Исследование изгибной жесткости в асимметричных многослойных балках

Представлены результаты исследования изгибной жесткости в многослойных балках, имеющих геометрическую и (или) жесткостную асимметрию. Предложен алгоритм для установления координат геометрического и жесткостного центров и расчета изгибной жесткости в любом направлении с определением ее экстремальн...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2006
Автори:	Барейшис, Й., Клейза, В., Клейза, Й.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України 2006
Назва видання:	Проблемы прочности
Теми:	Научно-технический раздел
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/47878
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Исследование изгибной жесткости в асимметричных многослойных балках / Й. Барейшис, В. Клейза, Й. Клейза // Проблемы прочности. — 2006. — № 6. — С. 51-65. — Бібліогр.: 11 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-47878
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-478782013-08-03T17:33:43Z Исследование изгибной жесткости в асимметричных многослойных балках Барейшис, Й. Клейза, В. Клейза, Й. Научно-технический раздел Представлены результаты исследования изгибной жесткости в многослойных балках, имеющих геометрическую и (или) жесткостную асимметрию. Предложен алгоритм для установления координат геометрического и жесткостного центров и расчета изгибной жесткости в любом направлении с определением ее экстремальных значений в многослойных балках с любой асимметрией. Изучены кинетика координат геометрического и жесткостного центров, а также изгибной жесткости в зависимости от изменения геометрических параметров и отношения модулей упругости слоев и формы поперечного сечения многослойной балки. Представлено результати досліджень згинальної міцності в багатошарових балках, що мають геометричну та (або) жорсткісну асиметрію. Запропоновано алгоритм для визначення координат геометричного і жорсткісного центрів та розрахунку згинальної жорсткості у любому напрямі з визначенням її екстремальних значень у багатошарових балках із любою асиметрією. Вивчено кінетику координат геометричного і жорсткісного центрів, а також згинальну жорсткість у залежності від зміни геометричних параметрів і відношення модулей пружності шарів та форми поперечного перетину багатошарової балки. We present results of bending stiffness study for multilayer beams with geometrical and/or stiffness-based asymmetry. We propose an algorithm for determination of coordinates of geometrical and stiffness centers and calculation of bending stiffness in any direction with assessment of the bending stiffness extremes in multilayer beams with any asymmetry. We analyze the kinetics of coordinates of geometrical and stiffness centers, as well as that of the bending stiffness, depending on variation of geometry parameters, the ratio of elastic moduli of different layers, and the cross-section profile of multilayer beams. 2006 Article Исследование изгибной жесткости в асимметричных многослойных балках / Й. Барейшис, В. Клейза, Й. Клейза // Проблемы прочности. — 2006. — № 6. — С. 51-65. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. 0556-171X http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/47878 539.4:678.067 ru Проблемы прочности Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Научно-технический раздел Научно-технический раздел
spellingShingle	Научно-технический раздел Научно-технический раздел Барейшис, Й. Клейза, В. Клейза, Й. Исследование изгибной жесткости в асимметричных многослойных балках Проблемы прочности
description	Представлены результаты исследования изгибной жесткости в многослойных балках, имеющих геометрическую и (или) жесткостную асимметрию. Предложен алгоритм для установления координат геометрического и жесткостного центров и расчета изгибной жесткости в любом направлении с определением ее экстремальных значений в многослойных балках с любой асимметрией. Изучены кинетика координат геометрического и жесткостного центров, а также изгибной жесткости в зависимости от изменения геометрических параметров и отношения модулей упругости слоев и формы поперечного сечения многослойной балки.
format	Article
author	Барейшис, Й. Клейза, В. Клейза, Й.
author_facet	Барейшис, Й. Клейза, В. Клейза, Й.
author_sort	Барейшис, Й.
title	Исследование изгибной жесткости в асимметричных многослойных балках
title_short	Исследование изгибной жесткости в асимметричных многослойных балках
title_full	Исследование изгибной жесткости в асимметричных многослойных балках
title_fullStr	Исследование изгибной жесткости в асимметричных многослойных балках
title_full_unstemmed	Исследование изгибной жесткости в асимметричных многослойных балках
title_sort	исследование изгибной жесткости в асимметричных многослойных балках
publisher	Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України
publishDate	2006
topic_facet	Научно-технический раздел
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/47878
citation_txt	Исследование изгибной жесткости в асимметричных многослойных балках / Й. Барейшис, В. Клейза, Й. Клейза // Проблемы прочности. — 2006. — № 6. — С. 51-65. — Бібліогр.: 11 назв. — рос.
