Асимптотические модели процессов вязко-невязкого взаимодействия

Исследованы локально возмущенные двумерные и трехмерные течения в ламинарном пограничном слое в условиях, когда продольный масштаб течения превосходит поперечный. Построены нелинейные модели такого рода течений, для которых распределение давления определяется в результате взаимодействия пристеночног...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2005
1. Verfasser:	Липатов, И.И.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут гідромеханіки НАН України 2005
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/4799
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Асимптотические модели процессов вязко-невязкого взаимодействия / И.И. Липатов // Прикладна гідромеханіка. — 2005. — Т. 7, № 3-4. — С. 67-72. — Бібліогр.: 24 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-4799
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-47992017-04-29T13:01:14Z Асимптотические модели процессов вязко-невязкого взаимодействия Липатов, И.И. Исследованы локально возмущенные двумерные и трехмерные течения в ламинарном пограничном слое в условиях, когда продольный масштаб течения превосходит поперечный. Построены нелинейные модели такого рода течений, для которых распределение давления определяется в результате взаимодействия пристеночного течения с внешним невязким потоком. Для амплитуд возмущений, превосходящих некоторый предельный уровень, влияние вязкости в области нелинейного возмущенного течения оказывается несущественным. Представлены решения задач. Дослiджено локально збуренi двомiрнi та тримiрнi течiї у ламiнарному пограничному шарi в умовах, коли повздовжнiй маштаб течiї перевищує поперечний. Побудовано нелiнiйнi моделi такого типу течiй, для яких розподiл тиску визначається у результатi взаємодiї пристiнної течiї з зовнiшнiм нев'язким потоком. Для амплiтуд збурень, що перевищують певний граничний рiвень, вплив в'язкостi в областi нелiнiйно збуреного потоку виявляється несуттєвим. Представлено розв'язки ряду задач. Investigated are locally disturbed 2-D and 3-D flows in the laminar boundary layer for the case when longitudinal flow scale exceeds the normal one. Nonlinear models are developed for flows where the pressure distribution is determined as a result of the near wall flow interaction with the external inviscid flow. It is shown that for disturbances amplitudes exceeding some critical level viscosity influence in the region of nonlinearly disturbed flow is insignificant. Some problems solutions are presented. 2005 Article Асимптотические модели процессов вязко-невязкого взаимодействия / И.И. Липатов // Прикладна гідромеханіка. — 2005. — Т. 7, № 3-4. — С. 67-72. — Бібліогр.: 24 назв. — рос. 1561-9087 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/4799 533.6.011.5÷541.123 ru Інститут гідромеханіки НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	Исследованы локально возмущенные двумерные и трехмерные течения в ламинарном пограничном слое в условиях, когда продольный масштаб течения превосходит поперечный. Построены нелинейные модели такого рода течений, для которых распределение давления определяется в результате взаимодействия пристеночного течения с внешним невязким потоком. Для амплитуд возмущений, превосходящих некоторый предельный уровень, влияние вязкости в области нелинейного возмущенного течения оказывается несущественным. Представлены решения задач.
format	Article
author	Липатов, И.И.
spellingShingle	Липатов, И.И. Асимптотические модели процессов вязко-невязкого взаимодействия
author_facet	Липатов, И.И.
author_sort	Липатов, И.И.
title	Асимптотические модели процессов вязко-невязкого взаимодействия
title_short	Асимптотические модели процессов вязко-невязкого взаимодействия
title_full	Асимптотические модели процессов вязко-невязкого взаимодействия
title_fullStr	Асимптотические модели процессов вязко-невязкого взаимодействия
title_full_unstemmed	Асимптотические модели процессов вязко-невязкого взаимодействия
title_sort	асимптотические модели процессов вязко-невязкого взаимодействия
publisher	Інститут гідромеханіки НАН України
publishDate	2005
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/4799
citation_txt	Асимптотические модели процессов вязко-невязкого взаимодействия / И.И. Липатов // Прикладна гідромеханіка. — 2005. — Т. 7, № 3-4. — С. 67-72. — Бібліогр.: 24 назв. — рос.
