Приближенный подход в теории винтовых и потенциальных течений в изотермической атмосфере

На основе приближенного подхода введен обобщенный потенциал в теорию винтовых течений в изотермической атмосфере. Задача сведена к решению линейного однородного дифференциального уравнения в частных производных второго порядка. Указано, что переменные в уравнении для обобщенного потенциала разделяют...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2005
Автори:	Салтанов, В.Н., Ревенко, Ю.В., Ефремова, Н.С.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут гідромеханіки НАН України 2005
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/4791
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Приближенный подход в теории винтовых и потенциальных течений в изотермической атмосфере / В. Н.Салтанов, Ю. В. Ревенко, Н. С. Ефремова // Прикладна гідромеханіка. — 2005. — Т. 7, № 2. — С. 63-72. — Бібліогр.: 51 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-4791
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-47912009-12-24T12:00:44Z Приближенный подход в теории винтовых и потенциальных течений в изотермической атмосфере Салтанов, В.Н. Ревенко, Ю.В. Ефремова, Н.С. На основе приближенного подхода введен обобщенный потенциал в теорию винтовых течений в изотермической атмосфере. Задача сведена к решению линейного однородного дифференциального уравнения в частных производных второго порядка. Указано, что переменные в уравнении для обобщенного потенциала разделяются в прямоугольной системе координат, трех цилиндрических (круговой, эллиптической и параболической), а также в сферической и конической системах. В случае аксиальной симметрии записано общее решение уравнения для функции тока через полиномы Лежандра и функции Бесселя. Построены поверхности тока для вихрей первой и второй степени. На основi наближеного пiдходу введений узагальнений потенцiал у теорiю гвинтових потокiв в iзотермiчнiй атмосферi. Задача зведена до розв'язання лiнiйного однорiдного диференцiального рiвняння в частинних похiдних другого порядку. Вказано, що змiннi в рiвняннi для узагальненого потенцiалу розподiляються в прямокутнiй системi координат, трьох цилiндричних (круговiй, елiптичний i параболiчний), а також у сферичнiй та конiчнiй системах. У випадку аксиальноi симетрiї записано загальний розв'язок рiвняння для функцiї току через полiноми Лежандра i функцiї Беселя. Побудованi поверхнi току вихорiв першої та другої ступенiв. Generalized potential, based on the approximate approach, is introduced in the theory of helical flow in the isotermic atmosphere. The problem is reduced to the solving of linear uniform differental equation in partial derivatives of the second order. It is shown, that variables in the equation for the generalized potential are separated in the rectangular system of coordinates, three cylindrical (circular, eliiptical and parabolic) and also in spherical and conical systems. In cases of axial symmetry equations for the current function the general solution is written down through Legendre polynomials and Bessel function. The current surfaces for the vortexes of the first and second degrees are built. 2005 Article Приближенный подход в теории винтовых и потенциальных течений в изотермической атмосфере / В. Н.Салтанов, Ю. В. Ревенко, Н. С. Ефремова // Прикладна гідромеханіка. — 2005. — Т. 7, № 2. — С. 63-72. — Бібліогр.: 51 назв. — рос. 1561-9087 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/4791 532.5 ru Інститут гідромеханіки НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	На основе приближенного подхода введен обобщенный потенциал в теорию винтовых течений в изотермической атмосфере. Задача сведена к решению линейного однородного дифференциального уравнения в частных производных второго порядка. Указано, что переменные в уравнении для обобщенного потенциала разделяются в прямоугольной системе координат, трех цилиндрических (круговой, эллиптической и параболической), а также в сферической и конической системах. В случае аксиальной симметрии записано общее решение уравнения для функции тока через полиномы Лежандра и функции Бесселя. Построены поверхности тока для вихрей первой и второй степени.
format	Article
author	Салтанов, В.Н. Ревенко, Ю.В. Ефремова, Н.С.
spellingShingle	Салтанов, В.Н. Ревенко, Ю.В. Ефремова, Н.С. Приближенный подход в теории винтовых и потенциальных течений в изотермической атмосфере
author_facet	Салтанов, В.Н. Ревенко, Ю.В. Ефремова, Н.С.
author_sort	Салтанов, В.Н.
title	Приближенный подход в теории винтовых и потенциальных течений в изотермической атмосфере
title_short	Приближенный подход в теории винтовых и потенциальных течений в изотермической атмосфере
title_full	Приближенный подход в теории винтовых и потенциальных течений в изотермической атмосфере
title_fullStr	Приближенный подход в теории винтовых и потенциальных течений в изотермической атмосфере
title_full_unstemmed	Приближенный подход в теории винтовых и потенциальных течений в изотермической атмосфере
title_sort	приближенный подход в теории винтовых и потенциальных течений в изотермической атмосфере
publisher	Інститут гідромеханіки НАН України
publishDate	2005
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/4791
citation_txt	Приближенный подход в теории винтовых и потенциальных течений в изотермической атмосфере / В. Н.Салтанов, Ю. В. Ревенко, Н. С. Ефремова // Прикладна гідромеханіка. — 2005. — Т. 7, № 2. — С. 63-72. — Бібліогр.: 51 назв. — рос.