series	Проблемы прочности
work_keys_str_mv	AT barejšisj issledovanieizgibnojžestkostivasimmetričnyhmnogoslojnyhbalkah AT klejzav issledovanieizgibnojžestkostivasimmetričnyhmnogoslojnyhbalkah AT klejzaj issledovanieizgibnojžestkostivasimmetričnyhmnogoslojnyhbalkah
first_indexed	2025-07-04T07:56:51Z
last_indexed	2025-07-04T07:56:51Z
_version_	1836702302617993216
fulltext	УДК 539.4:678.067 Исследование изгибной жесткости в асимметричных многослойных балках Й. Барейш иса, В. Клейзаа, Й. Клейза6 а Каунасский технологический университет, Каунас, Литва 6 Вильнюсский технический университет, Вильнюс, Литва Представлены результаты исследования изгибной жесткости в многослойных балках, име ющих геометрическую и (или) жесткостную асимметрию. Предложен алгоритм для уста новления координат геометрического и жесткостного центров и расчета изгибной жест кости в любом направлении с определением ее экстремальных значений в многослойных балках с любой асимметрией. Изучены кинетика координат геометрического и жест костного центров, а также изгибной жесткости в зависимости от изменения геомет рических параметров и отношения модулей упругости слоев и формы поперечного сечения многослойной балки. К лю ч е в ы е слова: многослойная балка, нейтральная плоскость, центр жест кости, изгибная жесткость. Введение. Композиционные системы слоистой структуры используют ся в разных областях техники, поскольку они сочетают прочность, жест кость и легкость конструкционного элемента. В основном работы [1-6] по многослойным конструкционным элементам посвящены исследованию эле ментов с одной или двумя осями симметрии. Влияние разных факторов на закономерности изменения прочности и жесткости в симметричных много слойных стержнях и балках изучалось в [7, 8]. Во всех случаях необходимо определить положение нейтрального слоя. Методы его определения при наличии одной оси симметрии приведены в [1, 7, 9]. Однако пользоваться ими в общем случае, т.е. когда имеет место геометрическая и жесткостная асимметрии, затруднительно. В [7] показано, что на положение нейтраль ного слоя, а значит, и на жесткость балки влияют разные факторы. Поэтому для изучения кинетики изгибной жесткости в многослойных балках, имею щих геометрическую и жесткостную асимметрию, необходимо определить координаты геометрического и жесткостного центров. Современные технологии изготовления изделий из слоистых компо зитных материалов позволяют получить конструкционные элементы любого требуемого профиля [10]. К числу наиболее широко используемых конст рукционных элементов прокатной стали относятся угольники, швеллеры, двутавровые и другие профили. Однако применение таких профилей из слоистых композитных материалов ограничено асимметричностью конст рукционного элемента и отсутствием методики их расчета и эксперимен тального исследования. Цель данной работы заключалась в представлении основанной на мате матической модели методики расчета изгибной жесткости при упругом деформировании в любом направлении с определением ее экстремальных значений в многослойных балках с любой асимметрией и изучении кине © Й. БАРЕЙШИС, В. КЛЕЙЗА, Й. КЛЕЙЗА, 2006 ТХОТ 0556-171Х. Проблемы прочности, 2006, № 6 51 Й. Барейшис, В. Клейза, Й. Клейза тики координат геометрического и жесткостного центров, а также изгибной жесткости в зависимости от изменения отношения модулей упругости и геометрических параметров слоев и формы поперечного сечения много слойной балки. 1. М атематическая модель многослойной балки. Пусть многослой ная балка (МСБ) - рис. 1 состоит из п слоев, имеющих модули упругости Е 1 , Е 2 , . . . , Е п, сечения которых занимают односвязные области К , , и при этом выполняются условия п к с К а = [0,1] X [0,1], к = и К , к , П К , = 0 , I * (1) 1 = 1 Тогда координаты центра жесткости сечения МСБ, направления ней тральных плоскостей и экстремальные значения изгибной жесткости пред ставим через тензор инерции и его собственные значения и векторы. Плот ность осевой упругости МСБ определим функцией Е(X , у ) = 2 Е і ї м і (х , у ), (2) і=1 ї Н ( ) 1°’ (Х ’ У) ^ К і Лгде їпа і (х , у ) = і - индикаторная функция множества. 