work_keys_str_mv	AT lipatovii asimptotičeskiemodeliprocessovvâzkonevâzkogovzaimodejstviâ
first_indexed	2025-07-02T07:59:55Z
last_indexed	2025-07-02T07:59:55Z
_version_	1836521299991592960
fulltext	ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2005. Том 7(79), N 3-4. С. 67 – 72 УДК 533.6.011.5÷541.123 АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ПРОЦЕССОВ ВЯЗКО-НЕВЯЗКОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ И. И. Л И П АТО В Центральный аэрогидродинамический институт, Москва, Россия Получено 17.12.2004 Исследованы локально возмущенные двумерные и трехмерные течения в ламинарном пограничном слое в условиях, когда продольный масштаб течения превосходит поперечный. Построены нелинейные модели такого рода течений, для которых распределение давления определяется в результате взаимодействия пристеночного течения с внешним невязким потоком. Для амплитуд возмущений, превосходящих некоторый предельный уровень, влияние вязкости в области нелинейного возмущенного течения оказывается несущественным. Представлены решения задач. Дослiджено локально збуренi двомiрнi та тримiрнi течiї у ламiнарному пограничному шарi в умовах, коли повздов- жнiй маштаб течiї перевищує поперечний. Побудовано нелiнiйнi моделi такого типу течiй, для яких розподiл тиску визначається у результатi взаємодiї пристiнної течiї з зовнiшнiм нев’язким потоком. Для амплiтуд збурень, що пе- ревищують певний граничний рiвень, вплив в’язкостi в областi нелiнiйно збуреного потоку виявляється несуттєвим. Представлено розв’язки ряду задач. Investigated are locally disturbed 2-D and 3-D flows in the laminar boundary layer for the case when longitudinal flow scale exceeds the normal one. Nonlinear models are developed for flows where the pressure distribution is determined as a result of the near wall flow interaction with the external inviscid flow. It is shown that for disturbances amplitudes exceeding some critical level viscosity influence in the region of nonlinearly disturbed flow is insignificant. Some problems solutions are presented. ВВЕДЕНИЕ Среди работ, посвященных исследованию тече- ний вязкой жидкости, следует упомянуть две ра- боты, сыгравшие исключительную роль в разви- тии гидродинамики. Первая из них, принадлежащая Людвигу Прандтлю [1], представлена почти столетие назад на математическом конгрессе в Гейдельберге. В ней заложены основы теории пограничного слоя. В основу теории течений вязкой жидкости были положены опытные данные и физические сообра- жения о малом влиянии вязкости при больших чи- слах Рейнольдса. Вторая работа несколько позднее выполнена со- здателем квантовой механики Вернером Гейзен- бергом [2] и посвящена развитию теории гидро- динамической устойчивости, в частности, иссле- дованию решений линейной теории устойчивости при больших числах Рейнольдса. В дальнейшем оба этих направления получили интенсивное ра- звитие. Более пятидесяти лет назад Джеймс Лайтхилл [3] представил модель распространения возмуще- ний в пограничных слоях и сформулировал линей- ную постановку задачи, в которой существенную роль играли процессы взаимодействия течения в пограничном слое и внешнего сверхзвукового те- чения. Дальнейший прогресс был связан с формули- рованием и развитием методов асимптотическо- го анализа задач математической физики, в том числе и проблем гидродинамики при больших или малых значениях параметров [4–6]. Эти ме- тоды были использованы для формального выво- да уравнений пограничного слоя и решения ряда других задач, в том числе и таких, для которых классическая теория пограничного слоя оказалась неприменимой. Основные предположения теории Прандтля были связаны с малостью продольных градиентов по сравнению с поперечными, а также с безотрывным режимом обтекания. Асимптотический анализ позволил установить, что процессы вязко- невязкого взаимодействия играют существенную роль и при возникновении отрыва пограничного слоя. Для описания указан- ных процессов