Двосторонній згин пластини з несиметричною наскрізною тріщиною по дузі кола з урахуванням контакту її берегів

На основі класичної теорії згину пластин досліджено задачу про згин пластини розподіленими моментами на нескінченності з несиметричною наскрізною тріщиною по дузі кола з урахуванням контакту її берегів. Встановлено умови існування розв’язку задачі у такій постановці. Проведено числовий аналіз кое...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2006
Автори:	Божидарнік, В.В., Опанасович, В.К., Герасимчук, В.П.
Формат:	Стаття
Мова:	Ukrainian
Опубліковано:	Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України 2006
Назва видання:	Проблемы прочности
Теми:	Научно-технический раздел
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/47860
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Двосторонній згин пластини з несиметричною наскрізною тріщиною по дузі кола з урахуванням контакту її берегів / В.В. Божидарнік, В.К. Опанасович, П.В. Герасимчук // Проблемы прочности. — 2006. — № 5. — С. 135-141. — Бібліогр.: 5 назв. — укр.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-47860
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-478602013-08-03T15:08:06Z Двосторонній згин пластини з несиметричною наскрізною тріщиною по дузі кола з урахуванням контакту її берегів Божидарнік, В.В. Опанасович, В.К. Герасимчук, В.П. Научно-технический раздел На основі класичної теорії згину пластин досліджено задачу про згин пластини розподіленими моментами на нескінченності з несиметричною наскрізною тріщиною по дузі кола з урахуванням контакту її берегів. Встановлено умови існування розв’язку задачі у такій постановці. Проведено числовий аналіз коефіцієнтів інтенсивності зусиль і моментів, контактного зусилля між краями берегів тріщини, результати якого подано графічно. На основании классической теории изгиба пластин исследована задача об изгибе пластин распределенными моментами на бесконечности с несимметричной сквозной трещиной по дуге круга с учетом контакта ее берегов. Установлены условия существования решения задачи в такой постановке. Проведен численный анализ коэффициентов интенсивности усилий и моментов, контактного усилия между краями берегов трещины, результаты которого проиллюстрированы графически. Using the conventional plate-bending theory, we have studied the bending problem of a plate with an through-type asymmetric arc-shaped crack loaded by distributed moments in the infinity, with the account taken of the crack borders’ contact. Conditions for the existence of solution to this problem in such formulation are identified. We conducted the numerical analysis of intensity factors of stresses and moments, as well as contact stresses between the crack borders, and provide graphical representation of the results obtained. 2006 Article Двосторонній згин пластини з несиметричною наскрізною тріщиною по дузі кола з урахуванням контакту її берегів / В.В. Божидарнік, В.К. Опанасович, П.В. Герасимчук // Проблемы прочности. — 2006. — № 5. — С. 135-141. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. 0556-171X http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/47860 539.3 uk Проблемы прочности Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
topic	Научно-технический раздел Научно-технический раздел
spellingShingle	Научно-технический раздел Научно-технический раздел Божидарнік, В.В. Опанасович, В.К. Герасимчук, В.П. Двосторонній згин пластини з несиметричною наскрізною тріщиною по дузі кола з урахуванням контакту її берегів Проблемы прочности
description	На основі класичної теорії згину пластин досліджено задачу про згин пластини розподіленими моментами на нескінченності з несиметричною наскрізною тріщиною по дузі кола з урахуванням контакту її берегів. Встановлено умови існування розв’язку задачі у такій постановці. Проведено числовий аналіз коефіцієнтів інтенсивності зусиль і моментів, контактного зусилля між краями берегів тріщини, результати якого подано графічно.
format	Article
author	Божидарнік, В.В. Опанасович, В.К. Герасимчук, В.П.
author_facet	Божидарнік, В.В. Опанасович, В.К. Герасимчук, В.П.
author_sort	Божидарнік, В.В.
