ¢â®à®© £ ମ¨ª¨, ª®£¤ ¬¯«¨-â㤠�2(x; t), à ¢ ï 0:5"2a2�, ¢®§à á⠥⠯® áà ¢-¥¨î á ¬¯«¨â㤮© �1(x; t), à ¢®© "a.�¨¦¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥ë ªà¨¢ë¥ L1 ¨ L2 ¯à¨ 䨪á¨-஢ ®¬ § 票¨ ⮫é¨ë ¢¥à奣® á«®ï h2 == 1 ¨ à §«¨çëå § 票ïå ⮫é¨ë ¨¦¥£®á«®ï h1. �®ª § ë â ª¦¥ ®ªà¥áâ®á⨠ªà¨¢®© L2,£¤¥ § 票¥ ¢¥«¨ç¨ë � ¡®«ìè¥ § ¤ ®© ¢¥«¨ç¨-ë (j�j > 1 ¨ j�j > 10), â. ¥. ®¡« á⨠¯à®ï¢«¥¨ï१® á ¢â®à®© £ ମ¨ª¨.�®§¬®¦® ¥áª®«ìª® à §«¨çëå ¢¨¤®¢ १® á-®© ®¡« áâ¨.� à¨á. 4 ¯à¥¤áâ ¢«¥ë ®¡« á⨠१® á ¢â®-ன £ ମ¨ª¨ ¯à¨ § 票ïå â®«é¨ á«®¥¢ h2 == 1, h1 = 10. � ª ®â¬¥ç¥® ¢ ¯à¥¤ë¤ã饬 ¯ãªâ¥,ªà¨¢ë¥ L1 ¨ L2 ¨¬¥îâ â®çªã ¯¥à¥á¥ç¥¨ï (�0; k0),£¤¥ § 票¥ � ¥®¯à¥¤¥«¥®. �¤®«ì ªà¨¢®© L2§ 票¥ ¯à¥¤¥« lim� = 1, ¯à¨ç¥¬ ¯à¨ ¯¥à¥å®-¤¥ ç¥à¥§ ªà¨¢ãî L2 ¡¥áª®¥ç®áâì ¬¥ï¥â § ª.�®çª (�0; k0) ï¥âáï â®çª®© ᮯਪ®á®¢¥¨ï ç¥-âëà¥å ®¡« á⥩ S1, S2, S3, S4. � ª ª 㣮¤® ¬ -«®© ¥¥ ®ªà¥áâ®á⨠áãé¥áâ¢ãîâ â®çª¨, ¯à¨ ¤«¥-¦ 騥 ª ¦¤®© ¨§ ç¥âëà¥å ®¡« á⥩. �¥§® ᮩ®¡« áâìî ï¥âáï ®ªà¥áâ®áâì ªà¨¢®© L2, ¯à¨ç¥¬¢ â®çª¥ (�0; k0) १® á ï ®¡« áâì áâ¢ ¥âáï ªâ®çª¥.� à¨á. 5 ¯à¥¤áâ ¢«¥ १® á ï ®¡« áâì ¯à¨â®«é¨ å á«®¥¢ h2 = 1 ¨ h1 = 2:23. �®çª ¯¥-à¥á¥ç¥¨ï (�0; k0) ªà¨¢ëå L1 ¨ L2 ¢ í⮬ á«ãç ¥ 室¨âáï ¯àאַ© k = 0. � í⮩ â®çª¥ § -票¥ � â ª¦¥ ¥®¯à¥¤¥«¥®, § 票¥ ¯à¥¤¥-
�¨á. 4. �¡« á⨠१® á ¢â®à®© £ ମ¨ª¨ ¯à¨h2 = 1, h1 = 10
�¨á. 5. �¡« á⨠१® á ¢â®à®© £ ମ¨ª¨ ¯à¨h2 = 1, h1 = 2:23« lim� = 1. � ª ª 㣮¤® ¬ «®© ®ªà¥áâ®áâ¨â®çª¨ (�0; k0) «¥¦ â â®çª¨, ¯à¨ ¤«¥¦ 騥 â६®¡« áâï¬ S1, S2, S3. �¥§® ᮩ ®¡« áâìî ï-¥âáï ®ªà¥áâ®áâì ªà¨¢®© L2, ®£à ¨ç¥ ï ªà¨¢ë-¬¨, ᮮ⢥âáâ¢ãî騬¨ j�j = const ¨ ®áﬨ ª®®à-¤¨ â.�«ãç © ¬ «ëå â®«é¨ h1 � 1:73 ®â«¨ç ¥âáï ®â¯à¥¤ë¤ã饣® «¨èì ⥬, çâ® ªà¨¢ ï L2 ã室¨â ¨§¯¥à¢®£® ª¢ ¤à â , १® á ï ®¡« áâì áâ ®-¢¨âáï ®£à ¨ç¥®© ᨧ㠯àאַî k = 0, ᢥàåãªà¨¢ë¬¨, ¢¤®«ì ª®â®àëå � = 1 ¨ � = 10.�. �. �¥«¥§®¢, �. �. �¢à ¬¥ª®, �. �. �ãàâ®¢ë© 87
