Дослiдження сталих нелiнiйних згинно-гравiтацiйних хвиль в морi, вкритому суцiльною кригою

Для обобщенного уравнения Кортевега-де Вриза, к которому сводится модель распространения длинных нелинейных (изгибно-гравитационных) волн в море, покрытом сплошным льдом, выделены области изменения параметров задачи, где могут существовать различные типы солитоноподобных решений данного уравнения. И...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2005
Автори:	Гончаренко, Т.Б., Яковлев, В.В.
Формат:	Стаття
Мова:	Ukrainian
Опубліковано:	Інститут гідромеханіки НАН України 2005
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/4785
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Дослiдження сталих нелiнiйних згинно-гравiтацiйних хвиль в морi, вкритому суцiльною кригою / Т. Б. Гончаренко, В. В. Яковлев // Прикладна гідромеханіка. — 2005. — Т. 7, № 2. — С. 3-7. — Бібліогр.: 8 назв. — укр.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-4785
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-47852009-12-24T12:00:36Z Дослiдження сталих нелiнiйних згинно-гравiтацiйних хвиль в морi, вкритому суцiльною кригою Гончаренко, Т.Б. Яковлев, В.В. Для обобщенного уравнения Кортевега-де Вриза, к которому сводится модель распространения длинных нелинейных (изгибно-гравитационных) волн в море, покрытом сплошным льдом, выделены области изменения параметров задачи, где могут существовать различные типы солитоноподобных решений данного уравнения. Исследован характер собственных значений при различных соотношениях физических параметров задачи и определена область изменения параметров, в которой могут иметь место стационарные решения типа классической уединенной волны. Для узагальненого рiвняння Кортевега-де Врiза, до якого зводиться модель розповсюдження довгих нелiнiйних (згинно-гравiтацiйних) хвиль у морi, вкритому суцiльною кригою, визначенi областi змiни параметрiв задачi, де можуть iснувати рiзнi типи солiтоноподiбних розв'язкiв даного рiвняння. Дослiджено характер власних значень для рiзних спiввiдношень фiзичних параметрiв задачi та визначено область змiни параметрiв, де можуть мати мiсце стацiонарнi рiшення типу класичної вiдокремленої хвилi. There have been found the domains of changing of parameters where the various types of solyton-like solutions of the generalized Korteweg-de Vrise equation, which describes the propagation of long nonlinear (flexible-gravitational) waves in the sea covered by ice, can exist. The character of eigen values for the different relations of the physical parameters of the problem has been researched and the domain of the parameters, where the steady solutions such as solyton can take place, is determined. 2005 Article Дослiдження сталих нелiнiйних згинно-гравiтацiйних хвиль в морi, вкритому суцiльною кригою / Т. Б. Гончаренко, В. В. Яковлев // Прикладна гідромеханіка. — 2005. — Т. 7, № 2. — С. 3-7. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. 1561-9087 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/4785 533.6.013.42 uk Інститут гідромеханіки НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
description	Для обобщенного уравнения Кортевега-де Вриза, к которому сводится модель распространения длинных нелинейных (изгибно-гравитационных) волн в море, покрытом сплошным льдом, выделены области изменения параметров задачи, где могут существовать различные типы солитоноподобных решений данного уравнения. Исследован характер собственных значений при различных соотношениях физических параметров задачи и определена область изменения параметров, в которой могут иметь место стационарные решения типа классической уединенной волны.
format	Article
author	Гончаренко, Т.Б. Яковлев, В.В.
spellingShingle	Гончаренко, Т.Б. Яковлев, В.В. Дослiдження сталих нелiнiйних згинно-гравiтацiйних хвиль в морi, вкритому суцiльною кригою
author_facet	Гончаренко, Т.Б. Яковлев, В.В.
author_sort	Гончаренко, Т.Б.
