О краевой задаче в работе Mичелла о волновом сопротивлении судна

Обсуждается вопрос о граничном условии на бесконечности для краевой задачи, определяющей потенциал скоростей, вызванных движущимся судном. Отмечается сложность в асимптотике убывания скоростей. Приводится высказанное М. Г. Крейном предположение о возможных условиях на бесконечности впереди и позади...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:
Bibliographische Detailangaben
Datum:2005
1. Verfasser: Сизов, В.Г.
Format: Artikel
Sprache:Russian
Veröffentlicht: Інститут гідромеханіки НАН України 2005
Online Zugang:http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/4792
Tags: Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:О краевой задаче в работе Mичелла о волновом сопротивлении судна / В. Г. Сизов // Прикладна гідромеханіка. — 2005. — Т. 7, № 2. — С. 73-75. — Бібліогр.: 4 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id irk-123456789-4792
record_format dspace
spelling irk-123456789-47922009-12-24T12:00:44Z О краевой задаче в работе Mичелла о волновом сопротивлении судна Сизов, В.Г. Обсуждается вопрос о граничном условии на бесконечности для краевой задачи, определяющей потенциал скоростей, вызванных движущимся судном. Отмечается сложность в асимптотике убывания скоростей. Приводится высказанное М. Г. Крейном предположение о возможных условиях на бесконечности впереди и позади судна. Затем рассмотрен метод, примененный Мичеллом для решения полученной им краевой задачи. Oтмечается, что по сути Мичелл впервые применил обобщенное преобразование Фурье для решения краевой задачи и что М. Г. Крейн предложил частный вид примененного Мичеллом преобразования назвать преобразованием Фурье-Мичелла. Указывается более общий вид уравнений, к которым применимо преобразование Фурье-Мичелла. Обговорюється питання про граничну умову на нескiнченностi для крайової задачi, що визначає потенцiал швидкостей, викликаних судном, яке рухається. Вiдзначається складнiсть в асимптотицi убування швидкостей. Приводиться висловлене М. Г. Крейном припущення про можливi умови на нескiнченностi перед i за судном. Розглянутий метод, застосований Мiчеллом для рiшення отриманої їм крайової задачi. Biдзначається, що по сутi Мiчелл уперше застосував узагальнене перетворення Фур'є для рiшення крайової задачi i що М. Г. Крейн запропонував окремий вид застосованого Мiчеллом перетворення назвати перетворенням Фур'є-Мiчелла. Указується бiльш загальний вид рiвнянь, до яких застосовне перетворення Фур'є-Мiчелла. Boundary condition at infinity was discussed for extreme case determining the velocity potential due to vessel's motion, which is complicated as the asimptote of velocity decreases. M.G.Krein assumtion about possible conditions at infinity before and after the vessel was also mentioned. Mitchell method was also stadied to solve the boundary condition he developed, and it was mentioned that Mitchell was the first to apply the general transformation of Furrie to solve this boundary conditioms. Krein proposed to call this special transformation after Furrie-Mitchell. Also mentioned the more general version of the equation to which Furrie-Mitchell transformation was applied. 2005 Article О краевой задаче в работе Mичелла о волновом сопротивлении судна / В. Г. Сизов // Прикладна гідромеханіка. — 2005. — Т. 7, № 2. — С. 73-75. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. 1561-9087 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/4792 629.12:12.001 ru Інститут гідромеханіки НАН України
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
language Russian
description Обсуждается вопрос о граничном условии на бесконечности для краевой задачи, определяющей потенциал скоростей, вызванных движущимся судном. Отмечается сложность в асимптотике убывания скоростей. Приводится высказанное М. Г. Крейном предположение о возможных условиях на бесконечности впереди и позади судна. Затем рассмотрен метод, примененный Мичеллом для решения полученной им краевой задачи. Oтмечается, что по сути Мичелл впервые применил обобщенное преобразование Фурье для решения краевой задачи и что М. Г. Крейн предложил частный вид примененного Мичеллом преобразования назвать преобразованием Фурье-Мичелла. Указывается более общий вид уравнений, к которым применимо преобразование Фурье-Мичелла.
format Article
author Сизов, В.Г.
spellingShingle Сизов, В.Г.
