Взаимодействие эллиптических вихрей

В рамках моментной модели второго порядка рассмотрена задача о взаимодействии двух плоских пятен одинаковой завихренности, помещенных в невязкую однородную безграничную жидкость. Проведено сравнение результатов с данными, полученными при моделировании данного течения методами точечных вихрей и метод...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2005
Автор:	Коновалюк, Т.П.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут гідромеханіки НАН України 2005
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/4789
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Взаимодействие эллиптических вихрей / Т. П. Коновалюк // Прикладна гідромеханіка. — 2005. — Т. 7, № 2. — С. 44-53. — Бібліогр.: 21 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-4789
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-47892009-12-24T12:00:42Z Взаимодействие эллиптических вихрей Коновалюк, Т.П. В рамках моментной модели второго порядка рассмотрена задача о взаимодействии двух плоских пятен одинаковой завихренности, помещенных в невязкую однородную безграничную жидкость. Проведено сравнение результатов с данными, полученными при моделировании данного течения методами точечных вихрей и методом контурной динамики. Определены границы применимости метода точечных вихрей и моментной модели второго порядка. У рамках моментної моделi другого порядку розглянуто задачу про взаємодiю двох плоских плям однакової завихреностi, що розмiщенi в нев'язкiй однорiднiй необмеженiй рiдинi. Проведено порiвняння результатiв з даними, що отриманi при моделюваннi даної течiї методами точкових вихорiв та контурної динамiки. Визначенi границi застосування методу точкових вихорiв та моментної моделi другого порядку в даному випадку. The problem of the interaction of two planar patches of equal vorticity embedded in the inviscid homogeneous unbounded liquid is considered in the framework of the second-order moment model. The comparison of results with the data obtained from modelling studied flow by means of point vortex model and method of contour dynamics are carried out. In this case the boundary of application of point vortex model and the second-order moment model is determined. 2005 Article Взаимодействие эллиптических вихрей / Т. П. Коновалюк // Прикладна гідромеханіка. — 2005. — Т. 7, № 2. — С. 44-53. — Бібліогр.: 21 назв. — рос. 1561-9087 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/4789 532.527 ru Інститут гідромеханіки НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	В рамках моментной модели второго порядка рассмотрена задача о взаимодействии двух плоских пятен одинаковой завихренности, помещенных в невязкую однородную безграничную жидкость. Проведено сравнение результатов с данными, полученными при моделировании данного течения методами точечных вихрей и методом контурной динамики. Определены границы применимости метода точечных вихрей и моментной модели второго порядка.
format	Article
author	Коновалюк, Т.П.
spellingShingle	Коновалюк, Т.П. Взаимодействие эллиптических вихрей
author_facet	Коновалюк, Т.П.
author_sort	Коновалюк, Т.П.
title	Взаимодействие эллиптических вихрей
title_short	Взаимодействие эллиптических вихрей
title_full	Взаимодействие эллиптических вихрей
title_fullStr	Взаимодействие эллиптических вихрей
title_full_unstemmed	Взаимодействие эллиптических вихрей
title_sort	взаимодействие эллиптических вихрей
publisher	Інститут гідромеханіки НАН України
publishDate	2005
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/4789
citation_txt	Взаимодействие эллиптических вихрей / Т. П. Коновалюк // Прикладна гідромеханіка. — 2005. — Т. 7, № 2. — С. 44-53. — Бібліогр.: 21 назв. — рос.
work_keys_str_mv	AT konovalûktp vzaimodejstvieélliptičeskihvihrej
first_indexed	2025-07-02T07:59:27Z
last_indexed	2025-07-02T07:59:27Z
_version_	1836521270789799936
fulltext	ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2005. Том 7, N 2. С. 44 – 53 УДК 532.527 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ВИХРЕЙ Т. П. К О Н ОВ А Л ЮК Институт гидромеханини НАН Украины, г. Киев Получено 19.04.2005 В рамках моментной модели второго порядка рассмотрена задача о взаимодействии двух плоских пятен одинаковой завихренности, помещенных в невязкую однородную безграничную жидкость. Проведено сравнение результатов с данными, полученными при моделировании данного течения методами точечных вихрей и методом контурной динамики. Определены границы применимости метода точечных вихрей и моментной модели второго порядка. У рамках моментної моделi другого порядку розглянуто задачу про взаємодiю двох плоских плям однакової за- вихреностi, що розмiщенi в нев’язкiй однорiднiй необмеженiй рiдинi. Проведено порiвняння результатiв з даними, що отриманi при моделюваннi даної течiї методами точкових вихорiв