title	Дослiдження сталих нелiнiйних згинно-гравiтацiйних хвиль в морi, вкритому суцiльною кригою
title_short	Дослiдження сталих нелiнiйних згинно-гравiтацiйних хвиль в морi, вкритому суцiльною кригою
title_full	Дослiдження сталих нелiнiйних згинно-гравiтацiйних хвиль в морi, вкритому суцiльною кригою
title_fullStr	Дослiдження сталих нелiнiйних згинно-гравiтацiйних хвиль в морi, вкритому суцiльною кригою
title_full_unstemmed	Дослiдження сталих нелiнiйних згинно-гравiтацiйних хвиль в морi, вкритому суцiльною кригою
title_sort	дослiдження сталих нелiнiйних згинно-гравiтацiйних хвиль в морi, вкритому суцiльною кригою
publisher	Інститут гідромеханіки НАН України
publishDate	2005
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/4785
citation_txt	Дослiдження сталих нелiнiйних згинно-гравiтацiйних хвиль в морi, вкритому суцiльною кригою / Т. Б. Гончаренко, В. В. Яковлев // Прикладна гідромеханіка. — 2005. — Т. 7, № 2. — С. 3-7. — Бібліогр.: 8 назв. — укр.
work_keys_str_mv	AT gončarenkotb doslidžennâstalihnelinijnihzginnogravitacijnihhvilʹvmorivkritomusucilʹnoûkrigoû AT âkovlevvv doslidžennâstalihnelinijnihzginnogravitacijnihhvilʹvmorivkritomusucilʹnoûkrigoû
first_indexed	2025-07-02T07:59:16Z
last_indexed	2025-07-02T07:59:16Z
_version_	1836521259574231040
fulltext	НАУКОВI СТАТТI ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2005. Том 7, N 2. С. 3 – 7 УДК 533.6.013.42 ДОСЛIДЖЕННЯ СТАЛИХ НЕЛIНIЙНИХ ЗГИННО-ГРАВIТАЦIЙНИХ ХВИЛЬ У МОРI, ВКРИТОМУ СУЦIЛЬНОЮ КРИГОЮ Т. Б. Г О Н Ч АР ЕН К О, В. В. Я К ОВ Л Е В Iнститут гiдромеханiки НАН України, Київ Отримано 04.02.2005 Для узагальненого рiвняння Кортевега–де Врiза, до якого зводиться модель розповсюдження довгих нелiнiйних (згинно-гравiтацiйних) хвиль у морi, вкритому суцiльною кригою, визначенi областi змiни параметрiв задачi, де можуть iснувати рiзнi типи солiтоноподiбних розв’язкiв даного рiвняння. Дослiджено характер власних значень для рiзних спiввiдношень фiзичних параметрiв задачi та визначено область змiни параметрiв, де можуть мати мiсце стацiонарнi рiшення типу класичної вiдокремленої хвилi. Для обобщенного уравнения Кортевега–де Вриза, к которому сводится модель распространения длинных нелиней- ных (изгибно-гравитационных) волн в море, покрытом сплошным льдом, выделены области изменения параметров задачи, где могут существовать различные типы солитоноподобных решений данного уравнения. Исследован ха- рактер собственных значений при различных соотношениях физических параметров задачи и определена область изменения параметров, в которой могут иметь место стационарные решения типа классической уединенной волны. There have been found the domains of changing of parameters where the various types of solyton-like solutions of the generalized Korteweg–de Vrise equation, which describes the propagation of long nonlinear (flexible-gravitational) waves in the sea covered by ice, can exist. The character of eigen values for the different relations of the physical parameters of the problem has been researched and the domain of the parameters, where the steady solutions such as solyton can take place, is determined. ВСТУП Дослiдження нелiнiйних згинно-гравiтацiйних хвиль у морi, вкритому суцiльною кригою, є до- сить