была создана нелинейная теория взаимодействия [7–9]. Развитие теории гидродинамической устойчиво- сти шло по пути исследования линейных процес- сов, хотя и были разработаны методы изучения слабонелинейных процессов неустойчивости [10– 11]. В дальнейшем теория взаимодействия была обобщена для описания нестационарных процес- сов [12]. Линейный аналог этой теории [13–15], как оказалось, описывал развитие длинноволновой не- устойчивости в пограничных слоях. При этом в c© И. И. Липатов, 2005 67 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2005. Том 7(79), N 3-4. С. 67 – 72 пределе при малых амплитудах возмущений тео- рия взаимодействия приводила к тем же резуль- татам, что были получены Гейзенбергом в пределе при больших числах Рейнольдса. В работе [2] вна- чале делалось предположение о малой амплитуде возмущений, а затем о большой величине числа Рейнольдса. При выводе теории взаимодействия – наоборот, вначале делалось предположение о том, что число Рейнольдса велико, а затем следова- ла линеаризация уравнений для малых амплитуд возмушений. В то же время, нелинейная теория взаимодействия, хотя и справедлива только при больших числах Рейнольдса, позволяет исследо- вать нелинейные процессы, в том числе и гидро- динамическую неустойчивость. В данной работе обсуждаются вопросы прило- жения теории взаимодействия для исследования развития возмущений, хотя и малой амплитуды, но превосходящей такие величины, при которых в области нелинейных возмущений существенно влияние вязкости. 1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Рассматривается течение в ламинарном по- граничном слое около плоской поверхности при больших числах Рейнольдса, не превосходящих критических величин, при которых происходит ламинарно-турбулентный переход. Предполагае- тся, что на основное течение наложены возмуще- ния, источник которых находится во внешнем не- вязком потоке или эти возмущения инициированы изменениями граничных условий на поверхности. Предполагается также, что все функции тече- ния обезразмерены и отнесены к соответствующим величинам в невозмущенном невязком потоке, а давление отнесено к удвоенному скоростному на- пору. Предшествующие исследования, основанные на использовании метода сращиваемых асимптотиче- ских разложений, привели к выводу о том, что во- здействие возмущений на течение в пограничном слое требует введения в рассмотрение ряда хара- ктерных областей, в силу того, что физические ме- ханизмы по разному проявляются в этих областях. В тех случаях, когда протяженность области во- змущенного течения превосходит толщину погра- ничного слоя, но меньше характерной длины тела, возмущенное течение содержит три или четыре ха- рактерные области. Все эти области имеют одина- ковую протяженность, но разный поперечный раз- мер. Первая из рассматриваемых областей имеет одинаковые продольный и поперечный размеры (для гиперзвуковых течений соответствующий по- перечный размер определяется из характеристи- ческих соотношений). Введение указанной обла- сти в рассмотрение необходимо для нахождения связи между изменением толщины вытеснения по- граничного слоя (или вертикальной скорости на внешней границе пограничного слоя) и индуциро- ванным во внешнем потоке возмущением давле- ния. Все эти возмущения предполагаются малыми, поэтому анализ приводит к линейным уравнени- ям, описывающим развитие возмущений во вне- шнем невязком и незавихренном потоке. Следующая область, вводимая в рассмотрение, представляет собой пограничный слой, где нево- змущенное течение является завихренным и где возмущения приводят к линейным изменениям продольной скорости. В силу выполнения условия прилипания про- дольная скорость около стенки сколь угодно ма- ла и поэтому всегда найдется область, в которой изменения оказываются нелинейными. Характер- ный поперечный размер этой области δ завиcит от амплитуды возмущения, например, давления ∆p, ∆p << 1, δ ∼ ε(∆p)1/2, ε = Re−1/2, и в силу не- линейных