title	Двосторонній згин пластини з несиметричною наскрізною тріщиною по дузі кола з урахуванням контакту її берегів
title_short	Двосторонній згин пластини з несиметричною наскрізною тріщиною по дузі кола з урахуванням контакту її берегів
title_full	Двосторонній згин пластини з несиметричною наскрізною тріщиною по дузі кола з урахуванням контакту її берегів
title_fullStr	Двосторонній згин пластини з несиметричною наскрізною тріщиною по дузі кола з урахуванням контакту її берегів
title_full_unstemmed	Двосторонній згин пластини з несиметричною наскрізною тріщиною по дузі кола з урахуванням контакту її берегів
title_sort	двосторонній згин пластини з несиметричною наскрізною тріщиною по дузі кола з урахуванням контакту її берегів
publisher	Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України
publishDate	2006
topic_facet	Научно-технический раздел
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/47860
citation_txt	Двосторонній згин пластини з несиметричною наскрізною тріщиною по дузі кола з урахуванням контакту її берегів / В.В. Божидарнік, В.К. Опанасович, П.В. Герасимчук // Проблемы прочности. — 2006. — № 5. — С. 135-141. — Бібліогр.: 5 назв. — укр.
series	Проблемы прочности
work_keys_str_mv	AT božidarníkvv dvostoronníjzginplastiniznesimetričnoûnaskríznoûtríŝinoûpoduzíkolazurahuvannâmkontaktuííberegív AT opanasovičvk dvostoronníjzginplastiniznesimetričnoûnaskríznoûtríŝinoûpoduzíkolazurahuvannâmkontaktuííberegív AT gerasimčukvp dvostoronníjzginplastiniznesimetričnoûnaskríznoûtríŝinoûpoduzíkolazurahuvannâmkontaktuííberegív
first_indexed	2025-07-04T07:55:21Z
last_indexed	2025-07-04T07:55:21Z
_version_	1836702207155634176
fulltext	УДК 539.3 Двосторонній згин пластини з несиметричною наскрізною тріщиною по дузі кола з урахуванням контакту її берегів* В. В. Божидарніка, В. К. Опанасович6, П. В. Герасимчука а Луцький державний технічний університет, Луцьк, Україна 6 Львівський національний університет ім. І. Франка, Львів, Україна На основі класичної теорії згину пластин досліджено задачу про згин пластини розподіле ними моментами на нескінченності з несиметричною наскрізною тріщиною по дузі кола з урахуванням контакту її берегів. Встановлено умови існування розв’язку задачі у такій постановці. Проведено числовий аналіз коефіцієнтів інтенсивності зусиль і моментів, кон тактного зусилля між краями берегів тріщини, результати якого подано графічно. К л ю ч о в і с л о в а : згин, ізотропна пластина, тріщина по дузі кола, плоска задача теорії пружності, класична теорія згину, комплексні потенціали, кон тактне зусилля, коефіцієнти інтенсивності зусиль і моментів. Вступ. Із фізичних міркувань зрозуміло, що якщо згинати пластину з наскрізною тріщиною, то її береги будуть контактувати. Задача про одно сторонній згин пластини моментами на нескінченності з наскрізною тріщи ною по дузі кола з урахуванням контакту її берегів вперше була розв’язана в [1]. У тій же постановці [2] досліджено двосторонній згин пластини момен тами на нескінченності. При цьому припускалося, що має місце