11, (х , у ) К і Рис. 1. Геометрия поперечного сечения многослойной балки. (Глобальная, жесткостная и главная системы координат.) Пусть Е = (Е 1, Е 2 , , Е п), 1 = (1,1,..., 1). С учетом (2) определим числа п р д у -^ У Ч'Е(х, У ) ^ У , (3)т К через которые выразим моменты сечения МСБ всех порядков, ее коорди наты центра жесткости сечения, а также осевую и изгибную жесткость. Далее будем использовать следующие векторы: 52 ШБЫ 0556-171Х. Проблемы прочности, 2006, № 6 Исследование изгибной ж есткости а д = g (Е) = 3 (Е) т оо(Е) (4) и матрицы Р(Е) = 2 т о1 т о1т 1о 2 , I (Е) = т о2 - т 11 _т о1т 1о т 1о — т 11 т 2о _ (5) С учетом (2) площадь А сечения и осевая жесткость Б(Е) МСБ равны: А = т оо(1X Ж Е) = т оо(ЕХ (6) радиусы-векторы геометрического С и жесткостного С Е центров сечения в глобальной системе координат {х, у } соответственно таковы: С = g (1), С * = g (Е). (7) При принятых обозначениях (5) тензор инерции сечения МСБ в системе координат {х, у } будет 1Е (Е) = I (Е). (8) В жесткостной системе координат {х* , Уе } (рис. 1), ориентация кото рой такая же, как у системы {х, у}, а начало определено радиусом-вектором С е , тензор инерции сечения МСБ равен (это следует из теоремы о парал лельной оси) Уе (Е) = I (Е) - Р (Е )/тоо(Е ). (9) Теперь можно представить момент инерции сечения МСБ по отноше нию к любой оси, проходящей через центр жесткости и составляющей угол рр с положительным направлением оси абсцисс системы {х* , Уе } (рис. 1): М ( р ) = г ( р )У Е (Е)г( р )Т, (1о) где г ( р ) = (со8 р 8Ш р ) - единичный вектор направления р. Поскольку тензор инерции (9) симметричный и эллиптический, что следует из неравенства Шварца, его собственные значения Я1, Я 2 дейст вительны и положительны. Заметим, что при геометрической и жесткостной симметрии поперечного сечения Я1 = Я 2, и тензор (9) становится шаровым, т.е. изгибная жесткость МСБ не зависит от угла р. Поэтому ниже рассмат риваются различные собственные значения Я1 ^ Я 2, при которых соответст вующие им собственные векторы V1 и V 2 ортогональны. Они и опреде ляют направления нейтральных слоев МСБ. Таким образом, если изгиба ющий момент действует в плоскости, проходящей через центр жесткости и перпендикулярной к плоскости сечения МСБ, при этом составляя угол в с положительным направлением оси абсцисс системы {х* , Уе }, то изгибная жесткость МСБ равна ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2006, № 6 53 Й. Барейшис, В. Клейза, Й. Клейза D ( в ) = v (в )J(E )v (в )T , (11) где v (в ) = (— sin в cos в ) - единичный вектор, перпендикулярный к направ лению р . Найдем теперь главную систему координат {xv, y v}, начало которой определено радиусом-вектором С Е , а ось абсцисс коллинеарна собствен ному вектору, соответствующему максимальному собственному значению тензора инерции (8), и составляет угол р max (— п / 2 < р < п / 2 ) с положи тельным направлением оси абсцисс системы координат { x E , у Е }. Пусть ось ординат направлена так, что система координат { x v, y v} - правая. Заметим, что такой выбор всегда возможен и однозначен, при этом данная система координат удовлетворяет следующим условиям: 1) начало системы находится в центре жесткости (Хе , Уе ); 2) момент инерции по отношению к оси абсцисс максимален; 3) момент инерции по отношению к оси ординат минимален; 4) система {xv, y v} - правая, а ее ортами являются нормированные собственные векторы тензора инерции; 5) тензор (9) в системе {xv, y v} имеет диагональный вид J '(E) = \ j ' x x 0xExE max{Я1, X 2} 0 0 j y yyEyE _ 0 in{ (12) 2. Расчет жесткостно-геометрических характеристик многослойных балок. Рассмотрим случай, когда области К { представляют собой много угольники (это, вообще говоря, не ограничивает общности, так как стороны многоугольников могут быть сколь угодно малы), необязательно выпуклые, но односвязные. Пусть Р ( ) - упорядоченные последовательности вершин контуров д К 1 многоугольников К {. Тогда контур любого многоугольника будет ]1 К = 0 { Р / ]) Р ° ’+1)}- (13) £=1 Покажем, что в этом случае все моменты трч (Е) можно выразить в алгебраической форме. В действительности уравнение любой стороны г-го многоугольника Р і] ) (Хд , у у )Р і]+Х1( х і (у+1) , у і (у+^Х I = 1 2, ..., п , у = 1, 2, ..., ] 1 (14) представим в параметрическом виде U i j ( t ) = x ij + x y t , \ у ij( t ) = y j + y j t где x ij = x i( j+1)— x ij ; у ij = y i( j+1)— y ij ■ для 0 < t < 1, (15) 54 ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2006, № 6 Исследование изгибной ж есткости Тогда все моменты трч (Е) равны трц (Е) = ф ф Е (х , у ) х р у 9ё х ё у = ----- - ф Е ( х , у ) х р у^+ ^йу = к 9 + 1 дК а + г 2 Е < Ф х " у я* '4 у = — 2 Е / 2 Ф х ” у - * ' ^ у = 9 + 1 1=1 дк1 9 + 11=1 у=1 (Ро) рО'+ч 1 п ]1 1 1 П Зг = 7 + 1 2 Е 2 у а ф (х а ( 1))Р(у з ( 1))9+1Л = 9 + Т 2 Е 2 у а ‘5Й) , ( 16) % + 1 1=1 З=1 0 9 + 11=1 З=1 причем определенные интегралы в выражении (16) 1 4 ? = ф (х З ( 0 ) р (у з ()) 9+141 (17) 0 при р > 0, % > 0, р + % < 2 окончательно можно записать в виде: 5 (а) = 1 у у •5 00 = о у а + у а •2 (а) 1 — — — — 510 = 3 х ц у у + 2 (х у у а + х ц у у ) + х з у з • 501) = 1 у 2 + у у ( у з + у а ); (а) 1 - 2 - 1 - - - 1 2 - - (18) 520 = 4 х а у а + 3 х а (2 х а у а + х а у а ) + 2 х а у а + х а у а ( х а + х а ) ; (а) 1 3 , 1 А 2 ч , ( 2 , -2 Ч 5 02 = 4 у а + 3 (2 у а ) + у а ( у а + у з ); 511) = 4 х ау 2 + 3 у а ( х а у а + 2у а х а ) + 2 у 2*а + 3 2 • Рассмотрим важный для практики случай, когда К С К □, а дополнение области К с = К □ \ К Ф 0 (геометрия области К с, как правило, сложнее, чем областей К г, область К с часто оказывается многосвязной) имеет модуль упругости Е с Ф 0. Тогда моменты всего квадрата, т.