изменений скорости изменение толщи- ны области ∆δ сравнимо δ. Для сверхзвуковых или дозвуковых течений это изменение толщины вытеснения превосходит по порядку величины изменение толщины основной части пограничного слоя с конечными скоростя- ми. Индуцированное возмущение давления во вне- шнем невязком потоке может быть определено в соответствии с линейной теорией невязких тече- ний ∆p ∼ ∆δ/∆x, ∆x ∼ ε(∆p)−1/2, где ∆x – характерный продольный размер области возму- щенного течения. Как можно видеть, этот размер много больше, чем характерный поперечный размер, что приво- дит к вырожденности уравнения сохранения по- перечного импульса. Кроме того, можно оценить соотношение сил вязкости и инерции и получить, что при амплитудах возмущения давления, прево- сходящих Re−1/4, течение в пристеночной обла- сти оказывается невязким в первом приближении. Последнее обстоятельство диктует необходимость введения дополнительной области вблизи стенки для выполнения условия прилипания. Легко убе- диться в том, что толщина этой области много меньше толщины области, где существенны нели- нейные изменения. Предполагается, что возмущения могут быть вызваны как граничными условиями (искривле- ние поверхности, отсоc или вдув), так и возмуще- 68 И. И. Липатов ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2005. Том 7(79), N 3-4. С. 67 – 72 ниями, приходящими из внешнего потока (напри- мер, падением ударной волны или распространя- ющимися в невязком течении волнами давления или завихренности). Основываясь на полученных оценках масштабов области возмущенного тече- ния и величин функций можно выписать соответ- ствующие асимптотические разложения функций течения. Подстановка последних в исходные урав- нения Навье-Стокса и соответствующий предель- ный переход приводят к следующим уравнениям для главных членов разложений в области нели- нейных изменений, расположенной на дне погра- ничного слоя вблизи поверхности [16–17]: ∂u ∂t + u ∂u ∂x + v ∂u ∂y + 1 ρw ∂p ∂x = 0, (1) ∂u ∂x + ∂v ∂y = 0, ∂p ∂y = 0. (2) Граничные условия для компонентов вектора скорости и возмущения давления на больших рас- стояниях вверх по потоку от области взаимодей- ствия определяются решением для пристеночной области в невозмущенном пограничном слое u = ay, v = 0, p = 0. (3) Для дальнейшего анализа существенно, что ре- шение уравнений в частных производных, завися- щее от двух пространственных переменных и вре- мени можно искать в виде, для которого задача зависит от одной пространственной переменной и времени: u(x, y, t) = ay + aA(x, t), (4) v(x, y, t) = vw − ay ∂A ∂x , (5) где коэффициент a пропорционален напряже- нию трения в невозмущенном пограничном слое перед областью взаимодействия. Функция A с точностью до знака пропорциональна изменению толщины пограничного слоя. Подстановка уравне- ний (4) и (5) в (1) и (2) приводит к следующему уравнению: a ∂A ∂t + a2A ∂A ∂x + 1 ρw ∂p ∂x + avw = 0, (6) в котором возмущение давления p заранее не определено и находится из решения задачи, опи- сывающей внешнее невязкое течение. Предполага- ется, что возмущение давления индуцируется как внешними возмущениями, так и откликом погра- ничного слоя на это воздействие. Так, изменение толщины вытеснения пограничного слоя приводит к появлению возмущений во внешнем невязком по- токе. 2. ДОЗВУКОВЫЕ ТЕЧЕНИЯ Дальнейший анализ зависит от характера вне- шнего течения. Проводя сращивание решений для рассматриваемой области и для возмущенного внешнего невязкого течения, можно получить: p(x, t) = − 1 π 1 √ 1 − M2 ∞ ∞ ∫ −∞ 1 (s − x) ∂(A − δw) ∂s ds, (7) M∞ < 1, где δw – изменение толщины тела (неровности, находящейся на плоской поверхности). Афинное преобразование переменных и подстановка выра- жения (7) в уравнение (6) приводит к неодноро- дному уравнению Бенджамена-Оно [18, 19], выве- денному ранее для описания волн в стратифици- рованной жидкости: ∂A1 ∂t1 + A1 ∂A1 ∂x1 = (8) = ∞ ∫ −∞ 1 (s− x1) ∂2 ∂s2 (A1 − δw1)ds − avw1 = 0. В результате численных