та контурної динамiки. Визначенi границi застосування методу точкових вихорiв та моментної моделi другого порядку в даному випадку. The problem of the interaction of two planar patches of equal vorticity embedded in the inviscid homogeneous unbounded liquid is considered in the framework of the second-order moment model. The comparison of results with the data obtained from modelling studied flow by means of point vortex model and method of contour dynamics are carried out. In this case the boundary of application of point vortex model and the second-order moment model is determined. ВВЕДЕНИЕ Исследования, выполненные во второй поло- вине прошлого столетия, позволили установить, что процессы переноса таких физических вели- чин, как масса, тепло, импульс, завихренность, в турбулентных слоях смешения осуществляются главным образом когерентными вихревыми стру- ктурами [1]. Когерентные структуры есть скон- центрированные, крупномасштабные массы жид- кости, завихренность которых фазово скоррелиро- вана по всему объему структуры. Данные струк- туры являются организованной компонентой зави- хренности в отличие от фазово случайной (т. е. не- когерентной) компоненты. Несмотря на то, что ко- герентные вихревые структуры отвечают, в основ- ном, за процессы переноса, они не обязательно обладают высокой кинетической энергией. Боль- шая часть турбулентной кинетической энергии, как правило, сосредоточена в некогерентной тур- булентности [1]. Когерентные структуры могут существовать изолировано в потоке (например, спиральный вихрь) или в соседстве с другими такими же стру- ктурами (например, вихревые кольца). Когерен- тные вихревые структуры пространственно не пе- рекрываются: каждая из них имеет собственную границу, хотя смежные структуры могут быть свя- заны шнурами – областями слабой завихренности. Взаимодействие когерентных структур между со- бой осуществляется в соответствии с законом Био– Савара. В результате взаимодейстия либо изме- няются форма, характер движения и вращение структур (пятна находятся на определенном рас- стоянии друг от друга), либо образуются новые ко- герентные структуры (вихри расположены близко друг к другу) [1]. Время жизни пятен сконцентри- рованной завихренности велико по сравнению со временем их оборота вокруг своей оси [2]. Существование крупномасштабных организо- ванных движений в турбулентностных слоях сме- шения было впервые предположено Townsend и подробно исследовано Grant, Lindgen, Rotta и другими (см. ссылки в источнике [1]). Отметим, что прототипы когерентных структур наблюда- лись еще Reynolds в 1883 г. Понимание механизмов возникновения и вза- имодействия когерентных структур представляет интерес с точки зрения прикладных и фундамен- тальных исследований. Среди основных теорети- ческих направлений изучения данных объектов отметим прямое численное решение уравнений На- вье – Стокса и построение моделей, описывающих структуры. При численном анализе уравнений На- вье – Стокса используются спектральные методы, методы конечных разностей и конечных элементов и т. д. К достоинству первого направления следу- ет отнести его универсальность. Однако примене- ние данного подхода к решению широкого класса задач сопровождается трудностями, связанными с физической интерпретацией результатов. Суть представления реального течения его мо- дельным аналогом заключается в аппроксимации уравнений, описывающих течение, таким образом, чтобы “отфильтровать” все физические явления, кроме самых существенных. В моделях, описыва- ющих когерентные вихри, непрерывное поле зави- хренности заменяют локализованными вихревыми 44 c© Т. П. Коновалюк, 2005 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2005. Том 7, N 2. С. 44 – 53 пятнами, помещенными в потенциальное течение. Распределение завихренности в пятнах подчиняют определенным законам. Наряду со сложными моделями [3] (см. также список литературы в источнике), описывающими когерентные вихри, успешно применяются доста- точно простые модели, позволяющие в большин- стве случаев получить адекватные экспериментам результаты и существенно сократить время вычис- лений. К таким моделям относятся модель точеч- ных вихрей (МТВ) [4 – 6] и моментные модели [7]. При исследовании динамики вихревых течений будем использовать МТВ и моментную модель второго порядка (ММ2П). МТВ и ММ2П могут быть получены из общей моментной модели, в ко- торой вихрь описывается положением его центра завихренности и бесконечным числом геометриче- ских моментов сечения, при ее усечении вплоть до моментов нулевого и второго порядков, соответ- ственно [7]. В результате такого усечения вихри вырождаются в точки или эллипсы с однородно распределенной внутри них завихренностью одно- го знака при использовании МТВ и ММ2П соо- тветственно. 1. КРАТКАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ИСПОЛЬ- ЗУЕМЫХ МОДЕЛЕЙ 1.1. Модель точечных вихрей Взаимодействие N точечных вихрей с интен- сивностями κα и координатами (xα, yα) в безгра- ничной идеальной среде описывается гамильтоно- вой системой уравнений второго порядка [5]: καẋα = ∂H ∂yα ; καẏα = − ∂H ∂xα ; α = 1, . . . , N (1) с независящим явно от времени гамильтонианом H , H = − 1 8π N ∑ α,β=1 ′κακβ ln l2αβ ; (2) l2αβ = ( xα − xβ )2 + ( yα − yβ )2 , точка означает дифференцирование по времени; штрих означает, что в сумме опущен член, соо- тветствующий α = β. Кроме H , система (1) обла- дает еще тремя независимыми первыми интегра- лами [5]: Q = N ∑ α=1 καxα; P = N ∑ α=1 καyα; I = N ∑ α=1 κα ( x2 α + y2 α ) . (3) Постоянство величин (2), (3) в процессе движения выражает выполнение законов сохранения энер- гии (H), импульса (Q, P ) и момента импульса (I) течения, образованного системой вихрей. МТВ используется как в плоском, так и в про- странственном случаях при моделировании ряда течений, включая свертывание вихревой пелены, слои смешения, следы и турбулентные пятна (см. ссылки в [8]). Такое моделирование хорошо вос- производит крупномасштабные движения, однако при этом довольно грубо моделируются соответ- ствующие им напряжения [8]. Данный факт, веро- ятно, обусловлен игнорированием внутренней ди- намики вихрей, поскольку завихренность в МТВ задается совокупностью δ-функций. Несмотря на некоторую схематичность, МТВ отражает такие свойства реальных вихревых структур, как хаоти- ческое поведение [9, 10] и слияние вихрей [11 –13]. Отражение последнего явления в рамках МТВ особенно важно, так как процесс слияния вихре- вых структур является основным при формиро- вании новых масштабов в потоке. Следует также отметить, что точечные сингулярные вихри реаль- но существуют в сверхтекучем He II [14]. Подробный анализ решений системы (1) – (2) и обширная библиография по исследоваию точе- чных вихрей содержится в [9, 15]. 1.2. Моментная модель второго порядка По сравнению с МТВ, ММ2П обладает бо́льшими возможностями для описания процесса взаимодействия когерентных структур, поскольку учитывает деформацию вихревого ядра. В данной модели, как отмечено выше, вихревые пятна од- нородной завихренности описываются эллиптиче- скими вихрями [7]. В безграничной среде и в отсут- ствии внешних потоков одиночный эллиптический вихрь (вихрь Кирхгоффа) вращается вокруг оси, проходящей через его центр завихренности, с по- стоянной угловой скоростью, при этом форма его не меняется [4, 6]. В основу общей моментной тео- рии положено два основных предположения: • максимальный размер любого пятна в про- цессе взаимодействия намного меньше мини- мального расстояния между центрами зави- хренности пятен; • центр завихренности пятна всегда располо- жен внутри него, т. е. вихри не претерпевают сильных деформаций. Пятно завихренности с номером k, характеризу- емое двумя парами переменных (xk, yk) и (φk, λk), Т. П. Коновалюк 45 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2005. Том 7, N 2. С. 44 – 53 где xk, yk – координаты центра завихренности пя- тна; φk – угол наклона большей полуоси эллипса к оси x в инерциальной системе координат; λk – отношение полуосей эллипса (рис. 1), описывается гамильтоновой системой уравнений четвертого по- рядка [7]: Γkẋk = ∂H̃ ∂yk ; Γkẏk =− ∂H̃ ∂xk ; ΓkAk 8π 1 − λ2 k λ2 k φ̇k = ∂H̃ ∂λk ; ΓkAk 8π 1 − λ2 k λ2 k λ̇k =− ∂H̃ ∂φk (4) с гамильтонианом H̃ = H1 + H2 + H3, (5) H1 = − 1 8π N ∑ k=1 Γ2 k ln [ 1 + λ2 k 4λk ] + Γ2 k 16π ; H2 = − 1 8π N ∑ k,β=1 ′ΓkΓβ ln l2kβ; H3 = − 1 32π2 N ∑ k,β=1 ′ ΓkΓβ l2kβ × × [ Aβ 1 − λ2 β λβ cos (2(θkβ − φβ))+ +Ak 1 − λ2 k λk cos (2(θkβ − φk)) ] , где Γi = ωiAi, i = 1, . . . , N – интенсивность вихре- вого пятна с номером i; ωi, Ai – завихренность и площадь пятна с номером i соответственно; θkβ – угол, под которым из центра эллипса с номером k виден центр эллипса с номером β (рис. 1); lkβ – расстояние между центрами вихрей с номерами k и β. Составляющие гамильтониана H̃ (5) пред- ставляют собой: H1 – собственную энергию элли- пса; H2 – энергию системы эквивалентных точе- чных вихрей (под эквивалентной системой точе- чных вихрей будем понимать точечные вихри с ин- тенсивностями, равными интенсивностям распре- деленных вихрей, и расстояниями между вихрями, равными расстояниям между центрами завихрен- ности пятен); H3 – поправку к энергии, обуслов- ленную взаимодействием вихревых ядер. В данной модели выполнение законов сохранения заключа- ется в требовании постоянства соотношений (5) и Q = N ∑ k=1 Γkxk; P = N ∑ k=1 Γkyk; I = N ∑ k=1 [ Γk ( x2 k + y2 k ) + Ak 4π 1 + λ2 k λk ] . (6) Рис. 1. Основные параметры, описывающие взаимодействие эллиптических вихрей Кирхгоффа: (xk, yk) – координаты центра завихренности вихревого пятна с номером k; φk – угол наклона эллипса с номером k к оси x в инерциальной системе координат; λk = ak/bk – отношение полуосей эллипса с номером k; θkβ – угол, под которым из центра эллипса с номером k виден центр эллипса с номером β; lkβ – расстояние между центрами эллипсов k и β Дополнительно к величинам (5) и (6), в рамках данной модели сохраняется площадь каждого эл- липса, что является следствием теоремы Кельвина об инвариантности циркуляции в идеальной сре- де [5]. 2. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ДВУХ ВИХРЕВЫХ ПЯТЕН ОДИНАКОВОЙ ЗАВИХРЕННОСТИ В РАМКАХ ММ2П Имеется значительное количество работ, посвя- щенных исследованию взаимодействия двух рас- пределенных пятен завихренности, поскольку, не- смотря на свою простоту, данное течение является фундаментальным с точки зрения образования но- вых масштабов и роста сдвигового слоя, как отме- чает ряд авторов [2] (см. также ссылки в [8]). В су- ществующих исследованиях определены различ- ные типы взаимодействия вихрей [2,16 –18], иссле- дована устойчивость стационарных вихревых дви- жений, так называемых “V-состояний” [19]. В част- ности, было найдено, что в отличие от двух ви- хрей с завихренностью разных знаков, два вихря с завихренностью одного знака при определенных условиях сливаются, образуя составной вихрь. В рамках ММ2П решим задачу о взаимодей- 46 Т. П. Коновалюк ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2005. Том 7, N 2. С. 44 – 53 ствии двух первоначально круговых пятен разных размеров с однородно распределенной внутри пя- тен одинаковой завихренностью, т. е. исследуем траектории движения и деформацию пятен в на- веденном ими поле скоростей. В реальных пото- ках локализованные вихри имеют тенденцию со- хранять осесимметричную форму [2], слияние ви- хрей с неоднородно распределенной завихренно- стью приводит к образованию составного вихря, профиль завихренности которого приближается к однородному (см. ссылки в [16]). Таким обра- зом, предположения относительно формы и про- филя завихренности пятен являются физически обоснованными. Поведение эллиптических вихрей сравним с поведением эквивалентной системы то- чечных вихрей (МТВ) [4, 5] и с данными, полу- ченными в рамках метода контурной динамики (МКД) [16, 17], что позволит определить границы применимости МТВ и ММ2П в конкретном слу- чае. Остановимся на основных предположениях, сде- ланных относительно течения жидкости. Рассма- тривается двумерное течение невязкой однород- ной по плотности жидкости. Жидкость полагае- тся неограниченной, покоящейся на бесконечно- сти. При изучении динамики завихренности эф- фектами сжимаемости будем пренебрегать. Так- же не будем учитывать диффузию завихренности, что справедливо при рассмотрении определенного класса течений с высокими числами Re, кроме то- го, это позволяет моделировать вихри локализо- ванными пятнами завихренности. При решении поставленной задачи методом эк- страполяции [20] интегрировались системы урав- нений (1) – (2) и (4) – (5) с соответствующими на- чальными условиями. Точность вычислений кон- тролировалась по выполнению условия постоян- ства инвариантов (2), (3) и (5), (6). Характер взаимодействия вихрей в данной по- становке определяется отношением радиусов ви- хрей R2/R1 и начальным расстоянием между их центрами d (рис. 2). Начальный радиус первого вихря во всех исследуемых случаях полагался рав- ным постоянной величине R1 = const. Началь- ный радиус второго вихря изменялся в диапазо- не 0.1R1 ≤ R2 ≤ R1. Задача решалась в безразмер- ном виде. Все линейные размеры были нормиро- ваны на начальный радиус большего вихря R1, интенсивности вихрей – на единичную интенсив- ность Γ = 1, время – на характерный для данного течения временной промежуток R2 1/Γ. При анали- зе полученных результатов учитывались выполне- ние законов сохранения моделей (2) – (3) и (5) – (6) и выполнение основных предположений, положен- Рис. 2. Форма и расположение вихрей в начальный момент времени ных в основу моментной модели. Для проведения сравнения результатов в рамках ММ2П и МКД за- вихренность пятен полагалась равной ω = 2π, как в [16, 17]. Результаты численного эксперимента показали, что в случае двух первоначально круговых пятен с однородно распределенной завихренностью в рам- ках ММ2П имеют место два типа взаимодействия: упругое (УВВ) и неупругое (НВВ). При УВВ вра- щение вихрей вокруг центра завихренности сопро- вождается осцилляциями угловой скорости враще- ния вихревой системы относительно ее центра за- вихренности Ωп, расстояния между центрами ви- хрей d, а также осцилляциями формы вихрей, т. е. их полуосей λi, i = 1, 2, относительно своих сре- дних значений. Поведение распределенных вихрей может описываться точечными вихрями лишь в области УВВ. При НВВ с течением времени прои- сходит уменьшение расстояния между вихрями и значительная деформация их формы, в результа- те чего происходит нарушение основных предпо- ложений ММ2П. Это означает, что