е. когда МСБ состоит из п слоев, а оставшаяся часть до квадрата К □ = К и К с заполнена материалом с модулем упругости Е с Ф 0, равны т ° (Е с ) = Е с ( т% (1 ^ ) - тр9 (1)) + тр9 (Е) = = Е с ( ( 1 + Р + Р 9 + 9 ) 1 - т р д ( 1 ) ) + т р д ( E ) , /ХОТ 0556-171Х. Проблемы прочности, 2006, № 6 55 Й. Барейшис, В. Клейза, Й. Клейза где (1) - моменты, через которые можно вычислить все геометрические и механические характеристики МСБ всего квадрата: Е с = (Е х, Е 2 ,. . . , Е п, Е с), 1П = (1,1 , . , 1 ) . п+1 Таким образом, получен алгоритм вычисления моментов трч (Е) без применения операции интегрирования. Заметим, что через моменты трч (Е) с использованием полученных соотношений можно определить площадь сечения, представляющую собой любой многоугольник (необязательно вы пуклый и односвязный), и осевую жесткость (6), координаты геометри ческого и жесткостного центров МСБ (7), тензор инерции поперечного сечения МСБ (9), изгибную жесткость в любом направлении (11), экстре мальные ее значения (12) и направления нейтральных слоев. 3. Объект экспериментальны х исследований. Предложенная схема расчета МСБ позволяет легко осуществить расчеты изгибной жесткости в любом направлении с выявлением ее экстремальных значений в МСБ с любой асимметрией, а также изучить кинетику координат геометрического и жесткостного центров при изменении отношения модулей упругости и гео метрических параметров слоев. Изгибаемые МСБ часто формируются из слоев, поперечное сечение которых имеет различную форму, а МСБ - прямоугольную форму. В общем случае размеры слоев неодинаковые, а поперечное сечение МСБ не имеет ни одной оси симметрии. Кроме того, для формирования слоев используются материалы с разными модулями упру гости. Описанные выше конструкции находят применение в конструктивных узлах планеров и самолетов [10]. Предложенный метод использовался для расчета изгибной жесткости в разных направлениях (что особенно важно) лонжеронов крыльев планеров ЬЛК-17Л, ЬЛК-19 и ЬЛК-20, проектируемых и производимых в Литве. Лонжероны представляют собой МСБ (двойной Т-профиль, изготовленный из следующих материалов: кевлар, угольные стержни ОЕАРНЕ1ТЕ БМ315, стекловолокно и др.), поперечные сечения которых удовлетворяют условиям применимости предлагаемого авторами метода. Ранее [11] получены интересные данные об изменении изгибной жест кости МСБ, имеющей форму угольника, сформированного из двух прямо угольников с общей частью контура (прямая А В на рис. 2). Данный двух слойный угольник сформирован с использованием материалов, модули упру гости которых Е 1 и Е 2, причем Е 1 = 30 МПа; Е 2/ Е 1 = 50; 20; 5; 1; 0,5; 0,1. Исследовалась [11] кинетика изгибной жесткости, когда геометрия уголь ника определялась перемещением общей точки В по диагонали (на рис. 2 прямая 3). В настоящей работе представлены результаты исследований изменения формы угольника путем перемещения точки В по кривым 1 -5 (рис. 2), которые являются графиками семейства (параметра т) функций / ( г) = гт . От величины степенного показателя т зависит траектория фор мирования сечения МСБ, поэтому далее параметр т будем называть показа 56 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2006, № 6 Исследование изгибной ж есткости телем формы. Исследования проводили при значениях показателя формы Таким образом, один из исследуемых объектов - двухслойный уголь ник, удовлетворяющий условию (1), а также условиям Рис. 2. Методика формирования поперечного сечения двухслойной балки с помощью функ ции формы / (г) = гт при т = 0,2 (1); 0,5 (2); 1,0 (5); 2,0 (4); 5,0 (5). Поскольку предложенная математическая модель и основанный на ней алгоритм расчета позволяют изучить кинетику изгибной жесткости МСБ, состоящей из слоев любой формы, представляет интерес, какое влияние на изгибную жесткость оказывает форма поперечного сечения МСБ (рис. 3). В работе [11] для двухслойного угольника (на рис. 3 форма 1) получено, что первый максимум изгибной жесткости наблюдается при значении г = 0,3, Е і = 30 МПа, Е 2 ІЕ і = 50. Если параметр г = 0,3, то площадь поперечного 2 2 сечения первого слоя А і = 0,3 м , второго слоя ^2 = 0,2 м , поэтому для всех десяти форм поперечного сечения МСБ (рис. 3) размеры слоев рассчи- т = 0,2; 0,5; 1,0; 2,0; 5,0. где Р / - вершины прямоугольных слоев, при этом геометрия сечения МСБ зависит от показателя формы т и одного параметра I, У>м ♦ А N К ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2006, № 6 57 Й. Барейшис, В. Клейза, Й. Клейза тывали исходя из указанных площадей = 0,3 м , ^ = 0,2 м ) и условия Е 1 = 30 МПа, Е 2 ! Е 1 = 50. Следовательно, осевая жесткость всех форм МСБ (рис. 3) будет одинаковой. Хотя размеры слоев изменялись в относительных координатах от нуля до единицы, а габаритные размеры МСБ были ограни чены единичным квадратом, такое ограничение не уменьшило общности исследований, так как, изменяя параметры слоев, можно получить МСБ с разными формами поперечного сечения (рис. 3). Рис. 3. Исследованные поперечные сечения многослойных балок (1-10 - формы попереч ного сечения балки). 4. Результаты исследования. 4.1. К и н е т и к а п о ло ж е н и я гео м ет р и ч еск и х и ж ест к о ст н ы х цент ров. При изучении проблем жесткости в асимметричных МСБ важной задачей является определение координат жесткостного центра, через который про ходят главные оси инерции, совпадающие с направлениями нейтральных слоев. На рис. 4 представлены траектории изменения геометрического и жесткостного центров в зависимости от способа формирования сечения двухслойной балки при отношении модулей упругости материалов слоев Е 2 / Е 1 = 50. Если формирование сечения МСБ происходит по диагонали единичного квадрата, то геометрический центр перемещается по прямым 1, а жесткостной - по кривым 4 (рис. 4). Из расположения кривых следует, что расстояние между центрами не изменяется, если параметр t изменяется от нуля до 0,855. Затем расстояние между центрами уменьшается до нуля, так так конструкция из двухслойной превращается в однослойную. Если форми рование сечения МСБ описывается функцией / ( t ) = ^ с показателем фор мы, меньшим единицы, т.е. по выпуклым вверх кривым 1, 2 (рис. 2), то положение геометрических центров представляют кривые 2, 3 (рис. 4,а), а жесткостных - кривые 5, 6 (рис. 4,а). С уменьшением показателя формы т положение жесткостного центра изменяется по более выпуклой кривой 6 (рис. 4,а), а его расстояние от геометрического центра возрастает. 58 0556-171Х. Проблемы прочности, 2006, № 6 Исследование изгибной ж есткости Рис. 4. Кинетика положения геометрического (1-3) и жесткостного (4-6) центров в зави симости от геометрической формы МСБ при отношении Е2!Е = 50 (а: 1, 4 - т = 1,0; 2, 5 - т = 0,5; 3, 6 - т = 0,2; б: 1, 4 - т = 1,0; 2, 5 - т = 2,0; 3, 6 - т = 5,0). С увеличением показателя формы, определяющего траекторию форми рования при т > 1, траектории геометрических центров приближаются к горизонтальной оси симметрии единичного квадрата (на рис. 4,б кривые 2, 3), а траектории жесткостных центров (на рис. 4,б кривые 5, 6) - к траек ториям геометрических центров. При этом кривые 2, 3 и 5, 6 (рис. 4,б) имеют выпуклость, направленную вниз. Следовательно, расхождение между этими центрами уменьшается с увеличением показателя формы т. Все траектории сходятся в точке С с координатами х Е (1) = 0,5 и у Е (1) = 0,5, так как в этой точке конструкция превращается в однослойный квадрат. Интересно отметить, что для исследованных конструкций траекто рии геометрического и жесткостного центров не пересекают прямую А В (рис. 4), уравнение которой у = —х + 0,5. Вид траектории (кривой) жест костного центра также зависит от отношения модулей упругости слоев [11], а кривизна кривых тем больше, чем больше данное отношение. Форма поперечного сечения большинства исследованных МСБ (рис. 3) незначи тельно влияет на величины координат геометрического и жесткостного центров (таблица). Наибольшее несовпадение между геометрическим и жест- костным центрами наблюдается для МСБ с формами поперечного сечения 1, 2 (рис. 3), которые являются асимметричными по отношению к обеим осям. ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2006, № 6 59 Й Барейшис, В. Клейза, Й. Клейза Координаты геометрического и жесткостного центров, углы максимальной жесткости в тах, минимальная О т1п и максимальная О тах изгибные жесткости для различных форм поперечного сечения многослойной балки Форма поперечного сечения МСБ (рис. 3) Координаты центров. м в ,шах; град Изгибная жесткость геометрического жесткостного О шп -10-9, Н-м2 О шах -10-9, Н-м2Хс Ус ХЕ УЕ 1 0,357 0,350 0,153 0,635 98,21 3,6804 14,7269 2 0,313 0,400 0,491 0,115 176,50 3,5812 26,0421 3 0,313 0,500 0,490 0,500 90,02 25,9588 61,4799 4 0,499 0,499 0,499 0,499 112,70 11,1025 63,6425 5 0,500 0,500 0,500 0,500 90,02 25,1055 61,4799 6 0,500 0,456 0,500 0,394 90,02 19,1200 54,7500 7 0,428 0,444 0,326 0,365 88,60 4,0760 