геометрична і фізична симетрія задачі. У даній роботі при дослідженні задачі про двосто ронній згин ізотропної пластини з тим же дефектом це припущення не виконується. Ф ормулю вання задачі. Розглянемо двосторонній згин ізотропної плас тини постійної товщини 2Н рівномірно розподіленими моментами М п і М т на нескінченності з наскрізною тріщиною по дузі кола радіуса Я з кутом її розкриття 2<р (рис. 1). Береги тріщини вільні від зовнішнього навантаження, а під дією згинальних моментів на нескінченності вони вступають у гладкий контакт по всій її довжині на верхній основі пластини. Рис. 1. Схема навантаження пластини та розміщення тріщини. * За матеріалами доповіді на міжнародній науково-технічній конференції “Динаміка, міцність і ресурс машин і конструкцій” (1-4 листопада 2005 р., Київ, Україна). © В. В. БОЖИДАРНІК, В. К. ОПАНАСОВИЧ, П. В. ГЕРАСИМЧУК, 2006 ЙХ# 0556-171Х. Проблемы прочности, 2006, № 5 135 В. В. Божидарнік, В. К. Опанасович, П. В. Герасимчук Виберемо в серединній площині пластини декартову систему координат Охут. із початком у центрі кола і направимо вісь Ох через середину дуги, де розміщена тріщина; останню позначимо через Ь. Припустимо, що вектор моменту М т утворює з віссю Ох кут у. Кінці тріщини в серединній площині позначимо через а і Ь, причому а = Я е ир, Ь = Я е~ 1<р. Область, що займає внутрішня частина кола, де розміщена тріщина, позначимо через Б + , а зовнішня - через Б —. Як і в роботі [3], розв’язок задачі подаємо у вигляді розв’язку двох задач: плоскої задачі та задачі згину пластини, причому для опису згину використаємо класичну теорію. У силу цього на берегах трі щини матимемо такі крайові умови: 7±т = - М г / (2Н), 7 ± = 0, М ± = НМГ, Р ± = 0, [у г ]+ Н[дж/дт]= 0 на Ь, де N т - контактне зусилля між берегами тріщини; 7 тт, 7 тв та \ т, V 9 - компоненти тензора напружень і вектора переміщення в полярній системі координат т і 9 з початком у точці О і полярною віссю Ох для плоскої задачі; М т і Рт - згинальний момент та узагальнена в сенсі Кірхгоффа перерізувальна сила в тій же полярній системі координат; ж - прогин пластини при згині; [ / ] = / + — / —; “+ ” і “—” - граничні значення функції при прямуванні точки площини до тріщини відповідно справа та зліва по відношенню до вибраного додатного напрямку на ній. Побудова розв’язку задачі. Для розв’язку плоскої задачі теорії пруж ності введемо комплексні потенціали [4] та функцію ^ ( г ). Тоді напружено- деформований стан пластини будемо визначати за наступними формулами: 7 тт + 7 99 = 4Ке Ф( . ) ; 7 ,т + І7 ̂ = Ф( г ) — Я 2 т —2 £!( Я V . ) + / ( т ) { Ф ^ — . Ф ( і ) }; 2цт( V т + IV в ) = .{к<р( г ) + ю (Я 2/ . ) — г / ( т)Ф( г )}, де ^ і V - відповідно модуль зсуву і коефіцієнт Пуассона матеріалу пластини; к = (3 — v)/(1 + V); г = х + іу (х і у - координати точки, для якої 2 / 2знаходимо шукані величини); т = \| г \|; ® '(г ) = ^ ( г ); / (т) = 1 — Я / т . Для розв’язку задачі згину пластини введемо комплексні потенціали Ф з ( г ) і ^ з ( г ) та функцію ^ з ( г ) [5]. У результаті отримаємо залежності М т + М 9 = 4Яе Ф 3( г ), т ( М т + іс' + іРт) = ~Ф 3( г ) + Я 2 т—2^ 3(Я 2/ г ) — / ( т){Ф 3( г ) — г Ф'3( г)}; т(дж/ дт + ідж/ дs) = г {<р 3( г ) — ®(Я 2 / г ) + г / ( т )Ф 3 ( г )}, де 5 - дугова координата; с' - дійсна стала; ® '(г ) = ^ 3( г ) ;~ = (3 + v )/(1—V); т = —{Б(1 — v)}—1; Б = 2ЕН7(3(1 — V2)). 