ISSN 1561 -9087 �ਪ« ¤ £÷¤à®¬¥å ÷ª . 2005. �®¬ 7 (79), N 1. �. 80 { 89����������� áᬮâॠ§ ¤ ç ® à á¯à®áâà ¥¨¨ ¢®«®-¢ëå ¯ ª¥â®¢ ¯®¢¥àå®á⨠ª®â ªâ ¤¢ãå ¦¨¤-ª¨å á«®¥¢ ®á®¢¥ ¬¥â®¤ ¬®£®¬ áèâ ¡ëå à §-«®¦¥¨© ¤® âà¥â쥣® ¯à¨¡«¨¦¥¨ï.�áá«¥¤®¢ ¨¥ ä®à¬ë ¢®«ë ¯®¢¥àå®á⨠ª®-⠪⠤¢ãå á«®¥¢ ¯®ª § «® ¢®§¬®¦®áâì ®¡à §®-¢ ¨ï ¢®« à §«¨ç®© ä®à¬ë: S-®¡à §®© ¨ T-®¡à §®©. �áâ ®¢«¥®, çâ® ¯à¨ ¡®«ìè¨å ¢¥«¨ç¨- å ⮫é¨ë ¨¦¥£® á«®ï ¢ á«ãç ¥ ª ¯¨««ïà®-£à ¢¨â 樮ëå ¢®« ãç¥â ¯®¢¥àå®á⮣® âï-¦¥¨ï ¯à¨¢®¤¨â ª ᣫ ¦¨¢ ¨î ¢®«®¢®£® ¯®«ï.�¡ à㦥ë å à ªâ¥àë¥ ®á®¡¥®á⨠१®- ᮩ ®¡« á⨠¢ § ¢¨á¨¬®á⨠®â ®â®è¥¨ï ⮫-é¨ á«®¥¢, ¢ ç áâ®á⨠¢ë¥ë â ª¨¥ £¥®¬¥âà¨-ç¥áª¨¥ ¨ £¨¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª¨¥ ¯ à ¬¥âàë á¨á⥬ë,ª®£¤ १® á ï ®¡« áâì á㦠¥âáï ¨ áâ¢ ¥âáïª â®çª¥.�áá«¥¤®¢ ¨¥ ¯®¤¤¥à¦¨¢ ¥âáï �®á㤠àá⢥ë¬ä®¤®¬ ä㤠¬¥â «ìëå ¨áá«¥¤®¢ ¨© �ªà ¨ë(�à â 01.07/00079)1. Yuen H.C. Recent advances in nonlinear water waves.An overview // Proc. Int. Sch. Phys. "Enrico Fermi",Varenna, 26 July - 5 Aug., 1988. Course 109.{ Bologna,Amsterdam etc., 1991.{ P. 461-498.2. �¥«¥§®¢ �.�.�®¤¥«¨à®¢ ¨¥ ¢®«®¢ëå ¨ ¤¨äà ªæ¨-®ëå ¯à®æ¥áᮢ ¢ ᯫ®èëå á। å.{ �¨¥¢: � ãª.¤ã¬ª , 1989.{ 204 á.3. �¥ªà ᮢ �.�. �®ç ï ⥮à¨ï ãáâ ®¢¨¢è¨åáï ¢®« ¯®¢¥àå®á⨠â殮«®© ¦¨¤ª®áâ¨.{ �®áª¢ : �§-¢®�� ����, 1951.{ 96 á.4. �¢á飯®¢ �.�., � ª ४® �.�., � «¨¬®¢ �.�.�¥«¨¥©ë¥ ¯à®¡«¥¬ë ⥮ਨ ¯®¢¥àå®áâëå ¨¢ãâà¥¨å ¢®«.{ �®¢®á¨¡¨àáª: � 㪠, 1985.{318 á.5. Hasimoto H., Ono H. Nonlinear modulation of gravitywaves // J. of the Phys. Soc. of Japen.{ 1972.{ 33.{P. 805{811.6. Segur H., Hammack J.L. Soliton models of long inter-nal waves // J.Fluid Mech.{ 1982.{ 118.{ P. 285{304.7. Yuen H.C., Lake B.M. Nonlinear dynamics of deep-water gravity waves // Advances in Appl. Mech.- NewYork, London.{ 1982.{ 22.{ P. 33{45.8. Ablowitz M.J., Segur H. Solutions and the inverse scat-tering transform.{ SIAM: Philadelphia, 1981.{ 210 p.9. �¨§¥¬ �¦.�. �¨¥©ë¥ ¨ ¥«¨¥©ë¥ ¢®«ë.{ �.:�¨à, 1977.{ 622 á.10. Bhatnagar P.L. Nonlinear waves in one-dimensionaldispersive systems.{ Oxford: Clarendon Press, 1979.{199 p.11. Lamb G.L. Elements of soliton theory.{ A Wiley: In-terscience Publications, 1980.{ 213 p.12. Selezov I.T., Korsunsky S.V. Wave propagationalong the interface between the liquid metal and elec-trolyte // Proc. International Conference "MHD Pro-cesses to Protection of Environment". Part 1.{ Kiev-Odessa, 1992.{ P. 111{117.