исследований решений уравнения (8) установлено [20], что при определен- ной зависимости формы поверхности от времени и при изменении максимальной высоты происходит существенное преобразование решения. При малых величинах амплитуды и при стацио- нарной форме неровности реализуется cтационар- ное решение задачи. В то же время, при достиже- нии критической амплитуды начинаются автоко- лебательные процессы. При дальнейшем увеличе- нии высоты неровности возникают дополнитель- ные гармоники, и увеличение их числа приводит в конечном итоге к хаотизации течения. Хотя пред- положение о двумерности течения соответствует упрощенной постановке задачи, вместе с тем на качественном уровне простая (по-видимому, про- стейшая) модель описывает элементы возникнове- ния хаотического режима течения. Среди течений несжимаемой жидкости можно упомянуть также режимы взаимодействия, реали- зующиеся при течении струи около поверхности, а также обтекании тонких осесимметричных цилин- дров [21]. В обоих случаях при выполнении опре- деленных соотношений между параметрами задач можно получить, что индуцированное возмущение давления определяется как вторая производная И. И. Липатов 69 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2005. Том 7(79), N 3-4. С. 67 – 72 от изменения толщины вытеснения. В результа- те получается неоднородное уравнение Кортевега де Вриза, которое, как показано, также обладает семействами автоколебательных и стохастических решений. 3. СВЕРХЗВУКОВЫЕ ТЕЧЕНИЯ Для сверхзвуковых течений, используя резуль- таты линейной теории, можно придти к формуле Аккерета, связывающей индуцированное возму- щение давления и изменение толщины вытеснения пограничного слоя: p(x, t) = − 1 √ M2 ∞ − 1 ∂A ∂x , M∞ > 1. (9) Подстановка формулы (9) в уравнение (6) и афинное преобразование переменных приводят к неоднородному уравнению Бюргерса: ∂A2 ∂t2 + A2 ∂A2 ∂x2 = ∂2 ∂x2 2 (A2 − δw2) − vw2 = 0. (10) Решения неоднородного уравнения Бюргерса получены для ряда проблем, например, для опи- сания течений около донного среза [22], течений в пограничном слое при наличии разрывных грани- чных условий [23] и др. Для сверхзвуковых течений возможны и другие режимы взаимодействия, например, режим, реа- лизующийся для больших чисел Маха при силь- ном охлаждении поверхности. Для этого режима справедлив следующий закон взаимодействия: p = L ∂p ∂x + ∂∆ ∂x . (11) Тогда после ряда преобразований получается сис- тема уравнений вида ∂A3 ∂x3∂t3 + ( A3 + 1 L ) ∂2A3 ∂x2 3 = (12) = − ( ∂A3 ∂x3 )2 + 1 L ( ∂A3 ∂t3 + A3 ∂A3 ∂x3 ) + 1 L ∂2δw3 ∂x2 3 , где параметр подобия L определяет отношение изменений толщины вытеснения, индуцируемых в основной области течения и в области нелинейных изменений. Уравнение (12) имеет гиперболический тип и обладает двумя семействами характеристик. При определенных условиях пересечение характери- стик одного семейства может приводить к обра- зованию разрывного решения (скачка). Такое ре- шение получено численно для задачи, описываю- щей течение около поверхности, форма которой меняется со временем [24]. Следует учитывать, что разрывное решение не является скачком, изучае- мым в газовой динамике, поскольку его попереч- ный размер сравним с длиной свободного пробега молекул. Толщина рассматриваемого скачка сравнима с толщиной пограничного слоя и, по-видимому, со- ответствует одному из режимов возникновения “псевдоскачка”. Заметим также, что для трансзвуковых течений в случае, когда возмущенное внешнее течение опи- сывается волновым уравнением, соответствующее уравнение ∂2ϕ ∂t4 + K∞ ∂2ϕ ∂x2 4 − ∂2ϕ ∂y2 4 = 0, (13) описывающее распространение возмущений в ла- минарных пограничных слоях, имеет вид [25] ∂A4 ∂t4 + A4 ∂A4 ∂x4 = − 1 π ∂2 ∂x2 4 ∫ ∫ S [ ∂A4(τ, ζ) ∂ζ − − ∂δw4(τ, ζ) ∂ζ ] dτdζ √ (t4 − τ )(x4 − ζ) − K∞(t4 − τ )2 . (14) Область интегрирования S определяется следу- ющим образом: τ < t4, ζ < x4 − K∞(t4 − τ ), (15) где K∞ − параметр трансзвукового подобия. Как показано в [25], в пределе при конечных зна- чениях разности числа Маха и единицы из уравне- ний (14)–(15) получаются выписанные выше урав- нение Бенджамена-Оно для дозвуковых течений или уравнение Бюргерса для сверхзвуковых тече- ний. 4. ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ТЕЧЕНИЯ В пространственных течениях представление решения в виде (4) несправедливо (уравнения для завихренности и толщины вытеснения не разделя- ются), и необходимо решать полную систему урав- нений Эйлера с вырожденным уравнением для по- перечного импульса. При формулировании зада- чи для пространственных течений предполагае- тся, что исходное невозмущенное течение в погра- ничном слое и во внешнем потоке является дву- мерным. Тогда система уравнений для пристено- чной области с нелинейными возмущениями, эа- писанная в декартовых координатах, имеет вид: ∂u ∂t + u ∂u ∂x + v ∂u ∂y + w ∂u ∂z + ∂p ∂x = 0, (16) 70 И. И. Липатов ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2005. Том 7(79), N 3-4. С. 67 – 72 ∂w ∂t + u ∂w ∂x + v ∂w ∂y + w ∂w ∂z + ∂p ∂z = 0, (17) ∂u ∂x + ∂v ∂y + ∂w ∂z = 0, ∂p ∂y = 0. (18) Для дальнейшего анализа, дифференцируя уравнения (16) и (17) по поперечной координате y и используя условие независимости давления от y, можно получить уравнения для компонентов ве- ктора завихренности: ∂ωx ∂t + u ∂ωx ∂x + v ∂ωx ∂y + w ∂ωx ∂z + ωz ∂u ∂z − ωx ∂u ∂z = 0, (19) ∂ωz ∂t + u ∂ωz ∂x + v ∂ωz ∂y + w ∂ωz ∂z + ωx ∂w ∂x − ωz ∂u ∂x = 0, (20) где компоненты вектора завихренности определя- ются следующим образом: ωx = ∂u ∂y , ωz = ∂w ∂y . Начальное поле завихренности на больших рас- стояниях вверх по потоку от неровности опреде- ляется в результате сращивания с решением для невозмущенного пограничного слоя, где ωx = 1, ωz = 0. Для продольного и трансверсального компонен- тов вектора скорости на поверхности вводятся обо- значения A(x, z, t) = u(x, 0, z, t), B(x, z, t) = w(x, 0, z, t). Тогда функции A и B удовлетворяют следую- щим уравнениям: ∂A ∂t + A ∂A ∂x + B ∂A ∂z + ∂p ∂x = 0, (21) ∂B ∂t + A ∂B ∂x + B ∂B ∂z + ∂p ∂z = 0. (22) Так же как и для двумерных течений, входя- щее в задачу распределение давления p заранее не известно и должно определяться условиями вза- имодействия течения в пограничном слое с вне- шним потоком. Например, если внешний поток ги- перзвуковой и реализуется режим слабого гипер- звукового взаимодействия, χ = Mδ << 1, для возмущения давления имеем следующую фор- мулу: p = ∂∆ ∂x = ∂δw ∂x − ∂A ∂x − ∂ ∂x ∞ ∫ 0 (ωx − 1)dy, (23) где ∆ – суммарное изменение толщины вытесне- ния пограничного слоя, складывающееся из то- лщины неровности δw и изменения толщины при- стеночной области течения в пограничном слое, для которой характерны нелинейные изменения продольной скорости. Рассматриваемый режим взаимодействия приводит к следующей системе уравнений: ∂A ∂t + A ∂A ∂x + B ∂A ∂z = (24) = − ∂2δw ∂x2 + ∂2A ∂x2 + ∂2 ∂x2 ∞ ∫ 0 (ωx − 1)dy, ∂B ∂t + A ∂B ∂x + B ∂B ∂z = (25) = −∂2δw ∂x∂z + ∂2B ∂x∂z + ∂2 ∂x∂z ∞ ∫ 0 (ωx − 1)dy. Можно показать, что система уравнений (19), (20), (24) и (25) для двумерного случая сводится к уравнению Бюргерса: ∂A ∂t + A ∂A ∂x = − ∂2δw ∂x2 + ∂2A ∂x2 , (26) ωx = 1, ωz = 0. Cоответствующие пространственные задачи можно выписать и для других исследованных режимов течения – дозвуковых, трансзвуковых и сверхзвуковых. К настоящему времени численные решения ука- занных задач отсутствуют, и необходимо созда- ние соответствующих численных методов. Вместе с тем можно ожидать, что в результате решения этих задач будут выявлены новые эффекты, про- являющиеся на нелинейной стадии развития неу- стойчивости и в других течениях, где существенны эффекты взаимодействия. В заключение отметим, что описанные режимы течения требуют дополнительного рассмотрения течения в тонких пограничных слоях, расположен- ных на дне области нелинейных возмущений. И. И. Липатов 71 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2005. Том 7(79), N 3-4. С. 67 – 72 Внешние граничные условия для этих погра- ничных слоев определяются из решений сформу- лированных выше задач. Представленные выше модели адекватно описывают процессы взаимо- действия до тех моментов времени, когда в при- стеночных пограничных слоях может возникнуть отрыв. Для описания последующих этапов ра- звития взаимодействия и неустойчивости необхо- димо построение других моделей, учитывающих изменения структуры возмущенного течения и со- держащих невырожденное уравнение поперечного импульса. 