нелегкою задачею внаслiдок складностi гра- ничних умов на поверхнi роздiлу лiд – вода. Ха- рактер цих хвиль залежить вiд спiввiдношення мiж силами тяжiння та характеристиками льодо- вого покриву. При їх розповсюдженнi сили iнер- цiї маси льоду та сили пружностi врiвноважують тиск води. Нелiнiйнi згинно-гравiтацiйнi хвилi яв- ляють собою комбiнацiю згинної хвилi в крижанiй пластинi, що плаває на поверхнi рiдини, i гравiта- цiйної хвилi. У випадку кiнцевої чи нескiнченої глибини рi- дини нелiнiйнi згинно-гравiтацiйнi хвилi дослiдже- но в роботi [1]. У випадку малої глибини рi- дини розповсюдження довгих нелiнiйних згинно- гравiтацiйних хвиль описується за допомогою уза- гальненого рiвняння Кортевега–де Врiза (КдВ) [2], яке може мати рiшення у виглядi солiтоноподiбних хвиль. Солiтоноподiбнi рiшення нелiнiйно-дисперсiй- них рiвнянь ретельно розглянутi в роботi [3]. То- чне рiшення узагальненого рiвняння КдВ побудо- вано в роботi [4], в якiй аналiз отриманого автора- ми рiвняння показав, що точне рiшення може бути здобутим тiльки для вiд’ємних значень коефiцiєн- ту при третiй похiднiй. Тому автори при побудовi нелiнiйно-дисперсiйного рiвняння, яке описує роз- повсюдження згинно-гравiтацiйних хвиль, зроби- ли припущення, що у крижанiй пластинi iснує по- передня напруга. Це призвело до потрiбного знаку перед третьою похiдною, проте побудоване для та- кого рiвняння точне рiшення має деякi дивнi влас- тивостi, а саме: з побудованого розв’язку випли- ває, що класичний солiтон iснує тiльки для певної дискретної множини значень коефiцiєнтiв рiвнян- ня. Це викликає сумнiв щодо правильностi побу- дованої моделi. При цьому, на вiдмiну вiд iнших солiтонних рiшень у нелiнiйних середовищах, що диспергують, швидкiсть такого солiтону виявляє- ться незалежною вiд амплiтуди хвилi. В роботi [5] побудовано довгохвильову модель розповсюдження згинно-гравiтацiйних хвиль у пружнiй пластинi, яка плаває на поверхнi рiдини. Ця модель враховує ефекти нелiнiйної дисперсiї рi- дини, iнерцiю, пружнiсть та геометрично нелiнiй- ний прогин пластини, що моделює льодовий по- крив. Для даної моделi, яка зводиться до узагаль- неного рiвняння КдВ, побудованi i проаналiзованi точнi рiшення у виглядi солiтону та кноїдальних хвиль. Показано, що у випадку врахування нелi- нiйного прогину пластини область iснування солi- тонного рiшення, на вiдмiну вiд роботи [4], непе- рервно залежить вiд коефiцiєнтiв рiвняння. Грун- туючись на роботi [5], спробуємо бiльш детально дослiдити цю модель з точки зору спiввiдношен- c© Т. Б. Гончаренко, В. В. Яковлев, 2005 3 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2005. Том 7, N 2. С. 3 – 7 ня вказаних параметрiв, якi є вiдповiдальними за iснування солiтоноподiбних хвиль. 1. НЕЛIНIЙНО-ДИСПЕРСIЙНА МОДЕЛЬ Солiтоноподiбнi розв’язки нелiнiйних хвильових рiвнянь становлять значний iнтерес для дослiд- ження як з математичної, так i з фiзичної точок зору. В роботi [6] розглядаються солiтоннi рiшення трьох типiв. Перший, найвiдомiший тип солiтонно- го рiшення рiвняння КдВ – класична вiдокремле- на хвиля. Другий тип – узагальненi вiдокремленi хвилi – хвилi, що бiжать, подiбнi до вiдокремле- ної хвилi, але такi, що мають перiодичну асимпто- тику на нескiнченостi. Третiй