136 IББN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2006, № 5 Двосторонній згин пластини У силу обмеженості об’єму статті наведемо кінцеві результати. При цьому зауважимо, що на основі підходу [1, 2 ] та методів теорії функцій комплексної змінної розв’язок задачі зведено до задач лінійного спряження та диференціального рівняння відносно невідомого контактного зусилля N r між краями берегів тріщини: N r = - C 6 + A + B cos2( 6 - у ), 1 6 \|< p , де A = 0 ,756 k 1{3D1c2 cos2 p 1[3 + v - (1 - v )s2 ] + + (1 + s2 )[1 + i - d 1(9k 1s 2 + 3 - v )]V [3 + 2v + (1 + 2v)s2 ]; C = - B 1 sin2ys2[9k1c2 + 3 - u]/{24[(3 + 2v)s2 - 6k 1B ]}; B 1 = - 4 ,5 ddic 1; D 1 = d cos2yc2; d = ( j - 1)/{4(3 + 2v)}; d = M n / h ; к 1 = 1 + u; p 1 = p / 2; j = M T/ M n ; c2 = cos2 p 1; s2 = sin2 p 1. Комплексні потенціали для плоскої задачі та задачі згину мають наступ ний вигляд: Q( z ) = - A о - Ф( z X Q з ( z ) = ~ ф з ( z ) - D 0 - Р / (2z2); ( 1) Ф( z ) = 0,5 cq( z ) + 0,5[<5 4 + 0,75 h -1 (~ 1R 2 z -2 + <51 z 2 R - 2 ) ] - - 0,5X 1(z )[d 4q1(z ) + 0,75^ R 2h 1q2 ( z ) + 0,75^ R 2h 1qз ( z )]; (2) Ф з (z) = q 2 q( z) + 0,5( q 3 + q4z -2 + q 5z 2) - - X -1 ( z ){0,5 [q 1( z )q з + q 5 q 2( z) + q 4 q з ( z ) ] - (d 1z + d о)}, (з) де 1 c e x + ( t )d t 2 7 . e \ . p + 6 . p - 0 q (z ) = ------- — I ------------- ; B = - — I 6 sin—.. sin--------sin-------- do; 2n i X ( z ) L t - z n ^ 2V 2 2 q1( z) = z + у 5 ; q2( z) = z 3 + y 5z 2 + y 6z + y 7 ; q3( z) = у 1z -2 + ^ 2z - 1 ; x ( z ) = 7 ( z - a ) ( z - b ) ; у 1 = - R ; у 2 = cosp; У5 =У 1У2 ; d 1 = ~; у б = 2R 2 c 2 s2 ; у 7 = - у 5 у б; f = - з ^(1+ j y ( s p h ) ; ^ = E V ( 1 - v ) ; D0 = J f + A7 0; Im A0 = 0; P = - 2 f 'R 2; f ' = -0 ,5 m M n ( 1 - ~ )е -2іу; ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2006, N 5 137 В. В. Божидарнік, В. К. Опанасович, П. В. Герасимчук с '= 2кс(3 + 2у)/(3к1); д 4 = — А0 —А/(2к); я 5 = —1,5т к д 1І ( к Я 2 ); Яе А 0 = х 2 [— А + 3с 2 Яе д і у[2к(1+ 5 2 )]; д 1 = — Г'у3к/ (2т;3к 2 — Г ); І т А 0 = —(2к)—1[ с Б /с 2 + 3х\| І т д 1]; 3 ЯеА0 = ;ЗГ — ЯеА0; Я з = ~ —1[т( кА + іяс) + 0 '0 ]; d 0 = Гу 5; я 4 = — 1,5 т к д 1Я 2~ —1 + Р / (2~). За допомогою виразів для комплексних потенціалів та відповідних залежностей [5] можна визначити коефіцієнти інтенсивності зусиль к та моментів К і : кГ — ік± = — М к — 1{ц ± + д — 1[2кд 4 е + ир1 +1,5 ( е +3ір1 — д 1Р ± )]}; К+ — іК ± = М { я ± + е +ір1 (3 + у )[0 ,5(г — 1) + 2я2 Е к 3/((1 — у) М п )]/с 1 — —[9с1е —2іу Р ± + (15 + 7 у )е і (+3 р1+2у)](~ — 1)/(16(3 + 2у))}, де Р ± = —е ±3ір1 ± 0,5 і «Іп р ( е ±ір1 + со8 р е + ір1); ± Я2 р „ і(0+р) М О ^ р ± 0 Я „ ї ---- Я = — :---- J 0е ( р\ • d0; М = М „л/я я п Р ,Я 8ІП р —р у 8іп(0,5(р + 0 )) тут і