13. Selezov I.T., Huq P. Interfacial solitary waves in athree-
uid medium with sourth // 2nd Eur. FluidMech. Conf., Warsaw, 20-24 Sept., 1994, Abstr. Pap.{Warsaw, 1994.{ P. 250.14. Bontozoglou V. Weakly nonlinear Kelvin-Helmholzwaters between
uids of �nite depth // Int. J. Mul-tiphase Flow.{ 1991.{ 17, N4.{ P. 509-518.15. Dias F., Kharif Ch. Nonlinear gravity and capillary-gravity waves. Part 7. Importance of surface tensione�ects // Annu. Rev. Fluid Mech.{ 1999.{ 31.{ P. 301{346.16. Duncan J.H. Spilling breakers // Annu. Rev. FluidMech.{ 2001.{ 33.{ P. 519-547.17. Baker G.R. Meiron D.I., Orszag S.A.Generalized vor-tex methods for free-surface
ow problems // J.FluidMech.{ 1982.{ 123.{ P. 477{501.18. Bourtos Y.Z., Abl-el-Malex M.B., Tew�ck A.H. Aformat expansion procedure for the internal solitarywave problem in a two-
uid system of constant topog-raphy // Acta Mechanica.{ 1991.{ 88.{ P. 172{197.19. Chen Y., Liu P.L.-F. The uni�ed Kadomtsev -Petviashvily equation for interfacial waves // J.FluidMech.{ 1995.{ 228.{ P. 383{408.20. Choi W. , Camassa R. Weakly nonlinear internalwaves in a two-
uid system // J. Fluid Mech.{ 1996.{313.{ P. 83{103.21. Ioualalen M., Kharif C., Roberts A.J. Stabilityregimes of �nite depth short-crested water waves //J. Phys. Okeanography.{ 1999.{ 29.{ P. 2318{2331.22. Stamp A.P. , Jacka M. Deep-water internal solitarywaves // J. Fluid Mech.{ 1995.{ 305.{ P. 347{371.23. Trulsen K. Wave kinematics computed with the non-linear Schroedinger method for deep water // Trans.ASME.{ 1999.{ 121.{ P. 126{130.24. Nayfeh A. Nonlinear propagation of wave-packets on
uid interface // Trans. ASME J. Appl. Mech.{ 1976.{Ser. E, 43, N4.{ P. 584{588.25. Avramenko O. V., Selezov I. T. Nonlinear wave prop-agation in a
uid layer based on semi-in�nite
uid //�®¯®¢i¤i ����.{ 1997.{ N10.{ �. 61{66.26. �¥«¥§®¢ �. �., �¢à ¬¥ª® �. �. �¥«¨¥©®¥ à á-¯à®áâà ¥¨¥ ¢®«®¢ëå ¯ ª¥â®¢ ¯à¨ ¬ «ëå ç áâ®-â å // �¥®à¥â. ¨ ¯à¨ª«. ¬¥å ¨ª .{ 2000.{ �ë¯.31.{�. 151{157.27. �¥«¥§®¢ �.�., �¢à ¬¥ª® �.�. �¢®«î樮®¥ãà ¢¥¨¥ âà¥â쥣® ¯®à浪 ¤«ï ¥«¨¥©ëå ¢®«-®¢ëå ¯ ª¥â®¢ ¯à¨ ®ª®«®ªà¨â¨ç¥áª¨å ¢®«®¢ëå ç¨-á« å // �¨ ¬¨ç¥áª¨¥ á¨á⥬ë.{ 2001.{ �ë¯.17.{�. 58{67.28. Selezov I., Avramenko O. Some features of nonlinearwave trains propagating in two-layer
uid // Geophys-ical Research Abstracts, The 26th General Assamblyof the European Geophys. Soc., Nice, France, 25-30March, 2001.{ 2001.{ 3.{ P. 8102.29. �¥«¥§®¢ �. �., �¢à ¬¥ª® �. �. �¢®«îæ¨ï ¥«¨¥©-ëå ¢®«®¢ëå ¯ ª¥â®¢ ¢ £¨¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª®© á¨áâ¥-¬¥ "á«®©-¯®«ã¯à®áâà á⢮" á ãç¥â®¬ ¯®¢¥àå®áâ-®£® â殮¨ï // � â. ¬¥â®¤¨ â äi§.-¬¥å. ¯®«ï.{2001.{ 44, 2.{ �. 113{122.30. Selezov I., Avramenko O., Kharif C., Trulsen K.Higher asymptotic approximations for nonlinear in-ternal waves in