тип – вiдокремле- нi хвилi з структурою, що осцилює, це так званi вiдокремленi хвилi-пакети. Узагальнене рiвняння Кортевега–де Врiза, до якого зводиться довгохви- льова нелiнiйно-дисперсiйна модель [5], що описує поширення згинно-гравiтацiйних хвиль у пружнiй пластинi, яка плаває на поверхнi рiдини, має ви- гляд ∂ξz ∂t + ( 1 + 3 2 αξz ) ∂ξz ∂x + + β + 3γ − 3h1εxE 6 ∂3ξz ∂x3 + δ 2 ∂5ξz ∂x5 = 0, де α = A d0 ; β = d0 λ ; γ = ρ1h1β ρ2d0 ; δ = βD ρ2gd2 0λ 2 ; ρ1, h1, D, E – вiдповiдно щiльнiсть, товщина, ци- лiндрична жорсткiсть i модуль пружностi пласти- ни; εx– деформацiя серединної поверхнi за раху- нок геометрично нелiнiйного прогину; A, λ – ам- плiтуда i довжина хвилi. Ця модель досить цiкава з точки зору фiзики процесу, оскiльки в рiвняннi в явному виглядi при- сутнi основнi фiзичнi параметри, що визначають характер можливих його рiшень. Позначаючи κ = (β +3γ − 3h1εxE)/6, запишемо дисперсiйне спiввiдношення у виглядi ω = k − κk3 + δ 2 k5. Зрозумiло, що ω k 6= ∂ω ∂k . Тому в залежностi вiд значень параметрiв задачi iснують областi ано- мальної i нормальної дисперсiї: ∂ω ∂k − ω k = −2κk2 + 2δk4. Для κ < 0 та будь-якого k маємо ∂ω ∂k > ω k , тобто дисперсiя аномальна. При κ > 0 iснують областi нормальної ( k < √ κ δ ) й аномальної ( k > √ κ δ ) дисперсiї. Це становить певний iнтерес, оскiльки фазова швидкiсть у данiй моделi може бути по- в’язана з параметром бiфуркацiї. Для κ < 0 iснує гiлка дисперсiйної залежностi, що проходить через 0, така, що її графiк лежить цiлком з одного боку вiд дотичної до нього в нулi. Така картина свiдчить про iснування рiшення ти- пу класичних вiдокремлених хвиль [6]. У роботi [5] побудоване точне солiтонне рiшення I типу даного рiвняння, тобто класична вiдокремлена хвиля. Проаналiзуємо вихiдне рiвняння аналогiчно [7] з метою з’ясувати зв’язок фiзичних параметрiв за- дачi з типом можливих його рiшень. 2. ДОСЛIДЖЕННЯ ДИНАМIЧНОЇ СИСТЕМИ Пiсля замiни ζ = x−Ut й iнтегрування узагаль- нене рiвняння Кортевега–де Врiза набуває вигля- ду: 2 (1 − U) δ u + 3α 2δ u2 + 2κ δ uζζ + uζζζζ = 0. (1) Такому рiвнянню вiдповiдає динамiчна система:                  u̇1 = u2, u̇2 = u3, u̇3 = u4, u̇4 = 2(U−1) δ u1 − 3α 2δ u2 1 − 2κ δ u3 . (2) Традицiйний пiдхiд до вивчення подiбних си- стем полягає в пошуку так званих стацiонарних станiв системи (тобто таких точок фазового про- стору (u1, u2, u3, u4), для яких правi частини си- стеми (2) дорiвнюють 0, i дослiдженнi поведiнки системи поблизу цих точок за допомогою її лiнеа- ризацiї в їхнiх околах. Зрозумiло, що система (2) завжди має два стацiонарних стани: S1 = (0., 0., 0., 0.) , S2 = ( 4(U−1) 3α , 0., 0., 0. ) . (3) При U = 1 цi стани зливаються в один; у цьо- му випадку у вихiдному рiвняннi зникають першi два доданки. Такий самий стацiонарний стан ха- рактерний i для лiнiйної системи. 