13,1173 8 0,433 0,411 0,497 0,496 68,70 45,2200 45,6000 9 0,500 0,550 0,500 0,176 180,00 8,6900 42,2500 10 0,500 0,500 0,500 0,500 45,00 2,0791 31,2762 4.2. К и н е т и к а у гл о в н а к л о н а н а п р а в л е н и й н е й т р а л ь н ы х слоев. Если известны направления нейтральных слоев, это позволяет рассчитать экстре мальные значения изгибной жесткости МСБ, а также определить положения плоскостей, в которых должны быть приложены внешние изгибающие мо менты. Поэтому важно изучить, как изменяется угол в шх между положи тельным направлением абсциссы глобальной системы координат и направ лением максимальной жесткости МСБ. Кинетика угла в шх в зависимости от способа формирования МСБ по кривым 1 -5 (рис. 2), т.е. от ее геометрии, представлена на рис. 5. Из приведенных данных следует, что траектория формирования МСБ существенно влияет на угол максимальной жесткости в ш х. Если показатель формы т > 0,5, то кривые угла наклона имеют явно выраженные максимумы, и чем больше этот показатель, тем больше ско рость изменения угла (на рис. 5 кривые 2 -5 ). Это связано с тем, что только при больших значениях г ( г > 0,7, на рис. 5 кривая 5) существенное влияние начинает оказывать слой с наибольшей жесткостью. Если показатель формы МСБ т = 0,2, то угол наклона в шх изменяется по кривой 1 (рис. 5), которая уже не имеет максимумов, и до г = 0,7 значение угла в тах мало изме няется, так как в данном случае моменты инерции более жесткого второго слоя увеличиваются незначительно. На кривых 2 -5 (рис. 5) можно выделить три зоны с разными скоростями изменения угла в тах. Если параметр г изменяется от нуля до 0,4...0,7, то в зависимости от показателя формы т скорость увеличения угла в тах не большая. Ранее [11] получено, что чем больше значение соотношения моду лей упругости, тем меньше численные значения угла в тах. При дальнейшем увеличении г скорость роста угла в тах резко повышается, и это очень зависит от показателя формы т и соотношения модулей упругости [11]. С увеличением этих двух параметров скорость изменения угла повышается (на рис. 5 кривые 1 и 5). Это означает, что незначительное изменение ширины второго слоя может существенно изменить положение плоскости нейтраль 60 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2006, № 6 Исследование изгибной ж есткости ного слоя, а ее неучет может вызвать косой изгиб с увеличением неучтенных напряжений. Максимальные значения угла 0 т х для исследованных конст рукций находятся в интервале г = 0,7...0,9 и зависят от показателя формы МСБ и отношения £ 2 / Е [11]. С дальнейшим ростом параметра г про исходит переход от двухслойной конструкции к однослойной, а значения угла 0 тах изменяются очень интенсивно до нуля. Это свидетельствует о том, что использование в МСБ элементов даже небольших размеров из материала с большим модулем упругости может существенно изменить положение нейтральных слоев. Рис. 5. Изменение угла 0тах при отношении £2/Щ = 50 и различных значениях показателя формы МСБ т: 1 - т = 0,2; 2 - т = 0,5; 3 - т = 1,0; 4 - т = 2,0; 5 - т = 5,0. Для МСБ с разной формой поперечного сечения (рис. 3) угол 0 тах изменяется от 45 до 180°. Эти значения получены для МСБ с формами поперечного сечения 9 и 10 (рис. 3). Данные в седьмой и восьмой строках таблицы показывают, что при одинаковой форме поперечного сечения МСБ величина угла 0 тах зависит от того, какой элемент балки имеет наиболь шую жесткость. Таким образом, углы направлений нейтральных слоев зависят от гео метрических параметров последних, модулей упругости материалов, исполь зуемых в МСБ, и формы поперечного сечения. Сложность зависимостей изменения углов требует точного определения положения нейтральных сло ев, поскольку это непосредственно влияет на изгибную жесткость МСБ. IS S N 0556-171Х. Проблемы прочности, 2006, № 6 61 Й. Барейшис, В. Клейза, Й. Клейза 4.3. К и н е т и к а м а к с и м а л ь н о й и зги б н о й ж ес т к о с т и д в у х с ло й н о й б а лк и . Данные рис. 6,а иллюстрируют влияние отношения модулей упру гости на максимальную жесткость, если МСБ формируется по диагонали квадрата, т.