вследствие возбуждения вну- тренних степеней свободы в этом режиме вихри проявляют “готовность” к перераспределению за- вихренности. Отметим, что в области НВВ в рам- ках МКД имеет место образование вихревых во- локон, изменение размеров вихрей и их слияние при определенных условиях [16, 17]. Эти эффекты не могут быть в явном виде получены в рамках ММ2П, поскольку сближение и деформация ви- хрей приводят к нарушению основных предполо- жений модели. Результаты вычислений представ- лены в виде схемы, отражающей типы взаимодей- ствия вихрей в зависимости от начальных отноше- ния радиусов вихрей R2/R1 и расстояния между их кромками ∆, отнесенного к R1: ∆/R1 = (d− −R1 − R2)/R1 (рис. 3). Отметим, что расстоя- ние между кромками есть наименьшее расстояние между границами областей завихренности. Кри- вая зависимости R2/R1 от ∆/R1 представляет со- Т. П. Коновалюк 47 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2005. Том 7, N 2. С. 44 – 53 Рис. 3. Типы взаимодействия вихрей бой границу между УВВ и НВВ (сплошная линия на рис. 3). Расстояния между кромками вихрей ∆кр/R1, а также между их центрами dкр/R1, определяемые по этой кривой, называются кри- тическими. Критическое расстояние ∆кр/R1 (или dкр/R1) есть то расстояние, ниже которого вихри демонстрируют неупругое взаимодействие. Анализ численных данных позволил заключить следующее. Критическое расстояние между кром- ками ∆кр/R1 сильно различающихся по размеру вихрей больше, чем критическое расстояние ви- хрей, близких по размеру (рис. 3). Полученная за- висимость R2/R1(∆кр/R1) не является монотон- ной. С уменьшением R2/R1 от значения, равного 1, величина ∆кр/R1 вначале падает, а затем начи- нает расти. Минимальное значение ∆кр/R1 соот- ветствует отношению радиусов R2/R1 ≈ 0.8. Это означает, что расстояние между кромками, начи- ная с которого вихри попадают в область НВВ, минимально, когда вихри имеют близкие разме- ры. ∆кр/R1 является наибольшим для вихрей, ра- змеры которых различаются в 10 раз. Анализ ре- зультатов, приведенных на рис. 3, показывает, что НВВ проявляют лишь близко расположенные ви- хри: расстояние между кромками таких вихрей должно быть не более, чем 1.5 радиуса, а межцен- тровое расстояние – не более, чем 3.2 радиуса боль- шего вихря. При этом граница между УВВ и НВВ достаточно нечувствительна к различию в вихре- вых размерах: изменение R2/R1 в 10 раз приводит к изменению критического расстояния между цен- трами вихрей в 1.2 раза, между кромками вихрей – в 1.3 раза. Как отмечено выше, если начальное расстоя- ние между центрами вихрей превышает ∆кр/R1, то имеет место УВВ. В этом режиме поведение вихревых пятен может быть описано МТВ тем точнее, чем больше начальное расстояние между вихрями. Кратко остановимся на взаимодействии двух точечных вихрей с интенсивностями κ1, κ2, κ1 6= −κ2, и расстоянием d между ними. Такая ви- хревая система проявляет лишь один тип взаимо- действия: вихри вращаются вокруг неподвижного центра завихренности с постоянной угловой ско- ростью Ωт = (κ1 + κ2)/2πd2, при этом расстояние между ними не меняется [4, 5]. Постоянство d сле- дует из закона сохранения энергии (2) и означа- ет, что два точечных вихря не могут сливаться в один [11]. Период обращения вихрей вокруг цен- тра завихренности равен Tт = 2π/Ωт. Отличия в поведении вихревых пятен при УВВ от точечных вихрей будем оценивать с помощью четырех коэффициентов: k1 = ∣ ∣ ∣ ∣ Ωсрп − Ωт Ωт ∣ ∣ ∣ ∣ ; k2 = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ dср − d(0)) d(0) ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ; k3 = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ λср1 − λ (0) 1 λ (0) 1 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ; k4 = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ λср2 − λ (0) 2 λ (0) 2 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ , (7) выражающих: k1 – относительное изменение осре- дненной по времени t угловой скорости вра- щения пятен вокруг центра завихренности сис- темы вихрей Ωсрп = 1/τ ∫ τ 0 Ωп(t)dt от угловой скорости вращения эквивалентной системы то- чечных вихрей Ωт; k2 – относительное измене- ние среднего межцентрового расстояния пятен dср = 1/τ ∫ τ 0 d(t)dt от их начального расстояния d(0); k3, k4 – относительные изменения средних отношений полуосей вихрей λсрi = 1/τ ∫ τ 0 λi(t)dt, от их начальных значений λ (0) i , i = 1, 2. Коэф- фициенты k1, k2 (7) отражают отличия в поведе- нии пятен от точечных вихрей в целом, коэффи- циенты k3, k4 (7) характеризуют меру возбужде- ния внутренних степеней свободы первого и вто- рого вихрей соответственно. Отметим, что такое разделение условно, поскольку эти коэффициенты взаимосвязаны, как следует из уравнений (4) – (5), описывающих ММ2П. Угловую скорость вращения вихревых пятен относительно центра завихренности определим как полную производную по времени