4 Т. Б. Гончаренко, В. В. Яковлев ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2005. Том 7, N 2. С. 3 – 7 Нехай маємо стацiонарний стан (σ, 0., 0., 0.). Пiс- ля лiнеаризацiї системи (1) у околi цього стану отримаємо для u4 таке рiвняння: u̇4 = u1 ( 2 (U − 1) δ − 3ασ δ ) − 2κ δ u3. (4) Щоб знайти власнi значення, якi характеризу- ють поведiнку системи поблизу кожного стацiо- нарного стану, необхiдно одержати вiковi рiвняння для цих станiв. Iз системи (2) маємо: ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ −λs 1 0 0 0 −λs 1 0 0 0 −λs 1 −G 0 −2κ δ −λs ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = λ4 s + 2κ δ λ2 s + G, G = 2 (1 − U) δ + 3α δ σ = ±2 (1 − U) δ . (5) Аналiз вiдповiдних детермiнантiв показує, що i S1, i S2 будуть сингулярними точками системи, але S1 є точкою повороту, а S2 – точкою розгалуження для системи (2). З рiвняння (5) одержуємо наступ- нi вирази для власних значень: λ2 S1 = −κ δ ± √ κ2 δ2 − 2 (1 − U) δ , λ2 S2 = −κ δ ± √ κ2 δ2 + 2 (1 − U) δ . (6) Вигляд цих формул говорить про можливу взає- мозалежнiсть власних значень, що характеризу- ють два рiзнi стацiонарнi стани системи. Аналiз вiдповiдних динамiчних систем, отриманих у ре- зультатi лiнеаризацiї вихiдної системи в околi її особливих точок (стацiонарних станiв), показав, що за типом цi стани тiсно пов’язанi мiж собою, причому можна вказати iнтервали фiзичних па- раметрiв, що визначають рiзний характер коренiв вiкового рiвняння, а отже, тип самiх станiв. У роботi [8] наведенi можливi фазовi траєкторiї динамiчної системи в околицi її особливих точок у залежностi вiд вiдповiдних характеристичних чи- сел для випадку системи трьох рiвнянь. Надати подiбним чином фазовi траєкторiї для даної систе- ми проблематично, тому про характер можливих рiшень залишається судити по вже побудованих рiшеннях для рiвнянь такого типу i по комбiнацiях вiкових коренiв, що визначають поведiнку рiшен- ня динамiчної системи поблизу її особливих точок [7]. Розглянемо областi можливого iснування рiз- них типiв розв’язку (1). Характер значень λS1 i λS2 залежить насампе- ред вiд позитивностi значень вiдповiдних дискри- мiнантiв у виразах (6), а також вiд знака парамет- ра κ, оскiльки δ завжди додатнє. Областi можли- вих комбiнацiй власних значень у залежностi вiд параметрiв задачi наведенi на рис. 1. Рис. 1. Схема областей можливих комбiнацiй характеристичних значень у площинi U(λ) В областi III стацiонарний стан S1 характеризує- ться парою дiйсних i парою уявних коренiв проти- лежних знакiв; у двовимiрному фазовому просторi такi дiйснi коренi свiдчать про сiдловий характер стацiонарного стану, а уявнi – про те, що вiн має характер центру. Сiдлова точка вiдрiзняється тим, що вона є точкою перетину двох фазових траєкто- рiй, причому для однiєї траєкторiї ця точка стiй- ка, для iншої – нестiйка. Центр характеризується тим, що через нього фазовi траєкторiї не прохо- дять, а мають вигляд замкнених кривих навколо цiєї точки. Вiдповiдно дана особлива точка володiє двовимiрним iнварiантним простором i однопара- метричним сiмейством орбiт. Стан S2 є стiйким i теж має характер центра, оскiльки володiє двома парами протилежних за знаком уявних коренiв; вiдповiдно iснує два сiмей- ства орбiт, породжених даною точкою. Область IV, симетрична областi III вiдносно лi- нiї U = 1, мiняє мiсцями S1 i S2 з точки зору їх характеру в порiвняннi з областю III. Таку саму антисиметрiю мають областi II i V, де один стан (S1 у II i S2 в V) зберiгає той саме характер, що й у вище розглянутих областях, а в iншого стану (вiдповiдно в S2 у II i S1 в V) уяв- нi коренi переходять у комплексно-спряженi пари, наявнiсть яких у двовимiрному