О краевой задаче в работе Mичелла о волновом сопротивлении судна
author_facet Сизов, В.Г.
author_sort Сизов, В.Г.
title О краевой задаче в работе Mичелла о волновом сопротивлении судна
title_short О краевой задаче в работе Mичелла о волновом сопротивлении судна
title_full О краевой задаче в работе Mичелла о волновом сопротивлении судна
title_fullStr О краевой задаче в работе Mичелла о волновом сопротивлении судна
title_full_unstemmed О краевой задаче в работе Mичелла о волновом сопротивлении судна
title_sort о краевой задаче в работе mичелла о волновом сопротивлении судна
publisher Інститут гідромеханіки НАН України
publishDate 2005
url http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/4792
citation_txt О краевой задаче в работе Mичелла о волновом сопротивлении судна / В. Г. Сизов // Прикладна гідромеханіка. — 2005. — Т. 7, № 2. — С. 73-75. — Бібліогр.: 4 назв. — рос.
work_keys_str_mv AT sizovvg okraevojzadačevrabotemičellaovolnovomsoprotivleniisudna
first_indexed 2025-07-02T07:59:34Z
last_indexed 2025-07-02T07:59:34Z
_version_ 1836521278980227072
fulltext КОРОТКI ПОВIДОМЛЕННЯ ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2005. Том 7, N 2. С. 73 – 75 УДК 629.12:12.001 О КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕ В РАБОТЕ МИЧЕЛЛА О ВОЛНОВОМ СОПРОТИВЛЕНИИ СУДНА В. Г. СИ З ОВ Одесская национальная морская академия Получено 03.11.2004 Обсуждается вопрос о граничном условии на бесконечности для краевой задачи, определяющей потенциал ско- ростей, вызванных движущимся судном. Отмечается сложность в асимптотике убывания скоростей. Приводится высказанное М. Г. Крейном предположение о возможных условиях на бесконечности впереди и позади судна. За- тем рассмотрен метод, примененный Мичеллом для решения полученной им краевой задачи. Oтмечается, что по сути Мичелл впервые применил обобщенное преобразование Фурье для решения краевой задачи и что М. Г. Крейн предложил частный вид примененного Мичеллом преобразования назвать преобразованием Фурье-Мичелла. Ука- зывается более общий вид уравнений, к которым применимо преобразование Фурье-Мичелла. Обговорюється питання про граничну умову на нескiнченностi для крайової задачi, що визначає потенцiал швидко- стей, викликаних судном, яке рухається. Вiдзначається складнiсть в асимптотицi убування швидкостей. Приводи- ться висловлене М. Г. Крейном припущення про можливi умови на нескiнченностi перед i за судном. Розглянутий метод, застосований Мiчеллом для рiшення отриманої їм крайової задачi. Biдзначається, що по сутi Мiчелл уперше застосував узагальнене перетворення Фур’є для рiшення крайової задачi i що М. Г. Крейн запропонував окремий вид застосованого Мiчеллом перетворення назвати перетворенням Фур’є-Мiчелла. Указується бiльш загальний вид рiвнянь, до яких застосовне перетворення Фур’є-Мiчелла. Boundary condition at infinity was discussed for extreme case determining the velocity potential due to vessel’s motion, which is complicated as the asimptote of velocity decreases. M.G.Krein assumtion about possible conditions at infinity before and after the vessel was also mentioned. Mitchell method was also stadied to solve the boundary condition he developed, and it was mentioned that Mitchell was the first to apply the general transformation of Furrie to solve this boundary conditioms. Krein proposed to call this special transformation after Furrie-Mitchell. Also mentioned the more general version of the equation to which Furrie-Mitchell transformation was applied. В настоящей статье рассматриваются два вопро- са, которые недостаточно освещены в специальной литературе, относящейся к работе Мичелла [1] и вообще к теории волнового сопротивления судна. Первый вопрос касается граничного условия на бесконечности для краевой задачи, определяющей потенциал скоростей, вызванных движущимся су- дном. В своей работе Мичелл обращает внимание на неопределенность в решении краевой задачи с установленными им граничными условиями, со- стоящую в том, что на полученное решение всегда могут быть наложены свободные волны. Он огова- ривает, что дополнительно накладываемые волны должны быть выбраны таким образом, чтобы на бесконечном удалении перед судном волны отсут- ствовали, и затем приводит окончательное выра- жение для потенциала, не указывая, как оно по- лучено. Относительно поведения потенциала вда- ли за судном Мичелл вообще не упоминает. Таким образом, вопрос об устранении имеющейся неопре- деленности в его работе не получил ясного освеще- ния. Н.Е.Кочин в работе [2] о волновом сопротивле- нии и подъемной силе погруженных в воду тел при формулировке краевой задачи для потенциа- ла скоростей требует, чтобы на бесконечности впе- реди тела, при x → +∞, возмущенные скорости стремились к нулю, а при удалении по другим на- правлениям, при x2 + y2 + z2 → ∞, требует лишь их ограниченности. Однако, как было показано А. А. Костюковым [3], если водоем не ограничен боковыми стенками, то при любой его глубине убывание возмущенных скоростей до нуля имеет место как впереди, так и позади судна, но быстрота убывания имеет разли- чный порядок. Впереди судна, при x → ∞, ампли- туды поднимаемых им волн и возмущенные ско- рости убывают обратно пропорционально рассто- янию, а позади судна, при x → −∞ – обратно про- порционально корню квадратному из расстояния. Сложность вопроса усугубляется тем, что, как обнаружил Питерс [4], рассматривая движение системы давлений, имеются направления, вдоль которых убывание скоростей происходит по дру- гим законам. Им было установлено, что за су- дном по направлению, составляющему угол ϕ = arcsin 1 3 ≈ 19◦28′ с отрицательной осью 0x, ампли- туды волн и скорости убывают обратно пропорци- онально корню кубическому из расстояния. Предложенный Рэлеем способ устранения сво- бодных волн путем введения фиктивных рассеи- вающих сил, пропорциональных скоростям частиц c© В. Г. Сизов, 2005 73 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2005. Том 7, N 2. С. 73 – 75 жидкости, конечно, достигает своей цели, так как граничное условие на свободной поверхности с до- бавочным слагаемым от таких рассеивающих сил не может быть удовлетворено какими-либо гар- моническими функциями, ограниченными во всем полупространстве, занятом жидкостью, и, ста- ло быть, исключается появление свободных волн. Однако способ Рэлея нельзя представлять как опирающийся на какие-то физические реальности. Если же его рассматривать как математический прием, то необходимо показать, что другие прие- мы такого же рода будут приводить к такому же результату. Между тем этого пока никто не пока- зал. М. Г. Крейн высказал предположение, что дей- ствительная формулировка условий на бесконе- чности, возможно, состоит в том, чтобы впереди судна порядок стремления скоростей к нулю был максимально быстрым, а позади судна – возможно медленным. Однако проблема остается нерешен- ной вплоть до настоящего времени. Второй вопрос, на который следует обратить внимание, относится к методу, примененному Ми- челлом при решении полученной им краевой за- дачи, определяющей потенциал скоростей, возму- щенных движущимся судном. Для отыскания потенциала скоростей Мичелл представляет его в виде разложения по некоторой системе функций, которые на свободной поверхно- сти удовлетворяют тому же условию, что и иско- мый потенциал, и на полуоси (0,∞) образуют ор- тогональную систему с весовой функцией. Таким образом, по существу Мичелл использовал форму- лы обобщенного преобразования Фурье, общая те- ория которого разработана позже работы Мичел- ла. В связи с этим М. Г. Крейн посчитал естествен- ным частный случай обобщенного преобразования Фурье, примененный Мичеллом, назвать преобра- зованием Фурье-Мичелла, и в своих работах мы всегда используем этот термин. Преобразование Фурье-Мичелла оказалось эф- фективным средством решения краевых задач в тех случаях, когда условие на границе имеет вид такой же, как линеаризованное условие на сво- бодной поверхности жидкости. Среди других ме- тодов это преобразование, по-видимому, наиболее быстро ведет к цели. Рассмотрим краевую задачу, типичную для вол- новых движений жидкости, например, задачу определения потенциала g1(x, y, z) источника еди- ничной интенсивности, расположенного в равно- мерном потоке в точке (ξ, 0, ζ). Пусть g(p, y, z) будет трансформантой Фурье этого потенциала по координате x: g(p, y, z) = ∞ ∫ ∞ g1(x, y, z)eipxdx, тогда для функции g получим краевую задачу: LG = gzz + gyy − p2g = 0, gz − kg = 0 при z = 0, gy = 1 2 eipξδ(z − ζ) при y = 0. Суть метода решения в современной записи со- стоит в представлении искомой функции в виде ее преобразования Фурье по следующим комбинаци- ям косинуса и синуса: Ψ(z, λ) = cos λz + k λ sin λz. Функции Ψ при любом k удовлетворяют уравне- нию: Ψ(z, z) + λ2Ψ = 0, и граничному условию при z = 0: Ψz − kΨ = 0, т. е. тому же, что и искомая функция g, и пред- ставляют собой ортогональную систему функций на интервале (0,∞) с весом 1 1 + k2 λ2 . Поэтому можно положить G(p, y, λ) = ∞ ∫ 0 g(p, y, z)Ψ(z, λ)dz. Здесь важно отметить следующее. Если k ≥ 0, то система функций Ψ является полной; при k < 0 она перестает быть полной и ее следует дополнить функцией ekz, вместе с которой система опять ста- новится полной. В волновых задачах всегда k < 0, это характери- зует в некотором смысле неустойчивость системы; в частности в рассматриваемой задаче k = − ν2 g p2. Формула обращения при k < 0 будет: g(p, y, z) = 2 π ∞ ∫ 0 G(p, y, λ)Ψ(z, λ) dλ 1 + k2 λ2 +Γ(p, y)ekz . 