от угла θ12, образованного осью OX неподвижной системы координат и прямой, соединяющей центры ви- 48 Т. П. Коновалюк ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2005. Том 7, N 2. С. 44 – 53 хрей (рис. 1): Ωп(t) = dθ12 dt = ∂θ12 ∂xi dxi(t) dt + ∂θ12 ∂yi dyi(t) dt , (8) где xi(t), yi(t) – координаты центра завихренно- сти любого из двух вихревых пятен. Отметим, что центр завихренности исследуемой системы распо- ложен в начале координат. Подставив значения ∂θ12 ∂xi = − yi(t) x2 i (t) + y2 i (t) ; ∂θ12 ∂yi = xi(t) x2 i (t) + y2 i (t) в (8), получим выражение для угловой скорости вращения системы пятен: Ωп(t) = 1 x2 i (t) + y2 i (t) × × ( −yi(t) dxi(t) dt + xi(t) dyi(t) dt ) . (9) Здесь и далее в параграфе правило суммирования по повторяющемуся индексу не выполняется. В ка- честве индекса i может быть взято любое из его значений i = 1, 2. Осреднение величин Ωп(t), d(t), λi(t), i = 1, 2, осуществлялось на временном ин- тервале τ , равном нескольким периодам вращения точечных вихрей τ = NTт. В расчетах принима- лось N = 3. На рис. 4, а – г представлены зависимости ко- эффициентов k1 ÷ k4 от начального расстоя- ния d(0)/R1 для вихрей различных размеров (0.1 ≤ R2/R1 ≤ 1). Для каждого отношения ра- диусов вихрей d(0)/R1 изменялось в пределах от dкр/R1 + 10−3 до 4 (рис. 4, а – г). Как и следо- вало ожидать, свои максимальные значения ко- эффициенты k1 ÷ k4 принимают вблизи dкр/R1, с ростом d(0)/R1 все коэффициенты проявляют общую тенденцию к уменьшению. Это означает, что по мере увеличения начального межцентро- вого расстояния для всех исследуемых вихревых размеров возбуждение внутренних степеней сво- боды ослабевает, и поведение распределенных ви- хрей приближается к поведению эквивалентных точечных вихрей. Коэффициенты k3, k4 отража- ют, как было отмечено, меру возбуждения вну- тренних степеней свободы. Поэтому, желая кор- ректно аппроксимировать распределенные вихри точечными, следует исходить из величин этих ко- эффициентов. При этом отметим, поскольку мень- ший вихрь испытывает большее влияние со сто- роны своего “напарника”, чем наоборот (по ана- логии с взаимодействием масс в небесной механи- ке [21]), то следует ожидать, что k4 ≥ k3. Наши рассуждения согласуются с численными результа- тами, которые свидетельствуют о том, что среди всех исследуемых коэффициентов коэффициенты k3, k4 имеют наибольший диапазон изменения в исследуемом интервале начальных расстояний ме- жду вихрями (рис. 4, а – г). При этом k4 ≥ k3 при одинаковых d(0)/R1 (рис. 4, в, г). Поэтому при ап- проксимации пятен точечными вихрями в данной вихревой системе следует в первую очередь учи- тывать степень отклонения формы меньшего ви- хря от круговой. Будем полагать, если k4 ≤ 0.05, т. е. отклонение формы меньшего вихря от перво- начальной круговой составляет менее 5%, то рас- пределенные вихри можно надежно описывать то- чечными. Как показывает анализ численных дан- ных (рис. 4, г), это имеет место, когда межцентро- вое расстояние превышает примерно четыре ради- уса большего вихря для вихрей всех размеров. Та- ким образом, МТВ адекватно описывает поведе- ние двух распределенных вихрей одинаковой зави- хренности, начиная с достаточно малых межцен- тровых расстояний, составляющих примерно че- тыре радиуса большего из вихрей. При расстояни- ях ниже указанного значения моделирование вза- имодействия двух вихревых пятен с одинаковой завихренностью должно осуществляться с учетом внутренних степеней свободы у вихрей. Обратимся к исследованию области НВВ. Отме- тим, что ММ2П не позволяет исследовать поведе- ние вихрей при d(0)/R1 < dкр/R1 на больших вре- менных промежутках, поскольку с уменьшением начального расстояния между вихрями уменьша- ется время “жизни” вихревой системы в рамках ММ2П. Поэтому поведение вихрей в области НВВ в рамках ММ2П изучалось в окрестности ММ2П– граничной кривой. Отметим, что в малой окре- стности слева и справа от граничной кривой по- ведение центров завихренности пятен различно, однако характер деформации пятен одинаков. По- этому при анализе деформации эллиптических ви- хрей в области НВВ воспользуемся результатами деформации пятен в приграничной области УВВ (коэффициенты k3, k4 вблизи dкр/R1 – рис. 4, в, г). В этой области вихри сближаются, что приводит к их сплющиванию, как следует из закона сохра- нения момента импульса течения, образованного вихрями (6). Характер деформации вихрей зависит от разли- чия в их размерах. Как следует из рис. 4, в, г, уве- личение разницы в вихревых размерах приводит к уменьшению возмущения от первоначальной кру- говой формы большего вихря (значение коэффи- циента k3 вблизи dкр/R1 падает при R2/R1 → 0.1) и росту деформации меньшего вихря (общая тен- денция коэффициента k4 вблизи dкр/R1 к увели- чению при R2/R1 → 0.1). На рис. 5, а, рис. 6, а при- Т. П. Коновалюк 49 