фазовому просто- рi говорить про те, що вiдповiдний стацiонарний стан – фокус, стiйкий чи нi в залежностi вiд знака дiйсної частини коренiв. Згiдно [7], у цих областях можливе iснування рiшень у виглядi узагальненої Т. Б. Гончаренко, В. В. Яковлев 5 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2005. Том 7, N 2. С. 3 – 7 вiдокремленої хвилi. З погляду iснування класичного солiтонного рi- шення найцiкавiшими виявляються областi I i IV, що також симетричнi вiдносно лiнiї U = 1 щодо “обмiну” властивостями S1 i S2. Тут один стан (S1 у VI i S2 в I) характеризується двома парами, зно- ву ж таки протилежних за знаком, дiйсних коре- нiв, а iнший – аналогiчною парою дiйсних i па- рою спряжених уявних коренiв. Згiдно [7, 8], чоти- ри дiйсних коренi вiкового рiвняння говорять про наявнiсть двох двовимiрних (стiйкого i нестiйко- го) iнварiантних просторiв, у результатi перетину яких утворюються солiтоннi рiшення з гладкою структурою фронтiв. Для κ < 0 та значень па- раметра U∈ ( 1 − κ2 2δ , 1 + κ2 2δ ) вiкове рiвняння для одного зi станiв S1, S2 обов’язково має чотири дiй- сних коренi. Значення параметра U для солiтон- ного рiшення, побудованого в [5], також належить даному промiжку. Лiнiя U = 1 − κ2 2δ дає для S1 пари кратних ко- ренiв, дiйсних для вiд’ємних κ i уявних для κ > 0; для S2 λ2 S2 = −κ δ ( 1 ∓ √ 2 ) . На лiнiї U = 1 + κ2 2δ знову S1 i S2 мiняються мiсцями, i λ2 S1 = −κ δ ( 1 ∓ √ 2 ) . Таким чином, проведений аналiз показує (див. рис. 1), що поведiнка коренiв виявляється симе- тричною щодо лiнiй U = 1 i κ = 0. При переходi через κ = 0 мiняються мiсцями уявнi та дiйснi зна- чення, при переходi через U = 1 мiняються мiсця- ми стани, причому на цiй лiнiї вони зливаються в один (див. вирази (6)) з нульовим власним значе- нням кратностi 2 i парою дiйсних або уявних ко- ренiв протилежних знакiв. Далi, ми бачимо, що не iснує такої областi значень параметрiв, у якiй S1 i S2 одночасно характеризувалися б комплексними коренями. Комплекснi значення коренiв вiкового рiвняння з’являються спряженими парами, власнi вектори для пари λi,i+1 = µi ± iνi мають вигляд: eµit    1 0 0 0 µi 1 0 0 µ2 i 2µi 1 0 µ3 i 3µ2 i 2µi 1       1 0 0 0 0 νi 0 0 0 0 ν2 i 0 0 0 0 ν3 i    ∗ ∗    cos (νit) sin (νit) − sin (νit) cos (νit) − cos (νit) − sin (νit) sin (νit) − cos (νit)    ( C1 0 0 C2 ) . Рис. 2. Залежнiсть параметру бiфуркацiї вiд характеристичних значень для κ < 0 Сiдловi точки, яким у двовимiрному фазовому просторi вiдповiдають пари дiйсних власних зна- чень протилежних знакiв, зазвичай лежать на се- паратрисi, тобто лiнiї, що роздiляє областi з рi- зним характером фазових траєкторiй. Вiдповiдно до роботи [7], солiтоннi рiшення з фронтом, що осцилює, можуть мати мiсце в областях II i V, а з гладким – у I i VI. Природний iнтерес (у сенсi переходу вiд одного типу рiшень до iншого) може викликати лiнiя границi I-II i V-VI. 3. ДОДАТКОВI ЗАУВАЖЕННЯ Параметр U виявляється бiфуркацiйним. Симе- трiя в характерi станiв S1 , S2 стає зрозумiлою, якщо звернутися до рис. 2, де надана залежнiсть U вiд власних значень λ для S1 i S2. При κ > 0 картина досить проста, iснує симетрiя щодо осi U i лiнiї U = 1. Для κ < 0 симетричнiсть збе- рiгається, але ситуацiя набагато цiкавiша. Очеви- дно, що