work_keys_str_mv	AT saltanovvn približennyjpodhodvteoriivintovyhipotencialʹnyhtečenijvizotermičeskojatmosfere AT revenkoûv približennyjpodhodvteoriivintovyhipotencialʹnyhtečenijvizotermičeskojatmosfere AT efremovans približennyjpodhodvteoriivintovyhipotencialʹnyhtečenijvizotermičeskojatmosfere
first_indexed	2025-07-02T07:59:32Z
last_indexed	2025-07-02T07:59:32Z
_version_	1836521276473081856
fulltext	ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2005. Том 7, N 2. С. 63 – 72 УДК 532.5 ПРИБЛИЖЕННЫЙ ПОДХОД В ТЕОРИИ ВИНТОВЫХ И ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ ТЕЧЕНИЙ В ИЗОТЕРМИЧЕСКОЙ АТМОСФЕРЕ Н. В. С АЛ ТА Н О В, Ю. В. РЕВ Е Н КО, Н. С. Е ФРЕ МО ВА Институт гидромеханики НАН Украины, Киев Получено 20.09.2004 На основе приближенного подхода введен обобщенный потенциал в теорию винтовых течений в изотермической атмосфере. Задача сведена к решению линейного однородного дифференциального уравнения в частных произво- дных второго порядка. Указано, что переменные в уравнении для обобщенного потенциала разделяются в прямоу- гольной системе координат, трех цилиндрических (круговой, эллиптической и параболической), а также в сфериче- ской и конической системах. В случае аксиальной симметрии записано общее решение уравнения для функции тока через полиномы Лежандра и функции Бесселя. Построены поверхности тока для вихрей первой и второй степени. На основi наближеного пiдходу введений узагальнений потенцiал у теорiю гвинтових потокiв в iзотермiчнiй атмосфе- рi. Задача зведена до розв’язання лiнiйного однорiдного диференцiального рiвняння в частинних похiдних другого порядку. Вказано, що змiннi в рiвняннi для узагальненого потенцiалу розподiляються в прямокутнiй системi ко- ординат, трьох цилiндричних (круговiй, елiптичний i параболiчний), а також у сферичнiй та конiчнiй системах. У випадку аксиальноi симетрiї записано загальний розв’язок рiвняння для функцiї току через полiноми Лежандра i функцiї Беселя. Побудованi поверхнi току вихорiв першої та другої ступенiв. Generalized potential, based on the approximate approach, is introduced in the theory of helical flow in the isotermic atmosphere. The problem is reduced to the solving of linear uniform differental equation in partial derivatives of the second order. It is shown, that variables in the equation for the generalized potential are separated in the rectangular system of coordinates, three cylindrical (circular, eliiptical and parabolic) and also in spherical and conical systems. In cases of axial symmetry equations for the current function the general solution is written down through Legendre polynomials and Bessel function. The current surfaces for the vortexes of the first and second degrees are built. ВВЕДЕНИЕ Класс винтовых течений по степени общности и приложениям является одним из наиболее значи- тельных. Понятие винтового течения введено И. С. Громекой и Крегом [7, 10]. Начало теории вин- товых потоков положено И. С. Громекой [10]. Вин- товые движения вязкой жидкости впервые рас- смотрел В. А. Стеклов [7, 46]. Н. Е. Жуковский [7, 14] понятие винтового движения использовал при создании вихревой теории винта. Математическо- му обоснованию подхода Жуковского посвящена работа М. В. Келдыша и Ф. И. Франкля [17]. Как известно, Н. Е. Жуковский схематизирует задачу о винте следующим образом: вращающий- ся винт заменяется круглым диском, по которому равномерно распределены радиальные вихри. Ин- тенсивность задается некоторой функцией рассто- яния от центра диска. Эта система вихрей обтекае- тся потоком, имеющим на бесконечности скорость, перпендикулярную к нему и по величине совпа- дающую со скоростью полета. Так как вихри не могут оканчиваться внутри жидкости, присоеди- ненные вихри диска продолжаются в потоке в ви- де свободных вихрей, образуя винтовую струю. Из теории Гельмгольца следует, что свободные вихри свободного абсолютного потока имеют направле- ние, совпадающее с линиями тока относительного потока (по отношению к вращающемуся винту). Из этого условия и должны быть определены ви- хри струи. Н. Е. Жуковский дает приближенное решение поставленной задачи, предполагая, что свободные вихри располагаются на цилиндриче- ских поверхностях за диском. В работе [17] ста- вится задача получения точного решения пробле- мы винта по схеме Н. Е. Жуковского, не предпо- лагая заранее заданной формы вихревых поверх- ностей. В этой работе задача о винте приводит к системе интегро-дифферинциальных уравнений, которое решается методом последовательных при- ближений. При этом доказывается их сходимость к точному решению задачи, что показывает дей- ствительное существование положения равновесия вихрей, удовлетворяющее схеме Н. Е. Жуковско- го. Приближенное решение задачи, данное Н. Е. Жуковским, совпадает с одним из первых чле- нов, применяемых в работе [17] цепочки после- довательных приближений. О.Ф. Васильевым [7] дано систематическое изложение механики винто- вых и циркуляционных потоков. В настоящее вре- мя аппарат теории винтовых и циркуляционных потоков широко используется в прикладных зада- чах гидроаэродинамики, гидравлики, гидравличе- c© Н. В. Салтанов, Ю. В. Ревенко, Н. С. Ефремова, 2005 63 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2005. Том 7, N 2. С. 63 – 72 ских машин и технологических аппаратов, дина- мики атмосферы и океана и в других областях. Ряд работ Н. А. Слезкина посвящен примене- нию аппарата винтовых течений к задачам ди- намики атмосферы [39–44]. Проблема винтового магнитогидродинамического динамо рассматрива- ется в работах В. И. Арнольда и Е. И. Коркиной [2] и А. А. Рузмайкина, Д. Д. Соколова и А. М. Ша- курова [27]. Некоторые точные решения, описыва- ющие осесимметричное винтовое движение несжи- маемой жидкости, получены А.