е. при т = 1. При изменении параметра г от нуля до единицы изгибная жесткость В тах изменяется от нуля до определенного значения, общего для всех кривых. Общее значение В тах обусловлено тем, что при г = 1 МСБ превращается в однослойную конструкцию с квадратным сече нием. Характер кривых изменения В тах в зависимости от параметра г при т = 1 зависит от отношения модулей упругости слоев. Если отношения модулей упругости используемых материалов меньше 20, то кривые В тах имеют один максимум (на рис. 6,а кривые 3 -5 ), с увеличением данного отношения формируются два максимума (на рис. 6,а кривые 1, 2). Это указывает на влияние двух конкурирующих факторов: геометрии конструк ции и механических характеристик используемых материалов. С увеличе нием г до 0,5 площади сечений обоих слоев увеличивается, хотя для вто рого слоя, жесткость которого больше, площадь увеличивается медленнее (при г = 0,5 она в два раза меньше площади первого слоя). Появление минимума при г = 0,3...0,75 (на рис. 6,а кривые 1, 2) связано с резким, ранее описанным изменением угла наклона направления нейтральных слоев. Результаты, приведенные на рис. 6 ,6 , показывают, как значение показа теля формы т влияет на изгибную жесткость двухслойного конструкцион ного элемента при Е 2 / Е 1 = 50. При небольших значениях показателя формы т (на рис. 6,6 кривые 1, 2) изменения изгибной жесткости В тах имеют один слабо выраженный максимум, что согласуется с наиболее равномерным изменением угла наклона в тах нейтральных слоев. Такие результаты объяс няются преобладающей ролью первого слоя (Е1 = 30 МПа), так как площадь поперечного сечения во всем интервале изменения параметра г составляет более 90% всей площади поперечного сечения МСБ. С ростом показателя формы т изгибная жесткость В тах увеличивает ся, а на кривых 3, 4 (рис. 6,6) появляются два максимума. Если при т = 1,0 значения В тах в обоих экстремумах одинаковы, то при т > 1,0 макси мальное значение В тах в первом экстремуме, который перемещается в сторону наиболее высоких значений г, отличается от такового во втором. Учет характера траектории формирования МСБ показал, что такие резуль таты изменения изгибной жесткости связаны с преобладающей ролью более жесткого второго слоя. О существенном влиянии формы поперечного сече ния МСБ на изгибную жесткость свидетельствуют данные таблицы. Для исследованных МСБ с одинаковой осевой жесткостью, но разными формами поперечного сечения (рис. 3) изгибная жесткость В тах изменяется более чем 4,8 раза. Максимальная изгибная жесткость В тах получена для МСБ с формой поперечного сечения Z (на рис. 3 форма 4). Приблизительно такую же жесткость имеют балки с формами поперечного сечения типа швеллера (форма 3) и двутавра (форма 5) - рис. 3. Толщины этих слоев почти одинаковы и удалены от нейтрали на ту же величину, однако жесткость В тах для МСБ с формой поперечного сечения 2 на 12,5% больше, чем балки с формами типа швеллера и двутавра (рис. 3). Минимальную жест кость имеет балка с треугольником в квадратной трубе (на рис. 3 форма 7). 62 1&$М 0556-171Х. Проблемы прочности, 2006, № 6 Исследование изгибной ж есткости Ее жесткость почти в пять раз меньше жесткости МСБ с формой попереч ного сечения Z. Сравнение жесткостей балок с треугольником в квадратной трубе (для форм 7 и 8 данные в таблице) показывает, что жесткость МСБ зависит также от того, какой элемент сформирован из материала с наиболь шим модулем упругости. Если квадратная труба сформирована из материала с наибольшим модулем упругости (Е2), то жесткость балки будет почти в 3,5 раза больше для формы 8, чем для формы 7 (рис. 3). Изменение формы или положения треугольника в квадратной трубе (формы 7 и 8) с сохранением неизменной площади поперечного сечения приводит к незначительному изменению максимальной жесткости В тах, особенно для формы 7 (резуль таты расчетов в данной работе не приведены). Рис. 6. Изменение максимальной изгибной жесткости МБС в зависимости от параметра I (а: 1 - Е2/Е = 50; 2 - Е2/Е = 20; 3 - Е2/Е = 5; 4 - Е2/Е = 1,0; 5 - Е2/Е = 0,5, т = 1,0; б: 1 - т = 0,2; 2 - т = 0,5; 3 - т = 1,0; 4 - т = 5,0, Е2/Е = 50). Следовательно, изгибная жесткость асимметричной МСБ существенно зависит от жесткостей, геометрических параметров, расположения слоев и формы поперечного сечения балки. Несмотря на сложный характер измене ния изгибной жесткости В тах, с помощью предложенной математической модели можно легко определить все необходимые параметры. В ы в о д ы 1. Предложена математическая модель, позволяющая полностью опре делить изгибную жесткость МСБ в любом направлении, экстремальные значения жесткости и соответствующие им направления нейтральных слоев, а также координаты геометрического и жесткостного центров для любой конфигурации поперечного сечения МСБ. ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2006, № 6 63 Й. Барейшис, В. Клейза, Й. Клейза 2. Эффективность предложенной математической модели для расчета многослойных балок показана на примере изучения кинетики экстремаль ной изгибной жесткости, углов направления нейтральных слоев, а также изменения координат геометрического и жесткостного центров для двух компонентных балок с разными формами поперечного сечения, геометри ческие параметры и характеристики жесткости которых изменялись в широ ких пределах. 