надалі індекс чи знак “+” і “- ” відповідають відповідно вершині тріщини Ь і а. Якщо контакт берегів тріщини не враховувати, то функцію ^ 3 ( 2 ) визначимо за формулою (1), а вираз для комплексного потенціалу Ф 3 ( 2 ) - з виразу для функції Ф 3( 2 ) (2), поклавши в ньому я 2 = я 5 = 0 і замінивши Я3 ^ г 0 і я 4 ^ г4, де г0 = ~ —1(т іс’ + ~Г + А'0 ); г1 = Р /(2~ ); с' = — с 2 І т Г '/ т ; А0 = с2 (ГГ — 52 Яе Г ') / (Г — 52 ). Коефіцієнти інтенсивності моментів у цьому випадку знайдемо за фор мулами К ± — іК ± = ±Ш (3 + у)ехр(+ ір 1){2( d 1Яе±ір + d 0 ) — — [Г0(у5 + Яе±ір) + Г1(у 1Я —2е +2ір + у 2Я — 1е +ір)]}Д /Я «Іпр . Числовий аналіз та висновки. Був проведений числовий аналіз, ре зультати якого подано на рис. 2-5 при у = 0,3. Зауважимо, що контакт по всій довжині тріщини відбувається при у = 0 для всіх Г, що задовольняють нерівність /л * < Г < /л , при Г > /л або /л < /л * буде мати місце відста вання берегів тріщини. Іншу ситуацію маємо при у = 30°. 138 ISSN 0556-171Х. Проблеми прочности, 2006, № 5 Двосторонній згин пластини довжині: а - у — 0; б - у — 30°. При значенні кута розкриття тріщини < = 41° л прямує до нескінчен ності, при у — 0 цей кут рівний нулю. Якщо < < <, то контакт берегів тріщини буде відбуватися для Л, що задовольняє хоча б одну з нерівностей Л < Л або ц > л , при < > < він буде проходити при виконанні нерівності л . . . Л * — Л — Л . Якщо ж вказані нерівності не виконуються, то маємо відставан ня берегів тріщини (рис. 3). Зауважимо, що при ~ — 1 контактний тиск між берегами країв тріщини приймає постійне значення, яке залежить від кута її розкриття. Рис. 3. Розподіл приведеного контактного зусилля И г = N rhlM n між берегами тріщини при р = 30° і у = 30° та різних ц: 1 - 1 = ц* = —32,17; 2 - // = —40; 3 - / / = —10; 4 - І = І = —0,34; 5 - і= 1 ; 6 - ц = — 1. Представлені на рис. 2 дані свідчать, якщо заданий кут розкриття тріщини р відомий, то можна встановити значення 1 , коли контакт від бувається по всій довжині тріщини, і навпаки, якщо відоме значення 1 , то можна визначити ті кути, коли має місце розв’язок задачі у такій постановці. Наприклад, при у = 0 і 1 = 0 існують три граничні кути р і , коли контакт відбувається по всій довжині тріщини. Окрім того, він буде проходити для кутів розкриття тріщини р , що задовольняють одну з нерівностей: р < р ! або р 2 < р < р 3 . Для кругової шайби з того ж матеріалу, що вставлена в пластину без натягу, контакт берегів по всій межі буде відбуватися при 0,04 < 1 < 25 незалежно від значення у. Якщо 1 лежить в межах 1 * < ц < < 1 , то контакт берегів тріщини буде проходити для любого кута розкриття ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2006, № 5 139 В. В. Божидарнік, В. К. Опанасович, П. В. Герасимчук тріщини р , де * ~ 0,02 і ~ * = 5,79 для у = 0 та ~ * = 0,12 і ~ * = 10,87 для у = 30°. Зауважимо, що з ростом у кут р , коли /Л прямує до нескін ченності, зростає, і таких кутів може бути декілька.