Б. Айрапетовым и Е. М. Жмулиным [1]. Такого рода решения мо- гут представлять интерес для описания вихрей за гребными винтами, вихревых жгутов, сходящих с концов крыла, вторичных течений в искривлен- ных каналах, течений в воронках, торнадо и за- крученных струях. Геометрические аспекты тео- рии винтовых течений рассмотрены в работе В. В. Дудкина [12]. Численное моделирование вин- товых потоков применительно к гидроциклонам, используемым в качестве осветлителей, сгустите- лей и классификаторов в технологических процес- сах различных отраслей промышленности, выпол- нено в работах В. В. Найденко [24], В. В. Дьякова, В. К. Рожневой и А. М. Платонова [13]. Приме- нительно к соплам теория винтовых течений газа развита в работах Г. Г. Черного [51] и А. Н. Афа- насенкова, Ю. А. Гостинцева и О. А. Успенского [3]. Обобщение винтовых течений на жидкие и га- зообразные среды с источниками массы, импуль- са и энергии получено в работах Н. В. Салтанова [28-30, 32]. Аппарат винтовых течений был приме- нен П. А. Киткиным [18] и Р.В. Озмидовым [26] к описанию ячеистых циркуляционных движений жидкости под поверхностью моря (так называе- мых циркуляций Ленгмюра). Анализ структуры линий тока, образуемых стационарными трехмер- ными винтовыми течениями, проводится в работах И. Н. Наумовой и Ю. Д. Шмыглевского [25] и Г.М. Заславского, Р. З. Сагдеева, А. А. Черникова [15]. Отметим, что внимание к структурам в гидроди- намических течениях возросло в связи с установ- лением их роли в процессе возникновения и разви- тия турбулентности. По классификации, принятой в работе [32], выделяют свободные, вынужденные и автоструктуры. Примером свободных гидроди- намических структур являются, например, коль- цевые вихри в идеальных течениях. В магнитной гидродинамике винтовые течения исследовались В. С. Ткаличем и Е. Ф. Ткалич [49, 50], И. Е. Та- раповым [47], С. С. Моисеевым, Р. З. Сагдеевым и В. В. Яновским [22] и другими. Одна из глав монографии [38] посвящена разви- тию теории винтовых течений. Получено уравне- ние для обобщенного векторного потенциала ско- рости. В том же специальном классе ортогональ- ных координатных систем, что и в случае стоксо- вых течений, приведено уравнение для обобщенно- го скалярного потенциала скорости. Рассмотрены установившиеся гироскопические и магнитогидро- динамические волны конечной амплитуды. Изуче- ны дисперсионные свойства указанных волн в кру- говом цилиндрическом слое и круговом цилиндре в неосесимметричном случае. Рассмотрены слабо неоднородные винтовые течения. Получено и ис- следовано дисперсионное соотношение гироскопи- ческих волн конечной амплитуды с учетом вли- яния на сдвиг частоты параметров, характеризу- ющих переменность коэффициента спиральности. Установлена связь указанных параметров с ам- плитудами второй, третьей и т. д. гармоник волн. При наличии сдвиговой симметрии получено не- линейное уравнение для функции тока, описыва- ющее гироскопические волны конечной амплиту- ды в плоском слое жидкости. В случае постоянно- го коэффициента спиральности рассмотрены вол- ны конечной амплитуды с учетом сдвига “фоно- вой” составляющей скорости в выделенном на- правлении. Показано, что “запирание” рассматри- ваемых волн наступает при значении градиента “фоновой” составляющей скорости, равной удвоен- ной гирочастоте. Установлено, что в случае волн, длина которых значительно больше глубины слоя, основное уравнение допускает решения как в виде периодических (кноидальных) волн, так и виде уе- диненных волн (солитонов). Отмечено, что кнои- дальные волны устойчивы относительно продоль- ных возмущений. Из решений уравнения Громеки–Жуковского выделены широкие классы решений с гамиль- тоновским описанием линий тока, содержащие известные решения такого рода (Арнольда– Бельтрами–Чилдресса и Заславского–Сагдеева– Черникова) в качестве частных специализаций. Получены решения задач о винтовых структурах в полупространстве, плоском слое, шаровой полости и сферическом слое в случае жидкости постоянной плотности, а также задачи о винтовых структурах в плоском слое жидкости переменной плотности применительно к земной атмосфере. На основе уравнения для функции тока получе- но и исследовано дисперсионное уравнение, опи- сывающее установившиеся гравитационные волны конечной амплитуды в плоском слое. При этом учтено влияние на сдвиг частоты параметров, характеризующих как плотностную, так и энер- гетическую стратифиикацию жидкости в слое. Проанализирована связь указанных параметров с 64 Н. В. Салтанов, Ю. В. Ревенко, Н. С. Ефремова ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2005. Том 7, N 2. С. 63 – 72 амплитудами второй, третьей и т. д. гармоник. Рассмотрен нелинейно–волновой перенос массы. Отмечена аналогия с дисперсионными и амплиту- дными зависимостями для гироскопических волн. Цель данной работы – развитие приближенного подхода в теории винтовых и потенциальных те- чений в изотермической атмосфере. 1. ИСХОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ Система уравнений идеального изотермическо- го газа применительно к атмосфере Земли в прене- брежении центробежной силой имеет следующий вид: ∇w = ~V × ( rot~V + 2ω∗~e∗ ) , (1) divρ~V = 0, (2) w = ~V 2 2 + RgT ln ρ ρ0 +G, G = G(x1), p = RgTρ, T = const, Rg = 287(Дж/кг ·K), (3) где ~V – скорость; V – ее модуль; p – давление; ρ – плотность; ρ0 = const – плотность атмосферы у Земли; T – температура; Rg – газовая постоянная воздуха [20]; G – гравитационный потенциал; ω∗ – частота вращения Земли; ~e∗ – единичный вектор вдоль оси вращения. Рассмотрение проводится в ортогональной системе координат (x1, x2, x3). Пусть течения однородные винтовые: rot~V + 2ω∗ ~e∗ = β0ρ ρ0 ~V , β0 = const 6= 0. (4) Здесь β0 – параметр спиральности. Отметим, что уравнение неразрывности (2) является следствием уравнения (4). Действительно, применяя к левой и правой частям соотношения (4) операцию дивер- генции, приходим к уравнению (2). С учетом урав- нения (4) из уравнения движения (1) следует RgT ln ρ ρ0 +G+ V 2 2 = w0, w0 = const. (5) Решая уравнение (5) относительно плотности, за- пишем ρ = ρ0 exp ( − V 2 2RgT ) exp ( w0 −G RgT ) . (6) Как известно [9], для стандартной атмосферы в ее 70-километровом (по толщине) слое абсолютная температура отличается от ее среднего значения не более, чем на 15 %. Далее примем для темпера- туры T , входящей в вышеприведенные соотноше- ния, среднее значение температуры стандартной атмосферы по указанному слою, T = Tc = 250◦K. Наибольшие скорости, отмеченные в сильных ци- клонах, не превышаютт 80-100 (м/с) [4]. Поэтому выполнено неравенство v2 2RgTc = ( V (m/sec) 379 )2 << 1. (7) Следовательно, в выражении (6) множитель, включающий скорость, весьма мало отличается от единицы. В результате с погрешностью, не пре- вышающей 7 % даже при v = 100 (м/с), запишем ρ = ρ(x1) = ρ0 exp [ w0 −G(x1) RgTc ] . (8) Полагая ρ(x10) = ρ0, найдем w0 = G(x10). В ре- зультате будем иметь ρ = ρ0 exp [ G0 −G(x1) RgTc ] , G0 = G(x10), ρ̄ ≡ ρ ρ0 . (9) С учетом выражения (9) уравнениям (2) и (4) при- дадим следующий вид: divρ̄~V = 0, ρ̄(x1) = exp [ G0 −G(x1) RgTc ] , (10) rot~V + 2ω∗~e∗ = β(x1)~V , β(x1) = β0 ρ̄(x1). (11) Положим ~V = ~v + ~V H , (12) где ~V H – частное решение неоднородного уравне- ния (11). Подставляя (12) в уравнение (11), при- ходим к однородному уравнению для определения величины ~v: rot~v = β~v, β = β(x1). (13) Дальнейшее рассмотрение проведем в ортого- нальной системе координат x1, x2, x3, коэффици- енты Ламе которой удовлетворяют условиям [11, 31, 32–38]: h1 = 1, ∂ ∂x1 h2 h3 = 0. (14) В работах [31, 35, 38] при изучении однородных винтовых течений жидкости постоянной плотнос- ти (β = β0 = const) был введен следующий обоб- щенный потенциал S: rot~v = β0~v, ~v = 1 β2 0 ∇∂(qS) ∂x1 + 1 β0 rot(qS ~e1) + qS ~e1 , Н. В. Салтанов, Ю. В. Ревенко, Н. С. Ефремова 65 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2005. Том 7, N 2. С. 63 – 72 (∆∗ + β2 0)(qS) = 0, ∆∗ = ∆ − κh ∂ ∂x1 , κh = ∂(h2h3) h2h3∂x1 , q = q(x1). (15) Здесь ∆ – оператор Лапласа; ~e1 – орт, касательный координатной линии x1; q(x1) – заданная функ- ция своего аргумента, выбираемая из соображе- ния удобства. При этом рассмотрение также про- водилось в ортогональной системе координат, ко- эффициенты Ламе которой удовлетворяют усло- виям (14). Обобщая представление (15), будем разыски- вать решение уравнения (13) в виде ~v = ∇ ( aΠ + a1 ∂Π ∂x1 ) + rot ( bΠ~e1 ) + cΠ~e1, a = a(x1), a1 = a1(x1), b = b(x1), c = c(x1), (16) где Π – обобщенный потенциал; величины a, a1, b и c – пока произвольные функции своего аргумен- та. Подставим выражение (16) для величины ~v в уравнение (13). В результате запишем: ∇ [ ( b ′ − βa ) Π + ( b − βa1 ) ∂Π ∂x1 ] + +rot [( c− βb ) Π~e1 ] − − [ ∆∗ ( bΠ ) − β ′ a1 ∂Π ∂x1 + ( βc − β ′ a ) Π ] ~e1 = 0. (17) Здесь штрих означает дифференцирование со- ответствующей величины по своему аргументу. Приравнивая в соотношении (17) нулю коэффи- циенты при Π и (∂Π/∂x1) под знаком градиента, коэффициент при Π под знаком ротора и множи- тель при ~e1 в последнем слагаемом, соответствен- но запишем: b ′ = βa, (18) b = βa1, (19) c = βb, (20) ∆∗ ( bΠ ) + βcΠ − β ′ ( aΠ + a1 ∂Π ∂x1 ) = 0. (21) Далее для простоты положим a1 = 1. (22) Тогда из соотношений (18) – (20) следует b = β, (23) a = β ′ β , (24) c = β2 . (25) Учтем выражения (22) – (25) в уравнении (21) и введем новый обобщенный потенциал S следую- щим образом: q(x1)S = βΠ. (26) Здесь величина q играет ту же роль, что и в со- отношениях (15). В результате придeм к следую- щему уравнению: ( ∆∗ + β2 − β ′ β ∂ ∂x1 ) ( qS ) = 0. (27) Учитывая соотношения (22) – (26) в выражении для скорости (16), запишем ~v = ∇∂(qS) β∂x1 + rot ( qS~e1 ) + βqS~e1 . (28) Таким образом, задача решения уравнения (13) в ортогональных координатах (14) сведена к ли- нейному однородному дифференциальному урав- нению в частных производных второго порядка (27), служащему для определения обобщенного потенциала S. Если этот обобщенный потенциал найден, то поле скорости определим с помощью выражения (28). Отметим, что среди приведенных в курсе [23] ортогональных координатных систем, в которых переменные в уравнении (27) разделяются, усло- виям (14) удовлетворяют прямоугольная система (x1 = z , x или y), три цилиндрических (круговая, эллиптическая и параболическая; x1 = z), а также сферическая и коническая системы (x1 = R, где R – радиус). В указанных прямоугольных и трех цилиндри- ческих системах координат удобно положить q = = 1. В результате уравнение (27) принимает вид: ( ∆ + β2 − β ′ (z) β ∂ ∂z ) S = 0. (29) Здесь ∆ – оператор Лапласа. В случае сфериче- ской и конической систем координат удобно поло- жить q = R. В результате уравнение (27) прини- мает вид: [ ∆ + β2 − β ′ (R) β ( ∂ ∂R + 1 R )] S = 0. (30) В пренебрежении силой Кориолиса (ω∗ = 0) рас- смотрим потенциальные течения ~v = ∇Φ, w = w0 = const. (31) 66 Н. В. Салтанов, Ю. В. Ревенко, Н. С. Ефремова ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2005. Том 7, N 2. С. 63 – 72 Учитывая выражение (31) в уравнении неразрыв- ности (10), получим следующее уравнение для по- тенциала Φ: [ ∆ + ρ̄ ′ (x1) h2 1ρ̄ ∂ ∂x1 ] Φ = 0. (32) Отметим, что в случае потенциальных течений выполнение условий (14) не обязательно. Pассмотрение проводилось в предположении, что температура T атмосферы не зависит от высо- ты (T = const). Это предположение является при- ближенным [4, 9, 16, 21]. Oтметим, что модели неизотермической атмосферы рассматривались в сравнительно недавней работе [19]. 2. УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ВИНТОВЫХ ТЕЧЕ- НИЙ В ДЕКАРТОВЫХ, КРУГОВЫХ ЦИ- ЛИНДРИЧЕСКИХ И СФЕРИЧЕСКИХ КО- ОРДИНАТАХ 2.1. Декартовы и круговые цилиндрические ко- ординаты Пусть система координат декартова (z, x, y) или круговая цилиндрическая (z, r, ϕ), причем ось x1 ≡ z направлена против вектора силы тяжести. Тогда выражения (9) для плотности и (11) для ве- личины β принимают вид β(z) = β0 ρ̄(z), ρ̄ = e−α0z, ρ̄ ≡ ρ ρ0 , α0 ≡ g RgTc . (33) Здесь g – ускорение силы тяжести. Подставляя выражение (33) для β в уравнение (29), соответ- ственно в декартовой и круговой цилиндрической системах координат запишем: ( ∆⊥ + α2 0ρ̄ 2 ∂ 2 ∂ρ̄2 + β2 0 ρ̄ 2 ) S = 0, ∆⊥ ≡ ∂2 ∂x2 + ∂2 ∂y2 , ∆⊥ ≡ ∂2 ∂r2 + 1 r ∂ ∂r + 1 r2 ∂2 ∂ϕ2 . (34) Подставляя выражение (33) для β в соотноше- ние (28) для скорости ~v, при q = 1, соответственно в декартовой и круговой цилиндрической систе- мах координат получаем: ~v = ρ̄ ( β0 + α2 0 β0 ∂2 ∂ρ̄2 ) S~ez− − ( ~ez ×∇⊥ + α0 β0 ∇⊥ ∂ ∂ρ̄ ) S, ∇⊥ = ~ex ∂ ∂x + ~ey ∂ ∂y , ∇⊥ = ~er ∂ ∂r + ~eϕ ∂ r∂ϕ . (35) Приведем частные решения ~V H неоднородного уравнения (11) в случаях декартовой и круговой цилиндрической систем координат. Для единично- го вектора ~e∗ примем выражение ~e∗ = cosΘ0~ez + sinΘ0~ey , (36) где Θ0 – меридиональный угол начала системы отсчета. В результате в декартовых координатах z, x, y это решение запишется в виде V H z = 2ω∗cosΘ0 β0ρ̄ , V H x = 2ω∗sinΘ0 β0 ρ̄ ∫ 1 sin β0 α0 ( ξ − ρ̄ ) dξ ξ2 , V H y = 2ω∗sinΘ0 β0 [ 1 ρ̄ + ρ̄ ∫ 1 cos β0 α0 ( ξ − ρ̄ ) dξ ξ2 ] . (37) В частном решении неоднородного уравнения (11) в круговых цилиндрических координатах (z, r, ϕ) выражение для компоненты скорости V H z имеет вид (37). Выражения для компонент скоро- сти V H r и V H ϕ имеют следующий вид: V H r = V H x cosϕ + V H y sinϕ, V H ϕ = V H x sinϕ+ V H y cosϕ. (38) Здесь компоненты скорости V H x и V H y определяю- тся выражениями (37). Элементарное решение уравнения (34) в декар- товых координатах, получаемое методом разделе- ния переменных, имеет вид S = (D1sink̄xx̄sink̄yȳ +D2sink̄xx̄cosky ȳ+ +D3cosk̄xx̄sink̄y ȳ +D4cosk̄xx̄cosk̄y ȳ)× × [ C1ρ̄ 1 2J√ 1 4 +k̄2 ( β̄0ρ̄ ) +C2ρ̄ 1 2J − √ 1 4 +k̄2 ⊥ ( β̄0 ρ̄ ) ] ; x = α0x; ȳ = α0y; k̄x = kx α0 , k̄y = ky α0 , β̄0 = β0 α0 , k̄⊥ = k⊥ α0 , k̄2 ⊥ = k̄2 x + k̄2 y. Н. В. Салтанов, Ю. В. Ревенко, Н. С. Ефремова 67 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2005. Том 7, N 2. С. 63 – 72 Здесь и далее k2 ⊥ – постоянная разделения; D1, D2, D3, D4, C1 и C2 – постоянные; J – функ- ция Бесселя. Элементарное решение в круговых цилиндрических координатах таково S = [ AnJn9k̄⊥r)+BnNn(k̄⊥r̄) ] (ancosnϕ+bnsinnϕ)× × [ C1ρ̄ 1 2J√ 1 4 +k̄2 ⊥ (β̄0ρ̄) +C2ρ̄ 1 2J − √ 1 4 +k̄2 ⊥ (β̄0 ρ̄) ] ; n = 0, 1, 2, ... Здесь и далее An, Bn, an, bn – постоянные; J и N – функции Бесселя и Неймана. Аналогичным образом в декартовых и круго- вых цилиндрических координатах можно полу- чить элементарное решение уравнения (32) для по- тенциала Φ. В частности, в круговых цилиндриче- ских координатах оно имеет вид Φ = [ AnJn(k̄⊥r)+BnNn(k̄⊥r̄) ] (ancosnϕ+bnsinnϕ)× × ( C+ρ̄ m+ +C−ρ̄ m− ) , m± = −1 2 ± √ 1 4 + k̄2 ⊥ . Здесь C+ и C− – постоянные. 2.2. Сферические координаты В сферических координатах (R,Θ, ϕ) для плот- ности ρ справедливо выражение ρ̄ = e α0 ( R 2 3 R −R3 ) . (39) Здесь R3 – радиус Земли, величина α0 опреде- ляется согласно выражения (33). Принимая есте- ственное допущение εR ≡ ((R − R3)/R3) << 1, из (11) и (39) приближенно получаем β(R) = β0ρ̄(R), ρ̄ = ē−α0(R−R3). (40) Учитывая, что толщина атмосферного слоя во много раз меньше радиуса Земли, будем считать выполненным неравенство µR ≡ ∣ ∣ ∣ ∣ f R3 ∂f ∂R ∣ ∣ ∣ ∣ << 1, f = {VR, VΘ, V ϕ, S}. Используя малость параметра µR, можем прене- бречь соответствующими слагаемыми в уравнении (30). Переходя затем в получившемся уравнении от независимых переменных (R,Θ, ϕ) к незави- симым переменным (ρ̄,Θ, ϕ) и используя также малость параметра εR, приходим к следующему уравнению: ( α2 0ρ̄ 2 ∂ 2 ∂ρ̄2 + β2 0 ρ̄ 2 + 1 R2 3 ∆Θϕ ) S = 0, ∆Θϕ ≡ ∂ ∂Θ2 + ctgΘ ∂ ∂Θ + 1 sin2Θ ∂2 ∂ϕ2 . (41) Подставляя выражение (40) для величины β в соотношение (28), при q = R с учетом малости параметров εR и µR получаем ~v = R3ρ̄ ( β0 + α2 0 β0 ∂2 ∂ρ̄2 ) S~eR− − ( ~eR ×∇Θϕ + α0 β0 ∇Θϕ ∂ ∂ρ̄ ) S, ∇Θϕ = ~eΘ ∂ ∂Θ + ~eϕ 1 sinΘ ∂ ∂ϕ . (42) Найдем частное решение неоднородного уравне- ния (11) в сферических координатах. В предполо- жении азимутальной симметрии (∂/∂ϕ = 0) с уче- том малости параметров εR и µR из него следует VR = 2ω∗cosΘ β , ∂Vϕ ∂R + βVΘ = −2ω∗sinΘ, ∂VΘ ∂R − βVϕ = 0. (43) Исключая из третьего уравнения (43) меридиаль- ную компоненту скорости VΘ с помощью второ- го уравнения, получаем следующее уравнение для определения азимутальной компоненты: ∂2Vϕ ∂R2 − dβ βdR ∂Vϕ ∂R + β2Vϕ = 2ω∗dβ βdR sinΘ. (44) Учитывая в уравнении (44) выражение (40) для β, находим ∂2Vϕ ∂ρ̄2 + β̄2 0Vϕ = − 2ω∗ α0ρ̄2 sinΘ, β̄0 ≡ β0 α0 . (45) Частное решение неоднородного уравнения (45) разыскиваем в виде V H ϕ = Qϕ(ρ̄)sinΘ. (46) В результате для функции Qϕ(ρ̄) запишем уравне- ние d2Qϕ(ρ̄) dρ̄2 + β̄2 0Qϕ = − 2ω∗ α0ρ̄2 . (47) Частное решение неоднородного уравнения (47) имеет вид Qϕ = 2ω∗ β0 ρ̄ ∫ 1 sinβ̄0 ( ξ − ρ̄ )dξ ξ2 . (48) 68 Н. В. Салтанов, Ю. В. Ревенко, Н. С. Ефремова ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2005. Том 7, N 2. С. 63 – 72 В результате на основе соотношений (43), (46) и (48) получаем следующие выражения для компо- нент скорости в частном решении неоднородного уравнения (11): V H R = 2ω∗ β0ρ̄ cosΘ, V H Θ = −2ω∗ β0 [ 1 ρ̄ + ρ̄ ∫ 1 cosβ̄0 ( ξ − ρ̄ )dξ ξ2 ] sinΘ, V H ϕ = 2ω∗ β0 ρ̄ ∫ 1 sinβ̄0 ( ξ − ρ̄ )dξ ξ2 sinΘ. (49) 3. ВИНТОВЫЕ ТЕЧЕНИЯ В СФЕРИЧЕС- КИХ КООРДИНАТАХ ПРИ НАЛИЧИИ ОСЕ- ВОЙ СИММЕТРИИ Обратимся к системе уравнений (10) и (11) в сферических координатах R,Θ, ϕ, x1 = R. Пола- гая ось вращения параллельной оси z, для вектора ~e∗ запишем ~e∗ = cosΘ~eR − sinΘ~eΘ. (50) Полагая наличие осевой симметрии (∂/∂ϕ = 0), решаем уравнение неразрывности (10): VR = 1 R2ρ̄sinΘ ∂ψ ∂Θ , VΘ = − 1 Rρ̄sinΘ ∂ψ ∂R . (51) Здесь ψ – функция тока. Интегрируя R- и Θ-компоненты уравнения (11), выражаем ϕ- компоненту скорости через функцию тока: RsinΘVϕ = β0ψ − R2ω∗sin 2Θ. (52) Учитывая в ϕ–компоненте уравнения (11) выра- жения (51) и (52), получаем следующее уравнение для функции тока ψ: ∂ ∂R 1 ρ̄ ∂ψ ∂R + 1 R2ρ̄ sinΘ ∂ ∂Θ 1 sinΘ ∂ψ ∂Θ + +β2 0 ρ̄ψ = R2β0ω∗ρ̄sin 2Θ. (53) Положим во втором слагаемом левой части и в правой части уравнения (53) приближенно R = = R3. Переходя, далее, от дифференцирования по R к дифференцированию по ρ̄, приходим к следу- ющему уравнению: ρ̄2 ∂ 2ψ ∂ρ̄2 + 1 ᾱ2 0 sinΘ ∂ ∂Θ 1 sinΘ ∂ψ ∂Θ + +β̄2 0 ρ̄ 2ψ = R2 3β0ω∗ α2 0 ρ̄2sin2Θ, ᾱ0 = α0R3. (54) Частное решение неоднородного уравнения (54) разыскиваем в виде ψH = A(ρ)sin2Θ. (55) Учитывая выражение (55) в уравнении (54), запи- шем ρ̄2 d 2A dρ̄2 − 2 ᾱ2 0 A+ β̄2 0 ρ̄ 2A = R2 3β0ω∗ρ̄ 2 α2 0 . (56) Анализ показал, что вторым слагаемым в левой части уравнения (56) можно пренебречь. В резуль- тате для величины ψH получаем следующее выра- жение: ψH = R2 3ω∗ β0 sin2Θ. (57) Соответствующие (57) величины компонент ско- рости таковы: V H R = 2ω∗ β0ρ̄ cosΘ, V H Θ = 0, V H ϕ = 0. (58) Получим общее решение однородного (ω∗ = 0) уравнения (54). Для этого удобно выразить фун- кцию тока ψ через азимутальную компоненту ско- рости из (52): ψ = 1 β0 R3sinΘVϕ. (59) При этом было приближенно положено R = R3. Подставляя выражение (59) в уравнение (54), при ω∗ = 0 будем иметь ρ̄2 ∂ 2Vϕ ∂ρ̄2 + β̄2 0 ρ̄ 2Vϕ+ + 1 ᾱ2 0 ( ∂2 ∂Θ2 + ctgΘ ∂ ∂Θ − 1 sin2Θ ) Vϕ = 0. (60) Записываем элементарное решение уравнения (60) с помощью метода разделения переменных Vϕ = Q(ρ̄)Y (Θ). (61) Подставляя выражение (61) в уравнение (60), для величин Q и Y соответственно получаем уравне- ния ( ρ̄2 d 2 dρ2 + β̄2 0 ρ̄ 2 − γ ᾱ2 0 ) Q = 0, (62) ( d2 dΘ2 + ctgΘ dY dΘ − 1 sin2Θ + γ ) Y = 0. (63) Н. В. Салтанов, Ю. В. Ревенко, Н. С. Ефремова 69 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2005. Том 7, N 2. С. 63 – 72 Здесь γ – постоянная разделения. Ограниченные и обладающие непрерывными до второго порядка производными решения уравнения (63) существу- ют лишь при [45, 48] γ = n(n+ 1), n = 1, 2, ... (64) Они представляют собой полиномы Лежандра n-й степени первого порядка: Y = P (1) n ( cosΘ ) (65) Решения уравнения (62) при выполнении условий (64) выражаются через функции Бесселя: Qn = √ ρ̄ [ CnJνn ( β̄0 ρ̄ ) +DJ−νn ( β̄0ρ̄ ) ] , νn = 1 2 √ 1 + 4n(n+ 1) R̄2 3 , R̄3 = α0R3 = 872. (66) Таким образом, ограниченное и обладающее не- прерывными до второго порядка производными на сфере решение уравнения (60), получаемое мето- дом разделения переменных, запишем в виде Vϕ = ∞ ∑ n=1 √ ρ̄ [ CnJνn ( β̄0ρ̄ ) + +DnJ−νn ( β̄0ρ̄ )] P (1) n (cosΘ). (67) С учетом соотношений (57), (59) и (67) для функции тока имеем ψ = R3sinΘ β0 { ω∗R3sinΘ + ∞ ∑ n=1 √ ρ̄ [ CnJνn ( β̄0ρ ) + +DnJ−νn ( β̄0ρ̄ ) ] P (1) n (cosΘ) } . (68) В заключение данного параграфа отметим, что ограниченное и обладающее непрерывными до второго порядка производными на сфере решение уравнения (41), получаемое методом разделения переменных, имеет следующий вид: S = ∞ ∑ n=1 √ ρ [ cnJνn (β̄0 ρ̄) + dnJ−νn (β̄0 ρ̄) ] Yn(Θ, ϕ), Yn = n ∑ m=0 P (m) n ( cosΘ )( Am n cosmϕ +Bm n sinmϕ ) . Здесь Yn – сферические функции; величины νn определяются согласно соотношений (66). 