uid // Int. Conf. "Nonlinear Partialdi�erential equations" Book of abstracts, Kyiv. 22-28Aug, 2001.{ Donetsk, 2001.{ P. 105{106.31. Selezov I., Avramenko O., Mironchuk M., Morozo-va L. On application of the potential theory in theproblems of surface gravity waves // Ukrainian Math.Congress. Abstracts. Int. Conf. on Complex Analysisand Potential Theory, Ukraine, Kyiv, 7-12 Aug. 2001.{Kyiv, 2001.{ P. 50-51.88 �. �. �¥«¥§®¢, �. �. �¢à ¬¥ª®, �. �. �ãà⮢ë©
ISSN 1561 -9087 �ਪ« ¤ £÷¤à®¬¥å ÷ª . 2005. �®¬ 7 (79), N 1. �. 80 { 8932. �¢à ¬¥ª® �.�., �¥«¥§®¢ �.�. �á⮩稢®áâì ¢®«-®¢ëå ¯ ª¥â®¢ ¢ á«®¨áâëå £¨¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª¨å á¨-á⥬ å á ãç¥â®¬ ¯®¢¥àå®á⮣® â殮¨ï //�ਪ« ¤ ï £¨¤à®¬¥å ¨ª .{ 2001.{ N4.{ �. 38{46.33. Selezov I., Avramenko O. Stability analysis of non-linear wave trains propagating in two-
uid system //Abstracts, Int. Conf. "Dynamical Systems Modellingand Stability Investigation", Kyiv, 2001, May 22-25.{Kyiv, 2001.{ P. 356.34. �¢à ¬¥ª® �.�. �¥§® á ¨ ä®à¬ ¢®«®¢®£® ¯ -ª¥â ¯®¢¥àå®á⨠ª®â ªâ ¦¨¤ª¨å á। // �iá-¨ª ���, �¥à. "� ⥬ ⨪ , ¯à¨ª«, ¬¥â¥¬ ⨪ i¬¥å iª ".{ 2001.{ �ë¯.50.{ �. 122{128.35. Selezov I., Avramenko O., Kharif Ch., Trulsen K.High-order evolution equation for nonlinear wave-packet propagation with surface tension accounting //C.R. Mecanique .{ 2003.{ 331.{ P. 197{201.36. Selezov I.T., Avramenko O.V. Nonlinear propaga-tion of wave packets for nearcritical wave numbers ina liquid that is piecewise nonuniform with depth // J.Math. Sciences, February .{ 2001.{ 103(3).{ P. 409{413.
37. Selezov I.T., Avramenko O.V. Transformation ofa pressure pulse in a
uid-�lled cylindrical elasticshell. // J. Math. Sciences, January .{ 2001.{ 103(2).{P. 195{201.38. Selezov I.T. Wave processes in
uids and elastic me-dia // Int. J. Fluid Mechanics Research.{ 2003.{ 30,N2.{ P. 219-224.39. Avramenko O.V., Selezov I.T. A new solution of theproblem of wave propagation in strati�ed
uid // �®¯.��� �ªà ù¨. �¥à. �.{ 1996.{ N9.{ P. 59{65.40. Selezov I., Avramenko O., Kharif Ch., Trulsen K.Higher asymptotic approximations for nonlinear in-ternal waves in
uids // �¥«¨. £à ¨çë¥ § ¤ ç¨.{2003.{ �ë¯.13.{ P. 141{148.41. � ©äí �. �¥â®¤ë ¢®§¬ã饨©.{ �.: �¨à, 1976.{242 á.42. �¢à ¬¥ª® �.�., �¥«¥§®¢ �.� �âàãªâãà ¥«¨¥©-ëå ¢®«®¢ëå ¯ ª¥â®¢ ¯®¢¥àå®á⨠ª®â ªâ ¦¨¤ª¨å á। // �ਪ« ¤ ï £¨¤à®¬¥å ¨ª .{ 2002.{4(76), 4.{ �. 3{13.
�. �. �¥«¥§®¢, �. �. �¢à ¬¥ª®, �. �. �ãàâ®¢ë© 89
|