1. Prandtl L. Uber Flussigkeitsbewegung bei sehr klei- ner Reibung // Verhandlg.III.Intern.Kongr.– Hei- delberg, 1904.– P. 484–491. 2. Heisenberg W. Uber Stabilitat und Turbulenz von Flussigkeitsstromen // Ann. Phys. Lpz.– N4.– 74.– P. 577–627. 3. Lighthill M. J. On boundary layers and upstream influence. I. Supersonic flows without separation // Proc. Roy. Soc. London.ser. A.– 1953.– Vol. 217, N 1131.– P. 478–507. 4. Friedrichs K. O. Special topics in fluid dynami- cs//New York: Univ, 1953.– P. 1-200. 5. Lagerstrom P. A. Note on the preceding two paper // J. Math. Mech.– 1957.– N 6.– P. 605–606. 6. Нейланд В. Я. К теории отрыва ламинарного по- граничного слоя в сверхзвуковом плтоке // Изв. АН СССР, МЖГ.– 1973.– N 4.– С. 53–57. 7. Stewartson K., Williams P. G. Self-induced separati- on // Proc. Roy.Soc. London.ser. A.– 1969.– Vol. 312, N 1509.– P. 181–206. 8. Messiter A. F. Boundary layer flow near the trailing edge of a flat plate // SIAM J. Appl. Math.– 1970.– Vol. 18, N.1.– P. 241–257. 9. Stuart J.T. Nonlinear stability theory // Annu. Rev. Fluid Mech.– 1971.– Vol. 3.– P. 347–370. 10. Ландау Л. Д., Лифшиц Е . М. Гидродинамика.– М.: Наука, Гл. ред. физ-мат. лит.– 1986 с. 736 11. Рыжов О. С. Уравнение нестационарного пограни- чного слоя с самоиндуцированным давлением // Докл. АН СССР.– 1977.– Т. 234, N 4.– С. 780–783. 12. Жук В. И., Рыжов О. С. О решениях дисперси- онного уравнения из теории свободного взаимо- действия пограничного слоя // Докл. АН СССР.– 1979.– Т. 247, N 5.– С. 1085–1088. 13. Жук В. И., Рыжов О. С. Об асимптотике реше- ний уравнения Орра-Зоммерфельда,адающих неу- стойчивые колебания при больших значениях чис- ла Рейнольдса // Докл. АН СССР.– 1983.– Т. 268, N 6.– С. 1328–1332. 14. Жук В. И. Об асимптотике решений уравнения Орра-Зоммерфельда в областях, примыкающих к двум ветвям нейтральной кривой // Изв. АН СС- СР МЖГ.– 1984.– N 4.– С. 3–11. 15. Нейланд В. Я. Асимптотические задачи теории вязких сверхзвуковых течений // Тр. ЦАГИ.– 1974.– Вып. 1529.– С. 1–125. 16. Жук В. И., Рыжов О. С. О локально-невязких во- змущениях в пограничном слое с самоиндуциро- ванным давлением // Докл. АН СССР.– Т.263 N 1, 1982.– С. 56-59. 17. Benjamin T. B. Internal waves of permanent form in fluids of great depth // J. Fluid Mech.– 1967.– Vol.29, pt.3.– P. 559–592. 18. Ono H. Algebraic solitary waves in stratified fluid // J. Phys. Soc. Jap.– 1975.– Vol.39 N4.– P. 1082–1091. 19. Жук В. И., Попов С. П. О нелинейном развитии длинноволновых невязких возмущений в пограни- чном слое // ЖПМТФ.– 1989.– N3.– С. 101–108. 20. Карабалаев А. Х., Липатов И. И. Влияние разрыв- ных граничных условий на течение в осесимме- тричном пограничном слое // Учен. зап. ЦАГИ.– 1998.– N 3.– С. 53–62. 21. Липатов И. И., Нейланд В. Я. К теории неста- ционарного отрыва и взаимодействия погранично- го слоя со сверхзвуковым потоком // Учен. зап. ЦАГИ.– Т. 18 N 1.– 1987.– С. 36–49. 22. Липатов И. И. Задачи с разрывными граничны- ми условиями, описывающие ламинарные течения при больших числах Рейнольдса // ПММ.– 1999, Т. 63, Вып.1.– С. 37–46. 23. Липатов И. И., Нейланд В. Я. Нестационарные процессы транскритического взаимодействия те- чения в пограничном слое с гиперзвуковым пото- ком // Аэродинамика больших скоростей.– 1997.– N 1.– С. 5–13. 24. Жук В. И. Волны Толлмина-Шлихтинга и солитоны.– М.: Наука, 2001.– 167 с. 72 И. И. Липатов

Асимптотические модели процессов вязко-невязкого взаимодействия

Institution

Ähnliche Einträge