4. ПОВЕРХНОСТИ ТОКА ВИХРЕЙ ПЕРВОЙ И ВТОРОЙ СТЕПЕНИ В пренебрежении эффектом вращения (ω∗ = 0) рассмотрим первое (n = 1) слагаемое в соотно- шении (68). Согласно (66), имеем ν1 = 0,5000026. Таким образом, с большой точностью можно по- ложить ν1 = (1/2). В результате, переобозначая постоянные C1 и D1, запишем ψ = ( C1sinβ̄0ρ̄+D1cosβ̄0ρ̄ ) sin2Θ. (69) Соответственно для компонент скорости имеем VR = 2 R2 3ρ̄ ( C1sinβ̄0ρ̄+D1cosβ̄0 ρ̄ ) cosΘ, VΘ = β0 R3 ( C1cosβ̄0ρ̄+D1sinβ̄0ρ̄ ) sinΘ, Vϕ = β0 R3 ( C1sinβ̄0 ρ̄+D1cosβ̄0ρ̄ ) sinΘ. (70) Пусть имеют место условия ρ̄ = 1, ρ̄1(ρ̄1 < 1), VR = 0. (71) Здесь при ρ̄ = ρ̄1 принято условие “твердой крышки”, как это иногда делается в динамике атмосферы. Подставляя выражение (70) для VR в условия (71), имеем C1sinβ̄0 +D1cosβ̄0 = 0, C1sinβ̄0 ρ̄1 +D1cosβ̄0ρ1 = 0. (72) Условие нетривиальной разрешимости системы уравнений (72) имеет вид sinβ̄0 ( 1 − ρ̄1 ) = 0. (73) Его решение таково: β̄0 = kπ 1 − ρ̄1 , k = 1, 2, ... (74) Решая первое уравнение (72) относительно D1, исключаем затем коэффициент D1 из выражения (69). В результате получаем ψ̄ = sin ( kπ 1 − ρ̄ 1 − ρ̄1 ) sin2Θ, ψ̄ ≡ −cosβ̄0 C1 ψ. (75) При ψ̄ = const соотношение (75) определяет по- верхности тока ρ̄ = ρ̄(Θ) в вихре первой степени. Для k = 1 и высоты “твердой крышки” Hкр = 70 км (ρ̄1 = 0.000069) эти поверхности представле- ны на рис. 1. 70 Н. В. Салтанов, Ю. В. Ревенко, Н. С. Ефремова ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2005. Том 7, N 2. С. 63 – 72 Рис. 1. Поверхности тока в вихре первой степени Рис. 2. Поверхности тока в вихре второй степени Рассматривая при ω∗ = 0 второе (n = 2) слагае- мое в соотношении (68), для функции тока вихря второй степени аналогично случаю вихря первой степени получаем ψ̄ = sin ( kπ 1 − ρ̄ 1 − ρ̄1 ) sinΘsin2Θ, k = 1, 2, ... (76) Соответствующие поверхности тока при k = 1 и Hкр= 70 км представлены на рис. 2. Как видно из рис. 1 и 2, вихрь первой степени содержит одну циркуляционную зону, вихрь второй степени – две. Можно показать, что вихрь третьей (n = 3) степе- ни содержит три циркуляционные зоны и т. д. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ С использованием приближенного подхода вве- ден обобщенный потенциал в теорию винтовых течений в изотермической атмосфере. При этом отмечена аналогия с обобщенным потенциалом, введенным ранее одним из авторов в теории вин- товых течений однородной жидкости. Задача све- дена к решению линейного однородного диффе- ренциального уравнения в частных производных второго порядка. Указано, что переменные в урав- нении для обобщенного потенциала разделяются в прямоугольной системе координат, трех цилин- дрических (круговой, эллиптической и параболи- ческой), а также в сферической и конической си- стемах. Это весьма существенно с точки зрения получения решений уравнения для обобщенного потенциала. В сферических координатах в случае аксиальной симметрии на основе метода разделе- ния переменных записано общее решение уравне- ния для функции тока через полиномы Лежандра и функции Бесселя. Построены поверхности тока для вихрей первой и второй степени. При этом ви- хрь первой степени содержит одну циркуляцион- ную зону, вихрь второй степени – две зоны. Ана- логично вихрь n-й степени содержит n циркуля- ционных зон. 1. Айрапетов А. Б., Жмулин Е. М. О винтовом осесимметричном движении несжимаемой вязкой жидкости // Прикл. математика и механика.– 1988.– 52, N 1.– С. 64–69. 2. Арнольд В. И., Коркина Е. И. Рост магнитного поля в трехмерном стационарном потоке несжи- маемой жидкости // Вест. Моск. ун-та.– 1983.– N 3.– С. 43–46. 3. Афанасенков А. Н., Гостинцев Ю. А., Успенский О. А. Квазиодномерная теория для винтового по- тока // Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа.– 1977.– N 5.– С. 186–192. 4. Байбаков С. М., Мартынов А. И. С орбиты спу- тника – в глаз тайфуна.– М.: Наука, 1986.– 176 с. 5. Больцман Л. Избранные труды.– М.: Наука, 1984.– 644 с. 6. Бруяцкий Е. В. Теория атмосферной диффузии радиоактивных выбросов.– Киев: Институт гидро- механики НАН Украины, 2000.– 444 с. 7. Васильев О. Ф. Основы механики винтовых и цир- куляционных потоков.– М: Госэнергоиздат, 1958.– 144 с. 8. Вашкевич О. В., Гапонов–Грехов А. В., Рабино- вич М. И. Рождение уединенных автоструктур при термоконвекции в слое с неоднородным подогре- вом // Докл. АН СССР.– 1987.– 293, N 3.– С. 563– 567. 9. Гилл А. Динамика атмосферы и океана.– М.: Мир, 1986.– 400 с. 10. Громека И. С. Некоторые случаи движения несжи- маемой жидкости.– М.: Изд-во АН СССР, 1952.– 76–148 с. 11. Дебай П. Избранные труды.– Л.: Наука, 1987.– 560 с. 12. Дудкин В. В. Кинематический анализ одноро- дных винтовых потоков в R 3 // Задачи и методы механики сплошных сред.– 1985.– N 1.– С. 92–102. Н. В. Салтанов, Ю. В. Ревенко, Н. С. Ефремова 71 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2005. Том 7, N 2. С. 63 – 72 13. Дьяков В. В., Рожнева В. К., Платонов А. М. Тео- ретические и экспериментальные исследования те- чения газа в циклоне // Изв.вузов. Горн. журнал.– 1981.– N 3.– С. 41–46. 14. Жуковский Н. Е. Вихревая теория гребного винта // Избр. соч.: в 2 т. // М.– Л..– Гостехиздат.– 1948. – Т. 2.– С. 190–355. 15. Заславский П. М., Сагдеев Р. З., Черников А. А. Стохастичность линий тока в стационарных тече- ниях // Журнал эксперим. и теорет. физики.– 1988.– 94, вып.2 .– С. 102–115. 16. Зоммерфельд А. Термодинамика и статистическая физика.