3. Получено, что на значение максимальной изгибной жесткости су щественно влияет отношение модулей упругости слоев и траектория форми рования сечения многослойной балки. Экстремальные значения изгибной жесткости В т х в зависимости от параметра формы т изменяются по кривым, имеющим один или два экстремума. Характер кривых зависит от отношения модулей упругости слоев и значения показателя формы т. Если отношение Е 2 / Е 1 > 20 или показатель формы т > 1,0, то кривые кинетики максимальной изгибной жесткости имеют два максимума. Это свидетель ствует о влиянии как минимум двух конкурирующих факторов: геометри ческих и жесткостных. При т > 1,0 максимальное значение изгибной жест кости В т х наблюдается в первом экстремуме, который смещен в сторону наибольших значений параметра г. 4. Исследования влияния разных форм поперечного сечения МСБ пока зали, что при одинаковом количестве материалов и одинаковой осевой жесткости всех форм балок наибольшую изгибную жесткость В т х имеет балка с асимметричной Z формой. Ее жесткость В тах на 12% больше жесткости балки с двутавровым профилем. Жесткость МСБ зависит также от того, какой элемент сформирован из материала с наибольшим модулем упругости и месторасположения этого элемента. 5. Углы направлений нейтральных слоев МСБ зависят от геометричес ких параметров и модулей упругости материалов слоев, а также формы поперечного сечения балки. Сложность зависимостей изменения углов тре бует точного определения положения нейтральных слоев, поскольку это непосредственно влияет на изгибную жесткость МСБ. 6. Установлены закономерности изменения координат геометрического и жесткостного центров. 7. С увеличением отношения модулей упругости слоев расстояние между геометрическим и жесткостным центрами возрастает. 8. Предложенный метод применялся для расчета изгибной жесткости в разных направлениях изгибающего момента лонжеронов крыльев планеров ЕЛК-17Л, ЕЛК-19 и ЕЛК-20, проектируемых и производимых в Литве. Р е з ю м е Представлено результати досліджень згинальної міцності в багатошарових балках, що мають геометричну та (або) жорсткісну асиметрію. Запропоно вано алгоритм для визначення координат геометричного і жорсткісного центрів та розрахунку згинальної жорсткості у любому напрямі з визна ченням її екстремальних значень у багатошарових балках із любою асимет рією. Вивчено кінетику координат геометричного і жорсткісного центрів, а 64 1&$М 0556-171Х. Проблемы прочности, 2006, № 6 Исследование изгибной ж есткости також згинальну жорсткість у залежності від зміни геометричних пара метрів і відношення модулей пружності шарів та форми поперечного пере тину багатошарової балки. 1. В асильев В. В ., Тарнопольский Ю . М . Композиционные материалы. - М.: Машиностроение, 1990. - 512 с. 2. P iskunov V. The iterative analytical theory in the mechanics of layered composite systems // Mech. Comp. Mater. - 2003. - 39, No. 1. - P. 3 - 24. 3. B areisis J. Design and stress state of tensions in multilayer bars // J. Comp. Mater. - 2004. - 38, No. 5. - P. 389 - 397. 4. D e L orenzis L . , M ille r B . , an d N ann i A . Bond of FRP laminates to concrete // ACI Mater. J. - 2001. - 98, No. 3. - P. 256 - 264. 5. C arvelli V. and Savoia M . Assessment of plate theories for multilayered angle-ply plates // Comp. Struct. - 1997. - 39, No. 3-4. - P. 197 - 207. 6. A ltenbach H ., A ltenbach J ., a n d N a s t E . Modeling and analysis of multi layered shells based on a Timoshenko type with six degrees of freedom // Mech. Comp. Mater. - 1993. - 29, No. 4. - P. 500 - 511. 7. G aruckas D. a n d B areisis J. The influence of different factors on the stiffness and strength of multilayered composite elements // Ibid. - 2003. - 39, No. 2. - P. 153 - 164. 8. B areisis J. and G aruckas D . The stiffness and strength of multilayer bars // Mechanika. - 2000. - No. 4 (24). - P. 23 - 30. 9. Zabulion is D ., M arciuka itis G., a n d Sam ofa lov M . Strain and stress states of laminated plates subjected to mechanical and hygrothermal loads: Proc. 8th Int. Conf. “Modern Building Materials, Structures, and Techniques”. - 2004. - P. 679 - 688. 10. Schw artz M e l M . Composite Materials. - New Jersey: Prentice-Hall Inc., 1997. - Vol. 2. - 572 p. 11. B areisis J. a n d K leiza V. Stiffness center and neutral layer direction investigation method and its application to asymmetric multilayer structural elements // Mechanika. - 2004. - No. 4 (48). - P. 5 - 12. Поступила 09. 11. 2005 IS S N 0556-171X. Проблемы прочности, 2006, № 6 65

Исследование изгибной жесткости в асимметричных многослойных балках

Репозитарії

Схожі ресурси