кiлькiсть точок перетину будь-якої лiнiї U = const з параболами пов’язана з характером коренiв вiкового рiвняння (5), а перемiщення такої лiнiї вiд значення U = 1− κ2 2δ вгору до U = 1 + κ2 2δ пояснює “обмiн характером” мiж стацiонарними станами: чотири точки перетину прямої U = const iз графiком при переходi через U = 1 переходять з однiєї параболи на iншу. Аналiз коефiцiєнтiв полiнома в [5] показує, що кратнi коренi даний полiном може мати тiльки при U = c, на вiдмiну вiд варiанта побудови солiтонно- го рiшення КдВ [3], де два з коефiцiєнтiв аналогi- чного полiнома являють собою константи iнтегру- вання, i вимога кратностi кореня не призводить до 6 Т. Б. Гончаренко, В. В. Яковлев ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2005. Том 7, N 2. С. 3 – 7 такого жорсткого обмеження. Оскiльки якщо яку- небудь залежнiсть можна надати у виглядi полiно- ма, такий полiном є єдиним, то солiтонне рiшення в [5] у даному випадку теж буде єдиним, тому що можливiсть його побудувати забезпечується саме кратним коренем полiнома. ВИСНОВКИ Лiнеаризацiя вiдповiдної динамiчної системи для узагальненого рiвняння КдВ та аналiз особли- вих точок дають можливiсть з’ясувати, якi спiв- вiдношення мiж фiзичними параметрами вихiдної задачi визначають областi, де можна очiкувати iснування солiтоноподiбних згинно-гравiтацiйних хвиль. Крiм того, стацiонарнi стани виявились пов’язанi мiж собою за характером, а залежнiсть параметрa бiфуркацiї вiд власних значень допо- могла з’ясувати характер прихованої бiфуркацiї. Отриманi спiввiдношення цiкавi тим, що до них у явному виглядi входять параметр, що характе- ризує дисперсiю пружностi пластини, параметр, вiдповiдальний за дисперсiю хвиль, та параметр, пов’язаний iз фазовою швидкiстю звичайних гравiтацiйних хвиль на водi. Це дає можли- вiсть подальшого ретельного аналiзу вiдповiдних процесiв, фiзико-математичнi моделi яких можуть бути зведенi до аналогiчного рiвняння. 1. Гладун О.М. Нелинейные колебания тонкой упругой пластины, плавающей на поверхности жидкости.– Дис.на соиск. учен.ст. канд. физ.- матем. наук: Минск, 1989.– 164 с. 2. Ткаченко В.А., Яковлев В.В. Длинно-волновые нелинейно-дисперсионные модели трансформации поверхностных волн в море, покрытом льдом // Исследование цунами. – М.– 1988.– N 3.– С. 41-46. 3. Бхатнагар П. Нелинейные волны в одномерных дисперсных системах.– М.: Мир, 1983.– 136 с. 4. Марченко А.В. О длинных волнах в мелкой жид- кости под ледяным покровом // ПМН.– 1988.– 52, B. 2.– С. 230-234. 5. Ткаченко В.А., Яковлев В.В. Нелинейно-дисперси- онная модель трансформации поверхностных волн в прибрежной зоне моря, покрытой льдом // При- кладна гiдромеханiка.– 1999.– 1(73),N 3.– С. 55– 64. 6. Ильичев А.Т. Уединенные волны в средах с дис- персией и диссипацией (обзор) // МЖГ.– 2000.– N 2.– С. 3-27. 7. Ильичев А.Т., Марченко А.В. О распространении длинных нелинейных волн в тяжелой жидкости под ледяным покровом // МЖГ.– 1989.– N 1.– С. 88-95. 8. Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в тео- рию колебаний и волн. Учебное пособие.– М.: На- ука, 1984.– 432 с. Т. Б. Гончаренко, В. В. Яковлев 7

Дослiдження сталих нелiнiйних згинно-гравiтацiйних хвиль в морi, вкритому суцiльною кригою

Репозитарії

Схожі ресурси