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2005. Том 7, N 2. С. 44 – 53 а б в г Рис. 4. Коэффициенты, характеризующие отличия в поведении двух распределенных вихрей одинаковой завихренности от эквивалентной системы точечных вихрей ведены примеры НВВ, полученные при использо- вании ММ2П для вихрей различных размеров. Сравним результаты по взаимодействию ви- хрей, имеющему место в рамках ММ2П, с дан- ными, полученными при использовании МКД [17]. Как отмечено выше, ММ2П, как и МКД, позволя- ет выделить два основных типа взаимодействия вихрей: УВВ и НВВ. Поведение вихрей в обла- сти УВВ сходно для обоих методов. Хотя ММ2П, в отличие от МКД, не позволяет классифициро- вать неупругие взаимодействия, тем не менее мо- ментная модель верно отражает характер дефор- мации вихревых пятен, который согласуется с ти- пами НВВ в рамках МКД [17]. Увеличение дефор- мации меньшего вихря по сравнению с большим при уменьшении R2/R1, имеющее место в рамках ММ2П в области НВВ, означает, что вихрь с ради- усом R2 стремится закрутиться вокруг своего “на- 50 Т. П. Коновалюк ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2005. Том 7, N 2. С. 44 – 53 а в Рис. 5. Моделирование НВВ двух распределенных вихрей равных радиусов одинаковой завихренности в рамках: а – ММ2П: R2/R1 = 1, d(0)/R1 = 3.2, dкр/R1 = 3.201; б – МКД: R2/R1 = 1, d(0)/R1 = 3.2 [16] парника”. Эта тенденция в рамках используемого метода согласуется с результатами исследований в рамках МКД, направленных на изучение вопро- са: какой же из вихрей при заданной геометрии и распределении завихренности будет заворачивать- ся вокруг другого [18]. Выясним, как точно в рамках ММ2П опреде- ляется граница между областями УВВ и НВВ. На рис. 3 представлены граничные расстояния ме- жду кромками вихрей, разделяющие упругий и не- упругий режимы, определенные с помощью двух методов: сплошная линия относится к ММ2П, штриховая – к МКД [17]. Как следует из ри- сунка, граничная кривая, построенная с помо- щью ММ2П, воспроизводит характер зависимо- сти R2/R1(∆кр/R1), полученной в рамках МКД: ММ2П–граница несколько сдвинута в область НВВ, определенных МКД. Отклонение ММ2П– граничной кривой от МКД–кривой максимально для одинаковых вихрей (относительное отклоне- ние составляет 17%) и уменьшается по мере уве- личения различий в вихревых размерах, т. е. ми- нимально для R2/R1 = 0.1 (0.8%). Возникает вопрос о времени “жизни” ММ2П в области НВВ. Сравнение результатов ММ2П и МКД [16, 17] показывает, что время, в тече- ние которого ММ2П адекватно отражает поведе- а в Рис. 6. Моделирование НВВ двух распределенных вихрей различных радиусов одинаковой завихренно- сти в рамках: а – ММ2П: R2/R1 = 0.3, d(0)/R1 = 2.5, dкр/R1 = 2.647; б – МКД: R2/R1 = 0.3, d(0)/R1 = 2.5 [17] ние вихрей в области НВВ, невелико и составляет примерно 2 ÷ 4 безразмерные единицы. Нижний предел относится к соизмеримым вихрям, разли- чие в вихревых размерах приводит к некоторо- му увеличению времени “жизни” модели (рис. 5, 6). На рис. 5 представлено слияние вихрей оди- наковых размеров в рамках ММ2П (рис. 5, а) и МКД (рис. 5, б) [16]. Картина взаимодействия схо- дна вплоть до безразмерного времени t = 2. В мо- мент времени t = 3 модель дает нефизичный ре- зультат, поскольку процесс слияния вихрей сопро- вождается их сближением и закручиванием ни- тей завихренности пятен вокруг общего ядра, а не перекрытием вихревых областей, как следует из ММ2П. На рис. 6 изображено неупругое вза- имодействие вихрей разных размеров в рамках ММ2П (рис. 6, а) и МКД (рис. 6, б) [17]. Режим ча- стичного растяжения, демонстрируемый в рамках МКД, воспроизводится в основных чертах вплоть до t = 4 в ММ2П. Поясним данную ситуацию. В соответствии с результатами, полученными МКД [17], в области НВВ вблизи граничной кривой имеют место следу- ющие типы взаимодействия (терминология взята из источника [17]): для равных вихрей характер- но полное слияние (вихри сближаются, выделяю- щаяся из них завихренность закручивается вокруг Т. П. Коновалюк 51 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2005. Том 7, N 2. С. 44 – 53 общего ядра); вихри, близкие по размерам, де- монстрируют частичное слияние (часть завихрен- ности меньшего вихря внедряется в бо́льший, ре- зультирующая система представляет собой два ви- хря и нитевидную завихренность); для вихрей, ра- зличающихся по размерам, характерно частичное растяжение (нитевидная завихренность, выделя- ющаяся из меньшего вихря, закручивается во- круг большего, но не внедряется в него). ММ2П не способна адекватно описать процессы слияния в силу предположений, положенных в ее основу. А начальные этапы частичного растяжения, со- провождающиеся вытягиванием меньшего из ви- хрей, ММ2П отражает вполне удовлетворитель- но. То, что ММ2П–граничная кривая вычисляе- тся более точно для вихрей, различающихся по размерам, является следствием особенностей вза- имодействия рассматриваемой вихревой системы. Таким образом, сдвиг ММ2П–граничной кривой по отношению к МКД–кривой, а также невозмо- жность классифицировать в рамках ММ2П пове- дение вихрей в области НВВ в отличие от МКД, обусловлены учетом лишь небольшого числа сте- пеней свободы при моделировании вихрей в рам- ках ММ2П. ЗАКЛЮЧЕНИЕ На основании проведенных исследований мож- но сделать следующие выводы. 