74 В. Г. Сизов ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2005. Том 7, N 2. С. 73 – 75 Функции G и Γ определяютя подстановкой этого выражения в уравнение L(g) = 0 с использовани- ем условия при y = 0. При k > 0 второе слагаемое правой части будет отсутствовать, при k = 0 фор- мулы дают обычное косинус-преобразование Фу- рье. Этим методом А. А. Костюков нашел потенциал источника, движущегося под поверхностью глубо- кой воды, т. е. функцию Грина краевой задачи, и показал его тождественность с выражением, полу- ченным Н. Е. Кочиным другим путем. Функции Грина, получаемые разными метода- ми, имеют различный вид, но, конечно, тожде- ственны. Эта тождественность может быть пока- зана и непосредственным преобразованием, одна- ко путь для этого отнюдь не очевиден. В за- висимости от характера исследуемой задачи или для производства численных расчетов мы мо- жем выбирать наиболее подходящее представле- ние этой функции. Вид потенциала, найденный А. А. Костюковым, соответствует тому, который получается из мичел- ловского потенциала скоростей судна. Следует за- метить, что самим Мичеллом потенциал точечного источника в явном виде получен не был и лишь в 1949 г. Б. Я. Левин показал, что Мичеллу остава- лось очень немного сделать, чтобы из найденно- го им потенциала скоростей возмущенных судном выделить потенциал точечного источника. Этим же методом нами получен потенциал дви- жущегося пульсирующего источника, при этом ве- личина k выражалась через скорость и частоту пульсаций в виде k = − (σ − νp)2 g и показана его тождественность с выражением через контурный интеграл, найденным Л. Н. Сретенским, а для не- подвижного пульсирующего источника, т. е. при ν = 0, – с выражением, полученным Н. Е. Кочи- ным. Этот потенциал использован при вычисле- нии волнового сопротивления судна, испытываю- щего качку при ходе на волнении. Случай положительного k встретился в зада- че о распространении звуковых волн, излучаемых горизонтально колеблющимся вибратором в атмо- сфере, т. е. в сжимаемом газе. В этой задаче удо- бнее было рассматривать потенциал плотности по- тока, для которого граничное условие на поверх- ности земли имеет тот же вид, что и на свободной поверхности жидкости, но при этом k = γg 2c2 > 0, где γ = cp cν – отношение теплоемкостей при посто- янном давлении и постоянном объеме, а c = ( dp dρ ) – скорость распространения звука. В этом случае система функций Ψ – полная и в формуле обраще- ния будет отсутствовать второе слагаемое правой части. Упомянутые примеры свидетельствуют, что преобразование Фурье-Мичелла может быть использовано при решении многих задач гидро- механики. Вообще это преобразование применимо к более общему виду уравнений, а именно, к виду: L(g) = Gzz + L1g = 0, где L1 – оператор, содержащий частные произво- дные только по x и по y, но граничное условие при z = 0 должно быть таким же, как на свободной по- верхности жидкости. В связи с изложенным методом можно отметить следующее. Рассматривая такую же краевую задачу в сво- ей работе “Eigenfunction expansion associated wi- th second-order differential equations”, Oxford, 1946, английский математик Э.Ч.Титчмарш, директор математического института Оксфордского уни- верситета, ошибочно принял систему функций Ψ за полную при всех значениях k. Эта ошибка по- вторялась в работах других авторов. Позже Ти- тчмарш опубликовал статью, в которой исправил свои первоначальные результаты. В то же время, Мичелл, задолго до работ Г.Вейля, пользуясь пре- дельным переходом, нашел правильную формулу для обобщенного преобразования Фурье и полу- чил верное выражение для потенциала скоростей, возмущенных судном. Однако, несмотря на сотни работ, посвященных исследованию Мичелла, ни в одной из них нет указаний на приоритет Мичелла в примененном им обобщении преобразования Фу- рье. Возможно, это объясняется тем, что на рабо- ту Мичелла обратили внимание лишь через много лет после ее опубликования, когда методы реше- ния краевых задач получили значительное разви- тие. 1. Michell J.H. The wave resistance of a ship // Phil. Mag.– 1898.– N 45.– P. 106–123. 2. Кочин Н.Е. О волновом сопротивлении и подъем- ной силе действующих на тела погруженные в жидкость. // Труды конференции по теории вол- нового сопротивления – М., 1937 – С. 65-134. 3. Костюков А.А. Теория судовых волн и волнового сопротивления.– M.: Судпромгиз, 1959.– 311 с. 4. Peters A.A. A new treatment of the ship wave problems // Communications on pure and applied mathematics.– 1949.– N 2.– P. 123-148. В. Г. Сизов 75