– М.: ИЛ, 1955.– 440 с. 17. Келдыш М. В., Франкль Ф. И. Строгое обоснова- ние винта Жуковского // Келдыш М. В. Избран- ные труды. Механика.– М.: Наука, 1985.– 43–75 с. 18. Киткин П. А. Поперечная циркуляция в ветро- вом течении и глубина перемешивания в устойчи- во стратифицированном море // Тр. океанограф. ин-та.– 1949.– Вып.11.– С. 37–42. 19. Козлов В. В. Неэкспоненциальная атмосфера и неканонические распределения вероятностей // ДАН (Россия).– 2001.– 380, N 1.– С. 346–346. 20. Кухлинг Х. Справочник по физике.– М.: Мир, 1982.– 520 с. 21. Кшевецкий С. П. Моделирование распростране- ния внутренних гравитационных волн в газе.– ЖВММФ: 2001, 41, N 2.– 295–310 с. 22. Моисеев С. С., Сагдеев Р.З., Яновский В. В. Об интегралах вмороженности и лагранжевых инва- риантах в гидродинамических моделях // Журн. эксперим. и теорет. физики.– 1988.– 94, вып. 2.– С. 144–153. 23. Морс Ф., Фешбах Г. Методы теоретической физи- ки: В 2 т. – М.: Изд-во иностр. лит., 1960.– Т. 2.– 896 c. 24. Найденко В. В. Применение математических мо- тодов и ЭВМ для оптимизации и управления про- цессами разделения суспензий в гидроциклонах.– Горький: Волго–Вят. кн. изд–во, 1976.– 288 с. 25. Наумова И. Н., Шмыглевский Ю. Д. О линиях тока одного винтового течения // Журн. вычисл. математики и мат. физ.– 1985.– 25, N 2.– С. 312– 313. 26. Озмидов Р. В. О полосах схождения и поперечных циркуляциях в ветровых течениях в море // Тр. Ин-та океанологии.– 1960.– 39.– С. 135–143. 27. Рузмайкин А. А., Соколов Д. Д., Шукуров А. М. Течение Куэтта–Пуазейля как винтовое динамо // Магнит. гидродинамика.– 1989.– N 1.– С. 9–14. 28. Салтанов Н. В. Обобщение вариационных моде- лей газодинамики и динамики стратифицирован- ной жидкости в стационарном случае с использо- ванием функции тока.– Киев: ДЕП в УкрНИИН- ТИ 15.11.79, N 1767, 1979.– 94 с. 29. Салтанов Н. В. Аналитическая механика спло- шной среды с источниками.– М.: ВИНИТИ, 1982.– 354 с. 30. Салтанов Н. В. Аналитическая гидромеханика.– Киев: Наук. думка, 1984.– 200 с. 31. Салтанов Н. В. Обобщенный потенциал в теории однородных винтовых потоков несжимаемой жид- кости // ДАН СССР.– 1989.– 305, N 6.– С. 1325– 1327. 32. Салтанов Н. В. Аналитическая и прикладная ги- дромеханика при наличии источников // Прикла- дная гидромеханика.– Киев: Наук. думка.– 1989.– С. 145–168. 33. Салтанов Н. В. Новые представления общего ре- шения системы уравнений Стокса // ДАН СССР.– 1990.– 312, N 1.– С. 76–80. 34. Салтанов Н. В. Обобщенный гидродинамический потенциал и его аналоги в теории упругости // Прикладная гидромеханика.– 1990.– 26, N 4.– С. 97–101. 35. Салтанов Н. В. Аналоги обобщенных гидродина- мических потенциалов в теории уравнений Ламе и Максвелла // Укр. математический журнал.– 1990.– 42, N 5.– С. 649–654. 36. Салтанов Н. В. К представлениям общих ре- шений уравнения Ламе и векторного волнового уравнения.– Прикл. механика: 1990, 26, N 7.– 108– 111 с. 37. Салтанов Н. В. Обобщенные потенциалы в ма- гнитной гидродинамике и динамике вращающейся жидкости // Прикладная гидромеханика.– 2000.– 2(74). N 4.– С. 82–98. 38. Салтанов Н. В., Горбань В. А. Вихревые струк- туры в жидкости: аналитические и численные решения.– Киев: Наук. думка, 1993.– 244 с. 39. Слезкин Н. А. Вихревая теория выветривания вла- ги из почвы .– VI Всесоюз. съезд по теорет. и прикл. механики. Ташкент, 24–30 сент., 1986: Ан- нот. докл. – Ташкент, 1986.– 571 с. 40. Слезкин Н. А. О движении вихревого кольцевого цилиндра // Мех. совр. проблемы.– М.– 1987.– С. 34–40. 41. Слезкин Н. А. Гидродинамические модели тайфу- на, вихревого отсоса воды и вихревого возмущения цунами // Изв. АН СССР, Физика атмосферы и океана.– 1987.– 23, N 12.– С. 1285–1296. 42. Слезкин Н. А. Обобщение задачи Чаплыгина о ци- линдрическом вихре // Докл. АН СССР.– 1988.– 299, N 1.– С. 67–70. 43. Слезкин Н. А. Обтекание сферы, заполненной иде- альной жидкостью, совершающей винтовое дви- жение // Вест. Моск. ун-та. Сер. 1.– 1989.– N 1.– С. 79–84. 44. Слезкин Н. А. Гидродинамическая модель тайфу- на с учетом вращения Земли // Изв. АН СС- СР. Физика атмосферы и океана.– 1990.– 26, N 5.– С. 493–501. 45. Справочник по специальным функциям / Под ре- дакцией М. Абрамовица и И. Стиган.– М.: Наука, 1979.– 832 c. 46. Стеклов В. А. Один случай движения вязкой не- сжимаемой жидкости // Сообщ. Харьк. Мат. об- щества. Сер. 2.– 1896.– 2, N 3/4.– С. 101–128. 47. Тарапов И.Е. Об одном новом интеграле вихревых стационарных движений магнитной гидродинами- ки // Магнит. гидродинамика.– 1988.– N 2.– С. 3– 7. 48. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения мате- матической физики.– М.: Наука, 1977.– 736 с. 49. Ткалич В.С. Стационарные с циклической коор- динатой задачи анизотропно проводящих жидко- стей. Обекание тел. Волноводы // Современные вопросы гидродинамики.– Киев: Наук. думка.– 1967.– С. 66–87. 50. Ткалич В. С., Ткалич Е. Ф. Винтовые движения в многокомпонентной магнитной гидродинамике // Изв. АН СССР. Механика и машиностроение.– 1960.– N 5.– С. 184–186. 51. Черный Г. Г. Закрученные течения с сжимаемо- го газа в каналах // Изв. АН СССР. Отделение технических наук.– 1956.– N 6.– С. 55–62. 72 Н. В. Салтанов, Ю. В. Ревенко, Н. С. Ефремова

Приближенный подход в теории винтовых и потенциальных течений в изотермической атмосфере

Репозитарії

Схожі ресурси