1. Данная задача является тестовой как для кор- ректного описания распределенных вихрей точечными, так и для понимания ситуаций, требующих учета внутренних степеней свобо- ды вихрей. 2. В отличие от двух точечных вихрей, два ви- хревых пятна с однородно распределенной внутри них завихренностью одного знака в рамках ММ2П проявляют два типа взаимо- действия: упругое и неупругое. Граница ме- жду УВВ и НВВ достаточно нечувствитель- на к различию в вихревых размерах: увеличе- ние различий в отношении радиусов вихрей на порядок приводит к незначительному измене- нию критического расстояния между центра- ми вихрей. НВВ проявляют лишь близко ра- сположенные вихри, межцентровые расстоя- ния которых не превышают приблизительно трех радиусов большего из вихрей. 3. Сравнение полученных результатов в рамках ММ2П с существующими данными в рам- ках МКД позволяет заключить следующее: ММ2П адекватно описывает характер вза- имодействия и деформации распределенных вихрей, если межцентровое расстояние пре- вышает примерно три радиуса большего из вихрей, т. е. в области УВВ. Ниже указанной величины, т. е. в области НВВ, ММ2П верно отражает основные тенденции в поведении пя- тен, но финальные стадии взаимодействия не могут быть описаны в рамках ММ2П ввиду нарушения ее основных предположений. 4. Несмотря на определенную ограниченность ММ2П, данная модель адекватно описыва- ет основные типы взаимодействия локализо- ванных плоских вихревых структур. Важным достоинством данного подхода является воз- можность использования при моделировании когерентных вихревых структур аналитиче- ских представлений. 1. Hussain A. K. M. F. Coherent structures – reality and myth // Phys. Fluids.– 1983.– 26, N 10.– P. 2816– 2849. 2. McWilliams J. C. The emergence of isolated coherent structures in turbulent flows // J. Fluid Mech.– 1984.– 146.– С. 21–43. 3. Dritschel D. G., Reinaud J. N., McKiver W. J. The quasi-geostrophic ellipsoidal vortex model // J. Fluid Mech.– 2004.– 505.– P. 201–223. 4. Lamb H. Hydrodynamics.– New York: Dover, 1945.– 738 p. 5. Бэтчелор Дж. Введение в механику жидкости.– М.: Мир, 1973.– 758 с. 6. Вилля Г. Теория вихрей.– М.–Л.: ОНТИ, 1936.– 266 с. 7. Melander M. V., Zabuzky N. J., Styczek A. S. A moment model for vortex interactions of two- dimensional Euler equations. Part I. Computational validation of a Hamiltonian elliptical representati- on // J. Fluid Mech.– 1986.– 167.– P. 95–115. 8. Кантуэлл Б. Дж. Организованные движения в турбулентных потоках. Вихри и волны. Сб. ста- тей. Сер. Механика. Новое в зарубежной науке // М.: Мир.– 1984, 33.– С. 9–79. 9. Aref H. Intergable, chaotic, and turbulent vortex motion in two dimensional flows // Ann. Rev. Fluid Mech.– 1983.– 15.– P. 345–389. 10. Aref H. Chaos in the dynamics of a few vorti- ces – fundamentals and applications // Theor. and Appl. Mech., IUTAM.– Elsevier Science Publishers B. V. (North–Holand), 1985.– P. 43–68. 11. Новиков Е. А., Седов Ю. Б. Коллапс вихрей // ЖЭТФ.– 1979.– 77, вып. 2(8).– С. 588–597. 12. Aref H. Motion of three vortices // Phys. Fluids.– 1979.– 22,N 3.– P. 393–400. 13. Novikov E. A. Stochastization and сollapse of vortex system // Ann. NY. Acad. Sci.– 1980.– 357.– P. 47– 54. 52 Т. П. Коновалюк ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2005. Том 7, N 2. С. 44 – 53 14. Donelly R. J., Roberts P. H. Superfluid mechanics // Ann. Rev. Fluid Mech.– 1974.– 6.– P. 179–225. 15. Мелешко В. В., Константинов М. Ю. Динамика вихревых структур.– Киев: Наук. думка, 1993.– 279 с. 16. Waugh D. W. The efficiency of symmetric vortex merger // Phys. Fluids.– 1992.– A4, N 8.– P. 1745– 1758. 17. Dritschel D. G., Waugh D. W. Quantification of the unelastic interaction of unequal vortices in two-dimensional vortex dynamics // Phys. Fluids.– 1992.– A4, N 8.– P. 1737–1744. 18. Melander M. V., Zabuzky N. J., McWilliams J. C. Asymmetric vortex merger in two dimensions: Which vortex is “victorious”? // Phys. Fluids.– 1987.– 30.– P. 2610–2612. 19. Overman E. A., Zabuzky N. J. Evolution and merger of osolated vortex structures // Phys. Fluids.– 1982.– 25, N 8.– P. 1297–1305. 20. Хайрер Э., Нерсетт С., Ваннер Г. Решение обыкно- венных дифференциальных уравнений. Нежес- ткие задачи.– М.: Мир, 1990.– 512 с. 21. Уиттекер Е. Т. Аналитическая динамика.– М.–Л.: ОНТИ, 1937.– 500 с. Т. П. Коновалюк 53

Взаимодействие эллиптических вихрей

Репозитарії

Схожі ресурси