* На рис. 4 криві 1, 3, 5 побудовано при л = Л , криві 2, 4, 6 - при л = л Аналіз приведених даних дозволяє оцінити поведінку тріщини, коли / не значно відрізняється від граничного. Наприклад, якщо /Л = 11,29 і р = 90°, то буде мати місце відставання у точці в ~26°, при /л = 12,33 і р = 150° - поблизу кінця точки в = —150°. У цих випадках потрібно змінити поста новку задачі, врахувавши відставання берегів тріщини. Рис. 4. Розподіл контактного зусилля між берегами тріщини для різних кутів її розкриття при граничному значенні Д і у = 30°: 1, 2 - р = 60°; 3, 4 - р = 90°; 5, 6 - р = 150°. Рис. 5. Гранична залежність приведених коефіцієнтів інтенсивності зусиль і моментів від кута розкриття тріщини при граничному значенні Д і у = 30°: а, в -//=,«; б, г - = ,и. 140 /.ХОТ 0556-171Х. Проблемы прочности, 2006, № 5 Двосторонній згин пластини * * На рис. 5 кривим 1 к ) і 2 (к 2 ) відповідають приведені коефіцієнти інтенсивності зусиль к* = к ^ Н К М г Л[ р Я ) (к* = к ^ к / (М пЛ] р Я )), кривим 3 і * 5 (К 1 ) та 4 і 6 ( К 2 ) - приведені коефіцієнти інтенсивності моментів К = К , І (М ) (К* = К і / ( М п 4^рЯ )), причому криві 5 і 6 відповіда ють випадку, коли контакт берегів тріщини не враховується. Рис. 5,а ,б від повідає вершині тріщини а, рис. 5,в,г - вершині Ь. Зауважимо, що на відміну від прямолінійної тріщини [3], для тріщини, розміщеної по дузі кола, мають місце коефіцієнти інтенсивності к 2 і К 2 . Окрім того, коефі цієнти інтенсивності зусиль і моментів зв’язані між собою залежністю к* / К * = 3(1+ и )/(3 + у ). Р е з ю м е На основании классической теории изгиба пластин исследована задача об изгибе пластин распределенными моментами на бесконечности с несим метричной сквозной трещиной по дуге круга с учетом контакта ее берегов. Установлены условия существования решения задачи в такой постановке. Проведен численный анализ коэффициентов интенсивности усилий и мо ментов, контактного усилия между краями берегов трещины, результаты которого проиллюстрированы графически. 1 . Г ерасим чук П. В ., Б ож идарнік В. В ., О панасович В. К . Односторонній згин пластини з тріщиною по дузі кола з урахуванням контакту її берегів // Наук. нотатки Луцького техн. ун-ту. - 2003. - С. 57 - 63. 2. Бож идарнік В. В ., О панасович В. К ., Герасим чук П. В. Двосторонній згин ізотропної пластини з наскрізною тріщиною по дузі кола з урахуванням контакту її берегів // Механіка руйнування матеріалів і міцність конст рукцій / Під ред. В. В. Панасюка. - Львів: Фіз.-мех. ін-т ім. Г. В. Кар- пенка НАН України, 2004. - С. 213 - 218. 3. Ш ацький І. П . Згин пластини, ослабленої розрізом із контактуючими берегами // Доп. АН УРСР. Сер. А. Фіз.-мат. та техн. науки. - 1988. - № 7. - С. 49 - 51. 4. П русов И. А . Некоторые задачи термоупругости. - Минск: Изд-во Белорус. ун-та, 1972. - 200 с. 5. П русов И. А . Метод сопряжения в теории плит. - Минск: Изд-во Белорус. ун-та, 1975. - 256 с. Поступила 04. 11. 2005 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2006, № 5 141

Двосторонній згин пластини з несиметричною наскрізною тріщиною по дузі кола з урахуванням контакту її берегів

Репозитарії

Схожі ресурси